第3章《圆》作图题提升练习 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

2026-2027年苏科版九年级《圆》作图题提升练习 一、尺规作图 1．如图，点C为上一点，连接并延长至点A，使． (1)请用无刻度的直尺和圆规在圆上找一点B，使为的切线（保留作图痕迹，不写作法），并证明； (2)在（1）的条件下，设的半径为5，求的长度． 2．请用圆规和无刻度的直尺按要求作图，保留作图痕迹．（可以写出必要作图过程） (1)如图①，点在内．请过点作一条直线，使得该直线被截得的弦被点平分； (2)如图②，在这个外再取一点．请过点作一条直线，使得该直线被截得的弦的长度与（1）中所作弦的长度相等． 3．如图，点A为直线l外一点，分别作出满足下列条件的． (1)过点A，与l相切且半径最小； (2)过点A，与l相切于点P，的度数为． 要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 4．如图，在中，，点是上一点，点到边的距离等于，连接． (1)用直尺和圆规作，点在上，且经过、两点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，则的半径为__________，与的重叠部分面积为__________．（如需画草图，请使用备用图） 5．如图，在中，，． (1)请用无刻度的直尺及圆规在图1中作，使得圆心O在边上，经过点C且与边相切；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，则________． 6．（1）如图，在中，，求作，使它经过点，且与射线、射线相切．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2） 在（1）所作的图中，若，，求的半径 7．如图1，在Rt中，，点为边上的点（不与点A，C重合），点为点关于直线BD的对称点． (1)若点在边上，请用无刻度的直尺和圆规在图1中作出点（不写作法，保留作图痕迹），此时的长为_____：（如需画草图，请使用备用图） (2)若，请用无刻度的直尺和圆规在图2中作出点.（不写作法，保留作图痕迹） 8．已知中，． (1)用无刻度直尺和圆规完成下列作图：在的内部求作一点，使；（保留作图痕迹，不写作法，并写出简要说明） (2)在（1）的条件下，若，则点到距离的最大值为______________． 9．在矩形中，． (1)请在图①中用无刻度的直尺和圆规作图，先在边上确定点，使．再在边上确定点，作出以为圆心的圆，且使经过点和点． (2)在（1）的条件下，若点在线段上，点在线段上，，且，求的半径． 10．已知是的一条弦，是内一点，在下列情形时，分别经过点作一条弦，使．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)如图（1），点在上； (2)如图（2），点不在上． 11．结合图形，解答下列各题： (1)已知扇形，请在图1中作一条射线，将扇形的面积平分（用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)如图2，已知扇形，以点O为圆心作一条圆弧，分别与、交于点D、E，弧将扇形的面积平分． ①若，则__________； ②请画出满足条件的弧（用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 12．【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？ 【初步尝试】如图1，已知扇形，请你用圆规和无刻度的直尺过圆心作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分； 【问题联想】如图2，已知线段，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以为斜边的等腰直角三角形； 【问题再解】如图3，已知扇形，请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分． （友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹） 一、格点作图 13．如图，在由小正方形组成的网格中，一个残缺的圆经过格点，，，仅用一把无刻度直尺根据要求作图，要求保留作图痕迹． (1)在图1中作出圆心． (2)在图2中连接，，作弦，使得平分． 14．如图是由边长为1的小正方形组成的6×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B，C为三个格点．仅用无刻度直尺在网格中完成作图．（保留作图痕迹） (1)在图中，画出的外心O，则的半径为______； (2)在图中，画出的内心P，则的半径为______． 15．图①，图②，图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点均是格点，的外接圆的圆心记为点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图． (1)在图①中，标出圆心． (2)在图②中，的外接圆上找出一点，使得． (3)在图③中，的外接圆上找出一点，使得． 16．仅用无刻度直尺完成下列画图： (1)如图①，与网格线交于点A、B，在劣弧上画点E，使得； (2)如图②，与网格线交于点A、B，点C是上的一点，在劣弧上画点F，使得； (3)如图③，经过格点A、B的圆与网格线交于点C，在劣弧上画点G，使得． 17．古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．皮皮决定研究一下圆． (1)如图1，点A在圆上，在方格纸中，仅用无刻度直尺过点A画出圆的切线； (2)在图2中尺规作图：过圆外一点E作的切线，切点为D，保留作图痕迹； (3)如图3，在（2）的前提下，是的一条半径，且垂直于，交于点，连接交于，已知． ①求证：； ②若，求长． 18．如图，A、B、C、D四点在圆上，且点A、B、D为格点，；请仅用无刻度的直尺完成下列的作图： (1)请在图（1）中作出一条圆的直径（画出一条即可）； (2)请在图（2）中找出圆心O； (3)请在图（3）中画出的中点E． 19．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A、C均落在格点上，点B在网格线上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)如图1，线段的长等于______； (2)如图1，以为直径的半圆的圆心为O，在半圆O上找一点D，使且； (3)如图2，以为直径的半圆的圆心为O，在半圆O上找一点E，使平分； (4)如图2，以为直径的半圆的圆心为O，线段与半圆O交于点P，在线段上画点Q使得． 20．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，经过格点A，B，C，交网格线于点D．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． (1)在图1中画出该圆的圆心O，再画出的中点E； (2)在图2中画出线段绕点A逆时针旋转得到的线段（点M与点C对应）． 课后练习 21．（1）如图，中，，用直尺和圆规作，使它满足以下条件：圆心在边上，经过点，且与边相切．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （2）在（1）的条件下，若半径为1，求圆与三角形重合部分的面积． 22．已知是的弦，分别根据下列要求，用直尺和圆规作图，保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． (1)如图①，点在上，作弦，使； (2)如图②，点在内，过点作弦，使． 23．数学课上，老师提出：仅用无刻度的直尺作图． (1)如图，点A、B、C在上． ①在图①中，画一个与互补的圆周角； ②在图②中，在弧BC上找一点，使与互余． (2)在图③中，是的内接三角形，于点．画出的平分线． 24．如图，已知中，．请用无刻度的直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹，标注相应的字母）： (1)作，使圆心在边上，经过点且与边相切，请在图1中完成作图； (2)已知点D为边上一点（不与点A、B重合），连接，作，使圆心在边上，经过点C且与边相切，请在图2中完成作图． 25．如图，已知中，． (1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图： ①作，使圆心在边上，且使以为圆心，为半径的圆与相切于点； ②若交于点，在下方的圆弧上求作点，使．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，若交的边于点，且，的半径为6，则的长为______．（如需画草图，请使用图2） 26．用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明． 如图，已知中，． (1)如图1，若，在边上求作一点O，使以O为圆心长为半径的圆与边相切； (2)如图2，若，在边上求作一点E，使得； (3)如图2，若，在边上求作一点F，使得． 27．尺规作图：如图，已知等边和直线．（保留作图痕迹，不写作法） (1)在图（1）中，利用尺规在直线上作出点，使得；（作出一点即可） (2)在图（2）中，利用尺规在直线上作出点，使得．（作出一点即可） 28．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，的顶点均为格点，在边上找到一点M，连接，使； (2)在图②中，点A、B、O均为格点，过点B作的切线； (3)在图③中，点A、B、O均为格点，在上找到点M和点N（点M和点N均不与点A重合），作，使． 29．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，圆上三点A、B、C均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，完成下列各题： (1)在图1中，画出圆心O． (2)在图2中，点D为圆上任意一点，在圆上找一点E，使得是圆上最长的弦． (3)在图3中，点M是圆上任意一点（不与点A重合），作一条弦，使得． 30．如图，在正方形网格中，A、B、C、D均为小正方形的格点，请仅用无刻度的直尺作图（保留痕迹，描出必要的格点）． (1)在图1中作出的外心D； (2)图2中D是的中点，作出边上的点F（不与点B重合），使得． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 2026-2027年苏科版九年级《圆》作图题提升练习 参考答案 1．(1) 解：如图，以点C为圆心，为半径画弧交于点B，连接即可． 证明：连接，， 根据题意可得， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴为的切线． (2) 【分析】（1）以点C为圆心，为半径画弧交于点B，连接即可； （2）根据弧长公式即可； 【详解】（1）略 （2）解：根据（1）可得， ∵的半径为5， ∴的长． 2．(1)解：如图①，直线即为所求； (2)解：如图②，直线即为所求； 【分析】（1）连接，过点作的垂线，即为直线； （2）以为圆心，为半径画圆，连接，作的中垂线，再以为直径画圆，两圆交于点，连接，作直线即可，根据圆周角定理可得，即，又，根据弦心距相等，对应的弦也相等，即可得到直线即为所求. 【详解】（1）略 （2）略 3．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）如图，过点A作直线l于点D，以为直径作即可； （2）如图，过点A作直线l于点D，以为边作等边三角形，延长交直线l于点P，以为边在的右侧构造等边三角形，以O为圆心，为半径作即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； 理由：由垂线段最短可知：所有过点A，与l相切的圆中，是最短的直径， 所以，半径最小； （2）解：如图，过点A作直线l于点D，以为边作等边三角形， 所以，， 延长交直线l于点P，则, 以为边在的右侧构造等边三角形，以O为圆心，为半径作， 所以，, 所以，，即， 所以直线是的切线，此时的度数为． 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，切线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 4．(1)图见解析 (2)， 【分析】此题考查了角平分线的性质、扇形面积公式、解直角三角形等知识，正确作图是关键． （1）作的垂直平分线交于点，交于点，以点为圆心，的长为半径画圆即可； （2）求出，进一步得到，，，，即可求出与的重叠部分面积． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：∵，点是上一点，点到边的距离等于， ∴平分， ∵ ∴ ∴ ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴ ∴， ∴， ∴与的重叠部分面积为， 故答案为：， 5．(1) 如图所示，即为所求； (2) 【分析】（1）作的垂直平分线交于点H，过点H作交于点O，以点O为圆心，为半径作圆，即为所求； （2）过点作，垂足为，可得是等腰直角三角形，进而求出，再由含角的直角三角形性质即可求解； 【详解】（1）解：作的垂直平分线交于点H，过点H作交于点O，以点O为圆心，为半径作圆，即为所求； ∵，的垂直平分线交于点H， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与相切． （2）解：如图所示，过点作，垂足为， ∵，， ∴， ， ， ， ， ， ． 6．（1）见解析（2） 【分析】本题考查了尺规作图，切线的判定与性质，勾股定理解三角形，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，解决本题的关键是会作角平分线，并找到圆心，熟练掌握利用勾股定理建立方程求解半径． （1）先作的角平分线，与确定圆心，再根据切线的性质即可作出圆． （2）先证明与全等，即可得，再证明四边形为矩形，利用勾股定理求解半径即可． 【详解】（1）解：以点A为圆心，任意长度为半径画弧，分别交与于点H和点I， 再分别以点H和点I为圆心，以大于长度一半的相同长度为半径画弧，两弧相交于点P，连接， 则为的角平分线， 过点B作交于点O， 以点O为圆心，以为半径作，则即为所求， 过点O作交的延长线于点E，作交于点F，如图①， ∵为的半径，且， ∴与射线相切， ∵点O在的平分线上，，， ∴， ∴与射线相切， ∴经过点，且与射线、射线相切． （2）如图， ∵在中，，，， ∴， 设的半径为r，即， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， 则， 在中，， 即， 则有， 解得， 即的半径为． 7．(1)见解析， (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图，勾股定理、轴对称的性质、直角三角形中的线段计算． （1）根据对称性得到相等线段和直角，设未知数，在直角三角形中应用勾股定理建立方程． （2）利用 “到定点距离等于定长” 确定点的轨迹，再通过两圆交点锁定唯一位置，本质是几何条件的轨迹交轨法． 【详解】（1）解：如图1中；点E即为所求． 在中，． 由勾股定理得：． ∵ 点是点关于直线的对称点， ∴  ． ∴  ． ∴  ． 设，则 ． 在中，由勾股定理： ． 即 ． 展开并整理： ． 解得： ． 即． 故答案为： （2）如图2中；由，根据圆周角定理，点必在以为直径的圆上． 同时，点是点关于的对称点，故，因此点也在以为圆心、为半径的圆上．两圆的交点即为满足条件的点，连接并作其垂直平分线，与的交点即为，点即为所求． 8．(1)见解析 (2) 【分析】（1）分别作出边的垂直平分线，交点即为点D； （2）过点D作于点E，连接，推导出当点C，D，E在同一直线上时，，此时取得最大值，证明是等边三角形，得到，再根据勾股定理求出，即可解答． 【详解】（1）解：如图，点D即为所求点； （2）解：如图，过点D作于点E，连接， ∴， 当点C，D，E在同一直线上时，，此时取得最大值，如图， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 点到距离的最大值为． 9．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图—复杂作图、矩形的性质、勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）以为圆心，为半径作弧交于点，连接，作线段的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径作即可； （2）连接，由矩形得到，，然后设，则，根据，求出即可． 【详解】（1）解：如图①中，点，点，即为所求； 以为圆心，为半径作弧交于点，连接，作线段的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径作即可； （2）解：连接， ∵四边形为矩形， ∴，． ∵． 设，则， ∴， ∴， ∴， 即的半径为． 10．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，垂径定理． （1）如图①，如图①，过点O作，分别以O为圆心，以为半径画弧，以P为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点F，作直线交于点C，D，线段即为所求； （2）连接，过点O作于点E，以O为圆心，为半径作弧交于点J，分别以O为圆心，以为半径画弧，以P为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点F，作直线交于点C，D，线段即为所求． 【详解】（1）如图（1），线段即为所求； 由作法可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）如图②，线段即为所求． 由作法可知，， ∴， ∴， ∴， ∴． 11．(1) (2)① ② 【分析】（1）作的角平分线交扇形于E，则射线即为所求； （2）①证明即可得到答案； ②先作线段的垂直平分线交于H，再以H为圆心，的长为半径画弧交线段的垂直平分线于G，再以O为圆心，的长为半径画弧分别交于D、E，则即为所求． 【详解】（1）略 （2）①由作图可知，则． ∴， 由扇形面积计算公式可得，，即弧即为所求； ②略 12．【初步尝试】如图所示，作∠AOB的角平分线所在直线OP即为所求； 【问题联想】如图，先作MN的线段垂直平分线交MN于点O，再以O为圆心MO为半径作圆，与垂直平分线的交点即为等腰直角三角形的顶点； 【问题再解】如图，先作OB的线段垂直平分线交OB于点N，再以N为圆心NO为半径作圆, 与垂直平分线的交点为M，然后以O为圆心，OM为半径作圆与扇形所交的圆弧CD即为所求． 【分析】【初步尝试】如图1，作∠AOB的角平分线所在直线即为所求； 【问题联想】如图2，先作MN的线段垂直平分线交MN于点O，再以O为圆心MO为半径作圆，与垂直平分线的交点即为等腰直角三角形的顶点； 【问题再解】如图3先作OB的线段垂直平分线交OB于点N，再以N为圆心NO为半径作圆, 与垂直平分线的交点为M，然后以O为圆心，OM为半径作圆与扇形所交的圆弧即为所求． 【详解】略 【点睛】本题考查了尺规作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，扇形的面积等知识，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，掌握基本作图方法． 13．(1)图见详解 (2)图见详解 【分析】本题主要考查垂径定理，圆周角的性质，线段垂直平分线的作法及圆心的确定，熟练掌握垂径定理，圆周角的性质，线段垂直平分线的作法及圆心的确定是解题的关键； （1）连接，，分别作，的垂直平分线，然后交于一点，则问题可求解； （2）连接，作的垂直平分线，交于一点，根据垂径定理可知，然后问题可求解． 【详解】（1）解：所作圆心如图所示： （2）解：所作弦如图所示： 14．(1)如图，点O为的外心； (2)如图，点P即为所求，1 【分析】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）线段的垂直平分线与的交点O即为所求；运用勾股定理求出，从而可求出的半径； （2）取格点E，F，作射线，交于点P，点P即为所求，运用面积关系可求出的半径． 【详解】（1）解：∵， ∴的半径； 故答案为：； （2）解：设的半径为r，则：， ∴， 解得：， ∴的半径为1， 故答案为：1． 15．(1)见详解； (2)见详解； (3)见详解． 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理等知识，熟练掌握网格的特点是解题的关键． （1），作中点即可； （2）过作（取格点）即可； （3）作的垂直平分线即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； ； （2）点即为所求； ； （3）如图，点即为所求． 16．(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）连接并延长，交于点，连接，得到，过作交于点，得到，结合圆的特点可知，进而得到，即可使得； （2）由（1）同理推出，即垂直平分，连接交于点，连接并延长交于点，由于得到，进而即可推出； （3）连接，结合格点特点得到垂直平分线，可知圆的直径在该垂直平分线上，由圆的对称性可知关于垂直平分线的对称点为，则四边形为等腰梯形，则，即可推出． 解题的关键在于熟练掌握圆周角定理，等腰三角形性质，以及垂径定理． 【详解】（1）解：所画点E如图所示： （2）解：所画点F如图所示： （3）解：所画点G如图所示： 17．(1)图见解析 (2)图见解析 (3)①证明见解析；② 【分析】本题考查尺规作图，切线的基本性质，勾股定理，熟练掌握切线的基本性质是解题关键； （1）根据方格的特征，因为，，，得是直径，，即得，据此作图即可； （2）如图所示，连接，并以为直径作圆，交于点D，运用直径所对角是直角即可求出点的位置； （3）①根据切线的性质可得，根据，可得，结合圆的基础知识可得，再根据对顶角相等，即可求解；②根据可求出的长，设，则，在中，根据即可求解． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求： （2）解：如图所示， ①连接，分别以点O，E为圆心，以大于为半径画弧，交于点； ②连接交于点，以为圆心，以为半径画圆，交于点； ③在中，是直径， ∴，即， ∴为圆O的切线， ∴点即为所求点的位置； （3）①证明：如图所示，连接， ∵是切线 ∴， ∵， ∴， ∵是半径， ∴，且（对顶角相等）， ∴， ∴； ②已知，， ∴，， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得，， ∴长为． 18．(1)作图见详解 (2)作图见详解 (3)作图见详解 【分析】本题考查了圆的性质，垂径定理，轴对称的性质，掌握相关知识点并正确作图是解题的关键． （1）设的中点P，连接格点交圆于点，并延长交圆于点，易知，由垂径定理可知线段即为圆的直径． （2）连接，相交于点M，延长，相交于点N，连接，根据可知为弦和的对称轴，也是圆的对称轴，延长，交于点O，点O即为圆心． （3）由（2）可知直线为弦和的对称轴，故延长交圆于点E，点E即为的中点． 【详解】（1）解：如图线段所示； （2）如图点O所示； （3）如图中点E所示． 19．(1) (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）根据勾股定理，即可求解； （2）如图，取格点Y，连接，延长交于点D即可； （3）如图，取格点F，连接并延长交于点E，连接，则即为所求； （4）连接并延长交的延长线于点R，设相交于点，连接并延长交于点Q即可． 【详解】（1）解：根据题意得：； 故答案为： （2）解：如图，点D即为所求； 连接， ∵ ∴， ∴是直角三角形， ∴， 故点D即为所求； （3）解：如图2，即为所求； 理由：∵格点F是中点，点是的中点， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 即平分； （4）解：如图2，点即为所求． 理由：连接并延长交的延长线于点R，设相交于点，连接并延长交于点Q， ∵是的直径， ∴， ∵平分, ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理、圆周角定理、全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理及其逆定理、等腰三角形的判定和性质等知识，此题综合性强，难度较大． 20．(1)图见详解 (2)图见详解 【分析】本题考查作图旋转变换，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，垂径定理，三角形的外心等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）在圆上取一点P，使得，连接交的垂直平分线于点O，则为点O圆心；取弦与中间格点线的交点G，连接交于点E，则问题可求解； （2）取格点M，连接，此时且，连接并延长交于点H，连接并延长交水平格线于点N，连接，则线段即为所作． 【详解】（1）解：所作圆心O及的中点E如图所示： （2）解：所作线段如图所示： 取格点G，过点N作于点F， ∵是的直径， ∴， ∴， 由作图可知：， ∴， 由图可得：， ∴， ∴， ∴， ∴． 21．（1）见解析 如图，先作的平分线交于Q点，再过点作的垂线交于点，接着以点为圆心，为半径作圆得到； 说明：∵平分， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴与边相切； （2） 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图、垂线的尺规作图、等边三角形的性质和判定、圆的切线、扇形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据角平分线和垂线的尺规作图方法解题即可； （2）根据图形推出重合部分为一个等边三角形和一个扇形，进而求解． 【详解】解：（1）略； （2）如图，设与相交于点，与相交于点，连接，则圆与三角形重合的部分为和扇形；过点作交于点； ∵半径为1，且， ∴， ∵， ∴是等边三角形，，， ∴， ∴； ∵，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴圆与三角形重合部分的面积为． 22．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图——基本作图，过圆外一点，作圆的切线，线段的垂直平分线，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了点与圆的位置关系，垂径定理． （1）如图①，以P点为圆心，的长为半径画弧交于点Q、点，则和满足条件； （2）先过O点作于E点，再以O点为圆心，的长为半径作圆，接着连接，再作的垂直平分线得到的中点F，然后以F点为圆心，的长为半径作圆交半径为的圆于G、Q点，直线交于C、D两点，直线交于两点，则和满足条件． 【详解】（1）解：如图①，和为所作； （2）解：如图②，和为所作． 由作图知是半径为的圆的切线，切点分别为点，点， ∴，， 连接，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 同理，得． 23．(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，同弧所对的圆周角相等，垂径定理，直径所对的圆周角是直角等，熟知圆的相关知识是解题的关键． （1）①在劣弧上任取一点E，连接，由圆内接四边形对角互补可得和互补；②连接并延长交于P，则，由可得； （2）延长交于F，作射线，由垂径定理得到，则，即平分． 【详解】（1）解：①如图所示，即为所求； ②如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，射线即为所求； 24．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线和垂直平分线的尺规作图，角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线和垂直平分线的作法以及角平分线的性质． （1）根据题意可得，作的角平分线交于点，以为圆心，以为半径画圆，根据角平分线的性质可得，到的距离等于，即半径，可得与边相切； （2）过点作交延长线于点，由（1）作的角平分线交于点，以为圆心，以为半径画圆，即可求解． 【详解】（1）解：作的角平分线交于点，以为圆心，以为半径画圆，则即为所求， 由题意可得，平分，， ∴到的距离等于，即半径， ∴与边相切； （2）解：按照垂线的作法，过点作交延长线于点， 再由（1）作的角平分线交于点， 以为圆心，以为半径画圆，则即为所求，如下图： 由（1）可得，与边相切． 25．(1)①见解析；②见解析 (2)8 【分析】（1）①作的平分线与交点即为点，以为圆心，为半径画圆，则与的交点即为切点，根据角平分线的性质定理即可说理； ②过点作的垂线与交点即为点，由垂径定理的推论可得； （2）连接，先导角证明，则，设，则，在中，由勾股定理得，求出即可得出答案． 【详解】（1）解：①如图，即为所求： 过点O作于点E， ∵平分，， ∴， ∴点E在上， ∴为的切线； ②如图，点即为所求： ∵， ∴， ∴； （2）解：连接，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，的半径为6， ∴， 设，则， ∴在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，尺规作图角平分线和垂线等知识点，正确作图是解题的关键． 26．(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)画图见解析 【分析】本题考查作图—复杂作图，等边三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）作的角平分线交于点，以点为圆心，作圆，则圆即为所求； （2）作的中垂线交的中垂线于点，以点为圆心作的外接圆，以点为圆心长度为半径作弧交圆于点，连接交于点，则点为所求点； （3）参考（2）作出的外接圆，连接并延长交圆于点，以点为圆心作的外接圆，以点为圆心长度为半径作㧧交圆于点，连接交于点，则点为所求点． 点为圆心长度为半径作圆，点B为圆心长度为半径作圆，交于点G，是等边三角形，再分别作的垂直平分线，交点为，连接，以为圆心，长为半径，做的外接圆交与点F，点F即为所求，使得． 【详解】（1）画图如下所示： ； （2）画图如下所示： ， 由作图可知：是等边三角形， ∴， ∴， ∴； （3）画图如下所示： 点F即为所求，使得 ． 27．(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】（1）以为圆心，为半径画圆，交直线于点，连接，，根据圆周角为圆心角的一半，即可得． （2）分别作线段和线段的垂直平分线，交于点，以交点为圆心，为半径画圆，交直线于点，连接，，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得． 【详解】（1）解：以为圆心，为半径画圆，交直线于点，连接，，如图： ∵为等边三角形， ∴， ∴， （2）解：分别作线段和线段的垂直平分线，交于点，以交点为圆心，为半径画圆，交直线于点，连接，，如图： ∵为等边三角形， ∴， ∴， 【点睛】本题主要考查垂直平分线和圆的作图，圆周角，熟练掌握以上知识是解题的关键． 28．(1) 如图所示，点M即为所求； (2)如图所示，直线即为所求； (3)如图所示，即为所求． 【分析】本题主要考查了无刻度直尺作图，切线的性质与判定，三角形内角和定理，熟知切线的性质与判定定理是解题的关键． （1）取格点M，连接，则点M即为所求； （2）取格点E，作直线，则直线即为所求，可证明； （3）取格点F，连接交于M，设与交于N，连接，则即为所求．可证明． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 29．(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题是圆的综合题，考查作图，垂径定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）分别作的垂直平分交于点O，即可求解； （2）连接，并延长交圆O于点E，即可求解； （3）分别连接，并延长分别交圆O于点Q，P，即可求解． 【详解】（1）解：如图，点O即为所求； （2）解：如图，点E即为所求； （3）解：如图，即为所求． 30．(1) 如图1，点D即为的外心； (2) 如图2，点F即为所作； 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． （1）如图1中，分别作及的垂直平分线，相交于点D，点D即为所求． （2）如图2中，过点A作的垂线，垂足即为点F，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一亲，可得． 【详解】（1）略 （2）略 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $