专题12数据的分析知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版八年级数学上册

专题12数据的分析知题通关讲义 知识点01:平均数 1. 算术平均数 定义：一组数据的总和除以数据的总个数，所得结果即为算术平均数。 公式 设有n个数据x1,x2,....,xn，则 =​ 特点：用到全部数据信息，易受极端值影响。 2. 加权平均数 定义：实际问题中各数据重要程度不同，用权表示数据的重要性，结合权计算得到的平均数叫做加权平均数。 权的形式：整数、比值、百分数。 公式 数据x1,x2,....,xn 对应权f1,f2,..,fn，则:= 特点：权越大，对应数据对结果影响越大，同样易受极端值影响。 补充：算术平均数是加权平均数的特殊形式（所有数据的权相等）。 3.核心区分表格 易错点 权重和不能漏除；权重为比例时，可直接用比例代替总数计算。 4.组中值加权平均数（频数分布表专用） 分组统计无原始数据时，每组中间数值为组中值，本组频数作为权重，计算整组平均数。 步骤：①求每组组中值；②组中值 × 本组频数；③全部相加 ÷ 总频数。 知识点 02 中位数 1. 定义 将一组数据从小到大（或从大到小）有序排列后，位于正中间的数值。 2. 分两类计算规则 3. 核心特点 （1）只和数据中间位置有关，不受极端偏大、偏小值影响； （2）一组数据中位数唯一； （3）反映数据中间水平，适合存在极端值的统计场景（工资、房价）。 知识点 03 众数 1. 定义 一组数据中出现次数最多的数据。 2. 三种情况 只有一个数据出现次数最多：唯一众数； 两个数据出现次数并列最多：两个众数； 所有数据出现次数相同：无众数。 3. 核心特点 （1）反映数据中最普遍、最常见的数值； （2）不唯一，不受极端值影响； （3）多用于销售、尺码、投票类统计（服装尺码、商品销量）。 4. 集中趋势三统计量对比表 知识点 04 极差（波动最简单指标） 1. 定义 一组数据中最大值减去最小值，描述数据波动范围。 2.公式 极差=最大值-最小值 3.特点 （1）计算最简单； （2）仅用到首尾两个数据，无法反映中间数据波动； （3）受极端值影响极大，只能粗略判断波动大小。 知识点05：方差（核心难点，期末必考计算） 1.定义：衡量一组数据偏离平均数的程度，方差越大，波动越大、越不稳定；方差越小，波动越小、越稳定。 2.计算公式 数据x1,x2,.....,xn，平均数为 s2=[(x1−)2+(x2−)2+⋯+(xn−)2] 3.核心规律（必背） 方差s2 越大 → 数据波动大，稳定性差； 方差s2 越小 → 数据波动小，稳定性强。 4.拓展结论（解题提速） 一组数据同时加 / 减同一个数，平均数改变，方差不变； 一组数据同时乘同一个正数，平均数、方差均发生变化。 知识点 06 标准差 1. 定义 方差的算术平方根，单位和原始数据一致（方差单位是平方，无实际意义）。 2.公式 3.作用 方差只能对比大小，标准差带原始单位，可直接描述数据波动幅度。 4.离散程度三指标对比表 知识点 07 统计图表与数据分析结合 1. 条形统计图 读取每组数据频数，可计算平均数、中位数、众数。 2. 折线统计图 观察数据变化趋势，同时可计算波动（方差、极差）判断稳定性。 3. 扇形统计图 仅提供各部分占比，需结合总数量才能求出具体数据，计算加权平均数。 4. 频数分布直方图 用组中值计算整组加权平均数，通过区间判断中位数所在分组。 知识点 08 数据分析实际决策解题步骤 1.审题：明确需求（看平均水平 / 中间水平 / 稳定性）； 2.计算对应统计量（平均数、中位数、众数、方差）； 3.对比数据特征，写出结论： 4.比平均成绩：用平均数； 5.存在极端高分低分：用中位数； 6.选大众偏好尺码：用众数； 7.判断发挥稳定：对比方差，方差小更稳定。 1. 混淆算术平均数与加权平均数 提醒：算术平均数中各数据权重相等；加权平均数各数据权重存在差异，不可直接套用简单平均数公式计算。 2. 求中位数未对数据排序 提醒：计算中位数必须先将全部数据按大小顺序排列，再确定中间数值，不能直接选取原始数据序列中间的数。 3. 众数概念理解错误 提醒：众数是一组数据里出现次数最多的数据；一组数据可以存在多个众数，也可能没有众数。 4. 方差公式计算失误 提醒：方差为各数据与平均数差值的平方的平均数，不可省略平方运算，不能直接用差值求平均值。 5. 颠倒方差与数据波动的关系 提醒：方差衡量数据波动程度，方差越大，数据波动越大；方差越小，数据越稳定，二者逻辑不可颠倒。 6. 平均数、中位数、众数选用场景混淆 提醒：平均数易受极端值影响；中位数不受极端值影响；众数体现数据集中出现的量，需结合数据特点选择统计量。 7. 将样本平均数等同于总体平均数 提醒：样本平均数用于估计总体平均数，二者数值不一定相等，不可直接判定样本平均数等于总体平均数。 8. 统计结果遗漏单位 提醒：求出的平均数、中位数、众数等统计量，作答时需要带上原始数据对应的单位，不可省略。 9. 混淆众数与频数 提醒：众数是数据本身，频数是该数据出现的次数，不能把频数当作众数。 题型 考察方向 难度 题型一 求众数 ★ 题型二 利用众数求未知数据的值 ★★ 题型三 运用众数做决策 ★★ 题型四 求一组数据的平均数 ★ 题型五 已知平均数求未知数据的值 ★★ 题型六 利用已知的平均数求相关数据的平均数 ★ 题型七 利用平均数做决策 ★★ 题型八 求加权平均数 ★★ 题型九 利用加权平均数求未知数据的值 ★★★ 题型十 运用加权平均数做决策 ★★★ 题型十一 求方差 ★★ 题型十二 利用方差求未知数据的值 ★★★ 题型十三 根据方差判断稳定性 ★★ 题型十四 运用方差做决策 ★★★ 题型十五 标准差 ★★ 题型十六 求离差平方和 ★★★ 题型十七 离差平方和的应用 ★★★ 题型十八 样本平均数（方差）估计总体平均数（方差） ★★ 题型十九 求中位数 ★ 题型二十 利用中位数求未知数据的值 ★★ 题型二十一 运用中位数做决策 ★★ 题型二十二 求四分位数与画箱线图 ★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 求众数 1．2026年6月6日迎来第31个全国“爱眼日”，主题为“人人享有眼健康”，在全国“爱眼日”来临之际，某校组织各班围绕“关注普遍的眼健康”开展了手抄报评比，其中八年级个班的得分（单位：分）分别为：、、、、、，则这组数据的众数是（     ） A． B． C． D． 2．为深入落实“立德树人”的根本任务，坚持德、智、体、美、劳全面发展，某学校积极推进学生综合素质评价改革，某同学在本学期德、智、体、美、劳的评价得分分别为10分，8分，9分，8分，7分，则该同学五项评价得分的众数为__________分． 3．某校为了解九年级学生对国防知识的掌握情况，组织了一次“心系国防”知识竞赛．赛后，从某个班中随机抽取了12名学生的成绩（单位：分），数据如下：88，85，85，90，88，88，92，85，88，87，95，85．若去掉这组数据中小蓝的分数后，这组数据中的众数会发生改变，则小蓝的分数可能是（     ） A．97分 B．90分 C．88分 D．87分 题型二 利用众数求未知数据的值 4．已知一组数据3，2，2，2，6，3，，若这组数据的众数只有一个，则的值不可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 5．已知一组数据6，8，10，x的平均数和众数相等，则x的值为（） A．6 B．8 C．10 D．12 6．在我市2024年的一次中学生运动会上，参加男子跳高比赛的有17名运动员，通讯员在将成绩表送组委会时不慎被墨水污染掉一部分（如下表），但他记得这组运动员的成绩的众数是1.75米，表中每个成绩都至少有一名运动员．根据这些信息，可以计算出这17名运动员的平均跳高成绩是_______米（精确到0.01米）． 成绩（单位：米） 1.50 1.60 1.65 1.70 人 数 2 3 2 3 成绩（单位：米） 1.75 1.80 1.85 1.90 人 数 1 1 题型三 运用众数做决策 7．某商店销售，，，，这种尺码的上衣．商店经理想通过调查每种上衣的销量来决定多进哪种上衣，则从这5种尺码的上衣销量中，可作为参考依据的是（     ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 8．为筹备班级毕业晚会，班长对全班同学爱吃哪几种水果做了民意调查，最终买什么水果该由调查数据的________（填“平均数”“中位数”或“众数”）决定． 9．某校“创客作品展示活动”采用民主投票的方式进行评选，即该校每位同学从名候选人中选择名进行无记名投票，进而从中选出获胜者．根据投票结果判断最终获胜者所需要考虑的统计量是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 题型四 求一组数据的平均数 10．已知一组数据：，，，，，这组数据的平均数为（     ） A． B． C． D． 11．为解决路途较远的学生中午在校就餐的问题，市教育局协调了配餐公司为学生供餐．某公司为学生提供甲种套餐每份20元，乙种套餐每份15元．若实验中学有的学生订购了甲种套餐，另外的学生订购了乙种套餐，每名学生仅订购一份．则该校订餐的学生午餐花费的平均数是（     ） A．17.5 B．18 C．18.5 D．19 12．在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（     ）． A．{7}和{9，12，13，15} B．{7，9}和{12，13，15} C．{7，9，12}和{13，15} D．{7，9，12，13}和{15} 题型五 已知平均数求未知数据的值 13．一组数据 ， ， ， ， 的平均数为 ，则 的值为（     ） A． B． C． D． 14．已知一组数据1，2，4，5，x的平均数是3.2，则这组数据的众数为______． 15．将一组数据从左到右按序排列，第1个数是，第2个数是，从第2个数开始，每个数都是与它相邻的两个数的平均数．这组数据中前10个数的和为__________． 题型六 利用已知的平均数求相关数据的平均数 16．已知数据，，的平均数是，则，，的平均数是______． 17．已知点都在函数的图象上，若数据，，的平均数为3，方差是2，则另一组数据的平均数是______，方差是______． 18．数学期中测试后，李老师把全班50名同学的成绩输入计算机算平均分，由于不小心，把其中一个“100”输入时多打了一个零，成为“1000”分，却没有及时发现，最后计算机显示该班平均分为95分，那么你认为该班平均分正确的是（     ） A．77分 B．79分 C．81分 D．无法确定 题型七 利用平均数做决策 19．智能体育系统记录了四位同学连续三次跳远的情况（如图），跳远平均成绩最接近米的是（     ） A．王洁 B．李名 C．许多 D．丽丽 20．2022年温州市初中毕业升学考试各学科及满分值情况如下表： 科目 语文 数学 英语 科学 社会 体育 满分值 150 150 120 180 80 40 若以去年三校录取分600分为参考，以此算出平均得分率，则数学这门学科能上三校的平均得分至少是______分． 21．校田径队需从甲、乙、丙、丁四名运动员中选派一名参加市运动会米比赛．下表是四名运动员最近次米测试成绩的平均数（单位：）和方差． 运动员 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（     ） A．甲运动员 B．乙运动员 C．丙运动员 D．丁运动员 题型八 求加权平均数 22．某中学举行校园主持人比赛，小静同学的语言表达、临场应变、形象仪态的分数分别是9分，8分，10分，若依次按的比例确定最终成绩，则小静的最终成绩是（     ） A．8.2分 B．8.4分 C．8.6分 D．8.8分 23．某超市销售A，B，C，D四种矿泉水，它们的单价依次是5元、3元、2元、1元．这四种矿泉水某天的销售量如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是_________元． 24．实验中学有甲、乙、丙三个班，甲班有m人，乙班有n人，丙班有k人（以上所有参数均为正整数），在一次考试中甲班平均分是a分，乙班平均分是b分，丙班平均分是t分．则甲、乙、丙三个班在这次考试中的总平均分是（     ） A． B． C． D． 题型九 利用加权平均数求未知数据的值 25．某校八（3）班第二小组期中数学测验成绩分布如表所示： 分数 60 70 80 90 人数 1 3 2 该班第二小组这次数学测验成绩平均分是分，则成绩为分的人数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 26．一次实验竞赛由笔试、实践操作、结果分析、答辩四项构成，甲、乙两组的各项成绩（十分制）如下表所示． 小组 笔试 实践操作 结果分析 答辩 甲组 9 7 7 9 乙组 7 8 9 m 对笔试、实践操作、结果分析、答辩成绩分别赋权2，4，2，2，计算每组的平均成绩．如果甲、乙两组的平均成绩相同，那么m的值为________． 27．某次射击训练中，一小组的成绩如表所示： 环数 人数 若该小组的平均成绩为环，则成绩为环的人数是（　　） A． B． C． D． 题型十 运用加权平均数做决策 28．学校广播站准备从甲、乙、丙三位同学中选出一名播音员，从普通话、写作和工作态度三个方面对三位同学进行了初步测试，测试成绩如下表： 甲 乙 丙 普通话 8 7 9 写作 7 9 7 工作态度 5 8 8 如果将普通话、写作和工作态度三项得分分别按照的比例确定各人的最终得分，并以此为依据确定播音员，那么谁是最佳人选（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 29．学校广播站要新招1名广播员，小敏、小花两名同学经过选拔进入到复试环节，参加了口语表达、写作能力两项测试，成绩如下表： 项目应试者 口语表达 写作能力 小敏 80 90 小花 90 80 学校规定口语表达按，写作能力按计入总成绩，根据总成绩择优录取．你认为_________将被录取． 30．一家外贸公司打算招聘一名英文笔译员，设置了听、说、读、写共四项英语水平测试及相应的权重比，每项测试的原始分均为100分，如果你是这家公司的人力资源主管，你认为最适合作为选人依据的权重比是（     ） A． B． C． D． 题型十一 求方差 31．下列4组数据中，方差为0的是（   ） A．B． C．D． 32．如果、、的平均数是8、方差是3，那么、、的平均数和方差分别是（     ） A．18、13 B．8、3 C．18、3 D．8、13 33．已知一组数据，，，，的平均数是4，方差为3， 另一组数据， 的方差为_______． 题型十二 利用方差求未知数据的值 34．一组数据方差，则这组数据平均数为______． 35．为了考察甲、乙两地小麦的长势情况（小麦高度），小江同学在数据分析时分别列出求方差的两个式子：，，则下列表述不一定正确的是（    ） A．甲、乙两地都随机抽取了株小麦并测量其高度 B．若，则甲地小麦长得比较整齐 C．甲、乙两地小麦高度的众数相等 D．甲、乙两地小麦高度的平均值相等 36．若某一样本的方差为，样本容量为5．则下列说法：①当时，；②该样本的平均数为7；③，的平均数是7；④该样本的方差与，的值无关．其中不正确的是（    ） A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 题型十三 根据方差判断稳定性 37．衡南向阳桥香瓜（又称梨瓜）是湘南地区的特色农产品，种植历史超百年．衡南某香瓜种植基地有甲、乙两块试验田，近6年的亩产量（单位：）如下： 甲：4800，5000，5200，5000，4900，5100． 乙：4700，5300，5000，4900，5100，5000． 若要判断哪块田的产量更稳定，应比较两组数据的（     ） A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数 38．甲乙两种水稻试验品连续5年的平均单位面积产量如下表：（单位：吨/公顷）经计算，，，试根据这组数据估计两种水稻品种的产量比较稳定的是 _____． 品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 甲 9.8 99 10.1 10 10.2 乙 9.9 10.1 10.2 9.9 99 39．舟山素有海上花园城市的美誉，城区绿化带景观需园林工人定期修剪养护．如图，园林工人把参差不齐的绿植修剪平整，修剪前后植株高度的平均数与方差均发生改变．下列关于平均数与方差的变化情况描述正确的是（     ） A．平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大 C．平均数变大，方差变小 D．平均数变大，方差变大 题型十四 运用方差做决策 40．甲、乙、丙、丁四个旅游团的游客人数相等，每个旅游团游客的平均年龄都是30岁，年龄的方差分别是 导游小明喜欢带游客年龄相近的旅游团，则在这四个团中，他应选（     ） A．甲团 B．乙团 C．丙团 D．丁团 41．某校篮球队对名队员进行定点投篮测试，每人投篮次，统计如下表：若教练希望选出“命中数高且发挥稳定”的队员，应选择________． 队员 甲 乙 丙 丁 平均命中数 15 16 16 14 方差 42．某校九年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人次跳绳成绩的平均数及方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥较稳定的同学参加比赛，应选择（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 题型十五 标准差 43．若一组数据的方差为2，那么这组数据的标准差是（      ） A．4 B． C． D． 44．超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋，设货架上原有鸡蛋的质量（单位：g）平均数和标准差分别为x，s，该顾客选购的鸡蛋的质量平均数和标准差分别为，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 45．某工厂对一个小组生产的零件进行调查．在10天中，这个小组出次品的情况如表所示： 每天出次品的个数 0 2 3 4 天数 3 2 4 1 那么在这10天中这个小组每天所出次品数的标准差是_____． 题型十六 求离差平方和 46．一组数据：8，6，7，7，7的平均数是7，这组数据的离差平方和是____________． 47．已知一组数据66，67，，69，70的方差是2，则这组数据的离差平方和是________． 48．若把数据6，7，8，8，8，8，7，10，9分成6，7，7，8和8，8，8，9，10两组，则它们的组内离差平方和为______． 49．现有一组数据2，8，5，12，若将其分为两组，根据组内离差平方和最小的原则，正确的分组方式是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 题型十七 离差平方和的应用 50．已知5个数据的离差平方和是5，则这组数据的方差等于_________． 51．某校游泳队有5名同学准备参加50米自由泳比赛，为了让队员更有效地进行赛前训练，教练计划将他们按50米自由泳最好成绩（单位：秒）的高低分成两组，下表给出了4种分组情况及组内离差平方和，则这5名同学的最合理的分组序号是___________． 序号 第1组 第2组 组内离差平方和 ① 32.5 33.2，34.0，36.5，36.8 9.67 ② 32.5，33.2 34.0，36.5，36.8 4.97 ③ 32.5，33.2，34.0 36.5，36.8 1.17 ④ 32.5，33.2，34.0，36.5 36.8 9.13 52．学校种植园中有4盆相同品种的植物，需要按植物的株高分成两组进行培养，使得同组内植物株高尽量接近，将4盆植物的株高从小到大排序后分成两组，共有3种情况，计算它们的组内离差平方和结果如下表所示，则4盆植物的最优分组序号是__________． 序号 分组情况 组内离差平方和 ① 第一组1个，第二组3个 40 ② 第一组2个，第二组2个 88 ③ 第一组3个，第二组1个 16.67 题型十八 用样本平均数（方差）估计总体平均数（方差） 53．某中学九年级有名学生参加体育中考测试．随机抽取名学生的成绩进行统计，得到平均分为分，方差为．则估计该校九年级全体学生体育测试成绩的总分约为______分． 54．《数书九章》中有一个问题：今有田一顷，分为三乡，甲乡田三十亩，乙乡田四十亩，丙乡田三十亩．今从甲乡抽田三亩，验得其中一亩产谷十石；从乙乡抽田四亩，验得其中一亩产谷八石；从丙乡抽田三亩，验得其中一亩产谷九石．问三乡田总产谷多少？其意思是：有一块田，总面积为100亩，分给三个乡，甲乡分田30亩，乙乡分田40亩，丙乡分田30亩．现从甲乡中抽取3亩田，测得平均每亩产谷10石；从乙乡中抽取4亩田，测得平均每亩产谷8石；从丙乡抽取3亩田，测得平均每亩产谷9石．则这100亩田共产谷大约（　　） A．800石 B．890石 C．900石 D．1000石 55．小红帮助母亲预算家庭4月份电费开支情况，下表是小红家4月初连续8天每天早上电表显示的读数： 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 电表显示度数 21 24 28 33 39 42 46 49 若每度电收费0.42元，估计小红家4月份（按30天计）的电费是_________元．（注：电表计数器上先后显示读数之差就是这段时间内消耗电能的度数） 题型十九 求中位数 56．数据5，4，6，10，7的中位数是____________． 57．在一次中学田径运动会上，参加男子跳高的名运动员的成绩如下表所示． 成绩/ 人数 则这些运动员成绩的中位数为_______________． 58．某餐厅共有7名员工，所有员工的工资如表所示： 人员 经理 厨师 会计 服务员 人数 1 2 1 3 工资数 16000 6000 5200 3400 则餐厅所有员工工资的众数，中位数分别是（     ） A．3400，5200 B．5200，3400 C．340，5600 D．5600，3400 题型二十 利用中位数求未知数据的值 59．某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图4所示．序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，不可以选择（    ） A．甲、丁 B．甲、戊 C．乙、丁 D．丙、丁 60．一组数据按从小到大排列：16，25，33，39，43，m，65，70．若这组数据的第三四分位数与第一四分位数的和是85，则m的值为________． 61．某校举办“青春励志”主题演讲比赛，规定每位选手演讲时长不超过5分钟.初赛结束后，随机抽取5名选手，统计编号为号选手的实际演讲时长（单位：分钟）如图所示.为了更全面评估选手水平，组委会决定再抽取2名选手的成绩纳入统计.若7名选手演讲时长的中位数与原来5名选手演讲时长的中位数相等，则新增的2名选手演讲时长可能是（   ） A．2.8分钟，3.7分钟 B．2.0分钟，3.0分钟 C．3.6分钟，4.2分钟 D．4.3分钟，4.5分钟 题型二十一 运用中位数做决策 62．在一次数学测试中，小明成绩120分，超过班级半数同学的成绩，分析得出这个结论所用的统计量是（     ） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差 63．如图为某地区5月和6月的空气质量指数（）箱线图．值越小，空气质量越好，则（     ） A．该地区5月的上四分位数高于6月的上四分位数 B．该地区5月的最大值高于6月的最大值 C．该地区5月变化比6月变化小 D．该地区6月的空气质量好于5月 64．为了解我市初三女生的体能状况，从某校初三的甲、乙两班中各抽取27名女生进行一分钟跳绳次数测试，测试数据统计结果如右表． 班级 人数 中位数 平均数 甲班 27 104 97 乙班 27 106 96 如果每分钟跳绳次数次的为优秀，那么甲、乙两班的优秀率的关系是_____． 题型二十二 求四分位数与画箱线图 65．某学校八年级一班和二班各有名男生，他们身高（单位：）的箱线图如图所示，则一班男生身高的第一四分位数________二班男生身高的第一四分位数（填“”“”或“”）；________班（填“一”或“二”）男生的身高相对比较集中． 66．在某项以至为评价等级的调查问卷中，收集到的个得分数据分别为：，，，，，，，，，，其下四分位数和上四分位数之和是_______________． 67．小明统计了西安和济南近两年7～8月每天的最高温度，将统计结果绘制成箱线图如图所示，则关于此时段内两地的最高温度情况，下列说法正确的是（    ） A．济南每天的最高温度的下四分位数为 B．济南每天的最高温度的中位数小于西安每天的最高温度的中位数 C．西安每天的最高温度都高于济南每天的最高温度 D．西安有超过一半的天数最高温度不低于 解答题 1．将20名同学随机分成两组，每组10人，学习50个英语生词．第一组采用集中学习的方法学习，第二组分三天学习，每天学习．一周后测试，每个人能准确掌握的单词数量如下表： 第一组掌握的单词数量/个 45 46 40 48 38 42 40 37 44 40 第二组掌握的单词数量/个 46 48 42 50 42 44 45 44 45 44 (1)分别计算两组每个人掌握单词数量的平均数和方差． (2)请从不同角度分析这两种学习方式的效果． 2．情绪机器人是能够与人类互动提供情绪价值的一种迷你机器人，某公司生产甲，乙两款情绪机器人，技术部门对两款机器人样品各进行了6轮情绪测试（满分10分）． 甲款情绪机器人样品的测试结果为3，4，4，6，4，9． 两款情绪机器人样品的测试结果数据分析如下： 款式 平均数 中位数 众数 方差 甲 a 4 b c 乙 5 5 5 0.3 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：_______，_______． (2)计算c的值，并从平均数和方差角度分析哪款情绪机器人的表现更优秀． 3．为推选一名同学参加学校演讲比赛，班里组织了一次选拔赛，由教师组成评委，对甲、乙、丙三名候选人分别就演讲内容、语言表达能力和感染力三方面打分．评委打分（满分10分）的结果如下表： 测试项目 演讲内容 语言表达能力 感染力 甲的成绩/分 9.0 8.6 8.0 乙的成绩/分 8.0 9.2 8.2 丙的成绩/分 9.4 8.8 7.5 (1)如果按三项得分的算术平均数大小确定优胜者，那么谁是优胜者？ (2)如果将三项得分按演讲内容、语言表达能力、感染力分别占的比例计算平均分，依平均分的高低确定优胜者，那么谁是优胜者？（可借助计算器计算） (3)如果认为语言表达能力最重要，那么请你给三项得分分配适当的权重，并确定优胜者． 4．泉州闽超联赛赛前体能测试，对、两名本土前锋进行1分钟折返冲刺跑动距离测试（单位：米），相同场地与热身条件下，每人测试5次，数据统计如下表： 前锋 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 平均数 众数 95 90 95 85 100 95 90 90 95 95 93 (1)表格中___________，___________，___________； (2)求球员1分钟跑动距离的方差； (3)已知B球员该项数据方差为6，结合平均数、方差，判断哪位球员的冲刺发挥更稳定，说明理由． 5．某市全民健身活动中心调查了10名超重或肥胖人员的身体质量指数（单位：），数据如下： 26    28    39    30    36    30    28    32    38    37 请按照组内离差平方和最小的原则，将上面的身体质量指数分成两组，以便制订两种不同的健身方案． 6．某校兴趣小组在科学实践活动中，在学校的甲、乙两块试验田中各随机抽取了16棵西红柿植株，并统计了每棵植株上西红柿的个数，将其数据整理如下（单位：个）： 甲试验田：28，29，34，36，37，39，41，46，48，50，53，54，55，55，63，64； 乙试验田：38，42，44，45，47，48，50，51，53，54，55，60，60，61，62，62． (1)请分别求出甲、乙两块试验田中16棵植株上西红柿个数的第一四分位数、中位数、第三四分位数； (2)根据（1）中的数据结果标注在如图所示的箱线图中． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12数据的分析知题通关讲义 知识点01:平均数 1. 算术平均数 定义：一组数据的总和除以数据的总个数，所得结果即为算术平均数。 公式 设有n个数据x1,x2,....,xn，则 =​ 特点：用到全部数据信息，易受极端值影响。 2. 加权平均数 定义：实际问题中各数据重要程度不同，用权表示数据的重要性，结合权计算得到的平均数叫做加权平均数。 权的形式：整数、比值、百分数。 公式 数据x1,x2,....,xn 对应权f1,f2,..,fn，则:= 特点：权越大，对应数据对结果影响越大，同样易受极端值影响。 补充：算术平均数是加权平均数的特殊形式（所有数据的权相等）。 3.核心区分表格 易错点 权重和不能漏除；权重为比例时，可直接用比例代替总数计算。 4.组中值加权平均数（频数分布表专用） 分组统计无原始数据时，每组中间数值为组中值，本组频数作为权重，计算整组平均数。 步骤：①求每组组中值；②组中值 × 本组频数；③全部相加 ÷ 总频数。 知识点 02 中位数 1. 定义 将一组数据从小到大（或从大到小）有序排列后，位于正中间的数值。 2. 分两类计算规则 3. 核心特点 （1）只和数据中间位置有关，不受极端偏大、偏小值影响； （2）一组数据中位数唯一； （3）反映数据中间水平，适合存在极端值的统计场景（工资、房价）。 知识点 03 众数 1. 定义 一组数据中出现次数最多的数据。 2. 三种情况 只有一个数据出现次数最多：唯一众数； 两个数据出现次数并列最多：两个众数； 所有数据出现次数相同：无众数。 3. 核心特点 （1）反映数据中最普遍、最常见的数值； （2）不唯一，不受极端值影响； （3）多用于销售、尺码、投票类统计（服装尺码、商品销量）。 4. 集中趋势三统计量对比表 知识点 04 极差（波动最简单指标） 1. 定义 一组数据中最大值减去最小值，描述数据波动范围。 2.公式 极差=最大值-最小值 3.特点 （1）计算最简单； （2）仅用到首尾两个数据，无法反映中间数据波动； （3）受极端值影响极大，只能粗略判断波动大小。 知识点05：方差（核心难点，期末必考计算） 1.定义：衡量一组数据偏离平均数的程度，方差越大，波动越大、越不稳定；方差越小，波动越小、越稳定。 2.计算公式 数据x1,x2,.....,xn，平均数为 s2=[(x1−)2+(x2−)2+⋯+(xn−)2] 3.核心规律（必背） 方差s2 越大 → 数据波动大，稳定性差； 方差s2 越小 → 数据波动小，稳定性强。 4.拓展结论（解题提速） 一组数据同时加 / 减同一个数，平均数改变，方差不变； 一组数据同时乘同一个正数，平均数、方差均发生变化。 知识点 06 标准差 1. 定义 方差的算术平方根，单位和原始数据一致（方差单位是平方，无实际意义）。 2.公式 3.作用 方差只能对比大小，标准差带原始单位，可直接描述数据波动幅度。 4.离散程度三指标对比表 知识点 07 统计图表与数据分析结合 1. 条形统计图 读取每组数据频数，可计算平均数、中位数、众数。 2. 折线统计图 观察数据变化趋势，同时可计算波动（方差、极差）判断稳定性。 3. 扇形统计图 仅提供各部分占比，需结合总数量才能求出具体数据，计算加权平均数。 4. 频数分布直方图 用组中值计算整组加权平均数，通过区间判断中位数所在分组。 知识点 08 数据分析实际决策解题步骤 1.审题：明确需求（看平均水平 / 中间水平 / 稳定性）； 2.计算对应统计量（平均数、中位数、众数、方差）； 3.对比数据特征，写出结论： 4.比平均成绩：用平均数； 5.存在极端高分低分：用中位数； 6.选大众偏好尺码：用众数； 7.判断发挥稳定：对比方差，方差小更稳定。 1. 混淆算术平均数与加权平均数 提醒：算术平均数中各数据权重相等；加权平均数各数据权重存在差异，不可直接套用简单平均数公式计算。 2. 求中位数未对数据排序 提醒：计算中位数必须先将全部数据按大小顺序排列，再确定中间数值，不能直接选取原始数据序列中间的数。 3. 众数概念理解错误 提醒：众数是一组数据里出现次数最多的数据；一组数据可以存在多个众数，也可能没有众数。 4. 方差公式计算失误 提醒：方差为各数据与平均数差值的平方的平均数，不可省略平方运算，不能直接用差值求平均值。 5. 颠倒方差与数据波动的关系 提醒：方差衡量数据波动程度，方差越大，数据波动越大；方差越小，数据越稳定，二者逻辑不可颠倒。 6. 平均数、中位数、众数选用场景混淆 提醒：平均数易受极端值影响；中位数不受极端值影响；众数体现数据集中出现的量，需结合数据特点选择统计量。 7. 将样本平均数等同于总体平均数 提醒：样本平均数用于估计总体平均数，二者数值不一定相等，不可直接判定样本平均数等于总体平均数。 8. 统计结果遗漏单位 提醒：求出的平均数、中位数、众数等统计量，作答时需要带上原始数据对应的单位，不可省略。 9. 混淆众数与频数 提醒：众数是数据本身，频数是该数据出现的次数，不能把频数当作众数。 题型 考察方向 难度 题型一 求众数 ★ 题型二 利用众数求未知数据的值 ★★ 题型三 运用众数做决策 ★★ 题型四 求一组数据的平均数 ★ 题型五 已知平均数求未知数据的值 ★★ 题型六 利用已知的平均数求相关数据的平均数 ★ 题型七 利用平均数做决策 ★★ 题型八 求加权平均数 ★★ 题型九 利用加权平均数求未知数据的值 ★★★ 题型十 运用加权平均数做决策 ★★★ 题型十一 求方差 ★★ 题型十二 利用方差求未知数据的值 ★★★ 题型十三 根据方差判断稳定性 ★★ 题型十四 运用方差做决策 ★★★ 题型十五 标准差 ★★ 题型十六 求离差平方和 ★★★ 题型十七 离差平方和的应用 ★★★ 题型十八 样本平均数（方差）估计总体平均数（方差） ★★ 题型十九 求中位数 ★ 题型二十 利用中位数求未知数据的值 ★★ 题型二十一 运用中位数做决策 ★★ 题型二十二 求四分位数与画箱线图 ★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 求众数 1．2026年6月6日迎来第31个全国“爱眼日”，主题为“人人享有眼健康”，在全国“爱眼日”来临之际，某校组织各班围绕“关注普遍的眼健康”开展了手抄报评比，其中八年级个班的得分（单位：分）分别为：、、、、、，则这组数据的众数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据众数的定义判断即可得到答案． 【详解】解：这组数据为、、、、、， 统计各数出现次数：、、各出现次，出现次， 出现的次数最多， 这组数据的众数为． 2．为深入落实“立德树人”的根本任务，坚持德、智、体、美、劳全面发展，某学校积极推进学生综合素质评价改革，某同学在本学期德、智、体、美、劳的评价得分分别为10分，8分，9分，8分，7分，则该同学五项评价得分的众数为__________分． 【答案】8 【详解】解：这组数据中，出现次数最多的数是8，故众数为8分． 3．某校为了解九年级学生对国防知识的掌握情况，组织了一次“心系国防”知识竞赛．赛后，从某个班中随机抽取了12名学生的成绩（单位：分），数据如下：88，85，85，90，88，88，92，85，88，87，95，85．若去掉这组数据中小蓝的分数后，这组数据中的众数会发生改变，则小蓝的分数可能是（     ） A．97分 B．90分 C．88分 D．87分 【答案】C 【分析】先统计原数据各分数的出现次数，确定原众数，再判断去掉各选项分数后众数是否改变． 【详解】解：原个数据中各分数的出现次数为：分出现次，分出现次，分出现次，分出现次，分出现次，分出现次， ∴原数据的众数为分和分， ∵分不在原数据中， ∴小蓝的分数不可能是分，故A选项不符合题意； ∵去掉分或分后，分和分的出现次数仍均为次，众数不变，故B、D选项不符合题意， ∵去掉个分后，分出现次，分仍出现次，众数变为分，发生改变，故C选项符合题意． 题型二 利用众数求未知数据的值 4．已知一组数据3，2，2，2，6，3，，若这组数据的众数只有一个，则的值不可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了众数的知识，理解并掌握众数的定义是解题关键．众数是指一组数据中出现次数或出现频率最多的数值．根据众数的定义分析判断即可． 【详解】解：当的值为2，4，6时，这组数据的众数只有1个，为2； 当的值为3时，这组数据的众数有2个，为2和3； 所以，若这组数据的众数只有一个，则的值不可能是3． 故选：B． 5．已知一组数据6，8，10，x的平均数和众数相等，则x的值为（） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查平均数，众数，掌握相关的概念和计算方法是解题的关键． 通过计算数据的平均数和众数，并令它们相等，求解x的值．众数为出现次数最多的数，需根据x的取值讨论． 【详解】解：数据的平均数为． ∵平均数和众数相等， ∴需使众数等于平均数． 当时，数据为6,8,8,10，众数为8，平均数为，两者相等． 当时，众数为6，平均数为7.5，不相等． 当时，众数为10，平均数为8.5，不相等． 当时，数据无众数或众数不唯一，平均数为9，与任何数都不等． ∴． 故选：B． 6．在我市2024年的一次中学生运动会上，参加男子跳高比赛的有17名运动员，通讯员在将成绩表送组委会时不慎被墨水污染掉一部分（如下表），但他记得这组运动员的成绩的众数是1.75米，表中每个成绩都至少有一名运动员．根据这些信息，可以计算出这17名运动员的平均跳高成绩是_______米（精确到0.01米）． 成绩（单位：米） 1.50 1.60 1.65 1.70 人 数 2 3 2 3 成绩（单位：米） 1.75 1.80 1.85 1.90 人 数 1 1 【答案】 【分析】本题考查了加权平均数的计算方法．根据已有12人的成绩，且这组运动员的成绩的众数是1.75米，表中每个成绩都至少有一名运动员，可知成绩为1.75的有4人，成绩为1.80的有1人，根据这些信息，就可以计算出这17名运动员的平均跳高成绩． 【详解】解：根据分析可知，成绩为1.75的有4人，成绩为1.80的有1人， 所以这17名运动员的平均跳高成绩是米． 故答案为：． 题型三 运用众数做决策 7．某商店销售，，，，这种尺码的上衣．商店经理想通过调查每种上衣的销量来决定多进哪种上衣，则从这5种尺码的上衣销量中，可作为参考依据的是（     ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】C 【分析】根据不同统计量的实际意义，经理需要确定销量最高的尺码来决定进货量． 【详解】解：∵商店经理要决定多进哪种上衣，核心是知道哪种尺码的上衣销量最高，也就是找这组销量数据中对应出现次数最多的情况， 又∵众数的定义是一组数据中出现次数最多的数，符合这一需求； 平均数反映平均销量，中位数反映中间水平，方差反映数据波动程度，都不符合实际需求， ∴应选择众数作为参考依据． 8．为筹备班级毕业晚会，班长对全班同学爱吃哪几种水果做了民意调查，最终买什么水果该由调查数据的________（填“平均数”“中位数”或“众数”）决定． 【答案】众数 【详解】解：∵是为筹备班级毕业晚会准备水果，需要选择大多数同学爱吃的水果， ∴应当由调查数据的众数决定． 9．某校“创客作品展示活动”采用民主投票的方式进行评选，即该校每位同学从名候选人中选择名进行无记名投票，进而从中选出获胜者．根据投票结果判断最终获胜者所需要考虑的统计量是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】C 【分析】本题考查了统计量的选择，解答本题的关键是熟练掌握平均数、中位数、众数、方差的意义． 根据平均数、中位数、众数、方差的意义解答即可． 【详解】解：由题意知，最终获胜者所需要考虑的统计量是众数， 故选：C． 题型四 求一组数据的平均数 10．已知一组数据：，，，，，这组数据的平均数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据算术平均数的定义，用所有数据的和除以数据总个数即可得到结果． 【详解】这组数据共有个，数据总和为， 这组数据的平均数为． 11．为解决路途较远的学生中午在校就餐的问题，市教育局协调了配餐公司为学生供餐．某公司为学生提供甲种套餐每份20元，乙种套餐每份15元．若实验中学有的学生订购了甲种套餐，另外的学生订购了乙种套餐，每名学生仅订购一份．则该校订餐的学生午餐花费的平均数是（     ） A．17.5 B．18 C．18.5 D．19 【答案】D 【分析】本题考查加权平均数的计算，以订购不同套餐的学生占比为权重，计算平均花费即可求解． 【详解】解：设该校订餐学生总人数为， ∵订购甲种套餐的人数为，订购乙种套餐的人数为， ∴总花费为， ∴平均花费为． 12．在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（     ）． A．{7}和{9，12，13，15} B．{7，9}和{12，13，15} C．{7，9，12}和{13，15} D．{7，9，12，13}和{15} 【答案】B 【分析】分别计算每个选项的总组内离差平方和，总离差平方和为两组内各数据与本组平均数差的平方和相加，总离差平方和最小的分组即为正确答案． 【详解】设总组内离差平方和为 ，其中分别为两组的离差平方和，离差平方和为组内每个数减去本组平均数的平方和． 分别计算各选项的：选项A，第一组，，；第二组，，；得； 选项B，第一组，，；第二组，，；得； 选项C，第一组，，；第二组，，；得； 选项D，第一组，，；第二组，；得， ∵，选项B的总组内离差平方和最小． 题型五 已知平均数求未知数据的值 13．一组数据 ， ， ， ， 的平均数为 ，则 的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平均数的基础计算，根据平均数的定义列出关于 的一元一次方程，解方程即可得到结果． 【详解】解：∵ 这组数据共 个，平均数为 ， ∴ 这组数据的总和为 ， 可得方程 ， 化简得 ， 解得 ． 14．已知一组数据1，2，4，5，x的平均数是3.2，则这组数据的众数为______． 【答案】 【分析】先根据平均数的定义求出未知数据的值，再根据众数的定义得到结果． 【详解】解：∵这组数据，，，，的平均数是， ∴， 整理得， 解得， ∴这组数据为，，，，， 其中出现的次数最多， ∴这组数据的众数是． 15．将一组数据从左到右按序排列，第1个数是，第2个数是，从第2个数开始，每个数都是与它相邻的两个数的平均数．这组数据中前10个数的和为__________． 【答案】 【分析】根据题目条件，可依次求出前10个数，再计算求和即可． 【详解】解：设这组数据从左到右依次为， 由题意得，， ∵从第个数开始，每个数都是与它相邻的两个数的平均数， ∴对任意，有，整理得， 依次计算得：， ， ， ， ， ， ， ， 则前10个数的和： ． 题型六 利用已知的平均数求相关数据的平均数 16．已知数据，，的平均数是，则，，的平均数是______． 【答案】 【分析】根据平均数的定义求出原数据的总和，再根据平均数的定义计算新数据的平均数． 【详解】解：数据，，的平均数是 由平均数的定义得 ， ， 则新数据，，的平均数为． 17．已知点都在函数的图象上，若数据，，的平均数为3，方差是2，则另一组数据的平均数是______，方差是______． 【答案】 1 【分析】本题考查了数据的平均数和方差和一次函数的性质的知识，解题的关键是熟知数据变化的规律． 根据数据的变化和其平均数、方差的变化规律即可求解新数据的平均数和方差． 【详解】解：当每一组数据的每一个数据发生变化其平均数也会发生变化， ∵， ∴，，， ∴另一组数据的平均数是数据，，的平均数的2倍并减去5， ∵数据，，的平均数为3， ∴数据的平均数是1， 设这组数据，，的平均数为，则另一组新数据，，的平均数为，方差为 ∵， ∴ ， 故答案为：1；； 18．数学期中测试后，李老师把全班50名同学的成绩输入计算机算平均分，由于不小心，把其中一个“100”输入时多打了一个零，成为“1000”分，却没有及时发现，最后计算机显示该班平均分为95分，那么你认为该班平均分正确的是（     ） A．77分 B．79分 C．81分 D．无法确定 【答案】A 【分析】先计算出错误输入得到的总分，减去多输入的分数得到正确总分，再除以总人数即可得到正确平均分． 【详解】解：∵全班共50名同学，错误计算得到的平均分为95分， ∴错误的总分为（分）， ∵错误输入比正确分数多算了（分）， ∴正确的总分为（分）， ∴正确的平均分为（分）． 题型七 利用平均数做决策 19．智能体育系统记录了四位同学连续三次跳远的情况（如图），跳远平均成绩最接近米的是（     ） A．王洁 B．李名 C．许多 D．丽丽 【答案】C 【分析】根据图形找到三次成绩在米左右波动的同学即可． 【详解】解：由图可知，许多的三次跳远成绩在在米左右波动，平均成绩最接近米，其他三位同学的成绩受到最大值或最小值的影响，平均成绩都离米较远，故选项C符合题意． 20．2022年温州市初中毕业升学考试各学科及满分值情况如下表： 科目 语文 数学 英语 科学 社会 体育 满分值 150 150 120 180 80 40 若以去年三校录取分600分为参考，以此算出平均得分率，则数学这门学科能上三校的平均得分至少是______分． 【答案】 【分析】先计算所有科目的总满分，再根据参考录取总分算出平均得分率，最后用数学满分乘平均得分率得到结果； 【详解】解：先计算所有科目的总满分：， 平均得分率为参考录取总分除以总满分：， 数学满分是， 因此数学能上三校的平均得分至少为：． 21．校田径队需从甲、乙、丙、丁四名运动员中选派一名参加市运动会米比赛．下表是四名运动员最近次米测试成绩的平均数（单位：）和方差． 运动员 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（     ） A．甲运动员 B．乙运动员 C．丙运动员 D．丁运动员 【答案】A 【详解】解：米比赛用时越短成绩越好， 甲、丙的平均成绩均为，小于乙的和丁的， 甲、丙平均成绩更优，排除乙、丁， 方差越小发挥越稳定，且甲的方差小于丙的方差， 甲的发挥更稳定，故应该选择甲运动员． 题型八 求加权平均数 22．某中学举行校园主持人比赛，小静同学的语言表达、临场应变、形象仪态的分数分别是9分，8分，10分，若依次按的比例确定最终成绩，则小静的最终成绩是（     ） A．8.2分 B．8.4分 C．8.6分 D．8.8分 【答案】D 【详解】解：总权重为， 小静的最终成绩为分. 23．某超市销售A，B，C，D四种矿泉水，它们的单价依次是5元、3元、2元、1元．这四种矿泉水某天的销售量如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是_________元． 【答案】2.25 【详解】解：这天销售的矿泉水的平均单价是：（元） 24．实验中学有甲、乙、丙三个班，甲班有m人，乙班有n人，丙班有k人（以上所有参数均为正整数），在一次考试中甲班平均分是a分，乙班平均分是b分，丙班平均分是t分．则甲、乙、丙三个班在这次考试中的总平均分是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出三个班总分数为分，总人数为人，即可求出结论． 【详解】解：∵甲班有人，平均分是分，乙班有人，平均分是分，丙班有人，平均分是分， ∴甲班总分数为分，乙班总分数为分，丙班总分数为分， ∴三个班总分数为分，总人数为人， ∴总平均分为． 题型九 利用加权平均数求未知数据的值 25．某校八（3）班第二小组期中数学测验成绩分布如表所示： 分数 60 70 80 90 人数 1 3 2 该班第二小组这次数学测验成绩平均分是分，则成绩为分的人数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了加权平均数的计算和列方程解决问题的能力，解题的关键是利用加权平均数列出方程．利用加权平均数的计算公式列出方程求解即可． 【详解】解：设成绩为分的人数为，由题意，得 ， 解得． 故选：． 26．一次实验竞赛由笔试、实践操作、结果分析、答辩四项构成，甲、乙两组的各项成绩（十分制）如下表所示． 小组 笔试 实践操作 结果分析 答辩 甲组 9 7 7 9 乙组 7 8 9 m 对笔试、实践操作、结果分析、答辩成绩分别赋权2，4，2，2，计算每组的平均成绩．如果甲、乙两组的平均成绩相同，那么m的值为________． 【答案】7 【分析】先根据加权平均数计算公式求出甲组的加权平均成绩，再根据两组平均成绩相等建立关于的一元一次方程，求解方程即可得到的值． 【详解】解：权重总和：． 甲组的加权平均成绩：， 乙组的加权平均成绩：， 由题意得， 即， 解得． 27．某次射击训练中，一小组的成绩如表所示： 环数 人数 若该小组的平均成绩为环，则成绩为环的人数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了加权平均数的求法，设成绩为环的人数为，则根据平均数的计算公式即可求得的值，熟练掌握加权平均数是解题的关键． 【详解】解：设成绩为环的人数是x，根据题意得： ， 解得：， 则成绩为环的人数是， 故选：． 题型十 运用加权平均数做决策 28．学校广播站准备从甲、乙、丙三位同学中选出一名播音员，从普通话、写作和工作态度三个方面对三位同学进行了初步测试，测试成绩如下表： 甲 乙 丙 普通话 8 7 9 写作 7 9 7 工作态度 5 8 8 如果将普通话、写作和工作态度三项得分分别按照的比例确定各人的最终得分，并以此为依据确定播音员，那么谁是最佳人选（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 【答案】C 【分析】分别求出三人的加权平均数，即可求解． 【详解】解：甲的得分：分； 乙的得分：分； 丙的得分：分； ∵， ∴丙的得分最高， ∴丙是最佳人选． 故选：C 【点睛】本题主要考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的公式是解题的关键． 29．学校广播站要新招1名广播员，小敏、小花两名同学经过选拔进入到复试环节，参加了口语表达、写作能力两项测试，成绩如下表： 项目应试者 口语表达 写作能力 小敏 80 90 小花 90 80 学校规定口语表达按，写作能力按计入总成绩，根据总成绩择优录取．你认为_________将被录取． 【答案】小花 【分析】根据加权平均数的定义分别计算两名同学的总成绩，比较总成绩大小后择优录取． 【详解】解：小敏的总成绩为， 小花的总成绩为， ， 小花将被录取． 30．一家外贸公司打算招聘一名英文笔译员，设置了听、说、读、写共四项英语水平测试及相应的权重比，每项测试的原始分均为100分，如果你是这家公司的人力资源主管，你认为最适合作为选人依据的权重比是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从英文笔译员的岗位能力需求入手，确定读写测试的权重应更高，说的权重应最低，以此筛选选项． 【详解】解：英文笔译员的核心工作为书面翻译，读写能力的重要性高于听说，且说的权重应最低 选项A权重为，写的权重最高，读次之，说的权重最低，符合题意； 选项B权重为，未体现岗位侧重，不符合题意； 选项C权重为，听的权重与读写相同，未突出读写的核心地位，不符合题意； 选项D权重为，说的权重最高，不符合题意． 题型十一 求方差 31．下列4组数据中，方差为0的是（   ） A．B． C．D． 【答案】A 【详解】解：选项A中的5个数据均为4，数据完全相同，方差为0． 选项B、C、D中的数据均不完全相同，存在波动，方差大于0． 32．如果、、的平均数是8、方差是3，那么、、的平均数和方差分别是（     ） A．18、13 B．8、3 C．18、3 D．8、13 【答案】C 【分析】本题考查平均数与方差的计算性质，当一组数据中每个数据同时加上同一个常数时，新数据的平均数等于原平均数加上该常数，方差不变，通过直接计算可验证结果． 【详解】解：∵的平均数为， ∴，可得， 新数据的平均数， ∵原方差， 新数据的方差， 化简得， 因此新数据的平均数为，方差为． 33．已知一组数据，，，，的平均数是4，方差为3， 另一组数据， 的方差为_______． 【答案】12 【分析】根据原数据的平均数和方差，结合方差定义推导新数据的方差，计算得到结果． 【详解】解：设原数据的平均数为，方差为． ∵ 原数据平均数， ∵ 原数据方差， 设新数据的平均数为，方差为． ∵ ， ∴ ， ∴， 把代入， 得，， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 题型十二 利用方差求未知数据的值 34．一组数据方差，则这组数据平均数为______． 【答案】 【分析】根据方差的定义公式，对比题目给出的方差表达式，确定公式中平均数的对应值即可得到结果． 【详解】解：对于个数据，设其平均数为，方差的定义公式为． 将题目给出的方差表达式与方差公式对比，可得这组数据的平均数． 35．为了考察甲、乙两地小麦的长势情况（小麦高度），小江同学在数据分析时分别列出求方差的两个式子：，，则下列表述不一定正确的是（    ） A．甲、乙两地都随机抽取了株小麦并测量其高度 B．若，则甲地小麦长得比较整齐 C．甲、乙两地小麦高度的众数相等 D．甲、乙两地小麦高度的平均值相等 【答案】C 【分析】根据方差公式的结构特征，提取样本容量与平均数信息，结合方差的意义、众数的定义判断各选项． 【详解】解：∵，， ∴甲、乙两组样本容量均为10，平均数均为25， ∴A、D选项表述正确； ∵方差越小，数据波动越小，小麦长势越整齐， ∴若，则甲地小麦长得比较整齐，B选项表述正确； ∵两组数据平均数相等，不能推出众数一定相等，存在平均数相同但众数不同的情况， ∴C选项表述不一定正确． 36．若某一样本的方差为，样本容量为5．则下列说法：①当时，；②该样本的平均数为7；③，的平均数是7；④该样本的方差与，的值无关．其中不正确的是（    ） A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 【答案】D 【分析】先根据方差的定义及其计算公式得出：这组数据为5、7、8、x、y且这组数据的平均数为7，继而知x+y=15，再逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴这组数据为5、7、8、x、y，且这组数据的平均数为7， ∴5+7+8+x+y=35， ∴x+y=15， ①当x=9时，y=6，此说法正确； ②这组数据的平均数为7，故此说法正确； ③x、y的平均数为=7.5，故此说法错误； ④该样本的方差与x，y的值有关，故此说法错误； 故选：D． 【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义和计算公式． 题型十三 根据方差判断稳定性 37．衡南向阳桥香瓜（又称梨瓜）是湘南地区的特色农产品，种植历史超百年．衡南某香瓜种植基地有甲、乙两块试验田，近6年的亩产量（单位：）如下： 甲：4800，5000，5200，5000，4900，5100． 乙：4700，5300，5000，4900，5100，5000． 若要判断哪块田的产量更稳定，应比较两组数据的（     ） A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数 【答案】B 【详解】解：若要判断哪块田的产量更稳定，即需要比较数据的波动大小， ∴应比较两组数据的方差． 38．甲乙两种水稻试验品连续5年的平均单位面积产量如下表：（单位：吨/公顷）经计算，，，试根据这组数据估计两种水稻品种的产量比较稳定的是 _____． 品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 甲 9.8 99 10.1 10 10.2 乙 9.9 10.1 10.2 9.9 99 【答案】乙 【分析】分别求出两组数据的方差，然后进行比较得出答案即可． 【详解】解：， ， ∵， ∴， ∴这两种水稻品种的产量比较稳定的是乙． 39．舟山素有海上花园城市的美誉，城区绿化带景观需园林工人定期修剪养护．如图，园林工人把参差不齐的绿植修剪平整，修剪前后植株高度的平均数与方差均发生改变．下列关于平均数与方差的变化情况描述正确的是（     ） A．平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大 C．平均数变大，方差变小 D．平均数变大，方差变大 【答案】A 【分析】利用平均数和方差的定义进行求解即可． 【详解】解：平均数变化：修剪平整时，会剪掉较高植株高出的部分，整体植株的总高度降低， 因此平均数变小， 方差变化：方差衡量数据的波动（离散程度），修剪后植株高度变得更整齐，高度的波动变小，因此方差变小， 综上，平均数变小，方差变小． 题型十四 运用方差做决策 40．甲、乙、丙、丁四个旅游团的游客人数相等，每个旅游团游客的平均年龄都是30岁，年龄的方差分别是 导游小明喜欢带游客年龄相近的旅游团，则在这四个团中，他应选（     ） A．甲团 B．乙团 C．丙团 D．丁团 【答案】D 【分析】方差越小，数据的波动越小，游客年龄越相近，只需比较四个旅行团年龄方差的大小，找出方差最小的团队即可． 【详解】解：方差表示数据的波动大小，方差越小，数据波动越小，游客年龄越相近. 题目中四个团的年龄方差分别为，，，， ∵， ∴丁团的方差最小，游客年龄最相近， 故选丁团． 41．某校篮球队对名队员进行定点投篮测试，每人投篮次，统计如下表：若教练希望选出“命中数高且发挥稳定”的队员，应选择________． 队员 甲 乙 丙 丁 平均命中数 15 16 16 14 方差 【答案】丙 【分析】需要选出同时满足命中数高和发挥稳定的队员，先筛选平均命中数较高的队员，再比较对应队员的方差，方差越小发挥越稳定，据此得到结果． 【详解】解：从表格可知，四名队员的平均命中数分别为，，，，可得乙和丙的平均命中数高于甲和丁，满足命中数高的要求， 比较乙和丙的方差，乙的方差为，丙的方差为，可得，根据方差的意义，方差越小，数据波动越小，发挥越稳定， 丙满足发挥稳定的要求， 综上，“命中数高且发挥稳定”的队员应选择丙． 42．某校九年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人次跳绳成绩的平均数及方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥较稳定的同学参加比赛，应选择（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题根据平均数和方差的统计意义解题，平均数越大代表平均成绩越好，方差越小代表成绩波动越小，发挥越稳定，先筛选出平均成绩好的同学，再从中选出发挥稳定的同学即可． 【详解】解：∵要选择成绩好且发挥稳定的同学，平均数越大代表平均成绩越好， ∴根据表中数据可得，乙和丁的平均数最大，均为，大于甲和丙的平均数，因此只需从乙和丁中选择， 又∵方差越小代表发挥越稳定，乙的方差为，小于丁的方差， ∴乙满足成绩好且发挥稳定的要求． 题型十五 标准差 43．若一组数据的方差为2，那么这组数据的标准差是（      ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据标准差是方差的算术平方根即可解答． 【详解】解：∵一组数据的方差为2，标准差S是方差的算术平方根， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查方差与标准差定义和计算公式，正确的记忆方差公式是解题关键． 44．超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋，设货架上原有鸡蛋的质量（单位：g）平均数和标准差分别为x，s，该顾客选购的鸡蛋的质量平均数和标准差分别为，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平均数、标准差，标准差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．根据平均数的概念、标准差的性质判断即可． 【详解】解：货架上原有鸡蛋的质量的平均数和该顾客选购的鸡蛋的质量平均数的大小无法比较， 而货架上原有鸡蛋的质量的方差大于该顾客选购的鸡蛋的质量的方差， ∴货架上原有鸡蛋的质量的标准差大于该顾客选购的鸡蛋的质量的标准差， ∴， 故选：D． 45．某工厂对一个小组生产的零件进行调查．在10天中，这个小组出次品的情况如表所示： 每天出次品的个数 0 2 3 4 天数 3 2 4 1 那么在这10天中这个小组每天所出次品数的标准差是_____． 【答案】 【分析】根据所给出的数据求出这组数据的平均数，再根据方差公式求出这组数据的方差，最后根据标准差的定义解答即可． 【详解】解：这组数据的平均数是：， 这组数据的方差是：， 则这10天中这个小组每天所出次品数的标准差是． 题型十六 求离差平方和 46．一组数据：8，6，7，7，7的平均数是7，这组数据的离差平方和是____________． 【答案】 【分析】离差平方和是所有数据与平均数的差的平方的和，分别计算每个差的平方再求和即可． 【详解】解：∵这组数据为，，，，，平均数为7， ∴离差平方和为． 47．已知一组数据66，67，，69，70的方差是2，则这组数据的离差平方和是________． 【答案】10 【分析】根据方差公式，方差等于离差平方和除以数据个数，已知方差和数据个数，可直接计算得结果． 【详解】解：∵这组数据共有个，方差为，方差等于离差平方和除以数据个数， ∴离差平方和． 48．若把数据6，7，8，8，8，8，7，10，9分成6，7，7，8和8，8，8，9，10两组，则它们的组内离差平方和为______． 【答案】 【分析】根据组内离差平方和的定义，分别计算两组的离差平方和，再求和得到结果． 【详解】解：第一组数据为，，，， 计算第一组平均值：， 第一组离差平方和：； 第二组数据为，，，，， 计算第二组平均值：， 第二组离差平方和：； 总组内离差平方和为：． 49．现有一组数据2，8，5，12，若将其分为两组，根据组内离差平方和最小的原则，正确的分组方式是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】根据组内离差平方和的定义，计算各选项两组的离差平方和之和，总和最小的分组即为正确选项. 【详解】解：A.的平均数为，离差平方和为；的平均数为，离差平方和为，总离差平方和为； B.的平均数为，离差平方和为；的平均数为，离差平方和为，总离差平方和为； C.的平均数为，离差平方和为；的离差平方和为，总离差平方和为； D.的离差平方和为；的平均数为，离差平方和为，总离差平方和为， ∵， ∴选项A的总离差平方和最小. 题型十七 离差平方和的应用 50．已知5个数据的离差平方和是5，则这组数据的方差等于_________． 【答案】 【分析】根据方差的定义，方差等于离差平方和除以数据的个数，代入已知条件计算即可得到结果． 【详解】解：∵数据的离差平方和为，且数据共有个， ∴这组数据的方差为． 51．某校游泳队有5名同学准备参加50米自由泳比赛，为了让队员更有效地进行赛前训练，教练计划将他们按50米自由泳最好成绩（单位：秒）的高低分成两组，下表给出了4种分组情况及组内离差平方和，则这5名同学的最合理的分组序号是___________． 序号 第1组 第2组 组内离差平方和 ① 32.5 33.2，34.0，36.5，36.8 9.67 ② 32.5，33.2 34.0，36.5，36.8 4.97 ③ 32.5，33.2，34.0 36.5，36.8 1.17 ④ 32.5，33.2，34.0，36.5 36.8 9.13 【答案】③ 【分析】按成绩高低分组时，组内离差平方和越小，说明组内成绩越接近，分组越合理，对比各组给出的离差平方和即可得到结果． 【详解】解：首先将5名同学的成绩从小到大排序得：， 对比四个分组的组内离差平方和可得：， 分组③的组内离差平方和最小，组内成绩最接近，因此最合理的分组是③． 52．学校种植园中有4盆相同品种的植物，需要按植物的株高分成两组进行培养，使得同组内植物株高尽量接近，将4盆植物的株高从小到大排序后分成两组，共有3种情况，计算它们的组内离差平方和结果如下表所示，则4盆植物的最优分组序号是__________． 序号 分组情况 组内离差平方和 ① 第一组1个，第二组3个 40 ② 第一组2个，第二组2个 88 ③ 第一组3个，第二组1个 16.67 【答案】③ 【分析】根据题意，最优分组要求同组内株高尽量接近，对应组内离差平方和最小，只需比较三组组内离差平方和的大小即可求解． 【详解】解：由题意可知，要使同组内植物株高尽量接近，需选择组内离差平方和最小的分组，， 序号③的组内离差平方和最小，即盆植物的最优分组序号是③． 题型十八 用样本平均数（方差）估计总体平均数（方差） 53．某中学九年级有名学生参加体育中考测试．随机抽取名学生的成绩进行统计，得到平均分为分，方差为．则估计该校九年级全体学生体育测试成绩的总分约为______分． 【答案】 【分析】根据“样本估计总体的思想”可得该校九年级全体学生体育测试的平均成绩约等于样本平均成绩，再根据“总分＝平均成绩×总人数”可得答案． 【详解】解：∵（分）， ∴估计该校九年级全体学生体育测试成绩的总分约为分． 54．《数书九章》中有一个问题：今有田一顷，分为三乡，甲乡田三十亩，乙乡田四十亩，丙乡田三十亩．今从甲乡抽田三亩，验得其中一亩产谷十石；从乙乡抽田四亩，验得其中一亩产谷八石；从丙乡抽田三亩，验得其中一亩产谷九石．问三乡田总产谷多少？其意思是：有一块田，总面积为100亩，分给三个乡，甲乡分田30亩，乙乡分田40亩，丙乡分田30亩．现从甲乡中抽取3亩田，测得平均每亩产谷10石；从乙乡中抽取4亩田，测得平均每亩产谷8石；从丙乡抽取3亩田，测得平均每亩产谷9石．则这100亩田共产谷大约（　　） A．800石 B．890石 C．900石 D．1000石 【答案】B 【分析】本题考查求平均数，利用样本估计总体，求出抽取的10亩田中每亩平均产谷量，再利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【详解】解：抽取的10亩田中每亩平均产谷为（石）， 这100亩田共产谷大约（石）． 故选B． 55．小红帮助母亲预算家庭4月份电费开支情况，下表是小红家4月初连续8天每天早上电表显示的读数： 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 电表显示度数 21 24 28 33 39 42 46 49 若每度电收费0.42元，估计小红家4月份（按30天计）的电费是_________元．（注：电表计数器上先后显示读数之差就是这段时间内消耗电能的度数） 【答案】50.4 【分析】本题考查了用样本估计总体，先计算出这七天一共用电的度数，再算出平均每天用电的度数，从而计算出这个家庭4月份用电度数，最后估计出小红家4月份（按30天计）的电费． 【详解】解：这七天每天用电的度数，4月份用电度数（度）， ∴小红家4月份（按30天计）的电费（元）． 故答案为：50.4． 题型十九 求中位数 56．数据5，4，6，10，7的中位数是____________． 【答案】 【分析】先将数据从小到大排序，数据个数为奇数，中间位置的数就是这组数据的中位数． 【详解】解：将原数据从小到大排列为：，，，，， 这组数据共有个，中位数为排序后位于第个位置的数， 所以这组数据的中位数是． 57．在一次中学田径运动会上，参加男子跳高的名运动员的成绩如下表所示． 成绩/ 人数 则这些运动员成绩的中位数为_______________． 【答案】 【分析】共有个数据，中位数为从小到大排列后的第个数据，累加人数确定第个数据对应的成绩即可． 【详解】解：一共有个数据，将成绩从小到大排列后，中位数是第个数据， ，， 第个数据对应的成绩为． 58．某餐厅共有7名员工，所有员工的工资如表所示： 人员 经理 厨师 会计 服务员 人数 1 2 1 3 工资数 16000 6000 5200 3400 则餐厅所有员工工资的众数，中位数分别是（     ） A．3400，5200 B．5200，3400 C．340，5600 D．5600，3400 【答案】A 【分析】众数是数据中出现次数最多的数，中位数是将数据排序后位置居中的数，据此求解即可 【详解】解：∵工资为的员工有3人，出现次数最多， ∴众数为， 将所有员工工资从小到大排列为：， ∵共有7个数据，个数为奇数，中位数为排序后的第4个数据， ∴中位数为 题型二十 利用中位数求未知数据的值 59．某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图4所示．序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，不可以选择（    ） A．甲、丁 B．甲、戊 C．乙、丁 D．丙、丁 【答案】A 【分析】本题主要考查了用中位数做决策，由图像可知，要使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，则需要选择100克以上的一个盲盒和100克以下的盲盒一个，根据选项即可得出正确的答案． 【详解】解：由图像可知，要使选定7个盲盒质量的中位数仍为100， 则需要从第6号盲盒和第7号盲盒里选择100克以上的一个盲盒和100克以下的盲盒一个， 因此可排除甲、丁； 故选：A． 60．一组数据按从小到大排列：16，25，33，39，43，m，65，70．若这组数据的第三四分位数与第一四分位数的和是85，则m的值为________． 【答案】 【分析】根据四分位数计算规则得到第一四分位数和第三四分位数，再根据两者的和为列方程求解． 【详解】解：方法一：共8个数据，， 因此第一四分位数为第个和第个数据的平均数，为， ， 因此第三四分位数为第个和第个数据的平均数，为， 由题意得， 解得； 方法二：共8个数据， 因此第一四分位数为前半部分的中位数，为， 第三四分位数为后半部分的中位数，为， 由题意得， 解得． 61．某校举办“青春励志”主题演讲比赛，规定每位选手演讲时长不超过5分钟.初赛结束后，随机抽取5名选手，统计编号为号选手的实际演讲时长（单位：分钟）如图所示.为了更全面评估选手水平，组委会决定再抽取2名选手的成绩纳入统计.若7名选手演讲时长的中位数与原来5名选手演讲时长的中位数相等，则新增的2名选手演讲时长可能是（   ） A．2.8分钟，3.7分钟 B．2.0分钟，3.0分钟 C．3.6分钟，4.2分钟 D．4.3分钟，4.5分钟 【答案】A 【分析】首先根据散点图确定原来5名选手演讲时长的中位数范围，然后根据中位数不变的条件，逐个分析各选项． 【详解】解：由图可知，编号为3、4的选手演讲时长均在3.5分钟以下，其中编号2的选手演讲时长为3.5分钟，编号为1、5的选手演讲时长在3.5分钟以上，则原来5名选手演讲时长从小到大排列，第3个数（中位数）等于3.5分钟， 若7名选手演讲时长的中位数与原来5名选手演讲时长的中位数相等，即新中位数仍为， A、，，则新增一个小于3.5的数和一个大于的数，中位数保持为，符合题意； B、，，新增两个数都小于，中位数变小，不符合题意； C、，，新增两个数都大于，中位数变大，不符合题意； D、，，新增两个数都大于，中位数变大，不符合题意． 题型二十一 运用中位数做决策 62．在一次数学测试中，小明成绩120分，超过班级半数同学的成绩，分析得出这个结论所用的统计量是（     ） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差 【答案】A 【分析】如果一组数据有奇数个，那么把这组数据从小到大排列后，排在中间位置的数是这组数据的中位数；如果一组数据有偶数个，那么把这组数据从小到大排列后，排在中间位置的两个数的平均数是这组数据的中位数．根据中位数的意义求解可得． 【详解】解：班级数学成绩排列后，最中间一个分数或最中间两个分数的平均数是这组成绩的中位数， 半数同学的成绩位于中位数或中位数以下， 故小明成绩超过班级半数同学的成绩所用的统计量是中位数． 63．如图为某地区5月和6月的空气质量指数（）箱线图．值越小，空气质量越好，则（     ） A．该地区5月的上四分位数高于6月的上四分位数 B．该地区5月的最大值高于6月的最大值 C．该地区5月变化比6月变化小 D．该地区6月的空气质量好于5月 【答案】C 【分析】读取箱线图中的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数及最大值，对比两个月的相关数据进行判断． 【详解】解：A、5月上四分位数小于6月上四分位数，故A错误； B、5月最大值小于6月最大值，故B错误； C、5月极差为，6月极差为， 且5月四分位距小于6月四分位距， ∴说明5月变化比6月小，故C正确； D、∵值越小空气质量越好，5月的中位数与6月相同，但5月的上四分位数及最大值均小于6月， ∴5月空气质量整体好于6月，故D错误． 64．为了解我市初三女生的体能状况，从某校初三的甲、乙两班中各抽取27名女生进行一分钟跳绳次数测试，测试数据统计结果如右表． 班级 人数 中位数 平均数 甲班 27 104 97 乙班 27 106 96 如果每分钟跳绳次数次的为优秀，那么甲、乙两班的优秀率的关系是_____． 【答案】 【分析】要比较甲、乙两班的优秀率，只要比较一下中位数即可，甲、乙两班的中位数都为第13位同学的成绩，所以，通过比较甲、乙两班的中位数即可比较优秀率． 【详解】解： 从表格中可看出甲班的中位数为104，，乙班的中位数为106，， 即甲班大于105次的人数少于乙班， ∴甲、乙两班的优秀率的关系是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了中位数，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 题型二十二 求四分位数与画箱线图 65．某学校八年级一班和二班各有名男生，他们身高（单位：）的箱线图如图所示，则一班男生身高的第一四分位数________二班男生身高的第一四分位数（填“”“”或“”）；________班（填“一”或“二”）男生的身高相对比较集中． 【答案】 二 【分析】根据箱线图的特征，箱体下边缘对应的数值即为第一四分位数；数据的集中程度可通过极差或四分位距（箱体长度）来判断，范围越小数据越集中． 【详解】解：由箱线图可知，一班男生身高的第一四分位数为，二班男生身高的第一四分位数为， ， 一班男生身高的第一四分位数二班男生身高的第一四分位数； 观察图形可知，二班男生身高的极差（最大值减最小值）和四分位距（第三四分位数减第一四分位数）均小于一班， 二班男生的身高相对比较集中． 66．在某项以至为评价等级的调查问卷中，收集到的个得分数据分别为：，，，，，，，，，，其下四分位数和上四分位数之和是_______________． 【答案】 【分析】先将数据从小到大排序，再根据四分位数计算规则得到下四分位数和上四分位数，计算两者的和即可． 【详解】解：将给定数据从小到大排序，得到：，，，，，，，，，， 方法一： 下四分位数位置，位置不是整数，向上取整得第个数据， 下四分位数为， 上四分位数位置，位置不是整数，向上取整得第个数据， 上四分位数为， 两者之和为； 方法二：下四分位数为，，，，的中位数， 上四分位数为，，，，的中位数， 两者之和为． 67．小明统计了西安和济南近两年7～8月每天的最高温度，将统计结果绘制成箱线图如图所示，则关于此时段内两地的最高温度情况，下列说法正确的是（    ） A．济南每天的最高温度的下四分位数为 B．济南每天的最高温度的中位数小于西安每天的最高温度的中位数 C．西安每天的最高温度都高于济南每天的最高温度 D．西安有超过一半的天数最高温度不低于 【答案】B 【分析】根据箱线图的特征，分别读取西安和济南的最高温度的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值，结合统计量的意义逐一判断选项即可． 【详解】解：由箱线图可知，济南箱体的左边缘对应数值为，即下四分位数为，故A错误； 由箱线图可知，济南箱体内的竖线对应数值为，即中位数为；西安箱体内的竖线对应数值为，即中位数为； ， 济南每天的最高温度的中位数小于西安每天的最高温度的中位数，故B正确； 由箱线图可知，西安的最低温约为，济南的最高温为， 存在济南气温高于西安气温的情况，故C错误； 由箱线图可知，西安的中位数为，上四分位数为， 西安约有的天数最高温度不低于，未超过一半，故D错误． 解答题 1．将20名同学随机分成两组，每组10人，学习50个英语生词．第一组采用集中学习的方法学习，第二组分三天学习，每天学习．一周后测试，每个人能准确掌握的单词数量如下表： 第一组掌握的单词数量/个 45 46 40 48 38 42 40 37 44 40 第二组掌握的单词数量/个 46 48 42 50 42 44 45 44 45 44 (1)分别计算两组每个人掌握单词数量的平均数和方差． (2)请从不同角度分析这两种学习方式的效果． 【答案】(1) 第一组掌握单词数量的平均数为个，方差为；第二组掌握单词数量的平均数为个，方差为 (2) ①从平均掌握水平看，第二组平均掌握单词数更多，分散学习的整体效果更好； ②从掌握情况的稳定性看，第二组方差更小，学生间的掌握水平差距更小，学习效果更稳定 【分析】（1）根据算术平均数与方差的定义，代入两组数据分别计算即可； （2）结合平均数、方差的统计意义，从平均水平和波动程度两个角度对比分析两种学习方式的效果． 【详解】（1）解：设第一组数据的平均数为，方差为；第二组数据的平均数为，方差为 第一组数据：， ∴（个）， ； 第二组数据：， ∴ （个）， ； （2）解：① 平均数反映一组数据的平均水平， ∵ ， ∴ 分散学习的整体掌握效果优于集中学习 ②方差反映一组数据的波动大小，方差越小，数据越稳定， ∵， ∴分散学习的学生单词掌握情况更稳定，个体间差距更小． 2．情绪机器人是能够与人类互动提供情绪价值的一种迷你机器人，某公司生产甲，乙两款情绪机器人，技术部门对两款机器人样品各进行了6轮情绪测试（满分10分）． 甲款情绪机器人样品的测试结果为3，4，4，6，4，9． 两款情绪机器人样品的测试结果数据分析如下： 款式 平均数 中位数 众数 方差 甲 a 4 b c 乙 5 5 5 0.3 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：_______，_______． (2)计算c的值，并从平均数和方差角度分析哪款情绪机器人的表现更优秀． 【答案】(1)5，4 (2)， 从平均数来看，二者平均数结果相同，差异不大，但从方差来看，甲款情绪机器人明显大于乙款情绪机器人，而方差越小表明数据点集中在平均值附近，波动小，表现越稳定， 综合以上情况而言，乙款情绪机器人的表现更优秀． 【分析】（1）根据平均数和众数的定义即可求解； （2）先利用方差公式求出c的值，再结合平均数和方差的定义进行判断即可． 【详解】（1）解：甲款情绪机器人的平均数为， 甲款情绪机器人的6轮测试结果中，4出现了3次，次数最多，则众数． （2）略 3．为推选一名同学参加学校演讲比赛，班里组织了一次选拔赛，由教师组成评委，对甲、乙、丙三名候选人分别就演讲内容、语言表达能力和感染力三方面打分．评委打分（满分10分）的结果如下表： 测试项目 演讲内容 语言表达能力 感染力 甲的成绩/分 9.0 8.6 8.0 乙的成绩/分 8.0 9.2 8.2 丙的成绩/分 9.4 8.8 7.5 (1)如果按三项得分的算术平均数大小确定优胜者，那么谁是优胜者？ (2)如果将三项得分按演讲内容、语言表达能力、感染力分别占的比例计算平均分，依平均分的高低确定优胜者，那么谁是优胜者？（可借助计算器计算） (3)如果认为语言表达能力最重要，那么请你给三项得分分配适当的权重，并确定优胜者． 【答案】(1)丙是优胜者； (2)乙是优胜者； (3)示例：分配演讲内容、语言表达能力、感染力的权重为，此时乙是优胜者． 【分析】（1）分别计算出三名候选人三项打分的算术平均数，比较后即可得到答案； （2）分别计算出三名候选人三项打分的加权平均数，比较后即可得到答案； （3）根据题意给三项得分分配适当的权重，计算出三名候选人三项打分的加权平均数，比较后即可得到答案． 【详解】（1）解：甲的成绩的算术平均数（分）， 乙的成绩的算术平均数（分）， 丙的成绩的算术平均数（分）， ∵， ∴如果按三项得分的算术平均数大小确定优胜者，那么丙是优胜者； （2）解：甲的成绩的平均分为：（分）； 乙的成绩的平均分为：（分）； 丙的成绩的平均分为：（分）； ∵， ∴乙是优胜者； （3）解：示例：分配演讲内容、语言表达能力、感染力的权重为， 甲的成绩的平均分为：（分）； 乙的成绩的平均分为：（分）； 丙的成绩的平均分为：（分）； ∵， ∴乙是优胜者． 4．泉州闽超联赛赛前体能测试，对、两名本土前锋进行1分钟折返冲刺跑动距离测试（单位：米），相同场地与热身条件下，每人测试5次，数据统计如下表： 前锋 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 平均数 众数 95 90 95 85 100 95 90 90 95 95 93 (1)表格中___________，___________，___________； (2)求球员1分钟跑动距离的方差； (3)已知B球员该项数据方差为6，结合平均数、方差，判断哪位球员的冲刺发挥更稳定，说明理由． 【答案】(1)，， (2)26 (3)因为，，，， 所以，， 所以B球员的冲刺发挥更稳定． 【分析】（1）根据平均数、众数和方差的定义进行解答即可； （2）根据方差的定义进行解答即可； （3）结合平均数、方差进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意可得， ∵的平均数为93， ∴， 解得． ∴B的数据中出现次数最多的是，共出现3次，故众数； （2）解：球员1分钟跑动距离的方差； （3）略 5．某市全民健身活动中心调查了10名超重或肥胖人员的身体质量指数（单位：），数据如下： 26    28    39    30    36    30    28    32    38    37 请按照组内离差平方和最小的原则，将上面的身体质量指数分成两组，以便制订两种不同的健身方案． 【答案】 第一组：26，28，28，30，30，32；第二组：36，37，38，39（单位：）． 【分析】先排序数据，结合相邻数据差确定候选分组，再通过计算组内离差平方和验证得到最优分组． 【详解】解： 将10个数据从小到大排序：26，28，28，30，30，32，36，37，38，39，要使两组组内离差平方和总和最小，需每组内部数据尽可能接近， 计算相邻数据的差： ，，，，，，，，， 其中32与36的差最大，初步确定在此处分组，即前6个为第一组，后4个为第二组， 计算该分组的组内离差平方和： 第一组平均数， 离差平方和为； 第二组平均数， 离差平方和为， 总离差平方和为， 验证相邻分组的总离差平方和： 前5个为一组、后5个为一组时，总离差平方和为40.4，大于27， 前7个为一组、后3个为一组时，总离差平方和为66，大于27， 因此该分组的总离差平方和最小，符合要求， 综上所述，分组结果为第一组26，28，28，30，30，32，第二组36，37，38，39． 6．某校兴趣小组在科学实践活动中，在学校的甲、乙两块试验田中各随机抽取了16棵西红柿植株，并统计了每棵植株上西红柿的个数，将其数据整理如下（单位：个）： 甲试验田：28，29，34，36，37，39，41，46，48，50，53，54，55，55，63，64； 乙试验田：38，42，44，45，47，48，50，51，53，54，55，60，60，61，62，62． (1)请分别求出甲、乙两块试验田中16棵植株上西红柿个数的第一四分位数、中位数、第三四分位数； (2)根据（1）中的数据结果标注在如图所示的箱线图中． 【答案】(1)甲试验田16棵植株上西红柿个数的第一四分位数是36.5个，中位数是47个，第三四分位数是个；乙试验田16棵植株上西红柿个数的第一四分位数是46个，中位数是52个，第三四分位数是60个 (2) 【详解】（1）解：甲数据中第8个和第9个数据分别为，故中位数为， 四分位数的两种求法： 法一：前8个数据中，第4个和第5个数据分别为，故第一四分位数为， 后8个数据中，第4个和第5个数据分别为，故第三四分位数为； 法二：，为整数，故第一四分位数为第4个和第5个数据的平均数为， ，为整数，故第三四分位数为第12个和第13个数据的平均数为； 乙数据中第8个和第9个数据分别为，故中位数为， 四分位数的两种求法： 法一：前8个数据中，第4个和第5个数据分别为，故第一四分位数为， 后8个数据中，第4个和第5个数据分别为，故第三四分位数为； 法二：，为整数，故第一四分位数为第4个和第5个数据的平均数为， ，为整数，故第三四分位数为第12个和第13个数据的平均数为； （2）略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $