第五单元 百分数（利率问题）专项突破讲义（知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习）人教版数学六年级上册（新教材）

第五单元 百分数（利率问题）专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、储蓄的相关概念 1. 储蓄的意义：把暂时不用的钱存入银行，叫做储蓄。储蓄既可以保障钱财安全，又可以获得银行额外支付的利息，还能支援国家建设。 2. 存款方式： 　　● 活期：随时存入、随时取出，灵活方便，但利率较低。 　　● 定期（整存整取）：一次性存入一定金额，到期后一次性取出，存期固定，利率比活期高。 　　● 零存整取：每月固定存入一定金额，到期一次性取出。 3. 本金：存入银行的钱叫做本金。 4. 利息：取款时，银行除了归还本金外，多支付的钱叫做利息。 5. 利率：单位时间（如1年、1月）内的利息与本金的比率叫做利率。利率通常用百分数表示。 　　● 年利率：按年计算的利率，如年利率2.25%表示每年的利息占本金的2.25%。 　　● 利率不是固定不变的，会根据国家经济发展情况调整。 二、利息的基本计算公式 ● 本金：单位是元，是计算利息的基数（单位"1"）。 ● 利率：和存期对应，年利率对应存期以"年"为单位，月利率对应存期以"月"为单位。 ● 存期：存款的时间长度，计算时单位要和利率对应。 三、本息总额的计算 到期后一共取回的钱叫做本息总额，也叫本利和。 也可以写成： 四、存期与利率的关系 银行定期存款，存期越长，年利率越高。 ● 例如：一年期年利率1.75%，二年期年利率2.25%，三年期年利率2.75%。 ● 原因：钱存的时间越长，银行使用资金的时间越长，支付的利息就越多。 五、利息问题的逆运算 根据利息基本公式，可以推导出另外两个公式： 1. 已知利息、利率、存期，求本金： 2. 已知利息、本金、存期，求利率： 结果要化成百分数形式。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：基本利息计算——三要素代入法 【解题思路】 计算利息的核心是找准本金、利率、存期三个要素，对应代入公式"利息=本金×利率×存期"计算。关键是利率和存期的单位要对应，年利率配年，月利率配月。 【操作步骤】 第一步：找出本金、利率、存期三个量； 第二步：确认利率和存期单位对应（年利率→存期按年算）； 第三步：代入公式，按百分数乘法计算利息。 【易错提升】 ● 易错点1：存期单位不对应，比如年利率按月算。 　　→ 规避技巧：看到"年利率"，存期就用"年"作单位，存6个月就是0.5年，存3个月就是0.25年。 ● 易错点2：计算时把利率当成整数算，漏掉百分号。 　　→ 规避技巧：利率是百分之几，计算时先化成小数，比如2.25%化成0.0225再乘。 方法点拨2：本息总额计算——本金加利息法 【解题思路】 求到期一共取回多少钱，就是求本息总额。可以先算利息再加本金，也可以先算本息总额对应本金的分率，再乘本金。 【操作步骤】 方法一：分步算 第一步：按公式算出利息； 第二步：本金 + 利息 = 本息总额。 方法二：综合算 第一步：先算，得到本息总额是本金的多少倍； 第二步：本金 × 这个倍数 = 本息总额。 【易错提升】 ● 易错点1：求本息总额只算利息，忘记加本金。 　　→ 规避技巧：看清问题，"取回多少钱""一共多少钱"都是本息，必须包含本金。 ● 易错点2：综合公式时用1+利率，漏乘存期。 　　→ 规避技巧：利息是"利率×存期"，本息对应的分率是"1+利率×存期"，存期不能丢。 方法点拨3：逆运算问题——公式变形法 【解题思路】 已知利息求本金或求利率，是利息公式的逆运用。根据乘除法互逆关系，把公式变形，对应代入已知量计算即可。求利率最后要化成百分数。 【操作步骤】 1. 求本金：利息 ÷ 利率 ÷ 存期 2. 求利率：利息 ÷ 本金 ÷ 存期，结果乘100%变成百分数 【易错提升】 ● 易错点1：求利率时结果不化成百分数，直接写小数。 　　→ 规避技巧：利率必须用百分数表示，算完小数后乘100%，加上百分号。 ● 易错点2：逆运算时存期参与运算错误，比如除以存期变成乘存期。 　　→ 规避技巧：根据原式"利息=本金×利率×存期"，三个量相乘，求其中一个就用利息除以另外两个。 【第三部分】考点讲练 考点一：基本利息计算 考查重点：掌握利息计算公式，能正确计算定期存款的利息。 【典例精讲】 题目：张叔叔将8000元存入银行，定期2年，年利率是2.25%。到期后他可以获得利息多少元？ 【分析】 已知本金8000元，年利率2.25%，存期2年，求利息。直接代入利息公式：利息=本金×利率×存期计算。 【详解】 （元） 答：到期后他可以获得利息360元。 【答案】360元 【变式训练】 题目：李阿姨把5000元存入银行，定期3年，年利率是2.75%。到期时她能得到多少元利息？ 【分析】 本金5000元，年利率2.75%，存期3年，代入利息公式计算。 【详解】 （元） 答：到期时她能得到412.5元利息。 【答案】412.5元 考点二：本息总额计算 考查重点：理解本息总额的含义，能正确计算到期后一共取回的钱数。 【典例精讲】 题目：小明的爸爸将20000元存入银行，定期1年，年利率是1.75%。到期后一共可以取回多少元？ 【分析】 求一共取回多少钱，就是求本息总额，等于本金加利息。可以先算利息再加本金，也可以用综合公式计算。 【详解】 方法一：分步计算 利息：（元） 本息总额：（元） 方法二：综合计算 （元） 答：到期后一共可以取回20350元。 【答案】20350元 【变式训练】 题目：妈妈为小红存了10000元教育储蓄，定期三年，年利率2.75%。到期后全部取出，一共能取出多少钱？ 【分析】 求一共取出的钱是本息总额，先算利息再加本金。 【详解】 利息： （元） 本息总额：（元） 答：一共能取出10825元。 【答案】10825元 考点三：利息问题的逆运算 考查重点：能运用利息公式的变形，已知利息求本金或求利率。 【典例精讲】 题目：王老师将一笔钱存入银行，定期2年，年利率2.25%，到期后获得利息450元。王老师存入的本金是多少元？ 【分析】 已知利息、利率、存期，求本金。根据公式变形：本金=利息÷利率÷存期。 【详解】 （元） 答：王老师存入的本金是10000元。 【答案】10000元 【变式训练】 题目：小东把2000元压岁钱存入银行，定期一年，到期后得到利息35元。这笔存款的年利率是多少？ 【分析】 已知本金、利息、存期，求利率。用利息除以本金再除以存期，结果化成百分数。 【详解】 答：这笔存款的年利率是1.75%。 【答案】1.75% 考点四：利率的实际应用与比较 考查重点：结合生活场景，比较不同存期、不同理财方式的收益，解决实际问题。 【典例精讲】 题目：爸爸有10000元，打算存两年。银行一年期年利率1.75%，两年期年利率2.25%。怎么存更划算？ 【分析】 有两种存法：第一种直接存两年定期；第二种先存一年，到期连本带息再存一年。分别算出两种存法的利息，比较多少。 【详解】 方法一：直接存两年定期 利息：（元） 方法二：先存一年，再存一年 第一年利息：（元） 第二年本金：（元） 第二年利息：（元） 两年总利息：（元） ，直接存两年定期更划算。 答：存两年定期更划算。 【答案】存两年定期更划算 【变式训练】 题目：张阿姨有5000元，选择哪种存款方式收益更高？ A. 活期，年利率0.35%，存2年 B. 定期2年，年利率2.25% 【分析】 分别计算两种方式的利息，再比较大小。 【详解】 A方式利息：（元） B方式利息：（元） ，定期2年收益更高。 答：选择B方式（定期2年）收益更高。 【答案】定期2年收益更高 【第四部分】专项提升练习 1．中央商场某件皮衣的标价是1150元，若以八折售出，商场可以盈利15%。某顾客在标价打八折的基础上要求再让利150元。如果这样卖出这件皮衣，商场是盈利还是亏损？请计算说明。 【答案】商场亏损，亏损30元。 【分析】要判断盈亏，需先求出皮衣的进价，再算出让利后的实际售价，将两者对比即可。八折即80%，标价乘80%为售价，盈利15%即售价是进价的（1＋15%），用除法求出进价，让利后的实际价格为八折售价减去150元，进价和让利后的价格对比看看是否亏损。 【详解】（元） （元） （元） 所以商场亏损，亏损金额为：（元） 答：商场是亏损，亏损30元。 2．服装区将一种西装按进价增加30%后出售，定价为780元/套。为迎接618促销活动，又按定价打八五折销售，结果第一天就售出20套，第一天这种西装获利多少元？ 【答案】1260元 【分析】进价×（1＋30%）＝定价，定价÷（1＋30%）＝进价，定价×折扣＝售价，利润＝售价－进价，一套的利润＝一套的售价－一套的进价，一套的利润×套数＝一天的总利润。 【详解】780÷（1＋30%） ＝780÷130% ＝780÷1.3 ＝600（元） 780×85% ＝780×0.85 ＝663（元） 663－600＝63（元） 63×20＝1260（元） 答：第一天这种西装获利1260元。 3．新兴商店将冰箱按进价提高50%后，打出“九折酬宾，外送50元车费”的广告，结果每台冰箱仍获利370元，每台冰箱的进价是多少元？ 【答案】1200元 【分析】根据题意，利润＝售价－进价，售价＝进价×（1＋50%）×折扣－车费，设每台冰箱的进价是x元，再根据数量关系列出方程，运用等式性质解方程即可。 【详解】解：设每台冰箱的进价是x元。 （1＋50%）x×90%－50－x＝370 1.5x×90%－50－x＝370 1.35x－50－x＝370 1.35x－x－50＋50＝370＋50 0.35x＝420 0.35x÷0.35＝420÷0.35 x＝1200 答：每台冰箱的进价是1200元。 4．某商店按15%的利润定价，然后又按定价打九折出售，结果每件还赚70元，这一商品的成本价是多少元？ 【答案】2000元 【分析】这一商品的成本价＝每件赚的钱数÷赚的钱数是成本价的几分之几，其中赚的钱数是成本价的几分之几＝（1＋原来的利润率）×打的折扣数－1。 【详解】70÷[（1＋15%）×90%－1] ＝70÷0.035 ＝2000（元） 答：这一商品的成本价是2000元。 【点睛】解答本题的关键是明确成本价、定价、现价、折扣和利润的含义；本题也可以列方程解答，将成本价看成单位“1”，设为x元，定价是成本价的（1＋15%），即（1＋15%）x，又打九折，则现价为（1＋15%）x×90%，现在的售价减去成本价就是70元，由此列方程解答即可。 5．某商场一天内销售两种服装的情况是，甲种服装共卖得1560元，乙种服装共卖得1350元，若按两种服装的成本分别计算，甲种服装盈利25%，乙种服装亏本10%，试问该商场这一天是盈利还是亏本？盈或亏多少元？ 【答案】盈利；盈利162元 【分析】由题意可知，甲种服装盈利25%，就是比成本多了25%，那么卖价就是成本的1＋25%＝125%；乙种服装亏本10%，就是比成本少了10%，那么卖价就是成本的1－10%＝90%；根据“已知一个数的百分之几是多少，求这个数”，用除法计算出甲种服装和乙种服装的成本价，然后把一天的销售总额加起来跟成本总价相比，就知道是盈亏多少了。 【详解】1560÷（1＋25%） ＝1560÷1.25 ＝1248（元） 1350÷（1－10%） ＝1350÷90% ＝1500（元） 1560＋1350＝2910（元） 1248＋1500＝2748（元） 2910－2748＝162（元） 答：该商场这一天盈利了，盈利162元。 【点睛】解答此题的关键是要求出甲乙两种服装的成本价，根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数用除法计算。 6．商店同时卖出两台洗衣机，每台2400元，其中一台比进价高20%，另一台比进价低20%，总的来看商店卖出这两台洗衣机是赚钱还是赔钱？ 【答案】赔了200元 【解析】分别求出两台洗衣机的进价，比进价高20%的洗衣机的进价＝售价÷（1＋20%）；比进价低20%的洗衣机的进价＝售价÷（1－20%）；再将两台洗衣机的进价相加与两台洗衣机的售价之和进行比较即可得出答案。 【详解】2400÷（1＋20%） ＝2400÷1.2 ＝2000（元）； 2400÷（1－20%） ＝2400÷0.8 ＝3000（元）； 3000＋2000－2400×2 ＝5000－4800 ＝200（元） 答：赔了200元。 【分析】本题主要考查了百分数的除法的意义，已知一个数的百分之几是多少，求这个数用除法，解决这类问题要弄清楚谁作“单位1”。 7．某商店将某种DVD按进价提高30%后，打出“九折优惠酬宾，外送30元出租车费”的广告，结果每台仍旧获利55元，那么每台DVD的进价是多少元？ 【答案】500元 【分析】把进价看做单位“1”，按进价提高30%后，为1＋30%＝1.3，按九折促销，即售出价是进价的1.3×90%＝1.17，比进价多了1.17－1＝0.17，正好多了55＋30＝85（元），所以每台DVD的进价是85÷0.17，计算得出结果。 【详解】（55＋30）÷[（1＋30%）×90%－1] ＝85÷[1.3×0.9－1] ＝85÷[1.17－1] ＝85÷0.17 ＝500（元） 答：每台DVD的进价是500元。 【点睛】解答此题的关键是把进价看做单位“1”，找准具体数量与分率的对应关系，列式解答。 8．甲、乙两种商品成本共300元，商品甲按的利润定价，商品乙按的利润定价，后来两种商品都按定价九折促销，结果仍获得利润27.6元，问甲商品的成本是多少元？ 【答案】40元 【分析】我们可以设甲的成本是x元，那么甲的定价为（1＋30%）x元，九折后的售价就是用定价乘90%， 乙的成本就是300－x元，乙的定价就是（300－x）×（1＋20%），九折后的售价就是用定价乘90%，把甲乙的售价加在一起就是成本价加上利润，由此列方程求解。 【详解】解：设甲的成本价是x元。 （1＋30%）x×90%＋（300－x）×（1＋20%）×90%＝300＋27.6 1.3x×0.9＋（300－x）×1.2×0.9＝327.6 1.17x＋（300－x）×1.08＝327.6 1.17x＋300×1.08－1.08x＝327.6 1.17x＋324－1.08x＝327.6 1.17x－1.08x＝327.6－324 0.09x＝327.6－324 0.09x＝3.6 x＝3.6÷0.09 x＝40 答：甲商品的成本是40元。 【点睛】根据题目已知数学信息，分析各个量之间的数量关系，列出方程并细心计算才是解题的关键。 9．商店以每个100元的价格购进一批足球，售价为每个130元，卖到还剩20%时，除去成本，可获利960元。求这批足球的个数。 【答案】240个 【分析】把足球个数看作“1”，还剩20%，说明卖掉1－20%，卖掉的总价－成本＝960，可以设这批足球有x个，根据等量关系式列出方程：130×（1－20%）x－100x＝960，求出的方程的解就是足球的个数。 【详解】解：设这批足球有x个 130×（1－20%）x－100x＝960 130×0.8x－100x＝960 104x－100x＝960 4x＝960 x＝240 答：这批足球有240个。 【点睛】解决此题的方法：先找准单位“1”，再找出等量关系式，根据等量关系式列方程并求出方程的解。 10．甲、乙两件商品成本共600元，已知甲商品按45%的利润定价，乙商品按40%的利润定价；后来甲打八折出售，乙打九折出售，结果共获利110元．两件商品中成本较高的那件商品的成本是多少？ 【答案】460元 【分析】设甲种商品的成本价为x元，则乙种商品的成本价为（600﹣x）元。甲种商品的卖价就是（1+45%）x80%元，乙种商品的卖价就是（600﹣x）×（1+40%）×90%元。根据”甲种商品卖价+乙种商品卖价﹣成本价＝获利“即可列方程解答。 【详解】解：设甲商品成本为x元，乙商品成本为（600﹣x）元。 x（1+45%）×80%+（600﹣x）（1+40%）×90%﹣600＝110 1.16x+756﹣1.26x﹣600＝110 0.1x＝46 x＝460 600﹣460＝140（元） 460＞140 答：两件商品中成本较高的那件商品的成本是460元。 11．一家商店将某种服装按成本价提高40%定价，又以八折（定价的80%）优惠卖出，结果每件获利15元。这种服装的成本是多少元？ 【答案】125元 【分析】设成本为x元，商店将成本价提高40%来定价，也就是定价是成本价的（1＋40%）；商店又以八折优惠卖出，也就是现价是定价的80%，一个数的百分之几用乘法。根据售价－成本价＝利润，列出方程，并求解。 【详解】解：设这种服装的成本价是x元。 （1＋40%）x×80%－x＝15 140%x×80%－x＝15 1.12x－x＝15 0.12x＝15 x＝125 答：这种服装的成本价是125元。 12．商店购进一批本子，每本1元，若按定价的80%出售，能获得20%的利润。现在本子的成本降低，若按原定价的70%出售，仍能获得50%的利润。则现在这种本子的进价每本几元？ 【答案】0.7元 【分析】本题考查利润问题。由“每本1元，按定价的80%出售，能获得20%的利润”可知，原定价是（1＋1×20%）÷80%＝1.5（元），由于成本降低，设本子的现进价是x元，根据利润＝售价－进价，列出方程1.5×70%－x＝x×50%，解这个方程即可求出现在这种本子的进价。 【详解】原定价：（1＋1×20%）÷80% ＝1.2÷0.8 ＝1.5（元） 设现在这种本子的进价是x元，由题意可知： 1.5×70%－x＝x×50% 1.05－x＝0.5x 1.5x＝1.05 x＝0.7 答：现在这种本子的进价是0.7元。 13．某家商店购人一批苹果，在运输过程中花去100元运费，后来决定将这些苹果的价格降到原定价的70%卖出，这样所得的总利润就只有原计划的，已知这批苹果的进价是每千克6元4角，原计划可获得利润2700元，问：这批苹果一共有多少千克？ 【答案】500千克 【分析】根据题意，总售出价＝总成本＋利润＝进价×货物重量＋运输费＋利润，原计划能获得利润2700元，实际只有，用2700÷3再加上运输费100元，就可以求出实际的总利润是多少元，降到原定价的70%卖出，则实际比原计划少卖了原价的30%，用计划可获得的利润减去实际的利润，再除以30%，即可求出原来的总售出价是多少，用总售出价格减去利润即可求出总成本，再根据进价是每千克6元4角，即6.4元每千克，用总成本除以每千克的价格，即可求出这批苹果一共有多少千克。 【详解】实际利润：2700÷3＋100 ＝900＋100 ＝1000（元） 计划利润：2700＋100＝2800（元） 计划总售出价：（2800－1000）÷（1－70%） ＝1800÷30% ＝1800÷0.3 ＝6000（元） 总成本：6000－2800＝3200（元） 苹果总重量：3200÷6.4＝500（千克） 答：这批苹果一共有500千克。 【点睛】本题需要注意的是利润需要加上100元的运费，降到原定价的70%，则比计划少挣了原计划的（1－70%），用相差的钱数除以相差的百分比，即可求出原计划售出的总价，再进一步计算出成本，求出苹果的重量。 14．甲、乙两种商品，甲商品的成本是135元，比乙商品成本低，现在有以下三种销售方案： （1）甲商品按的利润定价，乙商品按的利润率定价； （2）甲、乙都以利润率定价； （3）甲、乙的定价都是190元。 请问选择哪种方案最赚钱？这时能盈利多少元？ 【答案】方案一；100.5元 【分析】乙商品的成本是单位“1”，单位“1”未知，用除法。（1）用甲商品成本乘30%即可求出甲商品的利润，用乙商品成本乘40%即可求出乙商品的利润，两种相加即可；（2）用甲商品成本乘35%即可求出甲商品的利润，用乙商品成本乘35%即可求出乙商品的利润，两种相加即可；（3）用190元分别减去甲、乙两商品的成本，再相加即可求出盈利，据此解答即可。 【详解】135÷（1－10%） ＝135÷0.9 ＝150（元） 方案一： ＝40.5＋60 ＝100.5（元） 方案二：135×35%＋150×35% ＝47.25＋52.5 ＝99.75（元） 方案三： ＝55＋40 ＝95（元）； 100.5＞99.75＞95 答：选择方案一最赚钱，能盈利100.5元。 【点睛】熟练掌握百分数乘法的意义是解答本题的关键。 15．绿色超市先后进了两批蔬菜，都售完后得到同样多的钱。蔬菜部经理说：“第一批蔬菜热销，比成本价高出20%卖出；第二批蔬菜滞销，在成本价基础上降价卖出，总算是这两批蔬菜卖完没有赔钱。”聪明的同学，请你算一算，蔬菜部经理说的对吗？（提示：可以用假设的方法） 【答案】不对 【分析】根据题意，可以用赋值法假设求解。要知道最后是赚钱还是赔钱，用总收入与成本对比即可。 【详解】解：假设都售完的钱是96元，那么第一批蔬菜原价是96÷（1＋20%）＝80（元），赚96－80＝16元；第二批蔬菜原价96÷（1－）＝120（元），赔120－96＝24（元），所以两次赔24－16＝8（元），蔬菜部经理说的不对。 【点睛】解答此类问题，用赋值法比较简单易懂。 16．购进一批青菜，按30%利润定价。当卖出这批青菜的80%后。为了尽快卖完，决定将剩下的所有青菜半价出售。售完后实际的利润率是多少？ 【答案】17% 【分析】由题意可知，设数量是100，成本是1，则定价为1＋1×30%＝1.3（元）。卖出80%的数量为：100×80%＝80，则剩下的数量为20，降价后的价钱为：1.3×50%＝0.65（元），然后求出实际利润，用实际利润除以成本价即可解答。 【详解】设数量是100，成本是1，则定价为1＋1×30%＝1.3（元） 100－100×80% ＝100－80 ＝20（棵） 总收入：1.3×80＋0.65×20 ＝104＋13 ＝117（元） 实际利润：117－100＝17（元） 利润率：17÷100＝17% 答：售完后实际的利润率是17%。 【点睛】本题考查利润率，明确利润率＝实际利润÷成本价是解题的关键。 17．某商场为了促销运动衣，先按进价的50%加价后，又宣传降价20%，结果每件运动衣仍获利20元，每件运动衣的进价是多少元？ 【答案】100元 【分析】设进价是x元，并把进价看成单位“1”，原价就是（1＋50%）x元，再把原价看成单位“1”，现价就是原价的1－20%，用乘法求出现价；现价减去成本价就是20元，由此列出方程求解。 【详解】解：设进价是x元，由题意得： （1＋50%）x×（1－20%）－x＝20 1.5x×0.8－x＝20 1.2x－x＝20 x＝100 答：成本价是100元。 【点睛】此题考查的是百分数的应用，解答此题应注意：降价20%即标价的80%，利润＝售价－进价；然后由此找出等量关系求解。 18．某种商品按原价出售，每件利润是成本的，后来打九折出售，每天的销量翻了一番。这种商品打折后每天总利润比打折前增加百分之几？ 【答案】20% 【分析】假设原价出售，每天销售10件商品，这件商品的成本价是30元，如果按照原价出售，则此时的定价：30×＋30＝40元，如果打九折出售，相当于原价的90%售出，则此时的利润40×90%＝36，那么此时的销量变为：10×2＝20件，打折前每天的利润：30××10＝100元，打折后一件商品的利润：36－30＝6元，20×6＝120元，打折后比打折前增加百分之几，用增加的量除以打折前的利润再乘100%，把数代入即可求解。 【详解】假设商品的成本价是30元，每天销售10件商品。 30×＋30 ＝10＋30 ＝40（元） 10×10＝100（元） 40×90%－30 ＝36－30 ＝6（元） 6×20＝120（元） （120－100）÷100×100% ＝20÷100×100% ＝0.2×100% ＝20% 答：这种商品打折后每天总利润比打折前增加20%。 【点睛】本题主要考查百分数的应用题，可以假设出具体的销量和成本价；求一个数比另一个数多百分之几，用多的量÷另一个数×100%。 19．某收音机成本72元，原来按定价出售，每天可售100个，每件利润为成本的25%，后来按定价打九折出售，每天销售量提高到原来的2.5倍。照这样计算，每天的利润比原来增加多少元？ 【答案】450元 【分析】根据题意，把某收音机的成本看作单位“1”，按定价出售每件利润为成本的25%，即每件的定价比成本高25%，则定价是成本的（1＋25%），单位“1”已知，用乘法计算求出原来每件的定价； 后来按定价打九折出售，即现在的售价是原来定价的90%，根据求一个数的百分之几是多少，用乘法计算求出现在每件的售价； 后来每天销售量提高到原来的2.5倍，用原来每天的销售量乘2.5，即可求出现在每天的销售量；根据利润＝售价－成本，分别求出原来、现在每件的利润，再分别乘原来、现在每天的销售量，即是原来、现在每天的利润，再相减，即可求出每天利润比原来增加的钱数。 【详解】原定价： 72×（1＋25%） ＝72×1.25 ＝90（元） 现在的售价： 90×9% ＝90×0.9 ＝81（元） 现在每天的销售量：100×2.5＝250（个） 原来每天的利润： （90－72）×100 ＝18×100 ＝1800（元） 现在每天的利润： （90－81）×250 ＝9×250 ＝2250（元） 增加：2250－1800＝450（元） 答：每天的利润比原来增加450元。 【点睛】本题考查百分数的实际应用，找出单位“1”，单位“1”已知，根据百分数乘法的意义解答；明确打几折，就是现价是原价的百分之几十。 20．小芳爸爸的公司需要制作一批资料包，每个资料包的长是3分米，宽是0.8分米，高是4.5分米。（如图） （1）制作一个这样的资料包至少需要多少平方分米硬纸板？（接头处忽略不计） （2）如果一个资料包成本是3元，实际定价4元。每个资料包工厂可获利百分之几？ 【答案】（1）36.6平方分米 （2）33.3% 【分析】（1）观察图形可知，求制作这个资料包需要多少平方分米，就是求这个无盖长方体的表面积，根据长方体表面积公式：表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答； （2）用实际定价与资料包成本价的差，除以资料包成本价，再乘100%，即可解答。 【详解】（1）3×0.8＋（3×4.5＋0.8×4.5）×2 ＝2.4＋（13.5＋3.6）×2 ＝2.4＋17.1×2 ＝2.4＋34.2 ＝36.6（平方分米） 答：制作一个这样的资料包至少需要36.6平方分米硬纸板。 （2）（4－3）÷3×100% ＝1÷3×100% ≈0.333×100% ＝33.3% 答：每个资料包工厂可获利33.3%。 【点睛】本题考查长方体表面积公式的应用以及利润问题知识。 21．有两家商场，当第一家商场的利润减少15%，而第二家商场利润增加18%时，这两家商场的利润相同。那么，原来第一家商场的利润是第二家商场利润的多少倍？ 【答案】1倍 【分析】15%的单位“1”是原来第一家商场的利润，那么现在第一家商场的利润就是原来的1－15%，18%的单位“1”是第二家商场的利润，那么现在第二家商场的利润就是原来的1＋18%，现在两家的利润相同，那么第一家商场的（1－15%）＝第二家商场的（1＋18%）。原来第一家商场的利润是原来第二家商场的利润的百分比就用（1＋18%）除以（1－15%）。 【详解】（1＋18%）÷（1－15%） ＝118÷85 ＝1 答：原来第一家商场的利润是第二家商场利润的1倍。 【点睛】本题也可这么做：设甲原来的利润为a，乙原来的利润是b。那么：85%a＝118%b，a÷b＝118%÷85%。计算可得结果。 22．某商店从江南皮革厂以每个80元的价格购进了60个皮箱，这些皮箱共卖了6300元。这个商店从这60个皮箱上共获得多少利润？利润率是多少？ 【答案】1500元；31.25% 【分析】先用80×60＝4800元，求出进价；再根据商品利润＝商品售价－商品进价，商品利润率＝商品利润÷商品进价×100%，代入数据，即可求出利润和利润率。 【详解】进价：80×60＝4800（元） 利润：6300－4800＝1500（元） 利润率：1500÷4800×100% ＝0.3125×100% ＝31.25% 答：这个商店从这60个皮箱上共获得1500元的利润，利润率是31.25%。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 百分数（利率问题）专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、储蓄的相关概念 1. 储蓄的意义：把暂时不用的钱存入银行，叫做储蓄。储蓄既可以保障钱财安全，又可以获得银行额外支付的利息，还能支援国家建设。 2. 存款方式： 　　● 活期：随时存入、随时取出，灵活方便，但利率较低。 　　● 定期（整存整取）：一次性存入一定金额，到期后一次性取出，存期固定，利率比活期高。 　　● 零存整取：每月固定存入一定金额，到期一次性取出。 3. 本金：存入银行的钱叫做本金。 4. 利息：取款时，银行除了归还本金外，多支付的钱叫做利息。 5. 利率：单位时间（如1年、1月）内的利息与本金的比率叫做利率。利率通常用百分数表示。 　　● 年利率：按年计算的利率，如年利率2.25%表示每年的利息占本金的2.25%。 　　● 利率不是固定不变的，会根据国家经济发展情况调整。 二、利息的基本计算公式 ● 本金：单位是元，是计算利息的基数（单位"1"）。 ● 利率：和存期对应，年利率对应存期以"年"为单位，月利率对应存期以"月"为单位。 ● 存期：存款的时间长度，计算时单位要和利率对应。 三、本息总额的计算 到期后一共取回的钱叫做本息总额，也叫本利和。 也可以写成： 四、存期与利率的关系 银行定期存款，存期越长，年利率越高。 ● 例如：一年期年利率1.75%，二年期年利率2.25%，三年期年利率2.75%。 ● 原因：钱存的时间越长，银行使用资金的时间越长，支付的利息就越多。 五、利息问题的逆运算 根据利息基本公式，可以推导出另外两个公式： 1. 已知利息、利率、存期，求本金： 2. 已知利息、本金、存期，求利率： 结果要化成百分数形式。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：基本利息计算——三要素代入法 【解题思路】 计算利息的核心是找准本金、利率、存期三个要素，对应代入公式"利息=本金×利率×存期"计算。关键是利率和存期的单位要对应，年利率配年，月利率配月。 【操作步骤】 第一步：找出本金、利率、存期三个量； 第二步：确认利率和存期单位对应（年利率→存期按年算）； 第三步：代入公式，按百分数乘法计算利息。 【易错提升】 ● 易错点1：存期单位不对应，比如年利率按月算。 　　→ 规避技巧：看到"年利率"，存期就用"年"作单位，存6个月就是0.5年，存3个月就是0.25年。 ● 易错点2：计算时把利率当成整数算，漏掉百分号。 　　→ 规避技巧：利率是百分之几，计算时先化成小数，比如2.25%化成0.0225再乘。 方法点拨2：本息总额计算——本金加利息法 【解题思路】 求到期一共取回多少钱，就是求本息总额。可以先算利息再加本金，也可以先算本息总额对应本金的分率，再乘本金。 【操作步骤】 方法一：分步算 第一步：按公式算出利息； 第二步：本金 + 利息 = 本息总额。 方法二：综合算 第一步：先算，得到本息总额是本金的多少倍； 第二步：本金 × 这个倍数 = 本息总额。 【易错提升】 ● 易错点1：求本息总额只算利息，忘记加本金。 　　→ 规避技巧：看清问题，"取回多少钱""一共多少钱"都是本息，必须包含本金。 ● 易错点2：综合公式时用1+利率，漏乘存期。 　　→ 规避技巧：利息是"利率×存期"，本息对应的分率是"1+利率×存期"，存期不能丢。 方法点拨3：逆运算问题——公式变形法 【解题思路】 已知利息求本金或求利率，是利息公式的逆运用。根据乘除法互逆关系，把公式变形，对应代入已知量计算即可。求利率最后要化成百分数。 【操作步骤】 1. 求本金：利息 ÷ 利率 ÷ 存期 2. 求利率：利息 ÷ 本金 ÷ 存期，结果乘100%变成百分数 【易错提升】 ● 易错点1：求利率时结果不化成百分数，直接写小数。 　　→ 规避技巧：利率必须用百分数表示，算完小数后乘100%，加上百分号。 ● 易错点2：逆运算时存期参与运算错误，比如除以存期变成乘存期。 　　→ 规避技巧：根据原式"利息=本金×利率×存期"，三个量相乘，求其中一个就用利息除以另外两个。 【第三部分】考点讲练 考点一：基本利息计算 考查重点：掌握利息计算公式，能正确计算定期存款的利息。 【典例精讲】 题目：张叔叔将8000元存入银行，定期2年，年利率是2.25%。到期后他可以获得利息多少元？ 【变式训练】 题目：李阿姨把5000元存入银行，定期3年，年利率是2.75%。到期时她能得到多少元利息？ 考点二：本息总额计算 考查重点：理解本息总额的含义，能正确计算到期后一共取回的钱数。 【典例精讲】 题目：小明的爸爸将20000元存入银行，定期1年，年利率是1.75%。到期后一共可以取回多少元？ 【变式训练】 题目：妈妈为小红存了10000元教育储蓄，定期三年，年利率2.75%。到期后全部取出，一共能取出多少钱？ 考点三：利息问题的逆运算 考查重点：能运用利息公式的变形，已知利息求本金或求利率。 【典例精讲】 题目：王老师将一笔钱存入银行，定期2年，年利率2.25%，到期后获得利息450元。王老师存入的本金是多少元？ 【变式训练】 题目：小东把2000元压岁钱存入银行，定期一年，到期后得到利息35元。这笔存款的年利率是多少？ 考点四：利率的实际应用与比较 考查重点：结合生活场景，比较不同存期、不同理财方式的收益，解决实际问题。 【典例精讲】 题目：爸爸有10000元，打算存两年。银行一年期年利率1.75%，两年期年利率2.25%。怎么存更划算？ 【变式训练】 题目：张阿姨有5000元，选择哪种存款方式收益更高？ A. 活期，年利率0.35%，存2年 B. 定期2年，年利率2.25% 【第四部分】专项提升练习 1．中央商场某件皮衣的标价是1150元，若以八折售出，商场可以盈利15%。某顾客在标价打八折的基础上要求再让利150元。如果这样卖出这件皮衣，商场是盈利还是亏损？请计算说明。 2．服装区将一种西装按进价增加30%后出售，定价为780元/套。为迎接618促销活动，又按定价打八五折销售，结果第一天就售出20套，第一天这种西装获利多少元？ 3．新兴商店将冰箱按进价提高50%后，打出“九折酬宾，外送50元车费”的广告，结果每台冰箱仍获利370元，每台冰箱的进价是多少元？ 4．某商店按15%的利润定价，然后又按定价打九折出售，结果每件还赚70元，这一商品的成本价是多少元？ 5．某商场一天内销售两种服装的情况是，甲种服装共卖得1560元，乙种服装共卖得1350元，若按两种服装的成本分别计算，甲种服装盈利25%，乙种服装亏本10%，试问该商场这一天是盈利还是亏本？盈或亏多少元？ 6．商店同时卖出两台洗衣机，每台2400元，其中一台比进价高20%，另一台比进价低20%，总的来看商店卖出这两台洗衣机是赚钱还是赔钱？ 7．某商店将某种DVD按进价提高30%后，打出“九折优惠酬宾，外送30元出租车费”的广告，结果每台仍旧获利55元，那么每台DVD的进价是多少元？ 8．甲、乙两种商品成本共300元，商品甲按的利润定价，商品乙按的利润定价，后来两种商品都按定价九折促销，结果仍获得利润27.6元，问甲商品的成本是多少元？ 9．商店以每个100元的价格购进一批足球，售价为每个130元，卖到还剩20%时，除去成本，可获利960元。求这批足球的个数。 10．甲、乙两件商品成本共600元，已知甲商品按45%的利润定价，乙商品按40%的利润定价；后来甲打八折出售，乙打九折出售，结果共获利110元．两件商品中成本较高的那件商品的成本是多少？ 11．一家商店将某种服装按成本价提高40%定价，又以八折（定价的80%）优惠卖出，结果每件获利15元。这种服装的成本是多少元？ 12．商店购进一批本子，每本1元，若按定价的80%出售，能获得20%的利润。现在本子的成本降低，若按原定价的70%出售，仍能获得50%的利润。则现在这种本子的进价每本几元？ 13．某家商店购人一批苹果，在运输过程中花去100元运费，后来决定将这些苹果的价格降到原定价的70%卖出，这样所得的总利润就只有原计划的，已知这批苹果的进价是每千克6元4角，原计划可获得利润2700元，问：这批苹果一共有多少千克？ 14．甲、乙两种商品，甲商品的成本是135元，比乙商品成本低，现在有以下三种销售方案： （1）甲商品按的利润定价，乙商品按的利润率定价； （2）甲、乙都以利润率定价； （3）甲、乙的定价都是190元。 请问选择哪种方案最赚钱？这时能盈利多少元？ 15．绿色超市先后进了两批蔬菜，都售完后得到同样多的钱。蔬菜部经理说：“第一批蔬菜热销，比成本价高出20%卖出；第二批蔬菜滞销，在成本价基础上降价卖出，总算是这两批蔬菜卖完没有赔钱。”聪明的同学，请你算一算，蔬菜部经理说的对吗？（提示：可以用假设的方法） 16．购进一批青菜，按30%利润定价。当卖出这批青菜的80%后。为了尽快卖完，决定将剩下的所有青菜半价出售。售完后实际的利润率是多少？ 17．某商场为了促销运动衣，先按进价的50%加价后，又宣传降价20%，结果每件运动衣仍获利20元，每件运动衣的进价是多少元？ 18．某种商品按原价出售，每件利润是成本的，后来打九折出售，每天的销量翻了一番。这种商品打折后每天总利润比打折前增加百分之几？ 19．某收音机成本72元，原来按定价出售，每天可售100个，每件利润为成本的25%，后来按定价打九折出售，每天销售量提高到原来的2.5倍。照这样计算，每天的利润比原来增加多少元？ 20．小芳爸爸的公司需要制作一批资料包，每个资料包的长是3分米，宽是0.8分米，高是4.5分米。（如图） （1）制作一个这样的资料包至少需要多少平方分米硬纸板？（接头处忽略不计） （2）如果一个资料包成本是3元，实际定价4元。每个资料包工厂可获利百分之几？ 21．有两家商场，当第一家商场的利润减少15%，而第二家商场利润增加18%时，这两家商场的利润相同。那么，原来第一家商场的利润是第二家商场利润的多少倍？ 22．某商店从江南皮革厂以每个80元的价格购进了60个皮箱，这些皮箱共卖了6300元。这个商店从这60个皮箱上共获得多少利润？利润率是多少？ 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $