5.4.二元一次方程与一次函数 教学设计 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学教学设计聚焦二元一次方程（组）与一次函数的关系，以《题西林壁》诗句创设情境，通过提问引发认知冲突，引导学生从“数”“形”角度回顾二元一次方程和一次函数，搭建知识联系的学习支架。 其特色在于以“一般观念”引领探究，通过具体方程实例让学生经历“数”到“形”的转化，结合几何画板验证强化直观体验，培养几何直观与推理意识，分层作业与自主小结促进知识内化，助力教师落实数形结合思想，提升学生分析解决问题能力。

比知识间的差异，明确知识间的联系引出课题，进而在“系统观”指导下开展教学。 设计意图：在“一般观念”引领下，分别回顾二元一次方程和一次函数研究的内容，对 2. 二元一次方程xy5与一次函数yx5之间有什么样的关系？ 1. 在之前的学习中，我们把xy5的式子叫做什么？ 【问题情景】 的数形结合思想渗透奠定基础。 “侧看”的比喻，自然引出从“数”和“形”两个角度认识数学对象的研究思路，为整节课 设计意图：借用古诗的哲学意境制造认知冲突，激发学生的学习兴趣。通过“横看”与 提问：为什么诗人会“不识庐山真面目”？ 横看成岭侧成峰，远近高低各不同。不识庐山真面目，只缘身在此山中。 （PPT展示《题西林壁》及庐山画面） 教学过程 在探索过程中发展数形结合思想，培养从不同角度分析问题、解决问题的能力。 教学难点： 理解二元一次方程（组）与一次函数的关系，能够运用这种关系解决实际问题。 教学重点： 教学内容 的内在联系。 3. 在探索过程中发展数形结合思想，培养从不同角度分析和解决问题的能力，体会数学知识 2. 能根据一次函数的图象求二元一次方程组的解； 1. 理解二元一次方程与一次函数的关系，掌握二元一次方程组与一次函数之间的关系； 教学目标 出版社：北京师范大学出版社 出版日期：2025 年7 月 教科书 书 名：义务教育教科书 数学 八年级 上册教材 课题 二元一次方程与一次函数（第一课时） 学科 数学 年级 八年级 学期 秋季 课程基本信息 教学设计 标）的转化过程。动手描点增强直观体验，几何画板演示实现从特殊到一般的推广，帮助学 设计意图：通过具体的方程实例，让学生经历从“数”（方程的解）到“形”（点的坐 适合相应的二元一次方程。 以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图象上，一次函数图象上的点的坐标都 学生归纳： 总结： 教师借助数学几何画板进行验证（操作演示） 吗？ （4）以方程xy5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数yx5的图象相同 （3）在一次函数yx5的图象上任取一点，它的坐标满足方程xy5吗？ 上吗？ （2）在平面直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数yx5的图象 （1）方程xy5的解有多少个？写出其中的几个。 探究活动一：二元一次方程与一次函数的关系 【探究新知】 情况如何？你发现了什么？ x y 2 问题2：一次函数yx5与yx2的图象有怎样的位置关系？方程组 解的 x y 5 和变式能力。 转化为“形”来处理，反之“形”的问题可以转化为“数”来处理，培养了学生的创新意识 效果：由学生自主学习，自然建立数形结合的意识，学生初步感受到“数”的问题可以 点的几何意义”之间的内在联系，为后续运用数形结合思想解决问题奠定基础。 让学生亲身体验“数”与“形”的完美对应，初步建立“方程组解的代数意义”与“直线交 法（找交点坐标）后，自主发现“方程组的解”与“直线交点坐标”的关系。这一设计旨在 设计意图：通过具体的方程组实例，让学生在分别运用代数方法（解方程组）和几何方 组相当于确定对应的两条直线交点的坐标。 确定两条直线的交点坐标，相当于求对应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程 学生归纳： 总结： （学生分别用代数法解方程组和图象法找交点） 标有什么关系？ 2 x y 1 问题1：二元一次方程组 的解与一次函数yx5和y2x1图象的交点坐 x y 5 2 x y 1 给你一个二元一次方程组 ，你想研究什么内容？ x y 5 探究活动二：二元一次方程组与一次函数的关系 两个一次函数的关系。顺其自然进入下一环节。 前面研究了二元一次方程和相应的一次函数的关系，接着研究二元一次方程组和相应的 的思想意识。 效果：以“问题串”的形式，启发引导学生探索知识的形成过程，培养了学生数学转化 生建立方程与函数之间的本质联系。 ，试求直线y3x3与 y x 的交 3 3 3 2 6 0 x y 2 y 1 点坐标。 设计意图：学生自主思考完成，既训练从“形”到“数”的转化（由交点求方程组的解）， 又训练从“数”到“形”的转化（由方程组的解确定交点），强化学生对数形对应关系的灵 活运用能力。 例2 已知方程组 的解是 3 x 3 x y 3 0 4 y 2 x 例1 已知一次函数y3x1与y2x图象的交点坐标是 1,2 ，求方程组 的解。 3 x y 1 【应用新知】 与“几何平行”的对应关系，深化对数形结合思想的理解。 效果：学生能够从代数与几何两个维度理解方程组无解的本质含义，建立起“代数无解” 用于揭示“无解”的本质，培养了思维的全面性和辩证性。 此问题拓展了学生的思维广度，使其认识到数形结合思想不仅适用于“有解”情况，同样适 现两直线平行的位置关系，学生能够深刻理解方程组无解的几何意义，从而完善认知结构。 设计意图：引导学生探究代数结论“方程组无解”在几何层面的直观表现，通过观察发 象平行。 两函数图象平行，对应的二元一次方程组无解；二元一次方程组无解，对应的两函数图 学生归纳： 总结： yx2 yx5 深化。 思考空间。拓展题引导学生探究方程组无穷多解情况的几何意义，实现知识的延伸和思维的 设计意图：分层作业设计既面向全体学生确保基础落实，又为学有余力的学生提供深度 2 x 2 y 10 思考：方程组 解的情况如何？从“数”和“形”的角度分析，你发现了什么？ x y 5 拓展延伸作业： 基础达标作业：作业练习第1-5题 【作业布置】 善。 和思想方法。既关注知识层面的收获，更注重数学思想方法的提炼，促进学生认知结构的完 设计意图：提问式小结，充分发挥学生的主体地位，让学生自主梳理本节课的核心内容 通过本节课学习，你有什么收获想和大家分享？学到了哪些数学思想和方法？ 【课堂小结】 学科网（北京）股份有限公司 $