27.2 第2课时 反比例函数的图象和性质 教学设计 2026—2027学年数学人教版九年级上册

27.2 第2课时 反比例函数的图象和性质 教学设计 课题 27.2 反比例函数的图象和性质（第2课时） 学科 数学 年级 九年级 教材版本 人教版（2024） 课时 1 课时 课型 新授课 教学目标 1. 巩固反比例函数的图象与基本性质，能根据解析式判断点是否在反比例函数图象上；2. 掌握比较反比例函数值大小的常用方法，厘清易错点：增减性仅在同一象限内成立；3. 建立反比例函数的解析式与图象之间的联系，体会数形结合、转化的数学思想. 教学重点 运用反比例函数的图象和性质，判定点是否在函数图象上、比较函数值的大小. 教学难点 跨象限多点比较函数值大小；准确理解“每个象限内”增减性这一限制条件. 教学方法 讲练结合、一题多解、小组讨论 教学准备 多媒体课件 课后练习 教材本节课后练习中与本课时相关的题目。 板书设计 见“板书设计”部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 环节一 知识回顾 一、知识回顾 1．反比例函数（k≠0）的图象特征和性质如下： （1）反比例函数的图象由两条曲线组成，它是双曲线. 当 k＞0 时，双曲线的两支分别位于　　　　　　　　　　，在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小；当 k＜0 时，双曲线的两支分别位于　　　　　　　　　　，在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大. 答案：第一、第三象限；第二、第四象限. 2．反比例函数 （k≠0）的图象的对称性： （1） 的图象是　　　　　　　　图形，对称轴是直线 y＝±x； （2） 的图象是　　　　　　　　图形，对称中心是　　　　. 答案：轴对称；中心对称；原点. 【设计意图】巩固反比例函数的图象特征、性质与对称性，为本节课应用性质解题做铺垫. 学生复述双曲线的象限分布、增减性与两种对称性，激活上一课时的知识储备. 巩固图象特征与性质，为判定点位置、比较函数值大小的应用做好铺垫. 环节二 探究 点与图象 二、探究：点与图象 【问题】已知反比例函数 的图象经过点 A(−2，4). （1）这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如何变化？ （2）点 B(1，−8)，C，D(2，4) 是否在这个函数的图象上？ 【师生活动】教师引导学生按三个层次思考：①点 A 在哪个象限？据此能否判断图象分布在哪两个象限？②除上述方法外，还有什么途径判断图象所在象限？③如何检验点 B，C，D 是否在这个反比例函数图象上？学生自主探究、独立演算；教师巡视观察，收集典型书写错误，挑选两名学生代表上台板演完整解答，随后带领全班订正. 【答案】解：（1）反比例函数图象的位置只有两种可能：位于第一、第三象限，或者位于第二、第四象限. 因为点 A(−2，4) 在第二象限，所以这个函数的图象位于　　　　　　　　　　，在每一个象限内，y 随 x 的增大而　　　　. 答案：第二、第四象限；增大. （2）设这个反比例函数的解析式为（k≠0）. 因为点 A(−2，4) 在其图象上，所以点 A 的坐标满足解析式，即，解得 k＝−8. 因此，这个反比例函数的解析式为. 因为点 B，C 的坐标都满足 xy＝−8，点 D 的坐标不满足（2×4＝8≠−8），所以点 B，C 在函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上. 【追问】刚才我们将坐标代入解析式进行验证，大家观察解析式，能不能找到更加快捷的验证办法？ 【答案】预设引导：解析式变形可得 xy＝−8，只需检验点的横、纵坐标乘积是否等于 k. 【归纳】判断点是否在反比例函数的图象上的两种方法：方法 1：代入横坐标求出函数值，对比其与点的纵坐标是否相等；方法 2：计算点横、纵坐标的乘积，判断乘积是否等于常数 k. 【设计意图】借助教材典型例题，巩固利用已知点求解反比例函数解析式，熟练运用 k 的符号判断图象分布与增减性；通过多个点辨析，归纳判定点在反比例函数图象上的通用方法，提升代数运算与总结归纳能力. 学生经历“由点定象限→求解析式→检验多点”的完整过程，掌握代入验证与乘积检验两种判定方法. 巩固由已知点求解析式，归纳判定点与图象位置关系的两种方法，落实基础核心技能. 环节三 探究 由图象定参数 三、探究：由图象定参数 【问题】图中的曲线是反比例函数 的图象的一支. 根据图象，回答下列问题： y=(m−5)/x 的一支（位于第一象限） （1）图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围是什么？ （2）在这个函数图象的某一支上任取点 A(x₁，y₁) 和点 B(x₂，y₂). 如果 x₁＞x₂，那么 y₁ 和 y₂ 有怎样的大小关系？ 【师生活动】学生先独立审题思考，随后开展小组讨论. 教师递进引导：①反比例函数双曲线的两支具有对称性，由第一象限这一支，你能推出另一支所在象限吗？②结合图象所在象限，思考 m−5 需要满足怎样的不等关系？③“在图象的某一支上”意味着两点在同一个象限，结合性质判断 y₁，y₂ 的大小；④如果删掉“某一支上”这个条件，还能够直接比较两点函数值大小吗？小组交流完毕，邀请学生代表上台作答. 【答案】解：（1）因为这个函数的图象的一支位于第一象限，所以另一支必位于第三象限. 因为这个函数的图象位于第一、第三象限，所以 m−5＞0，解得 m＞　　　　. 答案：5. （2）因为 m−5＞0，所以在这个函数图象的任意一支上，y 都随 x 的增大而减小，因此当 x₁＞x₂ 时，y₁　　　　y₂. 答案：＜. 【归纳】巧记口诀：反比例函数图象是双曲线，k 为正，图象在第一、第三象限，k 为负，图象在第二、第四象限；图象在第一、第三象限函数减，图象在第二、第四象限正相反. 【易错提醒】利用增减性比较函数值，两点必须在双曲线同一分支（同一象限）！ 【设计意图】依托教材例题，通过递进引导问题串推动学生自主推理，学会根据图象位置确定参数取值范围；增设辨析问题突破易错点，完善对反比例函数增减性质的理解. 学生由双曲线对称性推出另一支位置，列出 m−5＞0 求 m 范围，并在“同一分支”前提下用增减性比较 y₁ 与 y₂. 根据图象位置确定参数取值范围，强化“同一分支”前提，发展数形结合与推理能力. 环节四 典例精讲 例1 四、典例精讲（例1） 【例1】若点(2，−4)在反比例函数 的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（　　）. A．(2，4)　　B．(−1，−8)　　C．(−2，−4)　　D．(4，−2) 【师生活动】学生独立思考完成；随机邀请学生分享解题思路. 引导思考：①如何利用已知点坐标快速求出 k 的值？②判断点在不在双曲线上，有没有简便方法，一定要先写出解析式吗？ 【答案】　　　　　　（选 D）. 【解析】因为点(2，−4)在反比例函数的图象上，所以 k＝2×(−4)＝−8. 选项 A 中，2×4＝8；选项 B 中，−1×(−8)＝8；选项 C 中，−2×(−4)＝8；选项 D 中，4×(−2)＝−8. 所以点(4，−2)在此反比例函数的图象上. 【归纳】本题优先使用方法 2：计算点横、纵坐标的乘积，判断乘积是否等于常数 k，无需写出解析式，快速高效. 【设计意图】通过例题总结快速判定点与双曲线位置关系的技巧，巩固 xy＝k 核心关系式. 学生用“横纵坐标乘积是否等于 k”快速检验四个选项，体会乘积法免求解析式的便捷. 巩固 xy＝k 核心关系式，掌握快速判定点与双曲线位置关系的技巧. 环节五 典例精讲 例2 五、典例精讲（例2） 【例2】若点 A(−5，y₁)，B(−3，y₂)，C(2，y₃) 在反比例函数 的图象上，则 y₁，y₂，y₃ 的大小关系是（　　）. A．y₁＜y₃＜y₂　　B．y₁＜y₂＜y₃ C．y₃＜y₂＜y₁　　D．y₂＜y₁＜y₃ 【师生活动】学生自主尝试解题，小组交流不同解法；学生代表展示多种思路. 引导思考：①A，B，C 三个点是否在双曲线同一分支上？②使用性质法比较大小要注意什么前提？③除了利用性质，还有哪些可靠的比较方法？ 【答案】　　　　　　（选 D）. 【解析】方法 1（性质法）：因为 k＝3＞0，所以反比例函数的图象在第一、第三象限，且在每个象限内，y 随 x 的增大而减小. 因为(−5，y₁)，(−3，y₂)两点在第三象限，且 −5＜−3，所以 y₂＜y₁＜0；又因为 2＞0，所以点(2，y₃)在第一象限，所以 y₃＞0. 所以 y₂＜y₁＜y₃. 方法 2（直接代入法）：把 x＝−5，x＝−3，x＝2 分别代入，得 y₁＝，y₂＝−1，y₃＝，所以 y₂＜y₁＜y₃. 方法 3（图象法）：在平面直角坐标系中画出 的图象，描出符合条件的三个点，直观观察纵坐标高低，易知 y₂＜y₁＜y₃. 图象法：A、B 在第三象限支，C 在第一象限支 【归纳】比较反比例函数值大小的三种常用方法： （1）直接代入法：代入横坐标，求出纵坐标，直接比较函数值大小，通用无限制；（2）性质法：仅限同一分支上的点，跨象限点不能直接使用增减性质；（3）图象法：描点作图，直观观察纵坐标高低. 【设计意图】一题多解，强化“同一分支”易错前提，打通不同解题路径，完善函数值比较题型的解题思路. 学生经历性质法、代入法、图象法三种解法，对比适用范围，体会跨象限比较需分象限讨论或直接代入. 一题多解打通函数值比较的三条路径，强化“同一分支”易错前提. 环节六 典例精讲 例3 六、典例精讲（例3） 【例3】如图，点 P 是反比例函数图象上的一点，PA⊥y 轴，垂足为 A，PB⊥x 轴，垂足为 B. 若矩形 PBOA 的面积为 6，则 k 的值是　　　　　　. 例3 图（P 在第二象限） 【师生活动】学生观察图形独立探究，同桌互相交流发现规律. 引导思考：①设点 P 的坐标为(x，y)，矩形的边长可以怎么表示？矩形面积如何用 x，y 表示？②面积是正数，k 一定是正数吗？观察图象，结合象限思考符号问题. 【答案】−6. 【解析】设点 P(x，y)，则 PB＝|x|，PA＝|y|，所以矩形 PBOA 的面积 S＝|x|·|y|＝|xy|＝|k|. 因为点 P(x，y) 是反比例函数图象上的一点，且反比例函数图象的一支在第二象限，所以 k＜0. 因为 PA⊥y 轴，PB⊥x 轴，矩形 PBOA 的面积为 6，所以 |k|＝6 且 k＜0，所以 k＝−6. 【归纳】反比例函数中，双曲线上任意一点向坐标轴作垂线：（1）围成矩形面积＝|k|；（2）围成直角三角形面积＝|k|；（3）必须结合图象所在象限，确定 k 的正负，不能直接默认 k 等于面积. 【设计意图】拓展探究比例系数 k 的几何意义，厘清面积与 k 的绝对值的关系，重点训练根据图象象限判定 k 的符号，突破典型符号易错点. 学生用坐标表示矩形边长，得出 S＝|k|，再由第二象限定位确定 k＜0，避免“k 等于面积”的符号错误. 探究 k 的几何意义，训练由象限定符号的意识，突破面积与 k 的符号易错点. 环节七 课堂小结 七、课堂小结 【课堂小结】（1）判断一个点是否在反比例函数图象上有哪两种方法？（2）比较反比例函数值大小有哪三种方法？各适用于什么情形？（3）k 的几何意义是什么？由面积求 k 时要注意什么？ 知识结构图 【归纳】①判定点在图象上：代入验证或乘积检验（xy＝k）；②函数值大小比较：直接代入法（通用）、性质法（限同一分支）、图象法（直观）；③k 的几何意义：S矩形＝|k|，S三角形＝|k|，符号由图象所在象限确定；④思想方法：数形结合、转化、一题多解. 【布置作业】教材本节课后练习中与本课时相关的题目. 学生对照知识结构图梳理判定方法、比较方法与 k 的几何意义，课后独立完成作业. 通过课堂小结整理解题方法体系，巩固数形结合与转化思想. 板书设计 27.2 反比例函数的图象和性质（第2课时） 反比例函数的图象和性质 1．图象：双曲线（k＞0：一、三象限；k＜0：二、四象限） 2．性质：在每一个象限内研究增减性 3．常用解题方法 判定点在图象上：代入验证 / 乘积检验（xy＝k） 函数值大小比较：代入法 / 性质法（同一分支）/ 图象法 4．k 的几何意义：S矩形＝|k|，S三角形＝ |k|（符号由象限定） 学生板演区 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $