第08讲 平面直角坐标系（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年北师大版八年级数学上册

简一数理 初中专题讲义 第08讲 平面直角坐标系 （新教材北师大版） 知识点一、平面直角坐标系与点的坐标的概念 2 知识点二、坐标平面 3 知识点三、点坐标的特征 3 知识点四、两个重要公式 4 【题型1 写出直角坐标系中点的坐标】 4 【题型2 求点到坐标轴的距离】 6 【题型3 判断点所在的象限】 8 【题型4 已知点所在象限求参数】 10 【题型5 坐标系中描点】 12 【题型6 已知两点坐标求两点距离】 16 【题型7 实际问题中用坐标表示位置】 20 【题型8 点坐标规律探索】 22 【题型9 中点坐标】 25 【题型10 求点沿X轴、Y轴平移后的坐标】 28 【题型11 由平移方式确定点的坐标】 29 【题型12 已知点平移前后的坐标，判断平移方式】 31 【题型13 已知图形的平移，求点的坐标】 36 【探究式学习】 41 【课后检测】 49 【复盘笔记】 62 知识点一、平面直角坐标系与点的坐标的概念 1. 平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1). 要点：平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的. 2. 点的坐标 平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点P的坐标，记作:P(a,b)，如图2. 要点： （1）表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开． （2）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离. (3) 对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的． 知识点二、坐标平面 1. 象限 建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下图． 要点： （1）坐标轴x轴与y轴上的点(包括原点)不属于任何象限． （2）按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方，第四象限在右下方. 2. 坐标平面的结构 坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限. 这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点. 知识点三、点坐标的特征 1.各个象限内和坐标轴上点的坐标符号规律 要点诠释： （1）对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上. （2）坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0． （3）根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置；反之，根据点在坐标平面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况． 2.象限的角平分线上点坐标的特征 第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)； 第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，-a)． 3.关于坐标轴对称的点的坐标特征 P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为 (a,-b)； P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为 (-a,b)； P(a，b)关于原点对称的点的坐标为 (-a,-b)． 4.平行于坐标轴的直线上的点 平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同； 平行于y轴的直线上的点的横坐标相同. 知识点四、两个重要公式 （1）中点公式：若、，则AB中点C坐标为：； （2）两点距离公式：已知两点：、，则． （都可以由这两个点来构造直角三角形进行推导，中点公式用中位线，距离公式用勾股定理推导） 【题型1 写出直角坐标系中点的坐标】 【例1】（26-27七年级上·广东汕头·开学考试）在平面直角坐标系中有，，三点，且点，点，点，若的立方根是，的算术平方根为，c是比小的最大整数，则下列结论：①；②的平方根为；③；④c是关于的方程的解；其中正确的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据立方根、算术平方根的定义及无理数估算求出，，的值，再验证各结论． 【详解】解：∵的立方根是， ∴， 解得； ∵的算术平方根为， ∴， 将代入得， 解得， ∵是比小的最大整数， ∴； ① ，即，结论正确； ② ， 则， 的平方根为，结论正确； ③ 由点坐标得，，，结论错误； ④ 方程为， 解得， 不是方程的解，结论错误； 综上，正确的结论有2个． 【变式1-1】若点，是与x轴平行的直线上不同的两点，且到y轴的距离相等，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用与轴平行的直线的点坐标特征（纵坐标相等）、点到轴的距离相等及两点互异的坐标特征（横坐标互为相反数），求、的值，进而得点坐标． 【详解】解：∵点，在与轴平行的直线上， ∴， ∵两点到轴的距离相等， ∴，即， ∵两点是不同的点，当时，、坐标均为，两点重合，不符合题意， ∴， ∴点的坐标为． 【变式1-2】在平面直角坐标系中，已知正方形的边长为，两个顶点的坐标为，，平行于轴，则顶点的坐标是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】解：∵平行于y轴，， ∴点C的横坐标为3． ∵正方形边长为4， ∴． 当点C在点B上方时，点C的纵坐标为，即； 当点C在点B下方时，点C的纵坐标为，即． 【变式1-3】平面直角坐标系中，点，若轴．则线段的最小值及此时点的坐标分别为（     ） A．6， B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据轴确定点C的纵坐标范围，再利用垂线段最短的性质，得到取最小值的位置，进而计算得到结果． 【详解】解：∵ 轴，平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相等，点的纵坐标为， ∴ 点的纵坐标，即点在直线上移动， 根据垂线段最短的性质，当时，线段取得最小值， ∵ 轴， ∴ 轴，此时点的横坐标与点的横坐标相等，即， ∴ 此时点的坐标为， ，即线段的最小值为． 【题型2 求点到坐标轴的距离】 【例2】如图，在平面直角坐标系中，四边形的面积是（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】C 【分析】通过作辅助线将不规则四边形分割为规则图形三角形和梯形求解即可． 【详解】解：过点作轴于点． ， ， ， ． 【变式2-1】三个顶点的坐标分别为，则的面积为（     ） A．10 B．20 C．12 D． 【答案】A 【详解】解：∵，横坐标相同， ∴轴，， ∵点到直线的距离为， ∴. 【变式2-2】下列说法不正确的是（     ） A．点一定在第四象限 B．点到轴的距离为 C．若中，则点在轴上 D．若轴，，在第一象限且，则点的坐标为 【答案】C 【分析】根据绝对值和偶次方的非负性可判断点A的横纵坐标的符号，据此可判断A；点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，据此可判断B；根据题意可得或，据此可判断C；平行于轴的直线上的点的横坐标相同，再结合点B在第一象限和求出点B的坐标，即可判断D． 【详解】解：A选项： ∵，， ∴，， ∴ 点横坐标为正，纵坐标为负，即点A在第四象限，原说法正确； B选项： 点到轴的距离为，原说法正确； C选项： ∵， ∴或， ∴点在轴或轴上，并非一定在轴上，原说法错误； D选项： ∵轴，， ∴点的横坐标为， ∵点在第一象限，， ∴点的纵坐标为，即，说法正确． 【变式2-3】在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，且到原点的距离为，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵点在轴负半轴，且到原点的距离为， ∴点的横坐标为， 纵坐标为，即点的坐标为． 【题型3 判断点所在的象限】 【例3】如图，每个小正方形的边长均为，下列各点中不会落在正方形框（四个顶点均为格点）内部的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形顶点坐标得到正方形内部点满足，，进而判断各点是否在正方形内部． 【详解】解：根据网格与平面直角坐标系，可得正方形四个格点顶点的坐标为： ，，，， 正方形内部的点满足：横坐标范围：，纵坐标范围：， 选项：点， ，， 该点落在正方形内部； 选项：点， ，， 该点落在正方形内部； 选项：点， ，， 该点落在正方形内部； 选项：点， ，纵坐标小于正方形下边界， 该点不会落在正方形框内部． 【变式3-1】如果，则点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】利用非负数的性质求出，的值，再根据平面直角坐标系各象限点的坐标特征判断点所在象限． 【详解】解：， ， 由得， 把代入得：， 解得， 点坐标为， 第二象限内点的横坐标为负，纵坐标为正， 点在第二象限． 【变式3-2】若点在第二象限，则化简二次根式得（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据第二象限内点的坐标特征得到的符号，再利用二次根式的性质化简，去绝对值整理后得到结果． 【详解】解：∵ 点在第二象限， ∴ ，， ∴， ∵ ，， 将上述结果代入得：原式． 【变式3-3】第四象限的点是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据各象限内点的坐标符号规律逐一判断选项即可． 【详解】解：A、，横坐标大于0，纵坐标小于0，∴该点在第四象限； B、，纵坐标为0，∴该点在x轴上，不属于任何象限； C、，横坐标小于0，纵坐标大于0，∴该点在第二象限； D、，横纵坐标都小于0，∴该点在第三象限． 【题型4 已知点所在象限求参数】 【例4】（2026·山西运城·二模）在平面直角坐标系中，坐标为的点在第四象限，若该点到两条坐标轴的距离相等，则a的值为（） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据第四象限内点的坐标特征得到横纵坐标的符号，再利用点到两坐标轴距离相等推出横纵坐标绝对值相等，去掉绝对值符号后列方程求解即可 【详解】解：∵点在第四象限 ∴， ∵点到两条坐标轴的距离相等 ∴ 得： 整理得 移项解得 【变式4-1】第四象限内的点，它到x轴的距离是，到y轴的距离是，则点P的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据第四象限内点的坐标特征：横坐标大于0，纵坐标小于0，结合点到轴的距离为纵坐标的绝对值，到轴的距离为横坐标的绝对值，列出方程，求解即可得到点的坐标． 【详解】点在第四象限 ，， 则，； 点到x轴的距离是，到y轴的距离是， ∴，， 故，； 将代入，得， 解得； 将代入，得； 点P的坐标为． 【变式4-2】平面直角坐标系中，第二象限内的点到y轴的距离是5，则a的值为（   ） A． B．8 C． D．3 【答案】A 【分析】点到y轴的距离等于点横坐标的绝对值，第二象限内点的横坐标小于0，纵坐标大于0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵点在第二象限，且到y轴的距离是5， ∴，且， ∴， 解得， 此时，符合题意． 【变式4-3】在平面直角坐标系中，点在第二象限，它到轴、轴的距离分别为个单位长度和个单位长度，那么点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据第二象限内点的坐标特征，以及点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值，即可求解点P的坐标． 【详解】解：设点的坐标为， 点在第二象限， ∴，， 点到轴的距离为个单位长度，到轴的距离为个单位长度， ， ∴， 点的坐标为． 【题型5 坐标系中描点】 【例5】（2026·贵州遵义·模拟预测）如图，平面内，，，，，六个点，若，，则点的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据，建立平面直角坐标系即可判断点的象限． 【详解】解：根据，建立平面直角坐标系如图， 可得，点在第四象限． 【变式5-1】图中标明了李同学家附近的一些地方．某日早晨，李同学从家里出发，沿，的路线转了一下，又回到家里，如图，依次连接他经过的地方，你得到的图形是（　　） A．心形 B．鱼 C．帆船 D．箭头 【答案】D 【分析】本题考查坐标确定位置，在平面直角坐标系中，一定要理解点与坐标的对应关系，是解决此类问题的关键．由图形及其坐标得出具体的位置画出图形即可. 【详解】解：如下图所示，得到一个“箭头”的图形， 故选：D 【变式5-2】如图，在的方格纸中，每个小正方形边长为1，点，，在方格纸的交点（格点）上，在第四象限内的格点上找点，使的面积为3，则这样的点共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系，三角形面积问题．根据轴，，可求出的高，再根据点C在第四象限，即可求解． 【详解】解：由图可知，轴，且， 设点到的距离为， 则的面积， 解得， 点在第四象限， 点的位置如图所示，共有3个． 故选：B． 【变式5-3】若，，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，坐标与图形．先画图描出点，，，，再结合图形与勾股定理逐一分析即可. 【详解】解：，，，如图所示， ∴，故A符合题意； 如图， ∴，故B不符合题意； 如图， ∴，，故C不符合题意； 如图， ∴，， ∴，故D不符合题意； 故选A． 【题型6 已知两点坐标求两点距离】 【例6】如图，在平面直角坐标系中，，以原点为圆心，长为半径作弧，交轴负半轴于点，则点的横坐标在（     ） A．到之间 B．到之间 C．到之间 D．到之间 【答案】C 【分析】利用勾股定理求出的长，根据圆的半径相等得到的长，再估算无理数的大小，结合点的位置确定范围． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴． ∵以原点为圆心，长为半径作弧交轴负半轴于点， ∴． ∴点的横坐标为． ∵， ∴． ∴． ∴点的横坐标在到之间． 【变式6-1】如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，均在网格线的交点上，点是的中点，则的长为（     ） A．2.5 B． C． D． 【答案】D 【分析】通过建立平面直角坐标系，确定点、、的坐标，利用中点公式求出点的坐标，最后计算的长度即可． 【详解】解：如图，建立平面直角坐标系， ∵每个小正方形的边长均为1， ∴，，， 点是的中点， 点的横坐标为，纵坐标为，即， ∴． 【变式6-2】如图，，，点E在上，F，G分别是和的中点，连接，，，则的长是（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】A 【分析】以点B为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，根据全等三角形的性质得出，，从而得出，，，，根据中点坐标公式得出，，根据两点间距离公式求出答案即可． 【详解】解：以点B为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示： ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴轴， ∴，，，， ∵F，G分别是和的中点， ∴点的坐标为，G点的坐标为， 即，， ∴． 【变式6-3】在平面直角坐标系中，已知点，点，点，点，若，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，两直线交于点，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，两直线交于点，则，则，，得到，，，，根据勾股定理可得，，由得到，则，即可求解． 【详解】解：如图，连接、，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，两直线交于点，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，两直线交于点，则， 点，点，点，点， ，， ，，，， ，， ， ， ， 解得或， 故选：A． 【题型7 实际问题中用坐标表示位置】 【例7】（25-26七年级下·陕西延安·期末）如图，某地有3棵古松树，，，为加强对古树的保护，园林部门将其中的2棵古松树的位置用坐标表示为，，则第3棵古松树的位置用坐标表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，的坐标可确定原点和坐标轴的位置，据此建立平面直角坐标系即可得到答案． 【详解】解：根据题意可建立如下平面直角坐标系，则第3棵古松树的位置用坐标表示为． 【变式7-1】抚顺月牙岛生态公园，坐落于抚顺市顺城区浑河南岸，浑河与古城子河交汇处，因岛屿呈狭长弯月状得名，是抚顺核心城市滨水生态地标，是“城市绿肺”，是辽宁省运会开幕式举办地之一(图1)．若利用网格(图2)建立适当的平面直角坐标系，表示云松桥的点的坐标为，表示月亮湾广场的点的坐标为，那么表示脚踏船售票处的点的坐标应是(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意建立直角坐标系，从而得解． 【详解】解：∵表示云松桥的点的坐标为，表示月亮湾广场的点的坐标为， ∴建立的平面直角坐标系如下图所示： ∴表示脚踏船售票处的点的坐标应是． 【变式7-2】信息小组通过编程设计个机器人的队形，某一时刻各机器人的位置如图所示．在图中建立平面直角坐标系，若机器人，的坐标分别为，，则机器人的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据点，的坐标确定原点并建立平面直角坐标系，再结合图形得出点的坐标即可． 【详解】解：∵机器人，的坐标分别为，， ∴原点在点的左边个单位，下边个单位处． 建立平面直角坐标系如图所示， 由图可知，点在轴正半轴个单位，轴负半轴个单位处， ∴机器人的坐标为． 【变式7-3】五子棋是人们喜爱的一种休闲小游戏，规则为：在正方形棋盘中，由黑方先行，轮流摆子，在任意方向（横向、竖向或斜向）上先连成五枚棋子者获胜，如图是小明和小亮的部分对弈图，若白棋子的坐标为，黑棋子的坐标为，则黑棋子的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可以画出相应的平面直角坐标系，从而可以得到点C的坐标． 【详解】解：如图，根据已知可建立平面直角坐标系， 所以点C的坐标是． 【题型8 点坐标规律探索】 【例8】如图，在平面直角坐标系中，点M从原点O出发，按图中箭头所示的方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次接着运动到点，第5次接着运动到点，第6次接着运动到点…按这样的运动规律，经过2026次运动后，点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察点的坐标变化规律，发现每5次运动为一个循环，每个循环横坐标增加4，纵坐标依次为，即可确定点的位置． 【详解】解：，，，，， … ∴每5次运动为一个循环，每个循环横坐标增加4，纵坐标依次为， ， 点的横坐标为，纵坐标为， 点的坐标是． 【变式8-1】如图，在平面直角坐标系中，已知点，按照此规律，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察图形与坐标，发现偶数下标点的坐标呈现规律性变化，每两个点之间横坐标增加3，纵坐标增加1，归纳出点的规律公式求解.． 【详解】解：观察已知点坐标， ，，， ， 偶数项点 的坐标规律为 ． ， 令 ， 点 的横坐标为 ． 纵坐标为 ． ． 【变式8-2】如图所示，点，，，，…，根据这个规律，可得点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察点的横坐标为连续自然数，纵坐标以2、0、、0为周期循环，根据2025除以4的余数确定纵坐标，即可作答． 【详解】解：结合图象，观察点，，，等各点的坐标规律可知：各点的横坐标依次为连续自然数，纵坐标以2、0、、0为周期循环，周期为， ∵， ∴点的纵坐标与的纵坐标相同，也为2， ∴的坐标为． 【变式8-3】如图所示，在平面直角坐标系中，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与轴或轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用，，，，，表示，则顶点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用“每个点为一个循环”的规律，通过求余确定点的位置和象限，再结合第个正方形第二象限顶点为，得出​的坐标． 【详解】解：正方形有个顶点， 每个点为一个正方形循环， ， 为第个正方形位于第二象限的点， 根据题意可知，第个正方形位于第二象限的点为， 故为． 【题型9 中点坐标】 【例9】如图所示，阴影部分的匀质薄板置于平面直角坐标系中（单位：），原点为薄板左下角顶点，该匀质薄板的重心坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，分别为的中点，为的中点，则为该匀质薄板的重心 依题意，，， ∴， ∴即 【变式9-1】嘉嘉在平面直角坐标系中设计了一个跳棋游戏，将棋子从点开始，第一次跳到与点关于点对称的点处，第二次跳到与点关于点对称的点处，第三次跳到与点关于点对称的点处，第四次跳到与点关于点对称的点处，第五次跳到与点关于点对称的点处…按此规律跳下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用点对称的中点性质求出前几个点的坐标，找出坐标循环规律，再通过计算余数得到目标点的坐标． 【详解】解：∵若点关于对称的点为，根据对称中心是两点中点，可得，． 依次计算各点坐标：初始点， 第一次跳动得， 第二次跳动得， 第三次跳动得， 第四次跳动得， 第五次跳动得， 第六次跳动得， ∴坐标每次跳动为一个循环，回到初始坐标． ，余数为， 的坐标与相同，为． 【变式9-2】在平面直角坐标系中，已知点，点，连接，，则下列结论正确的是（    ） ①点一定在点的左侧； ②的中点坐标为； ③三角形的面积为 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】利用横坐标比较、中点坐标公式、三角形面积公式结合绝对值性质判断，统计正确结论个数得到答案． 【详解】解：点都在x轴上， ① 计算横坐标差得， 当时，，即A的横坐标大于B的横坐标，A在B右侧，故①错误； ②根据中点坐标公式，中点的横坐标为 ，纵坐标为， ∴的中点坐标为，故②正确； ③的长度为，的高为点C到x轴的距离，即10， ∴ 当时，，不等于，故③错误； 综上，正确结论只有1个． 【变式9-3】在平面直角坐标系中，点，，，轴，点的纵坐标为．则以下说法正确的是（    ） A．当时，点是线段的中点 B．无论取何值，线段的长度恒为1 C．存在唯一一个的值，使得 D．存在唯一一个的值，使得 【答案】C 【分析】根据各点坐标，分别计算各选项对应内容，逐一判断即可． 【详解】解：由已知得，点，，，因为轴，点纵坐标为，所以． 选项A：当时，，，，中点的横坐标为，因此点不是线段的中点，A错误． 选项B：线段的长度为，不是定值，随变化，因此B错误． 选项C：，．若，则，解得，只存在唯一一个满足条件，因此C正确． 选项D：若，则，可得或，解得或，有两个满足条件，因此D错误． 【题型10 求点沿X轴、Y轴平移后的坐标】 【例10】在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移，解决本题的关键是熟练掌握点的平移规则． 根据平面直角坐标系中点的平移规则，将点向右平移2个单位长度，则点的纵坐标不变，横坐标；再向下平移1个单位长度，则点的横坐标不变，纵坐标，由此求解即可． 【详解】解：∵将点向右平移2个单位长度， ∴此时点的坐标为，即， 再向下平移1个单位长度， ∴可得点的坐标为，即， ∴所得点的坐标是． 故答案为： ． 【变式10-1】点向左平移3个单位，再向上平移4个单位到点B，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点的平移，掌握相关知识是解题的关键． 根据点的平移规律，左右平移，横坐标左减右加，纵坐标不变；上下平移，纵坐标上加下减，横坐标不变，即可解答． 【详解】解：点向左平移3个单位，再向上平移4个单位到点． 故选C． 【变式10-2】编队飞行（即平行飞行）的两架飞机A、B在直角坐标系中的坐标分别为、，当飞机A飞到指定位置的坐标是时，飞机B的坐标是_____． 【答案】 【分析】先根据飞机A确定出平移规律，再求出飞机B的横坐标与纵坐标即可得解． 本题考查了坐标与图形的变化-平移，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键． 【详解】解：∵飞机到达时，横坐标加3，纵坐标减3， ∴飞机的横坐标为，纵坐标为， ∴飞机B的坐标为． 故答案为： 【变式10-3】已知平面直角坐标系中一点，若将点A向下平移，再向右平移，则可能移动到下列哪一点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平移方向判断平移后点的横纵坐标范围，即可筛选出正确选项． 【详解】解：点向下平移，再向右平移， 平移后所得点的横坐标大于，纵坐标小于2， 只有符合要求． 【题型11 由平移方式确定点的坐标】 【例11】将向右平移3个单位后得到，若点A的坐标是，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标，平移的性质，结合将向右平移3个单位后得到，点A的坐标是，得，即点的坐标是． 【详解】解：∵将向右平移3个单位后得到，点A的坐标是， ∴， ∴点的坐标是， 故选：A． 【变式11-1】若点向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到点B的坐标为（     ） A．（2，－1） B．（－1，0） C．（－1，－1） D．（－2，0） 【答案】C 【分析】本题考查点的平移规律，解题关键是熟练掌握：点的平移，左右平移只改变点的横坐标，左减右加；上下平移只改变点的纵坐标，上加下减． 将点的横坐标减2，纵坐标减4，即可得到平移后点B的坐标． 【详解】将点向左平移2个单位后坐标变为， 向下平移4个单位后坐标变为， 即B点坐标为． 故选：C． 【变式11-2】将点向下平移3个单位得到点，那么点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标系中点的平移规律．根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案． 【详解】解：点向下平移3个单位得到点，那么点的坐标是， 故选：D． 【变式11-3】点向上平移4个单位，再向左平移3个单位到点B，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查坐标的平移问题，熟悉坐标平移左减右加，上加下减是解题的关键． 由点向上平移4个单位，再向左平移3个单位，得到即可求解． 【详解】根据点向上平移4个单位，再向左平移3个单位，得到， 所以点． 故选：D． 【题型12 已知点平移前后的坐标，判断平移方式】 【例12】线段是由线段平移得到， 的对应点为，则点 的对应点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点的平移与坐标．熟练掌握点平移坐标变化规律“左减右加，上加下减”是解题的关键． 先根据点A与点C的坐标判断出平移方式 ，再根据平移方式 ，结合点平移坐标变化规律，求出点D坐标即可． 【详解】解：因为线段是由线段平移得到， 的对应点为 ， 所以线段向右平移4个单位，向上平移2个单位，得到线段， 所以点的横坐标加4，纵坐标加2， 所以点 的对应点D的坐标为，即， 故选：C． 【变式12-1】如图所示，三架飞机P，M，N保持编队飞行，某时刻在直角坐标系中的坐标分别为，30秒后，飞机P飞到的位置，则飞机M，N飞到的位置为_____________，为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化—平移，根据点和点的坐标可以确定平移方式，再根据平移方式即可得到对应点坐标． 【详解】解：∵飞机P飞到的位置， ∴平移方式为向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度， ∴点的坐标为，即，点的坐标为，即． 故答案为：，． 【变式12-2】在平面直角坐标系中，点，，a，b满足． (1)点A，B的坐标分别为______、______． (2)如图①，平移线段至，使点A的对应点为，与y轴交于点H，连接，若，求的度数． (3)平移线段至，使点F在y轴负半轴上，如图②，分别作与的平分线、交于点G，求的度数． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）由非负性的性质求出a、b的值即可得到答案； （2）先判断出平移方式为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，则点F的坐标为，可证明，，据此根据平行线的性质即可得到答案； （3）过点O作，过点G作，根据平行线的性质求出，根据角平分线定义求出，最后根据平行线的性质求出 ． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，； （2）解：∵平移线段至，使点A的对应点为，， ∴平移方式为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， ∵， ∴点F的坐标为，即， ∴轴，即， ∴， 由平移的性质可得， ∴； （3）解：过点O作，过点G作， 根据平移可得：， ∴， ∴，， ∴， ∵平分、平分， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴． 【变式12-3】在平面直角坐标系中，已知线段，点A的坐标为，点B的坐标为，如图1所示． (1)平移线段到线段，使点A的对应点为点D，点B的对应点为点C，若点D的坐标为，求点C的坐标． (2)平移线段到线段，使点D在轴的负半轴上，如图2，连接，若三角形的面积为10，求点C、D的坐标． (3)在（2）的条件下，将三角形沿轴以每秒1个单位长度的速度向右平移，同时点P从D点出发，沿轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动时间为秒，请直接写出当等于多少时，三角形的面积与三角形的面积相等． 【答案】(1) (2)，或， (3)或 【分析】本题考查了坐标与图形变换－平移，三角形的面积． （1）先根据点A的对应点为点D，判断出平移的方式，进而求出点C的坐标； （2）先根据三角形的面积为10求出点C的坐标，然后分两种情况求解即可； （3）分点P在点B的左侧和点P在点B的右侧两种情况求解即可． 【详解】（1）∵点的对应点为点， ∴把点A先向左平移1个单位，再向下平移2个单位到达点D， ∵点B的坐标为， ∴点C的坐标，即； （2）如图，作于点H，设， ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴． ∵三角形的面积为10， ∴， ∴ ∴， 解得， ∴， 当点A与点D对应时，则把点A先向左平移4个单位，再向下平移4个单位到达点D，此时点B的对应点C的坐标为，即； 当点B与点D对应时，则把点B先向左平移6个单位，再向下平移1个单位到达点D，此时点A的对应点C的坐标为，即； 综上可知，，或，； （3）由题意得平移后各点坐标为：，，，， ∴, 当点P在点B的左侧时，如图， ∵三角形的面积与三角形的面积相等， ∴， ∴， ∴， 解得； 当点P在点B的右侧时，如图， ∵三角形的面积与三角形的面积相等， ∴， ， ∴， 解得． 综上可知，当或时，三角形的面积与三角形的面积相等． 【题型13 已知图形的平移，求点的坐标】 【例13】将点向右平移若干个单位长度后得到点，则m的值为（　　） A．1 B．4 C．2 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标平移，掌握点的坐标平移规律∶ “左减右加，上加下减”是解题的关键．根据点向右平移，纵坐标不发生变化，由此可知，解方程即可求解． 【详解】解∶∵点向右平移若干个单位长度后得到点 ∴， 解得． 故选∶A． 【变式13-1】沿轴正方向平移10个单位长度得到，的顶点坐标如图所示． (1)点的坐标是________，点的坐标是________； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)   (2)四边形ACED的面积为63 【分析】本题主要考查了图形的平移，点的坐标，四边形的面积等知识点，掌握平移的性质，是解答本题的关键． （1）平移前后两个三角形全等，对应边相等，由此可得点的坐标； （2）根据即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∴，， ∵沿轴正方向平移个单位长度得到， ∴，，， ∴点的坐标是，点的坐标是； （2）解：四边形可看作是一个长方形和一个三角形的面积之差， ． 【变式13-2】如图，长方形中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为，C点的坐标为，点B在第一象限内． (1)写出点B的坐标 ； (2)若过点C的直线交长方形边于点D，且把长方形的周长分为两部分，求点D的坐标． (3)如果将（2）中的线段向下平移0.5个单位，所得线段，试计算由O、A、、点组成的四边形面积． 【答案】(1) (2)点或 (3)或12 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中长方形的性质、图形的平移以及图形面积的计算，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）根据长方形对边相等的性质，直接得出点的坐标； （2）先算出长方形周长，再分直线与相交、与相交两种情况，结合周长比例求出点坐标； （3）根据平移性质得到、坐标，再分情况利用梯形面积公式或三角形面积和来计算四边形面积． 【详解】（1）解：∵长方形中，，，且， ∴ （2）解：∵， ∴， ①当直线与边相交时， ∵， ∴，，即， ②当直线与边相交时， ∵， ∴，即； （3）解：①当点时， ∵线段向下平移个单位 ∴， ∵， ∴ ②当点时， ∵线段向下平移个单位 ∴， 连接，则，则， ∴ ． 【变式13-3】如图：在正方形网格（每个小正方形的边长记为单位1）中有两个三角形，分别是和，按要求进行下列作图（只能借助于无刻度直尺和网格）． (1)以点B为原点，建立平面直角坐标系；分别写出点A，C的坐标：A（______，______），C（______，______）； (2)如图，若是由经过平移得到的，那么经过了怎样的平移？ (3)在（2）的条件下，若点是边上一点，则点P的对应点的坐标：（______，______）； (4)画一个锐角三角形（要求点M在格点上），使其面积等于的面积． 【答案】(1)，0，2，2； (2)是由经过向右平移6个单位，向上平移3个单位得到； (3)7，4 (4)即为所求： 【分析】本题考查作图-平移变换，三角形的面积，解题的关键是掌握平移变换的性质． （1）根据题意作出平面直角坐标系，再根据点A，C的位置写出坐标； （2）利用平移变换的性质判断即可； （3）利用平移变换的规律解决问题； （4）点M在过点F平行的直线上（也可以在直线的下方），答案不唯一． 【详解】（1）平面直角坐标系如图所示，，． 故答案为：，0，2，2； （2）略 （3）是由经过向右平移6个单位，向上平移3个单位得到，点是边上一点， 点的坐标为，即， 故答案为：7，4； （4）略 【探究式学习】 1．（25-26七年级下·四川南充·期中）在平面直角坐标系中，，，，且． (1)求A、B、C三点的坐标； (2)如图1，点在线段上，点从点出发沿轴负方向平移，线段轴，．在点的运动过程中，探究，，之间的关系． (3)若第一象限的一点是射线上的一点，且点．若点在线段上，直线将四边形分成面积之比为的两部分，求点的坐标． 【答案】(1)，， (2)或 (3) 【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b、c的值，然后写出点的坐标即可； （2）根据平行线的性质分类讨论求解即可； （3）由题易得，进而易得；再分两种情况讨论，的面积占总面积的或，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， ∴，，； （2）解：当点E在y轴右侧时，如图， ∵轴， ∴， ∵，， ∴轴， ∴， ∵， ∴； 当点E在y轴左侧时，如图， 同理可知， ∴； 综上，或； （3）解：如图，过B作轴于点D， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 过P作轴，轴， ∵， ∴，， ∴，， ∴； ， 第一种情况：当时，如图， 此时，即， ∴， ∴， ∴； 第二种情况：当时，如图， 此时，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴此时点P不在上，故舍去； 综上，点P坐标为． 2．（25-26八年级上·新疆塔城·期末）阅读理解，自主探究：在初中几何学习中，当图形中出现多个直角且存在相等的线段时，可结合全等三角形的判定与性质来分析线段之间的关系，这是解决这类几何问题的常用思路． 【问题解决】 (1)如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是__________； 【问题探究】 (2)如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，，，求的长； 【拓展延伸】 (3)如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，第一象限内是否存在一点，使为等腰直角三角形？如果存在，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)存在；点的坐标为：，，． 【分析】（1）利用证明，即可得到； （2）利用证明，再利用全等三角形的性质运算即可； （3）分类讨论点的位置，结合全等三角形的性质运算即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴在与中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3）解：存在，理由如下： ①：当，时，过点作平行于轴的直线，于点，于点，如图所示： ∵，， ∴，， 由（1）同理可证， ∴，， ∴点的横坐标，点的纵坐标， ∴； ②：当，时，过点作平行于轴的直线，于点，于点，如图所示： ∵，， ∴，， 由（1）同理可证， ∴，， ∴点的横坐标，点的纵坐标， ∴； ③：当，时，过点作平行于轴的直线，于点，于点，如图所示： 设， ∵，， ∴，，，， 由（1）同理可证， ∴，， ∴， 解得：， ∴， 综上，点的坐标为：，，． 3．（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，且满足，点从点出发沿轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，点从点出发沿轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，且点同时出发，设运动时间为秒． (1)直接写出点和点的坐标； (2)点在运动过程中，当时，试探究与三者的数量关系，并证明你的结论； (3)在点的运动过程中，连接，若，求此时点的坐标． 【答案】(1) (2)； 证明：过点作平行于轴， ， ， ， 平行于轴， 平行于， ， ； (3)或 【分析】（1）根据平方数和算术平方根的非负性求出的值，进而得到点的坐标； （2）过点作平行于轴，构造平行线，利用“两直线平行，内错角相等”将分割成两部分，再分别与与建立联系即可； （3）根据三角形面积公式列出关于的方程，求解出得到的坐标． 【详解】（1）解：，，， ，， 即，， 解得，， ． （2）证明：略． （3）解：， ， 即， ， ， 即或， 解得：或， 当时， ∴点在轴负半轴， ∴， ， 当时， ， ∴点在轴正半轴， ∴， ， 综上：点的坐标为或． 【课后检测】 1．（25-26七年级下·广西崇左·期末）下列说法中，能确定物体位置的是（     ） A．东经北纬 B．离小明家千米的大楼 C．电影院中号座 D．北偏西方向 【答案】A 【详解】解：对于A： 东经，北纬，能确定物体位置，A正确； 对于B：离小明家千米的大楼，仅给出距离，缺少方向，无法确定位置，B错误； 对于C：电影院中号座，仅给出座号，缺少排数，无法确定位置，C错误； 对于D：北偏西方向，仅给出方向，缺少距离，无法确定位置，D错误． 2．（26-27八年级上·辽宁鞍山·开学考试）若点的坐标为，且点在轴上，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵点在轴上， ∴，解得， ∴， ∴点的坐标为． 3．（26-27七年级上·陕西西安·开学考试）小华坐在教室的位置，用数对表示是，坐在小华前面一位同学的位置用数对表示是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：小华位置为，前面一位同学列数不变，行数减1，即，对应数对为． 4（26-27七年级上·辽宁沈阳·开学考试）晓晓坐在教室的第列第行，用表示；点点坐在晓晓正后方且与晓晓相邻的位置，则点点的位置可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由“晓晓坐在教室的第列第行，用表示”可知，数对中第一个数字表示列，第二个数字表示行．点点坐在晓晓正后方且与晓晓相邻的位置，即点点坐在第列，第行，据此即可用数对表示点点的位置． 【详解】解：晓晓在第列第行，位置记为， 又点点在晓晓正后方相邻位置，列数不变，行数加， 点点的位置为． 5．（26-27八年级上·黑龙江绥化·开学考试）若点M的坐标为，则点M在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先判断出点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限． 【详解】解：∵点M的坐标为， ∴点M的横坐标为负，纵坐标为正， ∴点M在第二象限． 6．（25-26七年级下·陕西西安·期中）法国数学家笛卡尔创立了平面直角坐标系，被誉为“解析几何之父”，在平面直角坐标系中，我们定义点的“笛卡尔变换”为：，已知点的坐标为，则经过2025次笛卡尔变换后得到的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据各点坐标得出每4次变换为一个循环，即可求解． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴经过第一次变换后为：，即， 经过第二次变换后为：，即， 经过第三次变换后为：，即， 经过第四次变换后为：，即， ∴变换周期为， ∵， ∴次变换后得到的坐标与第次变换后的坐标相同，即． 7．（七年级下·甘肃庆阳·期中）如图，动点从出发，沿所示的方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点第次碰到矩形的边时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点P的坐标变化规律即可得出结论． 【详解】解：如图， 根据题意得：，…， ∴点的坐标6次一循环． ∵， ∴当P点第2020次碰到矩形的边时的坐标与P点第4次反弹碰到矩形的边时的坐标相同， ∴点P的坐标为． 8．（广西梧州市岑溪市2025-2026学年下学期七年级期末数学试卷）如图，在平面直角坐标系中有点，点P第一次向上平移1个单位至点，接着第二次向左平移2个单位至点，第三次向上平移1个单位至点，第四次向右平移3个单位至点，…，以此规律平移下去，点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】我们先把平移规律按每4次为一组整理，观察下标为4的倍数的点的坐标特征：已知，第八次平移得……，总结规律：当下标（为正整数）时，对应点的坐标为．对于，令，解得，代入规律得横坐标为，纵坐标为． 【详解】解：我们先把平移规律按每4次为一组整理，观察下标为4的倍数的点的坐标特征： 已知，继续按规则推导后续点： 第五次向上平移1个单位得， 第六次向左平移5个单位得， 第七次向上平移1个单位得， 第八次向右平移6个单位得…… 总结规律：当下标（为正整数）时， 对应点的坐标为． 对于，令，解得， 代入规律得横坐标为，纵坐标为， 因此的坐标是． 9．（25-26八年级下·广东茂名·期中）如图，在平面直角坐标系上有点，点A第一次跳动至点，第二次向右跳动3个单位至点，第三次跳动至点，第四次向右跳动5个单位至点，……依此规律跳动下去，点A第2026次跳动至的坐标是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察图形及已知点坐标，分别找出下标为奇数和偶数时点的坐标规律，即可求解． 【详解】解：由题意得：，，，，，，， 归纳可得：当为正整数时，点的坐标为，点的坐标为， ， 点的坐标符合的规律，其中， 点的横坐标为，纵坐标为， 即 ． 10．（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，已知正方形地毯，建立如图所示平面直角坐标系．若点A的坐标为，则顶点C的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，证明即可解答． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 在正方形中，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 11．（26-27八年级上·天津红桥·开学考试）若点在第二象限，则点在第__________象限． 【答案】四 【分析】根据第二象限点的坐标符号特征，先得到和的取值范围，再推导出和的符号，即可判断点所在象限． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴，， ∴，， ∴点在第四象限． 12．（24-25七年级下·湖南湘西·期中）若点在第二象限，且它到轴的距离是5，到轴的距离是2，则点的坐标是________． 【答案】 【分析】第二象限内点的横坐标为负数，纵坐标为正数，点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值，据此计算，即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴，， ∵点到轴的距离是，到轴的距离是， ∴，， ∵，， ∴，， ∴点的坐标是． 13．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）在平面直角坐标系中，若点在轴上，则的值为_________． 【答案】 【分析】点在轴上时纵坐标为，据此列方程可求出的值． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， 解得． 14．（2026八年级上·全国·专题练习）已知点在第四象限角平分线上，则a的值是______． 【答案】3 【分析】根据第四象限的角平分线上的点横、纵坐标互为相反数可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：点在第四象限角平分线上， ， 解得． 15．（26-27九年级上·四川资阳·开学考试）点在平面直角坐标系的y轴上，轴，且，点Q坐标为________． 【答案】或 【分析】轴上的点横坐标为，先求出的值得到点坐标；平行于轴的直线上所有点纵坐标相等，因此与纵坐标相同；即两点横坐标差值的绝对值为，分左右两种情况计算的横坐标． 【详解】解：点在轴上， ，解得， 把代入纵坐标得：， ， 轴，且， 设，则，解得或， 点坐标为或． 16．（26-27八年级下·全国·课后作业）如图，A，B，C，D，E，F，G，H分别是平面直角坐标系中的点，写出这些点的坐标． 【答案】，，，，，，，． 【分析】根据平面直角坐标系中点的坐标的定义，确定每个点的横坐标与纵坐标，即可得到各点坐标． 【详解】略． 17．（26-27八年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，描出点，，，，，并依次连接点A，B，C，D，E，A． 【答案】如图， 【分析】根据平面直角坐标系中点的坐标的定义.先确定每个点的位置.再按照题目要求的顺序依次连接各点即可得到所求图形． 【详解】略 18．（26-27八年级上·山东·阶段检测）如图，三个顶点的坐标分别为，， (1)在图中作出关于轴对称的． (2)写出点的坐标（直接写答案）： ___________． (3)的面积为___________，（直接写答案）． (4)在轴上找一点，使的值最小，请直接写出点的坐标___________． 【答案】(1)解：如图所示，即为所求： (2) (3) (4) 【分析】（）根据关于轴对称的性质作图即可； （）根据作出的图形写出坐标即可； （）利用割补法求三角形的面积即可； （）作点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，点即为所求． 【详解】（1）略 （2）解：由图可得：； （3）解：的面积为； （4）解：如图，作点关于轴的对称点，连接，与轴交于点， 由轴对称的性质可得：， ∴，即此时的值最小，点即为所求， 由图可得，此时点的坐标为． 19．（25-26八年级下·河北张家口·期末）在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，其中为常数，则称点是点的“级关联点”，如：点的“3级关联点”为，即． (1)已知的“5级关联点”是点，求点的坐标； (2)已知点的“级关联点”位于轴上，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论． （2）先求出点的“级关联点”，再根据点的“级关联点” 位于轴上，即可求出的坐标． 【详解】（1）解：点的“5级关联点”是点， ． （2）解：点的“级关联点”是点， ， ． 位于轴上， ， 解得 ， ． 20．如图，在平面直角坐标系中，，在轴上，在轴上，，，点的坐标是，连接，． (1)直接写出顶点，，的坐标； (2)当时，求的面积； (3)是否存在点，使的面积等于的面积？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2) (3)或 【分析】（1）由结合坐标轴位置直接写出坐标，再利用算出长度，得到点坐标； （2）代入确定坐标，拆分为三个小三角形，分别计算面积再求和得到总面积； （3）先算出面积，对点分第四象限、第三象限两种情况，拆分构造面积方程求解，得到对应点坐标． 【详解】（1）解：，在轴上，在轴上， ， ， ，在轴正半轴上， ； （2）解：连接， ， ， ； （3）解：存在，或，理由如下： ， 当在第四象限时，连接， ， 解得：， ， 当在第三象限时，连接，如图， ， 即， 解得：， ， 的坐标为或． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 61 页 第 1 页 共 61 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 第08讲 平面直角坐标系 （新教材北师大版） 知识点一、平面直角坐标系与点的坐标的概念 2 知识点二、坐标平面 3 知识点三、点坐标的特征 3 知识点四、两个重要公式 4 【题型1 写出直角坐标系中点的坐标】 4 【题型2 求点到坐标轴的距离】 5 【题型3 判断点所在的象限】 5 【题型4 已知点所在象限求参数】 6 【题型5 坐标系中描点】 6 【题型6 已知两点坐标求两点距离】 7 【题型7 实际问题中用坐标表示位置】 8 【题型8 点坐标规律探索】 10 【题型9 中点坐标】 11 【题型10 求点沿X轴、Y轴平移后的坐标】 12 【题型11 由平移方式确定点的坐标】 12 【题型12 已知点平移前后的坐标，判断平移方式】 12 【题型13 已知图形的平移，求点的坐标】 15 【探究式学习】 17 【课后检测】 20 【复盘笔记】 25 知识点一、平面直角坐标系与点的坐标的概念 1. 平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1). 要点：平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的. 2. 点的坐标 平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点P的坐标，记作:P(a,b)，如图2. 要点： （1）表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开． （2）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离. (3) 对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的． 知识点二、坐标平面 1. 象限 建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下图． 要点： （1）坐标轴x轴与y轴上的点(包括原点)不属于任何象限． （2）按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方，第四象限在右下方. 2. 坐标平面的结构 坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限. 这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点. 知识点三、点坐标的特征 1.各个象限内和坐标轴上点的坐标符号规律 要点诠释： （1）对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上. （2）坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0． （3）根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置；反之，根据点在坐标平面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况． 2.象限的角平分线上点坐标的特征 第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)； 第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，-a)． 3.关于坐标轴对称的点的坐标特征 P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为 (a,-b)； P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为 (-a,b)； P(a，b)关于原点对称的点的坐标为 (-a,-b)． 4.平行于坐标轴的直线上的点 平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同； 平行于y轴的直线上的点的横坐标相同. 知识点四、两个重要公式 （1）中点公式：若、，则AB中点C坐标为：； （2）两点距离公式：已知两点：、，则． （都可以由这两个点来构造直角三角形进行推导，中点公式用中位线，距离公式用勾股定理推导） 【题型1 写出直角坐标系中点的坐标】 【例1】（26-27七年级上·广东汕头·开学考试）在平面直角坐标系中有，，三点，且点，点，点，若的立方根是，的算术平方根为，c是比小的最大整数，则下列结论：①；②的平方根为；③；④c是关于的方程的解；其中正确的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】若点，是与x轴平行的直线上不同的两点，且到y轴的距离相等，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】在平面直角坐标系中，已知正方形的边长为，两个顶点的坐标为，，平行于轴，则顶点的坐标是（    ） A． B．或 C． D．或 【变式1-3】平面直角坐标系中，点，若轴．则线段的最小值及此时点的坐标分别为（     ） A．6， B． C． D． 【题型2 求点到坐标轴的距离】 【例2】如图，在平面直角坐标系中，四边形的面积是（    ） A．4 B． C． D．5 【变式2-1】三个顶点的坐标分别为，则的面积为（     ） A．10 B．20 C．12 D． 【变式2-2】下列说法不正确的是（     ） A．点一定在第四象限 B．点到轴的距离为 C．若中，则点在轴上 D．若轴，，在第一象限且，则点的坐标为 【变式2-3】在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，且到原点的距离为，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【题型3 判断点所在的象限】 【例3】如图，每个小正方形的边长均为，下列各点中不会落在正方形框（四个顶点均为格点）内部的是（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】如果，则点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3-2】若点在第二象限，则化简二次根式得（     ） A． B． C． D． 【变式3-3】第四象限的点是（     ） A． B． C． D． 【题型4 已知点所在象限求参数】 【例4】（2026·山西运城·二模）在平面直角坐标系中，坐标为的点在第四象限，若该点到两条坐标轴的距离相等，则a的值为（） A．4 B． C． D． 【变式4-1】第四象限内的点，它到x轴的距离是，到y轴的距离是，则点P的坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】平面直角坐标系中，第二象限内的点到y轴的距离是5，则a的值为（   ） A． B．8 C． D．3 【变式4-3】在平面直角坐标系中，点在第二象限，它到轴、轴的距离分别为个单位长度和个单位长度，那么点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【题型5 坐标系中描点】 【例5】（2026·贵州遵义·模拟预测）如图，平面内，，，，，六个点，若，，则点的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式5-1】图中标明了李同学家附近的一些地方．某日早晨，李同学从家里出发，沿，的路线转了一下，又回到家里，如图，依次连接他经过的地方，你得到的图形是（　　） A．心形 B．鱼 C．帆船 D．箭头 【变式5-2】如图，在的方格纸中，每个小正方形边长为1，点，，在方格纸的交点（格点）上，在第四象限内的格点上找点，使的面积为3，则这样的点共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式5-3】若，，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型6 已知两点坐标求两点距离】 【例6】如图，在平面直角坐标系中，，以原点为圆心，长为半径作弧，交轴负半轴于点，则点的横坐标在（     ） A．到之间 B．到之间 C．到之间 D．到之间 【变式6-1】如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，均在网格线的交点上，点是的中点，则的长为（     ） A．2.5 B． C． D． 【变式6-2】如图，，，点E在上，F，G分别是和的中点，连接，，，则的长是（    ） A． B． C．4 D．2 【变式6-3】在平面直角坐标系中，已知点，点，点，点，若，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【题型7 实际问题中用坐标表示位置】 【例7】（25-26七年级下·陕西延安·期末）如图，某地有3棵古松树，，，为加强对古树的保护，园林部门将其中的2棵古松树的位置用坐标表示为，，则第3棵古松树的位置用坐标表示为（     ） A． B． C． D． 【变式7-1】抚顺月牙岛生态公园，坐落于抚顺市顺城区浑河南岸，浑河与古城子河交汇处，因岛屿呈狭长弯月状得名，是抚顺核心城市滨水生态地标，是“城市绿肺”，是辽宁省运会开幕式举办地之一(图1)．若利用网格(图2)建立适当的平面直角坐标系，表示云松桥的点的坐标为，表示月亮湾广场的点的坐标为，那么表示脚踏船售票处的点的坐标应是(     ) A． B． C． D． 【变式7-2】信息小组通过编程设计个机器人的队形，某一时刻各机器人的位置如图所示．在图中建立平面直角坐标系，若机器人，的坐标分别为，，则机器人的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式7-3】五子棋是人们喜爱的一种休闲小游戏，规则为：在正方形棋盘中，由黑方先行，轮流摆子，在任意方向（横向、竖向或斜向）上先连成五枚棋子者获胜，如图是小明和小亮的部分对弈图，若白棋子的坐标为，黑棋子的坐标为，则黑棋子的坐标为（     ） A． B． C． D． 【题型8 点坐标规律探索】 【例8】如图，在平面直角坐标系中，点M从原点O出发，按图中箭头所示的方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次接着运动到点，第5次接着运动到点，第6次接着运动到点…按这样的运动规律，经过2026次运动后，点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式8-1】如图，在平面直角坐标系中，已知点，按照此规律，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式8-2】如图所示，点，，，，…，根据这个规律，可得点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式8-3】如图所示，在平面直角坐标系中，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与轴或轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用，，，，，表示，则顶点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【题型9 中点坐标】 【例9】如图所示，阴影部分的匀质薄板置于平面直角坐标系中（单位：），原点为薄板左下角顶点，该匀质薄板的重心坐标为（  ） A． B． C． D． 【变式9-1】嘉嘉在平面直角坐标系中设计了一个跳棋游戏，将棋子从点开始，第一次跳到与点关于点对称的点处，第二次跳到与点关于点对称的点处，第三次跳到与点关于点对称的点处，第四次跳到与点关于点对称的点处，第五次跳到与点关于点对称的点处…按此规律跳下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】在平面直角坐标系中，已知点，点，连接，，则下列结论正确的是（    ） ①点一定在点的左侧； ②的中点坐标为； ③三角形的面积为 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式9-3】在平面直角坐标系中，点，，，轴，点的纵坐标为．则以下说法正确的是（    ） A．当时，点是线段的中点 B．无论取何值，线段的长度恒为1 C．存在唯一一个的值，使得 D．存在唯一一个的值，使得 【题型10 求点沿X轴、Y轴平移后的坐标】 【例10】在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得点的坐标是______． 【变式10-1】点向左平移3个单位，再向上平移4个单位到点B，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】编队飞行（即平行飞行）的两架飞机A、B在直角坐标系中的坐标分别为、，当飞机A飞到指定位置的坐标是时，飞机B的坐标是_____． 【变式10-3】已知平面直角坐标系中一点，若将点A向下平移，再向右平移，则可能移动到下列哪一点（    ） A． B． C． D． 【题型11 由平移方式确定点的坐标】 【例11】将向右平移3个单位后得到，若点A的坐标是，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】若点向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到点B的坐标为（     ） A．（2，－1） B．（－1，0） C．（－1，－1） D．（－2，0） 【变式11-2】将点向下平移3个单位得到点，那么点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式11-3】点向上平移4个单位，再向左平移3个单位到点B，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【题型12 已知点平移前后的坐标，判断平移方式】 【例12】线段是由线段平移得到， 的对应点为，则点 的对应点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】如图所示，三架飞机P，M，N保持编队飞行，某时刻在直角坐标系中的坐标分别为，30秒后，飞机P飞到的位置，则飞机M，N飞到的位置为_____________，为_____________． 【变式12-2】在平面直角坐标系中，点，，a，b满足． (1)点A，B的坐标分别为______、______． (2)如图①，平移线段至，使点A的对应点为，与y轴交于点H，连接，若，求的度数． (3)平移线段至，使点F在y轴负半轴上，如图②，分别作与的平分线、交于点G，求的度数． 【变式12-3】在平面直角坐标系中，已知线段，点A的坐标为，点B的坐标为，如图1所示． (1)平移线段到线段，使点A的对应点为点D，点B的对应点为点C，若点D的坐标为，求点C的坐标． (2)平移线段到线段，使点D在轴的负半轴上，如图2，连接，若三角形的面积为10，求点C、D的坐标． (3)在（2）的条件下，将三角形沿轴以每秒1个单位长度的速度向右平移，同时点P从D点出发，沿轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动时间为秒，请直接写出当等于多少时，三角形的面积与三角形的面积相等． 【题型13 已知图形的平移，求点的坐标】 【例13】将点向右平移若干个单位长度后得到点，则m的值为（　　） A．1 B．4 C．2 D．0 【变式13-1】沿轴正方向平移10个单位长度得到，的顶点坐标如图所示． (1)点的坐标是________，点的坐标是________； (2)求四边形的面积． 【变式13-2】如图，长方形中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为，C点的坐标为，点B在第一象限内． (1)写出点B的坐标 ； (2)若过点C的直线交长方形边于点D，且把长方形的周长分为两部分，求点D的坐标． (3)如果将（2）中的线段向下平移0.5个单位，所得线段，试计算由O、A、、点组成的四边形面积． 【变式13-3】如图：在正方形网格（每个小正方形的边长记为单位1）中有两个三角形，分别是和，按要求进行下列作图（只能借助于无刻度直尺和网格）． (1)以点B为原点，建立平面直角坐标系；分别写出点A，C的坐标：A（______，______），C（______，______）； (2)如图，若是由经过平移得到的，那么经过了怎样的平移？ (3)在（2）的条件下，若点是边上一点，则点P的对应点的坐标：（______，______）； (4)画一个锐角三角形（要求点M在格点上），使其面积等于的面积． 【探究式学习】 1．（25-26七年级下·四川南充·期中）在平面直角坐标系中，，，，且． (1)求A、B、C三点的坐标； (2)如图1，点在线段上，点从点出发沿轴负方向平移，线段轴，．在点的运动过程中，探究，，之间的关系． (3)若第一象限的一点是射线上的一点，且点．若点在线段上，直线将四边形分成面积之比为的两部分，求点的坐标． 2．（25-26八年级上·新疆塔城·期末）阅读理解，自主探究：在初中几何学习中，当图形中出现多个直角且存在相等的线段时，可结合全等三角形的判定与性质来分析线段之间的关系，这是解决这类几何问题的常用思路． 【问题解决】 (1)如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是__________； 【问题探究】 (2)如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，，，求的长； 【拓展延伸】 (3)如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，第一象限内是否存在一点，使为等腰直角三角形？如果存在，请直接写出点的坐标． 3．（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，且满足，点从点出发沿轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，点从点出发沿轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，且点同时出发，设运动时间为秒． (1)直接写出点和点的坐标； (2)点在运动过程中，当时，试探究与三者的数量关系，并证明你的结论； (3)在点的运动过程中，连接，若，求此时点的坐标． 【课后检测】 1．（25-26七年级下·广西崇左·期末）下列说法中，能确定物体位置的是（     ） A．东经北纬 B．离小明家千米的大楼 C．电影院中号座 D．北偏西方向 2．（26-27八年级上·辽宁鞍山·开学考试）若点的坐标为，且点在轴上，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 3．（26-27七年级上·陕西西安·开学考试）小华坐在教室的位置，用数对表示是，坐在小华前面一位同学的位置用数对表示是（     ） A． B． C． D． 4（26-27七年级上·辽宁沈阳·开学考试）晓晓坐在教室的第列第行，用表示；点点坐在晓晓正后方且与晓晓相邻的位置，则点点的位置可表示为（     ） A． B． C． D． 5．（26-27八年级上·黑龙江绥化·开学考试）若点M的坐标为，则点M在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（25-26七年级下·陕西西安·期中）法国数学家笛卡尔创立了平面直角坐标系，被誉为“解析几何之父”，在平面直角坐标系中，我们定义点的“笛卡尔变换”为：，已知点的坐标为，则经过2025次笛卡尔变换后得到的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 7．（七年级下·甘肃庆阳·期中）如图，动点从出发，沿所示的方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点第次碰到矩形的边时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 8．（广西梧州市岑溪市2025-2026学年下学期七年级期末数学试卷）如图，在平面直角坐标系中有点，点P第一次向上平移1个单位至点，接着第二次向左平移2个单位至点，第三次向上平移1个单位至点，第四次向右平移3个单位至点，…，以此规律平移下去，点的坐标是（     ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·广东茂名·期中）如图，在平面直角坐标系上有点，点A第一次跳动至点，第二次向右跳动3个单位至点，第三次跳动至点，第四次向右跳动5个单位至点，……依此规律跳动下去，点A第2026次跳动至的坐标是（） A． B． C． D． 10．（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，已知正方形地毯，建立如图所示平面直角坐标系．若点A的坐标为，则顶点C的坐标为（     ） A． B． C． D． 11．（26-27八年级上·天津红桥·开学考试）若点在第二象限，则点在第__________象限． 12．（24-25七年级下·湖南湘西·期中）若点在第二象限，且它到轴的距离是5，到轴的距离是2，则点的坐标是________． 13．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）在平面直角坐标系中，若点在轴上，则的值为_________． 14．（2026八年级上·全国·专题练习）已知点在第四象限角平分线上，则a的值是______． 15．（26-27九年级上·四川资阳·开学考试）点在平面直角坐标系的y轴上，轴，且，点Q坐标为________． 16．（26-27八年级下·全国·课后作业）如图，A，B，C，D，E，F，G，H分别是平面直角坐标系中的点，写出这些点的坐标． 17．（26-27八年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，描出点，，，，，并依次连接点A，B，C，D，E，A． 18．（26-27八年级上·山东·阶段检测）如图，三个顶点的坐标分别为，， (1)在图中作出关于轴对称的． (2)写出点的坐标（直接写答案）： ___________． (3)的面积为___________，（直接写答案）． (4)在轴上找一点，使的值最小，请直接写出点的坐标___________． 19．（25-26八年级下·河北张家口·期末）在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，其中为常数，则称点是点的“级关联点”，如：点的“3级关联点”为，即． (1)已知的“5级关联点”是点，求点的坐标； (2)已知点的“级关联点”位于轴上，求点的坐标． 20．如图，在平面直角坐标系中，，在轴上，在轴上，，，点的坐标是，连接，． (1)直接写出顶点，，的坐标； (2)当时，求的面积； (3)是否存在点，使的面积等于的面积？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 61 页 第 1 页 共 61 页 学科网（北京）股份有限公司 $