专题13 反比例函数的图形、性质及应用（十七大题型51道题）-2026-2027学年人教版九年级上册数学《典例全解·题型通关》

2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题13 反比例函数的图形、性质及应用（十七大题型51道题） 目录 知识点一判断（画）反比例函数图象 1 知识点二已知反比例函数的图象，判断其解析式 3 知识点三由反比例函数图象的对称性求点的坐标 5 知识点四已知双曲线分布的象限，求参数范围 7 知识点五判断反比例函数的增减性 8 知识点六判断反比例函数图象所在象限 9 知识点七已知反比例函数的增减性求参数 11 知识点八比较反比例函数值或自变量的大小 12 知识点九已知比例系数求特殊图形的面积 14 知识点十根据图形面积求比例系数（解析式） 16 知识点十一求反比例函数解析式 19 知识点十二反比例函数与几何综合 20 知识点十三反比例函数、二次函数图象综合判断 23 知识点十四一次函数与反比例函数图象综合判断 27 知识点十五一次函数与反比例函数的交点问题 30 知识点十六一次函数与反比例函数的实际应用 32 知识点十七实际问题与反比例函数 35 知识点一判断（画）反比例函数图象 1．李明需要制作一个底面积为的长方体无盖纸盒，底面矩形的一边长y（单位：）与其邻边长x（单位：）之间的关系可以用图象大致表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形面积公式列出与的函数关系式，结合自变量的取值范围确定图象． 【详解】解：由题意得， ． 表示矩形的边长， ， 该函数图象是位于第一象限的双曲线的一支． 2．函数的图像经过的象限是______． 【答案】二、四 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数，当时，图象经过第一、三象限，当时，图象经过第二、四象限，即可得出答案，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：， ， 函数的图像经过的象限是二、四， 故答案为：二、四． 3．一次函数与反比例函数的图象有一个交点，且该交点横坐标为1． (1)求这两个函数的表达式； (2)在同一直角坐标系中画出这两个函数的图象，并求出一次函数值大于反比例函数值的的取值范围． 【答案】(1)一次函数表达式为，反比例函数表达式为 (2)解：画图如下：，或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数，解题的关键是： （1）根据时，两函数值相等构建关于a的方程，然后解方程即可求解； （2）分别画出一次函数和反比例函数图象，观察图象发现：当或时，一次函数图象都在反比例函数图象上方，即一次函数值大于反比例函数值． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象有一个交点，且该交点横坐标为1， ∴， 解得， ∴， ∴一次函数表达式为，反比例函数表达式为； （2）图略 联立方程组， 解得或， ∴两函数图象相交于和， 由图象知：当或时，一次函数值大于反比例函数值． 知识点二已知反比例函数的图象，判断其解析式 4．如图所示的图象对应的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由图可知，该函数图象为过一、三象限的反比例函数，即， 故选：C． 5．如图为反比例函数的图象，则k的值可以为______．（写出符合图象特征的一个值即可） 【答案】9（答案不唯一） 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，根据当时，k值越大，图象越远离坐标轴求解即可． 【详解】解：根据图象，， 故k的值可以为9， 故答案为：9（答案不唯一）． 6．如图，，两点在反比例函数的图象上，，两点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，，，，求的值． 【答案】4 【分析】设，，，，则，，然后根据，，列式求解即可． 【详解】解：设，，，， 则，， 则， ，得， 同理：，得， 又， ， 解得． 【点睛】考查反比例函数上点的坐标关系，根据坐标转化线段长是解题关键． 知识点三由反比例函数图象的对称性求点的坐标 7．如图，过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，若点，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数图像的对称性求解即可． 【详解】解：∵过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，， ∴A，B两点关于原点对称， ∵点A的坐标是， 点B的坐标为． 8．直线与双曲线交于，两点，则________． 【答案】 【分析】根据正比例函数与反比例函数交点的中心对称性，得到两点坐标的关系，再结合反比例函数图像上点的坐标特征，即可求解． 【详解】解：∵直线与双曲线的图像均关于原点对称， ∴点和点关于原点对称， ∴， ∴，， 把代入中，得， ∴， 把代入中，得， ∴， ∴． 9．如图，M，N是函数图象上的两点，且线段过原点O，平行于y轴，平行于x轴，求的面积． 【答案】 【分析】由反比例函数的对称性可得点M与点N关于原点对称，设，则，求出点P的坐标，进而得到的长，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵线段过原点O， ∴由反比例函数的对称性可知点M与点N关于原点对称， 设，则， ∵平行于y轴，平行于x轴， ∴，， ∴， ∴． 知识点四已知双曲线分布的象限，求参数范围 10．如图，是反比例函数的图象，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的图象分布在二、四象限可得，求出的取值范围进而即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在二、四象限， ∴， ∴， 观察只有选项B的数值符合要求， ∴的值可以是5． 11．若反比例函数的图象有一支在第三象限，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的图象与性质，图象有一支在第三象限，可得比例系数为正数，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象有一支在第三象限， ∴， 解得． 12．已知反比例函数（k为常数）的图象位于第二、四象限，求k的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数图象在第二、四象限，可知比例系数小于零，据此建立不等式求解即可． 【详解】解：∵反比例函数（k为常数）的图象位于第二、四象限， ∴ ∴． 知识点五判断反比例函数的增减性 13．反比例函数的图象如图所示，随着值的增大，的值（     ）． A．减小 B．增大 C．不变 D．先减小后不变 【答案】A 【分析】根据反比例函数图象的性质判断即可． 【详解】反比例函数，观察函数图象在第一象限，在第一象限内，随着值的增大，的值随之减小． 14．已知反比例函数，点在这个函数的图象上，那么当时，y随x的增大而______．（增大或减小） 【答案】增大 【分析】先利用待定系数法求出反比例函数的比例系数，再根据反比例函数的性质判断时随的变化趋势． 【详解】解：将点代入， 得， ， 反比例函数的图象分布在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， 当时，函数图象位于第四象限，因此随的增大而增大， 15．已知点，在反比例函数的图象上，当时，，求m的取值范围． 【答案】 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上，当时，， ∴当时，随着的增大而减小， ∴， 解得 即m的取值范围为． 知识点六判断反比例函数图象所在象限 16．若反比例函数的图象经过点，则它的图象分别位于（     ） A．第一、第二象限 B．第二、第四象限 C．第一、第三象限 D．第三、第四象限 【答案】B 【分析】根据题意求得的值，进而即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的图象在第二、第四象限. 17．当时，则反比例函数的图象在第_________象限． 【答案】一 【分析】本题考查了判断反比例函数图象所在象限，根据反比例函数中的，即可得出该反比例函数图象在第一象限，即可作答． 【详解】解：∵反比例函数中的， ∴该反比例函数图象在第一象限． 故答案为：一 18．指出下列反比例函数的图象所在的象限，并说明在每个象限内，y的值随x的值的增大而变化的情况． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)的图象位于第一、三象限；在每个象限内，的值随的值的增大而减小 (2)的图象位于第二、四象限；在每个象限内，的值随的值的增大而增大 (3)的图象位于第二、四象限；在每个象限内，的值随的值的增大而增大 (4)的图象位于第一、三象限；在每个象限内，的值随的值的增大而减小 【分析】根据反比例函数的性质逐个解答即可． 【详解】（1）解：∵中的， ∴的图象位于第一、三象限；在每个象限内，的值随的值的增大而减小； （2）解：∵中的， ∴的图象位于第二、四象限；在每个象限内，的值随的值的增大而增大； （3）解：∵中的， ∴的图象位于第二、四象限；在每个象限内，的值随的值的增大而增大； （4）解：∵中的， ∴的图象位于第一、三象限；在每个象限内，的值随的值的增大而减小． 知识点七已知反比例函数的增减性求参数 19．反比例函数的图象在每一个象限内，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数的增减性推出，进而求解，即可解题． 【详解】解：反比例函数的图象在每一个象限内，y随x的增大而减小， ， 解得． 20．选一个数作为m的值，使关于x的函数的图象在每个象限y随x的增大而增大，则m的值为________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据反比例函数的性质得到，确定的取值范围后任选一个符合条件的值即可． 【详解】解：∵函数的图象在每个象限随的增大而增大， ∴反比例函数的比例系数小于，即，解得，取，符合条件． 21．已知反比例函数的图象在每一个象限内，都随的增大而增大． (1)求的值． (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)当时， 【分析】（1）根据反比例函数的定义确定指数，再结合其单调性确定系数的取值，从而求出的值． （2）先求出反比例函数的解析式，再根据函数的单调性，结合的取值范围求出的取值范围． 【详解】（1）解：∵是反比例函数，且在每一个象限内，都随的增大而增大， ∴ 解得． （2）解：由（1）可知，， ∴反比例函数的解析式为， 当时，；当时，． 反比例函数的图象在每一个象限内，都随的增大而增大， 当时，． 【点睛】本题考查反比例函数的定义、性质及取值范围的求解，掌握根据反比例函数的定义确定参数，结合其增减性求函数值的取值范围是解题的关键． 知识点八比较反比例函数值或自变量的大小 22．若点都在反比例函数的图象上，则有（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将三点横坐标分别代入反比例函数解析式，求出，，的值后比较大小． 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 23．已知点，在反比例函数的图象上，若，则，的大小关系是________．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质，由比例系数的符号判断时函数的增减性，再结合的条件比较与的大小． 【详解】解：反比例函数中，， 因此该反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大． ， 点，都在第二象限的反比例函数图象上， ． 24．如图，已知反比例函数的图象经过，两点． (1)判断是正数还是负数． (2)比较与的大小． 【答案】(1)是负数 (2) 【分析】（1）根据图象所在象限即可得出答案； （2）根据图像性质即可得出结论. 【详解】（1）解：∵图象在二、四象限， ∴， 即：为负数； （2）解：∵， ∴在每一象限内，随的增大而增大， ∵， ∴. 知识点九已知比例系数求特殊图形的面积 25．如图是反比例函数的一部分图象，已知该图象过点，点P是图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，则的面积是（     ） A．6 B．2.5 C．3 D．2 【答案】C 【分析】先根据图象上点的坐标求出反比例函数的比例系数，再利用反比例函数系数k的几何意义求解． 【详解】解：的图象过点， ， 点P是图象上任意一点，轴， ． 26．如图，的边在轴上，若过点的反比例函数，的图象还经过边上的中点，且，则_________． 【答案】 【分析】过点、分别作，，垂足为、，根据平行四边形的性质结合已知条件可得，根据反比例函数的的几何意义可得，进而可得，设点，则 ，进而根据面积关系列出方程，解方程求得的值，即可求解． 【详解】解：过点、分别作，，垂足为、， 是的中点， ， 四边形是平行四边形，， ， 点、在反比例函数的图象上， ， ， ， 设点，则 ， 即，，，， ， 解得． 27．在平面直角坐标系中，已知和点均在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点．求矩形的面积． 【答案】 【分析】根据点在反比例函数的图象上，得到反比例函数的解析式，进而根据反比例函数图象上任意一点向坐标轴作垂线，与坐标轴围成矩形的面积等于，即可得到答案． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴由题意得， ∴， 设点的坐标为， 矩形的面积． 知识点十根据图形面积求比例系数（解析式） 28．如图，第一象限的角平分线与反比例函数的图象交于点P．点A、点D分别在x轴和y轴的正半轴上，分别连接，若，且四边形的面积为4．则k的值为（     ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】C 【分析】过点P作 轴， 轴，可证四边形是正方形、 ，根据全等三角形的性质可知，根据正方形的面积公式可以求出点P的坐标为，用待定系数法求出反比例函数的解析式，即可得到k的值． 【详解】解：如下图所示，过点P作 轴， ， ∴四边形是矩形， ， ， ∵是第一象限的角平分线， ， ∴四边形是正方形， ， ， ， 在   和   中， ， ， ， 的坐标为，代入反比例函数 的解析式， 得：， ∴． 29．如图，的一条边轴于点A，且．若某反比例函数图象的一支经过点B，则该反比例函数的表达式为_________． 【答案】 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上任意一点向坐标轴作垂线，与坐标原点围成的三角形面积为，结合图象所在象限确定k的符号即可求解． 【详解】解：设反比例函数的表达式为， ∵点B在反比例函数图象上，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵反比例函数图象的一支在第二象限， ∴， ∴， ∴该反比例函数的表达式为． 30．如图，B为第一象限内一点，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足为A，C，E为的中点，函数的图象经过点E且交于点F，已知四边形的面积为2，求k的值． 【答案】 【分析】此题考查了反比例函数的系数的几何意义及矩形的性质与判定，连接，由四边形为矩形，可得，则，同理，再根据四边形的面积为即可求解， 解题的关键是正确理解系数的几何意义，运用数形结合的思想方法． 【详解】解：连接，    ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵为的中点, ∴， ∵在函数图象上， ∴， ∴， ∵四边形的面积为， ∴， ∵， ∴． 知识点十一求反比例函数解析式 31．若反比例函数的图象经过点，则的值为（     ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【分析】将点代入即可求解． 【详解】解：由题意得：． 32．已知是的反比例函数，当时，．则这个函数的解析式是__________． 【答案】 【分析】利用待定系数法计算即可得出结果． 【详解】解：∵是的反比例函数， ∴设这个函数的解析式是， ∵当时，， ∴， ∴， ∴这个函数的解析式是． 33．已知y与成反比例函数关系，且当时，．求y与x之间的函数关系式． 【答案】 【分析】设y与x之间的函数关系式为，进一步利用待定系数法求解即可. 【详解】解：设y与x之间的函数关系式为， 由题意，得，解得， ∴y与x之间的函数关系式为． 知识点十二反比例函数与几何综合 34．在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象经过点和点，轴于点，已知，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据可以求出，从而求出点、、的坐标，根据点、、的坐标求出的面积． 【详解】解：反比例函数的图象经过点和点， ，， ， ， 解得：， ，， 点的坐标是，点的坐标是， 如下图所示， 轴于点， 点的坐标是， ， ． 35．如图，在平面直角坐标系中，点，分别在函数和的图象上，若，且，则___________． 【答案】 【分析】根据建立等式，通过因式分解逐步求解即可． 【详解】解：由题意，，， ， ， 移项得，， ， ， ， ，且， ， ， ， 又，， ， ． 36．如图，在中，轴，点，，反比例函数的图象经过点C，且与边交于点E．若，求点E的坐标． 【答案】 【分析】设，则，根据平行四边形的性质，结合点A、D坐标可得，，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出，解方程求出a的值即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵在中，轴，，， ∴，，， ∵反比例函数的图象经过点C， ∴， 解得：， ∴． 知识点十三反比例函数、二次函数图象综合判断 37．在同一坐标系中，二次函数与的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴位置确定、的符号，进而判断的符号，结合反比例函数的图象性质进行排除． 【详解】解：对于二次函数，当时，故图象必过原点． A选项：抛物线开口向上，则；对称轴在轴右侧，即， ∵， ∴， 此时，反比例函数的图象位于第一、三象限，符合题意； B选项：抛物线开口向下，则；对称轴在轴左侧，即， ∵， ∴， 此时，反比例函数图象应位于第二、四象限，不符题意； C选项：抛物线开口向上，则；对称轴在轴左侧，即， ∵， ∴， 此时，反比例函数图象应位于第二、四象限，不符题意； D选项：抛物线开口向下，则；对称轴在轴右侧，即， ∵， ∴， 此时，反比例函数图象应位于第一、三象限，不符题意． 38．已知二次函数，反比例函数，若这两个函数的图象有三个不同的交点，且所有交点横、纵坐标都是整数，则符合条件的正整数a的值______． 【答案】16 【分析】本题考查了二次函数与反比例函数的综合问题，涉及交点问题，因式分解法解一元二次方程，根的判别式等知识点． 两函数解析式，联立方程组可得出，从而求出一根为，然后根据交点个数确定方程有两个不相等的实数根，则，根据交点横、纵坐标都是整数，则一定是完全平方数(设为)，整理得：，即：，一一代入求解即可． 【详解】解：联立，并整理得： ， ， 故其中一个根：， ∴a为正整数，方程有两个不同的实数根， ∴， 交点横、纵坐标都是整数，则一定是完全平方数(设为)， 即(k为正整数)，整理得：， 即：， 而， 当，时，解得： (舍去)； 当，时，解得：； 当，时， (舍去)； 故； 故答案为：． 39．如图，二次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点． (1)求这两个函数的表达式； (2)当随的增大而增大且时，直接写出x的取值范围； (3)平行于轴的直线与函数的图象相交于点、（点在点的左边），与函数的图象相交于点．若与的面积相等，求点的坐标． 【答案】(1)二次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可求解． （2）利用函数的性质结合图象即可求解． （3）根据点和点的坐标得出三角形等高，再根据面积相等得出，进而确定点是抛物线对称轴和反比例函数的交点，进而可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与反比例函数的图像相交于点， ∴，， 解得，， ∴二次函数的解析式为，反比例函数的解析式为． （2）∵二次函数的解析式为， ∴对称轴为直线， 由图象知，当随的增大而增大，且时， （3）∵当时，， ∴， ∵， ∴的边上的高与的边上的高相等， ∵与的面积相等， ∴， 即点是二次函数的对称轴与反比例函数的交点， 当时，， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数与反比例函数的综合、待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数和反比例函数的图象及性质和待定系数法求函数解析式是解题的关键． 知识点十四一次函数与反比例函数图象综合判断 40．若，互为相反数，则函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得，异号，分两种情况，根据一次函数与反比例函数的性质分析即可． 【详解】解：∵，互为相反数，且根据反比例函数的定义得， ∴，异号且均不为零， 当时，函数的图象过第一、三、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项符合； 当时，函数的图象过第一、二、四象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项． 41．如图，已知为直线上一点，过点作交反比例函数于点．若，则的值是______． 【答案】8 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象和性质以及等腰直角三角形的性质是解答本题的关键． 延长交轴于点，过点作轴于点，可得， 均为等腰直角三角形，设点的坐标为，可得点的坐标为，可得直线函数解析式，设点的横坐标为，则可得点的坐标，计算出，由即可求解出的值． 【详解】解：如图，延长交轴于点，过点作轴于点， ∵为直线上一点， ∴， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴， 设点的坐标为，则， ∴点的坐标为， 设直线函数解析式为， 把、代入得， ， 解得， ∴直线函数解析式为， 设点的横坐标为，则， ∴， ∵， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴． 故答案为：8． 42．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式及点的坐标； (2)观察图象，直接写出不等式的解集为__________． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）首先求出，然后代入求出；然后联立和求出或6，然后将代入即可得到； （2）找出图象中直线在反比例函数图象上方时x的范围即可． 【详解】（1）解：将代入得， ∴ ∴ 将代入得， ∴ ∴反比例函数的解析式为； 联立和得， 解得或6 ∴将代入得， ∴； （2）解：∵直线与反比例函数的图象交于、两点， ∴由图象得，当或时，直线在反比例函数图象上方， ∴不等式的解集为或． 知识点十五一次函数与反比例函数的交点问题 43．如图，一次函数的图象过点，若反比例函数的图象与线段只有一个交点，则的值不可能为（     ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据题意得出，，进而求得的坐标，分情况讨论，①当且反比例函数图象过点时，②当且反比例函数图象过点时，分别代入反比例函数解析式，求得的值，进而根据，得出的范围，即可求解． 【详解】解：∵一次函数的图象过点，， ，， ，． 反比例函数的图象与线段只有一个交点， ∴分两种情况讨论，①当且反比例函数图象过点时，此时， 当反比例函数的图象与线段只有一个交点时； ②当且反比例函数图象过点，此时， 当反比例函数的图象与线段只有一个交点时， ， ，， 不可能为，故选A． 44．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象交于点，则代数式的值为___________． 【答案】 【分析】根据反比例函数和一次函数的性质可得，，即，，再将所求式子进行变形，整体代入计算即可得出结果． 【详解】解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴． 45．已知反比例函数与一次函数的图象交于点． (1)求的值及反比例函数的解析式； (2)求这两个函数图象的另一个交点B的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将代入一次函数计算即可得出，再将代入反比例函数，计算即可得出解析式； （2）联立得，由此计算即可得出结果． 【详解】（1）解：将代入一次函数得， ∴， ∴， 将代入反比例函数得， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：联立得， 整理得， 解得，， ∴点的横坐标为， 当时，， ∴． 知识点十六一次函数与反比例函数的实际应用 46．某药品研究所开发一种抗菌新药，临床实验中测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系图象由一条线段和一段曲线组成，如图（当时，y与x成反比例）．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（    ）    A．4小时 B．6小时 C．8小时 D．10小时 【答案】B 【分析】分别求出线段与曲线的函数解析式，再求出函数值为4时对应的自变量x的值，即可求得此时持续时间． 【详解】解：时，设线段的解析式为， 由于线段过点，则有， 解得：， 即线段解析式为； 当时，设，把点代入中，得， 即， 当时，，得；当时，，得； ∴血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（小时）； 故选：B． 【点睛】本题是正比例函数与反比例函数的综合，考查了求函数解析式，已知函数值求自变量值，其中待定系数法求函数解析式是关键，注意数形结合． 47．某乐园计划建造一个水上滑梯项目，这个项目的主视图由传送带、平台和滑梯三部分组成，设计师为了便于研究相关数据，将这个主视图放在平面直角坐标系中，如图，轴，滑梯为双曲线的一部分，点坐标为，，、为两根竖直的支撑柱，，则两支撑柱之间的距离为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法，求出一次函数和反比例函数解析式．先用待定系数法求出一次函数解析式，再求出点，然后求出反比例函数解析式，再求出，最后求出结果即可． 【详解】解：设直线的解析式为，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴点， ∵点坐标为，，轴， ∴， 设双曲线的解析式为：，把代入得： ， ∴双曲线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴点， ∴． 故答案为：． 48．如图，一次函数与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点．    (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点在轴上，且的面积为，求点的坐标． 【答案】(1)，； (2)点的坐标为或． 【分析】（1）利用反比例函数图象上点的坐标的特征，求出点的坐标，代入即可； （2）首先求出点的坐标为，再根据的面积为，求出，即可解决问题． 【详解】（1）把代入得：， ∴反比例函数的解析式为，   把代入得：， ∴的坐标为， ∴，解得， ∴一次函数的解析式为， （2）把代入中，得， ∴点的坐标为 ∵点的纵坐标等于6， ∴， ∴， ∴点的坐标为或． 【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求函数解析式． 知识点十七实际问题与反比例函数 49．老李计划寻找一片空地打造稻鱼共生基地，已知老李家离这片空地300米，则老李从家骑自行车匀速行驶到空地的速度v（米/分钟）关于骑车时间t（分钟）的函数图象可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解，结合，可得答案. 【详解】解：∵老李家距离空地米， ∴，即， ∴速度（米/分钟）关于骑车时间（分钟）的函数图象为反比例函数图像，即为双曲线， ∴A、C选项不符合题意， ∵，， ∴B选项符合题意，D选项不符合题意. 50．函数是解决现实世界诸多领域问题的重要模型，其中反比例函数让我们能定量分析“此消彼长”的关系，而不是凭感觉判断．当电压一定时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，当电阻为时，电流是；若电流为时，电阻是______． 【答案】12 【分析】先求出反比例函数关系式，再将代入可得答案． 【详解】解：设反比例函数关系式为， 当时，， 解得， 反比例函数关系式为， 当时，， 解得． 51．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，如图1，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：cm）的反比例函数，当时，． (1)关于的函数表达式为_________． (2)若火焰的像高不得超过，求小孔到蜡烛的距离至少是多少？ 【答案】(1) (2)小孔到蜡烛的距离至少是． 【分析】（1）由题意设，再利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）由建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意设：， 把，代入，得， 关于x的函数解析式为：； （2）解：时， ， ， ∴， 答：小孔到蜡烛的距离至少是． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题13 反比例函数的图形、性质及应用（十七大题型51道题） 目录 知识点一判断（画）反比例函数图象 1 知识点二已知反比例函数的图象，判断其解析式 2 知识点三由反比例函数图象的对称性求点的坐标 3 知识点四已知双曲线分布的象限，求参数范围 4 知识点五判断反比例函数的增减性 5 知识点六判断反比例函数图象所在象限 5 知识点七已知反比例函数的增减性求参数 6 知识点八比较反比例函数值或自变量的大小 6 知识点九已知比例系数求特殊图形的面积 7 知识点十根据图形面积求比例系数（解析式） 8 知识点十一求反比例函数解析式 9 知识点十二反比例函数与几何综合 9 知识点十三反比例函数、二次函数图象综合判断 10 知识点十四一次函数与反比例函数图象综合判断 11 知识点十五一次函数与反比例函数的交点问题 12 知识点十六一次函数与反比例函数的实际应用 12 知识点十七实际问题与反比例函数 14 知识点一判断（画）反比例函数图象 1．李明需要制作一个底面积为的长方体无盖纸盒，底面矩形的一边长y（单位：）与其邻边长x（单位：）之间的关系可以用图象大致表示为（    ） A． B． C． D． 2．函数的图像经过的象限是______． 3．一次函数与反比例函数的图象有一个交点，且该交点横坐标为1． (1)求这两个函数的表达式； (2)在同一直角坐标系中画出这两个函数的图象，并求出一次函数值大于反比例函数值的的取值范围． 知识点二已知反比例函数的图象，判断其解析式 4．如图所示的图象对应的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 5．如图为反比例函数的图象，则k的值可以为______．（写出符合图象特征的一个值即可） 6．如图，，两点在反比例函数的图象上，，两点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，，，，求的值． 知识点三由反比例函数图象的对称性求点的坐标 7．如图，过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，若点，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 8．直线与双曲线交于，两点，则________． 9．如图，M，N是函数图象上的两点，且线段过原点O，平行于y轴，平行于x轴，求的面积． 知识点四已知双曲线分布的象限，求参数范围 10．如图，是反比例函数的图象，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 11．若反比例函数的图象有一支在第三象限，则的取值范围是________． 12．已知反比例函数（k为常数）的图象位于第二、四象限，求k的取值范围． 知识点五判断反比例函数的增减性 13．反比例函数的图象如图所示，随着值的增大，的值（     ）． A．减小 B．增大 C．不变 D．先减小后不变 14．已知反比例函数，点在这个函数的图象上，那么当时，y随x的增大而______．（增大或减小） 15．已知点，在反比例函数的图象上，当时，，求m的取值范围． 知识点六判断反比例函数图象所在象限 16．若反比例函数的图象经过点，则它的图象分别位于（     ） A．第一、第二象限 B．第二、第四象限 C．第一、第三象限 D．第三、第四象限 17．当时，则反比例函数的图象在第_________象限． 18．指出下列反比例函数的图象所在的象限，并说明在每个象限内，y的值随x的值的增大而变化的情况． (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点七已知反比例函数的增减性求参数 19．反比例函数的图象在每一个象限内，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 20．选一个数作为m的值，使关于x的函数的图象在每个象限y随x的增大而增大，则m的值为________． 21．已知反比例函数的图象在每一个象限内，都随的增大而增大． (1)求的值． (2)当时，求的取值范围． 知识点八比较反比例函数值或自变量的大小 22．若点都在反比例函数的图象上，则有（     ） A． B． C． D． 23．已知点，在反比例函数的图象上，若，则，的大小关系是________．（填“>”“<”或“=”） 24．如图，已知反比例函数的图象经过，两点． (1)判断是正数还是负数． (2)比较与的大小． 知识点九已知比例系数求特殊图形的面积 25．如图是反比例函数的一部分图象，已知该图象过点，点P是图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，则的面积是（     ） A．6 B．2.5 C．3 D．2 26．如图，的边在轴上，若过点的反比例函数，的图象还经过边上的中点，且，则_________． 27．在平面直角坐标系中，已知和点均在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点．求矩形的面积． 知识点十根据图形面积求比例系数（解析式） 28．如图，第一象限的角平分线与反比例函数的图象交于点P．点A、点D分别在x轴和y轴的正半轴上，分别连接，若，且四边形的面积为4．则k的值为（     ） A．2 B． C．4 D．8 29．如图，的一条边轴于点A，且．若某反比例函数图象的一支经过点B，则该反比例函数的表达式为_________． 30．如图，B为第一象限内一点，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足为A，C，E为的中点，函数的图象经过点E且交于点F，已知四边形的面积为2，求k的值． 知识点十一求反比例函数解析式 31．若反比例函数的图象经过点，则的值为（     ） A． B．6 C． D． 32．已知是的反比例函数，当时，．则这个函数的解析式是__________． 33．已知y与成反比例函数关系，且当时，．求y与x之间的函数关系式． 知识点十二反比例函数与几何综合 34．在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象经过点和点，轴于点，已知，则的面积为（     ） A． B． C． D． 35．如图，在平面直角坐标系中，点，分别在函数和的图象上，若，且，则___________． 36．如图，在中，轴，点，，反比例函数的图象经过点C，且与边交于点E．若，求点E的坐标． 知识点十三反比例函数、二次函数图象综合判断 37．在同一坐标系中，二次函数与的图象可能是（     ） A． B． C． D． 38．已知二次函数，反比例函数，若这两个函数的图象有三个不同的交点，且所有交点横、纵坐标都是整数，则符合条件的正整数a的值______． 39．如图，二次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点． (1)求这两个函数的表达式； (2)当随的增大而增大且时，直接写出x的取值范围； (3)平行于轴的直线与函数的图象相交于点、（点在点的左边），与函数的图象相交于点．若与的面积相等，求点的坐标． 知识点十四一次函数与反比例函数图象综合判断 40．若，互为相反数，则函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象是（     ） A． B． C． D． 41．如图，已知为直线上一点，过点作交反比例函数于点．若，则的值是______． 42．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式及点的坐标； (2)观察图象，直接写出不等式的解集为__________． 知识点十五一次函数与反比例函数的交点问题 43．如图，一次函数的图象过点，若反比例函数的图象与线段只有一个交点，则的值不可能为（     ） A． B． C．3 D．4 44．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象交于点，则代数式的值为___________． 45．已知反比例函数与一次函数的图象交于点． (1)求的值及反比例函数的解析式； (2)求这两个函数图象的另一个交点B的坐标． 知识点十六一次函数与反比例函数的实际应用 46．某药品研究所开发一种抗菌新药，临床实验中测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系图象由一条线段和一段曲线组成，如图（当时，y与x成反比例）．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（    ）    A．4小时 B．6小时 C．8小时 D．10小时 47．某乐园计划建造一个水上滑梯项目，这个项目的主视图由传送带、平台和滑梯三部分组成，设计师为了便于研究相关数据，将这个主视图放在平面直角坐标系中，如图，轴，滑梯为双曲线的一部分，点坐标为，，、为两根竖直的支撑柱，，则两支撑柱之间的距离为_________． 48．如图，一次函数与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点．    (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点在轴上，且的面积为，求点的坐标． 知识点十七实际问题与反比例函数 49．老李计划寻找一片空地打造稻鱼共生基地，已知老李家离这片空地300米，则老李从家骑自行车匀速行驶到空地的速度v（米/分钟）关于骑车时间t（分钟）的函数图象可能为（     ） A． B． C． D． 50．函数是解决现实世界诸多领域问题的重要模型，其中反比例函数让我们能定量分析“此消彼长”的关系，而不是凭感觉判断．当电压一定时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，当电阻为时，电流是；若电流为时，电阻是______． 51．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，如图1，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：cm）的反比例函数，当时，． (1)关于的函数表达式为_________． (2)若火焰的像高不得超过，求小孔到蜡烛的距离至少是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $