第11讲 认识一次函数（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年北师大版八年级数学上册

简一数理 初中专题讲义 第11讲 认识一次函数 （新教材北师大版） 知识点一．一次函数的定义 1 知识点二．正比例函数的定义 2 知识点三．待定系数法求一次函数解析式 2 知识点四．根据实际问题列一次函数关系式 2 【题型1 正比例函数的定义】 3 【题型2 识别一次函数】 5 【题型3 根据一次函数的定义求参数】 7 【题型4 求一次函数的自变量或函数值】 9 【题型5 列一次函数解析式并求值】 11 【题型6 一次函数自变量取值范围问题】 15 【题型7 一次函数的函数规律与表格问题】 18 【探究式学习】 23 【课后检测】 26 【复盘笔记】 38 知识点一．一次函数的定义 （1）一次函数的定义： 一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． （2）注意： ①又一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式． ②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数． ③一般情况下自变量的取值范围是任意实数． ④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数． 知识点二．正比例函数的定义 （1）正比例函数的定义： 一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数． （2）正比例函数图象的性质 正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx． 当k＞0时，直线y＝kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小． （3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，k≠0）的图象． 知识点三．待定系数法求一次函数解析式 待定系数法求一次函数解析式一般步骤是： （1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b； （2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组； （3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值． 知识点四．根据实际问题列一次函数关系式 根据实际问题确定一次函数关系式关键是读懂题意，建立一次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是一次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 【题型1 正比例函数的定义】 题型核心：掌握正比例函数的标准形式y=kx（k≠0），辨析正比例函数，判断关系式是否为正比例函数，明确自变量次数、系数取值要求。 【例1】（25-26八年级下·河南省直辖县级单位·期末）下列变量之间的关系，属于正比例函数关系的是（    ） A．铁的密度为，铁块的质量随它的体积的变化而变化 B．用长的绳子围成一个矩形，其中一边长随它邻边的变化而变化 C．圆的面积随半径的变化而变化 D．汽车油箱中有汽油，行驶过程中油箱中的油量随行驶路程的变化而变化 【答案】A 【详解】解：选项A，由质量公式，得，符合正比例函数定义，符合题意； 选项B，矩形周长为，可得，整理得，不符合正比例函数定义，不符合题意； 选项C，由圆的面积公式得，不符合正比例函数定义，不符合题意； 选项D，设单位路程耗油量为常数，可得，不符合正比例函数定义，不符合题意． 【变式1-1】按如图所示的方式操作．下列说法中，正确的是（     ） A．y不是x的函数 B．y是x的函数，且是正比例函数 C．y是x的函数，且是一次函数 D．当时， 【答案】C 【分析】先根据按键操作列出关系式，依据函数定义可知是的函数，该式符合的一次函数形式，因存在常数项不是正比例函数，再将代入计算得，即可解答． 【详解】根据操作流程：输入，乘以，再减得到， ∴， A．对于任意一个，都有唯一确定的与之对应，所以是的函数，故本选项错误，不符合题意． B．正比例函数形式为（无常数项），而存在常数项，不是正比例函数，故本选项错误，不符合题意． C．符合一次函数标准形式，因此是的一次函数，故本选项正确，符合题意． D．将代入解析式：    ，故本选项错误，不符合题意． 【变式1-2】已知函数是正比例函数，则的值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．3或5 【答案】B 【分析】根据正比例函数的定义列出关于m，n的条件，求解后代入计算即可得到结果． 【详解】∵是正比例函数， 根据正比例函数定义可得， 解得：或，即或， ∵，即， ∴， 解得：， ∴． 【变式1-3】如图是一种运算装置，输入两个实数，运算结果为实数．已知：当输入为0时，；当为确定值时，记为，结果为的正比例函数．则当均为5时，（   ） A．12 B．16 C．20 D．25 【答案】B 【分析】设正比例函数为，根据条件可得，再结合均为5代入计算即可． 【详解】解：设正比例函数为， 当输入为0时，， ，解得， ，解得， 当均为5时， ，解得， ． 【题型2 识别一次函数】 题型核心：熟记一次函数一般形式y=kx+b（k、b为常数，k≠0），区分一次函数、正比例函数、非线性函数，准确识别各类函数表达式的类型。 【例2】（25-26八年级下·河北秦皇岛·期末）下列选项中，不是“均匀”变化的现象是（     ） A．正方形的面积与边长的关系 B．按固定单价买作业本，总花费与购买数量的关系 C．汽车匀速行驶时，行驶的路程与行驶的时间之间的关系 D．读书时每天读同样多的页数，一本书剩余页数与读书天数的关系 【答案】A 【分析】均匀变化的本质是两个变量满足一次函数关系，即自变量每增加1个单位，因变量的变化量恒定，据此分析各选项的函数关系即可得出答案． 【详解】解：首先明确，均匀变化要求自变量每增加1个单位时，因变量的变化量始终相等，对应函数为一次函数， 对各选项分析如下： A：设正方形边长为，面积为，可得，当从1增加到2，增加，当从2增加到3，增加，变化量不相等，不是均匀变化； B：设作业本单价为（为常数），购买数量为，总花费为，可得，是一次函数，自变量每增加1，因变量增加，变化量恒定，是均匀变化； C：设汽车速度为（为常数），行驶时间为，路程为，可得，是一次函数，变化量恒定，是均匀变化； D：设书总页数为，每天读页（为常数），读书天数为，剩余页数为，可得，是一次函数，自变量每增加1，因变量减少，变化量恒定，是均匀变化； 因此选A． 【变式2-1】在物理实验课上，小华利用弹簧测力计及相关器材进行实验，他把得到的弹簧长度和所悬挂物体质量的数据用电脑绘制成如图所示的图象，下列结论错误的是（     ）． A．弹簧的长度与悬挂物体质量成一次函数关系 B．没有悬挂物体时，弹簧长度为 C．当悬挂物体质量为时，弹簧伸长了 D．当悬挂物体质量为时，弹簧长度为 【答案】C 【分析】A．根据一次函数图象的特征判断即可； B．当时，的值即为没有悬挂物体时，弹簧的长度； C．根据“悬挂物体的质量为时弹簧的伸长量此时弹簧的总长度没有悬挂物体时弹簧的长度”计算即可； D．根据图像即可求解． 【详解】解：A：图象是一条倾斜直线，符合一次函数图象特征，弹簧的长度与悬挂物体质量成一次函数关系，A正确，故不符合题意； B：由图象可知没有悬挂物体时，弹簧的长度为，B正确，故不符合题意； C：由图象可知没有悬挂物体时，弹簧的长度为，当悬挂物体质量为时，弹簧总长为，即弹簧伸长量总长原长，C错误，故符合题意； D：由图象可知当悬挂物体质量为时，弹簧总长为，D正确，故不符合题意． 【变式2-2】如果y是z的正比例函数，z是x的一次函数，则y是x的（    ） A．正比例函数 B．一次函数 C．其他函数 D．不是函数关系 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的定义和正比例函数的定义，理解以上知识点是解题的关键． 根据正比例函数和一次函数的定义，通过代入推导与的关系. 【详解】解：∵是的正比例函数， ∴ . ∵是的一次函数， ∴ . 将代入，得 . 其中和为常数，且， ∴是的一次函数. 故选：B. 【变式2-3】下列说法错误的是（   ） A．是正比例函数，也是一次函数 B．是一次函数，也是正比例函数 C．商品单价一定，总金额与商品数量成正比 D．如果是一次函数，那么 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义，正比例函数的定义是解题的关键． 一般地，形如（，、是常数）的函数，叫做一次函数，当时，叫正比例函数；根据定义进行判断即可． 【详解】解：A、中，，，∴ 是正比例函数，也是一次函数，说法正确，不符合题意； B、无变量，即，不满足，∴ 不是一次函数或正比例函数，说法错误，符合题意； C、总金额=单价×数量，单价一定时，关系为（为单价），∴ 总金额与商品数量成正比，说法正确，不符合题意； D、是一次函数时，需，即，∴ 说法正确，不符合题意； 故选：B． 【题型3 根据一次函数的定义求参数】 题型核心：根据一次函数、正比例函数的定义，结合自变量次数、系数不为0等限制条件，列方程求解字母参数的值，规避易错取值陷阱。 【例3】（25-26八年级下·北京·开学考试）若函数是关于的正比例函数，则常数的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】正比例函数要求自变量的次数为1，且比例系数不为0，据此列关系计算即可． 【详解】∵是关于的正比例函数， ∴根据正比例函数的定义可得， 解，得，即， 由，得， ∴． 【变式3-1】若直线：与直线：平行，则k的值为（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象中两直线平行的性质，形如的一次函数，两直线平行时一次项系数相等且常数项不相等．解题的关键是掌握“若两条直线互相平行，则它们的一次项系数（斜率）相等”这一性质．直线与直线平行，根据两直线平行斜率相等的性质，直接可得． 【详解】解：∵ 一次函数图象中，两条直线平行的条件是一次项系数相等，且常数项不相等 ∵ 直线：与直线：平行 ∴ ，且（满足常数项不相等的条件） ∴ 的值为 故选A． 【变式3-2】若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，熟知一次函数的定义是解题的关键，一般地，形如，且k、b是常数的函数叫做一次函数．根据一次函数的定义列出方程组进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的函数是一次函数， ∴， ∴， 故选：C． 【变式3-3】已知一次函数（，是常数，），若，点在该函数图象上，则下列说法正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数的性质，理解一次函数的增减性是解决本题的关键．根据一次函数表达式及已知条件，结合点坐标代入得到，结合即可推导参数关系，进而判断选项． 【详解】解：点在函数图象上，代入得： ∵， ∴，即， ∵，即， ∴ ∴，． 故选：A ． 【题型4 求一次函数的自变量或函数值】 题型核心：已知一次函数解析式，代入自变量求对应函数值，或代入函数值反求自变量，掌握函数式基础代入计算方法。 【例4】（25-26八年级下·湖南湘潭·期末）我们把直角坐标平面内到轴距离是到轴距离倍的点称为“特殊点”．那么一次函数的图象上的“特殊点”坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“特殊点”的定义得到坐标满足的等量关系，结合点在一次函数图象上求解即可得到结果． 【详解】解：设所求“特殊点”坐标为， ∵“特殊点”满足到轴距离是到轴距离的倍， ∴， ∵该点在的图象上， ∴． ①当时，解得，代入得，得到点坐标为； ②当时，化简得，方程无解； ∴一次函数图象上的“特殊点”坐标为． 【变式4-1】，是一次函数图象上的不同的两点，则（    ） A． B． C． D．的符号无法判断 【答案】A 【分析】将点坐标代入函数解析式，化简后判断乘积的符号． 【详解】解：∵，是一次函数图象上不同的两点， ∴，， ∴， ∴， ∵A、B是不同两点， ∴， ∴， ∴， 即． 【变式4-2】在平面直角坐标系中，已知，，点是直线在第一象限内的图象上一个动点，连接，，记的面积为，的面积为，则的值为(    ) A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】根据点、的坐标求出、的长度，再设出点的坐标，然后分别表示出和的面积，最后求出它们面积的比值． 【详解】解：∵，， ∴，， 因为点是直线在第一象限内的图象上一个动点， 所以可设， ∵的面积为，的面积为， ∴，， ∴． 【变式4-3】下列给出的四个点中，在一次函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式．将各选项点的横坐标代入解析式，计算出值，与点的纵坐标比较即可得到结果． 【详解】解：A选项，∵当时，， ∴不在函数图象上，故A选项不符合题意； B选项，∵当时，， ∴不在函数图象上，故B选项不符合题意； C选项，∵当时，， ∴在函数图象上，故C选项符合题意； D选项，∵当时，， ∴不在函数图象上，故D选项不符合题意； 故选：C． 【题型5 列一次函数解析式并求值】 题型核心：根据实际数量关系、几何关系，抽象变量之间的对应关系，列写一次函数或正比例函数解析式，并结合条件代入求值。 【例5】（2026·湖北武汉·模拟预测）弹簧原长（不挂重物），弹簧总长L（）与重物质量x（）的关系如下表所示：当重物质量为（在弹性限度内）时，弹簧的总长L（）是（    ） 弹簧总长L（） 13 14 15 16 17 重物质量x（） A．27 B． C．20 D． 【答案】A 【分析】先从表格中找出弹簧伸长量和重物质量的变化规律，得到与的函数关系式后，代入的值计算即可． 【详解】解：由表格数据可得，重物质量每增加，弹簧总长增加， ∴重物质量每增加，弹簧伸长， ∵弹簧原长为， ∴可得与的关系式为， 将代入得，． 【变式5-1】若关于的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，一次函数的性质等等，先把代入方程中得到，进而得到当时，，据此可得答案． 【详解】解：∵关于x的方程的解是， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∴当时，，即直线一定经过点， 故选：D． 【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，点，，点C在第二象限内且，，交y轴于点D，将沿x轴向左平移使点D落在上，则平移后的点B对应的点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题主要考查坐标与图形，一次函数的应用，平移等知识，运用勾股定理、三角形面积公式求出点C的坐标，进而得到直线和直线的函数解析式，求出点D的坐标，再根据平移后点D落在上求出平移距离，从而得到点B平移后对应点的坐标． 【详解】解：∵点，， ∴． 又∵， ， ∴， 过点C作x轴的垂线，垂足为M， ∵， ∴， ∴， ∴ 则点C的坐标为 令直线的函数解析式为， 则， 解得： ∴直线的函数解析式为， 同理可求出的函数解析式为：， 将代入，则， ∴点， 将代入， 解得：， ∴沿x轴向左平移个单位长度后，点D落在上， ∴， 则平移后点B对应的点的坐标为， 故答案为： 【变式5-3】已知分别是的三条边长，为斜边长，，我们把关于的形如的一次函数称为“勾股一次函数”，若点在“勾股一次函数”图象上，且的面积为9，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，勾股定理，完全平方公式的变形运用，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 根据一次函数的性质可得，根据勾股定理可得，，根据完全平方公式的变形运算即可求解． 【详解】解：根据题意，点在“勾股一次函数”的图象上， ∴，即， ∴， ∵是直角的三边，为斜边， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得，（负值舍去）， 故答案为： ． 【题型6 一次函数自变量取值范围问题】 题型核心：结合整式、实际应用场景（路程、费用、长度等），确定一次函数自变量的取值范围，区分纯代数取值与实际限制性取值。 【例6】（26-27八年级下·全国·课后作业）某社区健身场馆推出了两种健身付费的方式． 方式一：先购买会员卡（每张会员卡100元，只限本人使用），凭卡健身每次再付费5元． 方式二：不购买会员卡，每次健身付费8元． 小张计划到该场馆去健身，设他健身的次数为x（x为正整数），两种健身方式的费用分别为元，元． (1)分别写出，与x之间的函数关系式． (2)若小张计划健身的总费用为280元，则他选择哪种付费方式健身的次数比较多？ 【答案】(1) （为正整数）；（为正整数）. (2) 选择方式一付费健身的次数更多 【分析】（1）根据两种健身付费的方式列出对应的函数关系式即可； （2）求出两个函数的函数值为280时自变量的值，比较即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得（为正整数），（为正整数）； （2）解：当时，则，解得， 当时，则，解得， ∵， ∴选择方式一健身的次数比较多； 答：他选择方式一付费健身的次数比较多． 【变式6-1】2026年4月22日，我国空军运-20B运输机首次执行迎接任务，将第十三批12位在韩志愿军烈士遗骸及相关遗物接回中国．为传承红色基因，某校开展了“铭记英烈，致敬英雄”红色研学活动，师生们从学校出发匀速行驶至目的地，他们距离目的地的路程（千米）与行驶时间（小时）之间满足一次函数关系，部分对应值如下表所示： （小时） 0 1 2 … （千米） 320 240 160 … (1)求与之间的一次函数关系式；（无需写出自变量的取值范围） (2)当他们的行驶时间为3小时时，距离目的地还有多少路程？ 【答案】(1) (2) 千米 【分析】（1）设一次函数的一般形式为，因为表格中给出了、时对应的值，所以可将两组对应值代入函数表达式，得到关于、的二元一次方程组，求解方程组即可得到函数关系式； （2）因为已经求得与的函数关系式，所以将代入该关系式，计算即可得到对应的值，即为行驶3小时时距离目的地的路程 【详解】（1）解：设与之间的一次函数关系式为， 将，和，分别代入， 得    解得 ∴与之间的函数关系式为； （2）当时，，    ∴当他们的行驶时间为3小时时，距离目的地还有千米的路程． 【变式6-2】一辆货车的油箱中有油，这辆货车每行驶耗油，写出这辆货车的油箱中剩余的油量与行驶的路程之间的关系式及x的取值范围，并判断y是否为x的一次函数． 【答案】，y是x的一次函数 【分析】此题考查了列函数解析式，正确理解题意是解题的关键．剩余油量等于存油减去耗油量即可求出函数解析式，根据一次函数定义进行判断即可． 【详解】解：油箱剩余油量， 当时，， 解得：， ∴， 符合一次函数定义，因此y是x的一次函数． 【变式6-3】随着炎炎夏日的来临，西瓜已成为我们解暑的必备水果之一．今年小李家在西瓜成熟后将西瓜售出，在销售的天中，第一天卖出千克．为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出千克．设第天的售价为元/千克，关于的函数表达式为，其中为正整数，且第天的售价为元/千克，第天的售价为元/千克．已知种植西瓜的成本是元/千克，每天的利润是元（利润=销售收入-成本）． (1)______，______． (2)当销售西瓜第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)当销售西瓜第天或天时，当天利润最大，最大为元 【分析】（1）根据题意将相关数值代入对应函数解析式即可； （2）在（1）的基础上分段表示利润，结合二次函数的性质和一次函数的性质讨论最值即可求解． 【详解】（1）解：当第天的售价为元/千克，代入得，， 解得：， 当第天的售价为元/千克，代入得，， 故答案为：；． （2）解：依题意，得第天的销售量为． 当时，， 整理得：， ∵， 故当时，取最大值， ∵为正整数， 故当或时，当天的利润最大， 将代入得， 解得：， ∵， 即当和时，函数值相等， 故当或时，当天的利润最大为． 当时，． ， 随x的增大而增大， ∴当时，当天的利润最大， 将代入，解得：； 故当时，当天的利润最大为． ， ∴当或时，． 故当销售西瓜第天或天时，当天利润最大，最大为元． 【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的实际应用，解题的关键是关键二次函数的对称性得出当和时，函数值相等，求得当或时，当天的利润最大为． 【题型7 一次函数的函数规律与表格问题】 题型核心：根据函数对应值表格，判断是否为一次函数、求解未知函数值，分析变量增减规律，利用一次函数均匀变化特征解题。 【例7】如图，已知直线a：，直线b：和点，过点P作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，…，按此作法进行下去，则点的横坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，写出前几个坐标的横坐标，推导一般性规律为：的横坐标为，然后计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，，，，，，，， ∴的横坐标为， 的横坐标为 ， 的横坐标为， 的横坐标为， 的横坐标为， 的横坐标为， 的横坐标为， 的横坐标为， …… ∴可推导一般性规律为：的横坐标为， ∴的横坐标为， ∴的横坐标为， ∴的横坐标为， ∴的横坐标为， 故选：A． 【点睛】本题考查了点坐标的规律探究，一次函数等知识．解题的关键在于根据题意推导一般规律． 【变式7-1】某水果店售卖草莓，售价固定，每日销售额随售卖时长变化而变化．设售卖时长为小时（自变量），销售额为元（因变量），部分售卖数据如下表： 售卖时长（小时） 1 2 3 4 销售额（元） 80 160 240 320 (1)根据表格数据，写出与的变量关系式； (2)分析销售额随售卖时长的变化趋势； (3)若当日草莓全部售完用时6.5小时，求当日总销售额； (4)若当日固定成本为150元，求售卖5小时的纯利润． 【答案】(1) （）. (2) 销售额随售卖时长的增加而均匀增大，每增加1小时，销售额增加80元. (3) 当日总销售额为520元. (4) 售卖5小时的纯利润为250元. 【分析】（1）先判断变量关系类型，观察表格中x与y的比值是否为定值，因为售价固定，所以y与x成正比例函数关系，用待定系数法求函数关系式． （2）根据所得函数关系式的比例系数符号，如果比例系数为正，那么销售额随售卖时长增加而上升，直接分析变化趋势． （3）对于已知售卖时长求销售额的问题，将对应的x值代入已求得的函数关系式，计算得到y值即可． （4）计算纯利润时，先代入求得对应销售额，因为纯利润=销售额-固定成本，所以用所得销售额减去固定成本即可得到结果． 【详解】（1）解： ∵ 表格中销售额与售卖时长的比值为定值 ， ∴ 设（）． 将，代入， 得 ． ∴ 与的变量关系式为（）． （2） 解：∵ 中， ， ∴ 销售额随售卖时长的增加而均匀增大，每增加1小时，销售额增加80元． （3）解：当时 ， ． 答：当日总销售额为520元． （4）解：当时 ， 销售额为（元） ． 纯利润为（元） ． 答：售卖5小时的纯利润为250元． 【变式7-2】已知正比例函数，根据函数表达式填写下表． … 0 1 2 … … … 【答案】 x 0 1 2 y 0 15 30 【分析】将表格中给出的各个的值代入正比例函数，计算即可得到对应的值． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 表略． 【变式7-3】学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况．在两种不同的场景A和场景B下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时间为x分钟时，在场景A，B中的剩余质量分别为，（单位：克）． 下面是某研究小组的探究过程，请补充完整： 记录，与x的几组对应值如下： x（分钟） 0 5 10 15 20 … （克） 25 23.5 20 14.5 7 … （克） 25 20 15 10 5 … (1)在同一平面直角坐标系中，描出上表中各组数值所对应的点，，并画出函数，的图象；    (2)进一步探究发现，场景A的图象是抛物线的一部分，与x之间近似满足二次函数：．场景B的图象是直线的一部分，与x之间近似满足一次函数（）．则 ， ， ； (3)查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于4克时，才能发挥作用，在上述实验中，记该化学试剂在场景A，B中发挥作用的时间分别为，，则 （填“”，“”或“”）． 【答案】(1) 由题意，作图如下． (2)，， (3) 【分析】本题主要考查了一次函数、二次函数的应用，读懂题意是解答本题的关键． （1）依据题意，根据表格数据描点，连线即可作图得解； （2）根据函数图象确定点的坐标，利用待定系数法解答即可； （3）依据题意，分别求出当时的值，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：由题意，场景的图象是抛物线的一部分，与之间近似满足函数关系． 又点，在函数图象上， ． 解得：． 场景函数关系式为． 对于场景的图象是直线的一部分，与之间近似满足函数关系． 又，在函数图象上， ． 解得：． 场景函数关系式为． ∴，，． （3）解：由题意，当时， 场景中，， 解得：（舍）， 即：， 场景中，， 解得：， ． 【探究式学习】 1．（八年级下·山西临汾·期末）阅读与思考 下面是智慧小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 有关“匀速变化一次函数”的研究报告智慧小组研究对象：匀速变化一次函数 研究思路：按“概念——例题——探究”的路径进行研究 研究内容： 【一般概念】设y是x的一次函数，我们取自变量x的取值范围内的两个不同的值，，当到变化时，对应的y的值由到也随之变化，这时我们称比值为y在与之间的平均变化速度，当y在自变量x取值范围内任意两个不同值之间的平均变化速度相同时，我们称y是x的匀速变化一次函数． 【例题研究】根据匀速变化一次函数的概念，对函数的研究如下： 当时，；当时，． ． 当时，；当时，． ． ∵y在自变量x的取值范围内任意两个不同值之间的平均变化速度是同一个数5， ∴y是x的匀速变化一次函数． 【深入探索】通过上述方法可以验证函数为y关于x的匀速变化一次函数，则该函数的平均变化速度刚好等于 ▲ ． 发现结论：若，是函数图象上的两点，则 ■ ．我们只需再取图象上两点就可以快速地验证y是不是x的匀速变化一次函数． 任务 (1)填空：上述材料中的▲______，■______． (2)请说明材料中的结论是如何验证函数（k，b是常数，且）是y关于x的匀速变化一次函数的． 【答案】(1)3；k (2) 设，是函数图象上的另外两点， ∴，， ∴， ∵， ∵y在自变量x的取值范围内任意两个不同值之间的平均变化速度都是k， ∴函数是y关于x的匀速变化一次函数． 【分析】本题主要考查了求一次函数的函数值，正确理解题意是解题的关键． （1）对于第一空，当时，，时，，据此求出的值即可得到答案；对于第二空，根据题意可得，，据此求出的值即可得到答案； （2）设，是函数图象上的另外两点，则，，求出的结果，即可验证结论． 【详解】（1）解：在中，当时，，时，， ∴， ∴该函数的平均变化速度刚好等于3； ∵，是函数图象上的两点， ∴，， ∴． （2）略 2．（八年级上·浙江杭州·期末）综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师请同学们探索一次函数的图象与系数的关系．老师给出两个一次函数，（a，b均不为0，且），同学们利用图形计算器画出a，b不同取值下的两个一次函数的图象，并观察它们的交点位置．三个小组分别绘制了当（时的函数图象，得到了不同情况下函数和的图象的交点坐标． 数学思考：（1）请从（I）当时；（Ⅱ）当时；（Ⅲ）当时，三组值中任选一组，求此时函数和的图象的交点坐标． 注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分． 深入探究：（2）老师请同学们经过思考，提出新的问题． ①“运河小组”提出问题：不论a，b如何取值，函数和的图象的交点的横坐标都是定值．请你证明结论，并求出这个定值． ②“武林小组”提出问题：若，要比较和的大小，需要分类讨论．请你比较和的大小． ③不论a，b如何取值，当x等于某个正数时，函数和的值都存在某种确定的等量关系，请你直接写出结论． 【答案】 （1）解：选择（Ⅰ）时函数和的图象的交点坐标是； 选择（Ⅱ）时函数和的图象的交点坐标是； 选择（Ⅲ）时函数和的图象的交点坐标是． （2）①证明：由题意，得， 所以， 因为， 所以． 所以不论a，b如何取值，函数和的图象的交点的横坐标都是定值． ②当时，；当时，；当时，； ③当时， 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，分类讨论是解答本题的关键． （1）数学思考：分别将三组数据代入解析式，联立方程组解答交点坐标即可； （2）①联立解析式，求出的值，根据，均不为0，且，得到为定值即可； ②令，则，得；令，则得； ③两解析式相加得），即时，不论，如何取值，． 【详解】解：（1）略 （2）①略 ②由题意，得， 因为，所以， 所以当时，，； 当时，，； 当时，，． ③当时，． 【课后检测】 1．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）下列函数中，一次函数的式子是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A选项与D选项的分母均含自变量，不符合一次函数是含自变量的整式的要求； B选项中自变量的最高次数为2，不符合一次函数定义； C选项符合一次函数（为常数，）的形式． 2．（26-27九年级上·云南曲靖·开学考试）下列是一次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从自变量次数、解析式是否为整式两个角度逐项判断即可． 【详解】解：A．中的次数为2，不是一次函数，不符合题意； B．符合一次函数的定义，符合题意； C．为分式，不是一次函数，不符合题意； D．含二次根式，不是一次函数，不符合题意． 3．（26-27九年级上·云南曲靖·开学考试）下列各点不在函数上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将代入，得， ∴ 点不在函数图象上，故A选项符合题意； 将，，分别代入解析式，得对应值为，，，均与对应选项纵坐标一致， ∴ 选项B，C，D中的点均在函数图象上，均不符合题意． 4．（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）已知，若是的正比例函数，则的值为（     ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】结合正比例函数的定义，从自变量次数、系数两个限制条件入手列式求解. 【详解】解：由题意得且， ∵， ∴， ∵， ∴； ∴. 5．（25-26八年级下·云南红河·期末）若与成正比例，且当时，，则与函数关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意设，将x与y的值代入求出k的值，即可确定出y与x的关系式． 【详解】解：与成正比例， 设， 把，代入得， 解得， ． 6．（25-26七年级下·贵州贵阳·期末）水钟在我国古代叫“漏刻”或“漏壶”，如图②是一种原始漏刻的示意图，水从上面的贮水壶慢慢漏入下方的受水壶中，受水壶中的浮子上竖直放置一根标尺（称为“漏箭”）．假设漏水量是均匀的，受水壶中的浮子就会均匀升高．则下图表示浮子升高的高度与经历时间之间关系的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据漏水量是均匀的，受水壶中的浮子和标尺就会均匀升高解答即可． 【详解】解：∵漏水量是均匀的，受水壶中的浮子和标尺就会均匀升高， ∴浮子的高度与对应注水时间成正比，高度随时间的增大而增大， ∴浮子的高度与对应注水时间满足的函数关系是正比例函数， 观察各选项，只有选项C符合． 7．（25-26九年级上·山东泰安·期末）已知一次函数的图象经过点，且随的增大而增大．若点在该函数的图象上，则点N的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数y随x的增大而增大，可知，分别将点M和各选项代入，求出k的值，即可确定． 【详解】解：∵一次函数过 ∴把代入得，即 又∵随的增大而增大 ∴ A、将代入得，把代入得，化简得，解得，不满足，舍去 B、将代入得，把代入得，化简得，不满足且，舍去 C、将代入得，把代入得，化简得，解得，满足条件 D、将代入得，把代入得，化简得，解得，不满足，舍去 故选：C． 8．（25-26七年级上·全国·期末）根据如图的程序计算函数的值，若输入的值是，则输出的值是；若输入的值是，则输出的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数值，弄清程序中的关系式和理解自变量取值范围是解本题的关键．把与代入程序中计算，根据值相等即可求出的值． 【详解】解：当时，， 解得． ∴当时，得． 故选：C． 9．（25-26八年级上·北京平谷·期末）已知，当时，y的值记为；当时，y的值记为；当时，y的值记为……，则的值为（    ） A．2025 B．2026 C．2035 D．2037 【答案】D 【分析】本题主要考查了求函数值，可得，据此求解即可． 【详解】解：， 当时，， 当时，， ∴，，，， ， ∴， 故选：D． 10．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）一次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则n的值为（   ） x … m … y … 4 2 n … A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，把点代入，得出，求出即可． 【详解】解：把点代入得： ， 整理得：， 把②代入①得：， 解得：， 把，代入③得：， 解得：． 故选：D． 11．（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）若点在直线上，则的值是______． 【答案】7 【分析】点在直线上时，点的坐标满足直线的解析式，将点的横坐标代入解析式即可求出的值. 【详解】解：∵ 点在直线上， ∴ 将，代入直线解析式， ， ． 12．（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）若点在函数的图象上，则的值是______． 【答案】 2 【分析】点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，将点坐标代入解析式整理即可得到所求式子的值． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴， ∴． 13．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）当时，函数的值为___________ 【答案】 【分析】将代入函数表达式计算即可得到结果． 【详解】解：把代入函数，可得． 14．（九年级·广西防城港·竞赛）一次函数和正比例函数的定义：一般地，形如____________（，是常数，且）的函数叫一次函数，它的图象是一条_______．形如____________（是常数，且）的函数叫正比例函数，它的图象是一条过_______的_________． 【答案】 直线 原点 直线 【分析】本题考查一次函数与正比例函数的定义及图象性质，直接依据定义填写内容即可． 【详解】解：根据初中一次函数和正比例函数的定义：一般地，形如（，是常数，且）的函数叫一次函数，它的图象是一条直线； 形如（是常数，且）的函数叫正比例函数，它是特殊的一次函数，图象是一条过原点的直线． 15．（25-26八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在直线与直线之间，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】计算出当在直线上时a的值，再计算出当在直线上时a的值，即可得答案． 【详解】解：当点在直线上时，， 当在直线上时，， ∴当点在直线与直线之间时，的取值范围是． 16．（26-27八年级下·全国·课后作业）下列函数，哪些是一次函数？请指出一次函数中的k和b的值． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【答案】一次函数为（1）（3）（4）（5）． （1），； （3），； （4），； （5），． 【分析】一般地，形如，且k和b为常数的函数，叫做一次函数；识别一次函数：自变量的次数是1次，自变量不能带根号，自变量不能在分母上． 【详解】解：（1），自变量x的次数是1次，且自变量x不在分母上、也没有带根号， 所以是一次函数，其中，； （2），自变量在分母上，所以不是一次函数； （3），自变量t的次数是1，且自变量t不在分母上、也没有带根号， 所以是一次函数，其中，； （4），自变量x的次数是1次，且自变量x不在分母上、也没有带根号， 所以是一次函数，其中，； （5），自变量t的次数是1次，且自变量t不在分母上、也没有带根号， 所以是一次函数，其中，； （6），其中自变量x的次数是2次，所以不是一次函数． 17．（26-27八年级下·全国·课后作业）一个深度为的长方体污水处理池，容积为，底面积为． (1)写出用表示的函数表达式． (2)当时，求的值． 【答案】(1)（） (2) 【分析】（1）根据长方体体积公式求解即可； （2）把代入（1）中表达式，求出的值即可． 【详解】（1）解：∵一个深度为的长方体污水处理池，容积为，底面积为， ∴． （2）解：∵，， ∴． 18．（26-27八年级下·全国·课后作业）已知函数是关于x的正比例函数，求m的值． 【答案】的值为 【分析】根据正比例函数的定义：，没有二次项，没有常数项，一次项系数不为0求解即可． 【详解】解：∵函数是关于x的正比例函数， ， ∴， ∴，满足题意， ． 19．（25-26八年级上·河南南阳·期末）已知一次函数． (1)若点在该一次函数图象上，求的值； (2)小亮说：“不论取除1外的任何值，该一次函数图象恒过定点．”请通过计算说明小亮的说法是否正确． 【答案】(1) (2)解：小亮的说法正确．理由如下： ∵， ， 这个关于k的一元一次方程有无数解， ， 解得， ∴当时，恒成立，与的取值无关； 又∵时该函数为一次函数， ∴不论取除1外的任何值，该一次函数图象恒过定点． 【分析】（1）把点代入解析式，解关于k的一元一次方程即可； （2）将一次函数，整理成关于k的一元一次方程，利用一元一次方程有无数解的条件，解答即可． 【详解】（1）解：把点代入解析式，得， 整理，得， 解得． （2）略 20．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，平面直角坐标系中有点和y轴上一动点，其中，以点A为直角顶点在第一象限内作等腰直角三角形． (1)点C的坐标为______（用a表示）；判断：点C______函数的图象上（填“在”或“不在”）． (2)当时，如图2，点D的坐标为，作等腰，其中，，连接交y轴于点M，求点M的坐标． (3)在（2）的条件下，若点P在第二象限，且P，D，M构成等腰直角三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)；在 (2) (3)，， 【分析】（1）由，可得，，过点作轴于， 证明，再利用全等三角形的性质可得到点的坐标； （2）过点作轴于点，证明，则，得到，则，即可得到求点的坐标； （3）分三种情况分别作出辅助线，构造全等三角形，分别进行求解即可． 【详解】（1）解：，， ，， 如图1，过点作轴于点， 则， 等腰直角三角形中，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点, 在函数中，当时， 点C在函数的图象上， 故答案为：；在； （2）解：，，， ，，， 如图2，过点作轴于点， 同（1）理可证：， ，， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ； （3）解：由（2）可知，，， 如图，当，时，过点作轴于点， 同理可证， ，， ， 点； 如图，当，时，过点作轴于点， 同理可证， ，， ， 点； 如图，当，时，过点作轴于点，过点作于点， 同理可证， ，， ，， ，， 点， 综上所述：，，． 【点睛】此题属于三角形综合题，主要考查了坐标与图形、等腰三角形的定义、三角形的全等和判定及直角三角形的性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 38 页 第 1 页 共 38 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 第11讲 认识一次函数 （新教材北师大版） 知识点一．一次函数的定义 2 知识点二．正比例函数的定义 2 知识点三．待定系数法求一次函数解析式 2 知识点四．根据实际问题列一次函数关系式 3 【题型1 正比例函数的定义】 3 【题型2 识别一次函数】 4 【题型3 根据一次函数的定义求参数】 5 【题型4 求一次函数的自变量或函数值】 5 【题型5 列一次函数解析式并求值】 6 【题型6 一次函数自变量取值范围问题】 7 【题型7 一次函数的函数规律与表格问题】 9 【探究式学习】 12 【课后检测】 14 【复盘笔记】 18 知识点一．一次函数的定义 （1）一次函数的定义： 一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． （2）注意： ①又一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式． ②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数． ③一般情况下自变量的取值范围是任意实数． ④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数． 知识点二．正比例函数的定义 （1）正比例函数的定义： 一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数． （2）正比例函数图象的性质 正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx． 当k＞0时，直线y＝kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小． （3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，k≠0）的图象． 知识点三．待定系数法求一次函数解析式 待定系数法求一次函数解析式一般步骤是： （1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b； （2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组； （3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值． 知识点四．根据实际问题列一次函数关系式 根据实际问题确定一次函数关系式关键是读懂题意，建立一次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是一次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 【题型1 正比例函数的定义】 题型核心：掌握正比例函数的标准形式y=kx（k≠0），辨析正比例函数，判断关系式是否为正比例函数，明确自变量次数、系数取值要求。 【例1】（25-26八年级下·河南省直辖县级单位·期末）下列变量之间的关系，属于正比例函数关系的是（    ） A．铁的密度为，铁块的质量随它的体积的变化而变化 B．用长的绳子围成一个矩形，其中一边长随它邻边的变化而变化 C．圆的面积随半径的变化而变化 D．汽车油箱中有汽油，行驶过程中油箱中的油量随行驶路程的变化而变化 【变式1-1】按如图所示的方式操作．下列说法中，正确的是（     ） A．y不是x的函数 B．y是x的函数，且是正比例函数 C．y是x的函数，且是一次函数 D．当时， 【变式1-2】已知函数是正比例函数，则的值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．3或5 【变式1-3】如图是一种运算装置，输入两个实数，运算结果为实数．已知：当输入为0时，；当为确定值时，记为，结果为的正比例函数．则当均为5时，（   ） A．12 B．16 C．20 D．25 【题型2 识别一次函数】 题型核心：熟记一次函数一般形式y=kx+b（k、b为常数，k≠0），区分一次函数、正比例函数、非线性函数，准确识别各类函数表达式的类型。 【例2】（25-26八年级下·河北秦皇岛·期末）下列选项中，不是“均匀”变化的现象是（     ） A．正方形的面积与边长的关系 B．按固定单价买作业本，总花费与购买数量的关系 C．汽车匀速行驶时，行驶的路程与行驶的时间之间的关系 D．读书时每天读同样多的页数，一本书剩余页数与读书天数的关系 【变式2-1】在物理实验课上，小华利用弹簧测力计及相关器材进行实验，他把得到的弹簧长度和所悬挂物体质量的数据用电脑绘制成如图所示的图象，下列结论错误的是（     ）． A．弹簧的长度与悬挂物体质量成一次函数关系 B．没有悬挂物体时，弹簧长度为 C．当悬挂物体质量为时，弹簧伸长了 D．当悬挂物体质量为时，弹簧长度为 【变式2-2】如果y是z的正比例函数，z是x的一次函数，则y是x的（    ） A．正比例函数 B．一次函数 C．其他函数 D．不是函数关系 【变式2-3】下列说法错误的是（   ） A．是正比例函数，也是一次函数 B．是一次函数，也是正比例函数 C．商品单价一定，总金额与商品数量成正比 D．如果是一次函数，那么 【题型3 根据一次函数的定义求参数】 题型核心：根据一次函数、正比例函数的定义，结合自变量次数、系数不为0等限制条件，列方程求解字母参数的值，规避易错取值陷阱。 【例3】（25-26八年级下·北京·开学考试）若函数是关于的正比例函数，则常数的值等于（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】若直线：与直线：平行，则k的值为（　　） A． B． C．1 D．2 【变式3-2】若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式3-3】已知一次函数（，是常数，），若，点在该函数图象上，则下列说法正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【题型4 求一次函数的自变量或函数值】 题型核心：已知一次函数解析式，代入自变量求对应函数值，或代入函数值反求自变量，掌握函数式基础代入计算方法。 【例4】（25-26八年级下·湖南湘潭·期末）我们把直角坐标平面内到轴距离是到轴距离倍的点称为“特殊点”．那么一次函数的图象上的“特殊点”坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】，是一次函数图象上的不同的两点，则（    ） A． B． C． D．的符号无法判断 【变式4-2】在平面直角坐标系中，已知，，点是直线在第一象限内的图象上一个动点，连接，，记的面积为，的面积为，则的值为(    ) A． B．1 C． D．2 【变式4-3】下列给出的四个点中，在一次函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【题型5 列一次函数解析式并求值】 题型核心：根据实际数量关系、几何关系，抽象变量之间的对应关系，列写一次函数或正比例函数解析式，并结合条件代入求值。 【例5】（2026·湖北武汉·模拟预测）弹簧原长（不挂重物），弹簧总长L（）与重物质量x（）的关系如下表所示：当重物质量为（在弹性限度内）时，弹簧的总长L（）是（    ） 弹簧总长L（） 13 14 15 16 17 重物质量x（） A．27 B． C．20 D． 【变式5-1】若关于的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，点，，点C在第二象限内且，，交y轴于点D，将沿x轴向左平移使点D落在上，则平移后的点B对应的点的坐标为______． 【变式5-3】已知分别是的三条边长，为斜边长，，我们把关于的形如的一次函数称为“勾股一次函数”，若点在“勾股一次函数”图象上，且的面积为9，则的值为______． 【题型6 一次函数自变量取值范围问题】 题型核心：结合整式、实际应用场景（路程、费用、长度等），确定一次函数自变量的取值范围，区分纯代数取值与实际限制性取值。 【例6】（26-27八年级下·全国·课后作业）某社区健身场馆推出了两种健身付费的方式． 方式一：先购买会员卡（每张会员卡100元，只限本人使用），凭卡健身每次再付费5元． 方式二：不购买会员卡，每次健身付费8元． 小张计划到该场馆去健身，设他健身的次数为x（x为正整数），两种健身方式的费用分别为元，元． (1)分别写出，与x之间的函数关系式． (2)若小张计划健身的总费用为280元，则他选择哪种付费方式健身的次数比较多？ 【变式6-1】2026年4月22日，我国空军运-20B运输机首次执行迎接任务，将第十三批12位在韩志愿军烈士遗骸及相关遗物接回中国．为传承红色基因，某校开展了“铭记英烈，致敬英雄”红色研学活动，师生们从学校出发匀速行驶至目的地，他们距离目的地的路程（千米）与行驶时间（小时）之间满足一次函数关系，部分对应值如下表所示： （小时） 0 1 2 … （千米） 320 240 160 … (1)求与之间的一次函数关系式；（无需写出自变量的取值范围） (2)当他们的行驶时间为3小时时，距离目的地还有多少路程？ 【变式6-2】一辆货车的油箱中有油，这辆货车每行驶耗油，写出这辆货车的油箱中剩余的油量与行驶的路程之间的关系式及x的取值范围，并判断y是否为x的一次函数． 【变式6-3】随着炎炎夏日的来临，西瓜已成为我们解暑的必备水果之一．今年小李家在西瓜成熟后将西瓜售出，在销售的天中，第一天卖出千克．为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出千克．设第天的售价为元/千克，关于的函数表达式为，其中为正整数，且第天的售价为元/千克，第天的售价为元/千克．已知种植西瓜的成本是元/千克，每天的利润是元（利润=销售收入-成本）． (1)______，______． (2)当销售西瓜第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？ 【题型7 一次函数的函数规律与表格问题】 题型核心：根据函数对应值表格，判断是否为一次函数、求解未知函数值，分析变量增减规律，利用一次函数均匀变化特征解题。 【例7】如图，已知直线a：，直线b：和点，过点P作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，…，按此作法进行下去，则点的横坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】某水果店售卖草莓，售价固定，每日销售额随售卖时长变化而变化．设售卖时长为小时（自变量），销售额为元（因变量），部分售卖数据如下表： 售卖时长（小时） 1 2 3 4 销售额（元） 80 160 240 320 (1)根据表格数据，写出与的变量关系式； (2)分析销售额随售卖时长的变化趋势； (3)若当日草莓全部售完用时6.5小时，求当日总销售额； (4)若当日固定成本为150元，求售卖5小时的纯利润． 【变式7-2】已知正比例函数，根据函数表达式填写下表． … 0 1 2 … … … 【变式7-3】学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况．在两种不同的场景A和场景B下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时间为x分钟时，在场景A，B中的剩余质量分别为，（单位：克）． 下面是某研究小组的探究过程，请补充完整： 记录，与x的几组对应值如下： x（分钟） 0 5 10 15 20 … （克） 25 23.5 20 14.5 7 … （克） 25 20 15 10 5 … (1)在同一平面直角坐标系中，描出上表中各组数值所对应的点，，并画出函数，的图象；    (2)进一步探究发现，场景A的图象是抛物线的一部分，与x之间近似满足二次函数：．场景B的图象是直线的一部分，与x之间近似满足一次函数（）．则 ， ， ； (3)查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于4克时，才能发挥作用，在上述实验中，记该化学试剂在场景A，B中发挥作用的时间分别为，，则 （填“”，“”或“”）． 【探究式学习】 1．（八年级下·山西临汾·期末）阅读与思考 下面是智慧小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 有关“匀速变化一次函数”的研究报告智慧小组研究对象：匀速变化一次函数 研究思路：按“概念——例题——探究”的路径进行研究 研究内容： 【一般概念】设y是x的一次函数，我们取自变量x的取值范围内的两个不同的值，，当到变化时，对应的y的值由到也随之变化，这时我们称比值为y在与之间的平均变化速度，当y在自变量x取值范围内任意两个不同值之间的平均变化速度相同时，我们称y是x的匀速变化一次函数． 【例题研究】根据匀速变化一次函数的概念，对函数的研究如下： 当时，；当时，． ． 当时，；当时，． ． ∵y在自变量x的取值范围内任意两个不同值之间的平均变化速度是同一个数5， ∴y是x的匀速变化一次函数． 【深入探索】通过上述方法可以验证函数为y关于x的匀速变化一次函数，则该函数的平均变化速度刚好等于 ▲ ． 发现结论：若，是函数图象上的两点，则 ■ ．我们只需再取图象上两点就可以快速地验证y是不是x的匀速变化一次函数． 任务 (1)填空：上述材料中的▲______，■______． (2)请说明材料中的结论是如何验证函数（k，b是常数，且）是y关于x的匀速变化一次函数的． 2．（八年级上·浙江杭州·期末）综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师请同学们探索一次函数的图象与系数的关系．老师给出两个一次函数，（a，b均不为0，且），同学们利用图形计算器画出a，b不同取值下的两个一次函数的图象，并观察它们的交点位置．三个小组分别绘制了当（时的函数图象，得到了不同情况下函数和的图象的交点坐标． 数学思考：（1）请从（I）当时；（Ⅱ）当时；（Ⅲ）当时，三组值中任选一组，求此时函数和的图象的交点坐标． 注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分． 深入探究：（2）老师请同学们经过思考，提出新的问题． ①“运河小组”提出问题：不论a，b如何取值，函数和的图象的交点的横坐标都是定值．请你证明结论，并求出这个定值． ②“武林小组”提出问题：若，要比较和的大小，需要分类讨论．请你比较和的大小． ③不论a，b如何取值，当x等于某个正数时，函数和的值都存在某种确定的等量关系，请你直接写出结论． 【课后检测】 1．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）下列函数中，一次函数的式子是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·云南曲靖·开学考试）下列是一次函数的是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·云南曲靖·开学考试）下列各点不在函数上的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）已知，若是的正比例函数，则的值为（     ） A．1 B．0 C． D． 5．（25-26八年级下·云南红河·期末）若与成正比例，且当时，，则与函数关系为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·贵州贵阳·期末）水钟在我国古代叫“漏刻”或“漏壶”，如图②是一种原始漏刻的示意图，水从上面的贮水壶慢慢漏入下方的受水壶中，受水壶中的浮子上竖直放置一根标尺（称为“漏箭”）．假设漏水量是均匀的，受水壶中的浮子就会均匀升高．则下图表示浮子升高的高度与经历时间之间关系的是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·山东泰安·期末）已知一次函数的图象经过点，且随的增大而增大．若点在该函数的图象上，则点N的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级上·全国·期末）根据如图的程序计算函数的值，若输入的值是，则输出的值是；若输入的值是，则输出的值是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·北京平谷·期末）已知，当时，y的值记为；当时，y的值记为；当时，y的值记为……，则的值为（    ） A．2025 B．2026 C．2035 D．2037 10．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）一次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则n的值为（   ） x … m … y … 4 2 n … A． B．1 C．2 D． 11．（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）若点在直线上，则的值是______． 12．（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）若点在函数的图象上，则的值是______． 13．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）当时，函数的值为___________ 14．（九年级·广西防城港·竞赛）一次函数和正比例函数的定义：一般地，形如____________（，是常数，且）的函数叫一次函数，它的图象是一条_______．形如____________（是常数，且）的函数叫正比例函数，它的图象是一条过_______的_________． 15．（25-26八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在直线与直线之间，则的取值范围是________． 16．（26-27八年级下·全国·课后作业）下列函数，哪些是一次函数？请指出一次函数中的k和b的值． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 17．（26-27八年级下·全国·课后作业）一个深度为的长方体污水处理池，容积为，底面积为． (1)写出用表示的函数表达式． (2)当时，求的值． 18．（26-27八年级下·全国·课后作业）已知函数是关于x的正比例函数，求m的值． 19．（25-26八年级上·河南南阳·期末）已知一次函数． (1)若点在该一次函数图象上，求的值； (2)小亮说：“不论取除1外的任何值，该一次函数图象恒过定点．”请通过计算说明小亮的说法是否正确． 20．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，平面直角坐标系中有点和y轴上一动点，其中，以点A为直角顶点在第一象限内作等腰直角三角形． (1)点C的坐标为______（用a表示）；判断：点C______函数的图象上（填“在”或“不在”）． (2)当时，如图2，点D的坐标为，作等腰，其中，，连接交y轴于点M，求点M的坐标． (3)在（2）的条件下，若点P在第二象限，且P，D，M构成等腰直角三角形，请直接写出点P的坐标． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 38 页 第 1 页 共 38 页 学科网（北京）股份有限公司 $