5.5 三元一次方程组 教学设计 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦三元一次方程组的概念、消元解法及应用，通过复习二元一次方程组的消元思想，结合《九章算术》古文问题导入，引导学生从二元到三元构建知识迁移的学习支架。 特色在于文化情境激发数学眼光，分层探究培养数学思维，古题应用强化模型意识。如借助《九章算术》问题抽象未知量，小组尝试不同消元顺序发展推理能力，百钱买鸡题提升建模与应用能力，助力学生掌握转化思想，为教师提供完整分层教学资源。

5.5 三元一次方程组 一、教学目标 基础知识与基本技能：理解三元一次方程、三元一次方程组及其解的概念；熟练运用代入、加减消元实现 “三元→二元→一元” 的转化，规范求解三元一次方程组，能利用三元一次方程组解决古代数学问题、数字类实际应用题。 基本思想与基本活动经验：经历类比二元一次方程组，自主探究三元方程组解法的完整过程；深度体会消元转化化归思想，感受古代方程文化，积累多元方程组建模、运算检验的活动经验。 发现问题与提出问题能力：能从古文实际情境中识别 3 个未知量，自主挖掘三组等量关系，主动提出 “三元方程组如何降元” 的探究问题。 分析与解决问题能力：会观察方程组系数特征，自主选择优先消去哪一个未知数；能建立三元一次方程组模型解决数字、文化情境应用题，具备运算检验纠错能力。 二、教学重点与难点 教学重点：三元一次方程组相关概念；掌握消元策略，把三元一次方程组转化为二元一次方程组求解；建立三元方程组解决实际问题。 教学难点：根据方程组系数灵活选择消元对象；多重消元过程中等式变形、符号运算不出现错误；理解多元方程组 “化多为少” 的逻辑。 三、教学过程 （一）复习回顾，唤醒旧知 教师提问： 1.解二元一次方程组的两种方法是什么？核心思想是什么？ 生回答：代入消元、加减消元；核心消元，二元转化一元。 板书旧知：二元一次方程组一元一次方程。 （二）文化情境导入，生成新知问题 出示课本《九章算术》原题： 今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上中下禾实一秉各几何？ 任务 1：学生翻译题意，找出 3 个未知量。 设上禾每束斗，中禾每束斗，下禾每束斗，学生独立列出方程组： 任务 2：对比二元一次方程组，小组讨论：这个方程组有什么特点？ 由此生成概念：三元一次方程、三元一次方程组、方程组的解。 概念辨析关键点：①一共 3 个未知数；②含未知数项次数都是 1；③三个方程公共解才是方程组的解。 （三）新知探究：多元方程组如何消元 探究任务（分层小组探究）： 思考：二元靠消元，三元能不能也消元？ 分组任务： A 组：仿照课本代入消元，优先消； B 组：尝试优先消（不用课本做法）； C 组：尝试优先消。 学生小组演算，教师巡视收集典型错例（移项符号错误、代入时漏乘系数）。 课本例题完整板书示范（课本例题） 解：由①变形得 把④代入②： 化简：，即 把④代入③： 联立⑤⑥ 由⑤得 ，代入⑥ 把代入，。 把代入④ 检验：代入原三方程均成立。 探究交流：B、C 小组展示另外消元顺序的结果，发现：消元顺序可以任选，结果唯一；观察系数，优先消系数简单的未知数，计算更简便。 师生共同归纳流程图： 核心思想：消元转化，化陌生为熟悉。 （四）巩固新知 分层训练 基础：课本随堂练习第 2 题，学生独立完成； 中档：随堂练习第 1 题数字应用题； 拓展：思考：什么时候适合加减消元，什么时候适合代入消元？ （五）课堂小结 引导学生思维导图梳理： 1.什么是三元一次方程、方程组； 2.解法主线：三元二元一元； 3.思想：消元转化； 4.解题提醒：注意符号，求出所有未知数，要写大括号形式解。 四、板书设计 §5 三元一次方程组 1.概念：三元一次方程；三元一次方程组；公共解 2.核心思路：消元转化 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程 易错点：符号错误；代入漏乘；漏写大括号 五、知识总结 核心知识点 1.三元一次方程：含有 3 个未知数，含未知数项次数都为 1； 2.三元一次方程组：3 个一次方程，共 3 个未知数； 3.解法：两次消元，三元降为二元，二元降一元，回代求剩余未知数； 4.实际问题：找 3 组等量关系，列三元一次方程组求解。 数学思想方法：转化与化归思想、模型思想（方程建模）。 知识网络图 实际情境（3个未知量）→列三元一次方程组 ↓（消元） 二元一次方程组 ↓（消元） 一元一次方程→求一个未知数→回代求剩余未知数→检验作答 易错易混警示 1.消元代换时，代数式整体代入，不要漏乘括号； 2.移项、去括号注意符号； 3.三元方程组解是一组数，必须写大括号； 4.应用题解完要检验是否符合实际意义。 六、课后作业 1.必做题：课本随堂练习 1、2；习题 5.5 第 1、2 题； 2.选做题：习题 5.5 第 3、4、※5（张丘建百钱买鸡古题）； 下面完整给出课本所有习题参考答案（完整解题步骤） 课本全部题目完整解答 随堂练习 1. 一个三位数，各数位上的数字和是 14，个位数字、百位数字的和等于十位数字，百位数字的 7 倍比个位数字、十位数字的和大 2。求这个三位数。 解：设百位，十位，个位， 把②代入①：。 将代入①，； 代入③：。 ④+⑤：。 将代入④，。 ，三位数：。 2. 解方程组 解：③①得： 联立②，①④：。 代入②，。 代入①，。 方程组解： 习题 5.5 知识技能 1(1) 解：①+②： ③②： ④+⑤，；代入④，。 把代入②：。 解： 1(2) 解：②①得： ①+③得： 由④：代入⑤ 。 ；代入①，。 解： 2. 用不同的方法解方程组 方法一：代入消元 由①得；②得，代入③： 。 。 方法二：三式整体相加 ①+②+③：。 ④②：；④③：；④①：。 解： 对比：整体相加技巧更简便，适合每个方程只有两个未知数的题型。 习题 5.5 问题解决 3. 在第 24 届冬季奥林匹克运动会上，中国队共获得 15 枚奖牌，其中金牌比银牌多 125%，银牌比铜牌多 100%。中国队获得的金、银、铜牌各有多少枚？ 解：设金牌，银牌，铜牌。 ，代入第一式： 。 ，。 答：金牌 9 枚，银牌 4 枚，铜牌 2 枚。 4. 一个三位数，十位数字比个位数字大 2，百位数字是十位数字的 2 倍，如果把百位数字与个位数字对调，那么得到的三位数比原来的三位数小 495。求原来的三位数。 解：百位，十位，个位。 原数：；对调后：。 化简③：。 由①：，结合②，。 ，。三位数。 ※5. 百钱买百鸡（选自《张丘建算经》） 1 只公鸡价值 5 钱，1 只母鸡价值 3 钱，3 只小鸡合计价值 1 钱。购买 100 只鸡总共花了 100 钱，则公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？ 解：公鸡，母鸡，小鸡，非负整数。 第二式两边乘 3：，减去第一式，，化简。 ，必须是 4 的倍数，。 1.，，； 2.，，； 3.，，； 4.，，。 四组整数解，均符合题意。 拓展思考：古代百鸡问题是不定方程组，有无穷多实数解，但实际只能取非负整数解。 1 学科网（北京）股份有限公司 $