精品解析：上海市七宝中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

七宝中学2026-27学年10月月考 一、填空题（1-6每题4分，7-12每题5分） 1. 已知直线，直线，若，则______________. 2. 抛物线的准线方程为______． 3. 已知双曲线：的一条渐近线为，则的焦距为_______． 4. 已知抛物线：的焦点为，若上的一点到直线的距离为8，则______． 5. 已知直线，圆，P，Q分别为直线l与圆O上的动点，则的最小值为__________． 6. 经过点作直线，若与连接，两点的线段有公共点，则的斜率的取值范围为___________． 7. 已知圆：，直线：，若与相切，则________． 8. 已知椭圆：（）的右焦点为，若，则椭圆的离心率为_________． 9. 已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，点是抛物线上两个不同点，且，则_______． 10. 已知双曲线的一条渐近线方程为，直线与交于，两点，分别过点，作的垂线，垂足为，．若四边形的面积为，则的虚半轴长为________． 11. 对任意实数，始终不在直线上的点构成的集合为________． 12. 若椭圆上存在点满足：，且的平分线与椭圆交于点，使得，则该椭圆的离心率________． 二、选择题（13-14每题4分，15-16每题5分） 13. 已知椭圆和双曲线的焦点相同，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 14. 已知椭圆的两个焦点是，若在椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 15. 如图，阴影部分的边界为四叶草曲线C，该曲线由顶点在原点、焦点在坐标轴上的四条抛物线围成，且这四条抛物线的焦点共圆.记轴上的两个焦点为，，C在第一象限端点为P，若点P在以，为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 16. 平面上有一条固定的线段和一条动直线，且与无公共点．点且使得最大，则的轨迹落在（ ） A. 双曲线，其焦点在直线上 B. 双曲线，其焦点在直线的中垂线上 C. 两条抛物线，其焦点在直线上 D. 两条抛物线，其焦点在直线的中垂线上 三、解答题 17. 已知的三个顶点坐标分别为、、． （1）求的边上的高所在的直线方程． （2）求的面积． 18. 若直线是圆的一条对称轴． （1）求圆的圆心坐标与半径； （2）求与直线平行的圆的切线方程． 19. 已知双曲线：（，）的右焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的渐近线方程为． （1）求双曲线的方程； （2）已知直线过点且与双曲线交于，两点，若，求直线的方程． 20. 已知椭圆：（）的左、右焦点分别是，，的离心率为，且过点，过且斜率大于0的直线交于，两点. （1）求的方程； （2）若的面积为，求直线的方程； （3）设为坐标原点，连接并延长交于点，求的最小值. 21. 已知圆：与抛物线：的三个公共点恰好构成等腰直角三角形．过抛物线上一点引射线，该射线与圆相切且与抛物线交于另一点，记该射线与轴的交点为． （1）求抛物线的标准方程； （2）若，求所在直线的斜率； （3）若，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七宝中学2026-27学年10月月考 一、填空题（1-6每题4分，7-12每题5分） 1. 已知直线，直线，若，则______________. 【答案】 【解析】 【分析】由两直线平行，且，即可求出的值. 【详解】因为，则且，所以. 2. 抛物线的准线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】将抛物线方程化为标准形式，确定焦点位置和参数的值，再代入对应准线公式求解 【详解】原抛物线标准形式为：，则，故， 故该抛物线的准线方程为. 3. 已知双曲线：的一条渐近线为，则的焦距为_______． 【答案】 【解析】 【详解】因为双曲线：的一条渐近线为，，故， 由得，， 因此，故双曲线的焦距为. 4. 已知抛物线：的焦点为，若上的一点到直线的距离为8，则______． 【答案】5 【解析】 【详解】抛物线：的准线为直线， 由上的一点到直线的距离为8，得点到直线的距离为5， 由抛物线定义得. 5. 已知直线，圆，P，Q分别为直线l与圆O上的动点，则的最小值为__________． 【答案】1 【解析】 【详解】圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 因此直线与圆相离，所以的最小值为. 6. 经过点作直线，若与连接，两点的线段有公共点，则的斜率的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据斜率公式及点与线段的位置即可求解． 【详解】由题知，，， 由图像可知，． 7. 已知圆：，直线：，若与相切，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先从圆方程读出圆心与半径，利用直线与圆相切时圆心到直线距离等于半径这一核心关系，套用点到直线距离公式列式，化简求解参数． 【详解】圆：的圆心，半径， 圆心到直线：的距离， 因为直线与圆相切，所以， 即，解得． 8. 已知椭圆：（）的右焦点为，若，则椭圆的离心率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到方程即可求解. 【详解】已知椭圆：（），且，则， 化简得，即，使用求根公式，得， 又因为，所以. 9. 已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，点是抛物线上两个不同点，且，则_______． 【答案】 【解析】 【详解】因为抛物线的焦点到其准线的距离为2，所以， 所以抛物线的方程为.又点在抛物线上，所以， 由得，，即，则， 由焦半径公式可得. 10. 已知双曲线的一条渐近线方程为，直线与交于，两点，分别过点，作的垂线，垂足为，．若四边形的面积为，则的虚半轴长为________． 【答案】 【解析】 【分析】通过四边形的面积计算，并得到点的坐标，代入双曲线的方程求解. 【详解】不妨设点在第一象限，如图， 直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，故， 因为，所以，由对称性易得四边形是平行四边形， 其面积为， 得，则，代入双曲线方程得，又， 解得，，则，即的虚半轴长为. 11. 对任意实数，始终不在直线上的点构成的集合为________． 【答案】 【解析】 【分析】将方程整理为，知方程无根；当时，利用可得所求区域；当时，知满足题意，验证可知该点符合要求；综合两种情况可得结果. 【详解】将直线方程转化为：， 不在题目所述直线上的点构成的集合表示不在直线上的点构成的集合， 方程无实数根； ①当时，，整理得：， 即满足条件的点在以为圆心，为半径的圆的内部. ②当点的横坐标时，代入直线方程得，令，解得：， 当时，必有取值，则当时，只有不在直线上. 所以不在直线上的点构成的集合为. 12. 若椭圆上存在点满足：，且的平分线与椭圆交于点，使得，则该椭圆的离心率________． 【答案】## 【解析】 【分析】设，则，利用余弦定理、勾股定理得；再由角平分线及正弦定理建立与角的关系，通过三角恒等变换求出比值，进而解得. 【详解】不妨设椭圆方程为，，则 设平分，记， 又设，因为，所以， 在与中由正弦定理得：①，②， 在中，由余弦定理得：， 在中，由勾股定理得： 所以，则. 由①②可得， 又，所以，则 于是，则. 由①②可得，则. 所以，则. 所以 于是 所以，则. 所以椭圆的离心率. 二、选择题（13-14每题4分，15-16每题5分） 13. 已知椭圆和双曲线的焦点相同，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】由题可知，所以. 14. 已知椭圆的两个焦点是，若在椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用椭圆的定义和题设等式求出焦半径，再结合椭圆中焦半径的范围，求解不等式即得离心率范围.． 【详解】由椭圆的定义，得， 又，联立解得， 因， 即 ,解得, 则离心率， 又，所以． 15. 如图，阴影部分的边界为四叶草曲线C，该曲线由顶点在原点、焦点在坐标轴上的四条抛物线围成，且这四条抛物线的焦点共圆.记轴上的两个焦点为，，C在第一象限端点为P，若点P在以，为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出点，根据双曲线的定义求出，，则离心率可求. 【详解】 设分别为对应抛物线的焦点， 根据已知四点共圆，则， 根据图形的对称性可知，则, 设，，因为C在第一象限端点为P， 所以点P为抛物线和的交点， 将两边平方得到，将代入 得到， 解得，将代入解得，则， ，， 则，，因为点P在以，为焦点的双曲线上，，，则离心率为. 16. 平面上有一条固定的线段和一条动直线，且与无公共点．点且使得最大，则的轨迹落在（ ） A. 双曲线，其焦点在直线上 B. 双曲线，其焦点在直线的中垂线上 C. 两条抛物线，其焦点在直线上 D. 两条抛物线，其焦点在直线的中垂线上 【答案】A 【解析】 【分析】以线段为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系，设出点的坐标，从而得到各线段长度，利用，利用正切关系列出关系式，即可得到最大时，点的坐标的方程. 【详解】如图，以线段为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系. 设，则.设直线方程为，则或.则. 设直线与轴交点为，，则. 若点在轴上，则，不满足最大，所以. 又， 所以. 则. 因为或，所以. 所以，当且仅当时等号成立. 所以当最大时，即. 又，即点在曲线上，. 所以的轨迹落在双曲线，其焦点在直线上. 三、解答题 17. 已知的三个顶点坐标分别为、、． （1）求的边上的高所在的直线方程． （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据高线的性质，结合互相垂直直线的斜率关系，结合直线点斜式方程进行求解即可； （2）根据点到直线距离公式、两点间距离公式、三角形面积公式进行求解即可. 【小问1详解】 解：∵，， ∴AB的斜率 ， ∴AB边高线斜率，又， ∴AB边上的高线方程为. 【小问2详解】 解：直线AB的方程为，即， 顶点C到直线AB的距离为， 又， ∴的面积 . 18. 若直线是圆的一条对称轴． （1）求圆的圆心坐标与半径； （2）求与直线平行的圆的切线方程． 【答案】（1）圆心，半径1 （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据直线经过圆心，可求的值，进而求得圆心和半径. （2）利用圆心到直线的距离等于圆的半径求切线方程. 【小问1详解】 由圆的方程可知，圆心， 由题意可知直线过圆心，即，解得， 所以圆心，半径. 【小问2详解】 设与直线平行的直线方程为，可得圆心到直线的距离等于半径， 即，解得或， 所以所求的直线的方程为或． 19. 已知双曲线：（，）的右焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的渐近线方程为． （1）求双曲线的方程； （2）已知直线过点且与双曲线交于，两点，若，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 抛物线的焦点坐标为，双曲线的半焦距， 双曲线的渐近线方程为，， 又，， 双曲线的方程为． 【小问2详解】 如图， 易知直线斜率存在，设直线的方程为（，）， 联立，消去，可得， 设，，则①，②， 又，可得③， 由①③可得，， 代入②，化简可得，解得， 则直线的方程为． 20. 已知椭圆：（）的左、右焦点分别是，，的离心率为，且过点，过且斜率大于0的直线交于，两点. （1）求的方程； （2）若的面积为，求直线的方程； （3）设为坐标原点，连接并延长交于点，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由离心率与椭圆过点建立关于，，的方程组，求出，，得到椭圆的标准方程. （2）设直线的斜率为（），与椭圆方程联立，用韦达定理表示与；把的面积用底与高表示，得到关于的方程，解出后写出直线的方程. （3）由椭圆关于原点对称得. 用点到直线距离公式求的面积；用面积公式与数量积表示，代入韦达定理的结果化简为，再用基本不等式求最小值. 【小问1详解】 设椭圆焦距为，由离心率，得. 又椭圆过点，所以. 由得，解得. 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由，得，，故，. 设直线（），与椭圆方程联立，消去得. 设，，则，. 于是. 以为底边，高为，所以面积. 整理得，平方得， 即，解得，又，故. 所以直线的方程为，即. 【小问3详解】 由椭圆关于原点对称，点与点关于原点对称，所以. 设的面积为. 直线经过原点，其方程为， 所以点到直线的距离，又，故. 由得，所以. 又. 由及，得. 代入，得， 所以. 由基本不等式，，当且仅当，即时取等号. 所以的最小值为. 21. 已知圆：与抛物线：的三个公共点恰好构成等腰直角三角形．过抛物线上一点引射线，该射线与圆相切且与抛物线交于另一点，记该射线与轴的交点为． （1）求抛物线的标准方程； （2）若，求所在直线的斜率； （3）若，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）联立圆与抛物线方程，结合对称性与等腰直角三角形的条件求解参数 p，得到抛物线标准方程；（2）设直线联立抛物线，利用切线距离条件、两直线夹角公式结合韦达定理求出参数，得到直线斜率；（3）由线段乘积条件证三角形相似，利用角相等建立正切等式求出，再转化用弦长与距离计算. 【小问1详解】 圆 的圆心为 ，半径 1，过原点 ， 联立圆与抛物线方程，消去 得 ，解得 或 ， 因此三个公共点为 ，，，三个公共点恰好构成等腰直角三角形，则直角顶点为原点，可得， 即，解得 ， (舍去)， 故抛物线的标准方程为. 【小问2详解】 易知的斜率不为0，设直线方程为，，，， 联立，得，所以，，， 因为，到距离，即， 因为，所以， 而，且， 所以，解得或，但时，舍去， 故，，故直线的斜率. 【小问3详解】 由，得，所以，从而， 由（2）知，而， 所以，解得，且， 又由，即， 由弦长公式知， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $