第15讲 二元一次方程组的解法（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年北师大版八年级数学上册

简一数理 初中专题讲义 第15讲 二元一次方程组的解法 （新教材北师大版） 知识点一、二元一次方程组的基本解法 2 知识点二、解方程组的三大解题思想 2 【题型1 代入消元法】 3 【题型2 加减消元法】 5 【题型3 二元一次方程组的特殊解法】 6 【题型4 二元一次方程组的错解复原问题】 9 【题型5 构造二元一次方程组求解】 11 【题型6 已知二元一次方程组的解的情况求参数】 14 【题型7 方程组相同解问题】 17 【探究式学习】 19 【课后检测】 22 【复盘笔记】 36 知识点一、二元一次方程组的基本解法 （1）代入消元法： ①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将该方程中的一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，例如； ②把代入另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出x的值； ④把求得的x的值代回中，求出y的值，从而得出方程组的解； ⑤把这个方程组的解写成的形式． 解方程组： 解： 由②，得，③ 把③代入①，， ∴，得． 把代入③，得． ∴方程组的解为 （2）加减消元法： ①把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数相反或相等； ②把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把求得的未知数的值代入原方程组中，求出另一个未知数的值，从而得出方程组的解； ⑤把这个方程组的解写成的形式． 解方程组： 解： ①②，得， 解得：． 将代入①，得， 解得． ∴方程组的解是． 知识点二、解方程组的三大解题思想 （1） 消元思想；（2）整体思想；（3）换元思想． 【题型1 代入消元法】 【例1】关于，的方程组的解中，则的取值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将代入求出，再将，代入求解即可． 【详解】解：将代入， 得，解得； 将代入， 得，解得． 【变式1-1】已知关于的二元一次方程组，下列结论中：①当这个方程组的解的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③无论取什么实数，的值始终不变；④若用表示，则；正确的有（     ）个 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】使用加减消元法将、用含的代数式表示，逐一验证各结论的正确性． 【详解】解：， ，得 ， 解得； 将代入②，得， 解得； ∵、互为相反数 ， ∴， ∴，解得， 故①正确； 当时 ， ， 方程的右边为 ， 左边 ，左边=右边 ， 故②正确； 由于 值为定值，与的取值无关， 故③正确； 由移项得，即， 故④正确； 综上，正确的结论有个，故答案为． 【变式1-2】由方程组可得出关于与之间的关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】消去方程组中的参数，即可得到与的关系式． 【详解】解：方程组， 将代入，得， 整理得． 【变式1-3】解方程组，下列解法步骤中不正确的是（     ） A．用加减消元法消去，得 B．用代入消元法消去，由得 C．用代入消元法消去，由得 D．用加减消元法消去，得 【答案】D 【分析】根据消元法的规则和等式性质，逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A：用加减消元法消去，得，整理得，步骤正确，不符合题意； 选项B：用代入消元法消去，对移项可得，步骤正确，不符合题意； 选项C：用代入消元法消去，对移项可得，步骤正确，不符合题意； 选项D：用加减消元法消去，先给两边乘得，再用减去这个式子，即，整理得，不是，步骤错误，符合题意． 【题型2 加减消元法】 【例2】已知二元一次方程组，则的值是（     ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】把方程组中的两个方程的左右两边分别相减即可得到答案． 【详解】解： 得． 【变式2-1】小丽在用“加减消元法”解二元一次方程组时，利用消去，则，的值可能是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据消元的结果可得，据此逐一验证即可． 【详解】解：∵ 要利用消去， ∴项的系数和为，即， 当时，，故A不符合题意； 当时，，故B不符合题意； 当时，，故C不符合题意； 当时，，故D符合题意． 【变式2-2】如果，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用完全平方式与算术平方根的非负性列方程组，求解、后代入计算的值即可． 【详解】解：，， ， ，， 两式相加得：， 解得：， 将代入， 解得：， ． 【变式2-3】已知是关于，的二元一次方程组的解，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知解代入方程组，求解,后计算的值. 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程组的解， ∴， 得， 解得， 把代入①得， ∴. 【题型3 二元一次方程组的特殊解法】 【例3】若方程组的解是，则方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把第二个方程组的两个方程的两边都乘以5得到方程组，根据方程组的解得到方程组的解满足的条件，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴，即 ∵方程组的解是， ∴方程组的解满足， ∴． 【变式3-1】我们知道方程组的解是，现给出另一个方程组，则它的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将与看作整体，对应原方程组的未知数，利用已知解列方程组求解． 【详解】解：∵新方程组与原方程组结构相同， ∴ ， 解得． 【变式3-2】已知关于x，y的二元一次方程组，下列结论中正确的个数是（     ） ①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，． ②方程组的解也是关于x，y的方程的解． ③无论a取什么实数，的值始终等于． ④若用x表示y，则 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】利用消元法解出方程组，再逐个验证每个结论即可． 【详解】解：原方程组为， 得：，解得：， 把代入①得：，解得：， ∴当互为相反数时，，，，解得，故①正确； 得，两边同除以得，因此方程组的解一定是该方程的解，故②正确； ，故无论取何值，恒成立，③正确； 由①得，代入②得，整理得，与题目给出的表达式不符，故④错误； 综上，正确的结论共个． 【变式3-3】若关于x，y的二元一次方程组的解为，则关于x，y的方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用整体换元思想，对目标方程组变形，构造出和已知解的原方程组完全相同的结构，通过整体等量代换列简易方程，求出未知数的值． 【详解】解：∵的解为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【题型4 二元一次方程组的错解复原问题】 【例4】甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母看错了得到方程组的解为，乙把字母看错了得到方程组的解为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，根据甲看错a，其解满足不含a的方程，乙看错b，其解满足不含b的方程，分别代入求出的值后计算即可． 【详解】解：∵甲把字母a看错，得到的解，适合方程， ，解得， ∵乙把字母b看错，得到的解，适合方程， ∴，解得， ∴． 故选：A． 【变式4-1】已知方程组，小明同学正确解得，而小红同学因粗心把看错了，解得，由此可判断a，b，c的值为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的错解复原问题，根据小明同学的解正确，求出，得到关于的方程，根据小红同学看错了，得到满足方程，得到关于的方程，进而得到关于的方程组，进行求解即可． 【详解】解：把代入，得：， 解得； 把代入，得， ∴，解得； 故，，； 故选B． 【变式4-2】甲、乙两人同求方程的整数解，甲正确的求出一个解为，乙把看成，求得一个解为，则，的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把代入中得一个方程，把代入中的一个方程，联立解方程组即可． 本题考查了方程组的解法，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】解：把代入中，得， 把代入中，得， 根据题意，得； 解得， 故选：B． 【变式4-3】已知关于，的方程组，甲同学看错了字母解得；乙同学看错了字母解得，则该方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，把甲的结果代入求出b的值，把乙的结果代入求出a的值，然后把a、b的值代入组成方程组求解即可． 【详解】解：根据题意可知，将代入， 得， 解得：， 将代入， 得， 解得：， 将，代入原方程组， 得， 解得：， ∴原方程组正确的解是． 故选：A． 【题型5 构造二元一次方程组求解】 【例5】当时，，当时，，则（     ） A．9 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】将和分别代入原式，化简后将两式相加可消去含的项，直接求解即可． 【详解】解：∵当时，， ∴，整理得 ①， ∵当时，， ∴，整理得②， ∴，得， ∴． 【变式5-1】已知甲长方形相邻两边长相差6，乙长方形相邻两边长相差4，甲、乙两长方形的周长相等．若甲长方形的面积记为，乙长方形的面积记为，则的值为（   ） A．3 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】根据甲乙周长相等得到二者邻边长度之和相等，设参数表示出甲乙的两边长，再计算面积差，消去参数即可得到结果． 【详解】解：∵长方形周长相等，周长（邻边之和） ∴甲乙两长方形的邻边之和相等，设甲乙邻边之和为 对于甲长方形，相邻两边长相差， 设长为，宽为， ∴ 解得 ∴长为，宽为 ∴ 对于乙长方形，相邻两边长相差，同理可得长为，宽为 ∴ ∴． 【变式5-2】如图，约定：上方从左至右相邻两数之差等于这两数下方箭头共同指向的数．下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：若的值为5，则的值为1； 结论Ⅱ：的值为定值； 结论Ⅲ：若，则的值为10． A．Ⅱ，Ⅲ均对 B．Ⅱ对，Ⅲ错 C．Ⅱ错，Ⅲ对 D．Ⅰ，Ⅱ均对 【答案】B 【分析】根据题意可知，，，，对于结论Ⅰ，求出的值，再根据和的两个关系式求解即可；对于结论Ⅱ，利用，将等式作差即可得到结果；对于结论Ⅲ，利用Ⅱ中的关系式，容易计算出，再计算出的值即可． 【详解】解：根据题意可得，，，， 对于结论Ⅰ：当时，， ∴， 解得，故Ⅰ错误； 对于结论Ⅱ：∵， ∴， 整理，得为定值，故Ⅱ正确； 对于结论Ⅲ：由Ⅱ可知，， ∴， 解得， 当时，，即； 当时，，即； ∴Ⅲ错误． 【变式5-3】对，定义一种新运算，规定（其中，均为非零常数），例如；若，，则下列结论正确的个数是（    ） ①，； ②，则； ③若，则，有且仅有4组正整数解． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】首先根据已知条件解出m和n的值，再分别验证各结论的正确性即可. 【详解】解：结论①：∵和， ∴， 解得：，故结论①正确； 结论②：∵， 得：， 解得：；与结论②一致，故结论②正确； 结论③：∵， ∴， 其正整数解为：，，，共4组，故结论③正确； 综上，正确结论为①②③共3个． 【题型6 已知二元一次方程组的解的情况求参数】 【例6】已知关于，的二元一次方程组的解中，均为整数，且为正整数，则的值为（     ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【分析】先解关于，的二元一次方程组，把，用含的代数式表示为和，得是和的公约数，再结合为正整数求解． 【详解】解： 得：， ， 把代入得：， ，均为整数， 是和的公约数， 或， 为正整数， 符合条件的只有， 解得， ． 【变式6-1】下表分别是关于，的二元一次方程，的部分解，则的值为（     ） 的解 的解 … … … … A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】将表格中已知的解代入对应方程，联立求出未知参数，，，的值，再计算它们的和即可得到结果． 【详解】解：将和代入得， 解得， 将和代入得， 解得， ∴． 【变式6-2】若方程组的解、满足，则的值是（     ） A． B．4 C．3 D． 【答案】B 【分析】根据等式的性质，把方程组的两式相加，可得关于的方程；接下来化简可得，结合，整体代入即可得出值． 【详解】解：， 得， 即， 当时，得， 解得． 【变式6-3】已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的解，利用方程组消元得到关于的表达式，再结合已知条件求解即可． 【详解】解：， 得：， 整理得：， 两边同除以得：， ， ， 解得． 【题型7 方程组相同解问题】 【例7】关于，的方程组与有相同的解，则的值为（     ） A．-1 B．2 C．4 D．-12 【答案】C 【分析】本题考查同解方程组的性质与二元一次方程组的解法，两个方程组有相同的解，说明解同时满足所有方程，因此先联立不含参数的方程求出公共解，再代入含参数的方程求出参数，最后代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵两个方程组有相同的解， ∴该解同时满足和 联立得 解得， 把代入， 得 解得 把，代入得： ． 【变式7-1】已知关于x，y的二元一次方程组和的解相同，则n的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】两个方程组解相同，说明公共解满足所有方程，先利用第一个方程组消元求出x，再代入第二个方程组的第二个方程求出y，最后计算得到n的值． 【详解】解： 得， ∵关于x，y的二元一次方程组和的解相同， ∴把代入得， 解得， ∴． 【变式7-2】若关于，的方程组和有相同的解，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两个方程组有相同的解，说明这个解满足所有方程，因此先联立不含参数的方程求出公共解，再代入含参数的方程求出的值，即可计算． 【详解】解：∵两个方程组有相同的解， ∴公共解满足所有方程，先联立不含的方程得： ，得，解得， 把代入①，得，解得， 把代入，得： ，得，解得， 把代入④，得，解得， ∴， ∴B符合题意． 【变式7-3】若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将待解方程组变形为和已知原方程组结构相同的形式，再对应已知解得到新的方程，即可求出结果． 【详解】解：将整理变形：， ∵方程组的解是， ∴， 解得：． 【探究式学习】 1．阅读下列材料，解答提出的问题． 我们知道，二元一次方程（，为未知数，为常数）有无数个解．我们把它的每一个解用有序数对表示，就可以在平面直角坐标系上标出这些以方程的解为坐标的点．过这些点中的任意两点作直线，发现其他点也都在这条直线上，我们把这条直线叫作二元一次方程的图象．在这条直线上任取一点，这个点的坐标就是方程的解． (1)如图，直线是方程的图象，请你写出该方程的一个解____________，并在图中描出你所写的解对应的点； (2)请在图中所示的平面直角坐标系中画出方程的图象，观察图象写出二元一次方程组的解：____________； (3)在探究过程中小明发现方程组无解，于是他猜想若通过以上方式在平面直角坐标系中画出这个方程组中两个方程所对应的直线，则这两条直线的位置关系是__________． 【答案】(1)（答案不唯一）； (2)； (3)平行 【分析】（1）任取一个x的值代入求出y的值即可； （2）找出的两个解，进而画出方程的图象，同理画出的图象，根据图象作答即可； （3）根据同一平面内两直线的位置关系作答即可． 【详解】（1）解：将代入得，解得，即方程的一个解为； 作图略； （2）解：将代入得，解得，即方程的一个解为， 将代入得，解得，即方程的一个解为， 作图略； 将代入得，解得，即方程的一个解为， 作图如下： 由图象可知与的公共解为， 即二元一次方程组的解为； （3）解：∵方程组无解， ∴与不相交， 即与平行． 2．新定义：我们把关于、的两个二元一次方程与（）叫做互为共轭二元一次方程；二元一次方程组，叫做共轭二元一次方程组． (1)若二元一次方程中、的值满足下列表格： 2 0 2 3 则这个方程的共轭二元一次方程是______________． (2)探究：若共轭方程组的解是，猜想、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) 理由：∵共轭方程组的解是， ∴ ， 得：，即， ∵，则， ∴． 【分析】（1）先求出k和b，再写出共轭二元一次方程即可； （2）将解代入方程组，进行求解即可． 【详解】（1）解：将；，代入方程中，得， 解得：， ∴二元一次方程是， ∴这个方程的共轭二元一次方程是， （2）略 【课后检测】 1．若方程组的解是，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将方程组的解代入原方程组，得到关于的二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：将代入， 得， 由①得， 代入②中，得， ， ， ， 则． 2．用代入消元法解方程组较为简便的方法是（     ） A．先把变形 B．先把变形 C．可先把变形，也可先把变形 D．把同时变形 【答案】C 【分析】观察方程组未知数的系数，优先选择系数为的未知数所在方程变形． 【详解】解：方程中的系数为，可变形为，代入计算简便； 方程中的系数为，可变形为，代入计算简便， ∴先把变形或先把变形均较为简便． 3．已知x，y满足方程组，则的值为（     ） A． B． C．2 D．5 【答案】C 【分析】观察方程组系数特点，将两方程相加后整体求解的值． 【详解】解： ，得． 两边同时除以5，得． 4．二元一次方程组的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， 得：， 解得， 把代入②得：， 解得， ∴原方程组的解为． 5．方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据代入消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解：， 由得， 将代入， 得， ， ， ， 把代入， 得， 即方程组的解为． 6．已知，满足方程组，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察所求代数式与方程组的结构，通过两式相减直接求出的值． 【详解】解： ∴，得． ∴ ． 7．用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中消元正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将每个选项中的方法计算出来再判断即可． 【详解】解：选项：，得，不能消去未知数，消元错误； 选项：，得，不能消去未知数，消元错误； 选项：，得，消去未知数x，符合加减消元要求，消元正确； 选项：，得，不能消去未知数，消元错误． 8．已知，则的值为（     ） A． B．8 C． D．4 【答案】B 【分析】观察目标式与方程组的系数特征，将两方程直接相加即可求得结果． 【详解】解： ，得， 整理得：． 9．已知a、b满足方程组 ，则的值为（     ） A．－3 B．3 C．－4 D．4 【答案】B 【分析】将方程组两式相加得到，利用其与所求式的相反数关系求解. 【详解】解：， 两式相加得， ∴. 10．有两类正方形、，其边长分别为、，现将放在的内部得图1，将、并列放置后构造新的正方形得图2，图1和图2中阴影部分的面积分别为4和70．若将两个正方形和两个正方形如图3摆放，则阴影部分的面积为（     ） A．61 B．76 C．80 D．144 【答案】C 【分析】根据图1和图2中阴影部分的面积得到，则可推出，，进而推出，据此构成方程组求出a、b的值，再计算图3中阴影部分的面积即可． 【详解】解：由题意得，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 联立①②可解得， ∴图3中的阴影部分的面积 ． 11．已知二元一次方程组，则的值为______． 【答案】1 【分析】观察所求式子和方程组的关系，可直接将两个方程相加得到结果，无需单独求解和． 【详解】解： 将①和②相加，得 化简得． 因此所求值为1． 12．把二元一次方程化成用表示的形式：_________． 【答案】/ 【分析】移项后将的系数化为1即可求解． 【详解】解：∵， 移项得：， ∴． 13．已知二元一次方程，用含的代数式表示，则可表示为_______________． 【答案】 【分析】把看作已知数，解关于的一元一次方程即可得到结果． 【详解】解：原方程为， 移项，得， 方程两边同时除以， 得． 14．若关于x，y的方程组的解满足，则的值为_____________． 【答案】 【分析】对方程组两个方程作差得到与的关系，代入求出的值，再根据同底数幂的乘法法则计算结果． 【详解】解：记方程组，，用， 代入中，得到，解得， 所以． 15．若单项式与的和是一个单项式，则这两个单项式的积为_______． 【答案】 【分析】根据两个单项式的和为单项式，得出两个单项式为同类项，然后确定两个单项式，最后利用单项式相乘的法则进行运算． 【详解】解：∵单项式与的和是一个单项式， ∴单项式与是同类项， ∴， 解得， ∴两单项式分别为与， ∴． 16．解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 得 解得 将代入①得 解得， ∴方程组的解为； （2）解： 将①代入②得 解得 将代入①得 ∴方程组的解为． 17．解方程组：． 【答案】 【详解】 解：原方程组为， 得， 展开整理得， 得， 解得； 把代入得， ， 解得； 因此原方程组的解为． 18．在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：，甲由于把第一个多项式中的“”错抄成了“”，得到的结果为；乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为． (1)试求出式子中a，b的值； (2)请你计算出这道整式乘法的正确结果． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先按甲、乙的错误利用多项式的乘法法则运算，根据对应项的系数相等得出关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出a，b的值； （2）把（1）中得到的a，b的值代入原式，根据多项式的乘法法则运算即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， ∴可得二元一次方程组， 解得； （2）解：由（1）得，， ∴ ． 19．在学习乘法公式时，我们借助几何图形对平方差公式和完全平方公式做了直观的解释和描述．下面我们一起用类似的方法验证一个新的公式． (1)【探索公式】 ①如图1是四个长为a，宽为b的小长方形，按如图2的形状拼成一个正方形．图2的阴影部分的正方形的边长是___________（用含a，b的式子表示）． ②用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积． 【方法1】_______________________；【方法2】____________________； ③请在下面直线上直接写出，，这三个代数式之间的等量关系： _____________________________________________________； (2)【应用公式】 如图3，点C在线段上，．以和为边分别作两个正方形，已知，的面积是4，求和的长度． 【答案】(1)①；②；；③ (2)和的长度分别为2，4 【分析】（1）①根据图形即可得出结果；②直接利用正方形面积公式可得阴影部分的面积；利用大正方形面积减去四个小长方形的面积可得阴影部分的面积；③根据阴影部分的面积相等即可得出结果； （2）设，，结合题意可得，，由（1）可知，由此计算即可得出结果． 【详解】（1）①由图形可得，图2的阴影部分的正方形的边长是； ②直接利用正方形面积公式可得阴影部分的面积为； 利用大正方形面积减去四个小长方形的面积可得阴影部分的面积为； ③根据阴影部分的面积相等可得； （2）解：设，， 根据题意得， ∴，， 由（1）可知，即， ∴， ∵， ∴． 则， 解得， ∴和的长度分别为2，4． 20．【材料阅读】 在二元一次方程组“数学活动”的学习中，小华同学对二元一次方程的解与平面直角坐标系内点的对应关系做了如下探究，请将小华同学的探究过程补充完整． (1)补全下列表格，使上下每对，的值都是方程的解． x … 0 1 2.5 … y … 0 n … 则表格中的 ； 如果我们将方程的解看成一组有序数对，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示，探究发现：以方程的解为坐标的点落在同一条直线上，如1图所示，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解．我们把这条直线称为该方程的图象． 【问题探究】 (2)已知、、，则点 （填“或或”）在方程的图象上． (3)请在题1图所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程的图象．观察图象，两条直线的交点坐标为 ，由此你得出二元一次方程组的解是 ； 【动手实践】 (4)如题2图所示方程的图象与，轴的交点分别是、，若方程的图象与轴相交于点，与轴相交于点． ①求点的坐标； ②已知关于，的二元一次方程组无解，且．在线段上任取一点，连接．点为的角平分线上一点，且满足．请在题23－2图中作出符合题意的图形，写出和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)C (3)方程的图象的图像如图所示． 两个图像的交点坐标：． ∴方程组的解为：． (4)①；②当点在点上方时，当点在点下方时 【分析】（1）把，代入得，计算即可； 解得； （2）分别把三个点的横纵坐标代入计算即可； （3）根据题意先画出图形，再根据图像交点确定方程组的解； （4）①在中，当时，，则； ②由方程组无解，得到直线和直线没有交点，即这两条直线互相平行；据此画出图形，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据表格发现规律：， ∴把，代入得 ， 解得； （2）解：对于，，即不在方程的图象上． 对于，，即不在方程的图象上． 对于，，即在方程的图象上． （3）略 （4）解：①在中，当时，，； ②∵关于，的二元一次方程组无解， ∴直线和直线没有交点，即这两条直线互相平行； 如图所示，当点在点上方时，过点作， ∵，， ，， ，， 同理可得， ∵点为的角平分线上一点， ， 又， ， ， ， ， ； 如图所示，当点在点下方时，过点作 ∵，， ， ，， ， ， ， ， ， ； 综上所述，当点在点上方时， 当点在点下方时． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 35 页 第 1 页 共 35 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 第15讲 二元一次方程组的解法 （新教材北师大版） 知识点一、二元一次方程组的基本解法 2 知识点二、解方程组的三大解题思想 2 【题型1 代入消元法】 3 【题型2 加减消元法】 3 【题型3 二元一次方程组的特殊解法】 4 【题型4 二元一次方程组的错解复原问题】 4 【题型5 构造二元一次方程组求解】 5 【题型6 已知二元一次方程组的解的情况求参数】 6 【题型7 方程组相同解问题】 7 【探究式学习】 8 【课后检测】 10 【复盘笔记】 15 知识点一、二元一次方程组的基本解法 （1）代入消元法： ①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将该方程中的一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，例如； ②把代入另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出x的值； ④把求得的x的值代回中，求出y的值，从而得出方程组的解； ⑤把这个方程组的解写成的形式． 解方程组： 解： 由②，得，③ 把③代入①，， ∴，得． 把代入③，得． ∴方程组的解为 （2）加减消元法： ①把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数相反或相等； ②把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把求得的未知数的值代入原方程组中，求出另一个未知数的值，从而得出方程组的解； ⑤把这个方程组的解写成的形式． 解方程组： 解： ①②，得， 解得：． 将代入①，得， 解得． ∴方程组的解是． 知识点二、解方程组的三大解题思想 （1） 消元思想；（2）整体思想；（3）换元思想． 【题型1 代入消元法】 【例1】关于，的方程组的解中，则的取值为（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知关于的二元一次方程组，下列结论中：①当这个方程组的解的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③无论取什么实数，的值始终不变；④若用表示，则；正确的有（     ）个 A． B． C． D． 【变式1-2】由方程组可得出关于与之间的关系式为（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】解方程组，下列解法步骤中不正确的是（     ） A．用加减消元法消去，得 B．用代入消元法消去，由得 C．用代入消元法消去，由得 D．用加减消元法消去，得 【题型2 加减消元法】 【例2】已知二元一次方程组，则的值是（     ） A．1 B．0 C． D． 【变式2-1】小丽在用“加减消元法”解二元一次方程组时，利用消去，则，的值可能是（     ） A．， B．， C．， D．， 【变式2-2】如果，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知是关于，的二元一次方程组的解，则的值为（     ） A． B． C． D． 【题型3 二元一次方程组的特殊解法】 【例3】若方程组的解是，则方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】我们知道方程组的解是，现给出另一个方程组，则它的解是（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知关于x，y的二元一次方程组，下列结论中正确的个数是（     ） ①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，． ②方程组的解也是关于x，y的方程的解． ③无论a取什么实数，的值始终等于． ④若用x表示y，则 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式3-3】若关于x，y的二元一次方程组的解为，则关于x，y的方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【题型4 二元一次方程组的错解复原问题】 【例4】甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母看错了得到方程组的解为，乙把字母看错了得到方程组的解为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式4-1】已知方程组，小明同学正确解得，而小红同学因粗心把看错了，解得，由此可判断a，b，c的值为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式4-2】甲、乙两人同求方程的整数解，甲正确的求出一个解为，乙把看成，求得一个解为，则，的值分别为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知关于，的方程组，甲同学看错了字母解得；乙同学看错了字母解得，则该方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【题型5 构造二元一次方程组求解】 【例5】当时，，当时，，则（     ） A．9 B．1 C． D． 【变式5-1】已知甲长方形相邻两边长相差6，乙长方形相邻两边长相差4，甲、乙两长方形的周长相等．若甲长方形的面积记为，乙长方形的面积记为，则的值为（   ） A．3 B． C．5 D． 【变式5-2】如图，约定：上方从左至右相邻两数之差等于这两数下方箭头共同指向的数．下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：若的值为5，则的值为1； 结论Ⅱ：的值为定值； 结论Ⅲ：若，则的值为10． A．Ⅱ，Ⅲ均对 B．Ⅱ对，Ⅲ错 C．Ⅱ错，Ⅲ对 D．Ⅰ，Ⅱ均对 【变式5-3】对，定义一种新运算，规定（其中，均为非零常数），例如；若，，则下列结论正确的个数是（    ） ①，； ②，则； ③若，则，有且仅有4组正整数解． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【题型6 已知二元一次方程组的解的情况求参数】 【例6】已知关于，的二元一次方程组的解中，均为整数，且为正整数，则的值为（     ） A．或 B． C．或 D． 【变式6-1】下表分别是关于，的二元一次方程，的部分解，则的值为（     ） 的解 的解 … … … … A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6-2】若方程组的解、满足，则的值是（     ） A． B．4 C．3 D． 【变式6-3】已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【题型7 方程组相同解问题】 【例7】关于，的方程组与有相同的解，则的值为（     ） A．-1 B．2 C．4 D．-12 【变式7-1】已知关于x，y的二元一次方程组和的解相同，则n的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式7-2】若关于，的方程组和有相同的解，则的值是（     ） A． B． C． D． 【变式7-3】若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【探究式学习】 1．阅读下列材料，解答提出的问题． 我们知道，二元一次方程（，为未知数，为常数）有无数个解．我们把它的每一个解用有序数对表示，就可以在平面直角坐标系上标出这些以方程的解为坐标的点．过这些点中的任意两点作直线，发现其他点也都在这条直线上，我们把这条直线叫作二元一次方程的图象．在这条直线上任取一点，这个点的坐标就是方程的解． (1)如图，直线是方程的图象，请你写出该方程的一个解____________，并在图中描出你所写的解对应的点； (2)请在图中所示的平面直角坐标系中画出方程的图象，观察图象写出二元一次方程组的解：____________； (3)在探究过程中小明发现方程组无解，于是他猜想若通过以上方式在平面直角坐标系中画出这个方程组中两个方程所对应的直线，则这两条直线的位置关系是__________． 2．新定义：我们把关于、的两个二元一次方程与（）叫做互为共轭二元一次方程；二元一次方程组，叫做共轭二元一次方程组． (1)若二元一次方程中、的值满足下列表格： 2 0 2 3 则这个方程的共轭二元一次方程是______________． (2)探究：若共轭方程组的解是，猜想、之间的数量关系，并说明理由． 【课后检测】 1．若方程组的解是，则的值是（     ） A． B． C． D． 2．用代入消元法解方程组较为简便的方法是（     ） A．先把变形 B．先把变形 C．可先把变形，也可先把变形 D．把同时变形 3．已知x，y满足方程组，则的值为（     ） A． B． C．2 D．5 4．二元一次方程组的解为（     ） A． B． C． D． 5．方程组的解是（     ） A． B． C． D． 6．已知，满足方程组，则的值为（     ） A． B． C． D． 7．用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中消元正确的是（     ） A． B． C． D． 8．已知，则的值为（     ） A． B．8 C． D．4 9．已知a、b满足方程组 ，则的值为（     ） A．－3 B．3 C．－4 D．4 10．有两类正方形、，其边长分别为、，现将放在的内部得图1，将、并列放置后构造新的正方形得图2，图1和图2中阴影部分的面积分别为4和70．若将两个正方形和两个正方形如图3摆放，则阴影部分的面积为（     ） A．61 B．76 C．80 D．144 11．已知二元一次方程组，则的值为______． 12．把二元一次方程化成用表示的形式：_________． 13．已知二元一次方程，用含的代数式表示，则可表示为_______________． 14．若关于x，y的方程组的解满足，则的值为_____________． 15．若单项式与的和是一个单项式，则这两个单项式的积为_______． 16．解方程组： (1)； (2)． 17．解方程组：． 18．在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：，甲由于把第一个多项式中的“”错抄成了“”，得到的结果为；乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为． (1)试求出式子中a，b的值； (2)请你计算出这道整式乘法的正确结果． 19．在学习乘法公式时，我们借助几何图形对平方差公式和完全平方公式做了直观的解释和描述．下面我们一起用类似的方法验证一个新的公式． (1)【探索公式】 ①如图1是四个长为a，宽为b的小长方形，按如图2的形状拼成一个正方形．图2的阴影部分的正方形的边长是___________（用含a，b的式子表示）． ②用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积． 【方法1】_______________________；【方法2】____________________； ③请在下面直线上直接写出，，这三个代数式之间的等量关系： _____________________________________________________； (2)【应用公式】 如图3，点C在线段上，．以和为边分别作两个正方形，已知，的面积是4，求和的长度． 20．【材料阅读】 在二元一次方程组“数学活动”的学习中，小华同学对二元一次方程的解与平面直角坐标系内点的对应关系做了如下探究，请将小华同学的探究过程补充完整． (1)补全下列表格，使上下每对，的值都是方程的解． x … 0 1 2.5 … y … 0 n … 则表格中的 ； 如果我们将方程的解看成一组有序数对，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示，探究发现：以方程的解为坐标的点落在同一条直线上，如1图所示，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解．我们把这条直线称为该方程的图象． 【问题探究】 (2)已知、、，则点 （填“或或”）在方程的图象上． (3)请在题1图所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程的图象．观察图象，两条直线的交点坐标为 ，由此你得出二元一次方程组的解是 ； 【动手实践】 (4)如题2图所示方程的图象与，轴的交点分别是、，若方程的图象与轴相交于点，与轴相交于点． ①求点的坐标； ②已知关于，的二元一次方程组无解，且．在线段上任取一点，连接．点为的角平分线上一点，且满足．请在题23－2图中作出符合题意的图形，写出和之间的数量关系，并说明理由． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 35 页 第 1 页 共 35 页 学科网（北京）股份有限公司 $