第19讲 平均数与方差（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年北师大版八年级数学上册

简一数理 初中专题讲义 第19讲 平均数与方差 （新教材北师大版） 【题型1 求众数】 3 【题型2 利用众数求未知数据的值】 4 【题型3 运用众数做决策】 4 【题型4 求一组数的平均数】 5 【题型5 已知平均数求未知数据的值】 5 【题型6 利用已知的平均数求相关数据的平均数】 6 【题型7 利用平均数做决策】 6 【题型8 求加权平均数】 7 【题型9 利用加权平均数求未知数据的值】 8 【题型10 利用加权平均数做决策】 9 【题型11 出错情况下平均数问题】 10 【题型12 求方差】 11 【题型13 利用方差求未知数据的值】 11 【题型14 根据方差判断稳定性】 12 【题型15 运用方差做决策】 13 【题型16 求标准差】 14 【题型17 求离差平方和】 15 【题型18 离差平方和的应用】 15 【题型19 用样本平均数（方差）估计总体平均数（方差）】 17 【探究式学习】 19 【课后检测】 22 【复盘笔记】 26 平均数 定义：一般地，如果有n个数x1，x2，…，xn，那么 ==，读作 “x拔”. 优点：平均数能充分利用各数据提供的信息，在实际生活中常用样本的平均数估计总体 的平均数. 缺点：在计算平均数时，所有的数据都参与运算,所以它易受极端值的影响. 加权平均数 定义：若个数，，…，的权分别是，，…，，则，叫做 这个数的加 权平均数. 【注意】若各数据权重相同，则算术平均数等于加权平均数. 中位数 定义：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据 的平均数）叫做这组数据的中位数. 优点：中位数不受个别偏大或偏小数据的影响,当一组数据中的个别数据变动较大时, 一般用中位数来描述数据的集中趋势. 缺点：不能充分地利用各数据的信息. 众数 定义：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数. 优点：众数考察的是各数据所出现的频数,其大小只与部分数据有关，当一组数据中某些 数据多次重复出现时，众数往往更能反映问题. 缺点：当各数据重复出现的次数大致相等时,它往往就没有什么特别意义. 方差 定义：在一组数据，，…，中，各个数据与平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差，记作.计算公式是：. 意义：方差是用来衡量数据在平均数附近波动大小的量，方差越大，数据的波动性越大，方差越小，数据的波动性越小. 极差 定义：一组数据中最大值减去最小值的差叫做极差. 【注意】极差是由数据中的两个极端值所决定的,当个别极端值远离其他数据时，极差往 往不能反映全体数据的实际波动情况. 标准差 定义：方差的算术平方根,即 【补充】标准差也是用来描述一组数据波动的情况,常用来比较两组数据波动的大小. 【题型1 求众数】 【例1】某校举办了关于垃圾分类的知识竞赛．九年级6名学生参加本次竞赛的成绩（单位：分）分别为79，80，84，，85，92，且这组成绩的平均数是84分，那么这组数据的众数为（    ） A．80 B．84 C．85 D．85.5 【变式1-1】老师在黑板上写出一个计算方差的算式：，根据上式还原得到的数据，下列结论不正确的是（     ） A． B．平均数为8 C．众数是6 D．添加一个数8后方差不变 【变式1-2】已知一组数据方差的算式为：，由算式提供的信息，下列说法错误的是（     ） A．的值是 B．该组数据的平均数是 C．若该组数据加入两个数，，则这组新数据的方差变小 D．该组数据的众数是 【变式1-3】2026年2月1日，我国首部促进全民阅读的专门法规《全民阅读促进条例》正式施行，标志着全民阅读从“政策引导”迈向“法治保障”，寒假结束后，李老师统计了本班学生寒假期间阅读的课外书的本数，具体如下表： 本数 1 2 3 4 5 人数 5 15 10 6 4 由上表可知，该班学生寒假期间阅读的课外书的本数的众数和平均数分别是（     ） A．4，2.5 B．4，3 C．2，2.5 D．2，2.725 【题型2 利用众数求未知数据的值】 【例2】已知一组从大到小排列的数据：5，4，4，3，（为正整数）．若唯一的众数是4，则数据是（   ） A．1 B．2或4 C．0或1 D．1或2 【变式2-1】植树节当天，某校九年级一班学生去植树，已知该班 6 个小组的植树棵数分别是：5、7、3、x、6、4，已知这组数据的众数是 5，则这组数据的平均数是 （    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2-2】已知一组数据6，8，10，x的平均数和众数相等，则x的值为（） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式2-3】为了迎接体育测试，小强每天坚持引体向上锻炼，他记录了某一周每天做引体向上的个数如下表：其中有三天的个数被墨汁覆盖了，但小强已经计算出这组数据的唯一众数是12，平均数是11，那么这组数据的方差是（   ） 星期 日 一 二 三 四 五 六 个数 10 11 12 11 A．1 B． C． D． 【题型3 运用众数做决策】 【例3】某商场上月空调的销售情况如表所示：商场经理决定本月增加库存时多加一些品牌空调，可用来解释这一决定的统计量是（     ） 品牌 销售量/台 260 140 300 480 A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【变式3-1】体育中考成绩出来后，班主任分析说：“同学们考得非常好，大多数同学都考了满分．”你认为班主任所描述的统计量是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【变式3-2】某校“创客作品展示活动”采用民主投票的方式进行评选，即该校每位同学从名候选人中选择名进行无记名投票，进而从中选出获胜者．根据投票结果判断最终获胜者所需要考虑的统计量是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【变式3-3】为迎接第39个“12.5”国际志愿者日，学校准备设计一款学生志愿服，对全校学生喜欢的颜色进行了问卷调查，统计结果如下表所示： 颜色 黄色 红色 白色 紫色 绿色 学生人数 150 230 220 80 650 学校决定采用绿色，可用来解释这一决定的统计知识是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【题型4 求一组数的平均数】 【例4】如图，、、三个人围成一个三角形做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个实数，并把自己想好的数如实地告诉他相邻的两个人，然后每个人将他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来．若、、三人报出的数字分别为，，，则心里想的数是（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】教练员依据成员的投篮成绩将位同学的得分分为和两组，则这样分组的组内离差平方和为（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】把数据2，4，6，9，10分成与两组，则组内离差平方和是（     ） A．8.2 B．8.5 C．8.7 D．8.8 【变式4-3】为提升学生体质健康水平，学校开展了丰富多彩的体育活动．甲、乙两名同学进行了定点投篮练习，每人每次定点投篮5个，最近10次练习的数据如图所示．甲、乙两名同学这10次练习投中个数的平均数分别记为和，方差分别记为和．下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【题型5 已知平均数求未知数据的值】 【例5】已知一周的周一至周五，某同学的运动时间为34、28、40、36、32分钟，为了让一周7天内的平均活动时间恰好达到40分钟，该同学周六、周日应分别运动（     ）分钟． A．50，50 B．45，60 C．50，60 D．55，60 【变式5-1】小雪在练习“一分钟仰卧起坐”时，前4组的成绩（单位：个）分别为42，48，52，48，再做1组后，若这5组成绩的平均数与众数相等，则小雪第5组成绩是每分钟（   ） A．40个 B．44个 C．48个 D．50个 【变式5-2】若一组数据2，4，x，1，6的平均数是3，则这组数据的方差为（   ） A．2 B．3.5 C．3.2 D．5 【变式5-3】A、B、C、D、E五名射击运动员在一次射击比赛中的平均成绩是80环，而A、B、C三人的平均成绩是78环，则下列说法中一定正确的是（　　） A．D、E的成绩比其他三人好 B．D、E两人的平均成绩是83环 C．成绩最好的不是A、B、C D．D、E两人的成绩都不少于83环 【题型6 利用已知的平均数求相关数据的平均数】 【例6】已知一组数据、、、、的平均数为5，方差为8，则数据、、、、的平均数和方差分别为（    ） A．20、13 B．7、16 C．7、32 D．7、29 【变式6-1】若一组数据的平均数为10，方差为4，那么数据的平均数和方差分别是（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知一组数据，，的平均数是8，方差是3，则另一组数据，，的平均数和方差分别是（     ） A．17，12 B．17，11 C．16，12 D．16，11 【变式6-3】若一组数据，，，…，的平均数为5，离差平方和为20，则数据，，，…，的平均数和离差平方和分别是（     ） A．5，20 B．5，22 C．7，20 D．7，22 【题型7 利用平均数做决策】 【例7】校田径队需从甲、乙、丙、丁四名运动员中选派一名参加市运动会米比赛．下表是四名运动员最近次米测试成绩的平均数（单位：）和方差． 运动员 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（     ） A．甲运动员 B．乙运动员 C．丙运动员 D．丁运动员 【变式7-1】甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，他们在相同条件下各射击次，成绩（单位：环）统计如表，如果从这四人中，选出一位成绩较好且状态稳定的选手参加比赛，那么应选（     ）． 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式7-2】赵县雪花梨是河北石家庄赵县的特产，甲、乙、丙、丁四个果篮中10个雪花梨的平均质量与方差如下表所示，若要挑选一个单果质量大且雪花梨大小均匀的果篮，则应选（     ） 果篮 甲 乙 丙 丁 平均质量/g 392 401 405 405 方差 0.3 1.5 1.2 0.4 A．甲果篮 B．乙果篮 C．丙果篮 D．丁果篮 【变式7-3】某校为选拔一名学生参加区级“经典诵读”比赛，对甲、乙、丙、丁四名候选人进行了测试，他们的平均成绩及方差如下表所示： 选手 甲 乙 丙 丁 平均成绩/分 92 95 95 92 方差 1.2 0.8 1.5 0.8 若要选出一名成绩好且状态稳定的同学参赛，最合适的人选是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【题型8 求加权平均数】 【例8】如图是用雷达图展示的小智参与趣味数学活动过程中，探索学习、动手操作、沟通合作、创新、问题解决五项能力的得分情况，依次按进行综合测评，则他的综合得分为（     ） A．10分 B．9分 C．8分 D．6.4分 【变式8-1】实验中学有甲、乙、丙三个班，甲班有m人，乙班有n人，丙班有k人（以上所有参数均为正整数），在一次考试中甲班平均分是a分，乙班平均分是b分，丙班平均分是t分．则甲、乙、丙三个班在这次考试中的总平均分是（     ） A． B． C． D． 【变式8-2】某超市销售A、B、C、D四种矿泉水，它们的单价依次是6元、3元、2元、1元．某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是（    ）． A．元 B．元 C．元 D．元 【变式8-3】某校为了了解学生课外阅读情况，随机调查了50名学生各自平均每天的课外阅读时间，并绘制成条形图（如图），据此可以估计出该校所有学生平均每人每天的课外阅读时间为（     ）小时 A．2 B．1 C．3 D．4 【题型9 利用加权平均数求未知数据的值】 【例9】某学校举行了八年级学生演讲比赛，对参赛者的“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面进行评分(各方面均为百分制)．已知小明五项得分的算术平均数为87分，若将“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面评分的权重分别设为，，，，，则小明五项得分的加权平均数为86分．那么以下结论中，正确的是（   ） A．重新设置权重前，小明五项得分的总分是430分 B．重新设置权重前，小明的“内容”得分超过87分 C．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“表达”得分高 D．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“逻辑”得分高 【变式9-1】在某次期末考试中，甲学校和乙学校八年级学生的数学成绩统计数据如下表： 类别 男生平均分 女生平均分 年级平均分 甲学校 95 85 92 乙学校 97 87 91 根据表中数据，下列分析正确的是（   ） A．甲学校八年级总人数比乙学校多 B．甲学校八年级男生人数比乙学校多 C．甲学校八年级男生比例比乙学校高 D．甲学校女生人数多于男生 【变式9-2】某校八（3）班第二小组期中数学测验成绩分布如表所示： 分数 60 70 80 90 人数 1 3 2 该班第二小组这次数学测验成绩平均分是分，则成绩为分的人数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式9-3】某次射击训练中，一小组的成绩如表所示： 环数 人数 若该小组的平均成绩为环，则成绩为环的人数是（　　） A． B． C． D． 【题型10 利用加权平均数做决策】 【例10】一家外贸公司打算招聘一名英文笔译员，设置了听、说、读、写共四项英语水平测试及相应的权重比，每项测试的原始分均为100分，如果你是这家公司的人力资源主管，你认为最适合作为选人依据的权重比是（     ） A． B． C． D． 【变式10-1】某校拟招聘一名数学老师，现通过笔试、面试、答辩三项成绩来考核甲、乙、丙三名应聘者，各项满分均为100分，成绩如下表： 应聘者 笔试成绩(分) 面试成绩(分) 答辩成绩（分） 甲 85 90 92 乙 92 88 86 丙 88 91 89 学校综合岗位需求，规定笔试、面试、答辩权重之比为，按加权平均数分择优录取，那么被录用的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．不能确定 【变式10-2】某校在“科技创新”比赛中，对甲、乙、丙三项作品进行量化评分（百分制），如表： 项目作品 甲 乙 丙 创新性 90 95 90 实用性 90 90 95 如果按照创新性占，实用性占计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推荐的作品是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．甲和丙 【变式10-3】某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、能力、经验三个方面对甲、乙、丙、丁四名应聘者进行了测试，测试成绩如下表： 应聘者项目 甲 乙 丙 丁 学历 70 75 80 80 能力 90 80 80 85 经验 70 80 70 65 如果这家公司比较看重员工的能力，将学历、能力、经验三项得分按的比例加权平均确定每人的最终得分，录用得分最高者，那么将被录用的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【题型11 出错情况下平均数问题】 【例11】小颖使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据15输入为105，另一个数据65输入56，由此求得的平均数为61，求实际平均数． 【变式11-1】长沙市抽样调查了位蓝领的月收入，其中月收入最高的只有一位，是元．由于将这个数据输入错了，所以计算机显示的这位蓝领的平均月收入比实际平均月收入高出了元，则输入计算机的那个错误数据是________． 【变式11-2】某同学用计算器计算30个数据时，错将其中一个数据105输入15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是（    ） A．3.5 B．3 C． D．0.5 【变式11-3】为了解居民的环保意识，社区工作人员在某小区随机抽取了若干名居民开展有奖问卷调查活动，并用得到的数据绘制了如下条形统计图．请根据图中信息，解答下列问题． (1)求本次调查获取的样本数据的平均数； (2)如果对该小区的800名居民全面开展这项有奖问卷活动，得10分者设为一等奖，请你根据调查结果，估计需准备多少份一等奖奖品？ (3)若小明统计该表中，将得8分的居民统计为14人，其余均未出错，那么平均数会 ．（填“不变”、“变大”、“变小”） 【题型12 求方差】 【例12】甲、乙两名运动员的8次射击成绩(单位：环)如图所示：甲、乙射击成绩的方差分别为，，则与的关系为（     ） A． B． C． D． 【变式12-1】如图，下列结论中，不正确的是（    ） A．a组数据的标准差较大 B．a组数据的方差较大 C．b组数据比较稳定 D．b组数据的标准差较大 【变式12-2】为了考察甲、乙两块田地小麦的长势，分别从中抽出5株小麦苗，测得苗高如下表，若甲块田地小麦苗高的方差大于乙块田地小麦苗高的方差，则表中的值可能是（    ） 甲 10 11 12 13 乙 8 9 10 11 12 A．12 B．13 C．14 D．15 【变式12-3】为了增强学生的体质，某班开展投篮比赛，每人投篮5次，现从班级45人中随机抽取5人，统计了他们的投中次数，得到数据（单位：次）如下：5，5，4，3，3，则样本的方差是（     ） A． B． C． D．4 【题型13 利用方差求未知数据的值】 【例13】一组数据的方差为，则该组数据的总和是（    ） A． B．9 C．14 D．45 【变式13-1】小明根据方差公式，分析和计算得出了四个结论，其中不正确的是（    ） A． B．中位数是 C． D． 【变式13-2】求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（   ） A．的值是 B．该组数据的平均数是 C．该组数据的方差是 D．若该组数据加入数，则这组新数据的方差变大 【变式13-3】吴老师在黑板上写出一个计算方差的算式：．根据算式，下列结论判断错误的是（  ） A． B．平均数为8 C．众数是9 D．若添加一个数8后，方差变小 【题型14 根据方差判断稳定性】 【例14】学校准备从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学参加市里举办的“华星杯”“爱我中华”主题演讲比赛，如表是四位同学几次演讲比赛成绩的平均分和方差的统计结果，如果要选出一个成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择的同学是（     ）． 甲 乙 丙 丁 平均分 9.4 9.8 9.8 9.6 方差 1 1.2 1 1.8 A．甲 B．乙． C．丙 D．丁． 【变式14-1】物理课上，甲、乙、丙、丁四名同学都进行了5次小木块从斜面滑下的实验，记录小木块滑行的距离（单位：）作为实验结果，四人实验结果的平均数相同，方差分别为，，，，则四人中，实验结果最稳定的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式14-2】某校举行以“弘扬传统文化，传承优良家风”为主题的中学生知识竞赛．根据规则，均分高的同学获胜，若均分相同，则发挥较稳定的同学获胜．五轮次比赛中他们的得分如下表，下列说法正确的是（     ） 同学 第1轮 第2轮 第3轮 第4轮 第5轮 甲 8 7 9 8 8 乙 7 9 6 9 9 A．甲同学获胜 B．乙同学获胜 C．甲乙同学并列获胜 D．无法判断 【变式14-3】已知甲组：，，，；乙组：，，，，，，为了刻画这两组数据的离散程度，则最合适的统计量是（    ） A．方差 B．方差或离差平方和 C．离差平方和 D．离差的和 【题型15 运用方差做决策】 【例15】某校计划从甲、乙、丙、丁四个小组中选取一组参加机器人竞赛，下表记录了各组平时测试成绩（单位：分）的平均数及方差．根据表中的数据，要选出一个成绩优秀且状态稳定的小组，则应选择（     ）小组． 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式15-1】甲、乙、丙、丁四位同学参加学校的中华古诗词知识竞赛，四人竞赛成绩情况如下表，若要从中选择一人参加县级的比赛，应选（     ） 甲 乙 丙 丁 平均数 95 95 95 95 方差 3 4.3 4 4.6 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式15-2】某校准备从甲、乙、丙、丁四个小组中选出一组，参加全区中小学知识竞赛，下表记录了各组几轮知识模拟比赛成绩的平均数（单位：分）及方差，若要选出一个成绩好且状态稳定的小组去参加竞赛，则应选择的小组是（     ） 小组 甲组 乙组 丙组 丁组 平均数 92 95 96 96 方差 0.3 1.5 1.2 0.4 A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组 【变式15-3】甲、乙、丙、丁四位同学参加学校“算法设计选拔赛”，每位选手完成5次编程任务，这四位同学5次编程成绩的平均分与方差如下表，学校需从中选出一位同学参加县级比赛，则最适合的同学是（     ） 选手 甲 乙 丙 丁 平均分数 85 90 90 86 方差 5.2 11.6 4.0 10.4 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【题型16 求标准差】 【例16】计算某一组数据的方差算式如下：，根据该算式，得到下列结论：①一共有5个数据；②该数据的平均数是10；③该数据的标准差是；④若添加一个数据10，新数据的方差不变，其中正确的结论有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式16-1】若样本，的平均数为12，方差为4，则对于样本，下列结论正确的是（   ）． A．平均数为12，标准差为2 B．平均数为12，标准差为4 C．平均数为27，标准差为2 D．平均数为27，标准差为4 【变式16-2】设有个数，其标准差为．另有个数，其标准差为．其中，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式16-3】甲、乙、丙、丁四名射击运动员参加射击预选赛，每人射击20发子弹．他们射击成绩的平均数及标准差如下表所示： 人员成绩 甲 乙 丙 丁 平均数（环） 8.7 8.7 9.1 9.1 标准差（环） 1.3 1.5 1.0 1.2 若要选一名成绩较好且发挥稳定的运动员参奏，则应选择（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【题型17 求离差平方和】 【例17】某兴趣小组名成员的年龄（单位：岁）分别为，，，，则这组数据的离差平方和是（     ） A． B． C． D．【答案】A 【变式17-1】现有一组数据2，8，5，12，若将其分为两组，根据组内离差平方和最小的原则，正确的分组方式是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式17-2】在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，8，10．某体育老师根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组．他首先将这5个数据按从小到大排序，发现排序后的数据分成两组共有4种分法，分别计算组内离差平方和（结果保留小数点后一位），部分结果如下表所示． 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 29 29 第2个间隔 第3个间隔 4.7 第4个间隔 21 0 21 因此，按组内离差平方和最小的分法为（     ） A．第1个间隔 B．第2个间隔 C．第3个间隔 D．第4个间隔 【变式17-3】一组包含5个从小到大排列的数据，将这组数据分成两组，四种分法的组内离差平方和如下表所示，其中分法三划分出的两组数据的离差平方和分别为26和12.5，根据组内离差平方和最小的原则，应该选用的分法是（     ） 分组方法 分法一 分法二 分法三 分法四 组内离差平方和 86.75 62.5 x 74 A．分法一 B．分法二 C．分法三 D．分法四 【题型18 离差平方和的应用】 【例18】在引体向上测试中，名同学完成的个数分别为，，，，．要使个数相差较小的同学分在一组，下表是种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位），根据组内离差平方和最小原则，把这名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（     ） 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 第个间隔 第个间隔 第个间隔 第个间隔 A．和 B．和 C．和 D．和 【变式18-1】统计兴趣小组的同学收集了我国7个地区的人均耕地面积（单位：公顷）数据：0.1，0.6，0.2，0.3，0.6，1.8，2.0．为合理分组，设计以下解决方案：规定两组组内离差平方和之和越小，分组越合理． 组序 分组情况 第1组组内离差平方和 第2组组内离差平方和 第1组 第2组 1 0.1，0.2，0.3 0.6，0.6，1.8，2.0 0.02 1.71 2 0.1，0.2，0.3，0.6 0.6，1.8，2.0 0.14 1.15 3 0.1，0.2，0.3，0.6，0.6 1.8，2.0 0.21 0.02 4 0.1，0.2，0.3，0.6，0.6，1.8 2.0 1.94 0 则合理分组是（     ） A．组序1 B．组序2 C．组序3 D．组序4 【变式18-2】在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为7，9，12，13，15．要使个数相差较小的同学分在一组，如表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位）．根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（     ） 分组情况 组内离差平方和 第一组4个，第二组1个 22.8 第一组3个，第二组2个 14.7 第一组2个，第二组3个 6.7 第一组1个，第二组4个 18.8 A．和 B．和 C．和 D．和 【变式18-3】为研究某小区居民每月用水量（单位：吨），收集到户居民的用水量数据如下：，，，，，，，，，，，．将这户居民用水量分成两组，使同组用水量接近，不同组用水量差异较大，现有以下四种分组方法，最恰当的分组是（     ） 分组方案 第一组数据 第二组数据 组内离差平方和 A ，，， ，，，，，，， B ，，，， ，，，，，， C ，，，，， ，，，，， D ，，，，，， ，，，， A．方案A B．方案B C．方案C D．方案D 【题型19 用样本平均数（方差）估计总体平均数（方差）】 【例19】综合与实践课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．10位同学每人随机收集核桃树、枇杷树的树叶各1片，通过测量得到这些树叶长，宽（单位：）的数据后，计算每片叶子的长宽比，并绘制出折线统计图如图所示：                    根据以上信息，下列说法错误的是（    ） A．核桃树叶长宽比为出现的次数最多 B．枇杷树叶的长宽比最大为 C．小明测量一片枇杷叶的长为，小明断定它的宽一定为 D．小亮收集到一片长、宽的树叶，判断它是一片核桃树叶 【变式19-1】随机调查某小区10户家庭一周内使用环保方便袋的数量．得到数据如下（单位：只）：6，5，7，8，7，9，10，5，6，7，利用所得的数据估计该小区1500户家庭一周内需要环保方便袋约为（　　　） A．1500 B．10500 C．14000 D．15000 【变式19-2】随机抽取某品牌电视机专卖店9月份中的6天的销售数量（单位：台），数据如下： 8、10、13、12、15、14． (1)估计该专卖店9月份30天平均每天销售电视机的数量． (2)由这组样本数据估计全年平均每天销售电视机的数量合理吗？请说明理由． 【变式19-3】为了解某种手机电池的使用时间，任意抽查了10块，测得其连续使用时间（单位：h）如下： 43；45；48；44；50；52；50；54；46；48 估计这种手机电池使用时间的平均数和方差． 【探究式学习】 1．为探究在酸碱度不同的土壤下栽培的无核荔枝的果实大小，我市银城果园选取甲、乙、丙三块酸碱度不同的试验田进行无核荔枝栽培的试验．果农从这三块试验田产出的荔枝中各随机选取颗无核荔枝，测量其直径（），完成各项数据统计． 乙试验田无核荔枝的直径频数分布直方图如下： 乙试验田无核荔枝的直径频数分布直方图 甲、乙、丙三块试验田无核荔枝的直径的平均数、方差如下： 平均数 方差 甲 乙 丙 004 (1)请求出的值； (2)经研究发现，本品种无核荔枝的直径在的范围内时，可作为“A级果”进行售卖，若从三块试验田中分别采摘相同数量的无核荔枝，哪块试验田的“A级果”更多？请根据以上数据说明理由． 2.探究： (1)一组数据2，3，5，7，8的平均数是5，方差是；如果再加入一个数据5，那么这组新数据的平均数为_______，方差为______； (2)一组数据的平均数是2，方差是3，如果再加入一个数据2，那么这组新数据的平均数为__________，方差为___________； (3)若这20个数据的平均数是，方差为，则数据，这21个数据的平均数是多少？方差是多少?写出你的计算过程． (4)若这n个数据的平均数是，方差为，则数据，这个数据的平均数是多少？方差是多少？（请直接写出答案） 3．观察和探究． (1)观察下列各组数据并填空 A、1、2、3、4、5，__________       ___________． B、11、12、13、14、15，___________  __________． C、10、20、30、40、50，___________ __________． D、3 、5、7、9、11，___________    ___________． (2)分别比较A与B、A与C、A与D的计算结果，你能发现什么规律？ 4．【问题提出】在一次课外活动中，小明为了探究人类记忆曲线的变化情况，决定通过让小组成员背单词的方法进行研究分析． 【收集数据】小明让小组的位同学在一天内背诵个单词．第天课下，小明对单词记忆情况进行了调查，绘制统计图如下（如图1，其中横轴代表小组人员编号，纵轴代表记忆单词数量）； 【分析数据】 （1）小明统计小组成员单词记忆情况的方式为______（选填“普查”“抽样检测”或“假设分析”）； （2）求小组成员记忆单词数量的平均数和众数； （3）若学校有人，估计在此调查中第二天单词记忆量高于个的人数； 【统计总结】 小明连续收集了天同学们对于第一天单词的记忆数量，经过统计后，取合适的自变量和因变量在坐标系中通过描点连线的方法绘制图象如图2（图中横轴代表天数，纵轴代表遗忘速度）： （4）根据小明绘制的图象简图，请你对于记忆单词给出一点建议（要求：结合函数图象，且不多于字）______． 【课后检测】 1．甲、乙、丙、丁四位同学的身高分别是、、、，如果把他们的平均身高记为，高于平均身高的部分记为正，低于平均身高的部分记为负，那么甲同学的身高记为（     ） A． B． C． D． 2．技术人员分别从甲、乙两块地块中随机抽取500株麦苗，统计每一株麦苗的高度，下列关于两地块麦苗高度的平均数和方差的描述中，能说明甲地块的麦苗高度较整齐的是（     ） A． B． C． D． 3．五个数据0，，5，2，m的唯一众数为，则m的值为（     ） A．5 B． C．0 D．2 4．样本数据3，2，5，3，6，3的众数是（     ） A．2 B．3 C．5 D．6 5．智能体育系统记录了四位同学连续三次跳远的情况（如图），跳远平均成绩最接近米的是（     ） A．王洁 B．李名 C．许多 D．丽丽 6．数据1，3，3，1，7的平均数和离差平方和分别为（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 7．下表是6名学生的身高数据： 学生编号 1 2 3 4 5 6 身高/ 150 155 160 165 170 175 将这些身高按从低到高排列后分成两组，共有种不同的分组，按第3个间隔分组时的组内离差平方和为，则与的值分别为（     ） A．5，50 B．6，50 C．5，100 D．6，100 8．某超市有两家分店，其中一天的营业情况统计结果如下表所示． 分店 结账人次 每人次平均消费金额/元 非现金结账百分比/% A 100 56 70 B 200 32 76 下列结论正确的是（     ） A．这家超市的每人次平均消费金额是44元 B．这家超市的每人次平均消费金额是42元 C．这家超市非现金结账百分比是 D．这家超市非现金结账百分比是 9．初二某班有49人，在一次数学测试中，小王因特殊原因没有参加本次测试，老师统计了其他48人的平均分为102分，方差．后来小王进行了补考，成绩为102分．则关于该班49人的成绩分析，下列说法正确的是（     ） A．平均分不变，方差变大 B．平均分不变，方差变小 C．平均分和方差都不变 D．平均分和方差都改变 10．某单位食堂提供A、B、C三种品种午餐盒饭，其单价及销售有关数据如表所示，则这三种午餐盒饭的均价是（     ） 品种 A B C 单价/元 12 10 8 销售比例 A．10.2元 B．10元 C．9.8元 D．9.5元 11．如图是用雷达图展示的小智参与趣味数学活动过程中，探索学习、动手操作、沟通合作、创新、问题解决五项能力的得分情况，依次按进行综合测评，则他的综合得分为_________． 12．学校开展“书香校园，师生共读”活动，某学习小组五名同学一周的课外阅读时间（单位：），分别为：，，，，．这组数据的方差是_______． 13．在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．教练计划将队员分成两组进行分层训练，先将五名同学成绩按照从小到大的顺序排列为：7，9，12，13，15．再分成两组分别计算各组的离差平方和（结果保留小数点后一位），结果如下表所示，则最合理的分组方式为第________个间隔． 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 总离差平方和 第1个间隔 0 18.8 18.8 第2个间隔 2 4.7 6.7 第3个间隔 12.7 2 14.7 第4个间隔 22.8 0 22.8 14．张老师乘公交车上班，从家到学校有A，B两条路线可选择．前两周（10个工作日）选择A路线，后两周（10个工作日）选择B路线，所用时间如下表： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A路线所用时间/ 35 52 35 36 54 38 41 34 55 40 B路线所用时间/ 45 49 44 45 47 46 50 48 50 46 根据上表数据绘制的折线统计图，如图所示． (1)从图形看，哪条路线平均用时少，哪条路线用时的波动大？ (2)用计算器分别计算选择A，B两条路线所用时间的平均数和方差． (3)如果某天上班可用时间只有，应选择哪条路线？ (4)如果某天上班可用时间为，又应选择哪条路线？ 15．某农场在三块田地上，用相同的管理技术种植水稻，种植面积和单位面积产量如下表： 地块 面积/公顷 单位面积产量/（吨/公顷） 一 2 15 二 5 12 三 3 10 (1)计算三块田地水稻的平均单位面积产量． (2)指出数据15，12，10的权的意义． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 54 页 第 1 页 共 54 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 第19讲 平均数与方差 （新教材北师大版） 【题型1 求众数】 3 【题型2 利用众数求未知数据的值】 5 【题型3 运用众数做决策】 7 【题型4 求一组数的平均数】 8 【题型5 已知平均数求未知数据的值】 10 【题型6 利用已知的平均数求相关数据的平均数】 12 【题型7 利用平均数做决策】 14 【题型8 求加权平均数】 16 【题型9 利用加权平均数求未知数据的值】 17 【题型10 利用加权平均数做决策】 20 【题型11 出错情况下平均数问题】 22 【题型12 求方差】 24 【题型13 利用方差求未知数据的值】 26 【题型14 根据方差判断稳定性】 28 【题型15 运用方差做决策】 29 【题型16 求标准差】 31 【题型17 求离差平方和】 33 【题型18 离差平方和的应用】 35 【题型19 用样本平均数（方差）估计总体平均数（方差）】 38 【探究式学习】 41 【课后检测】 46 【复盘笔记】 54 平均数 定义：一般地，如果有n个数x1，x2，…，xn，那么 ==，读作 “x拔”. 优点：平均数能充分利用各数据提供的信息，在实际生活中常用样本的平均数估计总体 的平均数. 缺点：在计算平均数时，所有的数据都参与运算,所以它易受极端值的影响. 加权平均数 定义：若个数，，…，的权分别是，，…，，则，叫做 这个数的加 权平均数. 【注意】若各数据权重相同，则算术平均数等于加权平均数. 中位数 定义：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据 的平均数）叫做这组数据的中位数. 优点：中位数不受个别偏大或偏小数据的影响,当一组数据中的个别数据变动较大时, 一般用中位数来描述数据的集中趋势. 缺点：不能充分地利用各数据的信息. 众数 定义：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数. 优点：众数考察的是各数据所出现的频数,其大小只与部分数据有关，当一组数据中某些 数据多次重复出现时，众数往往更能反映问题. 缺点：当各数据重复出现的次数大致相等时,它往往就没有什么特别意义. 方差 定义：在一组数据，，…，中，各个数据与平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差，记作.计算公式是：. 意义：方差是用来衡量数据在平均数附近波动大小的量，方差越大，数据的波动性越大，方差越小，数据的波动性越小. 极差 定义：一组数据中最大值减去最小值的差叫做极差. 【注意】极差是由数据中的两个极端值所决定的,当个别极端值远离其他数据时，极差往 往不能反映全体数据的实际波动情况. 标准差 定义：方差的算术平方根,即 【补充】标准差也是用来描述一组数据波动的情况,常用来比较两组数据波动的大小. 【题型1 求众数】 【例1】某校举办了关于垃圾分类的知识竞赛．九年级6名学生参加本次竞赛的成绩（单位：分）分别为79，80，84，，85，92，且这组成绩的平均数是84分，那么这组数据的众数为（    ） A．80 B．84 C．85 D．85.5 【答案】B 【分析】先根据平均数求出未知数据的值，再确定众数． 【详解】解：∵这组数据的平均数为， ∴， ∴， ∴， ∴这组数据为， ∵出现的次数最多， ∴这组数据的众数为． 【变式1-1】老师在黑板上写出一个计算方差的算式：，根据上式还原得到的数据，下列结论不正确的是（     ） A． B．平均数为8 C．众数是6 D．添加一个数8后方差不变 【答案】D 【分析】本题根据方差公式还原原数据，再结合相关定义逐一判断选项，找出错误结论． 【详解】根据方差公式，可得原数据为11，9，8，6，6，据此判断： ∵方差算式中共有5个平方项， ∴，A选项正确，不符合题意； ∵所有平方项中减去的数都是8， ∴这组数据的平均数为8，B选项正确，不符合题意； ∵原数据中6出现次数最多， ∴众数是6，C选项正确，不符合题意； 添加一个数8后，新数据共6个，平均数仍为8， 新方差为： ， 原方差，可得， ∴添加一个数8后方差改变，D选项错误，符合题意． 【变式1-2】已知一组数据方差的算式为：，由算式提供的信息，下列说法错误的是（     ） A．的值是 B．该组数据的平均数是 C．若该组数据加入两个数，，则这组新数据的方差变小 D．该组数据的众数是 【答案】D 【分析】本题考查方差、平均数、众数的概念，根据方差算式得到原数据，再结合相关概念逐一判断选项正误即可． 【详解】∵方差算式中共有5个平方项， ∴原数据共5个，即， ∴选项A正确． 计算原数据的平均数：， ∴选项B正确． 原方差，加入两个后，新方差，数据更集中，方差变小， ∴选项C正确． 原数据中，出现次，也出现次，二者出现次数均最多， ∴众数为和， ∴选项D错误． 【变式1-3】2026年2月1日，我国首部促进全民阅读的专门法规《全民阅读促进条例》正式施行，标志着全民阅读从“政策引导”迈向“法治保障”，寒假结束后，李老师统计了本班学生寒假期间阅读的课外书的本数，具体如下表： 本数 1 2 3 4 5 人数 5 15 10 6 4 由上表可知，该班学生寒假期间阅读的课外书的本数的众数和平均数分别是（     ） A．4，2.5 B．4，3 C．2，2.5 D．2，2.725 【答案】D 【分析】根据众数和平均数的定义求解即可． 【详解】解：∵众数是一组数据中出现次数最多的数，本题中阅读2本课外书的人数最多，为15人， ∴该组数据的众数是； 计算总人数：． 计算阅读总本数：． ∴平均数为． 因此众数为，平均数为． 【题型2 利用众数求未知数据的值】 【例2】已知一组从大到小排列的数据：5，4，4，3，（为正整数）．若唯一的众数是4，则数据是（   ） A．1 B．2或4 C．0或1 D．1或2 【答案】D 【分析】本题考查众数的概念和数据的排列顺序，注意唯一众数的条件，理解题意是解题的关键． 数据从大到小排列，为正整数且；再根据众数是且唯一，排除的情况，得到． 【详解】解：∵数据从大到小排列为5，4，4，3，，且为正整数， ∴，即可能为1，2，3. ∵唯一的众数是，且出现两次， ∴若，则出现两次，众数为和，不唯一； 若，则其他数均出现一次，是唯一众数． ∴． 故选：D． 【变式2-1】植树节当天，某校九年级一班学生去植树，已知该班 6 个小组的植树棵数分别是：5、7、3、x、6、4，已知这组数据的众数是 5，则这组数据的平均数是 （    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了众数和平均数，掌握一组数据中出现次数最多的数是众数是解题关键．由于众数为5，则x必须为5，使5出现两次，其他数各出现一次，计算所有数据的和再除以6，可得平均数． 【详解】解：∵众数为5，且数据中已有1个5， ∴，使5出现两次，成为众数， 此时数据为：5、7、3、5、6、4， 和为，个数为6， ∴平均数， 故选：B． 【变式2-2】已知一组数据6，8，10，x的平均数和众数相等，则x的值为（） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查平均数，众数，掌握相关的概念和计算方法是解题的关键． 通过计算数据的平均数和众数，并令它们相等，求解x的值．众数为出现次数最多的数，需根据x的取值讨论． 【详解】解：数据的平均数为． ∵平均数和众数相等， ∴需使众数等于平均数． 当时，数据为6,8,8,10，众数为8，平均数为，两者相等． 当时，众数为6，平均数为7.5，不相等． 当时，众数为10，平均数为8.5，不相等． 当时，数据无众数或众数不唯一，平均数为9，与任何数都不等． ∴． 故选：B． 【变式2-3】为了迎接体育测试，小强每天坚持引体向上锻炼，他记录了某一周每天做引体向上的个数如下表：其中有三天的个数被墨汁覆盖了，但小强已经计算出这组数据的唯一众数是12，平均数是11，那么这组数据的方差是（   ） 星期 日 一 二 三 四 五 六 个数 10 11 12 11 A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求方差，根据众数和平均数求未知数据，根据众数的定义可得被覆盖的三天中至少需有2天的引体向上的个数是12，再由平均数可确定剩下的那个未知的数据，据此根据方差计算公式求解即可． 【详解】解：∵这组数据的唯一众数是12， ∴被覆盖的三天中至少需有2天的引体向上的个数是12， ∵平均数是11个， ∴这七天引体向上的总个数为， ∵， ∴这七天的引体向上的次数为：9，10，11，11，12，12，12， ∴方差为， 故选：B． 【题型3 运用众数做决策】 【例3】某商场上月空调的销售情况如表所示：商场经理决定本月增加库存时多加一些品牌空调，可用来解释这一决定的统计量是（     ） 品牌 销售量/台 260 140 300 480 A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】C 【分析】根据不同统计量所反映的数据特征：平均数反映平均水平，中位数反映中等水平，方差反映数据的波动程度，而众数反映的是数据中出现次数最多(即最热门，最集中)的情况，商场经理根据销量决定进货，关注的是销量最大的品牌，这与众数的定义相符，据此即可解答． 【详解】解：从表格数据可知，品牌空调的销售量(480台)高于其他所有品牌，是销量最高的品牌，众数表示一组数据中出现次数最多的数，对应本题情境中代表销量最高、最受欢迎的品牌，而平均数反映平均销售量，中位数反映销售量的中间水平，方差反映数据的波动程度，都无法直接体现哪个品牌最畅销，故经理的决定可以用众数解释． 【变式3-1】体育中考成绩出来后，班主任分析说：“同学们考得非常好，大多数同学都考了满分．”你认为班主任所描述的统计量是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】C 【分析】根据题意众数的定义即可求解． 【详解】解∶∵大多数同学都考了满分， ∴班主任所描述的统计量是众数． 【变式3-2】某校“创客作品展示活动”采用民主投票的方式进行评选，即该校每位同学从名候选人中选择名进行无记名投票，进而从中选出获胜者．根据投票结果判断最终获胜者所需要考虑的统计量是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】C 【分析】本题考查了统计量的选择，解答本题的关键是熟练掌握平均数、中位数、众数、方差的意义． 根据平均数、中位数、众数、方差的意义解答即可． 【详解】解：由题意知，最终获胜者所需要考虑的统计量是众数， 故选：C． 【变式3-3】为迎接第39个“12.5”国际志愿者日，学校准备设计一款学生志愿服，对全校学生喜欢的颜色进行了问卷调查，统计结果如下表所示： 颜色 黄色 红色 白色 紫色 绿色 学生人数 150 230 220 80 650 学校决定采用绿色，可用来解释这一决定的统计知识是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】C 【分析】本题考查了众数“众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据”，熟记众数的定义是解题关键．根据众数的定义求解即可得． 【详解】解：因为全校学生中，喜欢绿色的学生人数最多， 所以这组数据中，众数是650， 所以学校决定采用绿色，可用来解释这一决定的统计知识是众数， 故选：C． 【题型4 求一组数的平均数】 【例4】如图，、、三个人围成一个三角形做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个实数，并把自己想好的数如实地告诉他相邻的两个人，然后每个人将他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来．若、、三人报出的数字分别为，，，则心里想的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】假设、、三人心里想的数分别为、、，根据题意列出方程组，解得的值，即为心里想的数． 【详解】解：设、、三人心里想的数分别为、、，根据题意得： 化简得： 得， 得， 解得， 心里想的数为． 【变式4-1】教练员依据成员的投篮成绩将位同学的得分分为和两组，则这样分组的组内离差平方和为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分组先分别求出两组数据的平均数，再分别计算每组的组内离差平方和，最后求和得到总的组内离差平方和． 【详解】解：由题意得，前组数据为、后组数据为， 计算第一组的平均数：， 第一组的离差平方和：； 计算第二组的平均数：， 第二组的离差平方和：， 总的组内离差平方和． 【变式4-2】把数据2，4，6，9，10分成与两组，则组内离差平方和是（     ） A．8.2 B．8.5 C．8.7 D．8.8 【答案】B 【分析】组内离差平方和为每组数据中各数据与本组均值的差的平方的总和，分别计算两组的离差平方和后再求和． 【详解】解：第一组的平均数为，组内离差平方和为； 第二组的平均数为，组内离差平方和为； ∴总组内离差平方和为． 【变式4-3】为提升学生体质健康水平，学校开展了丰富多彩的体育活动．甲、乙两名同学进行了定点投篮练习，每人每次定点投篮5个，最近10次练习的数据如图所示．甲、乙两名同学这10次练习投中个数的平均数分别记为和，方差分别记为和．下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据甲、乙的进球的统计图可计算出平均数，得出甲的成绩波动幅度比乙的波动幅度大，由此即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，甲的成绩波动幅度比乙的波动幅度大， ∴． 甲10次练习的数据分别为：， ， 乙10次练习的数据分别为：， ， ∴． 【题型5 已知平均数求未知数据的值】 【例5】已知一周的周一至周五，某同学的运动时间为34、28、40、36、32分钟，为了让一周7天内的平均活动时间恰好达到40分钟，该同学周六、周日应分别运动（     ）分钟． A．50，50 B．45，60 C．50，60 D．55，60 【答案】C 【分析】根据平均数的定义，先求出7天需要的总运动时间，再减去前5天的总运动时间，得到周六周日的总运动时间，对比选项得到结果． 【详解】解：∵7天平均运动时间为40分钟， ∴7天总运动时间为分钟， ∵周一到周五的总运动时间为分钟， ∴周六和周日的总运动时间为分钟， 对比各选项，只有C选项中，符合题意． 【变式5-1】小雪在练习“一分钟仰卧起坐”时，前4组的成绩（单位：个）分别为42，48，52，48，再做1组后，若这5组成绩的平均数与众数相等，则小雪第5组成绩是每分钟（   ） A．40个 B．44个 C．48个 D．50个 【答案】D 【分析】本题考查了众数与平均数，掌握定义是解题的关键．设小雪第五组成绩为，先计算前组成绩的和，再根据众数的定义确定众数的可能情况，结合平均数与众数相等的条件列等式求解，验证后得到结果． 【详解】解：设小雪第五组成绩为. ∵前组成绩和为 ， ∴组成绩的平均数为 . 前组成绩中出现次，其余数各出现次，因此： 若不等于，这组数据的众数为，根据题意得： 解得 . 验证：当时，组成绩为，众数为，平均数为，符合题意. 若，众数为，平均数为 ，不符合题意. 若或，数据有两个众数，计算可知平均数不等于任意一个众数，不符合题意. 因此小雪第五组成绩是个. 【变式5-2】若一组数据2，4，x，1，6的平均数是3，则这组数据的方差为（   ） A．2 B．3.5 C．3.2 D．5 【答案】C 【分析】先根据平均数公式求出未知数x，再利用方差公式计算方差，即可得到结果． 【详解】解：∵这组数据2，4，x，1，6的平均数为，数据个数为， ∴ 解得， ∴方差． 【变式5-3】A、B、C、D、E五名射击运动员在一次射击比赛中的平均成绩是80环，而A、B、C三人的平均成绩是78环，则下列说法中一定正确的是（　　） A．D、E的成绩比其他三人好 B．D、E两人的平均成绩是83环 C．成绩最好的不是A、B、C D．D、E两人的成绩都不少于83环 【答案】B 【分析】借助平均数计算公式，先求出D、E两人的平均成绩，进而判断各选项的正确性． 【详解】∵A、B、C、D、E五名射击运动员在一次射击比赛中的平均成绩是80环，而A、B、C三人的平均成绩是78环， ∴D、E两人的平均成绩是环，故选项B正确； ∴D、E两人的平均成绩比A、B、C三人的平均成绩好，但无法确定D、E的成绩比其他三人好，也无法确定成绩最好的不是A、B、C，故选项A、C不一定正确； ∵D、E两人的平均成绩是环， ∴D、E中至少有一个成绩不少于83环，但不一定都不少于83环，故选项D不一定正确． 【题型6 利用已知的平均数求相关数据的平均数】 【例6】已知一组数据、、、、的平均数为5，方差为8，则数据、、、、的平均数和方差分别为（    ） A．20、13 B．7、16 C．7、32 D．7、29 【答案】C 【详解】解：设原数据的平均数为，方差为，新数据的平均数为，方差为， 由题意得，． 新数据的平均数为 ， ∵， ∴， 同理，……，， ∴新数据的方差为 ． 【变式6-1】若一组数据的平均数为10，方差为4，那么数据的平均数和方差分别是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当数据中每个数变为原数的倍再加时，新平均数为乘原平均数加，新方差为乘原方差，利用规律直接计算即可. 【详解】解：∵原数据的平均数为，方差为， ∴新数据的平均数为； 新数据的方差为. 【变式6-2】已知一组数据，，的平均数是8，方差是3，则另一组数据，，的平均数和方差分别是（     ） A．17，12 B．17，11 C．16，12 D．16，11 【答案】A 【详解】解：∵一组数据，，的平均数是8，方差是3， ∴，， ∴，， ∴新三个数据的平均数为； 新三个数据的方差为 ． 【变式6-3】若一组数据，，，…，的平均数为5，离差平方和为20，则数据，，，…，的平均数和离差平方和分别是（     ） A．5，20 B．5，22 C．7，20 D．7，22 【答案】C 【分析】各数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，据此可求出平均数；各数据都加上一个数（或减去一个数）时，离差平方和不变，即可求出数据的离差平方和． 【详解】解：∵一组数据，，，…，的平均数为5，离差平方和为20， ∴数据，，，…，的平均数是，离差平方和是20. 【题型7 利用平均数做决策】 【例7】校田径队需从甲、乙、丙、丁四名运动员中选派一名参加市运动会米比赛．下表是四名运动员最近次米测试成绩的平均数（单位：）和方差． 运动员 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（     ） A．甲运动员 B．乙运动员 C．丙运动员 D．丁运动员 【答案】A 【详解】解：米比赛用时越短成绩越好， 甲、丙的平均成绩均为，小于乙的和丁的， 甲、丙平均成绩更优，排除乙、丁， 方差越小发挥越稳定，且甲的方差小于丙的方差， 甲的发挥更稳定，故应该选择甲运动员． 【变式7-1】甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，他们在相同条件下各射击次，成绩（单位：环）统计如表，如果从这四人中，选出一位成绩较好且状态稳定的选手参加比赛，那么应选（     ）． 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】成绩较好对应平均数较大，状态稳定对应方差较小，结合两个指标筛选即可． 【详解】解：∵甲、丁的平均数为，乙、丙的平均数为，， ∴甲、丁的成绩较好， ∵甲的方差为，丁的方差为，， ∴甲的状态更稳定，应选甲． 【变式7-2】赵县雪花梨是河北石家庄赵县的特产，甲、乙、丙、丁四个果篮中10个雪花梨的平均质量与方差如下表所示，若要挑选一个单果质量大且雪花梨大小均匀的果篮，则应选（     ） 果篮 甲 乙 丙 丁 平均质量/g 392 401 405 405 方差 0.3 1.5 1.2 0.4 A．甲果篮 B．乙果篮 C．丙果篮 D．丁果篮 【答案】D 【分析】从平均质量和方差两个维度依次筛选即可； 【详解】解：先比较平均质量，四个果篮平均质量：，丙和丁的平均质量最大， 满足“单果质量大”的要求，排除甲、乙， 再比较丙和丁的方差：，丁的方差更小，说明丁果篮的雪花梨大小更均匀， 因此应选丁果篮． 【变式7-3】某校为选拔一名学生参加区级“经典诵读”比赛，对甲、乙、丙、丁四名候选人进行了测试，他们的平均成绩及方差如下表所示： 选手 甲 乙 丙 丁 平均成绩/分 92 95 95 92 方差 1.2 0.8 1.5 0.8 若要选出一名成绩好且状态稳定的同学参赛，最合适的人选是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】按平均成绩高、方差小的标准逐步筛选人选即可． 【详解】解：∵ 乙、丙的平均成绩均为95分，甲、丁的平均成绩均为92分，， ∴ 从乙、丙中进一步筛选． ∵ 乙的方差为0.8，丙的方差为1.5，， ∴ 乙的状态更稳定． 【题型8 求加权平均数】 【例8】如图是用雷达图展示的小智参与趣味数学活动过程中，探索学习、动手操作、沟通合作、创新、问题解决五项能力的得分情况，依次按进行综合测评，则他的综合得分为（     ） A．10分 B．9分 C．8分 D．6.4分 【答案】C 【分析】根据雷达图读取五项能力的具体得分，结合给定的权重比例，利用加权平均数公式进行计算即可． 【详解】解： 分， ∴他的综合得分为8分． 【变式8-1】实验中学有甲、乙、丙三个班，甲班有m人，乙班有n人，丙班有k人（以上所有参数均为正整数），在一次考试中甲班平均分是a分，乙班平均分是b分，丙班平均分是t分．则甲、乙、丙三个班在这次考试中的总平均分是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出三个班总分数为分，总人数为人，即可求出结论． 【详解】解：∵甲班有人，平均分是分，乙班有人，平均分是分，丙班有人，平均分是分， ∴甲班总分数为分，乙班总分数为分，丙班总分数为分， ∴三个班总分数为分，总人数为人， ∴总平均分为． 【变式8-2】某超市销售A、B、C、D四种矿泉水，它们的单价依次是6元、3元、2元、1元．某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是（    ）． A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【分析】利用加权平均数计算即可； 【详解】解：根据题意，得（元）； 【变式8-3】某校为了了解学生课外阅读情况，随机调查了50名学生各自平均每天的课外阅读时间，并绘制成条形图（如图），据此可以估计出该校所有学生平均每人每天的课外阅读时间为（     ）小时 A．2 B．1 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：（小时）， 则估计出该校所有学生平均每人每天的课外阅读时间为1小时． 【题型9 利用加权平均数求未知数据的值】 【例9】某学校举行了八年级学生演讲比赛，对参赛者的“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面进行评分(各方面均为百分制)．已知小明五项得分的算术平均数为87分，若将“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面评分的权重分别设为，，，，，则小明五项得分的加权平均数为86分．那么以下结论中，正确的是（   ） A．重新设置权重前，小明五项得分的总分是430分 B．重新设置权重前，小明的“内容”得分超过87分 C．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“表达”得分高 D．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“逻辑”得分高 【答案】C 【分析】本题考查了算术平均数，加权平均数． 根据题意即可判断A；设内容、表达、逻辑、台风、互动的得分分别为、、、、，求出即可判断C，根据已知条件无法判断B、D． 【详解】解：设内容、表达、逻辑、台风、互动的得分分别为、、、、． 根据题意：算术平均数为87分，故，故A错误； 加权平均数为86分，故， 将加权平均方程两边乘以100，得： 将算术平均方程两边乘以20，得： 两式相减，得： ， 即，故C正确； 根据已知条件无法判断B、D． 故选：C． 【变式9-1】在某次期末考试中，甲学校和乙学校八年级学生的数学成绩统计数据如下表： 类别 男生平均分 女生平均分 年级平均分 甲学校 95 85 92 乙学校 97 87 91 根据表中数据，下列分析正确的是（   ） A．甲学校八年级总人数比乙学校多 B．甲学校八年级男生人数比乙学校多 C．甲学校八年级男生比例比乙学校高 D．甲学校女生人数多于男生 【答案】C 【分析】本题考查了加权平均数的概念及应用，利用加权平均数的概念分析人数是解决本题的关键． 根据加权平均数的概念，年级平均分由男生和女生的平均分及其人数比例决定，比较各校年级平均分与男女平均分的距离，可推断男生比例高低． 【详解】解：甲学校分析：年级平均分92分，介于男生95分和女生85分之间， 92距95差3分，距85差7分，说明男生人数多于女生，男生比例更高； 乙学校分析：年级平均分91分，介于男生97分和女生87分之间， 91距97差6分，距87差4分，说明女生人数多于男生，女生比例更高， A：年级平均分无法推断总人数，错误； B：男生人数需结合总人数，无法确定，错误； C：甲校男生比例高于乙校，正确； D：甲校男生多于女生，错误． 故选：C． 【变式9-2】某校八（3）班第二小组期中数学测验成绩分布如表所示： 分数 60 70 80 90 人数 1 3 2 该班第二小组这次数学测验成绩平均分是分，则成绩为分的人数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了加权平均数的计算和列方程解决问题的能力，解题的关键是利用加权平均数列出方程．利用加权平均数的计算公式列出方程求解即可． 【详解】解：设成绩为分的人数为，由题意，得 ， 解得． 故选：． 【变式9-3】某次射击训练中，一小组的成绩如表所示： 环数 人数 若该小组的平均成绩为环，则成绩为环的人数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了加权平均数的求法，设成绩为环的人数为，则根据平均数的计算公式即可求得的值，熟练掌握加权平均数是解题的关键． 【详解】解：设成绩为环的人数是x，根据题意得： ， 解得：， 则成绩为环的人数是， 故选：． 【题型10 利用加权平均数做决策】 【例10】一家外贸公司打算招聘一名英文笔译员，设置了听、说、读、写共四项英语水平测试及相应的权重比，每项测试的原始分均为100分，如果你是这家公司的人力资源主管，你认为最适合作为选人依据的权重比是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从英文笔译员的岗位能力需求入手，确定读写测试的权重应更高，说的权重应最低，以此筛选选项． 【详解】解：英文笔译员的核心工作为书面翻译，读写能力的重要性高于听说，且说的权重应最低 选项A权重为，写的权重最高，读次之，说的权重最低，符合题意； 选项B权重为，未体现岗位侧重，不符合题意； 选项C权重为，听的权重与读写相同，未突出读写的核心地位，不符合题意； 选项D权重为，说的权重最高，不符合题意． 【变式10-1】某校拟招聘一名数学老师，现通过笔试、面试、答辩三项成绩来考核甲、乙、丙三名应聘者，各项满分均为100分，成绩如下表： 应聘者 笔试成绩(分) 面试成绩(分) 答辩成绩（分） 甲 85 90 92 乙 92 88 86 丙 88 91 89 学校综合岗位需求，规定笔试、面试、答辩权重之比为，按加权平均数分择优录取，那么被录用的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．不能确定 【答案】C 【分析】分别计算三名应聘者的加权平均数，比较大小后得分最高的即为被录用者． 【详解】解：∵ 笔试、面试、答辩权重之比为，权重和为， 分别计算三人的加权平均数： 甲的加权平均数：分， 乙的加权平均数：分， 丙的加权平均数：分， ∵ ，丙的加权平均数最高， ∴ 被录用的是丙． 【变式10-2】某校在“科技创新”比赛中，对甲、乙、丙三项作品进行量化评分（百分制），如表： 项目作品 甲 乙 丙 创新性 90 95 90 实用性 90 90 95 如果按照创新性占，实用性占计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推荐的作品是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．甲和丙 【答案】B 【分析】分别计算甲、乙、丙三项作品的总成绩，比较总成绩大小后择优推荐即可． 【详解】解：根据加权平均数公式，分别计算三项作品的总成绩： 甲的总成绩 （分）， 乙的总成绩 （分）， 丙的总成绩 （分）， ∵ ， ∴ 乙的总成绩最高，应推荐乙． 【变式10-3】某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、能力、经验三个方面对甲、乙、丙、丁四名应聘者进行了测试，测试成绩如下表： 应聘者项目 甲 乙 丙 丁 学历 70 75 80 80 能力 90 80 80 85 经验 70 80 70 65 如果这家公司比较看重员工的能力，将学历、能力、经验三项得分按的比例加权平均确定每人的最终得分，录用得分最高者，那么将被录用的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题考查求加权平均数，根据加权平均数的计算方法，分别求出甲、乙、丙、丁四名应聘者的最终得分，进行判断即可． 【详解】解：甲的最终得分为：； 乙的最终得分为：； 丙的最终得分为：； 丁的最终得分为：； 故甲的最终得分最高，将被录用； 故选A． 【题型11 出错情况下平均数问题】 【例11】小颖使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据15输入为105，另一个数据65输入56，由此求得的平均数为61，求实际平均数． 【答案】 【分析】先通过输入的数据得到总数比正确的总数多加了81，然后得到平均数多加了，进而可得到实际平均数． 【详解】解：由题意知，错将其中一个数据15输入为105，则多加了， 错将另一个数据65输入56，则少加了9， 故总的多加了， ∴平均数多了， 此时求得的平均数为61， ∴实际平均数为． 【变式11-1】长沙市抽样调查了位蓝领的月收入，其中月收入最高的只有一位，是元．由于将这个数据输入错了，所以计算机显示的这位蓝领的平均月收入比实际平均月收入高出了元，则输入计算机的那个错误数据是________． 【答案】 【分析】本题考查了算术平均数， 关键是要理清各数量间的关系， 明白“多输入的数值”就是“ 个 ” ．根据平均数的定义可得： 最大的一个数的错误数据与实际数据相差元， 据此求出错误数据 ． 【详解】解： 由题意得， 输入错误的数据为：． 故答案为： ． 【变式11-2】某同学用计算器计算30个数据时，错将其中一个数据105输入15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是（    ） A．3.5 B．3 C． D．0.5 【答案】C 【分析】本题主要是平均数的运用问题，根据题意可以得到错误的数据总和与实际的数据总和的差；再除以总个数30即可得出求出的平均数与实际平均数的差. 【详解】解：求30个数据的平均数时，错将其中的一个数据105输入成15，即少加了90， 则由此求出的平均数与实际平均数的差是：， 故选：C． 【变式11-3】为了解居民的环保意识，社区工作人员在某小区随机抽取了若干名居民开展有奖问卷调查活动，并用得到的数据绘制了如下条形统计图．请根据图中信息，解答下列问题． (1)求本次调查获取的样本数据的平均数； (2)如果对该小区的800名居民全面开展这项有奖问卷活动，得10分者设为一等奖，请你根据调查结果，估计需准备多少份一等奖奖品？ (3)若小明统计该表中，将得8分的居民统计为14人，其余均未出错，那么平均数会 ．（填“不变”、“变大”、“变小”） 【答案】(1)分 (2)160份 (3)变大 【分析】本题考查条形统计图、加权平均数的意义和计算方法，理解加权平均数的意义和计算方法是正确解答的关键． （1）将条形统计图中各个分数段的人数相加，即可得出总人数，再根据加权平均数的计算方法计算即可； （2）求出10分占调查人数的百分比，即可预测出一等奖的人数即可． （3）计算平均数解答即可． 【详解】（1）解：依题意， （分）， 答：本次调查获取的样本数据的平均数为8.26分； （2）解：依题意，（份）， 答：估计需准备160份一等奖奖品． （3）解：将得8分的居民统计为14人， （分）， ∵ ∴平均数会变大． 【题型12 求方差】 【例12】甲、乙两名运动员的8次射击成绩(单位：环)如图所示：甲、乙射击成绩的方差分别为，，则与的关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察折线统计图，比较甲、乙两人成绩的波动大小即可判断方差的大小． 【详解】解：观察图象可知，甲的成绩波动较小，乙的成绩波动较大， ∵方差是衡量一组数据波动大小的量，波动越小方差越小， ∴． 【变式12-1】如图，下列结论中，不正确的是（    ） A．a组数据的标准差较大 B．a组数据的方差较大 C．b组数据比较稳定 D．b组数据的标准差较大 【答案】D 【分析】观察折线统计图，比较两组数据的波动程度．波动越大，方差和标准差越大，稳定性越差；波动越小，方差和标准差越小，稳定性越好． 【详解】解：由图象可知，组数据的波动幅度明显大于组数据的波动幅度， 方差和标准差是衡量数据波动大小的量，波动越大，方差和标准差越大， 组数据的方差和标准差较大，组数据的方差和标准差较小， 数据波动越小越稳定， 组数据比较稳定， 结论A、B、C正确，D错误． 【变式12-2】为了考察甲、乙两块田地小麦的长势，分别从中抽出5株小麦苗，测得苗高如下表，若甲块田地小麦苗高的方差大于乙块田地小麦苗高的方差，则表中的值可能是（    ） 甲 10 11 12 13 乙 8 9 10 11 12 A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】D 【分析】根据题意先求出乙的方差，再结合选项逐一验证甲的方差，即可得到满足条件的值． 【详解】解：∵乙的苗高为， ∴乙的平均数， ∴乙的方差． 当时，甲的平均数，得，不符合要求； 当时，甲的平均数，得，不符合要求； 当时，甲的平均数，得，不满足，不符合要求； 当时，甲的平均数，得，满足条件． 【变式12-3】为了增强学生的体质，某班开展投篮比赛，每人投篮5次，现从班级45人中随机抽取5人，统计了他们的投中次数，得到数据（单位：次）如下：5，5，4，3，3，则样本的方差是（     ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】先计算样本的平均数，再代入方差公式计算即可得到结果． 【详解】解：样本数据为，，，，，样本容量， ∴， ∴ ， ∴样本的方差是． 【题型13 利用方差求未知数据的值】 【例13】一组数据的方差为，则该组数据的总和是（    ） A． B．9 C．14 D．45 【答案】D 【详解】解：方差的计算公式为：，其中为数据的个数，为这组数据的平均数． 对比题目给出的方差表达式可得，平均数， 该组数据的总和为． 【变式13-1】小明根据方差公式，分析和计算得出了四个结论，其中不正确的是（    ） A． B．中位数是 C． D． 【答案】B 【分析】从给出的方差公式中可直接得到数据个数和这组数据的平均数，依次计算，中位数和方差，即可判断各选项正误． 【详解】解：∵方差公式为， ∴这组数据共5个，平均数为3，可得，C结论正确，不符合题意； 由平均数的定义得， 解得，A结论正确，不符合题意； 将这组数据从小到大排列为，共5个数，中位数为第3个数，即中位数为， ∴B结论错误，符合题意； 计算方差得：， ∴D结论正确，不符合题意． 【变式13-2】求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（   ） A．的值是 B．该组数据的平均数是 C．该组数据的方差是 D．若该组数据加入数，则这组新数据的方差变大 【答案】D 【分析】本题考查方差公式的意义，以及平均数和方差的计算，解题思路是先从方差算式中提取原数据，再根据定义逐一计算各选项，判断得到错误说法． 【详解】解：∵方差算式中共有4个平方项， ∴，A选项说法正确，不符合题意； 原数据为，，，，计算平均数得： ， ∴B选项说法正确，不符合题意； 计算原方差得：， ∴C选项说法正确，不符合题意； 加入数后，新数据为，，，，，计算新方差得： 新平均数， 新方差， ∵， ∴新方差变小，D选项说法错误，符合题意． 【变式13-3】吴老师在黑板上写出一个计算方差的算式：．根据算式，下列结论判断错误的是（  ） A． B．平均数为8 C．众数是9 D．若添加一个数8后，方差变小 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一组数据的方差，平均数，众数，根据方差算式可得这组数据为9，7，9，7，8，这组数据的平均数为8，则可求出这组数据的众数，再求出添加一个数8后的平均数和方差即可得到答案． 【详解】解：∵方差算式为， ∴这组数据为9，7，9，7，8，共5个数据，即，故A结论正确，不符合题意； 由方差算式可知平均数为8，故B结论正确，不符合题意； 这组数据中7和9均出现了2次，次数最多， 所以这组数据的众数为7和9，C结论错误，符合题意； 添加一个8后，数据为9，7，9，7，8，8，平均数仍为8， 原始方差， 新方差， ∴方差变小，故D结论正确，不符合题意． 故选：C． 【题型14 根据方差判断稳定性】 【例14】学校准备从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学参加市里举办的“华星杯”“爱我中华”主题演讲比赛，如表是四位同学几次演讲比赛成绩的平均分和方差的统计结果，如果要选出一个成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择的同学是（     ）． 甲 乙 丙 丁 平均分 9.4 9.8 9.8 9.6 方差 1 1.2 1 1.8 A．甲 B．乙． C．丙 D．丁． 【答案】C 【分析】先比较平均数，然后比较方差，于是可决定选择的同学． 【详解】解：∵乙、丙同学的平均数比甲、丁同学的平均数大， ∴应从乙和丙同学中选， ∵丙同学的方差比乙同学的小， ∴丙同学的成绩较好且状态稳定，应选的是丙同学． 【变式14-1】物理课上，甲、乙、丙、丁四名同学都进行了5次小木块从斜面滑下的实验，记录小木块滑行的距离（单位：）作为实验结果，四人实验结果的平均数相同，方差分别为，，，，则四人中，实验结果最稳定的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【详解】解：∵四人实验结果的平均数相同，且方差越小，实验结果越稳定， 又∵， ∴丁的实验结果最稳定． 【变式14-2】某校举行以“弘扬传统文化，传承优良家风”为主题的中学生知识竞赛．根据规则，均分高的同学获胜，若均分相同，则发挥较稳定的同学获胜．五轮次比赛中他们的得分如下表，下列说法正确的是（     ） 同学 第1轮 第2轮 第3轮 第4轮 第5轮 甲 8 7 9 8 8 乙 7 9 6 9 9 A．甲同学获胜 B．乙同学获胜 C．甲乙同学并列获胜 D．无法判断 【答案】A 【分析】按照比赛规则，先计算甲乙两人的平均分，平均分相同再计算方差比较稳定性，最终判断获胜者. 【详解】解：， ， ∵两人平均分相同，需比较发挥稳定性，方差越小发挥越稳定，，， ∵ ， ∴甲同学发挥更稳定，根据规则甲同学获胜． 【变式14-3】已知甲组：，，，；乙组：，，，，，，为了刻画这两组数据的离散程度，则最合适的统计量是（    ） A．方差 B．方差或离差平方和 C．离差平方和 D．离差的和 【答案】A 【详解】解：∵离差的和会出现正负离差相互抵消，无法反映数据离散程度，∴排除D选项． ∵离差平方和的大小受数据个数影响，本题甲组有4个数据，乙组有6个数据，两组数据个数不同，离差平方和无法准确比较离散程度，∴排除B、C选项． ∵方差消除了数据个数的影响，是衡量数据离散程度的合适统计量，∴最合适的统计量是方差． 【题型15 运用方差做决策】 【例15】某校计划从甲、乙、丙、丁四个小组中选取一组参加机器人竞赛，下表记录了各组平时测试成绩（单位：分）的平均数及方差．根据表中的数据，要选出一个成绩优秀且状态稳定的小组，则应选择（     ）小组． 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】平均数越大代表平均成绩越高，成绩越优秀，方差越小代表成绩波动越小，状态越稳定，先筛选出平均成绩更高的小组，再比较方差得到最终结果，即可求解． 【详解】解：∵成绩优秀要求平均成绩更高，即平均数越大越好，比较四个小组的平均数得， ∴甲、丙两组满足成绩优秀的要求， ∵状态稳定要求成绩波动小，即方差越小越稳定，比较甲、丙的方差得， ∴甲的方差更小，状态更稳定，因此应选择甲小组． 【变式15-1】甲、乙、丙、丁四位同学参加学校的中华古诗词知识竞赛，四人竞赛成绩情况如下表，若要从中选择一人参加县级的比赛，应选（     ） 甲 乙 丙 丁 平均数 95 95 95 95 方差 3 4.3 4 4.6 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】当四位同学平均成绩相同时，选择发挥更稳定的同学参赛，方差越小，成绩波动越小，发挥越稳定，比较方差大小即可得出结论． 【详解】解：四位同学的平均成绩均为，平均成绩相同，又因为方差越小，成绩波动越小，发挥越稳定，且，甲的方差最小，故甲的成绩最稳定，应选甲． 【变式15-2】某校准备从甲、乙、丙、丁四个小组中选出一组，参加全区中小学知识竞赛，下表记录了各组几轮知识模拟比赛成绩的平均数（单位：分）及方差，若要选出一个成绩好且状态稳定的小组去参加竞赛，则应选择的小组是（     ） 小组 甲组 乙组 丙组 丁组 平均数 92 95 96 96 方差 0.3 1.5 1.2 0.4 A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组 【答案】D 【分析】平均数越大代表整体成绩越好，方差越小代表成绩波动越小，状态越稳定，先选出平均成绩更高的小组，再比较方差选出符合要求的即可． 【详解】解：∵丙、丁的平均数为，高于甲的和乙的， ∴成绩较好的小组为丙和丁， 又∵丁的方差为，小于丙的方差，方差越小成绩越稳定， ∴丁组成绩好且状态稳定，应选择丁组． 【变式15-3】甲、乙、丙、丁四位同学参加学校“算法设计选拔赛”，每位选手完成5次编程任务，这四位同学5次编程成绩的平均分与方差如下表，学校需从中选出一位同学参加县级比赛，则最适合的同学是（     ） 选手 甲 乙 丙 丁 平均分数 85 90 90 86 方差 5.2 11.6 4.0 10.4 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】选参赛选手需选择平均成绩高，且发挥稳定的同学，平均数越高代表整体水平越高，方差越小代表成绩越稳定，由此判断即可． 【详解】解：∵乙、丙的平均分为90，高于甲的85分，丁的86分， ∴优先在乙和丙中选择； ∵丙的方差为，小于乙的方差，方差越小成绩越稳定， ∴丙的平均成绩更高且发挥更稳定，因此最适合的同学是丙． 【题型16 求标准差】 【例16】计算某一组数据的方差算式如下：，根据该算式，得到下列结论：①一共有5个数据；②该数据的平均数是10；③该数据的标准差是；④若添加一个数据10，新数据的方差不变，其中正确的结论有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据方差、平均数、标准差的定义逐一判断每个结论的正误即可． 【详解】解：①原式中共有5个数据项，分母为5，因此一共有5个数据，①正确； ②方差公式中每个数据减去的是平均数，原式中每个项均为，因此平均数为10，②正确； ③已知方差，标准差为方差的算术平方根，因此标准差为，③正确； ④由原方差得原平方和为，添加数据10后，新数据总和为，新数据个数为6，因此新平均数为，新平方和为，新方差为，因此方差改变，④错误． 综上，正确的结论共3个，因此选C． 【变式16-1】若样本，的平均数为12，方差为4，则对于样本，下列结论正确的是（   ）． A．平均数为12，标准差为2 B．平均数为12，标准差为4 C．平均数为27，标准差为2 D．平均数为27，标准差为4 【答案】D 【分析】本题考查求平均数和标准差，根据平均数和方差的变化规律：一组数据的平均数为，方差为，则：的平均数为，方差为，以及标准差为方差的算术平方根，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，的平均数为：，方差为：， ∴标准差为：； 故选D． 【变式16-2】设有个数，其标准差为．另有个数，其标准差为．其中，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平均数与方差，熟练掌握平均数与方差的计算公式是解题的关键． 根据平均数与方差的计算公式计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴ ， ∴ ∴． 故选：B． 【变式16-3】甲、乙、丙、丁四名射击运动员参加射击预选赛，每人射击20发子弹．他们射击成绩的平均数及标准差如下表所示： 人员成绩 甲 乙 丙 丁 平均数（环） 8.7 8.7 9.1 9.1 标准差（环） 1.3 1.5 1.0 1.2 若要选一名成绩较好且发挥稳定的运动员参奏，则应选择（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】先比较平均数，再比较标准差，然后得出丙的方差小于丁的方差，从而得出答案． 【详解】解：由图可知，丙和丁的平均成绩好， ∵丙的标准差小于丁的标准差， ∴丙的方差小于丁的方差， ∴若要选一名成绩较好且发挥稳定的运动员参奏，则应选择丙， 故选：C． 【点睛】本题考查标准差、方差和算术平均数，掌握方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动越大，方差越小，数据越稳定是解题的关键． 【题型17 求离差平方和】 【例17】某兴趣小组名成员的年龄（单位：岁）分别为，，，，则这组数据的离差平方和是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：这组数据的平均数为， 离差平方和为． 【变式17-1】现有一组数据2，8，5，12，若将其分为两组，根据组内离差平方和最小的原则，正确的分组方式是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】根据组内离差平方和的定义，计算各选项两组的离差平方和之和，总和最小的分组即为正确选项. 【详解】解：A.的平均数为，离差平方和为；的平均数为，离差平方和为，总离差平方和为； B.的平均数为，离差平方和为；的平均数为，离差平方和为，总离差平方和为； C.的平均数为，离差平方和为；的离差平方和为，总离差平方和为； D.的离差平方和为；的平均数为，离差平方和为，总离差平方和为， ∵， ∴选项A的总离差平方和最小. 【变式17-2】在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，8，10．某体育老师根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组．他首先将这5个数据按从小到大排序，发现排序后的数据分成两组共有4种分法，分别计算组内离差平方和（结果保留小数点后一位），部分结果如下表所示． 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 29 29 第2个间隔 第3个间隔 4.7 第4个间隔 21 0 21 因此，按组内离差平方和最小的分法为（     ） A．第1个间隔 B．第2个间隔 C．第3个间隔 D．第4个间隔 【答案】C 【分析】先将数据从小到大排序，补全各间隔的组内离差平方和，比较大小后取最小值对应的间隔． 【详解】解：将数据从小到大排序得，，，，， 第1个间隔组内离差平方和为， 第2个间隔：第一组为，平均数为，离差平方和为，组内离差平方和为； 第3个间隔：第二组为，平均数为，离差平方和为，组内离差平方和为； 第4个间隔：组内离差平方和为； 比较得， 故答案为第3个间隔． 【变式17-3】一组包含5个从小到大排列的数据，将这组数据分成两组，四种分法的组内离差平方和如下表所示，其中分法三划分出的两组数据的离差平方和分别为26和12.5，根据组内离差平方和最小的原则，应该选用的分法是（     ） 分组方法 分法一 分法二 分法三 分法四 组内离差平方和 86.75 62.5 x 74 A．分法一 B．分法二 C．分法三 D．分法四 【答案】C 【分析】先计算分法三的组内离差平方和，再比较四种分法的组内离差平方和大小，选取最小的对应分法． 【详解】解：分法三的组内离差平方和为， ∵ ， ∴ 分法三的组内离差平方和最小． 【题型18 离差平方和的应用】 【例18】在引体向上测试中，名同学完成的个数分别为，，，，．要使个数相差较小的同学分在一组，下表是种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位），根据组内离差平方和最小原则，把这名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（     ） 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 第个间隔 第个间隔 第个间隔 第个间隔 A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】先将数据从小到大排序，计算各间隔分组的总组内离差平方和，选取总离差平方和最小的对应分组即可． 【详解】解：将名同学完成引体向上的个数从小到大排序，得，，，，．排序后共有个间隔， 分别计算各分组的总组内离差平方和： 第个间隔对应分组和，总组内离差平方和为 ； 第个间隔对应分组和，总组内离差平方和为 ； 第个间隔对应分组和，总组内离差平方和为 ； 第个间隔对应分组和，总组内离差平方和为 ； ， 总组内离差平方和最小的是第个间隔对应的分组，即和， 分组正确的是B组． 【变式18-1】统计兴趣小组的同学收集了我国7个地区的人均耕地面积（单位：公顷）数据：0.1，0.6，0.2，0.3，0.6，1.8，2.0．为合理分组，设计以下解决方案：规定两组组内离差平方和之和越小，分组越合理． 组序 分组情况 第1组组内离差平方和 第2组组内离差平方和 第1组 第2组 1 0.1，0.2，0.3 0.6，0.6，1.8，2.0 0.02 1.71 2 0.1，0.2，0.3，0.6 0.6，1.8，2.0 0.14 1.15 3 0.1，0.2，0.3，0.6，0.6 1.8，2.0 0.21 0.02 4 0.1，0.2，0.3，0.6，0.6，1.8 2.0 1.94 0 则合理分组是（     ） A．组序1 B．组序2 C．组序3 D．组序4 【答案】C 【分析】计算各组序的两组组内离差平方和之和，则和越小分组越合理，比较大小即可得解． 【详解】解：分别计算各组序的两组组内离差平方和之和： 组序1：， 组序2：， 组序3：， 组序4：， ∵， ∴组序3的分组最合理． 【变式18-2】在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为7，9，12，13，15．要使个数相差较小的同学分在一组，如表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位）．根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（     ） 分组情况 组内离差平方和 第一组4个，第二组1个 22.8 第一组3个，第二组2个 14.7 第一组2个，第二组3个 6.7 第一组1个，第二组4个 18.8 A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【详解】解：将5名同学的引体向上个数从小到大排列为， 比较组内离差平方和：， 其中最小值对应第一组2个、第二组3个的分法， 要使组内个数相差较小，需将连续的数分为一组， 即分组为和． 【变式18-3】为研究某小区居民每月用水量（单位：吨），收集到户居民的用水量数据如下：，，，，，，，，，，，．将这户居民用水量分成两组，使同组用水量接近，不同组用水量差异较大，现有以下四种分组方法，最恰当的分组是（     ） 分组方案 第一组数据 第二组数据 组内离差平方和 A ，，， ，，，，，，， B ，，，， ，，，，，， C ，，，，， ，，，，， D ，，，，，， ，，，， A．方案A B．方案B C．方案C D．方案D 【答案】C 【分析】组内离差平方和越小，代表同组数据差异越小，只需比较四种分组的组内离差平方和，找出最小值对应的分组即可． 【详解】解：， 方案C的组内离差平方和最小，分组最恰当． 【题型19 用样本平均数（方差）估计总体平均数（方差）】 【例19】综合与实践课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．10位同学每人随机收集核桃树、枇杷树的树叶各1片，通过测量得到这些树叶长，宽（单位：）的数据后，计算每片叶子的长宽比，并绘制出折线统计图如图所示：                    根据以上信息，下列说法错误的是（    ） A．核桃树叶长宽比为出现的次数最多 B．枇杷树叶的长宽比最大为 C．小明测量一片枇杷叶的长为，小明断定它的宽一定为 D．小亮收集到一片长、宽的树叶，判断它是一片核桃树叶 【答案】C 【分析】此题考查用样本估计总体，折线统计图等知识，根据题目给出的数据判断即可． 【详解】解：A. 10片核桃树叶的长宽比中出现次数最多的是2，故选项正确，不符合题意； B. 根据折线统计图可得，枇杷树叶的长宽比最大为，故选项正确，不符合题意； C. 枇杷树叶的长宽比大约为，是个估计值，不是准确值，小明测量一片核桃叶的长为，它的宽不一定为，故选项错误，符合题意； D. ∵， ∴该树叶有可能是核桃树树叶．故选项正确，不符合题意； 故选：C． 【变式19-1】随机调查某小区10户家庭一周内使用环保方便袋的数量．得到数据如下（单位：只）：6，5，7，8，7，9，10，5，6，7，利用所得的数据估计该小区1500户家庭一周内需要环保方便袋约为（　　　） A．1500 B．10500 C．14000 D．15000 【答案】B 【分析】先求出10户家庭一周内使用环保方便袋的数量总和，然后求得样本平均数，最后乘以总数1500即可解答． 【详解】解：∵某小区10户家庭一周内使用环保方便袋的数量，数据如下（单位：只）：6，5，7，8，7，9，10，5，6，7， ∴平均每户使用方便袋的数量为：（6+5+7+8+7+9+10+5+6+7）=7（只）， ∴该小区1500户家庭一周内共需要环保方便袋约：7×1500=10500（只）． 故选：B． 【点睛】本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可． 【变式19-2】随机抽取某品牌电视机专卖店9月份中的6天的销售数量（单位：台），数据如下： 8、10、13、12、15、14． (1)估计该专卖店9月份30天平均每天销售电视机的数量． (2)由这组样本数据估计全年平均每天销售电视机的数量合理吗？请说明理由． 【答案】(1)估计该专卖店9月份30天平均每天销售电视机12台 (2)不合理． 理由：抽取的样本仅为9月份的6天销售数据，不具有代表性和广泛性，无法反映全年的销售情况，因此不能用这组样本数据估计全年平均每天销售电视机的数量． 【分析】（1）求出9月份中6天的销售数量的平均数，进行估计即可； （2）根据抽取样本应具有代表性和广泛性，进行判定即可． 【详解】（1）解：（台）， 故估计该专卖店9月份30天平均每天销售电视机12台； （2）解：略． 【变式19-3】为了解某种手机电池的使用时间，任意抽查了10块，测得其连续使用时间（单位：h）如下： 43；45；48；44；50；52；50；54；46；48 估计这种手机电池使用时间的平均数和方差． 【答案】 估计这种手机电池使用时间的平均数为，方差为 【详解】解： 样本平均数为 样本方差为 用样本估计总体，得这种手机电池使用时间的平均数约为，方差约为 答：这种手机电池使用时间的平均数约为，方差约为． 【探究式学习】 1．为探究在酸碱度不同的土壤下栽培的无核荔枝的果实大小，我市银城果园选取甲、乙、丙三块酸碱度不同的试验田进行无核荔枝栽培的试验．果农从这三块试验田产出的荔枝中各随机选取颗无核荔枝，测量其直径（），完成各项数据统计． 乙试验田无核荔枝的直径频数分布直方图如下： 乙试验田无核荔枝的直径频数分布直方图 甲、乙、丙三块试验田无核荔枝的直径的平均数、方差如下： 平均数 方差 甲 乙 丙 004 (1)请求出的值； (2)经研究发现，本品种无核荔枝的直径在的范围内时，可作为“A级果”进行售卖，若从三块试验田中分别采摘相同数量的无核荔枝，哪块试验田的“A级果”更多？请根据以上数据说明理由． 【答案】(1) (2)甲试验田的“A级果”更多， 理由：由表知，甲、乙试验田无核荔枝的直径的平均数均落在的范围内，而甲试验田无核荔枝的直径的方差小，更加稳定， 所以估计甲试验田的“A级果”更多． 【分析】本题主要考查频数分布直方图、加权平均数、方差，解题的关键是掌握加权平均数的定义和方差的意义． （1）根据频数分布直方图以及加权平均数的定义列式计算即可； （2）根据平均数和方差的意义求解即可． 【详解】（1）解： （2）略 2.探究： (1)一组数据2，3，5，7，8的平均数是5，方差是；如果再加入一个数据5，那么这组新数据的平均数为_______，方差为______； (2)一组数据的平均数是2，方差是3，如果再加入一个数据2，那么这组新数据的平均数为__________，方差为___________； (3)若这20个数据的平均数是，方差为，则数据，这21个数据的平均数是多少？方差是多少?写出你的计算过程． (4)若这n个数据的平均数是，方差为，则数据，这个数据的平均数是多少？方差是多少？（请直接写出答案） 【答案】(1)5， (2)2， (3)平均数，方差 (4)平均数，方差 【分析】本题考查方差，算术平均数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）根据平均数，方差公式计算即可求解； （2）根据平均数，方差公式计算即可求解； （3）根据平均数，方差公式计算即可求解； （4）根据平均数，方差公式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵数据2，3，5，7，8的平均数是5， ， ∴再加入一个数据5，这组新数据的平均数为：， 数据2，3，5，7，8的方差是，即， ， ∴再加入一个数据5，这组新数据的方差为：， 故答案为：5，； （2）解：∵数据的平均数是2，即， ， ∴再加入一个数据2，这组新数据的平均数为：， 数据的方差是3，即， ， ∴再加入一个数据2，这组新数据的方差为：， 故答案为：2，； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平均数，方差； （4）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平均数，方差． 3．观察和探究． (1)观察下列各组数据并填空 A、1、2、3、4、5，__________       ___________． B、11、12、13、14、15，___________  __________． C、10、20、30、40、50，___________ __________． D、3 、5、7、9、11，___________    ___________． (2)分别比较A与B、A与C、A与D的计算结果，你能发现什么规律？ 【答案】(1)3，2；13，2；30，200；7，8 (2)B比A的平均数大10，两者的方差相等；C是A的10倍，所以平均数也是10倍，方差是100倍；A中相邻两数相差1，D中相邻两数相差2． 规律是：—组数字同时加上一个数，该组数字的平均数为原平均数加上该数字，方差为原方程方差； 一组数字同时乘以一个数字，平均数为原平均数乘以该数字，方差为原方差乘以所乘数字的平方． 【分析】（1）根据平均数和方差的计算公式即可求解； （2）分别比较A与B、A与C、A与D的计算结果，得出规律． 【详解】（1）A、，； B、，； C、 ； D、 ． （2）B比A的平均数大10，两者的方差相等；C是A的10倍，所以平均数也是10倍，方差是100倍；A中相邻两数相差1，D中相邻两数相差2． 规律是：—组数字同时加上一个数，该组数字的平均数为原平均数加上该数字，方差为原方程方差； 一组数字同时乘以一个数字，平均数为原平均数乘以该数字，方差为原方差乘以所乘数字的平方． 【点睛】本题考查平均数和方差，解题的关键是准确计算平均数和方差． 4．【问题提出】在一次课外活动中，小明为了探究人类记忆曲线的变化情况，决定通过让小组成员背单词的方法进行研究分析． 【收集数据】小明让小组的位同学在一天内背诵个单词．第天课下，小明对单词记忆情况进行了调查，绘制统计图如下（如图1，其中横轴代表小组人员编号，纵轴代表记忆单词数量）； 【分析数据】 （1）小明统计小组成员单词记忆情况的方式为______（选填“普查”“抽样检测”或“假设分析”）； （2）求小组成员记忆单词数量的平均数和众数； （3）若学校有人，估计在此调查中第二天单词记忆量高于个的人数； 【统计总结】 小明连续收集了天同学们对于第一天单词的记忆数量，经过统计后，取合适的自变量和因变量在坐标系中通过描点连线的方法绘制图象如图2（图中横轴代表天数，纵轴代表遗忘速度）： （4）根据小明绘制的图象简图，请你对于记忆单词给出一点建议（要求：结合函数图象，且不多于字）______． 【答案】（1）普查； （2）平均数为4个；小组成员记忆单词数量的众数为：5个、6个； （3）约为500人； （4）对于记忆单词，建议同学们每次记忆4至6个，每个星期复习一次（答案不唯一）． 【分析】本题主要考查调查与统计的相关概念和计算，掌握普查的概念，平均数的计算，众数的计算，根据样本百分比估算总体数量的方法，根据调查结果作决策的方法等知识是解题的关键． （1）根据普查的概念即可求解； （2）根据求一组数的平均数，众数的计算方法即可求解； （3）根据样本估算总体数量的计算方法即可求解； （4）根据调查结果作决策即可求解． 【详解】解：（1）根据调查对象的特点，选择普查比较合适， 故答案为：普查； （2）小组成员记忆单词数量的平均数为：（个） 小组成员记忆单词数量的众数为：5个、6个； （3）（人）， 答：估计在此调查中第二天单词记忆量高于4个的人数大约为500人； （4）略 【课后检测】 1．甲、乙、丙、丁四位同学的身高分别是、、、，如果把他们的平均身高记为，高于平均身高的部分记为正，低于平均身高的部分记为负，那么甲同学的身高记为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算四位同学的平均身高，再按照规则计算甲的身高记录值即可． 【详解】解：四人平均身高为 ， ∴甲同学的身高记为． 2．技术人员分别从甲、乙两块地块中随机抽取500株麦苗，统计每一株麦苗的高度，下列关于两地块麦苗高度的平均数和方差的描述中，能说明甲地块的麦苗高度较整齐的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方差的大小进行判断即可． 【详解】解：方差是衡量一组数据波动大小的量，方差越小，数据波动越小，长势越整齐． 即时能说明甲地块的麦苗高度较整齐． 3．五个数据0，，5，2，m的唯一众数为，则m的值为（     ） A．5 B． C．0 D．2 【答案】B 【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数． 【详解】解：∵五个数据0，，5，2，m的唯一众数为， ∴出现的次数最多， ∵已知数据为0，，5，2，每个数据均出现次， ∴． 4．样本数据3，2，5，3，6，3的众数是（     ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】B 【详解】解：统计数据中各数出现的次数，各出现次，出现次，出现次数最多的数是，即众数是3 5．智能体育系统记录了四位同学连续三次跳远的情况（如图），跳远平均成绩最接近米的是（     ） A．王洁 B．李名 C．许多 D．丽丽 【答案】C 【分析】根据图形找到三次成绩在米左右波动的同学即可． 【详解】解：由图可知，许多的三次跳远成绩在在米左右波动，平均成绩最接近米，其他三位同学的成绩受到最大值或最小值的影响，平均成绩都离米较远，故选项C符合题意． 6．数据1，3，3，1，7的平均数和离差平方和分别为（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查平均数和离差平方和的定义，先根据平均数公式计算这组数据的平均数，再根据离差平方和的定义，计算每个数据与平均数差的平方和，即可得到答案． 【详解】解：∵这组数据为，共个数据，数据总和为 ， ∴平均数为 ， ∴离差平方和为：， ∴这组数据的平均数和离差平方和分别为和， 故选：C． 7．下表是6名学生的身高数据： 学生编号 1 2 3 4 5 6 身高/ 150 155 160 165 170 175 将这些身高按从低到高排列后分成两组，共有种不同的分组，按第3个间隔分组时的组内离差平方和为，则与的值分别为（     ） A．5，50 B．6，50 C．5，100 D．6，100 【答案】C 【分析】先根据排好序的数据个数确定间隔总数得到，再按第3个间隔分组，分别计算两组的离差平方和，求和得到． 【详解】解：∵6个按从小到大排好的数据，相邻两个数之间共有个间隔，每个间隔对应1种不同分组方法， ∴. ∵第1个间隔在150与155之间，第2个间隔在155与160之间，第3个间隔在160与165之间，因此分组结果为：第一组，第二组， 计算第一组平均数：， 第一组离差平方和：， 计算第二组平均数：， 第二组离差平方和：， ∴总组内离差平方和， 因此，． 8．某超市有两家分店，其中一天的营业情况统计结果如下表所示． 分店 结账人次 每人次平均消费金额/元 非现金结账百分比/% A 100 56 70 B 200 32 76 下列结论正确的是（     ） A．这家超市的每人次平均消费金额是44元 B．这家超市的每人次平均消费金额是42元 C．这家超市非现金结账百分比是 D．这家超市非现金结账百分比是 【答案】C 【分析】以各分店结账人次为权重，分别计算总每人次平均消费金额和总非现金结账百分比，对比选项判断正误． 【详解】解：∵ 总消费金额为元，总结账人次为， ∴ 每人次平均消费金额为元，故AB选项不符合题意； ∵ 总非现金结账人次为， ∴ 非现金结账百分比为，故C选项符合题意，D选项不符合题意． 9．初二某班有49人，在一次数学测试中，小王因特殊原因没有参加本次测试，老师统计了其他48人的平均分为102分，方差．后来小王进行了补考，成绩为102分．则关于该班49人的成绩分析，下列说法正确的是（     ） A．平均分不变，方差变大 B．平均分不变，方差变小 C．平均分和方差都不变 D．平均分和方差都改变 【答案】B 【分析】先计算加入小王成绩后的平均分，再计算新方差，对比原有结果得到结论． 【详解】解：∵48人的平均分为102分， ∴48人的总分为， ∵小王补考成绩为102分， ∴49人的总分为， ∴49人的平均分为， ∴平均分不变． ∵原方差， ∴， ∴新方差， ∴方差变小． 综上，平均分不变，方差变小． 10．某单位食堂提供A、B、C三种品种午餐盒饭，其单价及销售有关数据如表所示，则这三种午餐盒饭的均价是（     ） 品种 A B C 单价/元 12 10 8 销售比例 A．10.2元 B．10元 C．9.8元 D．9.5元 【答案】C 【分析】利用加权平均数公式，将各单价乘以对应销售比例后求和即可得到结果． 【详解】解：三种午餐盒饭的均价为：（元）． 11．如图是用雷达图展示的小智参与趣味数学活动过程中，探索学习、动手操作、沟通合作、创新、问题解决五项能力的得分情况，依次按进行综合测评，则他的综合得分为_________． 【答案】8 【分析】根据加权平均数的公式解答即可． 【详解】解：根据题意 分， ∴他的综合得分为8分． 12．学校开展“书香校园，师生共读”活动，某学习小组五名同学一周的课外阅读时间（单位：），分别为：，，，，．这组数据的方差是_______． 【答案】 【详解】解：平均数， 各数与平均数的差的平方和为， 方差． 13．在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．教练计划将队员分成两组进行分层训练，先将五名同学成绩按照从小到大的顺序排列为：7，9，12，13，15．再分成两组分别计算各组的离差平方和（结果保留小数点后一位），结果如下表所示，则最合理的分组方式为第________个间隔． 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 总离差平方和 第1个间隔 0 18.8 18.8 第2个间隔 2 4.7 6.7 第3个间隔 12.7 2 14.7 第4个间隔 22.8 0 22.8 【答案】2 【分析】最合理的分组满足总离差平方和最小，只需找到表格中总离差平方和最小对应的间隔序号即可． 【详解】解：∵ 离差平方和总和越小，组内数据越集中，分组越合理， ∴ 比较表格中各组的离差平方和：，，，， 可得最小的总离差平方和为，其对应的分组为第个间隔． 14．张老师乘公交车上班，从家到学校有A，B两条路线可选择．前两周（10个工作日）选择A路线，后两周（10个工作日）选择B路线，所用时间如下表： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A路线所用时间/ 35 52 35 36 54 38 41 34 55 40 B路线所用时间/ 45 49 44 45 47 46 50 48 50 46 根据上表数据绘制的折线统计图，如图所示． (1)从图形看，哪条路线平均用时少，哪条路线用时的波动大？ (2)用计算器分别计算选择A，B两条路线所用时间的平均数和方差． (3)如果某天上班可用时间只有，应选择哪条路线？ (4)如果某天上班可用时间为，又应选择哪条路线？ 【答案】(1)从图形看， A路线平均用时少， A路线用时的波动较大 (2)A路线所用时间的平均数为42，方差为63.2；B路线所用时间的平均数为47，方差为4.2 (3)当上班可用时间只有时，应选择路线 (4)当上班可用时间为时，应选择路线 【分析】对数据的集中趋势和离散程度进行综合分析即可． 【详解】（1）解： 观察折线统计图，A路线对应的数据点整体位置更低，折线起伏程度更大，因此A 路线平均用时少，A路线用时的波动更大； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， 答：A路线所用时间的平均数为42，方差为63.2；B路线所用时间的平均数为47，方差为4.2； （3）解：当上班可用时间只有40 min时，由统计表及统计图知：B路线所有10次的用时都大于40 min；A路线有6次用时不超过40 min，因此应选择A路线； （4）解：当上班可用时间为50 min时，由统计表及统计图知：A路线有3次用时超过50 min；B路线10次的用时都不超过50 min， 且B路线方差小，因此应选择B路线． 15．某农场在三块田地上，用相同的管理技术种植水稻，种植面积和单位面积产量如下表： 地块 面积/公顷 单位面积产量/（吨/公顷） 一 2 15 二 5 12 三 3 10 (1)计算三块田地水稻的平均单位面积产量． (2)指出数据15，12，10的权的意义． 【答案】(1)三块田地水稻的平均单位面积产量为吨/公顷． (2)数据，，的权分别为，，，对应三块田地的种植面积．权反映了各单位面积产量数据在计算平均单位面积产量时的重要程度，种植面积越大，对应的单位面积产量对平均单位面积产量的影响越大． 【分析】（1）以三块地的种植面积为权，通过总产量除以总面积计算平均单位面积产量； （2）结合种植场景，明确权对应的实际量，阐述其意义． 【详解】（1）解：三块地的总产量为（吨），总面积为（公顷）， 平均单位面积产量为（吨/公顷）． （2）略 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 54 页 第 1 页 共 54 页 学科网（北京）股份有限公司 $