第13讲 一次函数的应用（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年北师大版八年级数学上册

简一数理 初中专题讲义 第13讲 一次函数的应用 （新教材北师大版） 知识点一．一次函数与一元一次不等式 2 知识点二．一次函数与二元一次方程（组） 2 知识点三．两条直线相交或平行问题 3 知识点四．一次函数的应用 3 知识点五．一次函数综合题 3 【题型1 方案分配问题】 4 【题型2 最大利润问题】 5 【题型3 行程问题】 6 【题型4 梯度计价问题】 7 【题型5 其他应用问题】 8 【题型6 一次函数与几何综合】 9 【题型7 已知直线与坐标轴的交点求方程的解】 10 【题型8 已知一元一次方程的解判断直线与X轴的交点】 11 【题型9 利用图像法解一元一次方程】 12 【探究式学习】 14 【课后检测】 16 【复盘笔记】 21 知识点一．一次函数与一元一次不等式 （1）一次函数与一元一次不等式的关系 从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． （2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0） 对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）． 当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜； 当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞． 知识点二．一次函数与二元一次方程（组） （1）一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y＝kx+b确定它与x轴交点的横坐标值． （2）二元一次方程（组）与一次函数的关系 （3）一次函数和二元一次方程（组）的关系在实际问题中的应用：要准确的将条件转化为二元一次方程（组），注意自变量取值范围要符合实际意义． 知识点三．两条直线相交或平行问题 直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；当k不同，且b相等，图象相交；当k，b都相同时，两条线段重合． （1）两条直线的交点问题 两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解． （2）两条直线的平行问题 若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同． 例如：若直线y1＝k1x+b1与直线y2＝k2x+b2平行，那么k1＝k2． 知识点四．一次函数的应用 1、分段函数问题 分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际． 2、函数的多变量问题 解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数． 3、概括整合 （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用． （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键． 知识点五．一次函数综合题 （1）一次函数与几何图形的面积问题 首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积． （2）一次函数的优化问题 通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值． （3）用函数图象解决实际问题 从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题． 【题型1 方案分配问题】 【例1】（八年级下·全国·课后作业）已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按每千米元收费；B方案直接按每千米1元收费，已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是（　　） A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．900千米 【变式1-1】网红“脏脏包”是时下最流行的一款面包，“脏脏包”正如其名，它看起来脏脏的，吃完以后嘴巴和手上会因沾上巧克力而变“脏”，因而得名“脏脏包”．某面包店每天固定制作甲、乙两种款型的脏脏包共200个，且所有脏脏包当天全部售出，原料成本、销售单价及店员生产提成如表所示： 甲（元/个） 乙（元/个） 原料成本 12 8 销售单价 18 12 生产提成 1 0.6 设该店每天制作甲款型的脏脏包x（个），每天获得的总利润为y（元）．则y与x之间的函数关系式为（　　） A．y＝1.6x+680 B．y＝﹣1.6x+680 C．y＝﹣1.6x﹣680 D．y＝﹣1.6x﹣6800 【变式1-2】小李同学长大后当上了个体老板，一次他准备租用甲、乙两种货车将200吨货物运回眉山卖给厂家，两种货车的载货量和租金如下表所示： 甲种货车 乙种货车 载货量（吨/辆） 25 20 租金（元/辆） 2000 1800 请问：李老板最少要花掉租金（    ）． A．15000元 B．16000元 C．18000元 D．20000元 【变式1-3】某通讯公司推出了①②两种收费方式，收费y1，y2(元)与通讯时间x(分钟)之间的函数关系如图所示，若使用资费①更加划算，通讯时间x(分钟)的取值范围是_______． 【题型2 最大利润问题】 【例2】（2026·安徽阜阳·一模）某超市以10元／千克的价格购进种水果，已知该超市零售这种水果的质量与售价之间的关系如图所示，则该超市以12元／千克零售这种水果所获得的利润为（   ） A．1800元 B．2400元 C．3600元 D．4800元 【变式2-1】在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如下关系：设该商品的销售价为x元，售量为y件，估计当x＝137时，y的值可能为（    ） 销售价/元 90 100 110 120 130 140 销售量/件 90 80 70 60 50 40 A．63 B．59 C．53 D．43 【变式2-2】“五一”期间，一体育用品商店搞优惠促销活动，其活动内容是：“凡在该商店一次性购物超过100元者，超过100元的部分按九折优惠”在此活动中，小东到该商店为学校一次性购买单价为70元的篮球个（），则小东应付货款（元）与篮球个数（个）的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】某公司新产品上市30天全部售完．图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，下列四个结论中错误的是（　　） A．第30天该产品的市场日销售量最大 B．第20天至30天该产品的单件产品的销售利润最大 C．第20天该产品的日销售总利润最大 D．第20天至30天该产品的日销售总利润逐日增多 【题型3 行程问题】 【例3】（26-27九年级上·四川绵阳·开学考试）甲、乙两同学从地出发，骑自行车在同一条路上行驶到地，他们离出发地的距离和行驶时间之间的函数关系的图象如图所示．根据图中提供的信息，有下列说法：①他们都行驶了；②甲车停留了；③乙比甲晚出发了；④相遇后甲的速度小于乙的速度；⑤甲、乙两人同时到达目的地．其中符合图象描述的说法有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式3-1】如图①，为内蒙古首条穿沙公路（锡乌公路），其在库布齐沙漠段几十公里几乎无弯道．一辆客车和一辆货车恰好分别从该公路的A，B两地同时出发相向而行．客车、货车离A地的距离，（单位：）与出发时间x（单位：h）之间的函数关系如图②所示，则点P的横坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地、A地，且甲车的速度比乙车快．两车相遇时原地休息了，又各自按原速前往目的地．甲、乙两车之间的距离与乙所用时间之间的函数关系如图所示，下列结论不正确的是（     ） A．A、B之间的距离为 B．的值为 C．甲行驶的速度是乙的倍 D．的值为 【变式3-3】已知A，B两地相距4000米，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地，，分别表示甲、乙两人离开A地的距离s（米）与时间t（分钟）之间的关系，下列结论错误的是（     ） A．乙先出发10分钟，甲才出发 B．甲的速度是100米/分钟 C．乙出发时，甲在乙前面1000米 D．甲、乙相遇时，他们离开A地3200米 【题型4 梯度计价问题】 【例4】（25-26八年级下·四川南充·期中）为增强居民的节水意识，某市自来水公司实行以户为单位的阶梯水价收费制度．如图是该公司绘制的用户当月水费y（单位：元）与当月用水量x（单位：）之间的函数图象；则下列说法正确的是（     ） A．若小王家某月用水，则当月水费为20元 B．若小王家某月水费为45元，则当月用水量为 C．若当月用水，则当月水费45元 D．若当月用水超过，则每多用水，当月水费就多4元 【变式4-1】永州市内货摩（运货的摩托）的运输价格为：2千米内运费5元；路程超过2千米的，每超过1千米增加运费1元，那么运费y元与运输路程x千米的函数图象是（     ） A． B． 【变式4-2】滦州市出租车的收费标准如下：行驶里程在千米以内统一收费元，超过千米后按元/千米计费．设行驶里程为千米，总费用为元，当时，下列与的函数关系式正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式4-3】自来水公司为鼓励居民节约用水采取月用水量分段收费的办法，某居民应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数关系如图所示，若该居民本月用水量为18吨，则应交水费为（     ） A．42 B．43.2元 C．45元 D．46.8元 【题型5 其他应用问题】 【例5】（26-27九年级上·江苏南通·开学考试）某电信运营商推出一款手机流量套餐，套餐内包含一定免费流量，超出部分额外计费．该套餐总费用（元）与超出流量的部分数据如表： 超出流量 0 1 2 3 4 … 总费用（元） 18 21 24 27 30 … 已知总费用（元）是超出流量的一次函数，小李使用此套餐后支付的总费用为63元，则他使用的流量共超出（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，这是某公司年至年研发经费投入额（单位：亿元）的折线图．为了预测该公司年的研发经费投入额，建立了与时间变量的两个一次函数模型．根据年、年的数据（时间变量的值依次为，，…，）建立模型①：．根据年、年的数据（时间变量的值依次为，，…，）建立模型②：．根据这两个模型，计算该公司年的研发经费投入额的预测值，下列方法更可靠的是（     ） A．将代入模型①计算 B．将代入模型②计算 C．将代入模型①计算 D．将代入模型②计算 【变式5-2】文具店出售定制笔记本，收费方式为固定制版费与每本印刷费的和．已知定制10本笔记本时，总费用为55元；定制20本时，总费用为105元．设定制笔记本数量为x本（x为正整数），总费用为y元，下列关于y与x的函数解析式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】学校组织寄递爱心包裹，两家快递公司给出了不同的计费方案．甲公司的方案是：按包裹重量计费，每千克 元，无起步价；乙公司的方案是：收取 元基础服务费，之后每千克元．若设包裹重量为千克，总费用为 元，两家公司的费用分别用一次函数 和 表示．当包裹重量为多少千克时，选择这两家公司的费用恰好相同？（     ） A． 千克 B． 千克 C． 千克 D． 千克 【题型6 一次函数与几何综合】 【例6】（25-26八年级下·河北张家口·期末）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，．设线段，的中点分别为，，为上一动点，则当的值最小时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，在平面直角坐标系中，点在x轴上，过点作轴，交直线于点；过点作，交x轴于点；过点作轴，交直线于点；过点作，交x轴于点；…；按此作法进行下去，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，根据图象进行以下探究，下列说法错误的是（     ） A． B． C．当时， D．若，则 【变式6-3】如图，在中，，，点在边上，且，为的中点，为上的动点，当四边形周长最小时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【题型7 已知直线与坐标轴的交点求方程的解】 【例7】（25-26八年级下·甘肃张掖·期末）在平面直角坐标系中，一次函数是常数，的图象如图所示，则下列说法中错误的是（     ） A． B．若点在该一次函数图象上，则关于的方程的解为 C．将该一次函数图象向下平移个单位长度后，所得函数为正比例函数 D．若点和点是该一次函数图象上的点，则 【变式7-1】如图，正比例函数的图象向上平移4个单位，恰好与一次函数的图象重合，则关于的方程的解是（     ） A． B． C． D． 【变式7-2】直线经过点和点，则方程的解是（     ） A． B． C． D． 【变式7-3】如图，直线过点和，则方程的解是（     ）． A． B． C． D． 【题型8 已知一元一次方程的解判断直线与X轴的交点】 【例8】（25-26八年级下·云南昆明·阶段检测）若关于的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】关于函数，下列结论正确的是（    ） A．图象必经过 B．图象经过第一、三、四象限 C．当时， D．y随x的增大而增大 【变式8-2】下列关于一次函数的判断，正确的是（   ） A．当时，该函数图象经过一、三、四象限 B．若关于x的方程的解是，则的图象恒过点 C．若该函数的图象向右平移2个单位后经过原点，则 D．点，点在该函数的图象上，若，则 【变式8-3】若是关于x的方程的解，则一次函数的图象与轴的交点坐标是(　　) A． B． C． D． 【题型9 利用图像法解一元一次方程】 【例9】（25-26八年级下·天津北辰·期末）在平面直角坐标系中，一次函数，均为常数）与正比例函数（为常数）的图象如图所示，则关于的方程的解为（   ）． A． B． C． D． 【变式9-1】甲、乙两人在笔直的公路上同起点、同终点、同方向匀速步行1200米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发3分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间分钟之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为40米/分；②乙用9分钟追上甲；③整个过程中，有4个时刻甲乙两人的距离为90米；④乙到达终点时，甲离终点还有280米，其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．②③ C．①③ D．①② 【变式9-2】在平面直角坐标系中，一次函数（，为常数，且）与正比例函数（为常数，且）的图象如图所示，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】如图，一次函数的图象经过点，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 【探究式学习】 1．（25-26八年级下·河南信阳·期末）学习函数的时候我们通过列表、描点和连线的步骤画出函数的图象，进而研究函数的性质．请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题． … … … … (1)表中 ， ． (2)在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象． (3)根据（2）中的图象，探究该函数的性质： ①该函数的最大值为 ； ②若方程有两个解，则的取值范围是 ； ③请你再写出一条该函数的性质． 2（24-25八年级下·北京通州·期中）根据学习一次函数的经验，数学兴趣小组的同学对函数的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整． (1)自变量x的取值范围是全体实数．下表是y与x的几组对应值： … 0 1 2 3 … … 2 1 0 1 2 3 4 5 … 其中，______； (2)如图，在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数图象； (3)观察函数图象发现： ①该函数图象的最低点坐标是______； ②写出y随x的增大如何变化：__________________； (4)若关于x的方程只有一个解，则k的取值范围是______． 【课后检测】 1．（25-26八年级下·河北邢台·期末）工人要铺设一段总长50米的水管，铺设过程中剩余未铺水管的长度L（米）和工人工作时长t（小时）之间的关系为，其中的实际意义是（     ） A．每小时能够铺设的水管长度 B．工作t小时一共铺设的水管总长度 C．还未铺设的水管长度 D．需要铺设的水管总长度 2．（25-26八年级下·福建福州·期末）某登山队大本营所在位置的气温为，海拔每升高气温下降．登山队员由大本营向上登高时，他们所在位置的气温是，则下列关于y与x的关系式正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·重庆开州·期末）一个弹簧不挂物体时长，在弹簧的弹性限度内，每挂的物体，弹簧伸长，则弹簧的长度（单位：cm）关于所挂物体质量（单位：）的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·四川乐山·期末）一枝蜡烛长厘米，点燃后每小时燃烧掉厘米，则下列图象中能大致刻画出这枝蜡烛点燃后剩下的长度（厘米）与点燃时间（）之间的函数关系的是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·江苏无锡·模拟预测）汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是40千米/时，则汽车距天津的路程s（千米）与行驶时间t（时）的函数关系及自变量的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．（26-27九年级上·广东汕头·开学考试）小濠在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图请你根据图中的信息，若小濠把n个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度与n （个）的函数关系是__________． 7．（2026·江苏无锡·中考真题）在弹性限度内，某弹簧最多可挂质量为的物体，弹簧长度（单位：）与所挂物体质量（单位：）之间的函数表达式为．若挂物体时弹簧的长度为，则挂物体时弹簧的长度为______． 8．（2026·山东潍坊·模拟预测）如图，直线的函数表达式为，在直线上顺次取点，构成形如“”的图形的阴影部分面积分别表示为，则_______． 9．（26-27九年级上·内蒙古呼和浩特·开学考试）“漏水问题”综合实践探究 【问题背景】水龙头关闭不严会发生漏水现象．为研究漏水量与漏水时间之间的函数关系，某综合实践小组开展如下实验探究． 【实验探究】小组在某个滴水的水龙头下方放置接水容器，接水容器足够大，水不会溢出；每隔5分钟记录一次容器内收集到的水量，得到实验数据： 时间 0 5 10 15 20 漏水量 0 15 30 45 60 【建立模型】 (1)请你描述该滴水水龙头漏水量（单位：）随漏水时间（单位：）的变化规律，并用函数解析式表示与的关系． 【实践应用】 (2)继续研究以上滴水水龙头的漏水情况，如果每位中学生一天的饮水量约为．请你求出该水龙头持续滴水多长时间，漏掉的水量就相当于一位中学生一天的饮水量．并结合结果，用一句话写出你的节水倡议． 10．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）水龙头关闭不严会造成漏水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，小敏进行了以下的实验研究：在漏水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每记录一次容器中的水量，下表是小敏内收集到的一组数据． 时间 0 10 20 30 水量 0 8 16 24 漏水量与漏水时间的关系是一次函数． (1)求出相应的函数表达式，并画出这个函数的图象； (2)当容器内水量显示的读数为时，求漏水时间． 11．（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）有一个内壁为圆柱形的实验装置，如图，其顶部竖直悬置的探针可监测装置内液面的高度，当液面与探针接触时开始记录实验数据．设探针浸入液面以下的长度为x（单位：）．装置内液体体积为V（单位：）．下表为两次实验所记录的相关数据： 液面以下探针长度x（单位：） 装置内液体体积V（单位：） 第1次实验 5 100 第2次实验 10 150 若探针粗细忽略不计，已知V（）与x（）满足一次函数关系．解决下列问题： (1)求V与x之间的函数表达式； (2)当探针与液面刚接触时，装置内液面的高度为___________ ． 12．（26-27九年级上·北京·开学考试）小明根据学习函数（如图1）的经验，自主探究函数的图象与性质． 下面是小明的探究过程，请补充完整． (1)化简函数表达式：当时，________；当时，________； (2)请在图1同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，并回答：的图象可以由的图象向______平移______个单位得到； (3)如图2，矩形的顶点，在轴上，顶点，，当“绝对值函数”（为常数）的图象有部分被矩形覆盖时，被覆盖的部分记作“图象”，点是“图象”上的一个动点． ①当的最大值为3时，求的取值范围； ②已知的最小值为，求满足条件的的值． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 40 页 第 1 页 共 40 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 第13讲 一次函数的应用 （新教材北师大版） 知识点一．一次函数与一元一次不等式 2 知识点二．一次函数与二元一次方程（组） 2 知识点三．两条直线相交或平行问题 3 知识点四．一次函数的应用 3 知识点五．一次函数综合题 3 【题型1 方案分配问题】 4 【题型2 最大利润问题】 6 【题型3 行程问题】 8 【题型4 梯度计价问题】 12 【题型5 其他应用问题】 14 【题型6 一次函数与几何综合】 16 【题型7 已知直线与坐标轴的交点求方程的解】 20 【题型8 已知一元一次方程的解判断直线与X轴的交点】 22 【题型9 利用图像法解一元一次方程】 24 【探究式学习】 27 【课后检测】 31 【复盘笔记】 40 知识点一．一次函数与一元一次不等式 （1）一次函数与一元一次不等式的关系 从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． （2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0） 对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）． 当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜； 当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞． 知识点二．一次函数与二元一次方程（组） （1）一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y＝kx+b确定它与x轴交点的横坐标值． （2）二元一次方程（组）与一次函数的关系 （3）一次函数和二元一次方程（组）的关系在实际问题中的应用：要准确的将条件转化为二元一次方程（组），注意自变量取值范围要符合实际意义． 知识点三．两条直线相交或平行问题 直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；当k不同，且b相等，图象相交；当k，b都相同时，两条线段重合． （1）两条直线的交点问题 两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解． （2）两条直线的平行问题 若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同． 例如：若直线y1＝k1x+b1与直线y2＝k2x+b2平行，那么k1＝k2． 知识点四．一次函数的应用 1、分段函数问题 分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际． 2、函数的多变量问题 解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数． 3、概括整合 （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用． （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键． 知识点五．一次函数综合题 （1）一次函数与几何图形的面积问题 首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积． （2）一次函数的优化问题 通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值． （3）用函数图象解决实际问题 从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题． 【题型1 方案分配问题】 【例1】（八年级下·全国·课后作业）已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按每千米元收费；B方案直接按每千米1元收费，已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是（　　） A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．900千米 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，设小明行驶里程是x千米，需要花费y元，分别列出A方案和B方案的费用，分别求出选择A方案和B方案行驶的里程，进而可判断出最优方案． 【详解】解：设小明行驶里程是x千米，需要花费y元， A方案：一共需要花费：， B方案∶ 一共需要花费：， 若选择A方案，，解得：， 若选择B方案，得， 由于，则选择B方案是最优租车方案， 故选：C． 【变式1-1】网红“脏脏包”是时下最流行的一款面包，“脏脏包”正如其名，它看起来脏脏的，吃完以后嘴巴和手上会因沾上巧克力而变“脏”，因而得名“脏脏包”．某面包店每天固定制作甲、乙两种款型的脏脏包共200个，且所有脏脏包当天全部售出，原料成本、销售单价及店员生产提成如表所示： 甲（元/个） 乙（元/个） 原料成本 12 8 销售单价 18 12 生产提成 1 0.6 设该店每天制作甲款型的脏脏包x（个），每天获得的总利润为y（元）．则y与x之间的函数关系式为（　　） A．y＝1.6x+680 B．y＝﹣1.6x+680 C．y＝﹣1.6x﹣680 D．y＝﹣1.6x﹣6800 【答案】A 【详解】根据总利润＝单个利润×生产的个数，即可求解． 【解答】解：由题意得：y＝（18﹣12﹣1）x+（12﹣8﹣0.6）（200﹣x）＝1.6x+680， 故y与x之间的函数关系式为：y＝1.6x+680， 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 【变式1-2】小李同学长大后当上了个体老板，一次他准备租用甲、乙两种货车将200吨货物运回眉山卖给厂家，两种货车的载货量和租金如下表所示： 甲种货车 乙种货车 载货量（吨/辆） 25 20 租金（元/辆） 2000 1800 请问：李老板最少要花掉租金（    ）． A．15000元 B．16000元 C．18000元 D．20000元 【答案】B 【分析】设需要租用甲种货车x辆，则租用乙种货车辆，需要的费用为y元，用x将y表示出来，进行判断即可． 【详解】解：设需要租用甲种货车x辆，则租用乙种货车辆，需要的费用为y元，根据题意得： ， ∵， ∴， ∴当时，y最小，最小值为： （元）， 即李老板最少要花掉租金16000元，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，列出一次函数的解析式是解题的关键． 【变式1-3】某通讯公司推出了①②两种收费方式，收费y1，y2(元)与通讯时间x(分钟)之间的函数关系如图所示，若使用资费①更加划算，通讯时间x(分钟)的取值范围是_______． 【答案】x＞300 【分析】根据题意首先将已知点的坐标代入一次函数的解析式求得k值，然后确定两函数图象的交点坐标，从而确定x的取值范围. 【详解】解：由题设可得不等式kx＋30＜x. ∵y1＝kx＋30经过点(500，80)， ∴k＝， ∴y1＝x＋30，y2＝x，解得：x＝300，y＝60. ∴两直线的交点坐标为(300，60)， ∴当x＞300时不等式kx＋30＜x中x成立， 故答案为：x＞300. 【点睛】本题考查的是用一次函数解决实际问题．注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数y随x的变化，结合自变量的取值范围确定最值． 【题型2 最大利润问题】 【例2】（2026·安徽阜阳·一模）某超市以10元／千克的价格购进种水果，已知该超市零售这种水果的质量与售价之间的关系如图所示，则该超市以12元／千克零售这种水果所获得的利润为（   ） A．1800元 B．2400元 C．3600元 D．4800元 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的应用，利用图像中的数据，通过待定系数法求出销量和售价之间的函数关系式，将代入求出对应的销量，最后根据“总利润（售价进价）销量”即可． 【详解】解：设销量和售价之间的函数关系式为， 将和代入得：， 解得：， 则函数关系式为， 将代入，得， 则总利润（元）． 【变式2-1】在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如下关系：设该商品的销售价为x元，售量为y件，估计当x＝137时，y的值可能为（    ） 销售价/元 90 100 110 120 130 140 销售量/件 90 80 70 60 50 40 A．63 B．59 C．53 D．43 【答案】D 【分析】通过待定系数法求出y与x的函数关系式，再将x＝137代入求解． 【详解】解：设售量y件与销售价x元之间的关系为y＝kx+b， 将x＝90，y＝90与x＝100，y＝80分别代入可得：， 解得， ∴y＝﹣x+180， 将x＝137代入可得y＝43， 故选：D． 【点睛】此题主要考查一次函数的实际应用，解题的关键是根据待定系数法求出函数解析式． 【变式2-2】“五一”期间，一体育用品商店搞优惠促销活动，其活动内容是：“凡在该商店一次性购物超过100元者，超过100元的部分按九折优惠”在此活动中，小东到该商店为学校一次性购买单价为70元的篮球个（），则小东应付货款（元）与篮球个数（个）的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知表示出买x个篮球的总钱数以及优惠后价格，进而得出等式即可． 【详解】解：∵凡在该商店一次性购物超过 100元者，超过100元的部分按九折优惠， ∴小东到该商店为学校一次性购买单价为70元的篮球x个（x＞2）， 则小东应付货款y（元）与篮球个数x（个）的函数关系式是： y=（70x-100）×0.9+100=63x+10（x＞2）， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列一次函数解析式，根据已知得出货款与篮球个数的等式是解题关键． 【变式2-3】某公司新产品上市30天全部售完．图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，下列四个结论中错误的是（　　） A．第30天该产品的市场日销售量最大 B．第20天至30天该产品的单件产品的销售利润最大 C．第20天该产品的日销售总利润最大 D．第20天至30天该产品的日销售总利润逐日增多 【答案】C 【分析】从图1和图2中可知，当时，日销售量达到最大，所以根据日销售利润=日销售量每件产品的销售利润即可求解． 【详解】由图1知，当天数时，市场日销售量达到60件：从图2知，当天数时，每件产品销售利润达到最大30元．销售总利润为：（元）． A：从图1，可以看出当时，市场日销售量最大，选项正确，不符合题意； B：从图2，可以看出第20天至30天该产品单件销售利润相同，都达到最大值30元，选项正确，不符合题意； C：当时，日销售量低于时的日销售量，但单件销售利润相同，所以当天数为30时，销售利润最大，选项错误，符合题意； D：从图2中可以看出，第20天至30天该产品单件销售利润相同，从图一看出，日销售量逐日增加，成正比例函数关系，所以日销售利润逐日增加，选项正确，不符合题意； 故答案为：C 【点睛】本题考查的一次函数变量之间的实际应用，通过观察图形，结合相关数据处理实际问题，利用数形结合是解决问题的关键． 【题型3 行程问题】 【例3】（26-27九年级上·四川绵阳·开学考试）甲、乙两同学从地出发，骑自行车在同一条路上行驶到地，他们离出发地的距离和行驶时间之间的函数关系的图象如图所示．根据图中提供的信息，有下列说法：①他们都行驶了；②甲车停留了；③乙比甲晚出发了；④相遇后甲的速度小于乙的速度；⑤甲、乙两人同时到达目的地．其中符合图象描述的说法有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题图中横坐标代表时间、纵坐标代表路程，直线的倾斜程度代表甲、乙的速度，直线越陡，说明相同时间内行驶的距离越长，即速度越快；如果是水平线，说明时间在流逝而距离没有增加，即处于停留状态． 【详解】解：说法①，纵坐标轴表示甲、乙行驶的路程，可以看出两人都行驶了，符合题意； 说法②，在横坐标轴上可以看到，甲在至之间为水平线，纵坐标无变化，即停留了，符合题意； 说法③，在横坐标轴上可以看到乙比甲晚出发了，不符合题意； 说法④，甲、乙在时相遇，相遇后甲直线的倾斜程度小于乙直线的倾斜程度，即甲的速度小于乙的速度，符合题意； 说法⑤，乙比甲早到达目的地，不符合题意； 由此可见，①、②、④符合图象描述，故选B． 【变式3-1】如图①，为内蒙古首条穿沙公路（锡乌公路），其在库布齐沙漠段几十公里几乎无弯道．一辆客车和一辆货车恰好分别从该公路的A，B两地同时出发相向而行．客车、货车离A地的距离，（单位：）与出发时间x（单位：h）之间的函数关系如图②所示，则点P的横坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求得，关于x的函数解析式，即可求得点的坐标． 【详解】解：设， 根据图象，将代入， 可得， 解得， ∴， 设， 根据图象，将，代入， 可得， 解得， ∴， 则可得， 解得， 则点P的横坐标为． 【变式3-2】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地、A地，且甲车的速度比乙车快．两车相遇时原地休息了，又各自按原速前往目的地．甲、乙两车之间的距离与乙所用时间之间的函数关系如图所示，下列结论不正确的是（     ） A．A、B之间的距离为 B．的值为 C．甲行驶的速度是乙的倍 D．的值为 【答案】B 【分析】根据时，可判断A选项；再由甲车行驶的时间和路程可求解甲车的速度，由相遇时可得甲乙的速度和，进而可求解乙车的速度，由此可判断C选项；再根据甲乙行驶的路程和速度求解和的值，由此可判断BD选项． 【详解】解：A选项，当时，， 可知A、B之间的距离为，故A选项正确； C选项，由图象可知，在时，甲车到达目的地，此时只有乙车还在行驶， ∴甲行驶的速度为， ∴乙行驶的速度为， ∵， ∴甲行驶的速度是乙的倍，故C选项正确； D选项，当时，且乙行驶的速度为， 此时乙行驶了，故，故D选项正确； B选项，后，乙行驶的路程为，且乙行驶的速度为， ∴乙又行驶了， ∴，即的值为，故B选项错误 ． 【变式3-3】已知A，B两地相距4000米，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地，，分别表示甲、乙两人离开A地的距离s（米）与时间t（分钟）之间的关系，下列结论错误的是（     ） A．乙先出发10分钟，甲才出发 B．甲的速度是100米/分钟 C．乙出发时，甲在乙前面1000米 D．甲、乙相遇时，他们离开A地3200米 【答案】A 【分析】根据函数图获得信息，由此逐一判断选项即可 ． 【详解】解：根据图象可知，甲在时出发，乙在时出发， ∴甲先出发10分钟，乙才出发，A选项错误； 根据图象可知，甲出发32分钟，走了3200米， 则甲的速度为米/分钟，B选项正确； 根据图象可知，甲比乙先出发10分钟，此时甲走了米，C选项正确； 根据图象可知，，的交点为， 故甲、乙相遇时，他们离开A地3200米，D选项正确 ． 【题型4 梯度计价问题】 【例4】（25-26八年级下·四川南充·期中）为增强居民的节水意识，某市自来水公司实行以户为单位的阶梯水价收费制度．如图是该公司绘制的用户当月水费y（单位：元）与当月用水量x（单位：）之间的函数图象；则下列说法正确的是（     ） A．若小王家某月用水，则当月水费为20元 B．若小王家某月水费为45元，则当月用水量为 C．若当月用水，则当月水费45元 D．若当月用水超过，则每多用水，当月水费就多4元 【答案】B 【分析】利用待定系数法求出函数解析式，再逐项判断，即可． 【详解】解：当时，设当月水费（单位：元）与当月用水量（单位：）之间的函数关系式为， 把点代入得，解得：， ∴当时，当月水费（单位：元）与当月用水量（单位：）之间的函数关系式为， 当时，同理当月水费（单位：元）与当月用水量（单位：）之间的函数关系式为， 当时，，即小王家某月用水，则当月水费为24元，故A选项错误； 当时，，解得：， 即小王家某月水费为45元，则当月用水量为，故B选项正确；C选项错误； ∵， ∴当月用水超过，则每多用水，当月水费就多5元，故D选项错误． 【变式4-1】永州市内货摩（运货的摩托）的运输价格为：2千米内运费5元；路程超过2千米的，每超过1千米增加运费1元，那么运费y元与运输路程x千米的函数图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据货物运输的运费规则，分情况讨论不同路程段的函数表达式，进而判断函数图象． 【详解】解：当时，运费元保持不变，函数图象是一条平行于x轴的线段，、C、D选项在该区间函数值是变化的，所以C、D选项不符合题意； 当时，超过2千米的部分为千米，每超过1千米增加运费1元，则运费，y随x的增大而增大， 因此，只有选项B符合上述分析的图象特征，所以B符合题意． 【变式4-2】滦州市出租车的收费标准如下：行驶里程在千米以内统一收费元，超过千米后按元/千米计费．设行驶里程为千米，总费用为元，当时，下列与的函数关系式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据收费标准，总费用由2千米内的起步费和超出2千米部分的额外费用组成，列出关系式化简后即可得到正确结果； 【详解】解：当时，超出千米的行驶里程为千米，超出部分的费用为元， ， 展开化简得：． 【变式4-3】自来水公司为鼓励居民节约用水采取月用水量分段收费的办法，某居民应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数关系如图所示，若该居民本月用水量为18吨，则应交水费为（     ） A．42 B．43.2元 C．45元 D．46.8元 【答案】D 【分析】分和，分别求得解析式，根据自变量的范围，选择解析式后代入计算解答即可． 【详解】解：当时，设解析式为， 把代入解析式，得， 解得， 故解析式为， 当时，设直线的解析式为，代入，， 得， 解得， 直线的解析式为， ， 故． 【题型5 其他应用问题】 【例5】（26-27九年级上·江苏南通·开学考试）某电信运营商推出一款手机流量套餐，套餐内包含一定免费流量，超出部分额外计费．该套餐总费用（元）与超出流量的部分数据如表： 超出流量 0 1 2 3 4 … 总费用（元） 18 21 24 27 30 … 已知总费用（元）是超出流量的一次函数，小李使用此套餐后支付的总费用为63元，则他使用的流量共超出（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用表格中两组对应值求出一次函数解析式，再代入总费用计算超出流量即可． 【详解】解：设一次函数解析式为（），将，和，代入， 可得，解得， ∴， 令，得， 解得，即他使用的流量共超出． 【变式5-1】如图，这是某公司年至年研发经费投入额（单位：亿元）的折线图．为了预测该公司年的研发经费投入额，建立了与时间变量的两个一次函数模型．根据年、年的数据（时间变量的值依次为，，…，）建立模型①：．根据年、年的数据（时间变量的值依次为，，…，）建立模型②：．根据这两个模型，计算该公司年的研发经费投入额的预测值，下列方法更可靠的是（     ） A．将代入模型①计算 B．将代入模型②计算 C．将代入模型①计算 D．将代入模型②计算 【答案】D 【分析】先确定模型中年对应的值，模型①以年为，得；模型②以年为，得，再结合折线图趋势，年后增长模式改变，模型②基于后期数据更贴合实际，因此应将代入模型②计算． 【详解】解：模型①中，年对应， 年份对应的， 年对应， 但模型①是用年和年的两端数据建立，没有贴合后期的增长趋势，预测不可靠． 对于模型②，年对应， 年份对应的， 年对应， 结合折线图趋势，年之后研发经费投入的增长模式发生了变化，使用模型②更符合后期的增长趋势， 用模型②预测年更可靠，需要将代入模型②计算． 【变式5-2】文具店出售定制笔记本，收费方式为固定制版费与每本印刷费的和．已知定制10本笔记本时，总费用为55元；定制20本时，总费用为105元．设定制笔记本数量为x本（x为正整数），总费用为y元，下列关于y与x的函数解析式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用待定系数法求解即可． 【详解】解：设与的函数解析式为（）． 将，和，分别代入， 得， 解得， ∴函数解析式为． 【变式5-3】学校组织寄递爱心包裹，两家快递公司给出了不同的计费方案．甲公司的方案是：按包裹重量计费，每千克 元，无起步价；乙公司的方案是：收取 元基础服务费，之后每千克元．若设包裹重量为千克，总费用为 元，两家公司的费用分别用一次函数 和 表示．当包裹重量为多少千克时，选择这两家公司的费用恰好相同？（     ） A． 千克 B． 千克 C． 千克 D． 千克 【答案】C 【详解】解：当两家费用相等时，， 移项得， 解得， 即包裹重量为千克时费用相同． 【题型6 一次函数与几何综合】 【例6】（25-26八年级下·河北张家口·期末）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，．设线段，的中点分别为，，为上一动点，则当的值最小时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称的性质，利用三点共线判断最小值为，根据点的中点坐标公式，求出和坐标，从而求出坐标，利用待定系数法求出直线解析式，根据点横坐标为0，即可求出点坐标． 【详解】解：作点关于轴对称点，连接和，如图所示， ， ， 三点共线时，为最小值． ，，线段，的中点分别为，， ，， ． 设直线解析式为，将和代入得， ， ， 在直线上，且在轴上， 令，则， ． 【变式6-1】如图，在平面直角坐标系中，点在x轴上，过点作轴，交直线于点；过点作，交x轴于点；过点作轴，交直线于点；过点作，交x轴于点；…；按此作法进行下去，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可以求得点的坐标，点的坐标，点的坐标，然后即可发现坐标变化的规律，从而可以求得点的坐标． 【详解】解：，轴，点在直线上， 点， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 轴， ， 同理得：，，…； 按此作法进行下去，则， ． 【变式6-2】直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，根据图象进行以下探究，下列说法错误的是（     ） A． B． C．当时， D．若，则 【答案】D 【分析】根据一次函数图象的增减性、与坐标轴交点位置及两直线交点坐标逐项判断即可． 【详解】解：A． 图象从左向右下降，，说法正确； B．过点且随增大而增大，当时，即，过点且与轴交于负半轴，，，说法正确； C．两直线交点横坐标为1，当时图象在上方，，说法正确； D．当时，，代入得，解得，，令，得，，当时，，代入得，解得，，令，得，，，，说法错误． 【变式6-3】如图，在中，，，点在边上，且，为的中点，为上的动点，当四边形周长最小时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作交轴于，得出点 和点 关于直线 对称，连接交 于点 ，此时四边形 周长最小，通过求直线与 的交点坐标求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ，，， 设直线 解析式为 ，将代入得， 解得， ∴直线 解析式为 ， ， ， ， 为 中点， ， ∵四边形 周长 ，其中 为定值， ∴要使周长最小，需 最小 ， 过作交轴于， ∵， ∴， ∴，， ∴， 点 关于直线 的对称点为 ，连接 交 于点 ，此时 最小， 直线 为 ， 设直线解析式为 ， 将 ，代入得 ， 解得 ， 直线解析式为， 联立 ， 解得 ， 点的坐标为． 【题型7 已知直线与坐标轴的交点求方程的解】 【例7】（25-26八年级下·甘肃张掖·期末）在平面直角坐标系中，一次函数是常数，的图象如图所示，则下列说法中错误的是（     ） A． B．若点在该一次函数图象上，则关于的方程的解为 C．将该一次函数图象向下平移个单位长度后，所得函数为正比例函数 D．若点和点是该一次函数图象上的点，则 【答案】D 【分析】根据一次函数图象在坐标系中的位置判断 、 的符号，利用一次函数的性质及图象平移规律逐一判断即可. 【详解】 解：由图象可知，直线过一，二，四象限， ，故A选项说法正确； 若点 在图象上，则当时，，即的解为，故B选项说法正确； 将向下平移个单位长度得，是正比例函数，故C选项说法正确； ， 随 的增大而减小， ， ，故D选项说法错误. 【变式7-1】如图，正比例函数的图象向上平移4个单位，恰好与一次函数的图象重合，则关于的方程的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一次函数图象平移的法则得出一次函数的解析式为，令，则，求解即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象向上平移4个单位，恰好与一次函数的图象重合， ∴一次函数的解析式为， 令，则， 解得， ∴关于的方程的解是． 【变式7-2】直线经过点和点，则方程的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元一次方程的解是一次函数的图象与轴交点的横坐标，即当时对应的自变量的值． 【详解】解：直线经过点， 当时，， 方程的解是． 【变式7-3】如图，直线过点和，则方程的解是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一次函数的图像与轴交点的横坐标即为的解． 【详解】解：∵过点， ∴方程的解是． 【题型8 已知一元一次方程的解判断直线与X轴的交点】 【例8】（25-26八年级下·云南昆明·阶段检测）若关于的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，一元一次方程的解，对应直线中时的值，据此可确定直线经过的点． 【详解】解：方程的解是， 当时，， 直线一定经过点． 【变式8-1】关于函数，下列结论正确的是（    ） A．图象必经过 B．图象经过第一、三、四象限 C．当时， D．y随x的增大而增大 【答案】C 【详解】解： A．当时， ，图象不经过，错误． D．函数中，，y随x的增大而减小，错误． B．，，图象经过第一、二、四象限，错误． C．令，得，∵y随x的增大而减小，∴当时，，正确． 【变式8-2】下列关于一次函数的判断，正确的是（   ） A．当时，该函数图象经过一、三、四象限 B．若关于x的方程的解是，则的图象恒过点 C．若该函数的图象向右平移2个单位后经过原点，则 D．点，点在该函数的图象上，若，则 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、函数图象的平移规律以及方程的解与函数图象的关系，关键是根据一次函数的性质和相关规律逐一分析每个选项． 【详解】解：对于一次函数，其中． 选项A：当时，函数图象经过第二、三、四象限，而非一、三、四象限，故A错误； 选项B：∵方程的解是， ∴，即． 将代入，得， ∴函数图象恒过点，故B正确； 选项C：函数图象向右平移2个单位后解析式为，∵图象过原点，代入得，解得，而非，故C错误； 选项D：随的增大而减小．若，则，但与的符号由决定，不一定满足，故D错误； 故选：B． 【变式8-3】若是关于x的方程的解，则一次函数的图象与轴的交点坐标是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为 (a，b为常数，的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线确定它与轴的交点的横坐标的值． 由方程的解可得与的关系，再令一次函数求解，即可得交点坐标． 【详解】解：∵是方程的解， ∴，即． 令，即， 代入，得， ∴， ∵， ∴，解得． ∴交点坐标为． 故选：D． 【题型9 利用图像法解一元一次方程】 【例9】（25-26八年级下·天津北辰·期末）在平面直角坐标系中，一次函数，均为常数）与正比例函数（为常数）的图象如图所示，则关于的方程的解为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先对方程变形，整理得；方程的解，就是直线与直线交点的横坐标，结合图象交点坐标即可求解． 【详解】解：对方程移项变形： ， 方程的几何意义：正比例函数与一次函数的函数值相等． 由图象可知，直线和的交点坐标为，交点横坐标为． 因此方程的解为． 【变式9-1】甲、乙两人在笔直的公路上同起点、同终点、同方向匀速步行1200米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发3分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间分钟之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为40米/分；②乙用9分钟追上甲；③整个过程中，有4个时刻甲乙两人的距离为90米；④乙到达终点时，甲离终点还有280米，其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．②③ C．①③ D．①② 【答案】C 【分析】根据甲步行的速度为 （米/分）判断①；由甲先出发3分钟，甲出发6分钟时，乙追上甲，得乙用3分钟追上甲，判断②；由函数图象可得：当时，有4个时刻甲乙两人的距离为90米，判断③；设乙的速度为x米/分，由方程解得，得乙走完全程的时间 (分)，得乙到达终点时，甲离终点距离 (米)，判断④． 【详解】解：由题意可得：甲步行的速度为 （米/分）： 故①结论正确； 由图可得，甲出发6分钟时，乙追上甲，故乙用3分钟追上甲， 故②结论错误； 由函数图象可得：当时，有4个时刻甲乙两人的距离为90米， 故③结论正确； 设乙的速度为x米/分， 由题意可得：， 解得， 乙的速度为80米/分； 乙走完全程的时间 (分)， 乙到达终点时，甲离终点距离是： (米)， 故④结论不正确； 故正确的结论有：①③． 故选：C． 【变式9-2】在平面直角坐标系中，一次函数（，为常数，且）与正比例函数（为常数，且）的图象如图所示，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系．两个一次函数图象的交点的横坐标是相应方程的解是解题的关键． 根据函数图象交点的横坐标是关于x的方程的解可得答案． 【详解】解：由图象可知，当时，， 即， 关于的方程的解为． 故选：A． 【变式9-3】如图，一次函数的图象经过点，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，由一次函数的图象经过点，可得当时，，从而得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴当时，， ∴方程的解是， 故选：D． 【探究式学习】 1．（25-26八年级下·河南信阳·期末）学习函数的时候我们通过列表、描点和连线的步骤画出函数的图象，进而研究函数的性质．请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题． … … … … (1)表中 ， ． (2)在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象． (3)根据（2）中的图象，探究该函数的性质： ①该函数的最大值为 ； ②若方程有两个解，则的取值范围是 ； ③请你再写出一条该函数的性质． 【答案】(1)； (2)如图所示． (3)①；②；③关于轴对称．（答案不唯一） 【分析】（1）将和代入函数关系式，即可求出、的值； （2）描出表中各组对应值为坐标的点，即可画出函数图象； （3）结合函数图象直接作答即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，； （2）略 （3）解：①由函数图象可知，该函数的最大值为1； ②方程有两个解， 函数的图象与直线有两个交点， 的取值范围是； ③关于轴对称．（答案不唯一）． 2（24-25八年级下·北京通州·期中）根据学习一次函数的经验，数学兴趣小组的同学对函数的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整． (1)自变量x的取值范围是全体实数．下表是y与x的几组对应值： … 0 1 2 3 … … 2 1 0 1 2 3 4 5 … 其中，______； (2)如图，在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数图象； (3)观察函数图象发现： ①该函数图象的最低点坐标是______； ②写出y随x的增大如何变化：__________________； (4)若关于x的方程只有一个解，则k的取值范围是______． 【答案】(1)3 (2) 如图； (3)①；②当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． (4)或 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程、一次函数的图象和性质，解决本题的关键是根据图象回答问题． （1）根据函数，计算出当对应的函数值，从而可以求得的值； （2）根据（1）中表格的数据，可以画出相应的函数图象； （3）根据函数图象即可求得； （4）观察函数图象，可以得到满足题意的的取值范围； 【详解】（1）当时，， ∴， 故答案为：3； （2）略 （3）①观察函数图象发现，该函数图象的最低点坐标是； ②当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大； 故答案为：①，②当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大； （4）∵ ∴直线过定点． 观察图象， 若关于的方程只有一个解， 则函数与函数的图象只有一个交点， 则的取值范围是或； 故答案为：或． 【课后检测】 1．（25-26八年级下·河北邢台·期末）工人要铺设一段总长50米的水管，铺设过程中剩余未铺水管的长度L（米）和工人工作时长t（小时）之间的关系为，其中的实际意义是（     ） A．每小时能够铺设的水管长度 B．工作t小时一共铺设的水管总长度 C．还未铺设的水管长度 D．需要铺设的水管总长度 【答案】B 【分析】根据剩余未铺水管长度总水管长度已铺设水管长度推导即可． 【详解】解：∵已知总水管长为米，且， ∴已铺设水管长度， 因此的实际意义是工作小时一共铺设的水管总长度． 2．（25-26八年级下·福建福州·期末）某登山队大本营所在位置的气温为，海拔每升高气温下降．登山队员由大本营向上登高时，他们所在位置的气温是，则下列关于y与x的关系式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据气温变化规律，结合初始气温和登高后的温度变化，即可推导得到y与x的关系式． 【详解】解：海拔每升高气温下降，登山队员登高， 气温一共下降， 又大本营初始气温为，当前气温等于初始气温减去下降的气温， ，整理得． 3．（25-26八年级下·重庆开州·期末）一个弹簧不挂物体时长，在弹簧的弹性限度内，每挂的物体，弹簧伸长，则弹簧的长度（单位：cm）关于所挂物体质量（单位：）的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】弹簧总长度等于原长加上挂物体后伸长的长度，根据题干给出的数量关系推导即可． 【详解】解：弹簧不挂物体时原长为，每挂的物体弹簧伸长， 当所挂物体质量为时，弹簧伸长的长度为， 又弹簧总长度 原长伸长长度． ． 4．（25-26八年级下·四川乐山·期末）一枝蜡烛长厘米，点燃后每小时燃烧掉厘米，则下列图象中能大致刻画出这枝蜡烛点燃后剩下的长度（厘米）与点燃时间（）之间的函数关系的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意求出关于的函数关系式，再结合函数图象可得答案． 【详解】由题意得，， 与符合一次函数关系，图象为直线，且随的增大而减小， 四个选项中，只有C选项中的函数图象符合题意． 5．（2026·江苏无锡·模拟预测）汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是40千米/时，则汽车距天津的路程s（千米）与行驶时间t（时）的函数关系及自变量的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据总路程与已行驶路程的关系得到函数表达式，再结合实际意义确定自变量的取值范围即可得到结果． 【详解】∵汽车平均速度为40千米/时，行驶时间为t时， ∴汽车已行驶的路程为， ∵北京到天津总路程为120千米，汽车距天津的路程为s， ∴， 又∵汽车从北京到天津的总时间为， 结合实际意义可知t非负，且行驶最多3小时就到达天津， ∴自变量t的取值范围是， 即函数关系为． 6．（26-27九年级上·广东汕头·开学考试）小濠在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图请你根据图中的信息，若小濠把n个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度与n （个）的函数关系是__________． 【答案】 【分析】先求出纸杯边沿的高，然后根据纸杯的高加纸杯边沿的高，可得答案． 【详解】解：根据题意，得纸杯边沿的高是 ∴高度h与n的函数关系是， 即． 7．（2026·江苏无锡·中考真题）在弹性限度内，某弹簧最多可挂质量为的物体，弹簧长度（单位：）与所挂物体质量（单位：）之间的函数表达式为．若挂物体时弹簧的长度为，则挂物体时弹簧的长度为______． 【答案】12 【分析】根据已知时，代入给定函数式求出系数，再代入计算对应的值即可． 【详解】解：∵挂物体时弹簧的长度为， ∴将，代入函数式，得， 解得， ∴函数表达式为． 将代入函数式，得， 即挂物体时弹簧长度为． 8．（2026·山东潍坊·模拟预测）如图，直线的函数表达式为，在直线上顺次取点，构成形如“”的图形的阴影部分面积分别表示为，则_______． 【答案】 【分析】先依次计算前几组阴影面积，观察图形尺寸规律推导出第个图形中大、小矩形的边长，用大矩形面积减小矩形面积化简得到面积通项公式，最后把代入公式算出对应面积数值． 【详解】解：由题意得： 第个阴影：大矩形的长为，高为；小矩形的长为，高为， ∴ 当时， ． 9．（26-27九年级上·内蒙古呼和浩特·开学考试）“漏水问题”综合实践探究 【问题背景】水龙头关闭不严会发生漏水现象．为研究漏水量与漏水时间之间的函数关系，某综合实践小组开展如下实验探究． 【实验探究】小组在某个滴水的水龙头下方放置接水容器，接水容器足够大，水不会溢出；每隔5分钟记录一次容器内收集到的水量，得到实验数据： 时间 0 5 10 15 20 漏水量 0 15 30 45 60 【建立模型】 (1)请你描述该滴水水龙头漏水量（单位：）随漏水时间（单位：）的变化规律，并用函数解析式表示与的关系． 【实践应用】 (2)继续研究以上滴水水龙头的漏水情况，如果每位中学生一天的饮水量约为．请你求出该水龙头持续滴水多长时间，漏掉的水量就相当于一位中学生一天的饮水量．并结合结果，用一句话写出你的节水倡议． 【答案】(1)漏水量随漏水时间的增加而均匀增大，每分钟漏水量为；函数解析式为 (2)该水龙头持续滴水（约）时，漏掉的水量相当于一位中学生一天的饮水量；节水倡议：随手关紧水龙头，减少水资源浪费（合理即可） 【分析】（1）根据表格数据，可得到漏水量随漏水时间的增加而均匀增大，进而可求得与的函数解析式； （2）将代入中求得t值即可；结合结果可提出倡议． 【详解】（1）解：由表格数据，漏水量随漏水时间的增加而均匀增大，每分钟漏水量为，即漏水量与时间成正比例函数关系， 设，将，代入得，解得， 故与的函数解析式为； （2）解：根据题意，，代入中，得， 故该水龙头持续滴水（约）时，漏掉的水量相当于一位中学生一天的饮水量； 节水倡议：随手关紧水龙头，减少水资源浪费． 10．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）水龙头关闭不严会造成漏水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，小敏进行了以下的实验研究：在漏水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每记录一次容器中的水量，下表是小敏内收集到的一组数据． 时间 0 10 20 30 水量 0 8 16 24 漏水量与漏水时间的关系是一次函数． (1)求出相应的函数表达式，并画出这个函数的图象； (2)当容器内水量显示的读数为时，求漏水时间． 【答案】(1) 利用描点法画出函数图象，如图： (2)漏水时间为． 【分析】（1）设函数解析式为，用待定系数法可求得函数表达式；利用描点法画出函数图象即可； （2）求时的值即可． 【详解】（1）解：设函数解析式为，把和代入得， ， 解得， 所以； （2）解：当时，， 解得， 答：漏水时间为． 11．（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）有一个内壁为圆柱形的实验装置，如图，其顶部竖直悬置的探针可监测装置内液面的高度，当液面与探针接触时开始记录实验数据．设探针浸入液面以下的长度为x（单位：）．装置内液体体积为V（单位：）．下表为两次实验所记录的相关数据： 液面以下探针长度x（单位：） 装置内液体体积V（单位：） 第1次实验 5 100 第2次实验 10 150 若探针粗细忽略不计，已知V（）与x（）满足一次函数关系．解决下列问题： (1)求V与x之间的函数表达式； (2)当探针与液面刚接触时，装置内液面的高度为___________ ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据（）与（）满足一次函数关系，使用待定系数法求解即可； （2）先得到每增加，体积增加，再求解高度即可． 【详解】（1）解：设，代入 和得： ， 解得， ∴； （2）解：当探针刚接触液面时有，此时， 设该装置底面积为S， ∴， ∵， ∴每增加，体积增加， ∴． ∴． 即当探针与液面刚接触时，装置内液面的高度为． 12．（26-27九年级上·北京·开学考试）小明根据学习函数（如图1）的经验，自主探究函数的图象与性质． 下面是小明的探究过程，请补充完整． (1)化简函数表达式：当时，________；当时，________； (2)请在图1同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，并回答：的图象可以由的图象向______平移______个单位得到； (3)如图2，矩形的顶点，在轴上，顶点，，当“绝对值函数”（为常数）的图象有部分被矩形覆盖时，被覆盖的部分记作“图象”，点是“图象”上的一个动点． ①当的最大值为3时，求的取值范围； ②已知的最小值为，求满足条件的的值． 【答案】(1)； (2)函数的图象如下： 向右，3 (3)①或；② 【分析】（1）根据绝对值的性质求解即可； （2）画出函数图象，根据函数图象平移的性质求解即可； （3）①当时，，分别求出经过点，时对应的k值；当时，，分别求出经过点，时对应的k值；即可得出结论； ②分三种情况讨论：当时；当时；当时，分别根据最小值列方程求解． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； （2）解：的图象略， 的图象可以由的图象向右平移3个单位长度得到； （3）解：①当时，， 经过点时，，解得， 经过点时，，解得，, ∴； 当时，， 经过点时，，解得， 经过点时，，解得， ∴； 综上所述：或； ②当时，时n的值最小为， ∴， 解得； 当时，n的最小值为0， ∴， 解得（舍）； 当时，时n的值最小为， ∴， 此方程无解； 综上所述：k的值为． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 40 页 第 1 页 共 40 页 学科网（北京）股份有限公司 $