第四单元 圆（圆的面积）专项突破讲义（知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习）人教版数学六年级上册（新教材）

第四单元 圆（圆的面积）专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、圆的面积的意义 圆所占平面的大小叫做圆的面积，用字母表示。 ● 面积是平面图形的大小，单位是平方单位（如平方厘米、平方分米、平方米），注意和周长的长度单位区分开。 二、圆的面积公式推导 1. 推导思想：转化法 把圆分成若干（偶数）等份，剪开后可以拼成一个近似的长方形。分的份数越多，拼成的图形越接近长方形。 2. 对应关系 拼成的近似长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径。 ● 长方形的长 = 圆周长的一半 = ● 长方形的宽 = 圆的半径 = 3. 公式推导 长方形的面积 = 长 × 宽 所以圆的面积 = 三、圆的面积计算公式 1. 已知半径求面积 公式： ● 例：半径3厘米的圆，面积（平方厘米） 2. 已知直径求面积 先根据直径求出半径：，再代入面积公式。 公式： 3. 已知周长求面积 先根据周长求出半径：，再代入面积公式。 公式： 四、半圆的面积 半圆的面积 = 圆的面积 ÷ 2 公式： ● 注意：半圆的面积只是圆面积的一半，和半圆周长不同，不需要加直径。 五、圆环的面积 1. 定义：两个同心圆之间的部分叫做圆环，也叫环形。 ● 外圆半径用表示，内圆半径用表示，环宽 = 。 2. 计算公式 圆环的面积 = 外圆面积 - 内圆面积 公式： ● 简便算法：利用平方差公式，先算半径的平方差，再乘，计算更简便。 六、圆的面积变化规律 在同一个圆中： 1. 半径扩大到原来的倍，直径也扩大到原来的倍，周长也扩大到原来的倍，面积扩大到原来的倍。 　　例：半径扩大到原来的3倍，面积扩大到原来的倍。 2. 半径缩小到原来的几分之几，面积就缩小到原来的几分之几的平方。 ● 本质：面积与半径的平方成正比，不是和半径成正比。 七、常用平方数（计算提速） 　　　　 　　　　 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：基本面积计算——先半径后公式法 【解题思路】 计算圆的面积，核心是先求出半径，再代入计算。无论已知直径还是周长，都先转化为半径，这是正确计算的前提。 【操作步骤】 第一步：求半径——已知半径直接用；已知直径除以2；已知周长除以； 第二步：算平方——先算半径的平方，注意是，不是； 第三步：乘——用半径的平方乘3.14，得到面积。 【易错提升】 ● 易错点1：已知直径直接用直径平方计算，忘记除以2。 　　→ 规避技巧：看到直径先除以2得到半径，再算面积，养成"见直径先求半径"的习惯。 ● 易错点2：把算成，和周长公式混淆。 　　→ 规避技巧：平方是两个数相乘，；周长的是，意义完全不同。 ● 易错点3：运算顺序错，先乘3.14再算平方。 　　→ 规避技巧：牢记运算顺序，先算平方，再算乘法。 方法点拨2：半圆面积周长区分法——概念对比法 【解题思路】 半圆的周长和面积是高频易混点，要从概念本质上区分：周长是边线的总长度，单位是长度单位；面积是平面的大小，单位是平方单位。半圆面积就是圆面积的一半，半圆周长是半圆弧加直径。 【操作步骤】 1. 求半圆面积：先算整圆面积，再除以2； 2. 求半圆周长：先算整圆周长的一半，再加一条直径。 【易错提升】 ● 易错点1：求半圆面积时加直径，混淆周长和面积。 　　→ 规避技巧：面积是"面"的大小，和直边长度无关，只需要曲线围成的平面的一半。 ● 易错点2：已知半圆的直径求面积，忘记先除以2得半径。 　　→ 规避技巧：所有面积公式都用半径，不管给什么条件，先求半径准没错。 方法点拨3：圆环面积计算——平方差公式法 【解题思路】 圆环面积等于外圆面积减内圆面积，利用平方差公式可以简化计算，尤其是半径差为整数值时更简便。 【操作步骤】 第一步：找半径——分别找出外圆半径和内圆半径； 第二步：算平方差——计算； 第三步：乘——用平方差乘3.14得到圆环面积。 【易错提升】 ● 易错点1：用计算圆环面积，这是错误的。 　　→ 规避技巧：圆环是"大圆减小圆"，是面积差，不是半径差的平方，。 ● 易错点2：把直径当半径直接代入公式。 　　→ 规避技巧：题目给直径的，先分别除以2得到内外半径，再计算。 ● 易错点3：已知环宽求内半径，用外直径减环宽。 　　→ 规避技巧：环宽是半径差，不是直径差，内半径 = 外半径 - 环宽。 方法点拨4：面积变化规律——平方倍速法 【解题思路】 半径、直径、周长的变化倍数一致，面积的变化倍数是半径变化倍数的平方。已知半径变化倍数，直接平方就是面积变化倍数，不用重新计算面积。 【操作步骤】 第一步：确定半径的变化倍数； 第二步：变化倍数自乘（平方），就是面积的变化倍数； 第三步：原面积乘变化倍数，得到新面积。 【易错提升】 ● 易错点：认为面积和半径扩大相同的倍数，比如半径扩大2倍，面积也扩大2倍。 　　→ 规避技巧：举例子验证，半径1厘米面积3.14，半径2厘米面积12.56，12.56÷3.14=4，是2的平方倍。 【第三部分】考点讲练 考点一：圆的面积 【典例精讲】 某圆形太阳能板外圈周长是18.84米，这块太阳能板的半径是( )m，面积是( )m2。 【答案】 3 28.26 【分析】圆的周长C＝2πr，圆的面积：S＝πr2。某圆形太阳能板外圈周长是18.84米，用18.84除以π，再除以2求出太阳能板半径；根据圆的面积公式，代入数值求出太阳能板的面积。 【详解】18.84÷3.14÷2 ＝6÷2 ＝3（m） 32×3.14 ＝9×3.14 ＝28.26（m2） 所以这块太阳能板的半径是3m，面积是28.26m2。 【变式训练】 某科创社团开展金属手工制作活动，同学们用一根长12.56分米的金铁丝弯折成圆形智能感应装饰圈，这个圆圈的直径是( )分米，面积是( )平方分米。 【答案】 4 12.56 【分析】由题意可知，圆圈的周长是12.56分米，圆的直径＝圆的周长÷π，圆的半径＝直径÷2，圆的面积＝，代入数据即可求解。 【详解】12.56÷3.14＝4（分米） 4÷2＝2（分米） 3.14×＝3.14×4＝12.56（平方分米） 即这个圆圈的直径是4分米，面积是12.56平方分米。 考点二：圆的面积的应用 【典例精讲】 爸爸在家里的院子里建了一个圆形的鱼池，鱼池的直径是4米。这个鱼池的面积是多少平方米？如果每平方米可以养4条锦鲤。这个鱼池大约可以养多少条锦鲤？ 【答案】12.56平方米；50条锦鲤。 【分析】先用鱼池的直径除以2求出半径，再根据圆的面积公式S＝πr2，π取3.14，求出鱼池面积，再用面积乘每平方米养锦鲤的数量，结合鱼的数量为整数的实际情况取近似值。 【详解】鱼池半径：4÷2＝2（米） 鱼池面积：3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方米） 可养锦鲤数量：12.56×4＝50.24≈50（条） 答：这个鱼池的面积是12.56平方米，大约可以养50条锦鲤。 【变式训练】 刘奶奶用25.12米长的篱笆靠墙围了一个半圆形的鸡圈。这个鸡圈的面积是多少平方米？ 【答案】100.48平方米 【分析】由题意可知，圆周长的一半为25.12米，用25.12÷π可算出圆的半径，进而求出半圆的面积。 【详解】半圆的半径（米） 面积： （平方米） 答：这个鸡圈的面积是100.48平方米。 考点三：圆环的面积 【典例精讲】 青海土火锅是起源于西汉时期的地方传统美食，在青海农牧区形成了独特的制作体系。如图所示，要在直径40厘米的火锅周围配上20厘米宽的环形桌面，这个环形桌面的面积是多少平方分米？ 【答案】 37.68平方分米 【分析】求圆环面积，先根据火锅的直径算出内圆半径，再加上环宽得到外圆半径，计算面积后还要进行单位换算，把平方厘米换成平方分米。圆环面积公式：S＝π（R2－r2）。 【详解】40÷2＝20（厘米） 20＋20＝40（厘米） 3.14×（402－202） ＝3.14×（1600－400） ＝3.14×1200 ＝3768（平方厘米） 3768平方厘米＝37.68平方分米 答：这个环形桌面的面积是37.68平方分米。 【变式训练】 如图是某公园规划的绿地和便民休息场所，则绿地的面积是多少平方米？ 【答案】平方米 【分析】（）确定图形为半圆环，绿地面积等于大半圆面积减去小半圆面积，先明确两个半圆的半径，小半圆直径为米，先计算小半圆半径。 （）因为小半圆直径为米，环宽为米，所以大半圆的半径为小半圆半径加米的环宽，由此计算大半圆半径。 （）利用半圆面积公式：，分别计算大半圆和小半圆的面积，再作差得到绿地面积。 【详解】（米） （米） （平方米） （平方米） （平方米） 答：绿地的面积是平方米。 考点四：求最大面积 【典例精讲】 在一张长30厘米、宽20厘米的长方形纸上画一个最大的半圆，这个半圆的面积是( )平方厘米。 【答案】353.25 【分析】在一张长30厘米、宽20厘米的长方形纸上画一个最大的半圆，这个半圆的直径则等于长方形的长，圆的面积＝π，把数据代入公式再除以2即可解答。 【详解】30÷2＝15（厘米） 3.14×÷2 ＝3.14×225÷2 ＝706.5÷2 ＝353.25（平方厘米） 即这个半圆的面积是353.25平方厘米。 【变式训练】 剪纸是中国民间艺术的瑰宝。每逢喜庆的日子，人们就张贴美丽鲜艳的剪纸来烘托节日的气氛。学校用剪纸装饰书画展，其中“福”字剪纸是从一个长40cm，宽30cm的长方形红纸上剪下的最大的圆，这个圆的周长是( )cm，面积是( )cm2。 【答案】 94.2 706.5 【分析】根据题意可知，在这张长方形纸上剪下一个最大的圆，这个圆的直径等于长方形的宽，根据圆的周长＝πd，圆的面积＝πr2，把数据代入公式解答。 【详解】①3.14×30＝94.2（cm） 即这个圆的周长是94.2cm； ②30÷2＝15（cm） 3.14×152＝3.14×225＝706.5（cm2） 即这个圆的面积是706.5cm2。 考点五：含圆的组合图形的面积 【典例精讲】 求阴影部分的周长和面积。（单位：厘米，取3.14） 【答案】周长：62.8厘米 面积：57平方厘米 【分析】由题中图可知正方形边长为10厘米，正方形里的圆的直径也是10厘米。阴影部分的周长就是两个直径为10厘米的圆的周长。阴影部分的面积可以看作是直径为10厘米的圆的面积减去对角线为10厘米的正方形的面积再乘2。 【详解】由分析可知： 阴影部分的周长：（厘米） 直径为10厘米的圆的面积： （平方厘米） 对角线为10厘米的正方形的面积可以看作是两个底为10厘米高为5厘米的三角形的面积，即：10×5÷2×2＝50（平方厘米） 阴影部分的面积：2×（78.5－50） ＝2×28.5 ＝57（平方厘米） 【变式训练】 求涂色部分的面积。 【答案】5.44平方厘米 【分析】涂色部分为梯形减去内部圆形的剩余区域，所以先计算梯形面积，再计算圆形面积，二者作差即可得到涂色面积。 【详解】 ＝（3＋6）×4÷2 ＝9×4÷2 ＝36÷2 ＝18（平方厘米） 4÷2＝2（厘米） ＝3.14×（2×2） ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 18－12.56＝5.44（平方厘米） 考点六：方中圆和圆中方的面积问题 【典例精讲】 求阴影部分面积。 【答案】 3.44平方厘米 【分析】阴影部分的面积＝正方形的面积－圆的面积，正方形的面积＝边长×边长，圆的面积＝。 【详解】正方形面积：（平方厘米） 圆面积：3.14×22＝3.14×4＝12.56（平方厘米） 阴影面积：（平方厘米） 【变式训练】 自来水公司在公园里铺设自来水管道的同时还需在路面上设置一些井盖。已知井盖的形状是直径为8分米的圆，如图所示，在每个井盖周围涂抹上水泥（涂色部分）。涂抹水泥的面积是多少平方分米？ 【答案】13.76平方分米 【分析】涂抹水泥面积＝正方形面积－圆的面积。正方形的面积＝边长×边长，圆的面积S＝πr2。 【详解】8÷2＝4（分米） 8×8－3.14×42 ＝8×8－3.14×16 ＝64－50.24 ＝13.76（平方分米） 答：涂抹水泥的面积是13.76平方分米。 考点七：用转化法求圆的组合图形的周长与面积 【典例精讲】 如图所示，正方形的边长是12厘米，求阴影部分的面积。 【答案】平方厘米 【分析】确定解题使用割补转化的思想，将不规则的阴影部分拼接为规则图形。 计算正方形的面积，使用正方形面积公式 ，其中 �� 为正方形边长。 因为阴影部分拼接后为正方形面积的一半，所以用正方形面积除以即可得到阴影部分面积。 【详解】如图所示，将阴影部分通过割补转化，得到一个三角形， 所以阴影部分的面积为： （平方厘米） 【变式训练】 求图中阴影部分的面积。 【答案】48cm2 【分析】 把左边阴影部分移动中间空白部分，如图：，阴影部分的面积＝上底是6cm，下底是10cm，高是6cm的梯形，根据梯形面积公式：面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据，即可解答。 【详解】（6＋10）×6÷2 ＝16×6÷2 ＝96÷2 ＝48（cm2） 阴影部分面积是48cm2。 考点八：扇形的周长和面积 【典例精讲】 如图的中间是正方形，四周是4个扇形，求这个图形的周长和面积。 【答案】这个图形的周长为102.8cm，面积为414cm2 【分析】这个图形的周长为4段长为10cm的线段长再加上半径为10cm的圆的周长，根据圆的周长＝即可求出周长； 这个图形的面积为边长为10cm的正方形的面积再加上半径为10cm的圆的面积，根据正方形的面积＝边长×边长和圆的面积＝即可求解。 【详解】10×4＋2×3.14×10 ＝40＋62.8 ＝102.8（cm） 10×10＋3.14×102 ＝100＋3.14×100 ＝100＋314 ＝414（cm2） 这个图形的周长为102.8cm，面积为414cm2。 【变式训练】 图中直角三角形ABC的面积为12平方厘米，求阴影部分的面积。（π＝3.14） 【答案】6.84平方厘米 【分析】先利用等腰直角三角形面积求出边长的平方，再分别算出以BC为直径的半圆面积和圆心角45°的扇形面积，半圆减去三角形与扇形的差，就求出阴影面积。 【详解】三角形ABC是等腰直角三角形，∠A＝45°，∠B＝90°，所以AB＝BC。 三角形面积：， 半圆面积： （平方厘米） 45°扇形面积： （平方厘米） 阴影面积： （平方厘米） 【第四部分】专项提升练习 1．求下面阴影部分的面积。 【答案】3.44m2 【分析】4个空白扇形拼在一起就是一个圆，这个圆的半径等于4÷2＝2（m），正方形的边长为4m，正方形的面积＝边长×边长，圆的面积：S＝πr2；边长为4m的正方形的面积减去半径为2m的圆的面积等于阴影部分的面积。 【详解】4÷2＝2（m） 42－3.14×22 ＝16－3.14×4 ＝16－12.56 ＝3.44（m2） 2．计算下图的周长和面积。 【答案】周长：20.28cm；面积：13.72cm2 【分析】观察图形可知，该图形的周长＝长方形的两条长＋一条宽＋圆的周长；该图形的面积＝长方形的面积－半圆的面积（即圆的面积）。长方形的面积公式S＝长×宽、圆的周长公式C＝πd、面积公式S＝πr2。 【详解】周长： 5×2＋4＋×3.14×4 ＝14＋6.28 ＝20.28（cm） 面积：5×4－×3.14×（4÷2）2 ＝5×4－×3.14×22 ＝5×4－×3.14×4 ＝20－6.28 ＝13.72（cm2） 3．求图中阴影部分的周长和面积。 【答案】22.84cm；18.84cm2 【分析】阴影部分的周长等于大圆周长的一半加上小圆周长的一半再加上大圆的半径4cm；面积等于大圆面积的一半减去小圆面积的一半。 【详解】4×2×3.14÷2 ＝4×3.14 ＝12.56（cm） 4×3.14÷2 ＝12.56÷2 ＝6.28 （cm） 12.56＋6.28＋4 ＝18.84＋4 ＝22.84 （cm） 4÷2＝2（cm） 3.14×÷2－3.14×÷2 ＝3.14×16÷2－3.14×4÷2 ＝50.24÷2－12.56÷2 ＝25.12－6.28 ＝18.84（cm2） 阴影部分的周长是22.84cm，面积是18.84cm2。 4．计算下面图形的周长和面积。（单位：分米）        【答案】47.1分米；39.25平方分米；36.56分米；25.12平方分米 【分析】（1）如图可得，大圆直径是：5＋5＝10（分米），周长是1个直径为10分米的半圆周长加上2个直径为5分米的圆的周长，根据周长公式＝πd，将数值代入解答即可； 通过平移，可以将阴影部分转化为一个半径为5分米的半圆，根据面积公式＝π，将数值代入解答即可； （2）由图可得，右下角小扇形的半径是：8－4＝4（分米），即两个小的扇形和一个大的扇形半径一致；然后根据三角形内角和等于180°，可以得出这三个扇形加起来的圆心角是180°即是一个半圆； 周长就是半圆的周长加上6条半径，根据周长公式＝2πr，将数值代入解答即可； 面积就是半圆的面积，根据面积公式＝π，将数值代入即可。 【详解】通过平移，得到下图： 周长： 3.14×（5＋5）÷2＋3.14×5×2 ＝3.14×10÷2＋3.14×5×2 ＝15.7＋31.4 ＝47.1（分米） 面积： 3.14×÷2 ＝3.14×25÷2 ＝39.25（平方分米） （2）r＝8－4＝4（分米） 周长： 2×3.14×4÷2＋4×6 ＝12.56＋24 ＝36.56（分米） 面积： 3.14×÷2 ＝3.14×16÷2 ＝25.12（平方分米） 5．计算下面阴影部分的面积。 （1）    （2）    （3） 【答案】（1） （2） （3） 【分析】环形面积，圆的面积，半径r＝直径d÷2； （1）外圆半径是8cm，内圆半径是5cm，直接代入环形面积公式计算。 （2） 外圆直径20cm，内圆直径10cm，先分别求出外、内圆半径，再代入环形面积公式计算。 （3）大圆半径是8dm，空白小圆直径是8dm，先求出小圆半径，再用大圆面积减去小圆面积计算。 【详解】（1） （） （2） （） （3） （） 6．求下面图形中阴影部分的面积。 （1）     （2） 【答案】（1）10.26cm2；（2）14.88cm2 【分析】（1）阴影部分面积等于圆的面积减去正方形的面积。先用直径除以2求出半径，根据圆的面积公式S＝πr2（π取3.14）求出圆的面积。把正方形拆成两个相同直角三角形，三角形底是圆的直径，高是圆的半径，用三角形面积公式S＝ah÷2求出一个三角形面积，再乘2得到正方形面积，最后用圆的面积减去正方形面积，求出阴影部分面积。 （2）阴影部分面积等于梯形的面积减去半圆的面积。先用半圆直径除以2求出半径，该半径也是梯形的高。根据梯形面积公式S＝（a＋b）h÷2求出梯形面积，再根据圆面积公式S＝πr2除以2求出半圆面积，最后用梯形面积减去半圆面积，得到阴影部分面积。 【详解】（1）半径：6÷2＝3（cm） 圆的面积：3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（cm2） 一个三角形面积：6×3÷2＝9（cm2） 正方形面积：9×2＝18（cm2） 阴影面积：28.26－18＝10.26（cm2） （2）半径（梯形的高）：8÷2＝4（cm） 梯形面积：（8＋12）×4÷2 ＝20×4÷2 ＝80÷2 ＝40（cm2） 半圆面积：3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝50.24÷2 ＝25.12（cm2） 阴影面积：40－25.12＝14.88（cm2） 7．计算下面各图阴影部分的面积。 【答案】9.42cm²；9.12cm² 【分析】第一幅图：阴影是大圆挖去内部小圆的部分，阴影面积等于大圆面积减去小圆面积，小圆直径为2cm，且小圆直径等于大圆半径，再利用圆面积公式分别计算两个圆的面积再作差。 第二幅图：阴影是正方形内两个扇形的重叠部分，因为阴影面积等于两个圆心角为90°、半径为4cm的扇形面积之和减去正方形面积，所以先计算单个扇形面积，乘2后减去边长为4cm的正方形面积即可。 【详解】 8．阴影甲的面积比乙的面积大多少平方厘米？（π取3.14） 【答案】5.12平方厘米 【分析】运用差不变原理，甲加上中间空白部分得到半圆，乙加上同一块空白部分得到直角三角形，甲与乙的面积差等于半圆面积减去直角三角形的面积；先根据半圆的面积公式S＝πr2，π取3.14，求出半圆面积，再根据三角形面积公式S＝ah求出直角三角形面积，两者相减，即可求出甲阴影比乙阴影大的面积。 【详解】半径：8÷2＝4（厘米） 半圆面积：3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝50.24÷2 ＝25.12（平方厘米） 三角形面积：8×5÷2 ＝40÷2 ＝20（平方厘米） 甲、乙面积差：25.12－20＝5.12（平方厘米） 9．求下面阴影部分的面积。 【答案】（1）15.44cm2 （2）1570dm2 【分析】（1）观察图形可得：阴影部分的面积＝上底为4cm、下底为10cm、高为4cm的梯形的面积－半径为4cm的圆的面积，然后再根据梯形的面积公式S＝（a＋b）h÷2，圆的面积公式S＝πr2进行解答。 （2）观察图形可得：阴影部分的面积＝半径为（20＋10）dm的圆的面积－半径为20dm的圆的面积，然后再根据圆的面积公式S＝πr2进行解答。 【详解】（1）（4＋10）×4÷2－×3.14×42 ＝28－12.56 ＝15.44（cm2） 3.14×（20＋10）2－3.14×202 ＝3.14×302－3.14×400 ＝3.14×900－3.14×400 ＝3.14×（900－400） ＝3.14×500 ＝1570（dm2） 10．求阴影部分的面积和周长。 【答案】面积37.68平方厘米；周长37.68厘米 【分析】阴影面积等于半径4厘米大圆减去半径2厘米小圆；周长等于大圆周长加上小圆周长。，。 【详解】小圆半径：4÷2＝2（厘米） 面积：3.14×42－3.14×22 ＝3.14×16－3.14×4 ＝50.24－12.56 ＝37.68（平方厘米） 周长：2×3.14×4＋3.14×4 ＝6.28×4＋12.56 ＝25.12＋12.56 ＝37.68（厘米） 11．石大伯靠墙用篱笆围了一块半圆形的菜地，一共用去18.84米长的篱笆。这块菜地的占地面积是多少平方米？ 【答案】56.52平方米 【分析】菜地靠墙，篱笆长度就是半圆的弧长。根据半圆弧长＝，可以先求出半径；再根据半圆面积＝，求出菜地的占地面积。 【详解】18.84÷3.14＝6（米） ＝ ＝56.52（平方米） 答：这块菜地的占地面积是56.52平方米。 12．一个运动场的跑道的形状与大小如图，两边是半圆，中间是长方形。 (1)强强沿着跑道跑一圈，他跑了多少米？ (2)这个运动场的占地面积是多少平方米？ 【答案】(1)399.8米 (2)10146.5平方米 【分析】（1）跑一圈的路程为跑道周长，因为跑道由两段直道和两个半圆组成，两个半圆可拼成一个整圆，所以周长等于整圆的周长加上两条直道的长度，用到圆的周长公式。 （2）运动场面积是组合图形面积，因为图形由中间长方形和两个半圆组成，两个半圆可拼成一个整圆，所以总面积等于长方形的面积加上整圆的面积，用到长方形面积＝长×宽和圆的面积公式。 【详解】（1） ＝219.8＋180 ＝399.8（米） 答：他跑了399.8米。 （2） ＝3.14×352＋90×70 ＝3.14×1225＋90×70 ＝3846.5＋6300 ＝10146.5（平方米） 答：这个运动场的占地面积是10146.5平方米。 13．妈妈想给家里的桌子买一张保护垫，量得桌子的直径是120厘米，妈妈需要买面积为多少平方米的保护垫？ 【答案】1.1304平方米 【分析】根据1米＝100厘米，可将桌子的直径单位换算成米。由半径＝直径÷2，可求得圆桌的半径，再根据圆的面积＝πr2，代入即可求得妈妈需要买面积为多少平方米的保护垫。 【详解】120厘米＝1.2米     ＝3.14×0.62 ＝3.14×0.36 （平方米） 答：妈妈需要买面积为1.1304平方米的保护垫。 14．火锅是人们喜爱的美食之一。现有一名设计者设计了一款圆形火锅桌面，为了保证有足够的面积来放更多的盘子，设计者将圆形桌面的半径由50厘米改为60厘米，如图所示，增加部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】 3454平方厘米 【分析】增加的面积是外圆与内圆的面积差，属于圆环面积计算问题，根据圆的面积公式，如果要计算两个圆的面积差，那么可以分别求出半径为60厘米的外圆面积、半径为50厘米的内圆面积，再做差；也可以直接使用圆环面积公式，其中为外圆半径，为内圆半径，将对应半径数值代入选定的公式即可完成计算。 【详解】S＝3.14×（602－502） ＝3.14×（3600－2500） ＝3.14×1100 ＝3454 （平方厘米） 答：增加部分的面积是3454平方厘米。 15．春节贴“福”字，是中国民间由来已久的风俗，“福”字指福气、福运，寄托了人们对幸福生活的向往，下图“福”字窗花中，圆的直径是30厘米，“福”字所在的圆与正方形之间的部分面积是多少？（正方形的边长等于圆的直径） 【答案】 193.5平方厘米 【分析】由图可知，正方形边长等于圆的直径，正方形面积＝边长×边长；用直径长度除以2算出半径长度，圆的面积；最后用正方形面积减去圆的面积即可得到结果。 【详解】30×30＝900（平方厘米） 30÷2＝15（厘米） 3.14×152 ＝3.14×225 ＝706.5（平方厘米） 900－706.5＝193.5（平方厘米） 答：“福”字所在的圆与正方形之间的部分面积是193.5平方厘米。 16．如图，一枚古代铜钱的直径是26毫米，中间正方形的边长是11毫米。这枚铜钱单面的面积是多少平方毫米？ 【答案】409.66平方毫米 【分析】先求出圆的半径，计算出外圆的面积，再求出中间正方形孔洞的面积，用圆的面积减去正方形的面积，就得到铜钱单面的面积。 【详解】半径：26÷2＝13（毫米） 圆面积：3.14×132 ＝3.14×169 ＝530.66（平方毫米） 正方形面积：11×11＝121（平方毫米） 铜钱面积：530.66－121＝409.66（平方毫米） 答：这枚铜钱单面的面积是409.66平方毫米。 17．一张可折叠的圆桌（如下图）半径是0.6米，折叠后成了一张方桌。折叠部分（阴影部分）的面积是多少平方米？ 【答案】0.4104平方米 【分析】确定阴影部分面积的计算逻辑，因为阴影是圆减去内部正方形的部分，所以用圆的面积减去正方形的面积即可求解。 计算圆的面积，已知圆的半径，直接使用圆的面积公式计算。 计算正方形的面积，因为正方形的对角线长度等于圆的直径，所以可以将正方形拆分为两个以对角线为底、半径为高的三角形，用三角形面积公式推导正方形面积，也可以用“对角线乘积的一半”这一正方形面积公式直接计算。 用圆的面积减去正方形的面积，得到折叠部分的面积。 【详解】圆桌的面积：（平方米） 方桌的面积： （平方米） 折叠阴影部分面积：（平方米） 答：折叠部分（阴影部分）的面积是0.4104平方米。 18．人们可以通过驴拉磨的方式把粮食颗粒加工成粗面来食用，如图。如果驴留下了一个周长为7.536米的圆形轨迹，那么驴绕着一个面积是多少平方米的圆在拉磨？ 【答案】4.5216平方米 【分析】已知圆形轨迹的周长，先通过圆的周长公式求出圆的半径，再将半径代入圆的面积公式计算面积，圆的周长＝2πr，圆的面积＝πr2。 【详解】圆的半径： ＝7.536÷2÷π ＝3.768÷3.14 ＝1.2（米） 圆的面积： ＝π×1.22 ＝3.14×1.44 ＝4.5216（平方米） 答：驴绕着一个面积是4.5216平方米的圆在拉磨。 19．阳光小学课间增加了跳跳球活动，玩跳跳球时需要一只脚在圈内，将跳跳球旋转起来，另一只脚跳起躲避球。如下图，如果站在圈内的脚在跳动时位置不变，那么每个人的活动面积至少是多少平方米？ 【答案】2.5434平方米 【分析】站在圈内的脚位置不变，跳跳球旋转形成一个圆，绳长90 厘米就是圆的半径，活动面积就是这个圆的面积，先把单位换算成米，再根据圆的面积公式S＝πr2，π取3.14，代入数值即可解答。 【详解】90厘米＝0.9米 3.14×0.92 ＝3.14×0.81 ＝2.5434（平方米） 答：每个人的活动面积至少是2.5434平方米。 20．刘大爷家的鸡舍，是用篱笆靠墙围成的半圆形，篱笆长62.8米。 (1)鸡舍占用了多少米的墙体？ (2)鸡舍的面积有多大？ 【答案】(1)米； (2)平方米 【分析】先通过半圆的弧长，半圆的弧长为米，求出半径，再用半径乘得到直径（即墙体长度）； 半圆的面积公式等于圆的面积的一半，圆的面积公式为：，代入公式计算得到半圆的面积。 【详解】（1） （米） 答：鸡舍占用了米的墙体。 （2）（米） （平方米） 答：鸡舍的面积有平方米。 21．汽车雨刮器是使用雨刮上的胶条把挡风玻璃刷干净的。如下图，这款汽车的雨刮器摆臂长度是50cm，胶条长40cm，摆动角度是180°，这款雨刮器能刷到的面积是多少平方厘米？ 【答案】3768平方厘米 【分析】据图可知：雨刮器能刷到的面积等于内圆半径（r）是（50－40）厘米外圆半径（R）是50厘米的圆环面积的一半，根据圆环的面积＝π（R2－r2）求出圆环的面积，再除以2即可解答。 【详解】3.14×[502－（50－40）2]÷2 ＝3.14×[502－102]÷2 ＝3.14×[2500－100]÷2 ＝3.14×2400÷2 ＝7536÷2 ＝3768（平方厘米） 答：这款雨刮器能刷到的面积是3768平方厘米。 22．市政部门计划在一个圆形广场中心修建一个半径为3米的圆形喷水池，其余部分铺设草坪。 (1)如图，这个环形草坪区的面积是多少平方米？ (2)如果在这个环形草坪最外圈铺设一圈彩灯，彩灯的长度是多少米？ 【答案】(1)172.7平方米 (2)50.24米 【分析】（1）喷水池的半径是3米，广场的半径是8米，铺设草坪的位置是个圆环，S圆环＝π（R2－r2），据此求这个环形草坪区的面积； （2）在这个环形草坪最外圈铺设一圈彩灯，彩灯的长度是半径为8米的大圆周长，C＝2πr，据此计算彩灯的长度。 【详解】（1）3.14×（82－32） ＝3.14×（64－9） ＝3.14×55 ＝172.7（平方米） 答：这个环形草坪区的面积是172.7平方米。 （2）2×3.14×8 ＝6.28×8 ＝50.24（米） 答：彩灯的长度是50.24米。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 圆（圆的面积）专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、圆的面积的意义 圆所占平面的大小叫做圆的面积，用字母表示。 ● 面积是平面图形的大小，单位是平方单位（如平方厘米、平方分米、平方米），注意和周长的长度单位区分开。 二、圆的面积公式推导 1. 推导思想：转化法 把圆分成若干（偶数）等份，剪开后可以拼成一个近似的长方形。分的份数越多，拼成的图形越接近长方形。 2. 对应关系 拼成的近似长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径。 ● 长方形的长 = 圆周长的一半 = ● 长方形的宽 = 圆的半径 = 3. 公式推导 长方形的面积 = 长 × 宽 所以圆的面积 = 三、圆的面积计算公式 1. 已知半径求面积 公式： ● 例：半径3厘米的圆，面积（平方厘米） 2. 已知直径求面积 先根据直径求出半径：，再代入面积公式。 公式： 3. 已知周长求面积 先根据周长求出半径：，再代入面积公式。 公式： 四、半圆的面积 半圆的面积 = 圆的面积 ÷ 2 公式： ● 注意：半圆的面积只是圆面积的一半，和半圆周长不同，不需要加直径。 五、圆环的面积 1. 定义：两个同心圆之间的部分叫做圆环，也叫环形。 ● 外圆半径用表示，内圆半径用表示，环宽 = 。 2. 计算公式 圆环的面积 = 外圆面积 - 内圆面积 公式： ● 简便算法：利用平方差公式，先算半径的平方差，再乘，计算更简便。 六、圆的面积变化规律 在同一个圆中： 1. 半径扩大到原来的倍，直径也扩大到原来的倍，周长也扩大到原来的倍，面积扩大到原来的倍。 　　例：半径扩大到原来的3倍，面积扩大到原来的倍。 2. 半径缩小到原来的几分之几，面积就缩小到原来的几分之几的平方。 ● 本质：面积与半径的平方成正比，不是和半径成正比。 七、常用平方数（计算提速） 　　　　 　　　　 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：基本面积计算——先半径后公式法 【解题思路】 计算圆的面积，核心是先求出半径，再代入计算。无论已知直径还是周长，都先转化为半径，这是正确计算的前提。 【操作步骤】 第一步：求半径——已知半径直接用；已知直径除以2；已知周长除以； 第二步：算平方——先算半径的平方，注意是，不是； 第三步：乘——用半径的平方乘3.14，得到面积。 【易错提升】 ● 易错点1：已知直径直接用直径平方计算，忘记除以2。 　　→ 规避技巧：看到直径先除以2得到半径，再算面积，养成"见直径先求半径"的习惯。 ● 易错点2：把算成，和周长公式混淆。 　　→ 规避技巧：平方是两个数相乘，；周长的是，意义完全不同。 ● 易错点3：运算顺序错，先乘3.14再算平方。 　　→ 规避技巧：牢记运算顺序，先算平方，再算乘法。 方法点拨2：半圆面积周长区分法——概念对比法 【解题思路】 半圆的周长和面积是高频易混点，要从概念本质上区分：周长是边线的总长度，单位是长度单位；面积是平面的大小，单位是平方单位。半圆面积就是圆面积的一半，半圆周长是半圆弧加直径。 【操作步骤】 1. 求半圆面积：先算整圆面积，再除以2； 2. 求半圆周长：先算整圆周长的一半，再加一条直径。 【易错提升】 ● 易错点1：求半圆面积时加直径，混淆周长和面积。 　　→ 规避技巧：面积是"面"的大小，和直边长度无关，只需要曲线围成的平面的一半。 ● 易错点2：已知半圆的直径求面积，忘记先除以2得半径。 　　→ 规避技巧：所有面积公式都用半径，不管给什么条件，先求半径准没错。 方法点拨3：圆环面积计算——平方差公式法 【解题思路】 圆环面积等于外圆面积减内圆面积，利用平方差公式可以简化计算，尤其是半径差为整数值时更简便。 【操作步骤】 第一步：找半径——分别找出外圆半径和内圆半径； 第二步：算平方差——计算； 第三步：乘——用平方差乘3.14得到圆环面积。 【易错提升】 ● 易错点1：用计算圆环面积，这是错误的。 　　→ 规避技巧：圆环是"大圆减小圆"，是面积差，不是半径差的平方，。 ● 易错点2：把直径当半径直接代入公式。 　　→ 规避技巧：题目给直径的，先分别除以2得到内外半径，再计算。 ● 易错点3：已知环宽求内半径，用外直径减环宽。 　　→ 规避技巧：环宽是半径差，不是直径差，内半径 = 外半径 - 环宽。 方法点拨4：面积变化规律——平方倍速法 【解题思路】 半径、直径、周长的变化倍数一致，面积的变化倍数是半径变化倍数的平方。已知半径变化倍数，直接平方就是面积变化倍数，不用重新计算面积。 【操作步骤】 第一步：确定半径的变化倍数； 第二步：变化倍数自乘（平方），就是面积的变化倍数； 第三步：原面积乘变化倍数，得到新面积。 【易错提升】 ● 易错点：认为面积和半径扩大相同的倍数，比如半径扩大2倍，面积也扩大2倍。 　　→ 规避技巧：举例子验证，半径1厘米面积3.14，半径2厘米面积12.56，12.56÷3.14=4，是2的平方倍。 【第三部分】考点讲练 考点一：圆的面积 【典例精讲】 某圆形太阳能板外圈周长是18.84米，这块太阳能板的半径是( )m，面积是( )m2。 【变式训练】 某科创社团开展金属手工制作活动，同学们用一根长12.56分米的金铁丝弯折成圆形智能感应装饰圈，这个圆圈的直径是( )分米，面积是( )平方分米。 考点二：圆的面积的应用 【典例精讲】 爸爸在家里的院子里建了一个圆形的鱼池，鱼池的直径是4米。这个鱼池的面积是多少平方米？如果每平方米可以养4条锦鲤。这个鱼池大约可以养多少条锦鲤？ 【变式训练】 刘奶奶用25.12米长的篱笆靠墙围了一个半圆形的鸡圈。这个鸡圈的面积是多少平方米？ 考点三：圆环的面积 【典例精讲】 青海土火锅是起源于西汉时期的地方传统美食，在青海农牧区形成了独特的制作体系。如图所示，要在直径40厘米的火锅周围配上20厘米宽的环形桌面，这个环形桌面的面积是多少平方分米？ 【变式训练】 如图是某公园规划的绿地和便民休息场所，则绿地的面积是多少平方米？ 考点四：求最大面积 【典例精讲】 在一张长30厘米、宽20厘米的长方形纸上画一个最大的半圆，这个半圆的面积是( )平方厘米。 【变式训练】 剪纸是中国民间艺术的瑰宝。每逢喜庆的日子，人们就张贴美丽鲜艳的剪纸来烘托节日的气氛。学校用剪纸装饰书画展，其中“福”字剪纸是从一个长40cm，宽30cm的长方形红纸上剪下的最大的圆，这个圆的周长是( )cm，面积是( )cm2。 考点五：含圆的组合图形的面积 【典例精讲】 求阴影部分的周长和面积。（单位：厘米，取3.14） 【变式训练】 求涂色部分的面积。 考点六：方中圆和圆中方的面积问题 【典例精讲】 求阴影部分面积。 【变式训练】 自来水公司在公园里铺设自来水管道的同时还需在路面上设置一些井盖。已知井盖的形状是直径为8分米的圆，如图所示，在每个井盖周围涂抹上水泥（涂色部分）。涂抹水泥的面积是多少平方分米？ 考点七：用转化法求圆的组合图形的周长与面积 【典例精讲】 如图所示，正方形的边长是12厘米，求阴影部分的面积。 【变式训练】 求图中阴影部分的面积。 考点八：扇形的周长和面积 【典例精讲】 如图的中间是正方形，四周是4个扇形，求这个图形的周长和面积。 【变式训练】 图中直角三角形ABC的面积为12平方厘米，求阴影部分的面积。（π＝3.14） 【第四部分】专项提升练习 1．求下面阴影部分的面积。 2．计算下图的周长和面积。 3．求图中阴影部分的周长和面积。 4．计算下面图形的周长和面积。（单位：分米）        5．计算下面阴影部分的面积。 （1）    （2）    （3） 6．求下面图形中阴影部分的面积。 （1）     （2） 7．计算下面各图阴影部分的面积。 8．阴影甲的面积比乙的面积大多少平方厘米？（π取3.14） 9．求下面阴影部分的面积。 10．求阴影部分的面积和周长。 11．石大伯靠墙用篱笆围了一块半圆形的菜地，一共用去18.84米长的篱笆。这块菜地的占地面积是多少平方米？ 12．一个运动场的跑道的形状与大小如图，两边是半圆，中间是长方形。 (1)强强沿着跑道跑一圈，他跑了多少米？ (2)这个运动场的占地面积是多少平方米？ 13．妈妈想给家里的桌子买一张保护垫，量得桌子的直径是120厘米，妈妈需要买面积为多少平方米的保护垫？ 14．火锅是人们喜爱的美食之一。现有一名设计者设计了一款圆形火锅桌面，为了保证有足够的面积来放更多的盘子，设计者将圆形桌面的半径由50厘米改为60厘米，如图所示，增加部分的面积是多少平方厘米？ 15．春节贴“福”字，是中国民间由来已久的风俗，“福”字指福气、福运，寄托了人们对幸福生活的向往，下图“福”字窗花中，圆的直径是30厘米，“福”字所在的圆与正方形之间的部分面积是多少？（正方形的边长等于圆的直径） 16．如图，一枚古代铜钱的直径是26毫米，中间正方形的边长是11毫米。这枚铜钱单面的面积是多少平方毫米？ 17．一张可折叠的圆桌（如下图）半径是0.6米，折叠后成了一张方桌。折叠部分（阴影部分）的面积是多少平方米？ 18．人们可以通过驴拉磨的方式把粮食颗粒加工成粗面来食用，如图。如果驴留下了一个周长为7.536米的圆形轨迹，那么驴绕着一个面积是多少平方米的圆在拉磨？ 19．阳光小学课间增加了跳跳球活动，玩跳跳球时需要一只脚在圈内，将跳跳球旋转起来，另一只脚跳起躲避球。如下图，如果站在圈内的脚在跳动时位置不变，那么每个人的活动面积至少是多少平方米？ 20．刘大爷家的鸡舍，是用篱笆靠墙围成的半圆形，篱笆长62.8米。 (1)鸡舍占用了多少米的墙体？ (2)鸡舍的面积有多大？ 21．汽车雨刮器是使用雨刮上的胶条把挡风玻璃刷干净的。如下图，这款汽车的雨刮器摆臂长度是50cm，胶条长40cm，摆动角度是180°，这款雨刮器能刷到的面积是多少平方厘米？ 22．市政部门计划在一个圆形广场中心修建一个半径为3米的圆形喷水池，其余部分铺设草坪。 (1)如图，这个环形草坪区的面积是多少平方米？ (2)如果在这个环形草坪最外圈铺设一圈彩灯，彩灯的长度是多少米？ 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $