【培优专题】第28章 与旋转有关的几何探究2026-2027学年人教版数学九年级上册

与旋转有关的几何探究 1.(26-27九年级上黑龙江期中)在平面直角坐标系中， A(-1,2)B(5,2) 点C是线段AB的中点， 若将线段AB绕着原点O旋转105°，则点C的对应点的坐标为() A.（2,-6)或2，v6) B.（6,5)或2，-6 c.（26)或6，-2) D.(6,2)威6,2) 2.(26-27九年级上：黑龙江·期中)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到 △AB'C" B,C',B'C' BC D CC ,点B,C的对应点分别为 的延长线与边相交于点，连接.若 AC=8.CD=6 CC ,则线段的长为() A C B D 8 A.10 B.5 号 . 3.(26-27九年级上河北张家口阶段检测)如图，正方形ABCD边长为1，点M是对角线AC上一点， CM=BC,连接BM,将BM 90° 6M绕点B顺时针旋转，得到 BN,BN DC 的延长线与的延长线交于点E, 则CE长为() D E 2W2-1 A.2-V2 B人② 2 C.7 D.V2-1 试卷第1页（共3页） 4.(26-27九年级上·宁夏银川阶段检测)如图，在Rt△AB0中，∠AB0=90°，AB=OB,顶点A的坐 标为20，以4B为边向A180的外侧作正方形ABCD,将组成的图形绕点0递时针旋转，每次旋转45° 则第2026次旋转结束时，点D的坐标为() A.(1,-3) B.（-1,3) c.（1,2+2) D.(3,) 5.(2627九年级上甘肃期中)如图，已知等边0MB的顶点0Q0,40,49,将该三角形绕点0顺 时针旋转，每次旋转60°，则旋转2025次后，顶点B的坐标为 6.(26-27九年级上四川达州阶段检测)如图，在正方形ABCD中，AB=7,E为AB边上一点，点F 在BC边上，且BF=3,将点E绕着点F顺时针旋转9O°得到点G,连接DG,则DG的长的最小值为一 G B 7.(2026九年级上·全国·专题练习)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=3,将△ABC绕点 A逆时针旋转得到△AB'C',点B,C的对应点分别为B,C',且旋转角为锐角，连接CC',当点B恰好 落在直线B'C上时，线段CC的长为一 试卷第2页（共3页） B' B 8.(26-27九年级上福建福州阶段检测)如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC边上一动点， 连接AP,把线段AP绕点A逆时针旋转45°到线段AQ,连接BQ,则线段BQ的最小值为 D P B 9.(26-27九年级上辽宁沈阳阶段检测)如图，正方形ABCD边长为1，点M是对角线AC上一点， CM=BC,连接BM,将BM绕点B顺时针旋转9O°，得到BN,BN的延长线与DC的延长线交于点E, 则CE长为 D M 10.(26-27九年级上·重庆阶段检测)如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE,将AE绕 点E顺时针旋转90°得到FE,连接DF.若AB=6,BE=2,则DF的长度为 D B E 11.(26-27八年级上江苏南京阶段检测)如图：O是等边△ABC内一点，线段OC以C为旋转中心顺时 针旋转60°得到CD,连接OD、OA、OB、AD,若∠AOB=100°，当△AOD是等腰三角形，则 ∠BOC=度. 试卷第3页（共3页） 12.(26-27九年级上河南郑州阶段检测)如图，菱形ABCD的边长为12，∠ADC=120°，E是边 AD的中点，F是边AB上的一个动点，连接EF,将线段EF绕着点E逆时针旋转6O°得到EG,连接 BG,CG,则BG+CG的最小值是 D C E G B 13。.(26-27八年级上河南郑州阶段检测)如图，在△1BC ，MB=BC=B,BO是△MBC 的中线， 且OB=2.将△BOC绕点O顺时针旋转a得到aDOE(0°<a<180°)，其中点B,C的对应点分别为点 DEOE⊥AB DE OA AB M F DO ，.当 时，垂足为”，线段分别与线段“， 交于点“，.在射线上取一点 G,在射线BO上取一点H,使OH=OG.当以点A,G,H为顶点的三角形是直角三角形，且GH为 直角边时，线段BH的长为 B 14.26-27九年级上河北保定阶段检测)如图，将正方形ABCD绕点A逆时针旋 a(0°<a<90 )后 得到正方形AEFG, 试卷第4页（共3页） P B 图1 图2 (I)如图1，过点D作DP⊥AE于点P,过点B作BO⊥AE于点，求证：AP=BO, (2)如图2，连接DE,DF,若a=30°，求∠DFE的度数. 15.(26-27九年级上·福建福州阶段检测)在Rt△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，将线段CA绕点C 逆时针旋转a(O°<a<90°)得到线段CD,连接AD,BD D D 图1 图2 图3 (1)如图1，当a=30°，CD=2时，求DB的长度； (2)如图2，将线段CA绕点C顺时针旋转B(0°<B<90°)得到线段CE,连接AE,BE,线段BE交线 段AC于点F ①求LBFC的度数；（用含P的式子表示） ②如图3，当a=4S°，过点C作CP⊥BE于点P,过点D作D卫1BE于点Q,探究AE与P№之间的数量关 系是否随B变化而变化若不变，证明AE与PQ的数量关系；若改变，请说明理由： 试卷第5页（共3页） 16.(26-27九年级上广东广州阶段检测)已知点E为边长为2的正方形ABCD内部一点，且满足 AB=BE,连接AE,CE,DE, A B O D D F 图1 图2 (I)如图1，若CE=BE,则∠AEC= ,若CE≠BE,则∠AEC= (2)如图2，将线段DE绕点D顺时针旋转90°到DF,连接AF,延长CE交AF于点M,探究线段AM, MF的数量关系，并证明. (3)在满足(2)条件下，点O是线段AE的中点，求线段OM的最小值. 试卷第6页（共3页） 17.(26-27九年级上·湖南长沙阶段检测)按要求完成以下问题 图1 图2 图3 (①)【探究与思考】己知，点P是等边△ABC内的任一点，连接PA,PB,PC.如图1所示，已知 ∠APB=150°∠BPC=120°△BPC, ，将 绕点C按顺时针方向旋转60°得△10C ①∠DCP=: ②用等式表示线段PA,PB,PC之间的数量关系，并证明； 因【证移与应用】点P是等腰直角三角形BC内一点，BC=90”且PB=,心=3，PA=而，连 P 接PA,PB,PC,求∠BPC的度数以及四边形ABCP的面积。 (3)【拓展与创新】如图3，在△ABC中，AB=AC,P为△ABC内一点，∠APB=∠BAC=120°.若 试卷第7页（共3页） AP+BP=1,求PC的最小值. 18.(26-27九年级上·北京西城阶段检测)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC>AC,以BC为斜 边在BC上方作等腰直角△BCD.连接AD,将线段DA绕点D顺时针旋转9O°得到线段DE,连接CE. D B (I)依题意补全图形，并证明：AB=CE: (2)点G、H分别是AB、CE的中点，连接GH.猜想线段BC、AC、GH满足的数量关系，并证明. 试卷第8页（共3页） 19.(26-27九年级上湖北襄阳阶段检测)按要求解答： (I)【问题发现】在数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC, ∠BAC=90°，点D在BC上，连接AD,探究AD,BD,CD之间的数量关系.王林思考片刻后，利用 手拉手模型解答问题如下： 图1 如图2，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE,连接CE,DE,易证△ABD≌△ACE, =CE ZABD=LACE=45°LDCE=90°RtaDCE中，CD+CE=DE ,在 ,由 ∠DAE=90° 可得DE=2D,则MD,BD,CD之 之间的数量关系为一： D 图2 试卷第9页（共3页） (2)如图3，当点D在线段BC的延长线上时，请问(I)中的结论还成立吗？请作出判断，并写出你的推导过 程 图3 20.(26-27九年级上·辽宁大连期中)如图，AD是等边△ABC的中线，点E在线段AD上运动（点E不 与点A,D重合)，将线段BE绕点E顺时针旋转，使点B的对应点F落在射线CA上. A(F) D D (图1) (图2) (图3) (I)如图1，当点F与点A重合时，求∠BEF的度数： (2)如图2，当点F在CA的延长线上时，求∠BEF的度数： BE (③)如图3，当点F在边CA上时，若AE=2√3AF,求AB的值. 试卷第10页（共3页） 21.(26-27九年级上辽宁盘锦阶段检测)在△ABC中，AB=AC,，∠BAC的角度记为a. 6 图1 图2 备用图 (I)【发现】如图1，若a=60°，点D为边BC上一点，连接AD,将线段AD绕点A逆时针旋转a至AE 位置，连接DE,CE ①△ADE的形状为， ②填空：BD与CE的数量关系： ∠BCE= ° (2)【论证】如图2，若&=90°，点D为边BC延长线上一点，连接AD,将线段AD绕点A逆时针旋转C 至AE位置，连接DE,CE ①试判断BD和CE的数量关系，并说明理由； ②求∠BCE的度数. (③)【拓展】若a=90°，BC=4,将“点D为边BC延长线上一点”改为“点D为直线BC上一点”，其 余条件不变，当CD=l时，直接写出△CDE的周长 试卷第11页（共3页） 22.(26-27九年级上·北京阶段检测)如图，在等边ABC中，D是BA的延长线上一动点，连接CD,点 E在线段CD上（不与端点重合），将射线BE绕点B逆时针旋转6O°得到的射线与射线CA交于点F, D D A 图1 备用图 (I)依题意补全图1，并证明∠BFC=∠ABE: (2)若AF-AD=BC,判断点E的位置，并证明. (3)在(2)的条件下，连接AE.若等边△ABC的边长为3，当线段AE的长取得最小值时，直接写出此时 线段AD的长. 试卷第12页（共3页） 23.(26-27八年级上辽宁沈阳阶段检测)定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对 的直角边等于斜边的一半 例如：直角三角形ABC中，A=90,∠B=30°，BC=6则∠B所对的边4C=BC=×6-=3 21 可以解决下列问题 A 图① 图② 图③ 【问题引入】 (I)如图①，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE(点B、C的对应点分别为点D、E),连接 BD,若AB=2,求BD的长； 【衍生拓展】 (2)如图②，在△ABC中，AC=BC,AB=6,将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△MDE(点B、C的对应 点分别为点D、B),连接CD,CD=V5 时，求MC的长： 【深入探究】 (3)如图③，在边长为6的等边三角形ABC中，D是AC的中点，E是BC所在直线上一动点，连接DE, 试卷第13页（共3页) 将线段DE绕点D按逆时针方向旋转9O°得到线段DF,连接AF、EF,在点E运动的过程中，当点A、 D、F在同一直线上时，直接写出线段AF的长. 24.(26-27九年级上·北京·阶段检测)在等腰△ABC中，AB=AC,点D是射线CA上任意一点，连接 BD B B A 图1 图2 (I)如图1，∠BAC=90°，过点C作CG⊥BD于点G,CG交AB于点K,AK=1,BD=3,求线段BC的 长： (2)如图2，∠BAC>90°，∠DBC=∠BAC,点E是线段AD上一点，连接BE,将线段BE绕点B顺时针 旋转得到线段BF,使得∠EBF+∠DBC=18O°，连接CF交AB于点H.猜想DE和BH的数量关系，并 证明. 试卷第14页（共3页） 25.(26-27九年级上·北京阶段检测)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=a,点D在BC上 (与点B、C不重合)，过点D作DE⊥AB于点E.连接CE,AD,将DA绕点D逆时针旋转I8O°-2a 得到DF,连接AF、BF. E B (I)①依题意补全图形；②求证：AE=BE+BF (2)用等式表示线段AF与CE的数量关系，并证明. 试卷第15页（共3页) 26.(26-27八年级上四川成都阶段检测)结合图形解答下列各题： A E B 图1 图2 图3 (①)如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC,O为AC边的中点，E为边AB上一动点（点E不 与A、B重合)，将射线OE绕点O逆时针90°，所得射线与BC交于点F,连接EF,猜想线段AE, CF,EF之间的数量关系并证明. 【类比迁移】 (2)如图2，在Rt△ABC中∠ABC=90°，若AB≠BC,(1)中其他条件不变，上面的结论是否成立？请 说明理由. 【拓展应用】 (3)如图3，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，O为AC边的中点，E为边AB所在直线上一动点（点E不与 A、B重合)，将射线OE绕点O逆时针90°，所得射线与边BC所在直线交于点F,连接EF,AB=3, BC=5,CF=2,求EF的长， 试卷第16页（共3页） 27.(26-27九年级上江西期中)【基础回顾】(1)如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以 点A为中心，将△ADE顺时针旋转90°后得到△ABE'.如图1，若连接EE',则△AEE的形状为一 D OD E B C B B P 图1 图2 图3 【变式探究】(2)如图2，在(1)条件下，设EE与AB相交于P,在AD上取点Q,使D0=BP,连接 QE E与EP 猜想 数量关系，并给予证明： 【联想拓展】(3)如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC.点P是BC上一点，则AP,BP,CP 之间存在的数量关系为 试卷第17页（共3页) 28.(26-27九年级上贵州期中)已知△ABC,∠C=90°，BC=3,AC=4,将△ABC绕点B旋转得到 △ABC,点A的对应点为A',点C的对应点为C',连接AA'. B ()如图，将△ABC绕点B逆时针旋转90°，则AA的长为一： (2)当点C落在直线AB上时，求AA'的长， 试卷第18页（共3页） 29.(26-27九年级上·山西运城阶段检测)综合与探究 问题情境：如图1，∠MPW的顶点在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠MPN=90°，将∠MPN绕点 P旋转，旋转过程中，∠MPN的两边PM,PW分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E,F(点F 与点C,D不重合).探索线段DE,DF,AD之间的数量关系. B B E M M 图1 图2 图3 (I)推理证明：求证：△APE≌△DPF,并写出线段DE,DF,AD之间的数量关系： (2)拓展延伸：如图2，将图1中的正方形ABCD改为∠ADC=120°的菱形，∠MPN=60°，其他条件不变， 探究下列问题： ①请你写出线段DE,DF,AD之间的数量关系，并说明理由： ②如图3，当菱形的边长为8，点P在线段BD上且运动至与A点距离恰好为7的位置，当∠EPF旋转至 DF=3 时，请直接写出DE的长度. 试卷第19页（共3页） 30.(26-27八年级上：四川成都阶段检测)如图，等腰直角△ABC和等腰直角△ECD,AE的延长线与直 线BD交于点F B B E F E ■ C D 图1 图2 (I)如图1，当点F在线段BD上时，求证：AE=BD,AE⊥BD; (2)将等腰直角△ECD绕点C旋转一周. ①如图2，当点D在直线BC右侧时，判断AF,CF,BF的数量关系并证明： ②当BCE=75”时，若MC=32,CE=2,求Sm ,求 试卷第20页（共3页） 参考答案 题号 1 2 3 4 答案 B B D B 1.B 【分析】由于C是B的中点，故C(22 ,将点C绕原点旋转105°（考虑逆时针和顺时针两种方向）， 利用旋转的性质计算对应点坐标. A(-1,2）B(5,2) 【详解】解： .C为AB中点， sd) 即C(2,2) 如图所示，连接点O与点C, 4 0 4-3-2-10N2345 2 3 -4F 则0C=2+2=25,且0C为第一象限角平分线， 将线段AB绕着原点O旋转105°， 即将线段0C绕原点0旋转105°： 当顺时针旋转105°时，OC旋转至OF,则∠COF=105°， 过点F作x轴垂线，与x轴交于点Q, 由于点C与x轴的夹角为45°，则∠00F=105°-45°=60°， t△QOF ∠0F9=30°0F=0C=2W2 在 中，则 00=5or=5, 由勾股定理可得，F=VOF2-OQ=V6 答案第1页（共2页） 放F(26) 当逆时针旋转105°时，OC旋转至OE,则∠COE=105°， 过点E作y轴垂线，与y轴交于点P, 由于点C与y轴的夹角为45°，则∠P0E=105°-45°=60°， 在R△POE中，∠P0E=60°，则∠0EP=30,0B=0C=25 .0P=0E=V2 由勾股定理可得， PE=OE2-OP2=6 故V6,v2). 综上所述，将线段B绕者原点0旋转10s°，则点C的对应点的坐标为6，V2)成(2,6) 2.B 【分析】连接AD,交CC'于点O,先证出Rt△ACD≌Rt△ACD,根据全等三角形的性质可得 CD=CD=6 AD CC" C'=2OCAD⊥CC ,再证出垂直平分，则可得 ,然后利用勾股定理和三角形的 面积公式求出OC的长，由此即可得。 【详解】解：如图，连接AD,交CC于点O, B BD 由旋转的性质得：AC'=AC=8,∠AC"B=∠ACB=90°， .∠AC'D=90°， 在RtAAC'D和RIAACD中， 「AD=AD AC"=AC 答案第2页（共2页） Rt△AC'D≌RtAACD(HL) .'.CD=CD=6, .AD垂直平分CC', .CC'=20C,AD⊥CC, :∠ACB=90°，AC=8,CD=6. 4D=4C2+CD=10 :Sm54000=4C-D, :0C=4C-CD24 AD 5 ..CC"=2x 2448 55· 3.D 【分析】连接CN,利用旋转性质证明△ABM≌aCBN,得出CN=AM及∠BCN=4S°，通过角度计算证 明aCNE为等腰三角形，从而CE=CN. 【详解】解：连接CN, D M C N E ,正方形ABCD边长为l, :.AB=BC=l,∠ABC=90°，∠BAC=∠BCA=45°AC=VP+P=V2CM=BC=1 ∠ABC=∠BCD=90° AM=AC-CM=2-1 ,BM绕点B顺时针旋转90°得到BN, 答案第3页（共2页） .BM=BN,∠MBN=90° .∠ABM+∠MBC=90°，∠CBN+∠MBC=90°. .∠ABM=∠CBN 在△ABM和aCBN中， AB=CB ∠ABM=∠CBN BM=BN △ABM≌ACBN(SAS) :CW=AM=2-1.∠BCN=∠BAM=45 ,E在DC延长线上， ∴.∠BCE=90° ∴.∠NCE=∠BCE-∠BCN=45o 在△BCM中，BC=CM,∠BCM=45°， :<CBM=180°-45 =67.5° ∴.∠CBE=∠MBN-∠CBM=90°-67.5°=22.5° 在R1aBCE中，∠E=90°-∠CBE=67.5° :∠CNE是△BCN的外角， .∠CNE=∠CBE+∠BCN=22.5°+45°=67.5° .∠CNE=∠E :CE=CW=2-1 4.B 【分析】由AB=OB、∠ABO=90°确定点B的坐标，再求出正方形顶点D的坐标；旋转周期为 45°×8=360°，用2026除以8的余数确定等效旋转角，进而求旋转后点D的坐标。 【详解】解：如图，过点D作DH⊥x轴于H, A ,顶点的坐标为 A (2,0) ∴.OA=2, 答案第4页（共2页） 在Rt△AB0中，AB=OB,OA=2, ∴.OB2+AB2=OA=4 :.0B=AB=2 ∠0AB=45°， :四边形ABCD是正方形， AD=AB=V2∠BAD=90° .∠DAH=180°-∠OAB-∠BAD=45°， “△ADH是等腰直角三角形， .AD2=AH2+DH2,AH=DH, ∴.AH=DH=1, .OH=OA+AH=2+1=3, ∴D(3,1) ,每次绕点0逆时针旋转45°，而45°×8=360°， 旋转8次图形回到原位置，即每旋转8次为一个循环， .2026=8×253+2, ∴第2026次旋转结束时，相当于把原图形绕点0逆时针旋转2×45°=90°， 如图所示， B GO D0=D0∠DOD=90° 则 DG⊥x, 轴于G,则 ∠DG0=∠DH0=90° 作 :∠D,OG+∠DOH=90°∠DOH+∠ODH=90° 答案第5页（共2页） ∴.∠D,OG=∠ODH ∴.ADOG2aODH(AAS) :.DG=OH=3 OG=DH=1 D(-13) “点D绕点0逆时针旋转90°后的对应点为-，3) 故选：B 5.（25-2 【详解】解：过点B作BCLy轴于点C,如图： :40,4) ∴0A=4, ,△OAB是等边三角形， ∴.0B=OA=4,∠A0B=60°， 在RtAOBC中，∠AOB=60°，则∠0BC=90°-60°=30°， :0C=)0B=2, 2 BC=VB02-0C2=23 点B25,2】 每次旋转60°，则旋转一周要：360°÷60°=6（次）， 2025÷6=337..3 ∴旋转2025次相当于旋转337周后又旋转了3次，即又旋转了60°×3=180°， 答案第6页（共2页） ·点B(2,5,2绕原点顺时针旋转180°后，横，纵坐标都变为原来的相反数。 旋转2025次后，顶点B的坐标为25，-2) 6.4 【分析】过点G作GH LBC,利用一线三等角模型，证明 EBF≌△FHG(AAS ,推出BF=G=3,可得 点G在与BC平行且与BC的距离为3的直线上，进而可得当点G在CD边上时，DG最小. 【详解】解：过点G作GH⊥BC,垂足为H, B F .∠GHF=90° ,四边形ABCD是正方形， ∴.AB=CD=7,∠B=90°， .∠B=∠GHF=90° 由旋转得：EF=FG,∠EFG=90°， .∠EFB+∠GFH=90° ,∠BEF+∠BFE=90°， ∴.∠BEF=LGFH. .△EBF≌△FHG(AAS) .∴.BF=GH=3, ∴点G在与BC平行且与BC的距离为3的直线上， .当点G在CD边上时，DG最小且DG=7-3=4, ∴.DG的最小值为4. 24 1.5 【分析】连接BC,令AB与CC的交点为O,结合旋转的性质，证明 tABCS≌RtABC(HL),得到 BC'=BC,从而得出AB垂直平分CC',由勾股定理可得AB=5,再结合三角形面积公式求解即可. 答案第7页（共2页） 【详解】解：如图，连接BC,令AB与CC'的交点为O, 点B恰好落在直线B'C上， B、C、B三点共线， ∠AC'B+∠AC'B=180°， 由旋转的性质可知，AC=AC',∠ACB'=∠ACB=90° .∠ACB=90°」 在Rt△ABC和RIAABC中， AB=AB AC'=AC, RtAABC'≌Rt△ABC(HL) .'BC'=BC, 又：AC=AC, .AB垂直平分CC, .CC'=2OC,0C⊥AB, ∠ACB=90°，AC=4,BC=3, AB=VAC2+BC2=5 Sawe-CBC 1 2B-0C, :0c=12 5, CC'=20c=24 84-22 【分析】连接AC,在AC上找一点E,使得AE=AB,过点E作EF⊥BC交于点F,连接PE,根据正 答案第8页（共2页） CE=AC-AE=42-4 方形的性质以及勾股定理可得 ，证明△CEF 为等腰直角三角形，可得 BF=425,可T所△心C代A),可相到观=E.从而符到当点P与点直合时，PE取得 4-2W2 最小值，最小值为 ,即可求解. 【详解】解：如图，连接AC,在AC上找一点E,使得AE=AB,过点E作EF⊥BC交于点F,连接 PE, D P B 在边长为4的正方形ABCD中，AE=AB=BC=4,∠CAB=∠ACB=45,∠ABC=90° AC=JAB2+BC=4 .CE=AC-4E-4-4 .EF⊥BC,∠ACB=45°. .ACEF为等腰直角三角形， ..CF=EF, ,CE=V√2EF=4vN2-4 EF=4-22 ·把线段AP绕点A逆时针旋转45°到线段A0, .AP=A0,∠PAg=∠PAB+∠BAQ=45°， .∠CAB=∠PAB+∠PAE=45°， .∠PAE=∠BAQ, 答案第9页（共2页） 在△AEP和△ABO中， AE=AB,∠PAE=∠BAQ,AP=AQ. ,△AEP≌△ABQ(SAS) ∴BQ=PE, :P是BC边上一动点， EF⊥BCEF=4-2W2 :PE≥BF,即PE≥4-25 当点P与点F重合时， PE取得最小值，最小值为4-25 BO 4-2W2 即的最小值为 92-1 【分析】根据正方形的性质得到∠ACB=45°，由CM=BC得到△CMB是等腰三角形，从而推出∠CMB 和∠CBM的度数，根据旋转，得到∠MBW=90°，从而推出∠CBE=∠ABM=22.5°.延长CE至点F,使 得∠CBE=∠EBF=22.5°，过点E作EG⊥BF,则∠CBF=45°，CE=EG,从而得到△BCF为等腰直角 三角形，设CE为x,则可以表示出EG,EF,利用△BEF面积的两种表达式作等量关系求解x,即可得 到CE的长， 【详解】解：正方形ABCD边长为l, .BC=1,∠ABC=∠BCD=90°，∠ACB=45°， :点M在对角线AC上且CM=BC=1, △CMB是等腰三角形， 20MB=∠cM=200-459)-675 :BM绕点B顺时针旋转90°得到BN, ∴.BM=BN,∠MBN=90° ∴.∠ABM=∠ABC-∠CBM=90°-67.5°=22.5° ∠CBN=∠MBN-∠CBM=90°-67.5°=22.5° 如图，延长CE至点F,使得∠CBE=∠EBF=22.5°，过点E作EG⊥BF.则∠CBF=45°，△BCF为等 答案第10页（共2页） 腰直角三角形. D M B 在 中， E Rt△BCF BC=CF=1 BF=+1=2 设CE=x,则EF=CF-CE=I-x, :BE平分∠CBF, ∴由角平分线的性质，EG=CE=x, Sm你BG-3FBC, 2 2x=0-x1, :2 2 .V2x=1-x 1 鲜得x=2+2-1,甲CE=5-1 10.2V5 【分析】过点F作FM⊥BC,交BC延长线于点M,作FN⊥CD于点N,先证出△MEF≌aBAE,则 EM=AB=6,FM=BE=2,再得出CN=FN=CM=2,进而可得DN=4,然后在Rt△DFN中，利用 勾股定理求解即可. 【详解】解：如图，过点F作FM⊥BC,交BC延长线于点M,作FN⊥CD于点N, D B .∠DNF=∠CNF=∠M=90° ,四边形ABCD是正方形，AB=6, 答案第11页（共2页) .BC=CD=AB=6,∠B=∠BCD=90°， ∴.∠DCM=180°-∠BCD=90°，∠BAE+∠AEB=90°， ∴.四边形CMFN是矩形， 由旋转的性质得：∠AEF=90°，EF=AE, .∠MEF+∠AEB=90°. ∴.∠MEF=∠BAE, 在△MEF和△BAE中， [∠M=∠B=90° ∠MEF=∠BAE EF=AE ,△MEF≌△BAE(AAS) ∴.EM=AB=6,FM=BE=2, ..CM=BM-BC=BE+EM-BC=2=FM, ∴.矩形CMFN是正方形， ..CN=FN=CM=2. ∴.DN=CD-CN=4. 在Rt△DFN中，DF=VDN2+FW2=V42+2=2V5 11.100或130或160 【分析】由等边三角形的性质得AC=BC,∠ACB=6O°，由旋转得CD=CO,∠DCO=60°，则△OCD 是等边三角形，所以∠COD=∠CD0=6O°，推导出∠ACD=∠BC0,再证明△ACD≌△BCO,则 ∠ADC=∠BOC=60°+∠ODA,再分三种情况讨论，于是得到问题的答案.。 【详解】解：：△ABC是等边三角形， .AC=BC,∠ACB=60°， :线段OC以C为旋转中心顺时针旋转60°得到CD, .CD=C0.∠DCO=60° aOCD是等边三角形，∠ACD=∠BC0=60°-∠AC0, .∠COD=∠CD0=60°， 在△ACD和△BCO中， 答案第12页（共2页) AC=BC ∠ACD=∠BCO CD-CO △ACD≌△BCO(SAS) ∴.∠ADC=∠BOC=60°+∠ODA. 当OA=OD时，则∠ODA=∠OAD, .∠AOD=180°-2∠ODA, :∠AOB+∠BOC+∠COD+∠AOD=360°，且∠AOB=100°， .100°+60°+∠0DA+60°+180°-2∠ODA=360° .∠ODA=40°， .∠B0C=∠ADC=60°+40°=100°. 当OA=AD时，则∠AOD=∠ODA, .100°+60°+∠ODA+60°+∠ODA=360°. .∠ODA=70°， ∠B0C=60°+70°=130°： 当0D=AD时，则∠A0D=∠0AD-80-∠0D=90-3<00A :1000+60+∠0DA+60°+900-1Z0DA=3600 .∠ODA=100°， ∴.∠B0C=60°+100°=160° 综上所述，∠B0C的度数为100°或130°或160°， 故答案为：100或130或160， 12.6V6 【分析】取AB的中点N,连接E,GN,连接EC,根据EG+CG=BG+CG≥EC.当点G,点E, 点C三点共线时，BG+CG的值最小，且最小值为EC,过点E作EM⊥CD交CD的延长线于点M,利用 勾股定理求解即可 【详解】解：取AB的中点N,连接EN,GN,如图， 答案第13页（共2页） M D G 菱形 的边长为12， ，E是边 的中点， FN B ABCD ∠ADC=120° AD 4B-CD-4D=12:ABICD:AE-DE-T4D=6 .∠A+∠ADC=180° :∠ADC=120° ∴.∠A=60° N是AB的中点， .AN-N-486. .AN =BN=AE=DE=6. .△AEN为等边三角形， .AE=AN=EN,∠A=∠ANE=∠AEN=60 ·线段EF绕着点E逆时针旋转60°得到EG, ∴.EF=EG,∠EFG=60°， .△EFG为等边三角形， ∴.EF=FG=EG,∠EFG=∠EGF=∠FEG=60°. ∴.∠AEF=60°-∠FEN=∠NEG 在△AEF和△NEG中， AE=NE ∠AEF=∠NEG EF=EG ∴.△AEF≌△NEG(SAS) .AF=NG,∠EAF=∠ENG=60°， ∴.∠ENG=∠BNG=60° 、△ENG2△BNG(SAS) .∴.EG=BG 连接EC, 答案第14页（共2页) .BG+CG=EG+CG≥2EC ∴当点G,点E,点C三点共线时，BG+CG的值最小，且最小值为EC. 过点E作EM⊥CD交CD的延长线于点M, .∠EDM=60° ∠MED=30°， :.MD=IED=3 2 .EM=ED2-MD2=33 根据勾股定理，得EC=VEM2+MC=15+3V3=6N万， .∴.BG+C 的最小值为6√万 13 V134-√13 或 【分析】分两种情况：当∠AHG=90°时，当∠AGH=90°时，延长AG交射线B0于点K,则 ∠HGK=9O°，并结合等腰三角形的判定与性质计算即可得出结果， 【详解】解：，当以点A,G,H为顶点的三角形是直角三角形，且GH为直角边时， .当∠AHG=90°时，如图， G M 3 OH=OG .∠1=∠2， .∠AHG=90°， .∠2+∠3=90°=∠1+∠4， .∠3=∠4， :在△1BC中，MB=BC=V丽BDB△MBC 中， 是 的中线， ∴.B0⊥AC,即∠BOC=90°， 由旋转性质可得∠DOE=∠BOC=90°，即OE⊥OD, 答案第15页（共2页） OE⊥AB .OD∥AB. .∠4=∠HAB, ∴.∠3=∠HAB. :B班=AB=3 如图，当∠AGH=90°时，延长AG交射线B0于点K,则∠HGK=90°， B 6 GD K .OH=0G、 .∠5=∠6】 .∠6+∠8=90°=∠5+∠7， .∠8=∠7， .OD∥AB, .∠8=∠KAB, .∠7=∠KAB, BK=BA=13 :.0H-OK=BK-0B-13-2 :BH=0B-0H=2-(i3-2=4-3 综上所述，线段H的长为或4-雨 14.(1)证明：四边形ABCD是正方形， ∴.AB=AD,∠DAB=90° ,DP⊥AE于点P,BQ⊥AE于点Q, ∴.∠APD=∠AQB=90° 答案第16页（共2页） ∠DAP=∠DAB-∠EAB=90°-a,∠ABQ=90°-∠BAE=90°-a, ∴∠DAP=∠ABQ 又AD=BA, ,△ADP≌ABAQ(AAS) .AP=BO (2)75° 【分析】(1)由正方形性质与旋转得AB=AD、∠DAP=∠ABO=90°-a,用AAS证△ADP2aBAg: (2)由旋转得AD=AE且∠DAE=60°，先证△ADE是等边三角形，再由DE=FE与∠DEF=30°求底角 ∠DFE, 【详解】(1)略 (2)解：：正方形ABCD绕点A逆时针旋转C得到正方形AEFG, ∴.AD=AE,∠AEF=90°，FE=CB a=30°， .∠DAE=∠DAB-∠EAB=90°-30°=60°， ∴.△ADE是等边三角形， .∠AED=60°，DE=AE. .FE=CB=AB=AE, .DE=FE, ∴.△DEF是等腰三角形. 由图2可知，∠DEF=∠AEF-∠AED=90°-60°=30°， ,∠DFE=(180°-30)÷2=75 .∠DFE的度数为75° 【点睛】本题考查正方形的旋转综合：旋转前后对应边相等、对应角相等；第(1)问利用同角的余角相 等构造全等条件；第(2)问关键是发现△ADE是等边三角形，且∠DEF的位置关系由图形确定，再用等 腰三角形求底角。 15.(1)2 答案第17页（共2页） (2)045°+ 2: ②校，0-， 证明：延长DO,作CG1D0,垂足为G,作CI⊥AE于I,记DC,BE的交点为H,如图 E D B G .∠DHF=a+∠BFC ∴∠DHF=450+45°+B=90°+ 2 2， :∠DHF=∠DQH+∠QDH 又∠DQH=90°， ·∠QDH= 2 :AC=CE,CI⊥AE, ZICE-4CE- 2 ∴.∠ICE=∠QDH, :∠CIE=∠DGC=90°，CE=DC, ,'aDGC≌aCIE(AAS) ..CG=EI, :AC=CE,CI⊥AE, 以能 CG- ∠QGC=∠QPC=∠GQP=90° :四边形GOPC为矩形， 答案第18页（共2页) :.PQ-CG-1AE 2 【分析】(1)根据旋转的性质证得∠DCB=6O°、AC=CD,进而证得CD=BC,证得△DCB是等边三 角形，求解DB的长度即可： (2)①根据旋转的性质证得∠BCE=90°+B,进而证得∠CEB=∠CBE,根据三角形内角和定理求解即 可； ②延长D0,作CGLD0,垂足为G,作CI L AE,证得△DGC≌aCE,根据全等三角形的性质证得 G=,进面t得国边形GOrc为矩花，m钓PQ=6G-号4正即可。 【详解】(1)解；在Rt△ACB中，∠ACB=90°， a=30° .∠DCB=∠ACB-a=90°-30°=60°」 “AC旋转得CD, .AC=CD, AC=BC. ∴.CD=BC, △DCB是等边三角形， :DB=CD=2: (2)解：①：AC旋转B得CE, .∠ACE=BAC=CE :∠BCE=∠ACB+∠ACE. ∴.∠BCE=90°+B AC=BC, :.BC=CE, ∴.∠CEB=∠CBE :∠BCE+∠CEB+∠CBE=180°， 六∠CEB=180°-BCE_90°-E=450-A 2 2 2 答案第19页（共2页) ÷∠BFC=∠CEB+∠ACE=45°-号+B=45°+ 2 2; ②略 16.(1)135°，135° (2 AM =MF, 证明：连接AC,CF,过点A作AG∥CF交CM延长线于点G, A B M E 4 ,四边形ABCD是正方形 DA=DC,∠ADC=90°，∠DAC=∠DCA=45° .∠6+∠7=45°，∠DAE+∠5=45° 由旋转可得，DE=DF,∠EDF=90° ∴.∠ADC=∠EDF=90° ∴.∠1=∠2=90°-∠3 :aDCF≌aDAE(SAS) CF=AE,∠4=∠DAE ∴.∠4+∠5=45° 由(1)可得，∠AEC=135° .∠6+∠5=180°-∠AEC=45°，∠AEG=180°-∠AEC=45° ,∠4=∠6 .'∠6+∠7=45° ∴.∠4+∠7=∠MCF=45° 答案第20页（共2页) ·AG∥CF ∴.∠G=∠MCF=45° ∴.∠G=∠AEG=45° .AG=AE」 :.AG=CF, .∠AMG=∠FMC, .△AMG≌△FMC(AAS) .∴.AM=MF; )2-v2 【分析】(1)①证明△BEC为等边三角形，再结合等边三角形的性质以及等腰三角形的性质求解即可； ②可得△ABE,△BEC均是等腰三角形，则结合等边对等角以及三角形内角和定理求解即可： (2)连接4C,CF,过点A作4G/CF交CM延长线于点G,先证明 DCF≌ADAE(SAS) ,然后导角证 明△AEG是等腰三角形，再证明 △AMG≌△FMC(AAS) 即可： OM=1EF M-DE (3)连接BD,EF,则OM是△AEF的中位线，故 2 ,可得 2 ,由于DE+BE之BD, 那么DE≥BD-BE,故当点B,D,E三点共线时，DE取得最小值，即OM取得最小值，再由勾股定理求 解即可. 【详解】(I)解：①，四边形ABCD是正方形 .BA=BC,∠ABC=90° AB=BE,CE=BE ∴.BE=BC=CE,∠BAE=∠BEA ∴.△BEC为等边三角形 .∠EBC=∠BEC=60° .∠ABE=90°-60°=30° .∠BAE=∠BEA=180°-30 =75° 2 答案第21页（共2页) ∴.∠AEC=∠BEA+∠BEC=I35°： ②：四边形ABCD是正方形 .BA=BC,∠ABC=90°=∠ABE+∠EBC AB=BE .AB=BE=BC :∠BAE=∠BBA=180P-,∠4BE,∠BC-∠BCE-180P-∠EBC 2 2 .∠AEC=∠BEA+∠BEC =180°-∠ABE180°-∠EBC 2 =180-(ABE+☑EBC) =180°-2×90°=135°： (2)略 (3)解：连接BD,EF B 点O是AE的中点，AM=MF .OM是△AEF的中位线， ..OM-E 由旋转可得，DE=DF,∠EDF=90° EF=DE2+DE2=2DE 答案第22页（共2页) .OMDE 2 ,在正方形ABCD中，AD=AB=2,∠DAB=90° BD=JAD2+4B2=2 ·.DE+BE≥BD ∴.DE≥BD-BE ∴.当点B,D,E三点共线时，DE取得最小值，即OM取得最小值， .BE=AB=2, :DE≥22-2 :DE的最小值为 √2-2 。OM的最孙值为号×22-2)2-5 17.(1)①60°；②PA+PB2=PC2 1+3√2 (2)∠BPC的度数为135°，四边形ABCP的面积2 5 (3)2 【分析】(1)①根据旋转的性质进行求解即可： ②推导出△PCD是等边三角形，得到PD=PC,∠PDC=60°，求出∠APC=90°，∠PAD=0°，根据勾股定 理，得到PP+AD2=PD2,将AD=PB,PD=PC代入，即可解答； (2)将△BPC绕点B顺时针旋转90°，使BC与BA重合，得△BEA,连接PE,推导出△EBP为等腰直角 三角形，得到PE2=2,∠BEP=45°，推导出AE2+PE2=PAP,得到△AEP是直角三角形，∠AEP=90°， 求出∠BPC=135°，再根据 答案第23页（共2页） S形=S.m十Sae=S.am+S.影=S边5即=S,n十S,进行求解即可： (3)将△APC绕点A顺时针旋转120°，使AC与AB重合，得到△AQB,连接P№，过点A作AH1PO于 H:推号出∠APH=30,得到=4P,由勾服定理，得到 PH=5 2 r,推导出△0PB是直角三角形，得到B=Pg+PB,设AP=m,推导出 PC2=4m2-2m+1 ，根据二次函数的图象与性质进行求解即可， 【详解】(I)解：①：△BPC绕点C顺时针旋转60°得到△ADC, ∠DCP=60°： ②连接PD,如图 绕点顺时针旋转得到 C.·ABPC C 60° △ADC ∴.AD=PB,PC=DC,∠PCD=60°，∠ADC=∠BPC=120°，∠ACD=∠BCP ,△PCD是等边三角形 .PD=PC,∠PDC=60° .∠ADP=∠ADC-∠PDC=120°-60°=60°， 周角等于360°， .∠APC=360°-∠APB-∠BPC=360°-150°-120°=90°， 四边形APCD内角和为360°， .∠PAD=360°-∠APC-∠PCD-∠ADC=90°， △PAD是直角三角形，∠PAD=90°， ..PA2+AD2 PD2, 又AD=PB,PD=PC, 答案第24页（共2页) .PA2+PB2 PC2 (2)解：将△BPC绕点B顺时针旋转90°，使BC与BA重合，得△BEA,连接PE,如图 旋转得到 C △BEA ∴.BE=BP=1,AE=PC=3,∠EBP=90°，∠BEA=∠BPC :BE=BP,∠EBP=90° △EBP为等腰直角三角形， .PE2=BE2+BP2=12+12=2,∠BEP=45°， :AB2+P2=32+2=11,PA=(而=11. .AE2+PE2=PA2, △AEP是直角三角形，∠AEP=90°， ∴.∠BEA=∠BEP+∠AEP=45°+90°=135°， ∠BEA=∠BPC, .∴.∠BPC=135° SABPC =SABEA SaDmo,artum.32 2； (3)解：将△APC绕点A顺时针旋转120°，使AC与AB重合，得到△A0B,连接P吧，过点A作 AH⊥PQ, 于，如图 H 旋转得到 C:△APC △AQB 答案第25页（共2页) ∴.AQ=AP,QB=PC,∠QAP=∠BAC=120° :AQ=AP,AH⊥PQ Pm=0,∠PMM=QaP=w, .∴.∠APH=90°-60°=30° 在R△AHP中， ,∠APH=30° 1 AH-2AP, 由勾股定理，得 PP-AP-AF-AP-( 2 PH-AP 2 (负值己舍去)， ..PO=2PH=3AP :∠APB=120°，∠APQ=30° ∴.∠QPB=∠APB-∠APQ=120°-30°=90° △QPB 是直角三角形， ∴.QB2=PQ2+PB2 OB=PC,PO=3AP .PC2 =3AP2+PB2 设AP=m, AP+BP=1 ∴.PB=1-m(0<m<1) 代入得： 答案第26页（共2页) P2=3m2+(1-m2=4m2-2m+1 ”二次函 y=4m2-2m+1.a=4>0,开口向上， 1 :对称轴为m= 4, 1 :当ns 4时，PC2取得最小值， PCa值=4× 4 4 :PC>0 5 :.PC小值=2 18.(1) E 证明：等腰直角△BCD, ∴.∠BDC=90°，BD=CD ·线段DA绕点D顺时针旋转9O°得到线段DE, ∴.DA=DE,∠ADE=90° ∴.∠BDC+∠ADC=∠ADE+∠ADC,即∠ADB=∠EDC, 在△ABD和△ECD中， BD=CD ∠ADB=∠EDC DA=DE ∴.△ABD≌△ECD(SAS) 答案第27页（共2页) .AB=CE; (2 BC-AC-GH 证明：如图，延长ED交CB于点F,连接DH,DG, D B .∠ADF=90°，∠BDC=90°， ∴.∠ADC+∠CDF=∠CDF+∠FDB, .∠ADC=∠FDB. BD=CD .∠BCD=∠CBD=45°， ,∠ACB=90°， .∠ACD=45°， .∠ACD=∠FBD」 在△ACD和△FBD中， ∠ADC=∠FDB CD=BD ∠ACD=∠FBDI △ACD≌AFBD(ASA) .AC=FB,AD=FD, AD=DE, .DE FD, ACDE≌ABDA(SAS) 由(1)知， .∠E=∠DAG. 答案第28页（共2页） :AB=CE,点H,G分别是AB,CE的中点， 1=6-cE-B, 在△DEH和△DAG中， AD=DE ∠DAG=∠E AG=EH 、△DEH≌ADAG(SAS) .DH=DG,∠EDH=∠ADG. .·∠ADE=90° .∠EDH+∠HDA=∠HDA+∠ADG=∠ADE=∠HDG=90°， .△DGH是等腰直角三角形， .GH=DH .DE=DF,HE=HC, 点H,D分别是CE,EF的中点， ∴.CF=2DH,HDBC, :BC-AC=BC-FB-CF=2DH=2GH 【分析】（1）根据思意补全图象，再根据等腰直角三角形和旋转的性质，证明出△1BD2a5CD(SAS), 即可得证； (2)延长ED交CB于点R,连接DH,DG,先证明△MCD≌aFBD(4SM）,推出AD=FD,由(I)的 结论可得∠B=∠DAG,AB=CE,进而证 △DEH≌△DAG(SAS ,得出DH=DG,∠EDH=∠ADG, ∠HDG=90° 利用角度和差关系推出 从而证得△DGH 是等腰直角三角形，推出 GH=V2DH ,继而得证 结论. 【详解】(1)略 (2)略 答案第29页（共2页) 19.(1)BD2+CD2=2AD2 (2)解：(1)中的结论仍然成立.推导过程如下： ,AB=AC,∠BAC=90°， ∴.∠ABC=∠ACB=45°， 如图，线段AD绕点A逆时针旋转9O°得到线段AE,连接EC,ED .AD=AE,∠DAE=90 ,点D在线段BC的延长线上， ∴.∠BAD=90°+∠CAD,∠CAE=90°+∠CAD. ∴.∠BAD=∠CAE AB=AC, △ABD≌△ACE(SAS) .BD=CE,∠ABD=∠ACE=45° ,点D在线段BC的延长线上， .∠ACD=180°-∠ACB=135° ∴.∠DCE=∠ACD-∠ACE=135°-45°=90°， ∴.在△DCE中，DE2=CD2+CE2, ,△ADE中，AD=AE,∠DAE=90°， .DE2-2AD2, ∴.BD2+CD2=2AD2, 即(1)中的结论仍然成立. C D 图3 【分析】(1)由题面给出的推导：BD=CE、∠DCE=90°、DE2=2AD2,用勾股定理即得数量关系： (2)旋转性质不变，仍能证△ABD≌aACE得BD=CE、∠ACE=45°，由∠ACD=135°得∠DCE=90°， 勾股定理即得结论仍成立. 答案第30页（共2页) 【详解】(I)解：由题意，△ABD≌aACE,得BD=CE,∠DCE=90°， “.在ADCE中，DE2=CD+CE2=CD2+BD(勾股定理)， .DE2=2AD2, ..BD2+CD2=2AD2, .AD,BD,CD之间的数量关系为BD+CD=2AD2 (2)略 20.(1)120° (2)120° 万 (3)5 【分析】(1)根据三线合一可得∠BAE=30°，再根据等腰三角形的性质即可解答； (2)连接EC,可得BE=CE，,则△EFC为等腰三角形，即可解答： (3)过点F作GL,垂足为G,过点E作H1B,垂足为H,设4F=0,则4E=20,利用 BE =7a,AB=5a 勾股定理可得 ,即可解答。 【详解】(1)解：△ABC是等边三角形， ∠BAC=60°， :AD是等边△ABC的中线， .AD平分∠BAC, ZBAD=2∠BAC=30° 线段BE绕点E顺时针旋转得到线段EF,点F与点A重合， .BE=AE ∴.∠ABE=∠BAE=30°. ∠BEA=180°-∠ABE-∠BAE=120°，即∠BEF=120°， (2)解：如图，连接EC, 答案第31页（共2页） 是等边三角形， 是中线， C.△ABC AD ∴AD⊥BC,即AD是BC的垂直平分线， :BE=CE, ·∠EBC=∠ECB ∴∠BEC=180°-2∠ECB BE旋转得到EF, ..BE=EF, .EC=EF, ∠ECF=∠F, .∠CEF=180°-2∠ECF :∠BEF=360°-∠BEC-∠CEF ∴.∠BEF=360°-(180°-2∠ECB)-(180°-2∠ECF) =2(∠ECB+∠ECF) =2∠ACB」 =2×60°， =120°： (3)解：如图，过点F作FG⊥AE,垂足为G,过点E作EH⊥AB,垂足为H, 设AF=a, .AE=23a ·在Rt△AGF中，∠GAE=30° 答案第32页（共2页) ÷GE=AE-4G=25a-5a=35 2s 2 △0，表系阿限定是8，+GE--a 在Rt△AEH中，∠EAH=30° :EH=IAE=1x2a=a 2 根据勾股定理得，H=VA2-Bf=25a-（5a-3a. EB=EF=7a 由旋转得 在RtoBEH中，根据勾股定理得， BH=vBe2-EH2=（7a'-(3a}=2a, .AB=AH+BH=3a+2a=5a, BE a7 AB 5a 5. 21.(1)①等边三角形：②BD=CE,120 (2)①BD=CE,理由如下： 由旋转的性质可知，AD=AE,∠BAC=∠DAE=a=90°， ∴.∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠BAD=∠CAE, AD=AE,∠BAD=∠CAE,AB=AC, ∴.△BAD≌ACAE(SAS) .BD=CE ②∠BCE的度数为90°： (3)4+i0成6+v26 或 【分析】(I)①由旋转的性质可知AD=AE,∠DAE=60°即可得解；②证明△BAD≌aCAE,即可得解. (2)①证明△BAD2△CAE,即可得解；②根据全等的性质可得∠ACE=∠B=45°，即可得解. 答案第33页（共2页） (3)由CD=1讨论点D在线段BC上和点D在线段BC延长线上，过A作AF⊥BC于F,利用直角三角 形斜边上的中线等于斜边的一半，得出线段AF,C℉，最后结合勾股定理和旋转的性质即可解题 【详解】(1)解：①由旋转的性质可知，∠DAE=a=60°，AD=AE, ∴△ADE是等边三角形， ②：AB=AC,∠BAC=a=60°， ∴△ABC是等边三角形， .∠ACB=∠B=60°， .∠DAE=∠BAC=C, .∠DAE-∠CAD=∠BAC-∠CAD,即∠CAE=∠BAD, :AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE, .△BAD≌aCAE(SAS) .:BD=CE.∠ACE=∠B=60°， :∠BCE=∠ACB+∠ACE=120°： (2)解：①略 ②：∠BAC=90°，AB=AC, .∠B=∠ACB=45°， 由①可知，△BAD≌ACAE, ∴.∠ACE=∠B=45°」 .∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°： (3)解：由CD=、可知共有两种情况，如图P、,则0=BC-CD=4-1=3。 BD2=BC+CD2=4+1=5 D D 由(1)(2)可知，BD=CE, :.CE=BD=3 CE2 BD2=5 答案第34页（共2页) 过A作AF⊥BC于F, :∠BAC=90°，AB=AC, .∠B=∠ACB=45°， AF⊥BC, :BF=CF=BC=2,即点F是BC的中点 ÷MF=CF=2BC=2, ∴.DF=2-1=1D2F=2+1=3 在Ra1DF中，由勾股定理得，D=VMF+DF=5, AE,=AD=V5∠DAE=a=90° 由旋转可知， ∴.DE=VAD2+AE2=V10 aCDE的周长CD+DE+CE=l+i0+3=4+V10 在Ra1D,F中，由勾股定理得，D,=VAF+D,F=VIB 由旋转可知， AE2=AD2=V13∠D2AE2=a=90° .DE2=AD,2+AE,2=26 aCDE的周长CD,+D,E,+CE,=1+26+5=6+V26 综上所述，△CDE的周长为4+0欧6+V26 或 22.(1)解：依题意补全图1，如下： 答案第35页（共2页） D B :△ABC为等边三角形， ∴.∠BAC=60°， ∴.∠BFC+∠ABF=∠BAC=60°」 由旋转的性质得：∠EBF=60°， .∠ABE+∠ABF=60°」 .∠BFC=∠ABE: (2)解：点E为CD的中点，理由如下： 如图，过点D作DG‖BC交BE的延长线于点G, D G A E ,△ABC为等边三角形， .∠BAC=∠ABC=60°，AB=BC, .∠BAF=180°-∠BAC=120°. ..DGII BC, .∠BDG+∠ABC=180°， ∴.∠BDG=120°， .∠BAF=∠BDG, ·AF-AD=BC,BD-AD=AB, ∴.AF-AD=BD-AD, 答案第36页（共2页） .'AF=BD, 由(1)得：∠BFC=∠ABE, ,△ABF≌ADGB(ASA) .AB=DG. .'BC=DG, ·DGI‖BC, .∠CBE=∠G,∠BCE=∠EDG △BCE≌aGDE(ASA) ∴CE=DE, 即点E为CD的中点： 、3 3 【分析】(I)由等边三角形的性质以及三角形外角的性质可得∠BFC+∠ABF=∠BAC=60°，再由旋转 的性质得∠ABE+∠ABF=6O°，即可求证： (2)过点D作DGBC交BE的延长线于点G,证明∠BAF=∠BDG,根据AF-AD=BC,可得 AF=BD,可证明△MB≌aDGB(ASA）,可得4B=DG,再证明△BCE2,GDE(ASA）, 即可解答： (3)取BC的中点N,连接EN,过C作CP⊥AE交AE延长线于P,则EN为△CBD的中位线，可得E 在过N且与BD平行的直线上运动，当AE⊥EN时，AE最小，再根据直角三角形的性质可得 3 )4C),然后证明AMBD≌APEC(AAS),即可 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：取BC的中点N,连接EN,过C作CP⊥AE交AE延长线于P,如图： 答案第37页（共2页） A D ,等边△ABC的边长为3， .AC=3,∠BAC=60° 由(2)得：点E为CD的中点， .EN为△CBD的中位线， .EN∥BD,即E在过N且与BD平行的直线上运动， .当AE⊥EN时，AE最小， .BD⊥AE. .∠CAP=∠PAB-∠CAB=30°， n-4c- 2 在△AED和△PEC中， .·∠EAD=∠EPC,∠AED=∠PEC,ED=EC, △AED≌APEC(AAS) .D-CP- 23.02v2 g②7 33+3V3 【分析】(1)根据旋转的性质可知AB=AD,∠BAD=90°，然后根据勾股定理求解即可： (2)连接BD,延长DC交AB于F,证明DC垂直平分AB得∠AFD=90°，AF=BF=3,然后利用勾 股定理依次求出DF,AC即可； (3)连接BD并延长，在BD的延长线上取点M,使得DM=DC=3,连接MF,由旋转的性质可知， 答案第38页（共2页) DE=DF,∠EDF=90°，证明△EDC≌△FDM(SAS))得∠DMF=∠C=60°，点F在与DM夹角为60°的 直线上运动.过点A作MF的垂线，垂足为F',当点F在点F时，AF取得最小值.延长FM与AC的 延长线交于点N,当点A、D、F在同一直线上时，点F与点N重合，可求∠MND=3O°，在RtoMDN 中求出MW=2DM=6.DN=3W5 进而可以解决问匙。 【详解】(1)解：将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE, .AB=AD=2,∠BAD=90°， ..BD=AB2+AD2=22 (2)解：如图，连接BD,延长DC交AB于F, D 由旋转得 F B AB=AD ∠BAD=60° △ABD是等边三角形， .AD=BD=AB=6. ∴点D在AB的垂直平分线上， AC=BC, ∴点C在AB的垂直平分线上， .DC垂直平分AB ∴.∠AFD=90, AF=BF=AB=3 DF=3AF=33 ..CF=DF-CD=33-3=23 AC=VAF2+CF2=32+(25=V2i: (3)解：在边长为6的等边三角形ABC中，D是AC的中点， DC-4C=3,∠4ACB=60 答案第39页（共2页） 如图，连接BD并延长，在BD的延长线上取点M,使得DM=DC=3,连接MF, -- 由旋转的性质可知， B DE=DF∠EDF=90° .∠EDC+∠CDF=∠CDF+∠FDM=90°， .∠EDC=∠FDM, DE=DF ∠EDC=∠FDM 在 花 中， △EDC△FDM DC=DM ∴.△EDC≌△FDM(SAS) ∴.∠DMF=∠ECD=60°， 则点F在与DM夹角为60°的直线上运动， 过点A作MF的垂线，垂足为F',当点F在点F'时，AF取得最小值.延长FM与AC的延长线交于点 N, 当点A、D、F在同一直线上时，点F与点N重合， :∠MDN=90°，∠DMF=60°， .∠MND=30° 在RtAMDN中，MN=2DM=6. :DW=V62-32=35 .AN=AD+DN=3+33 当点A、D、F在同一直线上时，4F=W=3+3W3 24.(1)4 (2)DE=2BH,证明如下： 如图，在BA上截取RB=DE,连接RF, 答案第40页（共2页) B 、H 图2 、在等腰△ABC中，AB=AC, .∠ABC=∠ACB 设∠ABC=∠ACB=a,则∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-2a, :∠DBC=∠BAC=180°-2a,∠EBC=∠EBA+∠ABC=∠EBA+a, .∠D=180°-∠DBC-∠DCB=a, .∠D=∠ACB=a,即∠D=∠DCB=a, .BD=BC. ·∠EBF+∠DBC=180°， .∠EBF=180-∠DBC=2a, .∠FBR=∠FBE+∠EBA=2a+∠EBA」 .∠BED是△BEC的外角， ∴∠BED=∠EBC+∠ACB=a+∠EBA+a=2a+∠EBA, ∴.∠FBR=∠BED. 由旋转的性质可得FB=EB, 在△FBR和△BED中， RB=DE ∠FBR=∠BED FB=EB △FBR≌ABED(SAS) ∴.FR=BD,∠BRF=∠D=a, .BD=BC,∠ABC=a, .FR=BC,∠BRF=∠ABC=a, .∠HRF=∠HBC=a, 在△FHR和△CHB中， 答案第41页（共2页） ∠HRF=∠HBC=a ∠RHF=∠BHC RF=BC △FHR≌△CHB(AAS) ∴.BH=RH ∴.RB=RH+BH=2BH, .DE=2BH. △ABD≌△ACK(ASA) 【分析】(1)先证 )得出CK=BD=3,由勾股定理求出AB=AC=2V52, 最后再 由勾股定理计算即可得出结果； (2)在BA上截取RB=DE,连接RF,先证明 FBR≌ABED(SAS) 得出FR=BD,∠BRF=∠D=C,再 证明 FHR≌ACHB(AAS 得出BH=RH,即可得证. 【详解】(1)解：，CG⊥BD,∠BAC=90, ∴.∠CGB=∠BAC=90°，∠DAB=180°-∠BAC=90°， .∠GKB+∠GBK=90°，∠ACK+∠AKC=90°， .∠GKB=∠AKC, .∠GBK=∠ACK,即∠ABD=∠ACK, 在△ABD和△ACK中， 「∠ABD=∠ACK AB=AC ∠DAB=∠KAC=90°' 、△ABD≌AACK(ASA) ..CK=BD=3. 4C=CK2-AK=2 4B=4C=2 BC=V4B2+4C2=4 答案第42页（共2页) (2)略. 25.(1)①依题意补全图形如下： B D C ②证明：在AB上取一点M,使BE=EM,连接DM, M F B D ,DE⊥AB, ∴.DE垂直平分BM, .BD=DM, ∠B=∠BMD=a,∠BDM=l80°-2a,∠AMD=180°-a, ,将DA绕点D逆时针旋转l80°-2a得到DF, ∴.DA=DF,∠ADF=180°-2a. .∠ADF=∠BDM=180°-2a, ∴.∠ADM=∠BDF, .△ADM≌AFDB(SAS) .BF=AM. .AE=AM+ME=BE+BF: (2)AF=2CE, 证明：取AB中点O,取AF中点N,连接ON,OC, 答案第43页（共2页) B D .ON是△ABF的中位线，AF=2AN, :0N=2BF,ON∥BF: 2 .∠AON=∠ABF AB中点O,∠ACB=90°，∠B=a, .0C=OA=0B=5AB,∠B=∠BC0=g, 2 :.OE-OB-BE-14B-IBM-IAM 2 ADM≌△FDB(SAS) 由(1)可得 ∴.BF=AM,∠AMD=∠DBF=180°-a, .∠AON=∠COE. ,△AON≌ACOE(SAS) .AN=CE, .AF=2AN=2CE 【分析】(1)①依题意补全图形即可： ②在AB上取一点M,使BE=EM,连接DM,得到DE垂直平分BM,则BD=DM,∠B=∠BMD=&, ∠BDM=180°-2a,∠AMD=180°-a,再结合旋转证明 ADM≌FDB(SAS),得到BF=MM,最后根 据AE=AM+ME=BE+BF证明即可： (②)取4B中点0，取AF中点N,连接ON,OC,由中位线得到ON=2BF, ∠AON=∠ABF,再证 答案第44页（共2页) △AON≌aCOE(SAS ,得到4N=CE,即可根据MF=2MN=2CE证明. 【详解】(1)解：略 (2)解：略 26.()AE2+CF2=EF2: 证明：如图，连接OB, :在Rt△ABC中，∠ABC=90°，O为AC边的中点，AB=BC, ∴.OB=OA=OC,OB⊥AC,∠C=∠OBA=45° ,射线OE绕点O逆时针90°得射线OF, ∴.∠EOF=90° ∴.∠COF+∠FOB=90°，∠EOB+∠BOF=90° ∴.∠COF=∠BOE, 在AOCF和△OBE中 I∠COF=∠BOE BO=CO ∠C=∠OBA .∴△OCF≌AOBE(ASA) :BE=CF, BA=BC, ∴.AE=BF, BE2+BF2=EF2, ..CF2+AE2 EF2 答案第45页（共2页） (2)成立，证明如下， 如图，过A点作AD‖BC且AD=BC,延长FO交AD于G,连接CD,EG, G D E ∴.∠GAO=∠FC0 ·ADII BC,AD=BC, ∴.四边形ABCD是平行四边形， ,∠ABC=90° ∴.四边形ABCD是矩形， O为AC中点， ∴.OA=OC ,在AOGA和AOFC中， ∠FOC=∠GOA OA=OC ∠GAO=∠FCO' .∴AOGA≌AOFC(ASA) ∴.FC=GA,OG=OF ,射线OE绕点O逆时针90°得射线OF, ∴.EO⊥FO ∴.根据中垂线性质得EF=EG, 在Rt△EAG中，AE2+AG=EG, ∴.AE2+CF2=EF2 V85 (3)V85或3 答案第46页（共2页) 【分析】(I)连接OB,可证△OBE≌△OCF,再由BA=BC,可将AE,CF转化到△BEF中，根据勾股 定理证明即可. (2)作辅助线构造矩形ABCD,延长FO交AD于G,可证△OFC≌△OGA,得FC=GA,由于O为AC 中点，EO⊥GF,可证EO为GF的中垂线，得EF=EG,根据勾股定理证明即可.】 (3)分类讨论F在BC和在BC延长线的情况，借助辅助线证明三角形全等，然后进行线段转化，根据 勾股定理列方程求解即可. 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：如图，过A点作AD‖BC且AD=BC=5,连接CD, .ADI BC,AD=BC, ∴.四边形ABCD是平行四边形， .∠ABC=90°， ,四边形ABCD是矩形， .AB=CD=3. ①当点F在BC上， 如图，延长FO交AD于H,连接EH, H B ,O为AC边的中点， :.0A=OC, ,在aOFC和aOHA中， ∠HOA=∠FOC OA=OC ∠HAO=∠FCO' ∴.AOFC≌OHA(ASA) 答案第47页（共2页） ∴.FC=HA,OH=OF ,射线OE绕点O逆时针90°得射线OF, .EO⊥FO .EH=EF, AH2+AE2 EH2,BE2+BF2=EF2 .AH+AE2=BE2+BF2」 .AB=3,BC=5,CF=2 .BF=5-2=3,FC=HA=2. .22+(3-BE)2=BE2+32 解得BE=2 3, 2 EF =BE2+BF2 +32= V85 二在RIBEF中， 3 3. ②当点F在BC延长线上， 如图，延长BC使CF=2,过点O作OF的垂线，分别交AB,CD的延长线于E,G, G A D B F 同①法可证△BOE≌ADOG,OF为EG的中垂线， .∴.BE=GD,FE=FG 答案第48页（共2页) BE2+BF2=EF2,GC2+CF2=FG2 .BE2+BF2=GC2+CF2 .BE2+(5+2)2=(BE+3)+22 解得BE=6」 EF=V6+72=V85 √85 综上，EF的长度为3或V85 27.(1)等腰直角三角形： 2)E=EP,证明如下： 将△ADE顺时针旋转90°后得到△ABE', ∴.∠D=∠ABE',DE=BE, 在△DQE和△BPE中， DE=BE' ∠QDE=∠PBE' DO=BP ∴.ADQE≌ABPE'(SAS) ..OE=PE' (3)CP2+BP2=2AP2 【分析】(I)由旋转的性质得到AE=AE,∠BAE=∠DAE,结合正方形性质得到∠EAE'=90°，即可 解题： (2)结合旋转的性质证明△DQE≌aBPE',利用全等三角形性质即可证明QE与PE的数量关系： (3)将△ABP逆时针旋转9O°后得到△ACD,连接PD,得到△APD是等腰直角三角形.再结合旋转的性 质和勾股定理求解，即可解题。 【详解】解：(I)由旋转的性质可知AE=AE,∠BAE=∠DAE, 答案第49页（共2页） :四边形ABCD为正方形， ∴.∠DAE+∠BAE=90°， .∠EAE=∠BAE'+∠BAE=90° △AEE的形状为等腰直角三角形： (2)略 (3)如图，将△ABP逆时针旋转90°后得到△ACD,连接PD, D .AP=AD∠PAD=90° ∴△APD是等腰直角三角形， 由旋转的性质可知∠ABP=∠ACD=45°，BP=CD. :∠ACB=45°， ∴.∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°. ...CP2+CD2=DP2 .AP2+AD2 DP2 =2AP2. ∴.CP2+BP2=2AP2 28.052 a25或45 【分析】(1)由勾股定理可得AB=5,由旋转的性质可得AB=AB=5,∠ABA=90°，最后再由勾股定 理计算即可得出结果： (2)分两种情况：当点C'落在线段AB上时：当点C'落在AB的延长线上时；分别利用旋转的性质并结 合勾股定理计算即可得出结果， 【详解】(1)解：∠C=90°，BC=3,AC=4, 4B=VBC2+AC2=3+4=5 将△ABC绕点B逆时针旋转90°，得到△ABC, :.A'B=AB=5,∠ABA=90°， 答案第50页（共2页) :.AM=VAB2+AB2=52+5=5N2 (2)解：如图：当点C落在线段AB上时， ,将△ABC绕点B逆时针旋转90°，得到△A'BC', .∠AC'B=∠ACB=90°，BC=BC=3,AC'=AC=4,AB=AB=5, .AC'=AB-BC=5-3=2, .·∠ACA=180°-∠ACB=90°， :MM=VAC+4C=V22+4=25 如图，当点C落在AB的延长线上时，此时AC'=AB+BC'=8, :AM=VAC2+C2=v82+4=45 综上所述，AM的长为 2545 “或 29.(1)证明：，正方形ABCD PA=PD,∠PAE=∠PDF=45°，∠APD=90°， .'∠MPN=90° ∴.∠APE+∠EPD=∠DPF+∠EPD=90°， ∴.∠APE=∠DPF, :∠APE=∠DPF,PA=PD,∠PAE=∠PDF, ,△APE≌ADPF(ASA) ∴AE=DF,PE=PF, ∴.DE+AE=DE+DF=AD, 答案第51页（共2页） .DE+DF=AD; 1 (2ODE+DF=)AD,理由如下： 2 如图2，取AD的中点工，还接pT,则4T=Dr=AD, B P TE D 图2 :四边形ABCD为∠ADC=120°的菱形，ABIICD .AB=AD,∠BAD=180°-∠ADC=60°，∠ADP=∠CDP=60°，AP平分∠BAD,∠APD=90°， ∴.△ABD是等边三角形， BD=AD,∠DAP=30°， DP=号D .PD=DT, ∠ADP=60°， ∴△TDP是等边三角形， ∴.∠PTE=∠PDF=60°，∠TPD=60°，PT=PD, 又，∠MPN=60°， ∴.∠TPD-∠EPD=∠MPN-∠EPD,即∠EPT=∠FPD, ,∠EPT=∠FPD,PT=PD,∠PTE=∠PDF, ,△TPE≌ADPF(ASA) ∴.TE=DF, :DE+TE=DE+DF=DT=AD】 2 DE+DF=14D 2 ②5-53-v5 或 答案第52页（共2页） 【分析】(1)由正方形ABCD,可得PA=PD,∠PAE=∠PDF=45°，∠APD=90°，证明 △MPE≌，DPF(ASA）,测AE=DF,进而可得DE+5=DE+DF=MD (2)①如图2，取AD的中点T,连接PT，,由四边形ABCD为∠ADC=120°的菱形，可得 公-D,∠B4D-6,∠1Dr=CDP-6,正明△MD是等边三角后，△D 是等边三角形，证明 △PE≌DPF(ASA),则TE-DF,DE+TE=DE+DF=DT-)AD: 21 ②由题意知，分P靠近点B,P靠近点D,两种情况求解：情况一：当点P靠近点B时，过点A作 AH⊥BD于H,连接AP,作PG∥AB交AD于G.由(2)可知，△ABD是等边三角形，证明△DGP是 等边三角形，4G=BP,由勾股定理得，M=VAB-BH=45, 由勾股定理得， PH=VAP-AH=l,则4G=BP=BH-PH=3,由(2)可知 AGPE≌aDPF(SA）,则 GE=DF= ,根据DE=D-AG-GE,求解作答：情况二：当点P靠近点D时，同情况一，求解作 答即可. 【详解】(1)略 (2)①略 ②解：由题意知，分P靠近点B,P靠近点D,两种情况求解： 情况一：当点P靠近点B,如图，过点A作AH⊥BD于H,连接AP,作PG∥AB交AD于G. B 由(2)可知，△ABD是等边三角形，AB=BD=AD=8 .∠DGP=∠DAB=60°，∠DPG=∠DBA=60°， ∴△DGP是等边三角形，则DG=DP, .DA-DG=DB-DP,AG=BP, .AH⊥BD, 答案第53页（共2页） .BH DH=4, 由勾股定理得， AH=√AB2-BH2=4V5 由勾股定理得，PH=VAP2-AH=V72-(43=1, .AG=BP=BH-PH=3, 由(2)可知， AGPE≌aDPF(ASA) GE=DF- :.DE=AD-AG-GE=8-3-5=5-5 情况二：当点P靠近点D时，如图， GE D 同理O,可得PH=l,AG=PB=BH+PH=5DF=GE=5 :DE=D-4G-EG=8-5-V5=3-5 综上所述，满足条件的DE的长度为5-5或3-3 或 30.(I)证明：，等腰直角△ABC和等腰直角△ECD, ∴.AC=BC,EC=DC,∠ACE=∠ECD=90°， :△MCB2sBCD(MS) .AE=BD,∠AEC=∠BDC, :∠AEC+∠EAC=90° .∠BDC+∠EAC=90°. .∠AFD=90°，即AE⊥BD: 2)4F=BF+2CF 理由如下 如图，连接CF,过点C作CG⊥CF交AF于点G, 答案第54页（共2页） B D :.∠GCF=90°=∠ACB .∠GCB+∠BCF=∠GCB+∠ACG, ∴.∠ACG=∠BCF 又：∠GAC=∠FBC,AC=BC, AGAC≌AFBC(ASA) ..AG=BF,GC=CF, .∠GCF=90°， ..GF2=GC2+CF2=2CF2,GF=2CF, ∴.AF=AG+GF=BF+V2CF: ②am=6t9+35 或 【分折】()证明△1CE≌，BCD(SS),得到B=BD,ABC=∠BDC,然后等量代换正明即可， (2)①连接CF,过点C作CG1CF交AF于点G,证明△GMC2aFBC(ASA ,得到AG=BF, GC=CF GF=2CF ，然后利用勾股定理得到 ,然后等量代换即可求解： ②过点D作DH⊥AC交AC的延长线于点H,在DH上取点G,使DG=CG,连接CG,设CH=x,利 H=6-V2 DH=2x+V5x=6+2 用勾股定理和含30度角直角三角形的性质求出 2 2,然后分两种 情况讨论，分别利用割补法求解即可 【详解】(1)略 (2)解：①略： ②如图，过点D作DH⊥AC交AC的延长线于点H,在DH上取点G,使DG=CG,连接CG,当点E 答案第55页（共2页） 在BC左侧时， B .∠BCE=75°， .∠BCD=∠ECD-∠BCE=I5° ,∠ACB=90°=∠BCH, ∴.∠DCH=∠BCH-∠BCD=75°， .DH⊥AC .∠CDH=15°， .DG=CG .∠GDC=∠GCD=15°、 .∠CGH=∠CDG+∠DCG=30°， 设CH=x,则DG=CG=2CH=2x, GH=VCG2-CH=3x DH=DG+GH=2x+3x .CD=CE=2,DH⊥AC ∴CH+DH=CD2,即x+(2x+3x=2 解得r6-V2 2一（负值舍去)， :H=6-v5 DH=2x+V5x=6+2 2, 2, :AC=BC=32∠ACB=90 S.m-S.c+8.wc-c -AC-BC+BC-CH-AC-DH 答案第56页（共2页） =x3N2×32+x32x6-5_1x3N2x6+2 2 22 2 =6: 如图，过点D作DH⊥AC交AC的延长线于点H,在DH上取点G,使DG=CG,连接CG,当点E在 BC右侧时， B G D CH=V6-V2 DH=2xx6+2 同理可得， 2, 2, AC=BC=3V2∠ACB=90° .S.ABD=SABC +S.BCD+SACD =1AC.BC+BC.CH+AC.DH =x32x32+x32x6,2+5x32x6+迈 2 2 =9+3V3 S△MBD=69+3V3 综上所述， 或 答案第57页（共2页） 与旋转有关的几何探究 1．（26-27九年级上·黑龙江·期中）在平面直角坐标系中，，，点是线段的中点，若将线段绕着原点O旋转，则点的对应点的坐标为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（26-27九年级上·黑龙江·期中）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（     ） A．10 B． C． D． 3．（26-27九年级上·河北张家口·阶段检测）如图，正方形边长为1，点M是对角线上一点，，连接，将绕点B顺时针旋转，得到的延长线与的延长线交于点E，则长为（     ） A． B． C． D． 4．（26-27九年级上·宁夏银川·阶段检测）如图，在中，，，顶点的坐标为，以为边向的外侧作正方形，将组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为 （     ） A． B． C． D． 5．（26-27九年级上·甘肃·期中）如图，已知等边的顶点 ，将该三角形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则旋转2025次后，顶点B的坐标为_______． 6．（26-27九年级上·四川达州·阶段检测）如图，在正方形中，，E为边上一点，点F在边上，且，将点E绕着点F顺时针旋转得到点G，连接，则的长的最小值为 __ ． 7．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别为，，且旋转角为锐角，连接，当点B恰好落在直线上时，线段的长为_____． 8．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）如图，在边长为4的正方形中，P是边上一动点，连接，把线段绕点A逆时针旋转到线段，连接，则线段的最小值为_________ 9．（26-27九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，正方形边长为，点是对角线上一点，，连接，将绕点顺时针旋转，得到，的延长线与的延长线交于点，则长为_________． 10．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，在正方形中，点在边上，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接．若，，则的长度为________． 11．（26-27八年级上·江苏南京·阶段检测）如图：O是等边内一点，线段以C为旋转中心顺时针旋转得到，连接、、、，若，当是等腰三角形，则______度． 12．（26-27九年级上·河南郑州·阶段检测）如图，菱形的边长为12， ， E是边的中点，F是边 上的一个动点，连接，将线段绕着点E逆时针旋转得到，连接 ，，则 的最小值是________． 13．（26-27八年级上·河南郑州·阶段检测）如图，在中，，是的中线，且．将绕点顺时针旋转得到（），其中点，的对应点分别为点，．当时，垂足为，线段分别与线段，交于点，．在射线上取一点，在射线上取一点，使．当以点，，为顶点的三角形是直角三角形，且为直角边时，线段的长为________． 14．（26-27九年级上·河北保定·阶段检测）如图，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形． (1)如图1，过点作于点，过点作于点，求证：． (2)如图2，连接，，若，求的度数． 15．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）在中，，，将线段绕点逆时针旋转（）得到线段，连接，. (1)如图1，当，时，求的长度； (2)如图2，将线段绕点C顺时针旋转β（）得到线段，连接，，线段交线段于点F. ①求的度数；（用含的式子表示） ②如图3，当，过点C作于点P，过点D作于点Q.探究与之间的数量关系是否随变化而变化.若不变，证明与的数量关系；若改变，请说明理由. 16．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）已知点E为边长为2的正方形内部一点，且满足，连接，，． (1)如图1，若，则______，若，则______． (2)如图2，将线段绕点D顺时针旋转到，连接，延长交于点M，探究线段，的数量关系，并证明． (3)在满足（2）条件下，点O是线段的中点，求线段的最小值． 17．（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）按要求完成以下问题 (1)【探究与思考】已知，点是等边内的任一点，连接，，．如图1所示，已知，，将绕点按顺时针方向旋转得． ①________°； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； (2)【迁移与应用】点是等腰直角三角形内一点，且，，，连接，，，求的度数以及四边形的面积． (3)【拓展与创新】如图3，在中，，为内一点，．若，求的最小值． 18．（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）如图，在中，，，以为斜边在上方作等腰直角．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)依题意补全图形，并证明：； (2)点、分别是、的中点，连接．猜想线段、、满足的数量关系，并证明． 19．（26-27九年级上·湖北襄阳·阶段检测）按要求解答： (1)【问题发现】在数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，是等腰直角三角形，，，点在上，连接，探究，，之间的数量关系．王林思考片刻后，利用手拉手模型解答问题如下： 如图2，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，易证，，，，在中，，由，，可得，则，，之间的数量关系为______； (2)如图3，当点在线段的延长线上时，请问(1)中的结论还成立吗？请作出判断，并写出你的推导过程． 20．（26-27九年级上·辽宁大连·期中）如图，是等边的中线，点在线段上运动（点不与点，重合），将线段绕点顺时针旋转，使点的对应点落在射线上． (1)如图1，当点与点重合时，求的度数； (2)如图2，当点在的延长线上时，求的度数； (3)如图3，当点在边上时，若，求的值． 21．（26-27九年级上·辽宁盘锦·阶段检测）在中，，的角度记为． (1)【发现】如图1，若，点为边上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转至位置，连接，． ①的形状为_________； ②填空：与的数量关系：____________；_________； (2)【论证】如图2，若，点为边延长线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转至位置，连接，． ①试判断和的数量关系，并说明理由； ②求的度数． (3)【拓展】若，，将“点为边延长线上一点”改为“点为直线上一点”，其余条件不变，当时，直接写出的周长． 22．（26-27九年级上·北京·阶段检测）如图，在等边中，是的延长线上一动点，连接，点在线段上（不与端点重合），将射线绕点逆时针旋转得到的射线与射线交于点． (1)依题意补全图1，并证明； (2)若，判断点的位置，并证明． (3)在（2）的条件下，连接．若等边的边长为3，当线段的长取得最小值时，直接写出此时线段的长． 23．（26-27八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 例如：直角三角形中，，则所对的边. 可以解决下列问题 【问题引入】 (1)如图①，将绕点A按逆时针方向旋转得到（点B、C的对应点分别为点D、E），连接，若，求的长； 【衍生拓展】 (2)如图②，在中，，将绕点A逆时针旋转得到（点B、C的对应点分别为点D、E），连接，时，求的长； 【深入探究】 (3)如图③，在边长为6的等边三角形中，D是的中点，E是所在直线上一动点，连接，将线段绕点D按逆时针方向旋转得到线段，连接、，在点E运动的过程中，当点A、D、F在同一直线上时，直接写出线段的长． 24．（26-27九年级上·北京·阶段检测）在等腰中，，点D是射线上任意一点，连接． (1)如图1，，过点C作于点G，交于点K，，，求线段的长； (2)如图2，，，点E是线段上一点，连接，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，使得，连接交于点H．猜想和的数量关系，并证明． 25．（26-27九年级上·北京·阶段检测）如图，在中，，，点在上（与点、不重合），过点作于点．连接，，将绕点逆时针旋转得到，连接、． (1)①依题意补全图形；②求证： (2)用等式表示线段与的数量关系，并证明． 26．（26-27八年级上·四川成都·阶段检测）结合图形解答下列各题： (1)如图1，在中，，，为边的中点，为边上一动点（点不与、重合），将射线绕点逆时针，所得射线与交于点，连接，猜想线段，，之间的数量关系并证明． 【类比迁移】 (2)如图2，在中，若，（1）中其他条件不变，上面的结论是否成立？请说明理由． 【拓展应用】 (3)如图3，在中，，为边的中点，为边所在直线上一动点（点不与、重合），将射线绕点逆时针，所得射线与边所在直线交于点，连接，，，，求的长． 27．（26-27九年级上·江西·期中）【基础回顾】（1）如图，E是正方形中边上任意一点，以点A为中心，将顺时针旋转后得到．如图1，若连接，则的形状为________； 【变式探究】（2）如图2，在（1）条件下，设与相交于P，在上取点Q，使，连接，猜想与的数量关系，并给予证明； 【联想拓展】（3）如图3，在中，，．点P是上一点，则，，之间存在的数量关系为________． 28．（26-27九年级上·贵州·期中）已知，，，，将绕点旋转得到，点的对应点为，点的对应点为，连接． (1)如图，将绕点B逆时针旋转，则的长为______； (2)当点落在直线上时，求的长． 29．（26-27九年级上·山西运城·阶段检测）综合与探究 问题情境：如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边，分别与正方形的边和交于点，（点与点，不重合）．探索线段，，之间的数量关系． (1)推理证明：求证：，并写出线段，，之间的数量关系：________； (2)拓展延伸：如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，探究下列问题： ①请你写出线段，，之间的数量关系，并说明理由； ②如图3，当菱形的边长为8，点在线段上且运动至与点距离恰好为7的位置，当旋转至时，请直接写出的长度． 30．（26-27八年级上·四川成都·阶段检测）如图，等腰直角和等腰直角，的延长线与直线交于点． (1)如图1，当点在线段上时，求证：，； (2)将等腰直角绕点旋转一周． ①如图2，当点在直线右侧时，判断，，的数量关系并证明； ②当时，若，，求． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $