28.1 图形的旋转题型专练2026-2027学年人教版九年级数学上册

人教版（2024）九年级上册 28.1 图形的旋转 题型专练 【题型1】旋转 【典例】在下列图案中，由“基本图形”用旋转的方法得到的有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【举一反三1】如图,若正方形EFGH是由正方形ABCD绕某点旋转得到的,则可以作为旋转中心的是(　　) A．点M或点O或点N B．点E或点O或点C C．点E或点O或点N D．点M或点O或点C 【举一反三2】如图，游乐场的大型摩天轮顺时针旋转1周需要24min（匀速）．启动10min时，旋转的度数为 __________． 【举一反三3】如图，在中，连接，将绕点顺时针旋转一定角度，得到，点分别旋转到了点.已知点在边上，，，则的长为__________ . 【举一反三4】时钟的时针在不停地旋转，从上午6时到上午9时，时针旋转的旋转角是多少度？从上午9时到上午10时呢？ 【举一反三5】如图①，O为直线AB上一点，作射线OC，使∠BOC＝60°，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点O处，一条直角边OP在射线OA上．将图①中的三角尺绕点O以每秒10°的速度按逆时针方向旋转（如图②所示），在旋转一周的过程中： (1) 当旋转6秒肘，求∠COQ的度数； (2) 第t秒时，OQ所在直线恰好平分∠BOC，求t的值． 【题型2】旋转的性质 【典例】如图，已知钝角三角形ABC，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转110°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为（　　） A．55° B．65° C．75° D．85° 【举一反三1】如图，在中，，点为中点，，绕点旋转，，分别与边，交于，两点，下列结论：①；②；③；④始终为等腰直角三角形，其中正确的是（ ） A．①④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【举一反三2】如图，将含角的直角三角尺绕点A逆时针旋转 得到，连接，的延长线交于点G， 的延长线交于点F，连接，下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【举一反三3】如图所示, 由 5 个相同的正方形组成的十字形纸片沿直线 和 剪开后重组可得到长方形 ,那么②可看作①通过一次得到_______(填“平移”“旋转”或“轴对称”). 【举一反三4】将绕着点逆时针旋转得，点的对应点是点，点的对应点是点．如果，那么的度数是__________ ． 【举一反三5】在中，，为的中点．将以点为中心顺时针方向旋转，点，的对应点分别为点，，与的交点为． (1) 如图1，当时，判断四边形的形状，并说明理由； (2) 如图2，当点恰好落在边上时， ① 猜想线段，的数量关系，并说明理由； ② 若，，请直接写出线段的长度． 【题型3】判断旋转中心、旋转角 【典例】如图，在6×4的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（ ） A．点M B．格点N C．格点P D．格点Q 【举一反三1】如图，小明坐在秋千上，秋千旋转了76°，小明的位置也从点A运动到了点A'，则旋转中心是点  __________ ，旋转角是∠  __________ ＝  __________ °． 【举一反三2】如图，将长方形先向__________平移__________格，再绕点__________顺时针旋转__________，就可以将其移至长方形的位置. 【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，，，，将向右平移6个单位长度得到，和关于原点O成中心对称. (1) 请画出和； (2) 若将绕某一点旋转得到，其旋转中心的坐标是__________. 【题型4】求旋转角 【典例】如图，在三角形中，，，将三角形绕点按顺时针方向旋转到三角形的位置，使得点、、在一条直线上，那么旋转角等于（ ） A． B． C． D． 【举一反三1】如图，绕点逆时针旋转，得到（点与点是对应点，点与点是对应点，点与点是对应点），点恰好落在边上，已知，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【举一反三2】如图，等边三角形绕点C顺时针旋转度后所得的图形与原图形关于某一点成中心对称，则旋转角度可以是（ ） A． B． C． D． 【举一反三3】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，如果将该三角形绕点A按顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B1恰好落在边BC的中点处，那么旋转的角度等于__________． 【举一反三4】如图，在中，，，将绕点顺时针旋转（）得到，其中点与点对应，点与点对应，若点恰好落在的边上，则的度数是 __________ ． 【举一反三5】(华师课本P168复习题T5)如图，钟摆的摆动是旋转，图中的旋转中心是哪一点?试用量角器测量旋转角度的大小.(精确到) 【题型5】求角度 【典例】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△ADE，连接BD，若AC＝2，DE＝1，则线段BD的长为（  ） A．3 B．3 C．2 D．2 【举一反三1】如图，分别将三角板ABC与ADE的一边AB与AE放置在直线l上，边AC与AD所在直线重合．现将三角板ABC绕点A逆时针旋转，三角板ADE绕点A顺时针旋转．当AB与AE第一次重合时，三角板停止运动．在旋转过程中，下列说法不正确的是（  ） A．当AB与DE垂直时，∠BAE＝150° B．当BC与DE平行时，∠BAE＝120° C．当AC与DE垂直时，∠BAE＝60° D．当BC与AE平行时，∠BAE＝45° 【举一反三2】如图，把绕点按逆时针方向旋转得到，若，则的度数为 __________ °． 【举一反三3】在中，，在同一平面内，将绕点逆时针旋转到的位置，使得，则__________． 【举一反三4】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝50°．将△ABC绕点B按逆时针方向旋转得△DBE，使点C落在AB边上，点A的对应点为点D，连接AD，求∠ADE的度数． 【题型6】求长度或面积 【典例】如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若四边形AECF的面积为25，DE＝2，则AE的长为（　　） A．5 B． C．7 D． 【举一反三1】如图，一个斜边长为的红色直角三角形纸片，一个斜边长为的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形，则红、蓝两张纸片的面积之和是（ ） A． B． C． D． 【举一反三2】如图，若△ABC绕某个点逆时针旋转后与△BDE重合，若AB=15，ED=8，则CD的长为__________ . 【举一反三3】如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为AB的中点，连接DE，将△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，求EF的长． 【举一反三4】正方形ABCD的边长为5，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM． (1) 求证：△DEF≌△DMF； (2) 若AE＝2，求EF的长． 【题型7】求最值 【典例】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点D是斜边上任意一点，将点D绕点C逆时针旋转60°得到点E，则线段DE长度的最小值为（  ） A． B． C． D．3 【举一反三1】分别以正方形的各边为直径向其内部作半圆得到的图形如图所示，将该图形绕其中心旋转一个合适的角度后会与原图形重合，则这个旋转角的最小度数是  __________ 度． 【举一反三2】如图，，将绕点逆时针旋转得到．连接，则的最小值为 __________ ． 【举一反三3】已知中，，点在边上，且，延长到点，使，连接，交于点，. (1) 如图1所示，求的度数； (2) 将线段绕着点，沿着逆时针方向旋转得到线段，连接. ① 如图2所示，若，求线段的最小值； ② 如图3所示，连接，求证：四边形是平行四边形； (3) 如图4所示，将线段，绕着点，沿着逆时针方向旋转到线段，连接，点是线段的中点，连接，若，，求线段的长度. 【题型8】旋转的综合 【典例】如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，点B的对应点为E，点A的对应点D落在线段上．若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【举一反三1】如图，在正方形的边上有一点，连接，把绕点逆时针旋转 ，得到，连接并延长与的延长线交于点 ．则的值为（ ） A． B． C． D． 【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点在原点上，，，，轴，将四边形绕点逆时针旋转，每次旋转，第2026次旋转后点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【举一反三3】两块相同的直角三角尺和（，）按如图摆放，顶点，，在直线上．现将三角尺绕顶点顺时针旋转得到三角尺，当三角尺的边与重合时停止旋转，则在旋转过程中与满足数量关系是 __________ ． 【举一反三4】数轴是一种工具，结合数轴与绝对值知识可以研究两点之间的距离．线段的计算和角的计算有紧密联系，借助数轴可以实现它们之间解法的迁移． 【观察】已知数轴上有两点、 (1) 如图，点表示的数是，点表示的数是，线段的长度为，可以理解为；如图，点表示的数是，点表示的数是，线段的长度为__________，可以理解为． 【归纳】 (2) 由此得出结论：若点表示的数是，点表示的数是，则与两点之间的距离__________． 【应用】 (3) 若点表示的数是，点表示的数是，，则，得__________． 【迁移】根据数轴的定义设计一种曲形数轴用来解决角度问题．如图，标记射线表示，规定顺时针方向为正方向，选取为单位长度．例如：射线表示，射线表示，则可以得到． (4) 若射线表示，射线表示，则__________（用含，的代数式表示）． (5) 如图，已知，，，射线，同时绕点以的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒，当时，求的值． 【题型9】旋转作图 【典例】如图，将两块全等的直角三角板拼接在一起，这个图形可以看作是由一块直角三角板绕着直角顶点经过一次顺时针旋转后得到的，那么旋转的角等于 A．30° B．60° C．90° D．180° 【举一反三1】(2021·江苏苏州中考)如图,在方格纸中,将Rt△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°后得到Rt△A'O'B,则下列四个图形中正确的是(　　) A． B． C． D． 【举一反三2】如图所示，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点三角形（顶点是网格线的交点）.以点为旋转中心，将三角形绕点逆时针旋转得到三角形；将三角形向左平移5个单位长度得到三角形.这样，三角形可以看作由三角形先以点为旋转中心，绕点顺时针旋转，然后向左平移5个单位长度得到的.除此以外，三角形还可以由三角形怎样变换得到呢?请你选择一种方法，写出变换过程：__________ ． 【举一反三3】如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形（简称格点正方形）.若再作一个格点正方形，并涂上阴影，使这两个格点正方形无重叠面积，且组成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个格点正方形的作法共有__________ 种. 【举一反三4】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，. (1)请在图中画出； (1)通过下列变换可以得到的有__________ （填写所有正确的序号） ①将绕原点旋转； ②将先沿轴翻折，再沿轴翻折； ③将沿直线翻折； ④将绕旋转，再向左平移2个单位长度. (1)已知点的坐标是，若以为原点，建立新的平面直角坐标系，横轴、纵轴与原坐标系的横轴、纵轴分别平行，且正方向相同，则在新的坐标系中，点的坐标是__________ . 【题型10】平面直角坐标系中的旋转 【典例】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，），以原点O为中心，将点A顺时针旋转150°得到点A′，则点A′的坐标为（　　） A．（0，﹣2） B．（1，﹣） C．（2，0） D．（，﹣1） 【举一反三1】如图，已知点A（﹣1，0），B（0，2），A与A′关于y轴对称，连结A′B，现将线段A′B以A′点为中心顺时针旋转90°得A'B'，点B的对应点B′的坐标为（　　） A．（3，1） B．（2，1） C．（4，1） D．（3，2） 【举一反三2】如图，已知点，将线段绕点A逆时针旋转至，则的坐标是 __________ ． 【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点，，. （1）将以原点O为旋转中心逆时针旋转后得到，点A，B，C分别对应点，，.请画出旋转后的图形； （2）将先向下平移5个单位长度，再向左平移4个单位长度后得到，点A，B，C分别对应点，，.请画出平移后的图形. 【题型11】求绕原点旋转90°后点的坐标 【典例】如图，已知菱形的顶点．若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转，则第100秒时，菱形的顶点B的坐标为（ ） A． B． C． D． 【举一反三1】如图，在平面直角坐标系中，按如图所示放置正方形，为上一点，其坐标为．将正方形绕坐标原点顺时针旋转，每秒旋转，旋转秒后点的对应点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【举一反三2】如图，点M的坐标为，将线段绕点O顺时针旋转得到线段，则点N的坐标为__________ ． 【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在x轴上，且．将绕原点O逆时针旋转并放大得到等腰直角三角形，且，再将绕原点O逆时针旋转并放大得到等腰直角三角形，且…依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标是__________ ． 【举一反三4】如图，已知点，，. (1) 将绕点逆时针旋转得，画出，并写出点的对应点的坐标为_______________. (2) 画出关于原点成中心对称的图形；并写出点的对应点的坐标为_______________. (3) 在平面直角坐标系内找点，使得、、、为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标为_______________. 【举一反三5】在平面直角坐标系中有、、三个点，如图1所示，如果将点绕点旋转后得到点，则称点与点关于点互为“垂链点”，其中一个点叫做另一个点关于点的“垂链点”． 例如：对于平面角坐标系中的三个点，，，因为点可以看作是将点绕点旋转后得到的一个点，所以点是点关于点的“垂链点”． 探究任务一： (1)已知点的坐标为，点的坐标为，则点___________点关于点的“垂链点”；（填“是”或“不是”） (2)已知点的坐标为，点的坐标为，若点是点关于点的“垂链点”，那么点的坐标是___________； 探究任务二： 已知点，并且点在轴上． (3)如图2所示，在一次函数的图象上存在点，且点是点关于点的“垂链点”，求点的坐标； (4)若在一次函数的图象上存在无数个点，且点是点关于点的“垂链点”． ①直接写出这个一次函数的表达式___________； ②若一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点是内部一点，且，，若点是线段上的一个动点，设点的横坐标为，求的面积与的函数关系式． 【题型12】求绕某点（非原点）旋转90°后点的坐标 【典例】如图，已知点，，A与关于x轴对称，连接，现将线段以B点为中心逆时针旋转得，点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【举一反三1】如图，在平面直角坐标系中，点，，动点在线段上（不与端点重合），点绕点逆时针旋转得到点，若点在反比例函数的图象上，则的取值范围是（ ）． A． B． C． D． 【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，将线段绕点A旋转，得到线段，则点B1的坐标是__________ ． 【举一反三3】（25-26九年级上·全国·期中）平面直角坐标系中，，，，连接，将绕B点顺时针旋转到． （1）点D的坐标为__________ ；（用字母m来表示） （2）连结，则的最小值为__________ ． 【举一反三4】如图，在网格图中建立的平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出关于原点对称的图形，并写出顶点的坐标； (2)画出绕点A逆时针旋转后的图形，并写出顶点的坐标． 【题型13】新定义与规律探究类 【典例】如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转 45° 后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2024次得到正方形OA2024B2024C2024，那么点A2024的坐标是（  ） A． B． C．（1，0） D．（0，1） 【举一反三1】如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0），B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到三角形①，②，③，④…，则三角形⑩的直角顶点的坐标为__________． 【举一反三2】在平面直角坐标系中，点P（x，y）经过某种变换后得到点P′（﹣y+1，x+2），我们把点P′（﹣y+1，x+2）叫做点P（x，y）的终结点.已知点P1的终结点为P2，点P2的终结点为P3，点P3的终结点为P4，这样依次得到P1、P2、P3、P4、…Pn、…，若点P1的坐标为（2，0），则点P3的坐标为__________,点P2026的坐标为__________． 【举一反三3】结合图形，解答下列各题： (1) 如图1，在方格纸中，点A，B，C，D，E均为格点． ① 画出关于直线对称的； ② 画出绕点A顺时针旋转90°得到的； (2) 定义：若将平面图形甲沿直线l作轴对称得图形乙，再将图形乙沿直线l的方向平移得图形丙，则称图形甲与图形丙成滑动对称．根据该定义，解决下列问题： ①如图2，已知方格纸中的三角形均为格点三角形，则成滑动对称的是（ ） ②成滑动对称的两个图形，其对应点的连线段（ ） A.与 B.与 C.与 D.互相平行 E.被直线l平分 F.与直线l垂直 【举一反三4】【定义新知】 如图1，在中，把绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接，当时，我们称是是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”． 【特例感知】 (1) 如图2，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”，点是“旋补中心”． ① __________； ② 若为等边三角形，请判断与的数量关系，并说明理由． 【迁移探究】 (2) 如图3，在中，，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”，点是“旋补中心”，请你判断（1）中与的数量关系是否仍然成立，并说明理由． 人教版（2024）九年级上册 28.1 图形的旋转 题型专练（参考答案） 【题型1】旋转 【典例】在下列图案中，由“基本图形”用旋转的方法得到的有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】从左起第1，3，4个图案可以通过旋转得到，第2个图案利用轴对称得到，所以由“基本图形”用旋转的方法得到的有3个. 【举一反三1】如图,若正方形EFGH是由正方形ABCD绕某点旋转得到的,则可以作为旋转中心的是(　　) A．点M或点O或点N B．点E或点O或点C C．点E或点O或点N D．点M或点O或点C 【答案】A 【解析】若以点M为旋转中心,把正方形ABCD顺时针旋转90°,则A点的对应点为H,B点的对应点为E,C点的对应点为F,D点的对应点为G,则可得到正方形EFGH;若以点O为旋转中心,把正方形ABCD旋转180°,则A点的对应点为G,B点的对应点为H,C点的对应点为E,D点的对应点为F,则可得到正方形EFGH;若以点N为旋转中心,把正方形ABCD逆时针旋转90°,则A点的对应点为F,B点的对应点为G,C点的对应点为H,D点的对应点为E,则可得到正方形EFGH.故选A. 【举一反三2】如图，游乐场的大型摩天轮顺时针旋转1周需要24min（匀速）．启动10min时，旋转的度数为 __________． 【答案】150° 【解析】解：∵旋转1周需要24min ∴1分钟旋转的度数为＝15°， ∴10min旋转的度数为15°×10＝150°． 故答案为：150°． 【举一反三3】如图，在中，连接，将绕点顺时针旋转一定角度，得到，点分别旋转到了点.已知点在边上，，，则的长为__________ . 【答案】 【解析】作于点，则， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， 由旋转可得， ， ， ， ， 故答案为：. 【举一反三4】时钟的时针在不停地旋转，从上午6时到上午9时，时针旋转的旋转角是多少度？从上午9时到上午10时呢？ 【答案】解：由钟面角的定义可知，钟面上每两个相邻数字之间所对应的圆心角的度数为 =30°， 从上午6时到上午9时，时针转过3个“大格”，时针旋转的旋转角为30°×3=90°， 从上午9时到上午10时，时针转过1个“大格”，时针旋转的旋转角为30°， 答：从上午6时到上午9时，时针旋转的旋转角是90度，从上午9时到上午10时，时针旋转的旋转角是30度． 【举一反三5】如图①，O为直线AB上一点，作射线OC，使∠BOC＝60°，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点O处，一条直角边OP在射线OA上．将图①中的三角尺绕点O以每秒10°的速度按逆时针方向旋转（如图②所示），在旋转一周的过程中： (1) 当旋转6秒肘，求∠COQ的度数； (2) 第t秒时，OQ所在直线恰好平分∠BOC，求t的值． 【答案】(1) 当旋转6秒肘，∠AOP＝6×10°＝60°， ∵∠AOP+∠BOQ＝90°， ∴∠BOQ＝30°， ∵∠BOC＝60°， ∴∠COQ＝∠BOC+∠BOQ， ＝60°+30° ＝90°； (2) ∵∠BOC＝60°且OQ所在直线恰好平分∠BOC， ∴∠BOQ＝∠BOC＝30°或∠BOQ＝180°+30°＝210°， ∴10t＝30+90或10t＝90+210， 解得t＝12或30． 【题型2】旋转的性质 【典例】如图，已知钝角三角形ABC，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转110°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为（　　） A．55° B．65° C．75° D．85° 【答案】C 【解析】解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转110°得到△AB′C′， ∴∠BAB′＝∠CAC′＝110°，AB＝AB′， ∴∠AB′B＝（180°﹣110°）＝35°， ∵AC′∥BB′， ∴∠C′AB′＝∠AB′B＝35°， ∴∠CAB′＝∠CAC′﹣∠C′AB′＝110°﹣35°＝75°． 故选：C． 【举一反三1】如图，在中，，点为中点，，绕点旋转，，分别与边，交于，两点，下列结论：①；②；③；④始终为等腰直角三角形，其中正确的是（ ） A．①④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【解析】如图所示，连接， ，， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，是等腰直角三角形，故④正确； 在中，由勾股定理得， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， 即， 在中，由勾股定理得， ∴，故②正确； ， ∵点为中点， ∴， ∴，故③正确； 正确的有①②③④. 故选：D. 【举一反三2】如图，将含角的直角三角尺绕点A逆时针旋转 得到，连接，的延长线交于点G， 的延长线交于点F，连接，下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由旋转性质可得，，，，，， 为等腰直角三角形， ，故A选项正确； ，， ， ，， 在中，， ，故B选项正确； 为等腰直角三角形， ， ， 在中，， ， ，故D选项正确； 设， ∵在中，， ∴， ∴， 在中，， 过 作于 ，如图， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，故C选项错误． 【举一反三3】如图所示, 由 5 个相同的正方形组成的十字形纸片沿直线 和 剪开后重组可得到长方形 ,那么②可看作①通过一次得到_______(填“平移”“旋转”或“轴对称”). 【答案】旋转 【举一反三4】将绕着点逆时针旋转得，点的对应点是点，点的对应点是点．如果，那么的度数是__________ ． 【答案】或 【解析】由旋转的性质，得， 设， （i）如图所示， 当时，则，， 根据题意，， 解得， （ii）如图所示， 当时，则，， 根据题意，， 解得 综上所述，的度数是或， 故答案为或． 【举一反三5】在中，，为的中点．将以点为中心顺时针方向旋转，点，的对应点分别为点，，与的交点为． (1) 如图1，当时，判断四边形的形状，并说明理由； (2) 如图2，当点恰好落在边上时， ① 猜想线段，的数量关系，并说明理由； ② 若，，请直接写出线段的长度． 【答案】(1) 解：四边形为菱形，理由如下： ， ， 根据旋转的性质可得，， ， ， ， ， ∴四边形为平行四边形， 为的中点， ， ∴平行四边形为菱形； (2) ① ，理由如下： 如图，连接， 根据旋转可得，， ，为的中点， ， ，即 根据（1）中可得， ， ，， ，为的中点， ， ，即， ， ， ； ② 如图，过点作于点， ， ， 根据三角形面积公式可得， ， 根据勾股定理可得， ， ． 【题型3】判断旋转中心、旋转角 【典例】如图，在6×4的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（ ） A．点M B．格点N C．格点P D．格点Q 【答案】B 【解析】如图，连接N和两个三角形的对应点； 发现两个三角形的对应点到点N的距离相等，因此格点N就是所求的旋转中心； 故选：B． 【举一反三1】如图，小明坐在秋千上，秋千旋转了76°，小明的位置也从点A运动到了点A'，则旋转中心是点  __________ ，旋转角是∠  __________ ＝  __________ °． 【答案】O ； A'OA ； 76° 【解析】解：∵小明的位置也从点A运动到了点A'， ∴A点和A'点是对应点， ∴旋转中心是点O，旋转角是∠A'OA＝76°． 故答案为：O，A'OA，76°． 【举一反三2】如图，将长方形先向__________平移__________格，再绕点__________顺时针旋转__________，就可以将其移至长方形的位置. 【答案】右； ； ； 【解析】由图可知，点向在平移格，到达点， 将长方形向右平移格，得到长方形， 由图可知，点绕点顺时针旋转，到达长方形的位置， 长方形绕点顺时针旋转，到达长方形的位置. 故答案为：右，，，. 【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，，，，将向右平移6个单位长度得到，和关于原点O成中心对称. (1) 请画出和； (2) 若将绕某一点旋转得到，其旋转中心的坐标是__________. 【答案】(1) 如图，和即为所求. (2) 如图，连接，，，交点为， 将绕某一点旋转得到，其旋转中心的坐标是. 【题型4】求旋转角 【典例】如图，在三角形中，，，将三角形绕点按顺时针方向旋转到三角形的位置，使得点、、在一条直线上，那么旋转角等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：旋转角BAB1=+=125°. 【举一反三1】如图，绕点逆时针旋转，得到（点与点是对应点，点与点是对应点，点与点是对应点），点恰好落在边上，已知，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵，∴ ∴， 由旋转可得， ∴， ∴. 【举一反三2】如图，等边三角形绕点C顺时针旋转度后所得的图形与原图形关于某一点成中心对称，则旋转角度可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵是等边三角形， ∴，， 当时，点绕点顺时针旋转， ∵且， ∴点的对应点与点重合点的对应点为， ∴，， ∴， ∴ ， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴与(即)关于对角线的中点成中心对称， 故符合题意. 当时，点绕点顺时针旋转，旋转后所得的图形与原图形不能关于某一点成中心对称； 当时，点绕点顺时针旋转，旋转后所得的图形与原图形不能关于某一点成中心对称； 当时，点绕点顺时针旋转，旋转后所得的图形与原图形不能关于某一点成中心对称； 【举一反三3】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，如果将该三角形绕点A按顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B1恰好落在边BC的中点处，那么旋转的角度等于__________． 【答案】60° 【解析】解：∵B1是BC的中点，∠CAB＝90°， ∴BB1＝CB1＝AB1， 又∵AB1＝AB， ∴△ABB1是等边三角形， ∴∠BAB1＝60°， 【举一反三4】如图，在中，，，将绕点顺时针旋转（）得到，其中点与点对应，点与点对应，若点恰好落在的边上，则的度数是 __________ ． 【答案】或 【解析】在中，，， ， 如下图所示，当点在边上时，； 如下图所示，当点在边上时， 由旋转可知，， ， ， ； 综上所述，或． 【举一反三5】(华师课本P168复习题T5)如图，钟摆的摆动是旋转，图中的旋转中心是哪一点?试用量角器测量旋转角度的大小.(精确到) 【答案】解　旋转中心是点,旋转角度约为. 【题型5】求角度 【典例】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△ADE，连接BD，若AC＝2，DE＝1，则线段BD的长为（  ） A．3 B．3 C．2 D．2 【答案】B 【解析】解：由旋转得，AD＝AB，DE＝BC＝1，AE＝AC＝2，∠DAB＝90°， ∴AB＝＝3， ∴AD＝AB＝3， ∵∠DAB＝90°， ∴BD＝＝3． 故选：B． 【举一反三1】如图，分别将三角板ABC与ADE的一边AB与AE放置在直线l上，边AC与AD所在直线重合．现将三角板ABC绕点A逆时针旋转，三角板ADE绕点A顺时针旋转．当AB与AE第一次重合时，三角板停止运动．在旋转过程中，下列说法不正确的是（  ） A．当AB与DE垂直时，∠BAE＝150° B．当BC与DE平行时，∠BAE＝120° C．当AC与DE垂直时，∠BAE＝60° D．当BC与AE平行时，∠BAE＝45° 【答案】B 【解析】解：当AB与DE垂直时，如图1， 由题意知∠AFE＝90°， ∴∠EAF＝180°﹣∠AFE﹣∠E＝30°， ∴∠BAE＝180°﹣∠EAF＝150°， ∴A正确， 故不符合题意； 当BC与DE平行时，如图2，过A作FQ∥BC，则FQ∥DE， ∴∠QAE＝∠E＝60°，∠BAQ＝∠B＝45°， ∴∠BAE＝∠QAE+∠BAQ＝105°， ∴B错误， 故符合题意； 当AC与DE垂直时，如图3， ∴AB∥DE， ∴∠BAE＝∠E＝60°， ∴C正确， 故不符合题意； 当BC与AE平行时，如图4， ∴∠BAE＝∠B＝45°， ∴D正确， 故不符合题意； 故选：B． 【举一反三2】如图，把绕点按逆时针方向旋转得到，若，则的度数为 __________ °． 【答案】20 【解析】∵绕点按逆时针方向旋转得到， ∴， ∵， ∴． 【举一反三3】在中，，在同一平面内，将绕点逆时针旋转到的位置，使得，则__________． 【答案】 【解析】解：∵，⸫， 又根据旋转的性质，AC=AE，⸫，⸫， 又根据旋转的性质，，⸫=. 【举一反三4】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝50°．将△ABC绕点B按逆时针方向旋转得△DBE，使点C落在AB边上，点A的对应点为点D，连接AD，求∠ADE的度数． 【答案】解：∵∠ABC＝90°，∠ABC＝50°， ∴∠CAB＝40°． ∵△ABC绕点B顺时针旋转得到△DBE，点E恰好在AB上， ∴BA＝BD，∠ABC＝∠DBA＝50°， ∴∠BAD＝∠ADB＝（180°﹣50°）＝65°， ∵∠BED＝∠ACB＝90°， ∴∠ADE＝∠ADB﹣∠DAB＝25°． 【题型6】求长度或面积 【典例】如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若四边形AECF的面积为25，DE＝2，则AE的长为（　　） A．5 B． C．7 D． 【答案】D 【解析】解：∵把△ADE顺时针旋转△ABF的位置， ∴四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于25， ∴AD＝DC＝5， ∵DE＝2， ∴Rt△ADE中，AE＝＝． 故选：D． 【举一反三1】如图，一个斜边长为的红色直角三角形纸片，一个斜边长为的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形，则红、蓝两张纸片的面积之和是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，因为DF=DE，∠AFD=∠DEB=90°，所以将三角形DEB绕点D逆时针旋转90°后，得到△FDT，此时A，F，T共线．DT=DB=6 ∵∠EDF=90°， ∴∠ADF+∠EDB=90°， ∵∠EDB=∠FDT， ∴∠ADF+∠FDT=90° ∴红、蓝两张纸片的面积之和=△ADT的面积=×10×6=30． 故选：A． 【举一反三2】如图，若△ABC绕某个点逆时针旋转后与△BDE重合，若AB=15，ED=8，则CD的长为__________ . 【答案】7 【解析】由旋转的性质可知BD=AB=15，BC=ED=8， 所以CD=BD-BC=7. 【举一反三3】如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为AB的中点，连接DE，将△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，求EF的长． 【答案】解：∵四边形ABCD正方形， ∴AD＝AB＝4，∠A＝90°， ∵E为AB的中点； ∴， ∴； 又∵△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到△DCF， ∴ED＝DF，∠EDF＝90°， ∴． 【举一反三4】正方形ABCD的边长为5，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM． (1) 求证：△DEF≌△DMF； (2) 若AE＝2，求EF的长． 【答案】(1) 证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM， ∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，AE＝CM， ∴F、C、M三点共线， ∴DE＝DM，∠EDM＝90°， ∴∠EDF+∠FDM＝90°， ∵∠EDF＝45°， ∴∠FDM＝∠EDF＝45°， 在△DEF和△DMF中， ， ∴△DEF≌△DMF（SAS）， ∴EF＝MF， ∴EF＝CF+AE； (2) 解：设EF＝MF＝x， ∵AE＝CM＝2，BC＝5， ∴BM＝BC+CM＝5+2＝7， ∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝7﹣x， ∴EB＝AB﹣AE＝5﹣2＝3， 在Rt△EBF中，由勾股定理得， EB2+BF2＝EF2即22+（4﹣x）2＝x2， 解得x＝， 则EF＝． 【题型7】求最值 【典例】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点D是斜边上任意一点，将点D绕点C逆时针旋转60°得到点E，则线段DE长度的最小值为（  ） A． B． C． D．3 【答案】A 【解析】由旋转的性质得，CD＝CE，∠DCE＝60°， ∴△CDE为等边三角形， ∴CD＝CE＝DE， 当DE最短，CD最短， 当CD⊥AB时，CD最短， 此时S△ABC＝AC•BC＝AB•CD， 即AC•BC＝AB•CD， 在Rt△ABC中，∠ACD＝90°，AB＝5，BC＝3， 由勾股定理得，AC＝4， ∴3×4＝5CD， ∴CD＝， ∴线段DE长度的最小值是， ∴故选：A. 【举一反三1】分别以正方形的各边为直径向其内部作半圆得到的图形如图所示，将该图形绕其中心旋转一个合适的角度后会与原图形重合，则这个旋转角的最小度数是  __________ 度． 【答案】90 【解析】解：图形可看作由一个基本图形每次旋转90°，旋转4次所组成，故最小旋转角为90°． 故答案为：90． 【举一反三2】如图，，将绕点逆时针旋转得到．连接，则的最小值为 __________ ． 【答案】 【解析】构造辅助线，过点，截取，连接， ， 为等腰直角三角形，即． ， ， 即为直角三角形． 线段绕点逆时针旋转得到， ，且． 又， ， ； ， ． 在中， ， ，从而． 设，则， 在中，由勾股定理得，， 代入，得， 展开并整理，得． ，该二次函数开口向上， 时，取得最小值， ∴CEmin⁡=1283=863． ， ∴BDmin⁡=863． 【举一反三3】已知中，，点在边上，且，延长到点，使，连接，交于点，. (1) 如图1所示，求的度数； (2) 将线段绕着点，沿着逆时针方向旋转得到线段，连接. ① 如图2所示，若，求线段的最小值； ② 如图3所示，连接，求证：四边形是平行四边形； (3) 如图4所示，将线段，绕着点，沿着逆时针方向旋转到线段，连接，点是线段的中点，连接，若，，求线段的长度. 【答案】(1) 如图：连接， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴； (2) ① 如图：连接， 由（1）可得为等边三角形， ∴， ∵将线段绕着点，沿着逆时针方向旋转得到线段，连接， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴由垂线段最短得，当时，取得最小值，此时也最小， ∵， ∴线段的最小值为； ② 如图，连接， 由（1）可得， ∴， ∵将线段绕着点，沿着逆时针方向旋转得到线段，连接， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； (3) 由（1）可得为等边三角形， ∴， ∵将线段，绕着点，沿着逆时针方向旋转到线段， ∴，， ∴， 如图，延长至点，使得， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， 由（1）可得， ∵， ∴， ∴点、、、四点共圆， ∴， 延长至点，使得，连接，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵点是线段的中点，， ∴为的中位线， ∴. 【题型8】旋转的综合 【典例】如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，点B的对应点为E，点A的对应点D落在线段上．若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵将绕点C顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵，∴， ∵， ∴， ∴． 故选C． 【举一反三1】如图，在正方形的边上有一点，连接，把绕点逆时针旋转 ，得到，连接并延长与的延长线交于点 ．则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】过点F作 延长线的垂线，垂足为点H，则 ， 由旋转得， ∵四边形是正方形， ∴， ，，设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，设， 则， ∴， ∴，而 ， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 同理可求， ∴， ∴， 故选：A． 【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点在原点上，，，，轴，将四边形绕点逆时针旋转，每次旋转，第2026次旋转后点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】连接，过点作，如图： ，， ， ， ， 在中，，， ， 在中，， ， ， ， 点的坐标为 ， 由旋转可知第一次旋转后点的坐标为， 第二次旋转后点的坐标为， 第三次旋转后点的坐标为， 每次旋转，， 每旋转4次为一个循环， ， 第2026次旋转结束时点的位置和第2次旋转结束时点的位置相同， 第2026次旋转结束时，点的坐标为. 【举一反三3】两块相同的直角三角尺和（，）按如图摆放，顶点，，在直线上．现将三角尺绕顶点顺时针旋转得到三角尺，当三角尺的边与重合时停止旋转，则在旋转过程中与满足数量关系是 __________ ． 【答案】 【解析】设旋转角为，根据题意，得， 又，， 故， 故， 故， 故， 故， 故答案为：． 【举一反三4】数轴是一种工具，结合数轴与绝对值知识可以研究两点之间的距离．线段的计算和角的计算有紧密联系，借助数轴可以实现它们之间解法的迁移． 【观察】已知数轴上有两点、 (1) 如图，点表示的数是，点表示的数是，线段的长度为，可以理解为；如图，点表示的数是，点表示的数是，线段的长度为__________，可以理解为． 【归纳】 (2) 由此得出结论：若点表示的数是，点表示的数是，则与两点之间的距离__________． 【应用】 (3) 若点表示的数是，点表示的数是，，则，得__________． 【迁移】根据数轴的定义设计一种曲形数轴用来解决角度问题．如图，标记射线表示，规定顺时针方向为正方向，选取为单位长度．例如：射线表示，射线表示，则可以得到． (4) 若射线表示，射线表示，则__________（用含，的代数式表示）． (5) 如图，已知，，，射线，同时绕点以的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒，当时，求的值． 【答案】(1) 解： ， 故答案为：； (2) 解：， 故答案为：； (3) 解：， ， 或， 或； 故答案为：或； (4) 解：∵射线表示，射线表示， ∴， 故答案为：； (5) 解：∵，，， ∴， ∵射线，同时绕点以的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒，， ∴旋转后，，， ∵， ∴， ∴或， 当时，解得； 当时，解得； 综上，当时，的值为或． 【题型9】旋转作图 【典例】如图，将两块全等的直角三角板拼接在一起，这个图形可以看作是由一块直角三角板绕着直角顶点经过一次顺时针旋转后得到的，那么旋转的角等于 A．30° B．60° C．90° D．180° 【答案】C 【举一反三1】(2021·江苏苏州中考)如图,在方格纸中,将Rt△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°后得到Rt△A'O'B,则下列四个图形中正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】选项B中的Rt△A'O'B是Rt△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°后得到的,故选项B符合题意.故选B. 【举一反三2】如图所示，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点三角形（顶点是网格线的交点）.以点为旋转中心，将三角形绕点逆时针旋转得到三角形；将三角形向左平移5个单位长度得到三角形.这样，三角形可以看作由三角形先以点为旋转中心，绕点顺时针旋转，然后向左平移5个单位长度得到的.除此以外，三角形还可以由三角形怎样变换得到呢?请你选择一种方法，写出变换过程：__________ ． 【答案】三角形可以看作由三角形先向左平移5个单位长度，再以点为旋转中心，绕点顺时针旋转得到(点为点左移5个单位长度所得) 【举一反三3】如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形（简称格点正方形）.若再作一个格点正方形，并涂上阴影，使这两个格点正方形无重叠面积，且组成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个格点正方形的作法共有__________ 种. 【答案】4 【解析】如图，这个格点正方形的作法共有4种. 【举一反三4】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，. (1)请在图中画出； (1)通过下列变换可以得到的有__________ （填写所有正确的序号） ①将绕原点旋转； ②将先沿轴翻折，再沿轴翻折； ③将沿直线翻折； ④将绕旋转，再向左平移2个单位长度. (1)已知点的坐标是，若以为原点，建立新的平面直角坐标系，横轴、纵轴与原坐标系的横轴、纵轴分别平行，且正方向相同，则在新的坐标系中，点的坐标是__________ . 【答案】(1)答案见解析 (1)①②④ (1). 【解析】(1)如图，即为所求； (1)∵点，，， ∴将绕原点旋转可得.故①符合题意， 如图， ∴将先沿轴翻折，再沿轴翻折可得，故②符合题意； 如图， 将沿直线翻折不能得到，故③不符合题意； 如图， ∴将绕旋转，再向左平移2个单位长度可得到，故④符合题意； 故答案为：①②④ (1)如图， 在新坐标系中. 【题型10】平面直角坐标系中的旋转 【典例】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，），以原点O为中心，将点A顺时针旋转150°得到点A′，则点A′的坐标为（　　） A．（0，﹣2） B．（1，﹣） C．（2，0） D．（，﹣1） 【答案】D 【解析】解：作AB⊥x轴于点B，A′C⊥x轴于点C， 则AB＝、OB＝1，∴OA＝＝2 ∴∠AOy＝30° ∴将点A顺时针旋转150°得到点A′后，如图所示， OA′＝OA＝2，∠A′OC＝30°， ∴A′C＝1、OC＝，即A′（，﹣1）， 故选：D． 【举一反三1】如图，已知点A（﹣1，0），B（0，2），A与A′关于y轴对称，连结A′B，现将线段A′B以A′点为中心顺时针旋转90°得A'B'，点B的对应点B′的坐标为（　　） A．（3，1） B．（2，1） C．（4，1） D．（3，2） 【答案】A 【解析】解：∵点A的坐标为（﹣1，0），点A′和点A关于y轴对称， ∴点A′的坐标为（1，0）， ∴OA′＝1． ∵点B坐标为（0，2）， ∴OB＝2． 过点B′作x轴的垂线，垂足为M， 由旋转可知， AB＝AB′，∠BA′B′＝90°， ∴∠BA′O+∠B′A′M＝∠BA′O+∠A′BO＝90°， ∴∠B′A′M＝∠A′BO． 在△A′BO和△B′A′M中， ， ∴△A′BO≌△B′A′M（AAS）， ∴B′M＝A′O＝1，A′M＝BO＝2， ∴OM＝1+2＝3， ∴点B′的坐标为（3，1）． 故选：A． 【举一反三2】如图，已知点，将线段绕点A逆时针旋转至，则的坐标是 __________ ． 【解析】 【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点，，. （1）将以原点O为旋转中心逆时针旋转后得到，点A，B，C分别对应点，，.请画出旋转后的图形； （2）将先向下平移5个单位长度，再向左平移4个单位长度后得到，点A，B，C分别对应点，，.请画出平移后的图形. 【答案】解：（1）如图，即为所求； （2）如图，即为所求. 【题型11】求绕原点旋转90°后点的坐标 【典例】如图，已知菱形的顶点．若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转，则第100秒时，菱形的顶点B的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转， ∴菱形绕点O逆时针旋转的时间为2秒，旋转的时间为8秒，即旋转一周的时间为8秒， ∵， ∴第100秒时，菱形的顶点B相当于回到原来的位置后又继续旋转两个象限，达到第三象限的角平分线上， ∴点B的坐标为． 【举一反三1】如图，在平面直角坐标系中，按如图所示放置正方形，为上一点，其坐标为．将正方形绕坐标原点顺时针旋转，每秒旋转，旋转秒后点的对应点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：如图所示， 令旋转1秒后点的对应点为点，分别过点和点作轴和轴的垂线，垂足分别为和， 由旋转可知，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中 ∴（） ∴，， ∵点， ∴，， ∴ 如图： 同理可得， 旋转2秒后点的对应点坐标为， 旋转3秒后点的对应点坐标为， 旋转4秒后点的对应点坐标为， 旋转5秒后点的对应点坐标为， 由此可见，点的对应点按，，，循环出现， 又∵， ∴旋转2025秒后点的对应点的坐标为， 故选：A． 【举一反三2】如图，点M的坐标为，将线段绕点O顺时针旋转得到线段，则点N的坐标为__________ ． 【答案】 【解析】解：过点M作轴于点A，过点N作轴于点B，如图所示： 则， ∵， ∴，， 根据旋转可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在x轴上，且．将绕原点O逆时针旋转并放大得到等腰直角三角形，且，再将绕原点O逆时针旋转并放大得到等腰直角三角形，且…依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标是__________ ． 【答案】 【解析】解：∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， 将绕原点O逆时针旋转得到等腰直角三角形，且， ∴， ∴， 依此规律， ∴每4次循环一周，， …， 总结规律得：横纵坐标的绝对值是， ∵, ∴与在同一象限，即第三象限， ∴点． 【举一反三4】如图，已知点，，. (1) 将绕点逆时针旋转得，画出，并写出点的对应点的坐标为_______________. (2) 画出关于原点成中心对称的图形；并写出点的对应点的坐标为_______________. (3) 在平面直角坐标系内找点，使得、、、为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标为_______________. 【答案】(1) 如图，即为所求， 则点的坐标为， 故答案为：. (2) 如图，即为所求， 则点的坐标为， 故答案为：. (3) ①如图，组成的平行四边形是， ，， 将点先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度可得到点， 将点先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度可得到点， ， ，即为； ②如图，组成的平行四边形是， 同理可得：； ③如图，组成的平行四边形是， 同理可得：； 故答案为：或或. 【举一反三5】在平面直角坐标系中有、、三个点，如图1所示，如果将点绕点旋转后得到点，则称点与点关于点互为“垂链点”，其中一个点叫做另一个点关于点的“垂链点”． 例如：对于平面角坐标系中的三个点，，，因为点可以看作是将点绕点旋转后得到的一个点，所以点是点关于点的“垂链点”． 探究任务一： (1)已知点的坐标为，点的坐标为，则点___________点关于点的“垂链点”；（填“是”或“不是”） (2)已知点的坐标为，点的坐标为，若点是点关于点的“垂链点”，那么点的坐标是___________； 探究任务二： 已知点，并且点在轴上． (3)如图2所示，在一次函数的图象上存在点，且点是点关于点的“垂链点”，求点的坐标； (4)若在一次函数的图象上存在无数个点，且点是点关于点的“垂链点”． ①直接写出这个一次函数的表达式___________； ②若一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点是内部一点，且，，若点是线段上的一个动点，设点的横坐标为，求的面积与的函数关系式． 【答案】（1）解：如图，分别过点、作轴的垂线，垂足为、， ∵，， ∴， ∴， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴点可看作将点绕点逆时针旋转后得到，满足“垂链点”的定义， ∴点是点关于点的“垂链点”． 故答案为：是； （2）解：①当点由点绕点逆时针旋转后得到时，如图，作轴，垂足为， ∵轴， ∴， ∴， 由旋转的性质可知，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴点的坐标为； ②当点由点绕点顺时针旋转后得到时，如图， 此时点与点关于点对称， ∴点的坐标为，即， 综上所述，点的坐标为或． 故答案为：或； （3）解：设， ①当点由点绕点逆时针旋转后得到时，如图，作轴，垂足为， 同理（2）可得， ∴，， ∵，， ∴，， ∴点的坐标为， 将代入，得 ， ， 解得， ∴点的坐标为； ②当点由点绕点顺时针旋转后得到时，如图，作轴，垂足为， 同理①可得， ∴，， ∴点的坐标为， 将代入，得 ， ， 解得， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或； （4）解：①设 由（3）可知，点的坐标为或， 消去可得，或， ∴点在直线或直线上， ∵， ∴一次函数的解析式为； ②如图，分别过点、作轴的垂线，垂足为、，作，垂足为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将代入，得，解得， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理可得， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在直角中，， ∴点的坐标为， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∵， 又∵点的横坐标为， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在直角中，， ∴． 【题型12】求绕某点（非原点）旋转90°后点的坐标 【典例】如图，已知点，，A与关于x轴对称，连接，现将线段以B点为中心逆时针旋转得，点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵点，A与关于x轴对称， ∴， ∵， ∴，， ∵将线段以B点为中心逆时针旋转得， ∴， 如图，过点作轴于点， 则， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵点在第四象限， ∴， 故选：A． 【举一反三1】如图，在平面直角坐标系中，点，，动点在线段上（不与端点重合），点绕点逆时针旋转得到点，若点在反比例函数的图象上，则的取值范围是（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵设直线的解析式为：， 将点，代入得： ， 由得：，即， 将代入中得：，即， ∴直线的解析式为：． ∵动点在线段上（不与端点重合）， ∴设动点． 过点作直线轴，过点作交直线于点，过点作交直线于点， ∵，， ∴， ∴， ∵点绕点逆时针旋转得到点， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴点， ∴，， ∴点，即点， ∴点，即点， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ， ， ， ∴得到关于的二次函数解析式为：， ∵，， ∴当时，有最大值为， ∵，， 又∵， ∴离对称轴越远的函数值越小， ∴当，有最小值为， ∵动点不与线段端点重合， ∴． 故选：A． 【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，将线段绕点A旋转，得到线段，则点B1的坐标是__________ ． 【答案】或 【解析】解：将线段绕点A逆时针旋转时，如图所示，得到线段，过点作轴于，过点作轴于， ∴，， ， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ， ∵， ， ∴， ∴， ∴； 将线段绕点A顺时针旋转时，如图， 同理可得； 故答案为：或． 【举一反三3】（25-26九年级上·全国·期中）平面直角坐标系中，，，，连接，将绕B点顺时针旋转到． （1）点D的坐标为__________ ；（用字母m来表示） （2）连结，则的最小值为__________ ． 【答案】  ； 【解析】解：（1）如图，过点D作轴于点E， 则， 由旋转知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 若点B在x轴正半轴上， ∴， ∴； 若点B在x轴负半轴上，则， 同理得； 综上，； 故答案为：； （2）由勾股定理得：， 当时，取得最小值8， 从而取得最小值， 故答案为：． 【举一反三4】如图，在网格图中建立的平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出关于原点对称的图形，并写出顶点的坐标； (2)画出绕点A逆时针旋转后的图形，并写出顶点的坐标． 【答案】（1）如图，即为所求， （2）如图，即为所求， 【题型13】新定义与规律探究类 【典例】如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转 45° 后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2024次得到正方形OA2024B2024C2024，那么点A2024的坐标是（  ） A． B． C．（1，0） D．（0，1） 【答案】D 【解析】解：由题知， 因为360°÷45°＝8， 所以每旋转八次点A的对应点重复出现． 因为2024÷8＝253， 所以点A2024的坐标与点A8的坐标相同． 又因为点A8与点A重合，且点A的坐标为（0，1）， 所以点A2024的坐标为（0，1）． 故选：D． 【举一反三1】如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0），B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到三角形①，②，③，④…，则三角形⑩的直角顶点的坐标为__________． 【答案】（36，0） 【解析】解：由原图到图③，相当于向右平移了12个单位长度，象这样平移三次直角顶点是（36，0），再旋转一次到三角形⑩，直角顶点仍然是（36，0），则三角形⑩的直角顶点的坐标为（36，0）． 【举一反三2】在平面直角坐标系中，点P（x，y）经过某种变换后得到点P′（﹣y+1，x+2），我们把点P′（﹣y+1，x+2）叫做点P（x，y）的终结点.已知点P1的终结点为P2，点P2的终结点为P3，点P3的终结点为P4，这样依次得到P1、P2、P3、P4、…Pn、…，若点P1的坐标为（2，0），则点P3的坐标为__________,点P2026的坐标为__________． 【答案】（﹣3，3）； （1，4） 【解析】解：根据题意得点P1的坐标为（2，0），则点P2的坐标为（1，4），点P3的坐标为（﹣3，3），点P4的坐标为（﹣2，-1）,点P5的坐标为（2，0）,可见，P1、P2、P3、P4、…Pn的坐标每4个一循环，2026÷4=506……2，∴点P2026的坐标与点P2的坐标相同，为（1，4）． 【举一反三3】结合图形，解答下列各题： (1) 如图1，在方格纸中，点A，B，C，D，E均为格点． ① 画出关于直线对称的； ② 画出绕点A顺时针旋转90°得到的； (2) 定义：若将平面图形甲沿直线l作轴对称得图形乙，再将图形乙沿直线l的方向平移得图形丙，则称图形甲与图形丙成滑动对称．根据该定义，解决下列问题： ①如图2，已知方格纸中的三角形均为格点三角形，则成滑动对称的是（ ） ②成滑动对称的两个图形，其对应点的连线段（ ） A.与 B.与 C.与 D.互相平行 E.被直线l平分 F.与直线l垂直 【答案】(2) ①解：A．与关于直线l对称，没有平移，不满足； B．与既有对称，也有平移，满足条件； C．与只是沿直线l平移，没有对称，不满足； ②解：由滑动对称含义知，轴对称图形中对应点的连线段被对称轴垂直平分，因而对应点连线段平行或重合，平移满足对应点的连线段平行或重合，但平移的方向是沿对称轴进行的，因而滑动对称对应点的连线段不平行，也不与直线l垂直，但被直线l平分，故选项A、C错误，选项B正确． 【举一反三4】【定义新知】 如图1，在中，把绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接，当时，我们称是是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”． 【特例感知】 (1) 如图2，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”，点是“旋补中心”． ① __________； ② 若为等边三角形，请判断与的数量关系，并说明理由． 【迁移探究】 (2) 如图3，在中，，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”，点是“旋补中心”，请你判断（1）中与的数量关系是否仍然成立，并说明理由． 【答案】(1) ① 由题意可知，， ， ； ② ，理由如下： 为等边三角形， ，， ， ， ， ， 由旋转可知，，， ， 是的“旋补中线”， 是边上的中线， ， ， ； (2) （1）中与的数量关系仍然成立，理由如下： 是的“旋补三角形”，， ， 是直角三角形， 是边上的中线， ， 在和中，， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $