微专题10 与旋转有关的计算&微专题11 旋转中常见的几何模型-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（人教版·新教材）

微专题10与旋转有关的计臂 堡型①与旋转有关的角度计算 上的点E处，点B落在点F处. 1.(大连期末)如图，在△ABC中，∠ABC= (1)作出△AFE(尺规作图，保留作图痕迹，不 110°，∠BAC=20°.将△ABC绕点A逆时针 写作法)； 旋转得到△AED,使点C的对应点D恰好落在 (2)在(1)的条件下，若∠B=36°，求∠BAE的 边AB的延长线上，则∠BCD的度数是 ( 度数 A.20° B.30° C.40° D.50° 第1题图 第2题图 2.如图，已知在△ABC中，∠CAB=20°，∠ABC =30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到 △ABC',分别连接BB,CC,则∠BC℃= 类型②与旋转有关的长度计算 3.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到 类型④与旋转有关的计算与证明 △EDC.若点A,D,E在同一条直线上，DE= 6.(广元期中)如图，在△ABC中，∠BAC=45°， √2，CD=5,则AD= AB=AC,将△ABC绕A点逆时针旋转得到 △ADE,连接BD,CE交于点F. (1)求证：∠CEA=∠BDA; (2)求∠EFD的度数； E B G (3)若AB=4,四边形ABFE是菱形，则FC的 第3题图 第4题图 长度为 4.（中考·东营)如图，四边形ABCD是正方形， E为CD上一点，将△ADE绕点A顺时针旋 转90°至△ABF,连接EF,AH⊥EF于点H, 交BC于点G.若BG=2,CG=1,则CE的长 为 堡型③旋转作图 5.(福州期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，D为AB的中点，将△ABC绕点A顺时 针旋转得到△AFE,点C落在线段CD延长线 85探究在线九年级数学（上） 微专题11 旋转中常见的几何模型 类型① 手拉手模型 数量关系： 1.如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，AD (2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步 和BE交于点F. 探究：如图②，点M,N分别在正方形ABCD (1)在图①中，点B,C,D在同一直线上，则线 的边CD,BC的延长线上，∠MAN=45°，连接 段AD,BE之间的数量关系是 MN,用等式写出线段MN,DM,BN的数量 它们所成的锐角∠AFB= ； 关系，并说明理由； (2)当△CDE绕点C沿逆时针方向旋转到 (3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向： 图②时，(1)中的结论还成立吗？请说明理由. 如图③，在四边形ABCD中，AB=AD, ∠BAD=120°，∠B+∠D=180°，点N,M分 别在边BC,CD上，∠MAN=60°，用等式写出 线段BN,DM,MN的数量关系，并说明理由. 图① 图② 图① 图② 图③ 堡型②半角模型 2.(中考·东营)【问题情境】在数学综合实践课 上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几 何问题.若四边形ABCD是正方形，M,N分 别在边CD,BC上，且∠MAN=45°，我们称之 为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋 转是一种常用的方法。 (1)【初步尝试】如图①，将△ADM绕点A顺 时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE, 连接MN.用等式写出线段DM,BN,MN的 第二十八章86∴.AD=CD,∠ADC=90°. 由作图可得DE=DB,CE=AB, ∴.△CDE≌△ADB. 整 ∴.△CDE可由△ADB绕点D顺时针旋转90°得到，即为 所求. 28.2.3关于原点对称的点的坐标 (2),三角形ACD为等腰直角三角形， 基础在线 ∴∠DAC=∠DCA=45. 1.D2.D3.A4.四 ∠BAC=90°， 5.C6.C7.C8.(2,-1) ,.∠DAB=∠DAC+∠BAC=135° 9.(1)与△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A'BC如 由旋转，得CE=AB=3,∠DCE=∠DAB=135°， 图所示。 ,.∠ACE=∠DCA+∠DCE=180° ∴点A,C,E在同一条直线上.∴AE=AC+CE=7. ∴.在Rt△ABE中，BE=√AB+AE=√32+7严=√58. 拓展在线 10.8105 11.(1)答案见图②，图③ 顺时针X又 (2)在△A'B'C中，与点P对应的点P的坐标为P(一3，一2). 能力在线 图① 图② 图③ 图④ (2)B(3)270 10.A11.D12.2√513.-12 14.(1)C(4,-2),D(1,2). 28.2中心对称 (2)绕点O旋转180°. 28.2.1中心对称及其性质 (3)20. 基础在线 15.(1)如图，△A1B1C即为所求，A点的坐标为（一2，一4） 1.B2.C (2)如图，△A2B2C2即为所求，B2点的坐标为(2，一1). 3.如图所示。 能力在线 4.B (3)如图，作点B关于x轴的对称点B',连接B'C,与x 轴的交点，即为所求点P,此时PB十PC的和最小， 5.(1)如图，建立平面直角坐标系，G(0,-),B'(2,-5). B(1,2),.B(1,-2). (2)画出平移后的菱形，如图所示。 设直线B'C的函数解析式为y=kx十b(k≠0)， 经过B(1,-2)和C(5,3), /+6=-2 =5 5k+b=3. 解得 6、13 y=6 13 x- 当0时，号号-0，解得 5 5, 拓展在线 6.D 使PB+PC的和最小的P点坐标为P(号，o）. 28.2.2中心对称图形 拓展在线 基础在线 16.D 1.C2.B3.12 微专题10与旋转有关的计算 4.(1)如图①，四边形ABCD即为所求 (2)如图②，△ACM即为所求（答案不唯一）. 1.B2.65° 3454号 5.(1)如图所示，△AFE即为所求 (2):∠ACB=90°，∠B=36°， ∴./CAB=90°-∠B=54°. 图② 又，∠ACB=90°，D为AB的中点， 图① 能力在线 .'BD=AD-CD. ∴.∠ACD=∠CAB=54° 5.④6.D 拓展在线 由旋转可得AC=AE, 7.如图所示。 ∴.∠ACE=∠CEA=54° .∠CAE=180°-54°-54°=72°. 一探究在线·九 .∠BAE=∠CAE-∠CAB=72°-54°=18°. 8.(1)如图，△A1B1C即为所求，A(2,-3),B(3,-2), 6.(1)证明：，△ABC绕A点逆时针旋转得到△ADE, C1(1,-1). ∠BAC=45°， .∠DAE=∠BAC=45°，AD=AB,AE=AC .∠BAD=∠CAE. .'AB-AC,..AD-AE. .△BAD≌△CAE(SAS).∠CEA=∠BDA. (2)设AD,CE相交于点O,如图， :∠AOE+∠OEA+∠OAE=180° ∠DOF+∠ODF+∠OFD=180°， ∠AOE=∠DOF,∠CEA=∠BDA, (2)(-a,-b)(3)(1,0) ∴∠OFD=∠OAE=45°，即∠EFD= 9.A10.B11.B12.6 45°. 13.(1)如图所示，△AEF即为所求作 (3)4√2-4 的三角形。 微专题11旋转中常见的几何模型 (2)连接AG 1.(1)AD=BE60 :△ABC绕点A顺时针旋转得到 (2)成立.理由如下： △AEF, ,△ABC和△CDE都是等边三角形， .△ABC≌△AEF.∴.BC=EF. .∠BCA=∠DCE=60, :AD为△ABC的中线，点D的对应点G恰好在CB的 BC=AC-AB,EC-DC=ED. 延长线上， .∠BCA+∠ACE=∠DCE+∠ACE. .∠BCE=∠ACD. ∴BD-2BC,G为EF的中点，AD=AG. (BC=AC, :∠EBF=90,∴BG=2ER.∴BG=BD, 在△BCE和△ACD中，∠BCE=∠ACD, LEC=DC, 即AB为△ADG的中线， ∴.△BCE≌△ACD(SAS). ∴.AB⊥DG.∴∠ABC=90° .AD=BE,∠CBE=∠CAD. 14.(1)B(2)5463 又，∠BGC=∠AGF, (3)∠C=90°，AC=4,BC=3,AB=5. ∠AFB=∠BCA=60°. 将△ABC绕点B逆时针旋转得到△FBE, .(1)中的结论还成立. ∴.BE=BC=3,EF=AC=4. 2.(1)DM+BN=MN ∴.AE=AB-BE=5-3=2. (2)BN一DM=MN.理由如下： ∴.AF=√AE+EF=√22+4=2√5. 如图②，将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重 核心素养提升 合，得到△ABE, 15.4√3 ∴.DM=BE,AM=AE,∠DAM=∠BAE,∠ADM= 第二十九章圆 ∠ABE=90°.∴.点E在BC上，∠MAE=90. :∠MAN=45°，∴∠EAN=∠MAN=45°. 29.1圆的有关概念 AN=AN,∴.△EAN≌△MAN(SAS). 29.1.1圆的有关概念 ∴.EN=MN.∴BN-BE=MN. 基础在线 1.C2.B3.A4.C5.A ∴.BN-DM=MN. 6.证△BOE≌△COF(ASA), (3)DM+BN=MN.理由如下： ..EO=FO,..CE=BF. 如图③，将△ADM绕点A顺时针旋转120°，点D与点B 重合，得到△ABE, 7.C8.A9.C .DM=BE,AM=AE,∠DAM=∠BAE,∠ADM= 能力在线 ∠ABE.∠BAD=120°，∠MAN=60° 10.B11.A12.C13.-1 .∠DAM+∠BAN=120-60°=60°. 14.(1)证明：⊙0的半径为OD,OB,OC,OA,.OA=OB ,∠BAE+∠BAN=∠EAN=60 -OD-OC. ∴.∠EAN=∠MAN. .OC=OC,BC=CD. :∠ABC+∠D=180°，∴.∠ABE+∠ABC=∠D+ '.△BOC≌△DOC(SSS) ∠ABC=180°..E,B,N三点共线. (2).OC=OB,.∠OCB=∠ABC=65° ,AN=AN,.△EAN≌△MAN(SAS) .∠C0B=180°-65°×2=50° .EN=MN.∴.EB+BN=MN. .△BOC≌△DOC, ∴.DM+BN=MN, .∠DOC=∠COB=50°.∴.∠DOB=100° OD=OB,∴△DOB是等腰三角形. ·∠ABD=∠ODB=180°-∠DOB=40. 2 15.(1)= 图② 图③ (2)如图，连接OA,OF,则OF=OA 单元综合复习（四）旋转 由(1)得OD=OC=2,AD=4, 热门考点突破 .OA2=OF=22+42=20. 1.C2.D3.4.54.465.A6.-67.m> 1 设正方形ECGF的边长为x 3 年级数学（上）一 25