第18讲 三元一次方程组（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年北师大版八年级数学上册

简一数理 初中专题讲义 第18讲 三元一次方程组 （新教材北师大版） 知识点一、基本概念 2 知识点二、核心解法思路：消元思想 2 知识点三、常见题型技巧 3 知识点四、易错点 3 知识点五、应用 3 知识点六、数学思想 3 【题型1 三元一次方程组的定义】 3 【题型2 三元一次方程组的解】 5 【题型3 三元一次方程组的应用】 8 【题型4 代入消元法解三元一次方程组】 9 【题型5 加减消元法解三元一次方程组】 13 【题型6 选择简便方法巧解三元一次方程组】 15 【题型7 三元一次方程组与代数式求值】 20 【题型8 含参数的三元一次方程组】 22 【探究式学习】 28 【课后检测】 31 【复盘笔记】 41 知识点一、基本概念 1.三元一次方程 含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的整式方程。 形式：ax+by+cz=d(a,b,c不同时为0） 注意：是项的次数为1，不是未知数次数相加。例：xy+z=1 不是三元一次方程。 2.三元一次方程组 一共含有三个未知数的三个一次整式方程组成的方程组。 3.三元一次方程组的解 同时满足方程组中所有三个方程的一组未知数的值 知识点二、核心解法思路：消元思想 三元消元成二元，二元消元成一元，先消去其中一个未知数，转化为二元一次方程组，再继续消元变成一元一次方程求解。 消元方法：代入消元法、加减消元法（优先加减消元） 解题步骤 1. 观察：选系数最简单的未知数作为要消去的元（优先系数为±1的） 2. 消元：从三个方程里任选两组，消去同一个未知数，得到两个二元一次方程，组成二元一次方程组 3. 求解二元组：解二元一次方程组，求出两个未知数的值 4. 回代：把求出的值代入原任意一个三元方程，求出第三个未知数 5. 检验：把一组解代入原三个方程，全部成立才是方程组的解 6. 写解：规范写出 口诀：三元化二元，二元化一元；消同一个元，记得要回代。 知识点三、常见题型技巧 1. 有缺项方程（某未知数系数为0） 例 ，本身就缺少z、x、y，直接两两联立，消元更简单。 2. 比例型条件：如 x:y:z=1:2:3，常设参数 x=k,y=2k,z=3k，代入方程求解k。 3. 轮换对称式：三个方程结构相似，可整体相加，先求(x+y+z)的整体值，再分别相减求各未知数。 知识点四、易错点 1. 两次消元必须消去同一个未知数，否则得不到二元方程组； 2. 求出两个未知数后，一定要回代求第三个，不要漏； 3. 检验要代入全部三个原方程，不能只代入其中一个； 4. 三元一次方程组不一定有解，可能唯一解、无解、无数组解（初中重点掌握唯一解）。 知识点五、应用 题目含有三个未知量，能找到三个等量关系，列三元一次方程组解决实际问题，步骤和二元应用题一致：审、设、列、解、验、答。 知识点六、数学思想 消元转化思想：把陌生三元问题，转化为已经学过的二元、一元方程。 【题型1 三元一次方程组的定义】 【例1】下列方程是三元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】需根据定义逐一分析选项，即可解答． 【详解】A、，含有三个未知数、、，且每个未知数的次数都是1，是整式方程，符合三元一次方程的定义，故符合题意； B、，项的次数为，是三元三次方程，不符合 “一次” 的要求，故不符合题意； C、，只含有两个未知数、，是二元一次方程，不符合 “三元” 的要求，故不符合题意； D、，未知数的项、的次数为，是三元二次方程，不符合 “一次” 的要求，故不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了三元一次方程的定义，熟练掌握三元一次方程需同时满足三个未知数、未知数的项次数为 1、整式方程是解题的关键． 【变式1-1】下列是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三元一次方程组的相关知识点，掌握三元一次方程组的定义是解题的关键． 本题对每个选项中的方程组从未知数的个数有个、含未知数的项的次数是次以及是否为整式方程这几个方面去分析，即可解决问题． 【详解】解：A、方程中，未知数的次数是次，不满足“含有未知数的项的次数是”的条件，不符合题意； B、方程中含有，不是整式方程，不符合题意； C、方程中，的次数是2次，不满足“含有未知数的项的次数是”的条件，不符合题意； D、方程组满足 “含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是的整式方程”，符合题意． 故选：D． 【变式1-2】下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三元一次方程组的定义，熟练掌握三元一次方程组的定义是解题的关键． 根据三元一次方程组的定义分别进行判断即可． 【详解】解：A、第三个方程中x的次数为2，不符合题意； B、第一个方程为分式方程，不符合题意； C、此方程组为三元一次方程组，符合题意； D、方程组只含有两个未知数，不符合题意． 故选：C． 【变式1-3】下列方程组中，不属于三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三元一次方程组的定义，即含有三个未知数，并且所含未知数的次数都是1的整式方程组叫做三元一次方程组，再根据三元一次方程组的定义判断即可． 【详解】解：A．符合定义，是三元一次方程组，不符合题意； B．符合定义，是三元一次方程组，不符合题意； C．符合定义，是三元一次方程组，不符合题意； D．方程组含有两个未知数，不是三元一次方程组，符合题意； 故选：D． 【题型2 三元一次方程组的解】 【例2】若三元一次方程组的解使，则的值为（     ） A．1 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】先求解给定的三元一次方程组，得到的值，再代入即可求出的值． 【详解】解：， 得 ， ， 得， 得 得， 把代入得， 整理得， 解得． 【变式2-1】若实数x，y，z满足则的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查三元一次方程组的化简与计算，掌握通过消元法将三元转化为二元，求出变量间的关系，再计算目标式的值是解题的关键． 通过对给定的方程组进行消元，求出与的关系，再代入求出与的关系，最后计算的值． 【详解】解： 用(1)式减去(2)式：， 即， ， 把代入(1)式： ， ， ， ． 故选：A． 【变式2-2】若点满足方程组，则点在第（   ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】B 【分析】本题考查解三元一次方程组，点的坐标，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．利用加减消元法解方程组，然后根据各象限内的点的坐标特征即可求得答案． 【详解】解：， 由①②得：④， 由③④得：，解得， 将代入①得：，解得， 则点的坐标为，位于第二象限， 故选：B． 【变式2-3】已知，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，把方程组中的三个方程相加即可得到答案． 【详解】解： 得：， ∴， 故选：B． 【题型3 三元一次方程组的应用】 【例3】《张丘建算经》中记载了这样一个问题：今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？意思是：如果1只公鸡值5个钱，1只母鸡值3个钱，3只小鸡值1个钱．现有100个钱，买了100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各是多少只．设公鸡、母鸡、小鸡的只数分别为，，，可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵公鸡每只5钱，母鸡每只3钱，3只小鸡值1钱，总花费为100钱， ∴， ∵三种鸡总只数为100， ∴， 联立得． 【变式3-1】甲、乙、丙三种商品，若购买甲5件、乙7件、丙2件，共需33元钱，购甲9件、乙13件、丙3件共需60元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需（   ）元钱 A．12 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【分析】设甲商品每件元，乙商品每件元，丙商品每件元．利用整体思想，通过方程组变形直接求解的值． 【详解】解：设甲商品每件元，乙商品每件元，丙商品每件元．根据题意得 将第一个方程两边乘2，得． 减去第二个方程，得． 整理得． 【变式3-2】春节期间，相关部门为增添节日气氛，对政府广场进行装饰．其中用到甲、乙、丙三种造型的花束，甲种花束由5朵红花、4朵黄花和3朵紫花搭配而成，乙种花束由3朵红花、3朵黄花和2朵紫花搭配而成，丙种花束由2朵红花、1朵黄花和1朵紫花搭配而成．这些花束一共用了1060朵红花，680朵黄花，则紫花一共用了（     ）朵． A．480 B．560 C．580 D．610 【答案】C 【分析】设甲、乙、丙三种花束分别有x束、y束、z束，再通过列方程消元整体推导紫花总数即可． 【详解】解：设甲、乙、丙三种花束分别有x束、y束、z束． ∵红花共用了1060朵，黄花共用了680朵， ∴， 得，， 将③代入②得， ∴， 由题意得，紫花总数为， ∴ 将③和④代入得，， ∴紫花总数为580朵． 【变式3-3】现有四张分别写有数字的卡片A，B，C，D．李明同学计算出三张卡片上的数字的和．如下表： 卡片编号 A，B，C B，C，D C，D，A D，A，B 三数的和 则卡片C上标有的数字为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设四张卡片的数字分别为，根据表格得到四组三个数的和，将四个等式相加求出四个数的总和，再减去不含的三个数的和，即可得到的值． 【详解】解：设卡片上的数字分别为， 根据题意得 ， 将四个等式左右两边分别相加，则， ， ， ． 【题型4 代入消元法解三元一次方程组】 【例4】解方程组：． 【答案】 【分析】将③代入①消去z，可得，再结合②根据加减消元法求出，然后将x的值代入方程求出另外两个未知数的值即可． 【详解】解：， 把③代入①，得， 整理得：， ，得，解得：， 把代入③，得， 把代入④，得， ∴原方程组的解为． 【变式4-1】解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查三元一次方程组的求解，核心方法是通过加减消元法消去未知数，将三元一次方程组逐步转化为二元一次方程组、一元一次方程求解． （1）先利用方程①和②消去，再利用方程②和③消去，得到关于、的二元一次方程组，求解后代入原方程求出； （2）先利用方程①和②消去，得到关于、的方程，再与方程③联立求出、，最后代入原方程求出． 【详解】（1）解：①+②得：④； ②-③得：⑤； 由④得， 将其代入⑤得：，解得； 将代入④得； 将，代入③得，解得； ∴方程组的解为； （2）解：①+②得：，化简得④； ③+④得：，解得； 将代入④得，解得； 将，代入①得，解得； ∴方程组的解为． 【变式4-2】解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，三元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． （1）用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）用代入消元法解三元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 得：③， 得：， 解得， 把代入①得， 解得， 所以方程组的解是． （2）解： 由③得：④ 将④代入①得：⑤， 将④代入②得：⑥， 得：， 解得：， 把代入⑥得， 解得： 所以方程组的解是． 【变式4-3】解方程组． 【答案】 【分析】本题考查解三元一次方程组，利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， ，得， ，得，解得； 把代入，得，解得； 把代入，得，解得； ∴方程组的解为． 【题型5 加减消元法解三元一次方程组】 【例5】解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握解三元一次方程组是解题的关键．消去y得：，再得，分别代入①和③求解即可． 【详解】解：得：， 得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 将代入③得：， 解得：， 故原方程组的解为． 【变式5-1】解方程组 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组，将三元一次方程组通过加减消元法转化为二元一次方程组是解题的关键； 通过加减消元法，消去，联立，解方程得，再将解代入含的方程求解即可． 【详解】解：由题知，， 得，， 得，， 联立，解得， 把，代入中，可得，解得， 原方程组的解为． 【变式5-2】解三元一次方程组： 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握消元法是解题关键． 利用加减消元法解三元一次方程组即可得． 【详解】解：， 由②③得：，即④， 由①④得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 将，代入②得：， 解得， 则方程组的解为． 【变式5-3】解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组，利用加减消元法解三元一次方程组即可得解，熟练掌握加减消元法是解此题的关键． 【详解】解：， 由可得：， 由可得：， 由可得：， 解得：， 将代入④可得：， 解得：， 将，代入①可得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 【题型6 选择简便方法巧解三元一次方程组】 【例6】解下列方程组． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和解三元一次方程组． （1）用加减消元法求解即可； （2）消去y，与②组成关于x，z的二元一次方程组求解x，z的值，再求出y的值即可． 【详解】（1） ，得 ∴ 把代入①，得 ∴ ∴ （2） ，得 联立②和④，得 ， 解得 把代入①，得 ∴ 【变式6-1】解下列方程组． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握求解方法是解此题的关键． （1）利用加减消元法计算即可得解； （2）设，则，，，求出的值即可． 【详解】（1）解：， ，得， ， 由②，得．④ 将④代入①，得， 即， 又， ． 将，代入④，得． 原方程组的解为； （2）解： 设， ，，， 代入②，得， ， ， ， ，，． 原方程组的解为． 【变式6-2】解方程组． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，解题的关键是利用代入消元法将三元一次方程组转化为二元一次方程组进行求解． 通过观察方程组中方程的特点，利用代入消元法，逐步消去未知数，先求出一个未知数的值，再依次求出其他未知数的值． 【详解】解： 把代入中，得， ， 把代入中，得， ， 把代入中，得， ， ∴方程组的解为． 【变式6-3】【数学问题】解方程组 【思路分析】兰兰观察后发现方程①的左边是，而方程②的括号里也是，她想到可以把视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样，就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的． 【完成解答】请你按照兰兰的思路，完成解方程组的过程． 解：把①代入②，得： 【迁移运用】请你按照上述方法，解方程组 【答案】 完成解答：把①代入②，得， 解得：， 把代入①得：， ， 原方程组的解为； 迁移运用 【分析】本题考查解三元一次方程组、解二元一次方程组，掌握整体思想是解题的关键． （1）【完成解答】把①代入②求出x的值，再把x的值代入①即可求解； （2）【迁移运用】把①代入③求出c的值，把c的值代入②求出a的值，再把a的值代入①即可求解． 【详解】解：完成解答：略 迁移运用： 把①代入③得：， 解得：， 把代入②得：， 解得， 把代入①得：， ， 原方程组的解为 【题型7 三元一次方程组与代数式求值】 【例7】实数满足等式，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用幂的运算法则化简所求式子，再将已知两等式相加消去，得到的值，代入化简后的式子计算即可得到结果． 【详解】解：， ∵实数满足等式，， ∴， 将得：， 整理得， 即， ∴． 【变式7-1】如图是一个正方体的展开图，若正方体相对面上的数相等，则（     ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】A 【分析】根据Z字形，确定相对面，得到，进而求出的值，再进行计算即可. 【详解】解：由图和题意可得：， 解得， ∴. 【变式7-2】已知m，n，p，q为整数，且q为负整数，满足，，，则的最小值为（   ） A． B．7 C． D．5 【答案】B 【分析】利用消元法把m， n ，p都用q表示，再代入所求代数式化简，最后根据q为负整数的条件求最小值． 【详解】解：根据题意，得， 将③代入①，得 ，化简得 ， 将代入②，得 ， 解得 ， 将代入③，得 ， 代入， 得， ∵q为负整数， ∴，且q为整数， ∴当q取最大负整数时，取得最小值， ∴最小值为：． 【变式7-3】关于的方程组的解是，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三元一次方程组的解，代数式求值，把代入方程求出的值，再把的值代入代数式计算即可求解，掌握三元一次方程组解的定义是解题的关键． 【详解】解：把 代入得，， ∴， ∴， 故选：． 【题型8 含参数的三元一次方程组】 【例8】已知关于，，的方程组，若为定值，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】消去后整理出含的式子，因为为定值，因此的系数为，即可推得与的关系． 【详解】解： 得 ， ， 为定值， ， ． 【变式8-1】用现代高等数学的符号可以将方程组的各项系数排成一个表这种由数列排成的表叫做矩阵。矩阵表示x，y，z为未知数的三元一次方程组，若为定值，则m与t的关系式（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解题关键是根据矩阵定义写出方程组，再凑出目标式，根据定值要求得到z的系数关系，即可推得与的关系式. 【详解】解：根据题意，可得三元一次方程组为：，其中为常数. 将第一个方程两边乘2，再加上第二个方程，得： 整理得： 为定值，即的系数为， . 【变式8-2】定义：在平面直角坐标系中，把满足关系式的点称为“立信点”． (1)判断：点___（填“是”或“不是”）“立信点”；若点是“立信点”，则__________． (2)已知点、均为“立信点”，且关于x，y的两个方程组与的解相同，求a，b，m，n的值． (3)若点满足关系式（其中k为常数），同时点C到x轴的距离是到y轴距离的2倍．试问：点C能否成为“立信点”？若能，请求出此时点C的坐标及对应的k的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)不是；9 (2)，，，； (3)能，点的坐标为，；点的坐标为，． 【分析】（1）根据“立信点”的定义求解即可； （2）根据“立信点”的定义和同解方程的定义得到方程组，据此求解即可； （3）分两种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：对于点， 代入关系式，右边，左边，左右不相等， ∴不是“立信点”； 若点是“立信点”， ∴，解得； （2）解：由题意得， 解得， ∵点、均为“立信点”， ∴，， 将，代入， 得， 将，代入得， 整理得， 将①代入②得， 解得， 则， ， ； （3）解：已知点满足，且，同时若C是“立信点”，则， 分两种情况讨论： 情况1：， 联立，解得， 点的坐标为， 代入，解得； 情况2：， 联立，解得， 点的坐标为， 代入，解得． 【变式8-3】定义运算：．数轴上点P从表示数m的点出发，以每秒2个单位向正方向运动，同时点Q从表示数n的点出发，以每秒1个单位向正方向运动．点P对应的数为p，点Q对应的数为q，运动时间为t秒． (1)若，求的值． (2)若，，，求运动时间t的值． (3)若，运动秒时，，直接写出的值． 【答案】(1)3 (2)11或15或 (3)或 【分析】（1）根据点P从出发，速度为每秒2单位，向正方向运动，可求得，再根据点Q从出发，速度为每秒1单位，向正方向运动，可求得，从而可求得； （2）先用t分别表示出p与q，从而可根据定义用t表示出，再当时，分，两种情况分别求解，当时，分，两种情况分别求解即可； （3）当运动秒时，，，根据，得出（①），（②），根据，得出（③），根据，得出（④），再得出（⑤），然后根据，联立⑤、③求得一组解，；，联立⑤和④求得第二组解：，． 【详解】（1）解：因为点P从出发，速度为每秒2单位，向正方向运动， 所以， 因为点Q从出发，速度为每秒1单位，向正方向运动， 所以， 当， 时， ； （2）解：因为，， 所以， ， 所以 因为， 所以， 当时， ， 若，即， 则， 解得：， ，符合； 若，即， 则， 解得：， ，符合； 当时， ， 若，则， 解得：，符合； 若，则， 解得：，不符合， 综上所述，t的值为11或15或； （3）解：当运动秒时，，， 因为， 所以， 所以或， 因为， 所以（①）， （②）， 若， 则， （③） 若， 则， 所以（④） 而由①得：（⑤） 情况一：， 由⑤得： 由③得： 令，则， 所以（）， （）， 将代入， 得 若，则，无解； 若，则， 解得：，符合； 将代入， 得， 将，代入， 得， 所以得一组解，； 若，则，无解； 情况二：，联立⑤和④， 所以， 所以或， 当时，无解； 当时，解得： 将代入， 解得：， 将，，代入， 得， 解得：， 所以得第二组解：，． 【点睛】本题考查了列代数式，已知字母的值，求代数式的值，动点问题（一元一次方程的应用），三元一次方程组的应用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 【探究式学习】 1．综合与探究 定义：若点的坐标满足时，我们称点为“亲民点”． 【初步运用】 (1)下列各点：①，②，③，其中是“亲民点”的有_________（只填序号）； 【深入理解】 (2)若第四象限内的点是“亲民点”，且点D到两坐标轴的距离相等，求点D的坐标； 【能力提升】 (3)若点与点都是“亲民点”，求k的值． 【答案】(1)①②③ (2) (3) 【分析】（1）将点代入，进行判断即可； （2）根据题意，易得，代入，进行求解即可； （3）先把代入求出的关系，再把代入，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴当时，； 当时，； 当时，； 故①，②，③，三个点均是“亲民点”； （2）解：∵第四象限内的点，到两坐标轴的距离相等， ∴， ∴， ∵点是“亲民点”， ∴， 解得， ∴； （3）解：∵点是“亲民点”， ∴， 整理，得， ∵是“亲民点”， ∴， 整理，得， ∵， ∴， 解得． 2．数学活动：探究不定方程 小川，小渝两位同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组，虽然解不出、、的具体数值，但可以解出的值． (1)小川的方法：，整理可得： ； ，整理可得： ；． 小渝的方法：： ；． (2)已知，试求解的值． (3)学校现准备采购若干英语簿，数学簿以及作文本，已知采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要元；采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要元，那么采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要多少钱？ 【答案】(1)；； (2)3 (3)元 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，熟练掌握方程组的解法和应用是解题关键． （1）根据等式的性质求解即可得； （2）参照小川的方法，利用等式的性质和消元法求解即可得； （3）设本英语簿元，本数学簿元，本作文本元，根据题意建立三元一次方程组，解方程组求出的值，由此即可得． 【详解】（1）解：小川的方法：，得：， 整理得：， ，得：， 整理得：， ． 小渝的方法：，得：， ， 故答案为：；；． （2）解：， 由①②得：， 整理得：， 由①②得：， 整理得：， 则． （3）解：设本英语簿元，本数学簿元，本作文本元， 由题意得：， ∴②①得，， ∴． 将代入①整理得，． ∴． ∴． 答：采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要元． 【课后检测】 1．如图，有A，B，C三种砝码，按如图方式放在天平两边的托盘上，天平都能平衡，则一个B砝码和一个C砝码的质量比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设A，B，C三种砝码的质量分别为a，b，c，根据天平列出等式求解即可． 【详解】解：设A，B，C三种砝码的质量分别为a，b，c， 根据题意得，，， ∴， ∴， ∴一个B砝码和一个C砝码的质量比为． 2．已知，要使解法较为简便，应该（   ） A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消去常数 【答案】B 【分析】解三元一次方程组时，优先消去系数最简单、最易消去的未知数，观察方程组中各未知数的系数，y的系数更便于直接消元，能让计算更简便． 【详解】解：将原方程组标记为， ∵可直接消去y，得到只含x，z的方程， 也可直接消去y，得到另一个只含x，z的方程， 两步即可将三元方程组转化为二元方程组，过程最简便， ∴先消去y的解法更简便，故选B． 3．已知三元一次方程组，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】从整体考虑，将三式相加得到，再两边同除以2即可． 【详解】解：， 得， 两边同除以2，得． 4．已知方程组，则的值是（    ） A． B．9 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查解三元一次方程组，负整数指数幂，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． 将三个方程相加并整理后求得的值，再利用负整数指数幂即可求得答案． 【详解】解：将方程组中的三个方程相加可得， ∴， ∴． 5．解三元一次方程组，若先消去，组成关于、的二元一次方程组，则应对方程组进行的变形为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】解：A．，得，，符合题意； B．，得，，不符合题意； C．，得，，不符合题意； D．，得，，不符合题意． 6．方程的正整数解的个数等价于在排列1，1，1，1，1，1，1形成的6个空隙中，任选一个空用隔板隔离，比如排列1，1↑1，1，1，1，1等价于，排列1，1，1，1，1↑1，1等价于，因为原排列有6个空隙，所以方程共有6个正整数解：类似的，方程的正整数解的个数为（     ） A．24 B．26 C．28 D．30 【答案】C 【分析】仿照题干给出的隔板法思路求解，将9个1排成一排，要分成3个正整数部分，需要在中间空隙中选2个插入隔板，计算选法数量即可得到正整数解的个数． 【详解】解：∵方程的解为正整数， ∴均为大于等于1的正整数， 将9个1排成一排，1，1，1，1，1，1，1，1，1， ∴9个1之间共有个空隙， 要将9个1分成3组，分别对应，需要从8个空隙中任选2个插入隔板， 计算选法总数：从8个空隙中选第一个有8种选法，选第二个有7种选法， ∵两个隔板顺序不影响分组结果， ∴总选法为， ∴方程的正整数解的个数为28． 7．德化，是中国三大古瓷都之一，以“白如玉、明如镜、薄如纸、声如磬”的德化白瓷闻名世界．当地某厂家生产三种经典白瓷：“中国白”茶壶、“象牙白”茶杯、“猪油白”瓷碗．某日，一位陶瓷爱好者来到德化，想了解这三件作品的价格，商家没有直接告诉这三件作品的单价，而是给出了以下两条信息： 信息一：3个茶壶的价格、7个茶杯价格和1个瓷碗价格总和为280元； 信息二：4个茶壶的价格、10个茶杯价格和1个瓷碗价格总和为320元． 这位陶瓷爱好者准备三种陶瓷制品各买2个，则他付的总价是（     ） A．200元 B．250元 C．300元 D．400元 【答案】D 【分析】设三种瓷器的单价，根据题意列出方程组，通过整体变形计算得到各买2件的总价，不需要分别求出每个未知数的值． 【详解】设茶壶单价为元，茶杯单价为元，瓷碗单价为元， 根据题意，得， 由②①，得， 变形得③， 将③代入①得， 整理得， ∴． ∴三种陶瓷各买2个的总价为（元）． 故选D． 8．用“※”定义一种新运算：对于任意有理数，规定，其中为常数．已知，则：的值为（     ） A． B．3 C． D．1 【答案】A 【分析】根据新定义可得方程组，利用加减消元法得到，，据此计算的值即可． 【详解】解：，且，，所求为， ∴， 得， ∴， 把代入①得， ∴， ∴． 9．某校组织学生假期到北京开展研学活动，现已预定的宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供其团队租住．研学团队的20人准备同时租住这三种客房共7间，若每一个房间都住满，则租房方案有（     ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【答案】C 【分析】通过设未知数列方程组，结合未知数为正整数的条件枚举得到方案个数，用到二元一次方程组的整数解求解知识，先消元法得到变量关系，再根据正整数的限制确定所有可行方案． 【详解】解：设租住二人间间，三人间间，四人间间，均为正整数， 由题意得， 由①得③， 将①代入②，得， 整理得，即， 将代入③得， ∵均为正整数， ∴，解得， ∵为正整数， ∴或， 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 因此共有2种租房方案． 10．2026年春节期间，小莹和小亮在某影院8号厅一起观看了电影《飞驰人生3》．下列信息是两人对厅内观影人数的正确描述： 小莹：“观影人数不超过35人”； 小亮：“5个5个地数观影人余3人，6个6个地数观影人少2人”． 则8号厅的观影人数是（     ） A．28 B．29 C．30 D．31 【答案】A 【分析】设8号厅的观影人数为人，根据小莹的描述求出x的范围，再根据小亮的描述进行求解即可． 【详解】解：设8号厅的观影人数为人，为正整数， 根据小莹的描述，可得， 根据小亮的描述，5个5个地数观影人余3人，可得是5的正整数倍， ∴存在正整数，满足， 6个6个地数少2人，可得是6的正整数倍， ∴存在正整数，满足， 联立得， 解得， ∵、均为正整数， ∴必须是5的倍数， 又∵5和6互质， ∴必须是5的正整数倍， 设，代入得，， 当时，，满足； 当时，，，不符合条件，舍去， ∴8号厅的观影人数是28人． 11．有甲、乙、丙三种货物，若购买甲3件、乙7件、丙1件，共300元；若购买甲4件、乙9件、丙1件，共420元，现在购买甲1件、乙2件，共需___________元． 【答案】 120 【分析】设出三种货物的单价，根据题意列出三元一次方程组，通过加减消元即可直接得到所求结果． 【详解】解：设购买1件甲需要元，购买1件乙需要元，购买1件丙需要元， 根据题意列方程组得， 得：， 化简得， 即购买甲1件、乙2件共需120元． 12．足球联赛中，每队胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分，某队在10场比赛中得到18分．且胜的场数等于平和负的场数之和，若设该队胜的场数为，平的场数为，负的场数为，则可列方程组为_____． 【答案】 【详解】解：设该队胜的场数为，平的场数为，负的场数为， 根据题意得． 13．小明所带的钱只能购买如图三件物品中的两件．已知毛笔与砚台的价格之和为118元，毛笔与笔洗的价格之和为108元，砚台与笔洗的价格之和为96元．那么毛笔的单价为( )元／支，砚台的单价为( )元／块，笔洗的单价为( )元／只． 【答案】 65 53 43 【分析】根据题意列方程组求解即可． 【详解】 解：设毛笔的单价为x元支，砚台的单价为y元块，笔洗的单价为z元只， 则， 解得， 即毛笔的单价为65元/支，砚台的单价为53元/块，笔洗的单价为43元/只． 14．在数学游艺会上，有50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，4，……48，49，50．游戏规则是：将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上，如图，这五张卡片分别记为A、B、C、D、E，若依次将相邻两张卡片上的两数之和告诉参与者，如表所示，请你帮助参与者猜一猜在A、B、C、D、E中，__________卡片上的数字最大． 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数之和 54 66 59 71 48 【答案】B 【分析】设A、C、E卡片的数字分别为a，c，e，表示出，，然后根据表格列出三元一次方程组求解． 【详解】解：设A、C、E卡片的数字分别为a，c，e， ∴，， 根据题意得， 解得， ∴，， ∴B卡片上的数字最大． 15．设，，…，，，是从，，这三个数取值的一组数，若，，则，，…，，，中为的个数为_____． 【答案】 【分析】设这组数中的个数为，的个数为，的个数为，根据完全平方公式展开已知平方和，结合总个数和总和的条件列出三元一次方程组，解方程组即可得到结果，解题关键是根据题意建立正确的方程组． 【详解】解： ， ． 设这组数中的个数为，的个数为，的个数为， 根据题意得：   解得 16．【阅读感悟】已知关于，的方程组，求代数式和的值． 本题常规思路是解方程组求得，的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过变形整体求得代数式的值，例如，由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知关于，的方程组，则_______；________； 【拓展延伸】 (2)某班组织活动购买小奖品，买10支中性笔、4支记号笔、2本日记本共需42元；买19支中性笔、7支记号笔、3本日记本共需74元．求购买1支中性笔、1支记号笔、1本日记本共需多少元？ 【答案】(1)14，12 (2)10元 【分析】（1）根据等式性质，两个方程相减即可求得的值；两个方程相加再两边除以3即可求得的值； （2）设中性笔单价a元，记号笔单价b元，日记本单价c元，列出方程组，再根据等式性质即题干中的方法求解即可． 【详解】（1）解：将方程组的两个方程相减，得； 两个方程相加，得，方程两边同时除以3，得； （2）解：设中性笔单价a元，记号笔单价b元，日记本单价c元，则 ， ，得③， ，得． 答：购买1支中性笔、1支记号笔、1本日记本共需10元． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 41 页 第 1 页 共 41 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 第18讲 三元一次方程组 （新教材北师大版） 知识点一、基本概念 2 知识点二、核心解法思路：消元思想 2 知识点三、常见题型技巧 3 知识点四、易错点 3 知识点五、应用 3 知识点六、数学思想 3 【题型1 三元一次方程组的定义】 3 【题型2 三元一次方程组的解】 4 【题型3 三元一次方程组的应用】 5 【题型4 代入消元法解三元一次方程组】 5 【题型5 加减消元法解三元一次方程组】 6 【题型6 选择简便方法巧解三元一次方程组】 7 【题型7 三元一次方程组与代数式求值】 9 【题型8 含参数的三元一次方程组】 9 【探究式学习】 11 【课后检测】 13 【复盘笔记】 16 知识点一、基本概念 1.三元一次方程 含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的整式方程。 形式：ax+by+cz=d(a,b,c不同时为0） 注意：是项的次数为1，不是未知数次数相加。例：xy+z=1 不是三元一次方程。 2.三元一次方程组 一共含有三个未知数的三个一次整式方程组成的方程组。 3.三元一次方程组的解 同时满足方程组中所有三个方程的一组未知数的值 知识点二、核心解法思路：消元思想 三元消元成二元，二元消元成一元，先消去其中一个未知数，转化为二元一次方程组，再继续消元变成一元一次方程求解。 消元方法：代入消元法、加减消元法（优先加减消元） 解题步骤 1. 观察：选系数最简单的未知数作为要消去的元（优先系数为±1的） 2. 消元：从三个方程里任选两组，消去同一个未知数，得到两个二元一次方程，组成二元一次方程组 3. 求解二元组：解二元一次方程组，求出两个未知数的值 4. 回代：把求出的值代入原任意一个三元方程，求出第三个未知数 5. 检验：把一组解代入原三个方程，全部成立才是方程组的解 6. 写解：规范写出 口诀：三元化二元，二元化一元；消同一个元，记得要回代。 知识点三、常见题型技巧 1. 有缺项方程（某未知数系数为0） 例 ，本身就缺少z、x、y，直接两两联立，消元更简单。 2. 比例型条件：如 x:y:z=1:2:3，常设参数 x=k,y=2k,z=3k，代入方程求解k。 3. 轮换对称式：三个方程结构相似，可整体相加，先求(x+y+z)的整体值，再分别相减求各未知数。 知识点四、易错点 1. 两次消元必须消去同一个未知数，否则得不到二元方程组； 2. 求出两个未知数后，一定要回代求第三个，不要漏； 3. 检验要代入全部三个原方程，不能只代入其中一个； 4. 三元一次方程组不一定有解，可能唯一解、无解、无数组解（初中重点掌握唯一解）。 知识点五、应用 题目含有三个未知量，能找到三个等量关系，列三元一次方程组解决实际问题，步骤和二元应用题一致：审、设、列、解、验、答。 知识点六、数学思想 消元转化思想：把陌生三元问题，转化为已经学过的二元、一元方程。 【题型1 三元一次方程组的定义】 【例1】下列方程是三元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】下列方程组中，不属于三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【题型2 三元一次方程组的解】 【例2】若三元一次方程组的解使，则的值为（     ） A．1 B．4 C． D． 【变式2-1】若实数x，y，z满足则的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 【变式2-2】若点满足方程组，则点在第（   ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【变式2-3】已知，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【题型3 三元一次方程组的应用】 【例3】《张丘建算经》中记载了这样一个问题：今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？意思是：如果1只公鸡值5个钱，1只母鸡值3个钱，3只小鸡值1个钱．现有100个钱，买了100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各是多少只．设公鸡、母鸡、小鸡的只数分别为，，，可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】甲、乙、丙三种商品，若购买甲5件、乙7件、丙2件，共需33元钱，购甲9件、乙13件、丙3件共需60元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需（   ）元钱 A．12 B．8 C．6 D．4 【变式3-2】春节期间，相关部门为增添节日气氛，对政府广场进行装饰．其中用到甲、乙、丙三种造型的花束，甲种花束由5朵红花、4朵黄花和3朵紫花搭配而成，乙种花束由3朵红花、3朵黄花和2朵紫花搭配而成，丙种花束由2朵红花、1朵黄花和1朵紫花搭配而成．这些花束一共用了1060朵红花，680朵黄花，则紫花一共用了（     ）朵． A．480 B．560 C．580 D．610 【变式3-3】现有四张分别写有数字的卡片A，B，C，D．李明同学计算出三张卡片上的数字的和．如下表： 卡片编号 A，B，C B，C，D C，D，A D，A，B 三数的和 则卡片C上标有的数字为（     ） A． B． C． D． 【题型4 代入消元法解三元一次方程组】 【例4】解方程组：． 【变式4-1】解下列方程组： (1)； (2)． 【变式4-2】解方程组 (1) (2) 【变式4-3】解方程组． 【题型5 加减消元法解三元一次方程组】 【例5】解方程组： 【变式5-1】解方程组 【变式5-2】解三元一次方程组： 【变式5-3】解方程组：． 【题型6 选择简便方法巧解三元一次方程组】 【例6】解下列方程组． (1) (2) 【变式6-1】解下列方程组． (1) (2) 【变式6-2】解方程组． 【变式6-3】【数学问题】解方程组 【思路分析】兰兰观察后发现方程①的左边是，而方程②的括号里也是，她想到可以把视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样，就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的． 【完成解答】请你按照兰兰的思路，完成解方程组的过程． 解：把①代入②，得： 【迁移运用】请你按照上述方法，解方程组 【题型7 三元一次方程组与代数式求值】 【例7】实数满足等式，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】如图是一个正方体的展开图，若正方体相对面上的数相等，则（     ） A．3 B．5 C．7 D．9 【变式7-2】已知m，n，p，q为整数，且q为负整数，满足，，，则的最小值为（   ） A． B．7 C． D．5 【变式7-3】关于的方程组的解是，则的值是（   ） A． B． C． D． 【题型8 含参数的三元一次方程组】 【例8】已知关于，，的方程组，若为定值，则（     ） A． B． C． D． 【变式8-1】用现代高等数学的符号可以将方程组的各项系数排成一个表这种由数列排成的表叫做矩阵。矩阵表示x，y，z为未知数的三元一次方程组，若为定值，则m与t的关系式（     ） A． B． C． D． 【变式8-2】定义：在平面直角坐标系中，把满足关系式的点称为“立信点”． (1)判断：点___（填“是”或“不是”）“立信点”；若点是“立信点”，则__________． (2)已知点、均为“立信点”，且关于x，y的两个方程组与的解相同，求a，b，m，n的值． (3)若点满足关系式（其中k为常数），同时点C到x轴的距离是到y轴距离的2倍．试问：点C能否成为“立信点”？若能，请求出此时点C的坐标及对应的k的值；若不能，请说明理由． 【变式8-3】定义运算：．数轴上点P从表示数m的点出发，以每秒2个单位向正方向运动，同时点Q从表示数n的点出发，以每秒1个单位向正方向运动．点P对应的数为p，点Q对应的数为q，运动时间为t秒． (1)若，求的值． (2)若，，，求运动时间t的值． (3)若，运动秒时，，直接写出的值． 【探究式学习】 1．综合与探究 定义：若点的坐标满足时，我们称点为“亲民点”． 【初步运用】 (1)下列各点：①，②，③，其中是“亲民点”的有_________（只填序号）； 【深入理解】 (2)若第四象限内的点是“亲民点”，且点D到两坐标轴的距离相等，求点D的坐标； 【能力提升】 (3)若点与点都是“亲民点”，求k的值． 2．数学活动：探究不定方程 小川，小渝两位同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组，虽然解不出、、的具体数值，但可以解出的值． (1)小川的方法：，整理可得： ； ，整理可得： ；． 小渝的方法：： ；． (2)已知，试求解的值． (3)学校现准备采购若干英语簿，数学簿以及作文本，已知采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要元；采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要元，那么采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要多少钱？ 【课后检测】 1．如图，有A，B，C三种砝码，按如图方式放在天平两边的托盘上，天平都能平衡，则一个B砝码和一个C砝码的质量比为（     ） A． B． C． D． 2．已知，要使解法较为简便，应该（   ） A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消去常数 3．已知三元一次方程组，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．已知方程组，则的值是（    ） A． B．9 C． D．6 5．解三元一次方程组，若先消去，组成关于、的二元一次方程组，则应对方程组进行的变形为（    ） A．， B．， C．， D．， 6．方程的正整数解的个数等价于在排列1，1，1，1，1，1，1形成的6个空隙中，任选一个空用隔板隔离，比如排列1，1↑1，1，1，1，1等价于，排列1，1，1，1，1↑1，1等价于，因为原排列有6个空隙，所以方程共有6个正整数解：类似的，方程的正整数解的个数为（     ） A．24 B．26 C．28 D．30 7．德化，是中国三大古瓷都之一，以“白如玉、明如镜、薄如纸、声如磬”的德化白瓷闻名世界．当地某厂家生产三种经典白瓷：“中国白”茶壶、“象牙白”茶杯、“猪油白”瓷碗．某日，一位陶瓷爱好者来到德化，想了解这三件作品的价格，商家没有直接告诉这三件作品的单价，而是给出了以下两条信息： 信息一：3个茶壶的价格、7个茶杯价格和1个瓷碗价格总和为280元； 信息二：4个茶壶的价格、10个茶杯价格和1个瓷碗价格总和为320元． 这位陶瓷爱好者准备三种陶瓷制品各买2个，则他付的总价是（     ） A．200元 B．250元 C．300元 D．400元 8．用“※”定义一种新运算：对于任意有理数，规定，其中为常数．已知，则：的值为（     ） A． B．3 C． D．1 9．某校组织学生假期到北京开展研学活动，现已预定的宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供其团队租住．研学团队的20人准备同时租住这三种客房共7间，若每一个房间都住满，则租房方案有（     ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 10．2026年春节期间，小莹和小亮在某影院8号厅一起观看了电影《飞驰人生3》．下列信息是两人对厅内观影人数的正确描述： 小莹：“观影人数不超过35人”； 小亮：“5个5个地数观影人余3人，6个6个地数观影人少2人”． 则8号厅的观影人数是（     ） A．28 B．29 C．30 D．31 11．有甲、乙、丙三种货物，若购买甲3件、乙7件、丙1件，共300元；若购买甲4件、乙9件、丙1件，共420元，现在购买甲1件、乙2件，共需___________元．【答案】 12．足球联赛中，每队胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分，某队在10场比赛中得到18分．且胜的场数等于平和负的场数之和，若设该队胜的场数为，平的场数为，负的场数为，则可列方程组为_____． 13．小明所带的钱只能购买如图三件物品中的两件．已知毛笔与砚台的价格之和为118元，毛笔与笔洗的价格之和为108元，砚台与笔洗的价格之和为96元．那么毛笔的单价为( )元／支，砚台的单价为( )元／块，笔洗的单价为( )元／只． 14．在数学游艺会上，有50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，4，……48，49，50．游戏规则是：将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上，如图，这五张卡片分别记为A、B、C、D、E，若依次将相邻两张卡片上的两数之和告诉参与者，如表所示，请你帮助参与者猜一猜在A、B、C、D、E中，__________卡片上的数字最大． 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数之和 54 66 59 71 48 15．设，，…，，，是从，，这三个数取值的一组数，若，，则，，…，，，中为的个数为_____． 16．【阅读感悟】已知关于，的方程组，求代数式和的值． 本题常规思路是解方程组求得，的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过变形整体求得代数式的值，例如，由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知关于，的方程组，则_______；________； 【拓展延伸】 (2)某班组织活动购买小奖品，买10支中性笔、4支记号笔、2本日记本共需42元；买19支中性笔、7支记号笔、3本日记本共需74元．求购买1支中性笔、1支记号笔、1本日记本共需多少元？ 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 41 页 第 1 页 共 41 页 学科网（北京）股份有限公司 $