第12讲 一次函数的图像（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年北师大版八年级数学上册

简一数理 初中专题讲义 第12讲 一次函数的图像 （新教材北师大版） 知识点一．一次函数的图象 2 知识点二．一次函数的性质 2 知识点三．一次函数图象与系数的关系 2 知识点四．一次函数图象上点的坐标特征 3 知识点五．一次函数图象与几何变换 3 【题型1 正比例函数的图像】 3 【题型2 正比例函数的性质】 6 【题型3 判断一次函数的图像】 9 【题型4 根据一次函数解析式判断经过的象限】 11 【题型5 已知函数经过的象限求参数范围】 12 【题型6 一次函数的图像与坐标轴的交点问题】 15 【题型7 用描点法画函数图像】 17 【题型8 一次函数图像平移问题】 20 【题型9 一次函数图像与对称问题】 22 【题型10 判断一次函数的增减性】 24 【题型11 根据一次函数增减性求参数】 25 【题型12 根据一次函数增减性判断自变量变化情况】 27 【题型13 比较一次函数值的大小】 30 【题型14 一次函数的规律探究问题】 31 【题型15 画一次函数图像】 34 【探究式学习】 38 【课后检测】 42 【复盘笔记】 55 知识点一．一次函数的图象 （1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b． 注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． （2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到． 当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移． 注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然； ②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减； ③两条直线相交，其交点都适合这两条直线． 知识点二．一次函数的性质 一次函数的性质： k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 知识点三．一次函数图象与系数的关系 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． ①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限； ②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限； ③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限； ④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限． 知识点四．一次函数图象上点的坐标特征 一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）． 直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b． 知识点五．一次函数图象与几何变换 直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数） ①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b； （关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数） ②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b； （关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数） ③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b． （关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数） 【题型1 正比例函数的图像】 【例1】（八年级下·山东德州·阶段检测）已知一次函数与（m，n为常数，且），则它们在同一平面直角坐标系内的图象可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据这两个函数图象的性质判断出哪一条直线表示一次函数，哪一条直线表示正比例函数； 再根据各个选项中一次函数和正比例函数的图象判断两个函数的系数m、n范围是否相符合，由此即可解题； 【详解】解：根据正比例函数图象的性质可知，该函数图象经过原点，即经过原点的直线代表正比例函数，另一条直线代表一次函数， A、由正比例函数的图象可知，由一次函数的图象可知，，，故，两结论相矛盾，故本选项错误； B、由正比例函数的图象可知，由一次函数的图象可知，，，故，两结论相矛盾，故本选项错误； C、由正比例函数的图象可知，由一次函数的图象可知，，，故，两结论相矛盾，故本选项错误； D、由正比例函数的图象可知，由一次函数的图象可知，，，故，两结论一致，故本选项正确． 【变式1-1】在同一平面直角坐标系中，函数和（）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了一次函数和正比例函数的图象，熟记一次函数的性质是解题的关键．分别根据函数和经过的象限判断中k的符号和中k的符号是否一致，符号一致则正确，符号不一致则不正确． 【详解】解：A、由的图像过二、四象限可知，由的图像过二、三、四象限可知，，则 ，故本选项不符合题意； B、由的图像过一、三象限可知，由的图像过一、二、四象限可知，，则 ，故本选项不符合题意； C、由的图像过二、四象限可知，由的图像过一、三、四象限可知，，则 ，故本选项不符合题意； D、由的图像过一、三象限可知，由的图像过一、三、四象限可知，，则 ，故本选项符合题意． 【变式1-2】在同一平面直角坐标系中，正比例函数和一次函数（为常数，且）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由正比例函数图象过原点得到各选项中的正比例函数图象，进而由图象性质得出的符号，再由的符号验证一次函数图象是否正确即可． 【详解】解：A、由正比例函数图象过原点可知，选项中过原点的图象对应的， 对于一次函数，，即该函数图象从左到右看是上升的、且与轴交于正半轴上，则选项中函数的图象符合要求； B、由正比例函数图象过原点可知，选项中过原点的图象对应的， 对于一次函数，，即该函数图象从左到右看是下降的、且与轴交于负半轴上，则选项中函数的图象不符合要求； C、由正比例函数图象过原点可知，选项中过原点的图象对应的， 对于一次函数，，即该函数图象从左到右看是下降的、且与轴交于负半轴上，则选项中函数的图象不符合要求； D、由正比例函数图象过原点可知，选项中过原点的图象对应的， 对于一次函数，，即该函数图象从左到右看是上升的、且与轴交于正半轴上，则选项中函数的图象不符合要求． 【变式1-3】在平面直角坐标系中，函数的图象经过第一、三象限，则函数的图象大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正比例函数的图象经过第一、三象限判断出的符号，再根据一次函数的图象性质判断即可． 【详解】解：正比例函数的图象经过第一、三象限， ， ， 对于一次函数，，， 该函数图象经过第一、二、四象限，且与轴交于正半轴，观察选项，只有A选项符合． 【题型2 正比例函数的性质】 【例2】（26-27九年级上·陕西榆林·开学考试）正比例函数和一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正比例函数图象所在的象限判定k的符号，根据的符号来判定一次函数图象所经过的象限及直线与y轴交点作判断即可． 【详解】解：A、由图得：，而中，与y轴交于正半轴，则，矛盾，故本选项不符合题意； B、由图得：，而中，，则，与y轴交于负半轴，则，一致，故本选项符合题意； C、由图得：，而中，与y轴交于负半轴，则，矛盾，故本选项不符合题意； D、正比例函数图象必过原点，而图中直线均不过原点，故本选项不符合题意． 【变式2-1】在平面直角坐标系中，将一次函数（为常数，且）的图象向左平移个单位长度后，得到一个正比例函数的图象，则下列各点在一次函数的图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据一次函数平移规律得到平移后的解析式，结合正比例函数的特征求出k的值，再代入各点判断是否在函数图象上． 【详解】解：将的图象向左平移2个单位长度，得到的函数解析式为，即， ∵平移后得到一个正比例函数的图象， ∴， 解得， ∴原一次函数解析式为； 当时，，A选项不符合题意； 当时，，B选项符合题意； 当时，，C选项不符合题意； 当时，，D选项不符合题意． 【变式2-2】已知正比例函数的函数值y随x的增大而减小，据此信息判断：一次函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正比例函数的性质得到，可得，然后根据一次函数的性质可得答案. 【详解】解：∵正比例函数的函数值y随x的增大而减小， ∴， ∴， ∴一次函数的图象过第一、二、三象限. 【变式2-3】已知正比例函数的图象经过点，若点是轴上一动点，点，则当取最小值时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据正比例函数解析式求出点坐标，再利用轴对称转化线段，通过求一次函数解析式得到直线与轴的交点，即为所求点． 【详解】解：点在正比例函数的图象上， 将代入得，即， 作点关于轴的对称点，根据轴对称性质得，且， 连接，交轴于点，此时，由两点之间线段最短可知此时最小， 设直线的解析式为，将，代入得 ， 解得， 因此直线的解析式为， 点在轴上，横坐标为，将代入解析式得， 点的坐标为． 【题型3 判断一次函数的图像】 【例3】（八年级上·全国·期末）已知函数的图象如图，则的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一次函数的图象和性质判断即可． 【详解】由函数的图象，可得，， 对于一次函数， 一次项系数， 图象经过第一、三象限 ， 常数项， 图象与轴交于负半轴 一次函数的图象经过一、三、四象限， 只有选项C图象符合题意． 【变式3-1】已知点在第二象限，则一次函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点在第二象限，得，的符号，然后根据，的符号即可确定一次函数的图象经过的象限，从而确定大致图象． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴，， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限， 故选：D． 【变式3-2】若直线经过第一、二、四象限，则函数的大致图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据直线经过第一、二、四象限，求出，再判断函数经过的象限即可． 【详解】解：直线经过第一、二、四象限，如图所示： ，即， 则函数的图象经过第一、二、三象限，其大致图象如下： B选项图象满足题意． 【变式3-3】已知为第一象限内的点，则一次函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由点在第一象限，可得 ，对于一次函数的一次项系数，，根据图象的性质判断即可． 【详解】解：∵点在第一象限， ∴ ， ∴一次项系数 ∴随增大而减小，排除掉选项， ∵常数项， ∴直线与轴交于正半轴，C选项交轴负半轴，不符合，只有D满足条件． 【题型4 根据一次函数解析式判断经过的象限】 【例4】（25-26八年级下·陕西汉中·期末）在平面直角坐标系中，将直线沿轴向上平移个单位长度得到直线，则直线不经过（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】先由“上加下减”的平移规律求出平移后的解析式，再根据一次函数的性质即可判断． 【详解】解：将直线沿轴向上平移个单位，得直线的解析式为，即， ∵，， ∴直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 【变式4-1】对于一次函数，下列结论错误的是（     ） A．随的增大而减小 B．函数的图象与轴交于点 C．当时， D．直线经过第一、二、四象限 【答案】C 【分析】由一次项系数确定函数增减性，结合特殊点坐标验证各选项正误． 【详解】解：A、∵一次项系数，∴随的增大而减小，结论正确，不符合题意； B、当时，，∴函数图象与轴交于点，结论正确，不符合题意； C、当时，，∵随的增大而减小，∴当时，，结论错误，符合题意； D、∵一次项系数，常数项，∴直线经过第一、二、四象限，结论正确，不符合题意． 【变式4-2】对于一次函数，下列结论正确的是（     ） A．图象经过第二、三、四象限 B．图象与轴交于正半轴 C．它是由正比例函数向下平移1个单位长度得到 D．图象过点，，若，则 【答案】C 【分析】根据一次函数图象的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、对于一次函数，，， ，， 图象经过第一、三、四象限， 故该选项错误，不符合题意； B、， 图象与轴交于负半轴， 故该选项错误，不符合题意； C、将正比例函数向下平移1个单位长度，得到， 故该选项正确，符合题意； D、， 随的增大而增大， 若，则， 故该选项错误，不符合题意． 【变式4-3】对于一次函数，下列结论正确的是（     ） A．当时， B．图象与轴交于正半轴 C．图象经过第一、二、四象限 D．图象过点，，若，则 【答案】A 【分析】从一次函数的、符号出发，结合图象性质与不等式求解判断各选项． 【详解】解：对于一次函数，，； A选项：令，得，解得，即当时，，结论正确； B选项：令，得，图象与轴交于负半轴，结论错误； C选项：∵，， ∴图象经过第二、三、四象限，结论错误； D选项：∵， ∴若，则，结论错误． 【题型5 已知函数经过的象限求参数范围】 【例5】（24-25八年级下·四川南充·期中）已知直线经过第一、二、四象限，且点和都在该直线上，则下列说法错误的是（     ） A． B． C． D．随的增大而减小 【答案】A 【分析】根据直线经过第一、二、四象限得到，，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵直线经过第一、二、四象限． ∴，，随的增大而减小，故D正确． ∵，． ∴，故B正确． ∴，故C正确． ∴． ∵随的增大而减小． ∴，故A错误． 【变式5-1】如图所示是一次函数的图象，则一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数的图象得到，，进而可判断一次函数的图象． 【详解】解：由图象可得，一次函数的图象过第一、三、四象限， ∴，， ∴， ∴一次函数的图象过第二、三、四象限，故D选项符合题意． 【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，当时，一次函数的图象可能经过的点是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】根据一次函数中、的符号确定图象经过的象限及增减性，结合图象上各点的位置进行判断． 【详解】解：一次函数中，， 图象与轴交于点， ， 随的增大而减小，图象经过第二、三、四象限， 当时，；当时，， 由图象得，点在第一象限，故A选项不符合题意； 点在第四象限，且纵坐标大于，故D选项不符合题意； 点在第三象限，且纵坐标小于，故C选项不符合题意； 点在第二象限，且纵坐标大于，故B选项符合题意． 【变式5-3】直线和直线在同一平面直角坐标系内，其图象的位置可能是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据函数经过的象限，判断出的取值范围，再进行判断即可． 【详解】选项A，如图 在中，，在中，，前后矛盾，故A不符合题意； 选项B，如图 在中，，在中，，前后矛盾，故B不符合题意； 选项C，如图 在中，，在中，，前后矛盾，故C不符合题意； 选项D，如图 在中，，在中，，故D符合题意． 【题型6 一次函数的图像与坐标轴的交点问题】 【例6】（25-26八年级下·北京丰台·期末）一次函数的图象经过点，，是一次函数图象上的两点，且，则下列结论一定成立的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】由得一次函数的增减性，结合图象过点的条件，根据判断各选项． 【详解】解：∵， ∴随的增大而增大， ∵ 函数图象过点， ∴ 当时，； 当时，； ∵， ∴若，则，，B成立； 若，可大于，，A不成立； 若，则，，C不成立； 若，可大于，，D不成立． 【变式6-1】函数的图象与的图象交x轴于同一点，那么（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用轴上点的纵坐标为0，结合两函数与轴交点横坐标相等列等式求解． 【详解】解：在中，令，则，解得， 在中，令，则，解得， ∵两函数图象交轴于同一点， ∴， 整理得， ∴． 【变式6-2】一次函数与的图象交于x轴上同一点，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】x轴上所有点的纵坐标为0，先分别求出两个一次函数与x轴交点的横坐标，由于交点是同一点，因此横坐标相等，整理变形即可得到的值． 【详解】解：∵两个一次函数的图象交于x轴上同一点，交点在x轴上， ∴交点纵坐标， 分别令两个函数的，求解横坐标： 对于，令，得，解得， 对于，令，得，解得， ∵两个交点是同一点，横坐标相等， ∴， 整理得． 【变式6-3】关于一次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．y随x的增大而增大 B．经过一、二、三象限 C．与x轴的交点坐标为 D．可由函数的图象向下平移4个单位得到 【答案】C 【分析】结合一次函数的系数特征、与轴交点求法及图象平移规律判断各选项． 【详解】解：A选项，∵，∴随的增大而减小，故A错误． B选项，∵，，∴函数图象经过第一、二、四象限，故B错误． C选项，令，则，解得，∴函数与轴的交点坐标为，故C正确． D选项，将的图象向下平移4个单位，得到的函数解析式为，故D错误． 【题型7 用描点法画函数图像】 【例7】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段检测）在数学函数图象的操作课上，小红利用网格画板研究函数的图象，请你根据函数学习的经验，结合解析式的结构，小红得到的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象的分析，正确分析解析式，得出函数图象的情况是解题的关键． 根据，得到当且时，，函数图象在轴下方，当时，，函数图象在轴上方，即可得到答案． 【详解】解：函数， 当且时，，函数图象在轴下方， 当时，，函数图象在轴上方， 小红得到的图象是 故选：A． 【变式7-1】风寒效应是一种因刮风所引起的使体感温度较实际气温低的现象，科学家提出用风寒温度描述刮风时的体感温度，并通过大量实验找出了风寒温度和风速的关系．下表中列出了当气温为时，风寒温度T（）和风速（）的几组对应值，那么当气温为时，风寒温度T与风速v的函数关系最可能是（   ） 风速v（单位：） 0 10 20 30 40 风寒温度T（单位：） 5 3 1 A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查函数的表示方法，以及画函数图象，掌握相关知识是解题关键．利用描点法画出图象并判断即可解题． 【详解】解：由表格描点得下图： 根据图象可知，风寒温度与风速的函数关系最可能是一次函数， 故选：B． 【变式7-2】如图，在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后汽缸内气体的体积V和气体对汽缸壁所产生的压强p．根据下表中的数据规律进行探求，当汽缸内气体的体积压缩到70ml时，压力表读出的压强值最接近（    ） 体积V 压强 100 60 90 67 80 75 70 60 100 A．80kPa B．85kPa C．90kPa D．100kPa 【答案】B 【分析】根据表格信息可知，随着体积V的减小，压强P会增大，而且根据数值可以发现，体积越小，压强增大的幅度越大． 【详解】根据表格信息可知，压强随着体积的减小在增大，且体积值越小，增加的压强越多， 体积从90降到80时，压强增加了8kpa；体积从80降到60时，压强增加了25kPa，则体积从80降到70时，压强应该增加值在8到12.5之间；所以a的值接近于85kpa， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了统计表格数据分析信息的处理、估算等相关知识，观察数值变化规律和趋势并合理运用估算是解决问题的关键． 【变式7-3】变量的一些对应值如下表： … … … … 根据表格中的数据规律，当时，的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据表格描点，连线，发现函数图像的特征，列出函数的解析式，利用函数解析式求函数值即可． 【详解】解：根据表格数据画出图象如图： 由图象可知，函数的解析式为， 把x＝﹣5代入得，． 故选择：B． 【点睛】本题考查分段函数，读懂表格信息，会利用图像求函数的解析式，会利用解析式求函数值是解题关键． 【题型8 一次函数图像平移问题】 【例8】（25-26八年级下·黑龙江鸡西·期末）将直线向下平移个单位长度后得到的直线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数上下平移“上加下减”的规律求解． 【详解】解：将直线向下平移个单位长度后得到的直线的解析式为． 【变式8-1】关于一次函数，下列说法正确的是（     ） A．随的增大而增大 B．图象经过点 C．图象与直线平行 D．图象经过第一、二、四象限 【答案】C 【详解】解：已知一次函数为，可得，； 对A选项：∵，∴随的增大而减小，A错误； 对B选项：将代入解析式，得，∴图象不经过点，B错误； 对C选项：∵一次函数与的一次项系数相等，常数项不相等，∴两直线平行，C正确； 对D选项：∵，，∴图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限，D错误. 【变式8-2】在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向左平移个单位长度，使其与一次函数的图象关于轴对称，则的值为（     ） A．4 B．3 C．2 D．-4 【答案】A 【分析】先根据一次函数左右平移规律“左加右减”得到平移后的函数解析式，再利用关于y轴对称的函数的性质求出关于y轴对称的解析式，对比系数即可求出的值． 【详解】解：将正比例函数的图象向左平移个单位长度，可得平移后的解析式为． ∵平移后的函数图象与的图象关于轴对称， 关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等， 因此将中的替换为， 即可得到其关于轴对称的解析式． ∴平移后的解析式与为同一个函数， 可得， ∴． 【变式8-3】关于一次函数，下列结论正确的是（     ） A．图象过点 B．图象经过一、二、三象限 C．若点，在该函数图象上，且，则 D．其图象可由的图象向上平移3个单位长度得到 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，以及一次函数图象的平移规律，根据相关知识点逐一判断每个选项即可． 【详解】解：对于一次函数， 选项A：当时，，图象不过点，A错误； 选项B：， 图象经过一、二、四象限，不经过第三象限，B错误； 选项C：，随的增大而减小，若，则，C错误； 选项D：根据一次函数平移规则，的图象向上平移3个单位长度得到的图象，D正确． 【题型9 一次函数图像与对称问题】 【例9】（2026·陕西渭南·二模）在平面直角坐标系中，已知直线与直线（a、b为常数，）关于x轴对称，则的值为（     ） A． B．6 C． D．8 【答案】B 【分析】利用点关于x轴对称的坐标特征，求出系数、的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵点关于x轴对称的点坐标为，直线与关于x轴对称， ∴将原直线的替换为即可得到对称直线的方程，即，整理得， ∴，， ∴． 【变式9-1】一个正比例函数的图象经过点和点，若点与点关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据对称关系求出和的值，再用待定系数法求解正比例函数解析式即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴关于原点对称的点横纵坐标均互为相反数， 可得，， 即， ∴点的坐标为， 设正比例函数表达式为， 将代入得， 解得， ∴这个正比例函数的表达式为． 【变式9-2】一次函数（为常数，且）的图象关于轴对称后的图象经过点，则的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】利用关于y轴对称的点的坐标变化规律，找到原函数图象上对应的点，代入解析式即可求解k的值． 【详解】解：∵点关于轴对称的点为，对称后的图象经过点， ∴原函数图象上对应点的坐标为， 将代入，得， 解得． 【变式9-3】在平面直角坐标系中，若直线与直线关于轴对称，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据关于x轴对称的性质求出k和b的值，再判断函数图象不经过的象限即可． 【详解】解：∵直线与直线关于轴对称， 根据轴对称性质，点关于轴对称的点为，因此将替换为即可得到原直线关于x轴对称的直线方程， ∴关于轴对称的直线为，整理得， 该直线与是同一直线，对应系数相等， ∴， 解得，， ∴所求一次函数为， ∵，， ∴该函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 【题型10 判断一次函数的增减性】 【例10】（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）若点和点在函数（m为任意实数）的图象上，则，的大小关系为（     ） A． B． C． D．不能比较 【答案】C 【分析】根据一次项系数的符号确定函数增减性即可． 【详解】解：∵对任意实数m，， ∴， ∴函数中y随x的增大而增大， ∵， ∴． 【变式10-1】对于函数，下列结论正确的是（     ）． A．它的图象必经过点 B．它的图象必经过第一、二、三象限 C．当时， D．的值随值的增大而增大 【答案】C 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质和图象与系数的关系，逐项判断即可． 【详解】解：A选项：当时，，∴图象不经过点，选项A错误； B选项：∵，，∴函数图象经过第二、三、四象限，选项B错误； C选项：∵，∴，∴，即当时，，选项C正确； D选项：∵，∴的值随值的增大而减小，选项D错误． 【变式10-2】函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（     ） A．当时， B．图象与轴的交点坐标为 C．当时，随的增大而增大 D．函数的最小值为0 【答案】C 【分析】将绝对值函数拆分为分段函数分析增减区间，代入自变量求值，结合图象最低点判断函数最值，令求解与轴交点． 【详解】解：A、将代入， ，此选项说法正确，不符合题意； B、令，则，解得，图象与轴交点为，此选项说法正确，不符合题意； C、，当时，随增大而减小，并非时随增大而增大，此选项说法错误，符合题意； D、由绝对值非负可知，函数最小值为，此选项说法正确，不符合题意． 【变式10-3】已知是直线上的三个点，当时，的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】先根据已知条件判断的正负，再根据横坐标的大小比较纵坐标的大小． 【详解】解：三个点横坐标分别为，满足，且已知， 对于直线，随的增大而减小， 可得． 又三个点横坐标大小关系为，且时随增大而减小， ． 【题型11 根据一次函数增减性求参数】 【例11】已知函数（k为常数），若从中任取整数k值，则得到的函数中具有性质“y随x增大而增大”的一次函数的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据一次函数的增减性得到，结合已知，满足的的值为，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：∵函数中随增大而增大， ∴，解得， ∵，为整数， ∴的取值为，共7种等可能结果，其中满足的值为，共3种， ∴所求概率． 【变式11-1】已知一次函数，当x增大时，y随之减小，且，则其图像经过的象限是（     ） A．过一、二、四象限 B．过一、三、四象限 C．过二、三、四象限 D．过一、二、三象限 【答案】A 【分析】先根据一次函数的增减性得到，结合已知得到，进而可得答案． 【详解】解：∵一次函数中，当增大时减小， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴一次函数图像经过第二、四象限， ∵， ∴一次函数图像与轴交于正半轴，经过第一象限， ∴ 一次函数图像经过一、二、四象限． 【变式11-2】已知一次函数的图象经过点，且随的增大而增大，若点在该函数图象上，则点的坐标可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将点与每个选项对比，符合随的增大而增大即为答案． 【详解】解：对于选项A：∵，且， ∴不符合随的增大而增大，故A错误； 对于选项B：∵，且， ∴不符合随的增大而增大，故B错误； 对于选项C：∵，且， ∴不符合随的增大而增大，故C错误； 对于选项D：∵，且， ∴符合随的增大而增大，故D正确． 【变式11-3】已知一次函数的图象如图所示，那么的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图象看出：随的增大而减小，由此可以确定，然后即可法求出的取值范围． 【详解】解：观察图象可得，随的增大而减小， 则有，即． 【题型12 根据一次函数增减性判断自变量变化情况】 【例12】（25-26八年级下·山东潍坊·期末）已知关于的一次函数和的图象如图所示，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D．点，是直线上不重合的两点，则 【答案】D 【详解】的图象从左到右上升，则；与轴交点在正半轴，则． 的图象从左到右下降，则；与轴交点在负半轴，则． 对于A，，，，选项A正确，不符合题意； 对于B，当时，，，此时的图象在的上方，即， ，选项B正确，不符合题意； 对于C，已知两条直线的交点横坐标是， 当时，，即， ， ，选项C正确，不符合题意； 对于D，， 随的增大而减小， 若，则，此时，，则， 若，则，此时，，则， ，选项D错误，符合题意． 【变式12-1】已知点、、是一次函数图象上的三点，则在、、中最大的数是（     ） A． B． C． D．以上均有可能 【答案】A 【分析】先根据一次函数的比例系数判断函数增减性，再根据三点纵坐标的大小比较横坐标的大小即可． 【详解】∵一次函数 中，比例系数 ， ∴随的增大而减小，即纵坐标越小，对应的横坐标越大， 比较三点的纵坐标可得：， ∴对应横坐标的大小关系为：， ∴是三个数中最大的数． 【变式12-2】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，是轴上一点，直线的函数表达式为（、为常数，且），当的值随着值的增大而增大时，点的坐标可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数表达式为，当y的值随着x值的增大而增大，得出直线一定经过第一、三象限，根据，是轴上一点，得出点Q一定在x轴负半轴上，从而得出答案． 【详解】解：∵直线的函数表达式为，当y的值随着x值的增大而增大， ∴该函数图象一定经过一、三象限，即直线一定经过一、三象限， ∵，Q是x轴上一点， ∴Q一定在x轴负半轴上， ∴只有符合，故A正确． 【变式12-3】一次函数的图象如图所示，则下列说法：①；②若点与都在直线上，则；③函数图象不经过第四象限．其中正确的说法是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【详解】解：图象经过第一、二、三象限， ，， ，故①③正确； ②由图象知，y随x增大而增大．点与都在直线上， ， ∴，故②错误； 综上，正确的说法是①③． 【题型13 比较一次函数值的大小】 【例13】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）若点、都在一次函数（，为常数，）的图象上，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一次函数中得出随的增大而增大，由此性质即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴一次函数中随的增大而增大， ∵点，在函数图象上，， ∴． 【变式13-1】已知一次函数的图象经过点，若，则下列一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据给定不等式判断一次函数的增减性，得到斜率的符号，再结合一次函数的性质，判断与的大小关系，排除错误选项得到结果． 【详解】解：∵， ∴与异号， ∴，说明一次函数中，随的增大而减小， ∵题目未给出和的大小关系， ∴ 无法确定与的大小，所以A、B都不一定正确； ∵， ∴， ∵一次函数，当时，，且随增大而减小， ∴当时，， ∵点的横坐标为， ∴． 【变式13-2】已知关于的一次函数，下面结论正确的是（     ） A．该函数图象与轴的交点在轴的负半轴上； B．当时，该函数图象不经过第三象限； C．当时，若点和在该函数图象上，则； D．时，该函数的图象经过点． 【答案】D 【分析】根据一次函数的图象与性质判断即可． 【详解】解：A选项：令，得，即函数图象与轴交点为，在轴正半轴，故A错误; B选项：∵时，，函数图象经过第一、二、三象限，经过第三象限，故B错误； C选项：当时，一次函数随的增大而减小， ， ，故C错误； D选项：当时，函数为，将代入得， 函数图象经过点，故D正确． 【变式13-3】对于一次函数，下列说法正确的是（     ） A．函数图象经过点 B．函数图象交轴于负半轴 C．函数图象不经过第二象限 D．若点和点在函数图象上，则 【答案】D 【分析】根据一次函数解析式的系数，结合点坐标代入法逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A：将代入，得，∴函数图象不经过，A错误； 选项B：令，得，解得，则直线与轴交于点，在轴的正半轴，B错误； 选项C：∵一次函数中，，，∴函数图象经过第一、二、四象限，经过第二象限，C错误； 选项D：∵，∴随的增大而减小，又∵，点，在函数图象上，∴，D正确． 【题型14 一次函数的规律探究问题】 【例14】（2026·山东临沂·模拟预测）若存在一非零常数T，对于定义域内的任意x，使恒成立，则叫作周期函数，T叫作这个函数的一个周期．现在已知一个周期为2的周期函数在时的解析式为，则（   ） A．2024 B．4048 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数，解题的关键是理解题意；由题意易得当时，则，当时，则，当时，则，然后根据周期函数的性质可知恒成立，进而根据周期函数可进行求解． 【详解】解：∵在时，函数的解析式为， ∴当时，则，当时，则，当时，则， ∵该函数的周期为2， ∴对于任意整数x，恒成立， ∴，， ， ， ∵到2024一共有4049个数， ∴； 故选A． 【变式14-1】小明同学在研究某一次函数的图象时，发现表中有一对对应值计算有误，则错误的那一对对应值的坐标是     x … 1 2 … y … 12 10 4 1 … A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据x的值每增加1，y的值相应的减少3；即点不符合该规律，即可解答． 【详解】解：由表发现， x的值从到，x的值增加1，y的值减少2； x的值从到1，x的值增加2，y的值减少6，即x的值增加1，y的值减少3； x的值从1到2，x的值增加1，y的值减少3； ∴x的值每增加1，y的值相应的减少3； 即点不符合该规律． 故选A． 【变式14-2】正方形、，…按如图所示的方式放置．点、、…和点、、…分别在直线和轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标的特征，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，能够找出坐标的变化规律是解题的关键． 分别求出、、、、，探究坐标的变化规律，进而得出的坐标，做出选择即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ，是等腰直角三角形， 同理可得：，，都是等腰直角三角形， 于是：，，，， ， ． 故选：． 【变式14-3】如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点依次进行下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的图象以及规律型中点的坐标，根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点等的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“，，，（为自然数）”，依此规律结合即可找出点的坐标． 【详解】解：当时，， 所以点的坐标为． 当时，， 所以点的坐标为． 同理可得，，，，，，， 所以，，，（为自然数）． 因为， 所以点的坐标为，即． 故选：C． 【题型15 画一次函数图像】 【例15】在平面直角坐标系中，与的函数关系如图所示，图象与轴有三个交点，分别为，，．给出下面四个结论：①当时，；②当时，随的增大而增大；③若点在此函数图象上，则符合要求的点有三个；④将函数图象向右平移1个或3个单位长度，经过原点．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①②④ B．②④ C．②③④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查了函数的图象性质，熟悉掌握函数的图象性质是解题的关键． 根据函数的图象性质结合图象逐一判断即可． 【详解】解：由图象可得：当时，或，故①错误； 由图象可得：当时，随的增大而增大，故②正确 ∵， ∴点在一次函数上，如图： ∴则符合要求的点有三个，故③正确； ∵图象与轴有三个交点，分别为，，， ∴将函数图象向右平移1个或3个单位长度，经过原点，故④正确； 综上，正确的有②③④； 故选：C． 【变式15-1】如图，点，，是平面直角坐标系中第一象限内的三个点，画出经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到函数表达式为，和，当时，一次函数的图象应为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象，作直线、、，求出当时，，，，画出直线，由函数图象并结合即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图，作直线、、， 当时，，，， ∵， ∴如图，画出直线，结合图象可得，一次函数的图象应为直线， 故选：C． 【变式15-2】观察函数的图象，下列结论正确的是（   ） A．随的增大而增大 B．当时，取得最大值0 C．直线与该函数图象有3个交点 D．当时，函数的最大值与最小值的差为 【答案】C 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，一次函数的性质，正确读懂函数图象是解题的关键．根据函数图象即可判断选项A、B、D；然后同一直角坐标系中画出的图象即可判断选项C． 【详解】解：由函数图象可知，当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小，故选项A错误； 由函数图象可知，该函数没有最大值，故选项B错误； 在坐标系中画出的图象，如下∶ 由函数图像可知， 直线与该函数图象有3个交点，故选项C正确； 当时， ； 当时， ； 当时，； 当时， ； 由函数图像可知时，函数的最小值为，最大值为0， ∴时，函数的最大值与最小值的差为，故选项D错误， 故选：C． 【变式15-3】在函数的学习中，认识了函数图象的画法，并能结合图象研究函数的性质．已知函数，分析得到了下列4个结论： ①它的图象由直线向下平移2个单位所得． ②y随着x的增大而增大． ③当时，y随着x的增大而减小． ④函数有最小值． 其中正确的是（    ） A．①④ B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象性质以及应用，根据当时，则；当，则，作图，运用数形结合思想得出的图象是分段函数，判断①，当时，y随着x的增大而减小．当时，y随着x的增大而增大，判断②③，结合图象，即可判断④，进行作答． 【详解】解： 当时，则； 当时，则； 如图： ∴的图象是分段函数，不是由直线向下平移2个单位所得． 故①是错误的； 结合图象，当时，y随着x的增大而减小． 当时，y随着x的增大而增大． 故②是错误的， 故③是正确的； 结合图象，函数有最小值． 故④是正确的； 故选：D． 【探究式学习】 1．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）探究函数的图象和性质． (1)补全列表： 0 1 2 3 4 5 4 2 1 0 1 3 (2)描点，并用平滑的曲线连接这些点； (3)任意写一条该函数的性质． 【答案】(1)； (2) (3)图象关于直线对称；当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大．（答案不唯一） 【分析】（1）将和代入求解即可； （2）按表格描点，连线即可； （3）观察函数图象即得答案． 【详解】（1）解：当时，；当时，； （2）略 （3）略 2．（25-26七年级下·山东临沂·期末）综合与探究 七年级下册教材中我们曾探究了二元一次方程的解与其图象上点的坐标关系． 【观察与发现】 我们知道，任何一个二元一次方程在一般情况下有无数个解， 如， 当时，；当时，；当时，； 当时，；当时，… 将上面各组值列表： … … … … 将以上每组对应值中的值作为一个点的横坐标，的值作为这个点的纵坐标，在平面直角坐标系内描出各点，然后，用一条平滑的线将这些点连起来如图所示． 观察：这些点在一条直线上，我们称直线是二元一次方程的图象． 发现：方程的每一个解看作一个点的坐标，这些点都在直线上．反过来直线上每一个点的坐标都是方程的解． 【应用与探究】 (1)画方程的图象时，只需要取两个点就可以画出直线来，原理是：__________． (2)判断点，，，在方程的图象上的是__________；并在图中画出方程的图象； (3)观察图象：方程的图象与方程的图象交点为__________，则方程组的解为__________． (4)【拓展与延伸】如图，该同学在同一个平面直角坐标系中画出了直线和，发现这两条直线相交于点．那么不等式的解集是__________． 【答案】(1)两点确定一条直线 (2)点，； (3)， (4) 【分析】（1）二元一次方程的图象是直线，依据几何基本事实两点确定一条直线，只需找出直线上两个点描点连线，就能画出完整图象． （2）判断点是否在直线上，将各点横坐标代入解析式计算y，若计算出的y与点纵坐标相等，则该点在图象上，筛选出符合条件的点，再取两点作图． （3）两个一次函数图象交点的横、纵坐标，就是对应二元一次方程组的解，联立方程求出交点坐标，直接得到方程组的解． （4）不等式对应图象上直线位于下方的部分，结合两直线交点，确定满足位置关系的x取值范围． 【详解】（1）解：画方程的图象时，只需要取两个点就可以画出直线来，原理是：两点确定一条直线； （2）解：当时，，，所以点不在图象上． 当时，，，所以点在图象上． 当时，，，所以点不在图象上． 当时，，，所以点在图象上． 综上，在图象上的是点，． 作图：略 （3）解：观察图象，两条直线的交点为， 所以方程组的解为． （4）解：从图象看是下降直线，是上升直线，两直线交于． 不等式的几何含义：直线在直线下方时的取值． 从图象看：交点右侧，的图象更低，即． 【课后检测】 1．（26-27九年级上·湖南·阶段检测）一次函数的图象不经过（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】解：∵一次函数中，，， ∴函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限． 2．（2026·江苏镇江·中考真题）已知点，在一次函数的图像上．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将代入， 得， 将代入， 得， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 即， ∴ ． 3．（25-26八年级下·河北张家口·期末）已知，均在直线上，则，的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据一次函数的性质，当时随的增大而减小判断即可． 【详解】解：直线中，， 随的增大而减小． ，均在直线上，且， ． 4．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）对于函数，下列结论正确的是（     ） A．它的图象必经过点 B．它的图象经过第二、四象限 C．当时， D．y的值随x值的增大而增大 【答案】D 【分析】先由一次项系数符号判断函数增减性，再结合常数项符号、代入点坐标的方法验证其余选项． 【详解】解：函数解析式为，其中，， 选项A，将代入解析式，得， ∴图象经过点，不经过，选项不符合题意； 选项B，∵，， ∴函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，选项不符合题意； 选项C，∵， ∴y的值随x值的增大而增大，且时， ∴当时，，选项不符合题意； 选项D，∵， ∴的值随值的增大而增大，选项符合题意． 5．（25-26八年级下·内蒙古赤峰·期末）下列关于一次函数的图像信息正确的是（     ） A．与直线平行 B．图像过原点 C．图像过二、三、四象限 D．与轴相交于点 【答案】A 【分析】利用一次函数的图像性质逐个判断选项：两个一次函数若k相同、b不同则互相平行；代入看y是否为0，判断是否过原点；根据，，确定直线经过一、二、三象限；令解方程求出与x轴交点横坐标，选出正确选项即可． 【详解】解：对于一次函数，得，， 直线与的值相等，值不相等， 两直线平行，A正确； 把代入，得，故图像不过原点，B错误； ，， 函数图像经过一、二、三象限，C错误； 令，得，解得，故函数与轴交于点，D错误． 6．（八年级下·河南郑州·开学考试）函数的图象与函数的图象交于x轴上一点，那么的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用轴上点的纵坐标为0的性质，先分别求出两个函数与轴交点的横坐标，再根据交点为同一点得到横坐标相等，整理即可求出的值． 【详解】解：当时，解得， 当时，解得 ∵两个函数图象交于轴上同一点， ∴， ∴． 7．（八年级·江苏徐州·专题练习）已知点，在直线的图象上，当时，，且，则在平面直角坐标系中，它的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图象与性质．根据随的变化情况判断的符号，再结合判断的符号，从而确定直线经过的象限． 【详解】解：点，在直线上，当时，， ∴随的增大而增大， ， ， ， 直线经过第一、二、三象限，观察选项，只有A选项符合． 8．（25-26八年级下·吉林·期末）如图，若函数图象上任意两点，均满足，下列四个函数图象中所有正确的函数图象的序号是（     ） A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 【答案】B 【分析】根据不等式判断出函数的增减性，再结合各函数图象的性质进行判断即可． 【详解】解：， 与同号， 即当时，， 当时，， ∴函数图象上随的增大而增大． 由图①可知，随的增大而减小，故不符合题意； 由图②可知，随的增大而增大，故②符合题意； 由图③可知，当时，随的增大而减小，故③不符合题意； 由图④可知，在图象所示范围内，随的增大而增大，故④符合题意； 综上所述，正确的函数图象序号是②④． 9．（25-26八年级下·湖南郴州·期末）下列关于一次函数的图像信息正确的是（     ） A．图像过二、三、四象限 B．图像过原点 C．与轴相交于点 D．与轴相交于点 【答案】D 【分析】根据和的取值判断函数图像经过的象限，再分别验证函数过定点和与坐标轴交点的情况，即可选出正确选项． 【详解】解：对于一次函数，可得，， ∵ ，， ∴ 函数图像经过一、二、四象限，故A错误； 把代入函数得，因此图像不经过原点，故B错误； 求函数与轴交点，令，得， ∴ 函数与轴交于点，故C错误； 求函数与轴交点，令，得 ，解得， ∴ 函数与轴交于点 ，故D正确． 10．（25-26八年级下·山东济宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：和直线：相交于原点．点是直线上一点，过点作轴的平行线交直线于点；过点作轴的平行线交直线于点．按照这个规律继续操作，依次得到，，．则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得、、，，，然后归纳规律，最后运用规律求解即可． 【详解】解：∵点是直线上一点，过点作轴的平行线交直线于点， ∴设，则，解得：，即； 设，则， 即； 设，则，解得：，即； 设，则，即； 设，则，解得：，即； …… ∴，， ∵， ∴，即． 11．（26-27九年级上·黑龙江大庆·开学考试）写出一个函数表达式，当时，随的增大而增大，这个函数表达式可以是__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意当时，随增大而增大的要求，选择初中常见函数类型，确定参数即可得到符合要求的函数，答案不唯一． 【详解】解：选择一次函数进行构造，设函数表达式为，其中， ∵ 时，随的增大而增大， ∴ 一次项系数满足， ∴当，，即可得到符合条件的函数表达式， 本题答案不唯一，，等均满足题意． 12．（26-27九年级上·黑龙江大庆·开学考试）一次函数的图像与x轴的交点坐标是______． 【答案】 【分析】轴上所有点的纵坐标为，令一次函数中，求解即可得到交点坐标． 【详解】解：∵一次函数图像与轴交点的纵坐标为， ∴令，代入， 得， 解得， ∴一次函数的图像与轴的交点坐标是． 13．（26-27九年级上·黑龙江绥化·开学考试）若函数上存在两点，，若，则______． 【答案】 【分析】根据一次函数的增减性，结合即可比较和的大小． 【详解】解：∵点 、在一次函数上，且函数的比例系数， ∴ 随的增大而减小； 又∵ ， ∴ ． 14．（26-27九年级上·黑龙江绥化·开学考试）直线不经过的象限是_______． 【答案】第三象限 【分析】根据一次函数中系数和常数项的符号，可判断直线经过的象限，从而确定图像不经过的象限． 【详解】解：∵，即，， ∴ ，． ∴直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 15．（江苏扬州·模拟预测）直线向下平移2个单位，再向左平移1个单位得到直线______． 【答案】 【分析】利用一次函数平移规律：上加下减常数项，左加右减自变量，逐步计算即可得到平移后的直线解析式． 【详解】解：原直线解析式为 ， 将直线向下平移个单位，根据平移规律，常数项减，得：， 再向左平移个单位，根据平移规律，将替换为，得： 展开整理得： ∴平移后得到的直线为 ． 16．（26-27八年级下·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系中，画出和的图象． 【答案】 【分析】一次函数的图象是直线，只需找出每个函数图象经过的两个点，利用两点法即可画出对应图象，符合初中一次函数图象的画法要求． 【详解】解 对于函数，当时，，得到点；当时，，得到点．在平面直角坐标系中描出这两个点，过两点画直线，即为的图象． 对于函数，当时，，得到点；当时，代入解得，得到点．在平面直角坐标系中描出这两个点，过两点画直线，即为的图象． 17．（26-27八年级下·全国·课后作业）判断下列函数中，y的值随x的值的增大而变化的情况． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)y的值随x的值的增大而减小； (2)y的值随x的值的增大而增大； (3)y的值随x的值的增大而减小； (4)y的值随x的值的增大而增大． 【分析】对于一次函数（、为常数，且），当时，y的值随x的值的增大而增大；当时，y的值随x的值的增大而减小． 【详解】（1）解：对于一次函数，，y的值随x的值的增大而减小； （2）解：对于一次函数，，y的值随x的值的增大而增大； （3）解：对于一次函数，，y的值随x的值的增大而减小； （4）解：对于一次函数，，y的值随x的值的增大而增大． 18．（26-27八年级下·全国·课后作业）把二元一次方程改写成一次函数的形式，并画出这个一次函数的图象． 【答案】，图象如下即为所求： 【分析】本题先对原二元一次方程去括号、移项，整理得到一次函数的形式，画一次函数图象时，只需找出图象与坐标轴的两个交点，描点后连接两点即可得到所求图象． 【详解】解：原方程为， 去括号得：， 移项整理得：， ∵当时，， ∴一次函数图象过点， ∵当时，， 解得， ∴一次函数图象过点， 先在平面直角坐标系中描出点和点，再过这两点画一条直线，即可得到该一次函数的图象． 19．（26-27八年级下·全国·课后作业）在某超市中，西红柿的标价是6元/千克．购买西红柿，应付费y元． (1)写出y与x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围． (2)请画出这个函数的图象． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意得，y与x之间的函数关系式为； （2）解：列表 x …… 0 1 2 …… y …… 0 3 6 12 …… 然后在坐标系中描出点，再连线即可． 20．（26-27九年级上·北京西城·开学考试）不同香料香气的强烈程度（简称香气强度）随时间呈现不同的变化规律，调香师利用这些规律调制出各具特色的香水．某小组计划利用函数研究甲、乙、丙三种香料的香气强度变化情况，将等质量的三种香料分别放置在相同条件的外部环境中，设实验过程中，香料放置时间为时，甲、乙、丙香料的香气强度分别为，，，记录部分实验数据如下： 0 20 40 60 80 100 120 … 5 2.03 1.07 0.53 0.27 0.09 0.06 … 3 2.03 1.44 1.05 0.76 0.54 0.38 … 1 0.94 0.88 0.82 0.76 0.70 0.64 … (1)在平面直角坐标系中，函数的图象如图所示，请画出函数，的图象； (2)根据函数图象，当放置时，甲香料的香气强度约为________，丙香料的香气强度约为________；（结果均保留两位小数） (3)查阅文献可知，用多种香料调制成的香水，多数人可以识别出当前时刻香气强度最大的香料，而对其他香料的香气感受不明显，称可以识别出的香料在当前时刻起主要作用．用等质量的甲、乙、丙三种香料共同调制为一款香水放置，忽略香料互相之间的影响，结合函数图象，解决问题： ①当放置时，该时刻起主要作用的香料为________（填“甲”“乙”或“丙”）； ②若总共放置时间为，则起主要作用时间最长的香料为________（填“甲”“乙”或“丙”），该香料起主要作用的时长为________． 【答案】(1)如图所示，即为函数，的图象 (2) (3)①丙；②乙，60 【分析】（1）描点，连线，画出函数图象即可； （2）直接根据图象作答即可； （3）①②根据图象直接作答即可． 【详解】（1）略 （2）解：由图可知： 当放置时，甲香料的香气强度约为；丙香料的香气强度约为； （3）解：①由图象可知，当放置时，该时刻起主要作用的香料为丙； ②由图象可知，当时，； 时，甲最大，时长为； 时，； 时，乙最大，时长为； 时，丙最大，时长为， ∴总共放置时间为，则起主要作用时间最长的香料是乙，该香料起主要作用的时长为． 21．（25-26八年级下·北京朝阳·期末）小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全下面的过程． (1)函数的自变量x的取值范围是________； (2)下表是y与x的几组对应值： x … 1 2 3 4 … y … 2 a … 求a的值； (3)如图，在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； (4)小明结合该函数图象，解决了以下问题： ①已知，是函数图象上的两点，若对于，都有，则m的取值范围为________； ②过点作平行于x轴的直线l，若直线l与函数的图象有三个交点，则n的取值范围为________． 【答案】(1) (2) (3) (4)① ② 【分析】（1）根据分式分母不为0计算即可 （2）将代入函数即可计算a的值； （3）根据表格描点，连线即可画出该函数的图象； （4）①观察函数图象，结合题目要求即可得m的取值范围； ②作出直线，结合函数图象和题目条件即可得n的取值范围． 【详解】（1）略 （2）解：当时，； （3）略 （4）解：①由函数图象得，当时，随增大而减小， 符合当时，， ； ②直线如图所示， 由图得，当时，直线l与函数的图象有两个交点，不符合题意； 由图得，当时，直线l与函数的图象有三个交点． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 55 页 第 1 页 共 55 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 第12讲 一次函数的图像 （新教材北师大版） 知识点一．一次函数的图象 2 知识点二．一次函数的性质 2 知识点三．一次函数图象与系数的关系 2 知识点四．一次函数图象上点的坐标特征 3 知识点五．一次函数图象与几何变换 3 【题型1 正比例函数的图像】 3 【题型2 正比例函数的性质】 4 【题型3 判断一次函数的图像】 6 【题型4 根据一次函数解析式判断经过的象限】 6 【题型5 已知函数经过的象限求参数范围】 7 【题型6 一次函数的图像与坐标轴的交点问题】 8 【题型7 用描点法画函数图像】 9 【题型8 一次函数图像平移问题】 10 【题型9 一次函数图像与对称问题】 11 【题型10 判断一次函数的增减性】 11 【题型11 根据一次函数增减性求参数】 12 【题型12 根据一次函数增减性判断自变量变化情况】 12 【题型13 比较一次函数值的大小】 13 【题型14 一次函数的规律探究问题】 14 【题型15 画一次函数图像】 15 【探究式学习】 17 【课后检测】 20 【复盘笔记】 25 知识点一．一次函数的图象 （1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b． 注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． （2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到． 当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移． 注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然； ②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减； ③两条直线相交，其交点都适合这两条直线． 知识点二．一次函数的性质 一次函数的性质： k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 知识点三．一次函数图象与系数的关系 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． ①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限； ②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限； ③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限； ④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限． 知识点四．一次函数图象上点的坐标特征 一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）． 直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b． 知识点五．一次函数图象与几何变换 直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数） ①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b； （关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数） ②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b； （关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数） ③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b． （关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数） 【题型1 正比例函数的图像】 【例1】（八年级下·山东德州·阶段检测）已知一次函数与（m，n为常数，且），则它们在同一平面直角坐标系内的图象可能为（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】在同一平面直角坐标系中，函数和（）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】在同一平面直角坐标系中，正比例函数和一次函数（为常数，且）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】在平面直角坐标系中，函数的图象经过第一、三象限，则函数的图象大致为（     ） A． B． C． D． 【题型2 正比例函数的性质】 【例2】（26-27九年级上·陕西榆林·开学考试）正比例函数和一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】在平面直角坐标系中，将一次函数（为常数，且）的图象向左平移个单位长度后，得到一个正比例函数的图象，则下列各点在一次函数的图象上的是（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知正比例函数的函数值y随x的增大而减小，据此信息判断：一次函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知正比例函数的图象经过点，若点是轴上一动点，点，则当取最小值时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【题型3 判断一次函数的图像】 【例3】（八年级上·全国·期末）已知函数的图象如图，则的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知点在第二象限，则一次函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】若直线经过第一、二、四象限，则函数的大致图象是（     ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知为第一象限内的点，则一次函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【题型4 根据一次函数解析式判断经过的象限】 【例4】（25-26八年级下·陕西汉中·期末）在平面直角坐标系中，将直线沿轴向上平移个单位长度得到直线，则直线不经过（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式4-1】对于一次函数，下列结论错误的是（     ） A．随的增大而减小 B．函数的图象与轴交于点 C．当时， D．直线经过第一、二、四象限 【变式4-2】对于一次函数，下列结论正确的是（     ） A．图象经过第二、三、四象限 B．图象与轴交于正半轴 C．它是由正比例函数向下平移1个单位长度得到 D．图象过点，，若，则 【变式4-3】对于一次函数，下列结论正确的是（     ） A．当时， B．图象与轴交于正半轴 C．图象经过第一、二、四象限 D．图象过点，，若，则 【题型5 已知函数经过的象限求参数范围】 【例5】（24-25八年级下·四川南充·期中）已知直线经过第一、二、四象限，且点和都在该直线上，则下列说法错误的是（     ） A． B． C． D．随的增大而减小 【变式5-1】如图所示是一次函数的图象，则一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，当时，一次函数的图象可能经过的点是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式5-3】直线和直线在同一平面直角坐标系内，其图象的位置可能是（） A． B． C． D． 【题型6 一次函数的图像与坐标轴的交点问题】 【例6】（25-26八年级下·北京丰台·期末）一次函数的图象经过点，，是一次函数图象上的两点，且，则下列结论一定成立的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式6-1】函数的图象与的图象交x轴于同一点，那么（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】一次函数与的图象交于x轴上同一点，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】关于一次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．y随x的增大而增大 B．经过一、二、三象限 C．与x轴的交点坐标为 D．可由函数的图象向下平移4个单位得到 【题型7 用描点法画函数图像】 【例7】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段检测）在数学函数图象的操作课上，小红利用网格画板研究函数的图象，请你根据函数学习的经验，结合解析式的结构，小红得到的图象是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】风寒效应是一种因刮风所引起的使体感温度较实际气温低的现象，科学家提出用风寒温度描述刮风时的体感温度，并通过大量实验找出了风寒温度和风速的关系．下表中列出了当气温为时，风寒温度T（）和风速（）的几组对应值，那么当气温为时，风寒温度T与风速v的函数关系最可能是（   ） 风速v（单位：） 0 10 20 30 40 风寒温度T（单位：） 5 3 1 A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．无法确定 【变式7-2】如图，在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后汽缸内气体的体积V和气体对汽缸壁所产生的压强p．根据下表中的数据规律进行探求，当汽缸内气体的体积压缩到70ml时，压力表读出的压强值最接近（    ） 体积V 压强 100 60 90 67 80 75 70 60 100 A．80kPa B．85kPa C．90kPa D．100kPa 【变式7-3】变量的一些对应值如下表： … … … … 根据表格中的数据规律，当时，的值是（    ） A． B． C． D． 【题型8 一次函数图像平移问题】 【例8】（25-26八年级下·黑龙江鸡西·期末）将直线向下平移个单位长度后得到的直线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【变式8-1】关于一次函数，下列说法正确的是（     ） A．随的增大而增大 B．图象经过点 C．图象与直线平行 D．图象经过第一、二、四象限 【变式8-2】在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向左平移个单位长度，使其与一次函数的图象关于轴对称，则的值为（     ） A．4 B．3 C．2 D．-4 【变式8-3】关于一次函数，下列结论正确的是（     ） A．图象过点 B．图象经过一、二、三象限 C．若点，在该函数图象上，且，则 D．其图象可由的图象向上平移3个单位长度得到 【题型9 一次函数图像与对称问题】 【例9】（2026·陕西渭南·二模）在平面直角坐标系中，已知直线与直线（a、b为常数，）关于x轴对称，则的值为（     ） A． B．6 C． D．8 【变式9-1】一个正比例函数的图象经过点和点，若点与点关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】一次函数（为常数，且）的图象关于轴对称后的图象经过点，则的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 【变式9-3】在平面直角坐标系中，若直线与直线关于轴对称，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【题型10 判断一次函数的增减性】 【例10】（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）若点和点在函数（m为任意实数）的图象上，则，的大小关系为（     ） A． B． C． D．不能比较 【变式10-1】对于函数，下列结论正确的是（     ）． A．它的图象必经过点 B．它的图象必经过第一、二、三象限 C．当时， D．的值随值的增大而增大 【变式10-2】函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（     ） A．当时， B．图象与轴的交点坐标为 C．当时，随的增大而增大 D．函数的最小值为0 【变式10-3】已知是直线上的三个点，当时，的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【题型11 根据一次函数增减性求参数】 【例11】已知函数（k为常数），若从中任取整数k值，则得到的函数中具有性质“y随x增大而增大”的一次函数的概率为（     ） A． B． C． D． 【变式11-1】已知一次函数，当x增大时，y随之减小，且，则其图像经过的象限是（     ） A．过一、二、四象限 B．过一、三、四象限 C．过二、三、四象限 D．过一、二、三象限 【变式11-2】已知一次函数的图象经过点，且随的增大而增大，若点在该函数图象上，则点的坐标可以是（     ） A． B． C． D． 【变式11-3】已知一次函数的图象如图所示，那么的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【题型12 根据一次函数增减性判断自变量变化情况】 【例12】（25-26八年级下·山东潍坊·期末）已知关于的一次函数和的图象如图所示，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D．点，是直线上不重合的两点，则 【变式12-1】已知点、、是一次函数图象上的三点，则在、、中最大的数是（     ） A． B． C． D．以上均有可能 【变式12-2】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，是轴上一点，直线的函数表达式为（、为常数，且），当的值随着值的增大而增大时，点的坐标可以是（     ） A． B． C． D． 【变式12-3】一次函数的图象如图所示，则下列说法：①；②若点与都在直线上，则；③函数图象不经过第四象限．其中正确的说法是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【题型13 比较一次函数值的大小】 【例13】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）若点、都在一次函数（，为常数，）的图象上，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【变式13-1】已知一次函数的图象经过点，若，则下列一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式13-2】已知关于的一次函数，下面结论正确的是（     ） A．该函数图象与轴的交点在轴的负半轴上； B．当时，该函数图象不经过第三象限； C．当时，若点和在该函数图象上，则； D．时，该函数的图象经过点． 【变式13-3】对于一次函数，下列说法正确的是（     ） A．函数图象经过点 B．函数图象交轴于负半轴 C．函数图象不经过第二象限 D．若点和点在函数图象上，则 【题型14 一次函数的规律探究问题】 【例14】（2026·山东临沂·模拟预测）若存在一非零常数T，对于定义域内的任意x，使恒成立，则叫作周期函数，T叫作这个函数的一个周期．现在已知一个周期为2的周期函数在时的解析式为，则（   ） A．2024 B．4048 C． D． 【变式14-1】小明同学在研究某一次函数的图象时，发现表中有一对对应值计算有误，则错误的那一对对应值的坐标是     x … 1 2 … y … 12 10 4 1 … A． B． C． D． 【变式14-2】正方形、，…按如图所示的方式放置．点、、…和点、、…分别在直线和轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式14-3】如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点依次进行下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【题型15 画一次函数图像】 【例15】在平面直角坐标系中，与的函数关系如图所示，图象与轴有三个交点，分别为，，．给出下面四个结论：①当时，；②当时，随的增大而增大；③若点在此函数图象上，则符合要求的点有三个；④将函数图象向右平移1个或3个单位长度，经过原点．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①②④ B．②④ C．②③④ D．③④ 【变式15-1】如图，点，，是平面直角坐标系中第一象限内的三个点，画出经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到函数表达式为，和，当时，一次函数的图象应为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．无法确定 【变式15-2】观察函数的图象，下列结论正确的是（   ） A．随的增大而增大 B．当时，取得最大值0 C．直线与该函数图象有3个交点 D．当时，函数的最大值与最小值的差为 【变式15-3】在函数的学习中，认识了函数图象的画法，并能结合图象研究函数的性质．已知函数，分析得到了下列4个结论： ①它的图象由直线向下平移2个单位所得． ②y随着x的增大而增大． ③当时，y随着x的增大而减小． ④函数有最小值． 其中正确的是（    ） A．①④ B．①③ C．②④ D．③④ 【探究式学习】 1．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）探究函数的图象和性质． (1)补全列表： 0 1 2 3 4 5 4 2 1 0 1 3 (2)描点，并用平滑的曲线连接这些点； (3)任意写一条该函数的性质． 2．（25-26七年级下·山东临沂·期末）综合与探究 七年级下册教材中我们曾探究了二元一次方程的解与其图象上点的坐标关系． 【观察与发现】 我们知道，任何一个二元一次方程在一般情况下有无数个解， 如， 当时，；当时，；当时，； 当时，；当时，… 将上面各组值列表： … … … … 将以上每组对应值中的值作为一个点的横坐标，的值作为这个点的纵坐标，在平面直角坐标系内描出各点，然后，用一条平滑的线将这些点连起来如图所示． 观察：这些点在一条直线上，我们称直线是二元一次方程的图象． 发现：方程的每一个解看作一个点的坐标，这些点都在直线上．反过来直线上每一个点的坐标都是方程的解． 【应用与探究】 (1)画方程的图象时，只需要取两个点就可以画出直线来，原理是：__________． (2)判断点，，，在方程的图象上的是__________；并在图中画出方程的图象； (3)观察图象：方程的图象与方程的图象交点为__________，则方程组的解为__________． (4)【拓展与延伸】如图，该同学在同一个平面直角坐标系中画出了直线和，发现这两条直线相交于点．那么不等式的解集是__________． 【课后检测】 1．（26-27九年级上·湖南·阶段检测）一次函数的图象不经过（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2026·江苏镇江·中考真题）已知点，在一次函数的图像上．若，则（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·河北张家口·期末）已知，均在直线上，则，的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 4．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）对于函数，下列结论正确的是（     ） A．它的图象必经过点 B．它的图象经过第二、四象限 C．当时， D．y的值随x值的增大而增大 5．（25-26八年级下·内蒙古赤峰·期末）下列关于一次函数的图像信息正确的是（     ） A．与直线平行 B．图像过原点 C．图像过二、三、四象限 D．与轴相交于点 6．（八年级下·河南郑州·开学考试）函数的图象与函数的图象交于x轴上一点，那么的值是（     ） A． B． C． D． 7．（八年级·江苏徐州·专题练习）已知点，在直线的图象上，当时，，且，则在平面直角坐标系中，它的图象大致是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·吉林·期末）如图，若函数图象上任意两点，均满足，下列四个函数图象中所有正确的函数图象的序号是（     ） A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 9．（25-26八年级下·湖南郴州·期末）下列关于一次函数的图像信息正确的是（     ） A．图像过二、三、四象限 B．图像过原点 C．与轴相交于点 D．与轴相交于点 10．（25-26八年级下·山东济宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：和直线：相交于原点．点是直线上一点，过点作轴的平行线交直线于点；过点作轴的平行线交直线于点．按照这个规律继续操作，依次得到，，．则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 11．（26-27九年级上·黑龙江大庆·开学考试）写出一个函数表达式，当时，随的增大而增大，这个函数表达式可以是__________． 12．（26-27九年级上·黑龙江大庆·开学考试）一次函数的图像与x轴的交点坐标是______． 13．（26-27九年级上·黑龙江绥化·开学考试）若函数上存在两点，，若，则______． 14．（26-27九年级上·黑龙江绥化·开学考试）直线不经过的象限是_______． 15．（江苏扬州·模拟预测）直线向下平移2个单位，再向左平移1个单位得到直线______． 16．（26-27八年级下·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系中，画出和的图象． 17．（26-27八年级下·全国·课后作业）判断下列函数中，y的值随x的值的增大而变化的情况． (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（26-27八年级下·全国·课后作业）把二元一次方程改写成一次函数的形式，并画出这个一次函数的图象． 19．（26-27八年级下·全国·课后作业）在某超市中，西红柿的标价是6元/千克．购买西红柿，应付费y元． (1)写出y与x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围． (2)请画出这个函数的图象． 20．（26-27九年级上·北京西城·开学考试）不同香料香气的强烈程度（简称香气强度）随时间呈现不同的变化规律，调香师利用这些规律调制出各具特色的香水．某小组计划利用函数研究甲、乙、丙三种香料的香气强度变化情况，将等质量的三种香料分别放置在相同条件的外部环境中，设实验过程中，香料放置时间为时，甲、乙、丙香料的香气强度分别为，，，记录部分实验数据如下： 0 20 40 60 80 100 120 … 5 2.03 1.07 0.53 0.27 0.09 0.06 … 3 2.03 1.44 1.05 0.76 0.54 0.38 … 1 0.94 0.88 0.82 0.76 0.70 0.64 … (1)在平面直角坐标系中，函数的图象如图所示，请画出函数，的图象； (2)根据函数图象，当放置时，甲香料的香气强度约为________，丙香料的香气强度约为________；（结果均保留两位小数） (3)查阅文献可知，用多种香料调制成的香水，多数人可以识别出当前时刻香气强度最大的香料，而对其他香料的香气感受不明显，称可以识别出的香料在当前时刻起主要作用．用等质量的甲、乙、丙三种香料共同调制为一款香水放置，忽略香料互相之间的影响，结合函数图象，解决问题： ①当放置时，该时刻起主要作用的香料为________（填“甲”“乙”或“丙”）； ②若总共放置时间为，则起主要作用时间最长的香料为________（填“甲”“乙”或“丙”），该香料起主要作用的时长为________． 21．（25-26八年级下·北京朝阳·期末）小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全下面的过程． (1)函数的自变量x的取值范围是________； (2)下表是y与x的几组对应值： x … 1 2 3 4 … y … 2 a … 求a的值； (3)如图，在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； (4)小明结合该函数图象，解决了以下问题： ①已知，是函数图象上的两点，若对于，都有，则m的取值范围为________； ②过点作平行于x轴的直线l，若直线l与函数的图象有三个交点，则n的取值范围为________． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 55 页 第 1 页 共 55 页 学科网（北京）股份有限公司 $