第14讲 认识二元一次方程组讲义2026-2027学年北师大版八年级数学上册

简一数理 初中专题讲义 第14讲 认识二元一次方程组 （新教材北师大版） 知识点一、二元一次方程的概念 2 知识点二、二元一次方程组的概念和解法 2 【题型1 二元一次方程的定义】 3 【题型2 二元一次方程的解】 3 【题型3 判断是否是二元一次方程组】 4 【题型4 判断是否是二元一次方程组的解】 4 【题型5 已知二元一次方程组的解求参数】 5 【题型6 根据实际问题列二元一次方程组】 5 【题型7 根据几何图形列二元一次方程组】 6 【探究式学习】 8 【课后检测】 10 【复盘笔记】 15 知识点一、二元一次方程的概念 1．二元一次方程：含有两个未知数，并且含未知数的项的最高次数是1的整式方程，叫做二元一次方程．二元一次方程的一般形式为：． 【例】，，，等都是二元一次方程． 2．二元一次方程的判定： 必须同时满足四个条件： （1）含有两个未知数——“二元”； （2）未知数项的最高次数为1——“一次”； （3）方程两边都是整式——整式方程； （4）未知数的系数不能为0． 【例】，，，等都是二元一次方程； ，，，等都不是二元一次方程． 3．二元一次方程的解：使二元一次方程左、右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 【注】任何一个二元一次方程都有无数个解． 【例】和是方程的解，可以看出有无数个解． 知识点二、二元一次方程组的概念和解法 1．二元一次方程组：由几个一次方程组成并含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组． 【注意】（1）二元一次方程组不一定由几个二元一次方程合在一起． （2）方程可以超过两个． 【例】，，等都是二元一次方程组． 2．二元一次方程组的解：使二元一次方程组的几个方程左、右两边都相等的两个未知数的值（即几个方程的公共解），叫做二元一次方程组的解． 【例】的解是． 3．二元一次方程组解的情况： 一般情况下，一个二元一次方程组只有唯一一组解；但在特殊情况下，二元一次方程组也可能无解或有无数组解． 【例】方程组有无数组解，方程组和无解． 【题型1 二元一次方程的定义】 【例1】若是关于，的二元一次方程，则m- n的值是（     ） A．1 B． C．5 D． 【变式1-1】若是关于、的二元一次方程，则m的值为（     ） A． B． C． D．或 【变式1-2】若是关于，的二元一次方程，则的值（     ） A．1 B．3 C． D． 【变式1-3】已知下列各式：①②③④⑤⑥．其中二元一次方程的个数是（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 【题型2 二元一次方程的解】 【例2】如果是方程的一组解，那么代数式的值是（     ） A．2 B．1 C．0 D． 【变式2-1】方程的非负整数解的个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2-2】关于和的二元一次方程和的部分解分别如表、表所示，则关于和的二元一次方程组的解是（     ） 表1 x 0 1 2 表2 x 0 1 2 y y 4 1 A． B． C． D． 【变式2-3】为了丰富学生课外小组活动，培养学生动手操作能力，王老师让学生把长的彩绳截成或的彩绳，用来做手工编织，在不造成浪费的前提下，你有几种不同的截法（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【题型3 判断是否是二元一次方程组】 【例3】李老师要求四位同学各编一个二元一次方程组，那么下面各方程组符合要求的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】下列方程组是二元一次方程组的有（    ） ①②③④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式3-2】下列方程中是二元一次方程组的有（   ） ①，②，③，④， A．个 B．个 C．个 D．个 【变式3-3】下列方程组是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【题型4 判断是否是二元一次方程组的解】 【例4】在下列方程组中，只有一个解的是（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】解为 的方程组可以是（      ） A． B． C． D． 【变式4-2】满足二元一次方程和的部分值分别如表1、表2所示，则方程组的解是（　　） 表1 0 1 2 2 0 表2 0 1 2 0 A． B． C． D． 【变式4-3】已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【题型5 已知二元一次方程组的解求参数】 【例5】小明解得方程组的解为，由于不小心滴上了两滴墨水刚好遮住了两个数和，则这两个数分别为（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式5-1】已知 ​是方程的解，则a的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式5-2】已知是方程的一个解，则的值是（   ） A． B． C．5 D．-5 【变式5-3】已知p为偶数，q为奇数，方程组的解是整数，那么（   ） A．x为奇数，y是偶数 B．x为偶数，y是奇数 C．x为偶数，y是偶数 D．x为奇数，y是奇数 【题型6 根据实际问题列二元一次方程组】 【例6】《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步，走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？设走路快的人走m步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了n步，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】“燕几”即宴几，是古代一种组合桌，由北宋进士黄伯思（字长睿）设计，他编写的《燕几图》是组合家具设计图册，也是益智玩具“七巧板”的萌芽．如图，给出了一款名为“屏山”的桌面组合方式，它由两张长桌、两张中桌和三张小桌组成一个长为，宽为的长方形．已知每张桌子的宽均相等，若设每张桌子的宽为，中桌的长为，根据题意，可列方程组（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】中国古代的数学著作《孙子算经》中，有这样一道题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每辆车坐3个人，那么就有2辆车空出来；如果每辆车坐2个人，那么就有9个人没车可坐，需步行．假设有x个人，有y辆车，可以获得的方程组为（     ） A． B． C． D． 【变式6-3】列方程组解古算题：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱六十．甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙共有钱；甲、乙两人各带了多少钱？设甲带钱的数量为x，乙带钱的数量为y，则可列方程组是（     ） A． B． C． D． 【题型7 根据几何图形列二元一次方程组】 【例7】如图，将四个形状、大小相同的长方形拼成一个大的长方形，若大长方形的周长为，设小长方形的长为、宽为，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【变式7-1】如图1，甲、乙两张等宽的长方形纸片，长分别为a，b，如图2，把甲纸片长的与乙纸片长的叠合在一起，此时纸片总长为30．则关于a，b的方程组不正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，用15块形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，已知大长方形的宽为，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为和，则依题意可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【变式7-3】如图，块形状相同，大小相等的长方形墙砖拼成一个大长方形，已知大长方形的长为，设长方形墙砖的长和宽分别为和，则可列出方程组（     ） A． B． C． D． 【探究式学习】 1．某数学小组在开展“实际问题中的整数分配”课题研究时，聚焦不定方程（为整数）的整数解问题，以 为具体研究图象，展开系列探究 … 1 5 9 … … 1 8 15 … (1)按上表中的规律，完成下列问题： ①数表中的整数解___________，___________； ②的所有整数解可表示为___________，___________．（用整数参数表示） (2)该数学小组进一步提出猜想：若整数，互质（即最大公约数为1），则对于任意整数，不定方程一定存在无数组整数解． 现师生共同完成如下证明过程： 已知，互质，设是方程的一个整数解（即）． 取任意整数，设，， …… 是任意整数，随着的取值变化，和会产生无数组不同的整数， 方程存在无数组整数解． 阅读以上证明过程，请你补充证明中所缺的内容． 2．【阅读材料】通过学习教材第109页的数学活动1，我们知道，二元一次方程有无数个解，如果把每一组解用有序数对表示，在平面直角坐标系中标出这些点，就会发现它们在同一条直线上． 例如：是方程的一个解，对应点，另外方程的解还对应点，，…，如图所示，将这些点连起来正是一条直线；反过来，在这条直线上任取一点，这个点的坐标也是方程的解．所以，我们就把这条直线叫做方程的图象． 【初步探究】 （1）已知点在方程的图象上，则a的值为______； （2）在所给的坐标系中画出方程的图象； 【理解应用】 （3）根据所画图象，可以直接得到二元一次方程组的解是______．这种根据图象得出二元一次方程组的解的过程，体现的数学思想是______． A．分类讨论思想                    B．数形结合思想                C．方程思想 （4）点在方程的图象上，把点P先向上平移m个单位长度，再向左平移n个单位长度得到点．若点恰好落在方程的图象上，求点P的坐标．    【课后检测】 1．下列方程中是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．已知是关于，的方程的一组解，则的值为（     ） A．1 B．0 C．-1 D． 3．《九章算术》中记载了一道题，原文是：籴（dí）上粟二斗、下粟三斗，共价六十二钱；上粟五斗、下粟四斗，共价九十九钱，问上下粟斗价各几何？译文是：买2斗上粟，3斗下粟共62钱；买5斗上粟，4斗下粟共99钱，求上、下粟每斗价格？设上粟每斗钱，下粟每斗钱，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 4．已知二元一次方程组的解是，则该方程组可以为（     ） A． B． C． D． 5．若是关于x，y的方程的一个解，那么a的值是（     ） A． B．0 C．3 D．7 6．某中学计划租用辆汽车运送七年级名学生到当地中小学生社会实践基地进行社会实践活动，若全租用45座客车，则有35名学生没有座位；若全租用60座客车，则其中有一辆车只坐了35人，并且还空出一辆车．根据题意可列方程组为（     ） A． B． C． D． 7．某段待检修的高铁轨道总长为米．检修组长说：“若再铺设米新轨，就能刚好分成段米和段米的标准检测段”．技术员说：“若裁去米破损段，就能刚好分成段米和段米的合格施工段”，则可能是（    ）米． A． B． C． D． 8．某校举办青年教师座谈会，若每桌坐8人，则有6人没有座位；若每桌坐10人，则最后一桌只有6人．设青年教师有x人，桌子有y张，则（     ） A． B． C． D． 9．“圭表”是中国古代重要的天文观测仪器，由“圭”（水平尺）和“表”（垂直立杆）组成，用于测日影定节气，通常圭长比表长多5尺．某处圭表在夏至日正午测得影长为表长的，此时圭长比影长多9尺．设表长为尺，圭长为尺，根据题意可列方程组为（     ） A． B． C． D． 10．阿图什的无花果即将上市，为了满足内地客户，现需制作包装盒．已知包装盒是由1个外盒和6个水果托组成（其中水果托用来固定无花果）．每个工人每天可以加工外盒20个或者加工水果托60个，现有工人72名，应怎样安排人力，才能使每天生产的外盒和水果托配套？设安排x个人生产外盒，安排y个人生产水果托．则列出二元一次方程组为（） A． B． C． D． 11．如果是关于，的二元一次方程，则的值为_________． 12．已知方程，请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程所组成的方程组的解为______________． 13．关于x、y的方程组的解是，则的值是____________． 14．若方程组，则的值是_____． 15．小明与爸爸一起做“投篮球”游戏．两人商定规则为：小明投中1个得3分，爸爸投中1个得1分．结果两人一共投中了20个，经计算，发现两人的得分恰好相等．你能知道他们两人各投中几个吗?设爸爸投中x个，小明投中y个，可列方程组为________． 16．若是二元一次方程的一个解，求的值． 17．定义新概念：若平面直角坐标系中的点的横、纵坐标满足方程，则称点是方程的坐标点，例如，点就是方程的坐标点． (1)写出方程的另一个坐标点是______．（答案不唯一） (2)若有一个点是方程的坐标点，求的值． 18．2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某物流公司为提高工作效率．拟购买两种型号智能机器人．若买1台型机器人、4台型机器人，共需320万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元．求两种型号智能机器人的单价． 19．龙门学校组织150名师生参观植物园，算一算，怎样租车最便宜？最便宜需多少钱？ 租车报价单 48个座位的普通大巴    每天500元/辆 37个座位的豪华中巴    每天350元/辆 20．综合与实践． 【问题背景】荣昌夏布和荣昌折扇（如图1）均是“荣昌四宝”非遗产品．荣昌折扇由扇骨、扇面、扇钉等部分构成（如图2），荣昌夏布常常用来制作荣昌折扇扇面，某数学学习小组到扇面制作加工点进行综合与实践探究扇面制作中的数学问题． 【数据测量】测得A，B两种型号折扇收拢时的数据（左侧为扇面部分），如图3所示． 【数学思考】将折扇全部打开是一个半圆面，显然，扇面是由一个特殊的矩形裁剪而来的，如图4所示．根据该学习小组所测量的数据结合图4，完成填空： (1)如图5，要裁剪A种型号折扇的扇面需要的矩形（称为A型矩形）长是____________，宽是____________；要裁剪B种型号折扇的扇面需要的矩形（称为B型矩形）长是____________，宽是____________． (2)【问题解决】该扇面加工点有一块长为，宽为的夏布，如图6，用这块夏布来裁剪出A型矩形和B型矩形，可以有两种分割方式裁剪：一种是横向分割成上下两部分，分别用来裁剪A型矩形和B型矩形，另一种是纵向分割成左右两部分，分别用来裁剪A型矩形和B型矩形（两种都要有）． 请计算横向分割和纵向分割，在最少浪费布料的情况下，分别能裁剪出A型矩形和B型矩形各多少块？ (3)【拓展应用】一块A型扇面销售价为80元，一块B型扇面销售价为60元． 在（2）的条件下，哪种裁剪方式获得的销售额最大？最大销售额是多少？ 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 32 页 第 1 页 共 32 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 第14讲 认识二元一次方程组 （新教材北师大版） 知识点一、二元一次方程的概念 2 知识点二、二元一次方程组的概念和解法 2 【题型1 二元一次方程的定义】 3 【题型2 二元一次方程的解】 4 【题型3 判断是否是二元一次方程组】 6 【题型4 判断是否是二元一次方程组的解】 8 【题型5 已知二元一次方程组的解求参数】 10 【题型6 根据实际问题列二元一次方程组】 12 【题型7 根据几何图形列二元一次方程组】 14 【探究式学习】 16 【课后检测】 20 【复盘笔记】 32 知识点一、二元一次方程的概念 1．二元一次方程：含有两个未知数，并且含未知数的项的最高次数是1的整式方程，叫做二元一次方程．二元一次方程的一般形式为：． 【例】，，，等都是二元一次方程． 2．二元一次方程的判定： 必须同时满足四个条件： （1）含有两个未知数——“二元”； （2）未知数项的最高次数为1——“一次”； （3）方程两边都是整式——整式方程； （4）未知数的系数不能为0． 【例】，，，等都是二元一次方程； ，，，等都不是二元一次方程． 3．二元一次方程的解：使二元一次方程左、右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 【注】任何一个二元一次方程都有无数个解． 【例】和是方程的解，可以看出有无数个解． 知识点二、二元一次方程组的概念和解法 1．二元一次方程组：由几个一次方程组成并含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组． 【注意】（1）二元一次方程组不一定由几个二元一次方程合在一起． （2）方程可以超过两个． 【例】，，等都是二元一次方程组． 2．二元一次方程组的解：使二元一次方程组的几个方程左、右两边都相等的两个未知数的值（即几个方程的公共解），叫做二元一次方程组的解． 【例】的解是． 3．二元一次方程组解的情况： 一般情况下，一个二元一次方程组只有唯一一组解；但在特殊情况下，二元一次方程组也可能无解或有无数组解． 【例】方程组有无数组解，方程组和无解． 【题型1 二元一次方程的定义】 【例1】若是关于，的二元一次方程，则m- n的值是（     ） A．1 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程的定义，列关于，的方程和不等式，求解后代入计算的值． 【详解】解：∵ 方程是关于，的二元一次方程， ∴且 且且， ∵， 解得 ． ∵ ， ∴ ，则． ∵ ，解得 ． ∵ ， ∴ ，则． ∴ ． 【变式1-1】若是关于、的二元一次方程，则m的值为（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【详解】解：∵ 方程是关于,的二元一次方程， ∴ ，且， 解，得或， 又， ∴ . 【变式1-2】若是关于，的二元一次方程，则的值（     ） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】从二元一次方程“二元”“一次”的核心特征入手，列关于的关系式求解． 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程， ∴且， 由得， 解得或， 由，得， ∴． 【变式1-3】已知下列各式：①②③④⑤⑥．其中二元一次方程的个数是（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】根据二元一次方程的定义判断，二元一次方程需满足三个条件：是整式方程，只含有2个未知数，含未知数项的最高次数为1，逐个分析即可． 【详解】解：逐个判断各式子：① 不是等式，不属于方程，不符合要求； ② 分母含有未知数，不是整式方程，不符合要求； ③ 中项的次数为2，不符合一次的要求，不符合； ④ 含有三个未知数，不符合二元的要求，不符合； ⑤ 是整式方程，只含两个未知数，且所有未知数项的最高次数为1，是二元一次方程； ⑥ 是整式方程，只含两个未知数，且所有未知数项的最高次数为1，是二元一次方程；因此符合要求的二元一次方程共2个． 【题型2 二元一次方程的解】 【例2】如果是方程的一组解，那么代数式的值是（     ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【详解】解：∵是方程的一组解， ∴； ∴. 【变式2-1】方程的非负整数解的个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵，是非负整数， ∴，即，且是2的倍数， ∴，且为偶数， ∴的可能取值为0，2，4，6， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴非负整数解共有4个． 【变式2-2】关于和的二元一次方程和的部分解分别如表、表所示，则关于和的二元一次方程组的解是（     ） 表1 x 0 1 2 表2 x 0 1 2 y y 4 1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“二元一次方程组的解是同时满足两个方程的公共解”，分析表格中数据即可获得答案． 【详解】解：∵二元一次方程组的解是同时满足两个方程的公共解， ∴对比表1与表2的对应值， 当时，两表的值均为， 即为方程组的解． 【变式2-3】为了丰富学生课外小组活动，培养学生动手操作能力，王老师让学生把长的彩绳截成或的彩绳，用来做手工编织，在不造成浪费的前提下，你有几种不同的截法（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】设截成长的彩绳x根，截成长的彩绳y根，根据总长度为且不造成浪费，列出二元一次方程，结合x，y均为非负整数的隐含条件，找出所有符合要求的解，统计解的个数即可得到截法数量． 【详解】解：设截成长的彩绳x根，截成长的彩绳y根， 根据题意，得， ∵x、y都是非负整数， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，（不符合题意）， ∴一共有3种不同的截法． 【题型3 判断是否是二元一次方程组】 【例3】李老师要求四位同学各编一个二元一次方程组，那么下面各方程组符合要求的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．分母含有未知数，不是二元一次方程组； B．符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组； C．最高项次数是2，不是二元一次方程组； D．最高项次数是2，不是二元一次方程组． 【变式3-1】下列方程组是二元一次方程组的有（    ） ①②③④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．据此逐个判断即可． 【详解】①符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组； ②中，未知数的次数为2，不符合二元一次方程组的定义，故不是二元一次方程组； ③方程组含x，y，z三个未知数，不符合二元一次方程组的定义，故不是二元一次方程组； ④符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组； 故是二元一次方程组的有①④，一共2个． 【变式3-2】下列方程中是二元一次方程组的有（   ） ①，②，③，④， A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组，逐项进行分析即可判断求解，掌握二元一次方程组的定义是解题的关键． 【详解】解：方程组中是二元二次方程，故不是二元一次方程组，不合题意； 方程组是二元一次方程组，故符合题意； 方程组中不是整式方程，故不是二元一次方程组，不合题意； 方程组中含有个未知数，故不是二元一次方程组，不合题意； ∴是二元一次方程组的有个， 故选：A． 【变式3-3】下列方程组是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组的条件：由两个一次方程组成，且含有两个未知数的方程组，进行判断即可． 【详解】解：A、含有三个未知数，不是二元一次方程组，不符合题意； B、不是整式方程，不是二元一次方程组，不符合题意； C、符合二元一次方程组条件，是二元一次方程组，符合题意； D、最高次次数为2，不是二元一次方程组，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义；数量掌握二元一次方程组的概念是解题的关键． 【题型4 判断是否是二元一次方程组的解】 【例4】在下列方程组中，只有一个解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可通过化简方程组，根据两个方程系数的关系判断解的个数，两个一次方程对应未知数系数不成比例时，方程组只有一个解． 【详解】选项A：对于，将第二个方程两边同除以3，得，与第一个方程完全相同，因此方程组有无数个解，故A不符合要求； 选项B：对于，将第二个方程两边同除以2，得，与矛盾，因此方程组无解，故B不符合要求； 选项C：对于，将第一个方程两边同乘2，得，与矛盾，因此方程组无解，故C不符合要求； 选项D：对于，化简第二个方程得，两个方程未知数对应系数不成比例，联立可求得唯一解，因此方程组只有一个解，故D符合要求． 【变式4-1】解为 的方程组可以是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将代入各选项进行排除即可，正确理解二元一次方程组的解得定义是解题的关键． 【详解】解：、将代入可知，，不符合题意； 、将代入可知，，不符合题意； 、将代入可知，，符合题意； 、将代入可知，，不符合题意； 故选：． 【变式4-2】满足二元一次方程和的部分值分别如表1、表2所示，则方程组的解是（　　） 表1 0 1 2 2 0 表2 0 1 2 0 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意及表格，找出两个方程公共解即可． 【详解】解：由表格数据可知，二元一次方程和相同的一组解是， 则方程组的解是． 【变式4-3】已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题关键． 先将方程组的解代入第一个方程可求出的值，从而可得这个方程组的解，再在四个选项中，找出满足这个解的方程即可得． 【详解】解：由题意，将代入方程得：，解得，所以这个方程组的解为， A、将代入得：，则此项不符合题意； B、将代入得：，则此项不符合题意； C、将代入得：，则此项不符合题意； D、将代入得：，则此项符合题意； 故选：D． 【题型5 已知二元一次方程组的解求参数】 【例5】小明解得方程组的解为，由于不小心滴上了两滴墨水刚好遮住了两个数和，则这两个数分别为（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】先将代入，求出的值，再计算出的值即可． 【详解】解：将代入，得， 解得， ∴表示的数为， 当，时，， ∴表示的数为． 【变式5-1】已知 ​是方程的解，则a的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵​是方程的解， ∴ 解得： 【变式5-2】已知是方程的一个解，则的值是（   ） A． B． C．5 D．-5 【答案】B 【分析】根据二元一次方程解的定义，将已知解代入原方程，得到关于k的一元一次方程，求解即可得到k的值． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴将，代入方程得， 移项整理得， 解得：． 【变式5-3】已知p为偶数，q为奇数，方程组的解是整数，那么（   ） A．x为奇数，y是偶数 B．x为偶数，y是奇数 C．x为偶数，y是偶数 D．x为奇数，y是奇数 【答案】B 【分析】此题考查的是解二元一次方程组和奇偶数的性质，根据奇偶数的性质一一验证即可得出答案． 【详解】解：．当x为奇数，y是偶数时，则p为奇数，q为奇数，与题干不符，故该选项不符合题意； ．当x为偶数，y是奇数时，则为偶数偶数偶数，为偶数奇数奇数，与题干符合，故该选项符合题意； ．当x为偶数，y是偶数时，则p为偶数，q为偶数，与题干不符，故该选项不符合题意； ．当x为奇数，y是奇数时，则为奇数偶数奇数，与题干不符，故该选项不符合题意； 故选：B． 【题型6 根据实际问题列二元一次方程组】 【例6】《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步，走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？设走路快的人走m步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了n步，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据走路快的人追上走路慢的人时，快行者比慢行者多走100步，且两人运动时间相等，走路快的人走m步与走路慢的人走n步所用的时间相等，即可列出相应的方程组． 【详解】解：设走路快的人走m步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了n步， 则可列方程组为． 【变式6-1】“燕几”即宴几，是古代一种组合桌，由北宋进士黄伯思（字长睿）设计，他编写的《燕几图》是组合家具设计图册，也是益智玩具“七巧板”的萌芽．如图，给出了一款名为“屏山”的桌面组合方式，它由两张长桌、两张中桌和三张小桌组成一个长为，宽为的长方形．已知每张桌子的宽均相等，若设每张桌子的宽为，中桌的长为，根据题意，可列方程组（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意及图形列方程组即可． 【详解】解：设每张桌子的宽为，中桌的长为， 列方程组为． 【变式6-2】中国古代的数学著作《孙子算经》中，有这样一道题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每辆车坐3个人，那么就有2辆车空出来；如果每辆车坐2个人，那么就有9个人没车可坐，需步行．假设有x个人，有y辆车，可以获得的方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抓住总人数、车辆数不变的特点，结合两种乘车方案列方程组即可． 【详解】解：设有个人，辆车． ∵每辆车坐3人，有2辆车空， ∴； ∵每辆车坐2人，有9人步行， ∴； ∴可得方程组． 【变式6-3】列方程组解古算题：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱六十．甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙共有钱；甲、乙两人各带了多少钱？设甲带钱的数量为x，乙带钱的数量为y，则可列方程组是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抓住“得到钱后总钱数”的两个等量关系，分别列方程联立即可． 【详解】解：∵甲得到乙所有钱的一半后共有钱50， ∴； ∵乙得到甲所有钱的后共有钱60， ∴； ∴联立得方程组． 【题型7 根据几何图形列二元一次方程组】 【例7】如图，将四个形状、大小相同的长方形拼成一个大的长方形，若大长方形的周长为，设小长方形的长为、宽为，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过小长方形长、宽表示大长方形的长、宽之和，以及大长方形宽的不同表示方法，找出等量关系列方程组． 【详解】解：大长方形的周长为30， 大长方形的长、宽之和为15， 即， 由图得，， ． 【变式7-1】如图1，甲、乙两张等宽的长方形纸片，长分别为a，b，如图2，把甲纸片长的与乙纸片长的叠合在一起，此时纸片总长为30．则关于a，b的方程组不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意找出两个等量关系：一是重叠部分的长度相等，二是拼接后的总长度为30，据此列出方程或方程组进行判断即可． 【详解】解： ∵甲纸片长的与乙纸片长的叠合在一起， ∴重叠部分的长度为，也为，即 变形可得，即或，也可得 ∵此时纸片总长为30 ∴总长可表示为：甲未重叠部分+乙全长，即即或表示为：甲全长+乙未重叠部分，即即， 对于A，符合题意，正确； 对于B，中第二个方程由变形得到，正确； 对于C，中第二个方程与推导出的不符，错误； 对于D，两个方程分别表示总长的两种计算方式，联立可解出满足题意的，正确． 【变式7-2】如图，用15块形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，已知大长方形的宽为，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为和，则依题意可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设每个小长方形墙砖的长和宽分别为和，观察可知小长方形墙砖的长等于宽的3倍，小长方形墙砖的长与其宽的2倍的和等于大长方形的宽，据此列方程组即可． 【详解】解：设每个小长方形墙砖的长和宽分别为和， 由题意得，． 【变式7-3】如图，块形状相同，大小相等的长方形墙砖拼成一个大长方形，已知大长方形的长为，设长方形墙砖的长和宽分别为和，则可列出方程组（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据图示可得． 【探究式学习】 1．某数学小组在开展“实际问题中的整数分配”课题研究时，聚焦不定方程（为整数）的整数解问题，以 为具体研究图象，展开系列探究 … 1 5 9 … … 1 8 15 … (1)按上表中的规律，完成下列问题： ①数表中的整数解___________，___________； ②的所有整数解可表示为___________，___________．（用整数参数表示） (2)该数学小组进一步提出猜想：若整数，互质（即最大公约数为1），则对于任意整数，不定方程一定存在无数组整数解． 现师生共同完成如下证明过程： 已知，互质，设是方程的一个整数解（即）． 取任意整数，设，， …… 是任意整数，随着的取值变化，和会产生无数组不同的整数， 方程存在无数组整数解． 阅读以上证明过程，请你补充证明中所缺的内容． 【答案】(1)①13，22；②， (2)见解析 【分析】（1）根据表格数据得出关于、的规律，据此求解即可； （2）将，代入方程左边，结合得出对于任意整数，，都是原不定方程的整数解，从而得出结论． 【详解】（1）解：①由表格可知，的值每次增加4，值每次增加7， 则、； ②根据表格规律，从初始值1开始，每次增加4， 因此所有整数解可表示为（为任意整数）； 从初始值1开始，每次增加7， 因此（为任意整数）； （2）证明：已知，互质，设是方程的一个整数解（即）， 取任意整数，设，， ， ， 成立， 即对任意整数，，都是原不定方程的整数解， 是任意整数，随着的取值变化，和会产生无数组不同的整数， 方程存在无数组整数解． 2．【阅读材料】通过学习教材第109页的数学活动1，我们知道，二元一次方程有无数个解，如果把每一组解用有序数对表示，在平面直角坐标系中标出这些点，就会发现它们在同一条直线上． 例如：是方程的一个解，对应点，另外方程的解还对应点，，…，如图所示，将这些点连起来正是一条直线；反过来，在这条直线上任取一点，这个点的坐标也是方程的解．所以，我们就把这条直线叫做方程的图象． 【初步探究】 （1）已知点在方程的图象上，则a的值为______； （2）在所给的坐标系中画出方程的图象； 【理解应用】 （3）根据所画图象，可以直接得到二元一次方程组的解是______．这种根据图象得出二元一次方程组的解的过程，体现的数学思想是______． A．分类讨论思想                    B．数形结合思想                C．方程思想 （4）点在方程的图象上，把点P先向上平移m个单位长度，再向左平移n个单位长度得到点．若点恰好落在方程的图象上，求点P的坐标．    【答案】（1）； （2）确定的直线即为所求； （3），B；（4） 【分析】（1）点满足方程，代入计算即可； （2）在平面直角坐标系中描出点，，过这两点，画一条直线即可； （3）根据两直线图像的交点，结合格点图，即可得解； （4）根据平移法则得到的坐标，将的坐标代入方程解得，即可得解； 【详解】（1）将点，代入方程得：， 解得：， 故答案为：， （2）令，得到， 又由（1）知，方程的对象为直线过点，在平面直角坐标系中，描出这两点 （3）根据所画图象，可以直接得到二元一次方程组的解是；这种根据图象得出二元一次方程组的解的过程，体现的数学思想是数形结合； 故答案为：，B （4）依题意可知点的坐标为， 又点，恰好落在方程的图象上， ， 解得：， 故点的坐标为 【点睛】本题主要考查了二元一次方程（组）解得几何意义，熟练掌握数形结合的思想，并应用其解决问题是本题的核心和关键． 【课后检测】 1．下列方程中是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二元一次方程的定义，判定解答即可． 【详解】解： 选项A：方程含有三个未知数，不符合二元一次方程的定义， 故本选项不符合要求． 选项B：不是整式方程， 故本选项不符合要求． 选项C：最高次项的次数为2，不属于一次方程， 故本选项不符合要求． 选项D：符合定义， 故本选项符合要求． 2．已知是关于，的方程的一组解，则的值为（     ） A．1 B．0 C．-1 D． 【答案】A 【详解】解：把代入，得 ， 移项得， 解得． 3．《九章算术》中记载了一道题，原文是：籴（dí）上粟二斗、下粟三斗，共价六十二钱；上粟五斗、下粟四斗，共价九十九钱，问上下粟斗价各几何？译文是：买2斗上粟，3斗下粟共62钱；买5斗上粟，4斗下粟共99钱，求上、下粟每斗价格？设上粟每斗钱，下粟每斗钱，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两次购买的总价列方程组即可． 【详解】解：根据题意，得． 4．已知二元一次方程组的解是，则该方程组可以为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将代入各选项验证， 代入A选项的两个方程： ，与方程右边相等，成立； ，与方程右边相等，成立，符合题意； 代入B选项的，得，方程不成立，不符合题意； 代入C选项的，得，方程不成立，不符合题意； 代入D选项的，得，方程不成立，不符合题意． 5．若是关于x，y的方程的一个解，那么a的值是（     ） A． B．0 C．3 D．7 【答案】D 【分析】将方程的解代入原方程，求解关于的一元一次方程． 【详解】解：将代入中，得 ， 解得． 6．某中学计划租用辆汽车运送七年级名学生到当地中小学生社会实践基地进行社会实践活动，若全租用45座客车，则有35名学生没有座位；若全租用60座客车，则其中有一辆车只坐了35人，并且还空出一辆车．根据题意可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：全租45座客车时，总座位数为，35名学生无座位，得， 全租60座客车时，空出1辆，1辆坐35人，其余辆满座，得， 联立得方程组. 7．某段待检修的高铁轨道总长为米．检修组长说：“若再铺设米新轨，就能刚好分成段米和段米的标准检测段”．技术员说：“若裁去米破损段，就能刚好分成段米和段米的合格施工段”，则可能是（    ）米． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意列出关于，，的方程，利用，为非负整数的性质，求解得到的可能值，再匹配选项即可． 【详解】解：∵原轨道长米，若再铺设米新轨，就能刚好分成段米和段米的标准检测段， ∴， 整理得； ∵原轨道长米，若裁去米破损段，就能刚好分成段米和段米的合格施工段， ∴， 整理得； 可知， 整理得． ∵，为非负整数，且， 因此方程的非负整数解为，，， 将三组解分别代入计算： 当时，，不符合选项； 当时，，符合选项； 当时，，不符合选项； 因此可能为米． 8．某校举办青年教师座谈会，若每桌坐8人，则有6人没有座位；若每桌坐10人，则最后一桌只有6人．设青年教师有x人，桌子有y张，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵总人数为，桌子数为， 第一种方案：每桌坐8人，6人没有座位，坐满的总人数为，加上没座位的6人等于总人数， ∴ 第二种方案：每桌坐10人，最后一桌只有6人，即前桌坐满，总人数等于前桌人数加最后一桌的6人 ， ∴，化简得， 可得方程组． 9．“圭表”是中国古代重要的天文观测仪器，由“圭”（水平尺）和“表”（垂直立杆）组成，用于测日影定节气，通常圭长比表长多5尺．某处圭表在夏至日正午测得影长为表长的，此时圭长比影长多9尺．设表长为尺，圭长为尺，根据题意可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等量关系“通常圭长比表长多5尺”和“测得影长为表长的，此时圭长比影长多9尺”列出两个方程即可解答． 【详解】解：设表长为尺，圭长为尺， ∵通常圭长比表长多5尺， ∴； ∵某处圭表在夏至日正午测得影长为表长的，此时圭长比影长多9尺． ∴． 综上，． 10．阿图什的无花果即将上市，为了满足内地客户，现需制作包装盒．已知包装盒是由1个外盒和6个水果托组成（其中水果托用来固定无花果）．每个工人每天可以加工外盒20个或者加工水果托60个，现有工人72名，应怎样安排人力，才能使每天生产的外盒和水果托配套？设安排x个人生产外盒，安排y个人生产水果托．则列出二元一次方程组为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据总人数和配套要求找两个等量关系，即可列出方程组． 【详解】解：现有工人共名，人生产外盒，人生产水果托， 总人数满足， 个外盒需要搭配个水果托，每天生产外盒总数为，每天生产水果托总数为， 水果托总数量应为外盒总数量的倍，即， 因此可得方程组． 11．如果是关于，的二元一次方程，则的值为_________． 【答案】 【分析】根据二元一次方程的定义，可得的次数为，的系数不为，据此列等式和不等式求解即可． 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程， ∴，且， 由，得， 解得或， ∵， 即， ∴． 12．已知方程，请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程所组成的方程组的解为______________． 【答案】 (答案不唯一) 【分析】已知所求方程组的解为，只需构造一个满足该解的二元一次方程即可． 【详解】解：∵要求新方程和已知方程组成的方程组的解为， ∴是所求方程的解， ∵， ∴所求方程可以为 ． 13．关于x、y的方程组的解是，则的值是____________． 【答案】 【分析】将方程组的解代入原方程组，求出和的值，再代入所求式子计算算术平方根即可． 【详解】解：把代入原方程组，得 ， 解得：， 将代入，得：． 14．若方程组，则的值是_____． 【答案】24 【详解】解：由可得， ∴ ． 15．小明与爸爸一起做“投篮球”游戏．两人商定规则为：小明投中1个得3分，爸爸投中1个得1分．结果两人一共投中了20个，经计算，发现两人的得分恰好相等．你能知道他们两人各投中几个吗?设爸爸投中x个，小明投中y个，可列方程组为________． 【答案】 【分析】先提取两人投中总数量的条件，因为爸爸投中数加小明投中数等于20个，所以可列出对应的二元一次方程，再提取两人得分相等的条件，因为爸爸总得分是投中数乘1，小明总得分是投中数乘3，二者相等，所以可列出对应的二元一次方程，将两个方程联立，即可得到所求的方程组． 【详解】解：根据题意找两个等量关系列方程： 两人一共投中20个，因此爸爸投中个数+小明投中个数，得方程：， 两人得分相等，爸爸总得分是分，小明总得分是分，因此得方程： ， 组合后得到方程组． 16．若是二元一次方程的一个解，求的值． 【答案】7 【分析】把解代入方程，可得，观察所求式子，刚好构造出，将整体代入即可求解． 【详解】解：由题可知，， ∴原式 ． 17．定义新概念：若平面直角坐标系中的点的横、纵坐标满足方程，则称点是方程的坐标点，例如，点就是方程的坐标点． (1)写出方程的另一个坐标点是______．（答案不唯一） (2)若有一个点是方程的坐标点，求的值． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) 【分析】（1）选取符合方程的x、y值即可； （2）将点代入方程计算即可． 【详解】（1）解：∵当时， ∴ ∴是方程的一个坐标点（答案不唯一）； （2）解：∵点是方程的坐标点， ∴， 解得． 18．2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某物流公司为提高工作效率．拟购买两种型号智能机器人．若买1台型机器人、4台型机器人，共需320万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元．求两种型号智能机器人的单价． 【答案】 型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列方程组求解即可． 【详解】解：设两种型号智能机器人的单价分别为万元，万元， 根据题意，得， 解得：， 答：型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元． 19．龙门学校组织150名师生参观植物园，算一算，怎样租车最便宜？最便宜需多少钱？ 租车报价单 48个座位的普通大巴    每天500元/辆 37个座位的豪华中巴    每天350元/辆 【答案】租1辆48个座位的普通大巴，3辆37个座位的豪华中巴最便宜，需要1550元 【分析】设租48个座位的普通大巴辆，37个座位的豪华中巴辆，总费用为元，根据题意，得，，根据题意，车辆数必须是非负整数，分类讨论求解即可； 【详解】解：设租48个座位的普通大巴辆，37个座位的豪华中巴辆，总费用为元， 根据题意，得，， 根据题意，车辆数必须都是非负整数，故租车的方案如下： 方案1：时即租4辆48个座位的普通大巴，0辆37个座位的豪华中巴， 载客数量为：（人），大于150人，符合要求； 费用为：（元）， 方案2：时即租3辆48个座位的普通大巴，1辆37个座位的豪华中巴， 载客数量为：（人），大于150人，符合要求； 费用为：（元）， 方案3：时即租2辆48个座位的普通大巴，2辆37个座位的豪华中巴， 载客数量为：（人），大于150人，符合要求； 费用为：（元）， 方案4：时即租1辆48个座位的普通大巴，3辆37个座位的豪华中巴， 载客数量为：（人），大于150人，符合要求； 费用为：（元）， 方案5：时即租0辆48个座位的普通大巴，5辆37个座位的豪华中巴， 载客数量为：（人），大于150人，符合要求； 费用为：（元）， ， 租1辆48个座位的普通大巴，3辆37个座位的豪华中巴最便宜，需要1550元； 20．综合与实践． 【问题背景】荣昌夏布和荣昌折扇（如图1）均是“荣昌四宝”非遗产品．荣昌折扇由扇骨、扇面、扇钉等部分构成（如图2），荣昌夏布常常用来制作荣昌折扇扇面，某数学学习小组到扇面制作加工点进行综合与实践探究扇面制作中的数学问题． 【数据测量】测得A，B两种型号折扇收拢时的数据（左侧为扇面部分），如图3所示． 【数学思考】将折扇全部打开是一个半圆面，显然，扇面是由一个特殊的矩形裁剪而来的，如图4所示．根据该学习小组所测量的数据结合图4，完成填空： (1)如图5，要裁剪A种型号折扇的扇面需要的矩形（称为A型矩形）长是____________，宽是____________；要裁剪B种型号折扇的扇面需要的矩形（称为B型矩形）长是____________，宽是____________． (2)【问题解决】该扇面加工点有一块长为，宽为的夏布，如图6，用这块夏布来裁剪出A型矩形和B型矩形，可以有两种分割方式裁剪：一种是横向分割成上下两部分，分别用来裁剪A型矩形和B型矩形，另一种是纵向分割成左右两部分，分别用来裁剪A型矩形和B型矩形（两种都要有）． 请计算横向分割和纵向分割，在最少浪费布料的情况下，分别能裁剪出A型矩形和B型矩形各多少块？ (3)【拓展应用】一块A型扇面销售价为80元，一块B型扇面销售价为60元． 在（2）的条件下，哪种裁剪方式获得的销售额最大？最大销售额是多少？ 【答案】(1)，，， (2)横向分割：A型矩形70块，B型矩形16块；纵向分割： A型矩形24块，B型矩形84块或A型矩形60块，B型矩形35块． (3)纵向分割获得的销售额最大，最大销售额是6960元． 【分析】（1）根据图4计算即可； （2）根据要求对夏布进行分割，最少浪费布料，即两种矩形的长或宽恰好与夏布的长或宽相等，或最接近，列二元一次方程可求解； （3）根据（2）的结果进行计算即可． 【详解】（1）解：A型矩形长为，宽为， B型矩形长为，宽为 （2）解：横向分割时， 由于两种矩形的长和宽是2倍关系，故只需讨论它们的宽与夏布的宽之间的关系即可， 假设A型矩形x行，B型矩形y行， 则 解得该二元一次方程没有正整数解， 当时，与最接近，即浪费布料最少， 此时A型矩形5行，B型矩形1行， ， ， 即A型矩形70块，B型矩形16块； 纵向分割时，只需讨论它们的长与夏布的长之间的关系即可， 假设A型矩形a列，B型矩形b列， 则 解得或 ， 或， 即A型矩形24块，B型矩形84块或A型矩形60块，B型矩形35块． （3）解：横向分割时：（元） 纵向分割时：（元） 或（元） 答：纵向分割时获得的销售额最大，最大销售额是元． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 32 页 第 1 页 共 32 页 学科网（北京）股份有限公司 $