27.3 第2课时 实际问题中的反比例函数(2)（课件）2026-2027学年人教版九年级数学上册

27.3 实际问题与反比例函数 第2课时 实际问题中的反比例函数(2) 第二十七章 反比例函数 人教版九年级（上） 反比例函数的实际应用一般步骤： (1) 确定函数关系，设出 ； (2) 根据题目中的已知条件列出方程，求出 ； (3) 写出函数解析式，并注意自变量的 ； (4) 利用反比例函数的图象和性质解决实际问题. 函数解析式 k 值　 取值范围 新课导入 例1 在力 F (单位：N) 的作用下，若物体会在力 F 的方向上发生位移 s (单位：m)，则力 F 所做的功W(单位：J) 满足 W = Fs. 当 W 为定值时，s 与 F 之间的函数关系如图所示. (1) 当力 F 为 10 N 时，求 F 所做的功 W； 解：(1) 由图可知，当力 F 为 10 N 时，物体在力 F 的方向上发生的位移 s 为 50 m，此时 F 所做的功 W= Fs = 10×50 = 500 ( J ). 知识点1：实际问题中涉及图表的反比例函数 新课导入 (2) 写出 s 关于 F 的函数解析式； (3) 在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于 100 m，求力的范围. (2) 当 W 为定值时，可以用反比例函数描述，与 F 之间的关系，由 (1) 可知其解析式为 (3) 将 s = 100 代入 ，可得 F = 5 (N). 因为 s 随着 F 的增大而减小，所以要使物体在力的作用下的位移小于 100 m，力 F 要大于 5 N. 例2 一辆客车从甲地行驶到乙地，平均速度 v（单位：km/h）与行驶全程所用时间 t（单位：h） 的函数关系如图所示，其中 60≤v＜120. (1) 写出关于 t 的函数解析式，并求 t 的取值范围； 解：(1) 甲地到乙地的路程为定值，可以用反比例函数描述 v 与 t 之间的关系，由图可知，当 t = 2 时，v = 120，于是有 ① 因为 v = 120 时，由①得 t = 4. 因为 60≤v≤120，并且平均速度 v 随着行驶全程所用时间 t 的增大而减小，所以 2≤t≤4. (2) 若客车上午 8 时从甲地出发，需在当天 10 时 40 分至 11 时之间到达乙地，求客车平均速度 v 的范围 (2) 客车上午 8 时从甲地出发，若当天 10 时 40 分到达乙地，则行驶全程所用时间 ，代入①，可得 v = 90 (km/h)； 若当天 11 时到达乙地，则行驶全程所用时间 t = 3 h，代入①，可得 v = 80 (km/h). 因为平均速度 v 随着行驶全程所用时间 t 的增大而减小，所以客车平均速 度 v 的范围是 80≤v≤90. 1.某人对地面的压强与他和地面接触面积的函数关系如图所示．若某一沼泽地地面能承受的压强不超过 300 N/m2，那么此人应站立在面积为多少的木板上才不会下陷 (木板重量忽略不计) ( ) A. 至少 2 m2 B. 至多 2 m2 C. 大于 2 m2 D. 小于 2 m2 20 40 60 O 60 20 40 S/m2 p/(N/m2) A 练一练 【合作探究】某物理实验小组研案气体的压强 p (单位：kPa)与体积 V(单位：mL)的关系，在温度不变的条件下，通过实验得到了 6 组数据. 序号 1 2 3 4 5 6 体积V/mL 20 18 16 14 12 10 压强p/kPa 100 112 123 145 163 201 气体的压强力 p 与体积 V 是否存在一定的函数关系？如果存在，请你建立函数模型，并估计当压强为 132 kPa时，气体的体积为多少(结果保留小数点后两位). 知识点2：建立反比例函数模型模型解决实际问题 8 (1)为直观分析这组数据的变化规律，可以先画出散点图. 10 12 14 16 18 20 V/mL 100 140 160 180 200 p/kPa 120 思考：观察这个散点图，这些点的分布趋势，和我们学过的哪种函数的图象相似？ 像反比例函数的一支，即双曲线的第一象限分支 追问：由此，我们可以做出什么猜想？ k (2) 建立模型. 设函数解析式为 p = (V＞0)， 根据表中的数据，分别求出 k 的值，列出表. 思考4：如果只用一组数据来计算 k，能准确描述所有实验数据吗？ 序号 1 2 3 4 5 6 体积 V/mL 20 18 16 14 12 10 压强 p/kPa 100 112 123 145 163 201 2000 2016 1968 2030 1956 2010 序号 1 2 3 4 5 6 体积V/mL 20 18 16 14 12 10 压强p/kPa 100 112 123 145 163 201 k 2000 2016 1968 2030 1956 2010 计算所有 k 值的来均值，得 k＝ (2000+2016+1968+2030+1956+2010)≈1997. 我们把这个平均值1997作为的值，就得到一个函数模型 p = 【归纳总结】 建立函数模型的一般步骤： 收集数据：获取实际问题中的变量对应数据； 分析数据：画散点图，观察数据的变化规律； 选择模型：根据散点图特征，选择合适的函数模型； 确定解析式：用数据求函数参数(如求 k 的平均值)，得到近似/精确解析式； 验证与应用：用模型解释或解决实际问题. 1. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时， 气球内气体的气压 p (kPa) 是气体体积 V (m3)的反 比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压为 120 kPa 时，气球的体积应为 ( ) A. B. C. D. C O 60 V/m3 p/kPa 1.6 当堂练习 13 2. 在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的 二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会 随之改变，密度 ρ (单位：kg/m3) 是体积 V (单位：m3) 的反比例函数，它的图象如图所示，当 V =10 m3 时， 气体的密度是 . 2 1 3 4 5 V/m3 ρ/(kg/m3) 5 O 6 3 2 4 1 1 kg/m3 3. 蓄电池的电压为定值．使用此电源时，电流 I (A) 是电阻 R (Ω) 的反比例函数，其图象如图所示． (1) 求这个反比例函数的解析式； 解：设 ，把 M (4，9) 代入得 k = 4×9 = 36. ∴ 这个反比例函数的解析式 为 . O 9 I(A) 4 R(Ω) M (2) 当 R =10 Ω 时，电流可能是 4 A 吗？为什么？ 解：当 R = 10 Ω 时，I =3.6 ≠ 4， ∴电流不可能是 4 A． 4. 某汽车的功率 P 为一定值，汽车行驶时的速度 v (m/s) 与它所受的牵引力 F (N) 之间的函数关系如下图所示. (1) 这辆汽车的功率是多少？请写出这一函数的解析式； O 20 v(m/s) 3000 F(N) 解：这辆汽车的功率是 P = 20×3000 = 60000 (W)， (3) 如果限定汽车的速度不超过 30 m/s，那么 F 在什么 范围内？ 解：F ≥ 2000 N. (2) 当它所受牵引力为 1200 N 时，速度为多少 km/h？ 解：当 F = 1200 N 时，v = 50 m/s， ∴ 汽车的速度是 3600×50÷1000 = 180（km/h）. O 20 v(m/s) 3000 F(N) $