第三单元 分数除法（解决问题专项）专项突破讲义（知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习）人教版数学六年级上册（新教材）

第三单元 分数除法（解决问题专项）专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、核心解题依据 分数除法解决问题的核心模型：已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算（或列方程解答）。 本质是已知分率对应的具体数量，求单位"1"的总量，是分数乘法问题的逆运算。 二、单位"1"的判断方法 单位"1"是分数应用题的参照标准，找准单位"1"是解题的前提。 1. 关键词定位法 　　● "的"字前面的量是单位"1"。例：苹果的质量是梨的质量的，梨的质量是单位"1"。 　　● "是、占、比、相当于"后面的量是单位"1"。例：现价比原价降低了，原价是单位"1"。 2. 隐藏单位"1"补全法 　　● 降价/涨价：和原价比，原价是单位"1"； 　　● 增产/减产：和计划比，计划产量是单位"1"； 　　● 修了/吃了：和总量比，总长度/总数量是单位"1"。 三、基本数量关系式 变形公式： 　　● 对应分率 = 对应量 ÷ 单位"1"的量 　　● 对应量 = 单位"1"的量 × 对应分率（乘法模型） 四、四大常考题型 1. 基本型：已知一个数的几分之几是多少，求这个数 　　已知对应量和对应分率，求单位"1"的量，一步除法计算。 　　数量关系式：对应量 ÷ 对应分率 = 单位"1"的量 2. 稍复杂型：已知比一个数多（或少）几分之几的数是多少，求这个数 　　已知比较量和多或少的分率，求单位"1"的量。 　　● 方法一：比较量 ÷（1 ± 多/少的分率）= 单位"1"的量 　　● 方法二：设单位"1"为，根据""列方程 3. 连续型：连续求单位"1" 　　包含两个或多个单位"1"，已知最终量，求最初的单位"1"，需要分步倒推，用连除计算。 4. 工程问题 　　把工作总量看作单位"1"，用单位时间完成的分率表示工作效率，解决合作时间、工作效率等问题。 　　基本关系式：工作总量÷工作效率和 = 合作时间 五、分数乘除问题的区分 ● 单位"1"的量已知，求它的几分之几是多少 → 用乘法 ● 单位"1"的量未知，已知它的几分之几是多少，求单位"1" → 用除法或方程 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：单位"1"定位与题型判断法——知乘未知除 【解题思路】 解决分数应用题的第一步是判断单位"1"是已知还是未知，这直接决定了用乘法还是除法。单位"1"已知用乘法，单位"1"未知用除法或方程，这是贯穿分数乘除应用题的核心判断标准。 【操作步骤】 第一步：读题找关键词，定位单位"1"； 第二步：判断单位"1"的量是已知还是未知； 第三步：已知→乘法：单位"1"×对应分率=对应量； 　　　　未知→除法/方程：对应量÷对应分率=单位"1"。 【易错提升】 ● 易错点1："比"字句中找错单位"1"，导致乘除用反。 　　→ 规避技巧："比谁谁就是单位1"，"比"后面的量永远是参照标准，未知就用除法。 ● 易错点2：看到分数就用乘法，不分析单位1是否已知。 　　→ 规避技巧：做题先问自己"单位1是谁？知道吗？"，知道才乘，不知道就除。 方法点拨2：线段图辅助分析法——数形结合逆推法 【解题思路】 分数除法问题是逆向思维，学生理解困难，画线段图可以直观呈现"对应量"和"对应分率"的关系，帮助找到量率对应关系，尤其适合解决稍复杂的"比多比少"问题。 【操作步骤】 第一步：先画单位"1"的线段，根据分率分母平均分成若干份； 第二步：根据题意画出比较量的线段，标出已知的具体数量； 第三步：找到已知数量对应的分率，用"已知量÷对应分率"求出单位"1"。 【易错提升】 ● 易错点1：量率不对应，用已知量直接除以多/少的分率。 　　→ 规避技巧：先看已知量是整体还是部分，求单位1必须用"对应量÷对应分率"，多的量对应多的分率，总量对应总量的分率。 ● 易错点2："比单位1少几分之几"，对应分率错用几分之几，忘记用1减。 　　→ 规避技巧：比单位1少，对应分率=1-少的分率；比单位1多，对应分率=1+多的分率。 方法点拨3：方程解题法——顺向思维化难为易 【解题思路】 分数除法应用题逆向思考难度大，用方程法可以把未知的单位"1"设为，转化为分数乘法的思路来解，顺向思考更容易理解，不易出错，是解决复杂分数问题的通用方法。 【操作步骤】 第一步：设单位"1"的量为； 第二步：根据题目中的数量关系，列出乘法关系式； 第三步：解方程，求出的值； 第四步：检验答案是否符合题意。 【易错提升】 ● 易错点1：设未知数时设错量，把对应量设为。 　　→ 规避技巧：求单位"1"就设单位"1"为，谁是单位1就设谁为。 ● 易错点2：列方程时等量关系写错，比如"比单位1多"列成比较量。 　　→ 规避技巧：完整翻译题意，"比单位1多"就是"单位1 + 单位1× = 比较量"。 方法点拨4：工程问题解题法——总量设"1"法 【解题思路】 工程问题不给出具体工作总量，解题核心是把工作总量看作单位"1"，用每天完成总量的几分之几表示工作效率，再根据工作总量、工作效率、工作时间的关系解题。 【操作步骤】 第一步：设工作总量为单位"1"； 第二步：求各队的工作效率：工作效率 = 1÷单独完成时间； 第三步：求合作效率：各队效率相加； 第四步：求合作时间：工作总量÷合作效率 = 合作时间。 【易错提升】 ● 易错点1：把具体工作量当单位1，或者把时间当效率。 　　→ 规避技巧：效率是每天做几分之几，必须用1除以时间得到，不能直接用时间相加。 ● 易错点2：求合作时间，用总时间直接除以队数。 　　→ 规避技巧：时间不能相加，只有效率才能相加，必须先算效率和，再用总量除以效率和。 【第三部分】考点讲练 考点一：基本型——已知一个数的几分之几是多少，求这个数 考查重点：找准单位"1"，掌握"对应量÷对应分率=单位1"的基本模型。 【典例精讲】 题目：果园里有苹果树120棵，是梨树棵数的，梨树有多少棵？ 【分析】 单位"1"是梨树的棵数，未知。已知苹果树的棵数（对应量）和苹果树占梨树的分率（对应分率），求单位"1"的量，用除法计算，也可以列方程解答。 【详解】 方法一：算术法 数量关系式：梨树棵数 × = 苹果树棵数 推导得：梨树棵数 = 苹果树棵数 ÷ 列式：（棵） 方法二：方程法 解：设梨树有棵。 答：梨树有160棵。 【答案】160棵 【变式训练】 题目：一桶油，用去了，正好用去了16千克。这桶油原来有多少千克？ 【分析】 单位"1"是这桶油原来的质量，未知。已知用去的质量（对应量）和用去的分率（对应分率），求总质量，用对应量除以对应分率。 【详解】 方法一：算术法 （千克） 方法二：方程法 解：设这桶油原来有千克。 答：这桶油原来有40千克。 【答案】40千克 考点二：稍复杂型——已知比一个数多/少几分之几的数是多少，求这个数 考查重点：理解"多/少几分之几"的含义，准确找到比较量对应的分率。 【典例精讲】 题目：某工厂六月份用煤100吨，比五月份节约了，五月份用煤多少吨？ 【分析】 单位"1"是五月份用煤量，未知。"比五月份节约"，说明六月份用煤量是五月份的（），对应量是100吨，对应分率是，求单位1用除法。 【详解】 方法一：算术法 六月份是五月份的： 五月份用煤：（吨） 方法二：方程法 解：设五月份用煤吨。 答：五月份用煤120吨。 【答案】120吨 【变式训练】 题目：一件上衣现价198元，比原价涨价了，这件上衣原价多少元？ 【分析】 单位"1"是原价，未知。"比原价涨价"，说明现价是原价的（），对应量是198元，求原价用除法。 【详解】 方法一：算术法 现价是原价的： 原价：（元） 方法二：方程法 解：设这件上衣原价元。 答：这件上衣原价180元。 【答案】180元 考点三：连续求单位"1"的问题 考查重点：理清多个单位"1"的关系，分步倒推，掌握连除解题方法。 【典例精讲】 题目：学校图书馆有漫画书90本，是故事书本数的，故事书的本数又是科技书的，科技书有多少本？ 【分析】 本题包含两个单位"1"。第一个单位"1"是故事书本数，未知，先用漫画书的数量除以求出故事书；第二个单位"1"是科技书本数，未知，再用故事书的数量除以求出科技书。也可以列综合连除算式。 【详解】 方法一：分步计算 1. 先求故事书的本数（单位1：故事书） （本） 2. 再求科技书的本数（单位1：科技书） （本） 方法二：综合算式 （本） 答：科技书有150本。 【答案】150本 【变式训练】 题目：超市运来一批大米，第一天卖出总数的，第二天卖出第一天的，第二天卖出30袋。这批大米一共有多少袋？ 【分析】 先根据第二天卖出的量和第二天占第一天的分率，求出第一天卖出的袋数；再根据第一天卖出的量和第一天占总数的分率，求出大米总袋数。 【详解】 方法一：分步计算 第一天卖出：（袋） 总袋数：（袋） 方法二：综合算式 （袋） 答：这批大米一共有200袋。 【答案】200袋 考点四：工程问题 考查重点：掌握把工作总量看作单位"1"的方法，能解决合作工作时间问题。 【典例精讲】 题目：一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成。两队合作，多少天可以完成？ 【分析】 把这项工程的工作总量看作单位"1"。甲队每天完成总量的（甲的效率），乙队每天完成总量的（乙的效率）。两队合作每天完成（），用工作总量除以效率和就是合作时间。 【详解】 甲队效率： 乙队效率： 合作效率： 合作时间：（天） 答：两队合作6天可以完成。 【答案】6天 【变式训练】 题目：加工一批零件，师傅单独做需要8小时完成，徒弟单独做需要12小时完成。师徒两人合作，几小时能完成这批零件的？ 【分析】 工作总量不是全部"1"，而是。先求出师徒的效率和，再用需要完成的工作量除以效率和，就是所需时间。 【详解】 师傅效率： 徒弟效率： 合作效率： 所需时间：（小时） 答：4小时能完成这批零件的。 【答案】4小时 【第四部分】专项提升练习 1．一台收割机小时收割小麦公顷，照这样计算，1小时可以收割多少公顷小麦？收割1公顷小麦需要多少小时？ 【答案】公顷 小时 【分析】根据工作效率＝工作总量÷工作时间，用公顷除以小时即可求出这台收割机平均每小时收割的公顷数；每公顷需要的时间＝工作总时间÷收割的公顷数，用小时除以公顷即可求出收割1公顷小麦需要的时间。 【详解】÷ ＝× ＝（公顷） ÷ ＝× ＝（小时） 答：1小时可以收割公顷小麦，收割1公顷小麦需要小时。 2．学校“布艺兴趣小组”用18米布做了一些蝴蝶结，每个蝴蝶结用布米。这些布可以做多少个蝴蝶结？ 【答案】30个 【分析】已知每个蝴蝶结用布米，求18米布可以做多少个蝴蝶结，就是求18米里面有几个米，用除法计算。 【详解】18÷ ＝18× ＝30（个） 答：这些布可以做30个蝴蝶结。 3．实验小学合唱队女生有30人，占合唱队总人数的，合唱队人数是校足球队人数的。学校足球队有多少人？ 【答案】81人 【分析】已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法，据此用30÷求出合唱队的总人数，然后再用合唱队的人数÷即可解题。 【详解】 ＝ ＝81（人） 答：学校足球队有81人。 4．济南市历史悠久，有趵突泉、大明湖等著名景点。济南市历下区的面积约为100平方千米，是市中区的，济南市市中区的面积约是多少平方千米？（先画图分析数量关系，再解答） 【答案】；280平方千米 【分析】把市中区的面积看作单位“1”，先画一条线段代表市中区的面积，把这条线段平均分成14份，其中的5份就是历下区的面积；等量关系：市中区的面积×＝历下区的面积，单位“1”未知，已知单位“1”的是100平方千米，已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算。 【详解】画图略 100÷ ＝100× ＝280（平方千米） 答：济南市市中区的面积约是280平方千米。 5．我国居民用电电压为220伏，相当于生活在巴西和圭亚那的淡水中的电鳗所产生电压的。这种电鳗产生的电压是多少伏？（先写出数量关系式，再解答） 【答案】等量关系：电鳗产生的电压×＝居民用电电压；650伏 【分析】把电鳗产生的电压看作单位“1”，单位“1”未知。根据题意可得等量关系：电鳗产生的电压×＝居民用电电压，居民用电220伏对应的是单位“1”的，已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算。 【详解】等量关系：电鳗产生的电压×＝居民用电电压 220÷ ＝220× ＝650（伏） 答：这种电鳗产生的电压是650伏。 6．一项工程，单独完成，甲队需20天，乙队需24天，丙队需30天。若甲、乙、丙三个队合作，多少天可以完成这项工程的？ 【答案】6天 【分析】工作总量÷工作时间＝工作效率，将一项工程的工作总量看作“1”，分别计算出甲队、乙队、丙队的工作效率。再用工作总量除以甲乙丙的工作效率之和，计算出完成这项工程的所需要的天数即可。 【详解】 （天） 答：6天可以完成这项工程的。 7．埃菲尔铁塔矗立在法国巴黎的战神广场，是世界著名建筑，也是法国文化象征之一，同时是巴黎最高建筑物。埃菲尔铁塔的天线改装前高24米，占当时铁塔总高度的。改装后天线增高了6米，此时埃菲尔铁塔总高度是多少米？ 【答案】330米 【分析】把改装前铁塔总高度看作单位“1”，已知改装前天线高度和其占总高度的分率，用除法求出改装前总高度，再加天线增高的长度，得到改装后的总高度。 【详解】（米） （米） 答：此时埃菲尔铁塔总高度是330米。 8．在寒冷的冬季，当冰雪覆盖电力线路时，给人工巡检工作带来了巨大的挑战。为了应对这一挑战，电力公司引入了一款冰雪巡检机器人。这款机器人每天都能高效地穿梭在银装素裹的电线之间，它第一天就完成了全部巡检线路的，第二天又完成了第一天巡检线路的，第二天完成了1千米，巡检线路的总长度是多少千米？ 【答案】千米 【分析】先把第一天完成的线路长度看作单位“1”，根据第二天完成的长度和对应的分率，用除法求出第一天完成的长度；再把巡检线路总长度看作单位“1”，根据第一天完成的长度和对应的分率，用除法求出总长度。 【详解】（千米） （千米） 答：巡检线路的总长度是4千米。 9．一汽车从甲地开往乙地，途中有上坡、平路和下坡，已知上坡路10千米，汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点整，停留30分钟后从乙地出发，用了2.25小时返回甲地。已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、下坡路分别是多少千米？ 【答案】 30千米，20千米 【分析】往返行驶时平路路程相同，行驶时间差由上下坡路段互换导致，先通过时间差求出去时的下坡路长度，再根据去时总时间求出平路长度。 【详解】1. 计算去时行驶总时间： （小时） 2. 计算返回比去时多用的时间： （小时） 3. 计算10千米路段（去时上坡、返回下坡）返回比去时少用的时间： ＝0.25（小时） 4. 计算去时下坡路的长度： 去时的下坡路返回时变为上坡，这段路返回比去时多用的时间，抵消10千米路段少用的0.25小时后，总时间还多0.25小时，因此这段路返回比去时多用（小时） 每千米下坡路变上坡多用的时间为（小时） 下坡路长度：（千米） 5. 计算平路长度： 去时上坡时间：（小时） 去时下坡时间：（小时） 去时平路时间：（小时） 平路长度：（千米） 答：甲地到乙地的行驶过程中平路30千米，下坡路是20千米。 10．明明、琳琳、亮亮三人跳绳，明明跳了100下。琳琳：“明明跳的次数是我的。”亮亮：“我跳的次数是琳琳的。”亮亮跳了多少下？ 【答案】90下 【分析】先把琳琳跳绳的次数看作单位“1”， 单位“1”的量未知，已知单位“1”的对应数量是100下，求单位“1”用除法；再把琳琳跳绳的次数看作单位“1”， 单位“1”的量已求出为120下，单位“1”已知，求它的是多少，用乘法求出亮亮的跳绳次数。 【详解】（下） （下） 答：亮亮跳了90下。 11．农产品集散中心收购了油桃，现在要将这些油桃分批运至集散中心。如果每次运走，那么需要多少次运完？ 【答案】次 【分析】求运完的次数，就是求总油桃质量里包含多少个每次运的质量，用除法计算。 【详解】（次） 答：需要20次运完。 12．小红了解到：由于不同星体的引力作用，人在地球上能举起的物体的质量约是月球上的，人在火星上能举起的物体的质量约是月球上的。小红在地球上能举起12千克的物体，她在月球上能举起多少千克的物体？在火星上呢？ 【答案】月球上能举起72千克；火星上能举起32千克 【分析】把人在月球上能举起的物体质量看作单位“1”。已知地球上能举起的质量是月球的，对应12千克，求单位“1”用除法计算；求火星上能举起的质量，就是求月球质量的是多少，用乘法计算。 【详解】12÷ ＝12×6 ＝72（千克） 72×＝32（千克） 答：她在月球上能举起72千克的物体，在火星上能举起32千克的物体。 13．一个水池有三个管：注水管A，注水管B和排水管C，A单独注满需要6小时，B单独注满需要8小时，C单独排空需要12小时，若三管同时打开（A，B注水，C排水），需要多少小时把空池注满？ 【答案】小时 【分析】将水池总容量看作单位“1”。根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，分别求出A、B两根注水管的注水效率与排水管C的排水效率；两根注水管效率之和减去排水管效率，得到三管齐开时每小时的净注水效率；再用工作总量÷净注水效率，求出注满空池的时间。 【详解】 （小时） 答：需要小时把空池注满。 14．“人生得意须尽欢，莫使金樽空对月”出自诗仙李白的《将进酒》。已知一个酒壶内有升酒，正好能倒满8樽，则每樽约能装多少升酒？ 【答案】升 【分析】根据除法平均分的意义，把总酒量平均分成8份，求每份的容量，用除法计算。 【详解】 （升） 答：每樽约能装升酒。 15．一块长方形玻璃长米，宽米，它的面积相当于另一块梯形玻璃面积的5倍，这块梯形玻璃的面积是多少平方米？ 【答案】 平方米 【分析】长方形面积＝长×宽，算出长方形玻璃的面积，再用长方形面积除以5即可得到梯形玻璃的面积。 【详解】＝（平方米） ＝＝（平方米） 答：这块梯形玻璃的面积是平方米。 16．李爷爷家的果园里种着梨树、桃树和苹果树三种果树共108棵，梨树的数量是果树总数的，是桃树数量的。桃树有多少棵？ 【答案】45棵 【分析】先把果树总棵数看作单位“1”，用总棵数乘梨树占总数的分率，求出梨树的棵数；再把桃树的棵数看作单位“1”，单位“1”未知，用梨树的棵数除以它占桃树的分率，即可求出桃树的棵数。 【详解】梨树的棵数：108×＝27（棵） 桃树的棵数：27÷ ＝27× ＝45（棵） 答：桃树有45棵。 17．为美化乡镇形象，兴隆街道对临街店面统一升级改造，若甲施工队单独施工，需要8天，若乙施工队单独施工，需要10天。为了减少对店铺的影响，需要尽快完成改造，甲、乙两队合作施工，需要多少天才能完工？ 【答案】 天（或天） 【分析】将总工作量看作单位“1”，先求甲、乙各自的工作效率，再算合作效率和，最后用总工作量除以效率和得到合作完工时间。 【详解】甲队工作效率： 乙队工作效率： 两队合作效率和：＝＝ 合作完工时间：＝1×＝（天）＝（天） 答：需要（或）天才能完工。 18．适量饮用牛奶，不仅可以有效地促进钙的吸收，而且可以帮助睡眠。睡觉前，妈妈准备了升牛奶，然后给每个杯子倒升，可以倒几杯？ 【答案】4杯 【分析】求可以倒几杯，用牛奶总量除以每杯倒的牛奶量。分数除法等于被除数乘除数的倒数。 【详解】 ＝×5 ＝4（杯） 答：可以倒4杯。 19．某宣传账号发了一条抖音视频，收到了810条评论，是点赞量的该视频的转发量比点赞量少这条抖音视频的转发量是多少次？ 【答案】960次 【分析】已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法。据此用评论的数量÷计算出点赞量，视频的转发量比点赞量少，也就是转发量是点赞量的（1－），根据分数乘法的意义求出转发量即可。 【详解】810÷×（1－） ＝810×× ＝960（次） 答：这条抖音视频的转发量是960次。 20．淘淘的爷爷正在把一桶5升的芝麻油倒出来一些分装在容积为升的瓶子里（每瓶都装满），如果他倒出了这桶芝麻油的，可以装满多少瓶？ 【答案】12瓶 【分析】将这桶油总升数看作单位“1”，先用这桶油总升数乘，求出倒出的升数，再除以每瓶装的升数，即可求出倒出的油装满的瓶数，据此解答。 【详解】 （瓶） 答：可以装满12瓶。 21．要生产一批共享单车，甲生产商单独做要15天完成，乙生产商单独做要10天，两个生产商合作生产，几天能完成这批共享单车的？ 【答案】天 【分析】把这批共享单车的总工作量看作单位“”，先分别求出甲、乙的工作效率，再计算两人合作的效率和，用需要完成的工作量除以合作效率和，就能得到所需的工作时间。 【详解】甲的工作效率： 乙的工作效率： 两人合作的效率和： 完成所需时间：（天） 答：天能完成这批共享单车的。 22．剪纸是中国最古老的民间手工艺术之一，东营的剪纸具有浓郁的黄河口文化特色和清新淳朴的民间气息。五年级手工小组的同学用30张彩纸剪制了一些作品，平均每个剪纸作品用彩纸张，这些剪纸作品的送给幼儿园小朋友，送给幼儿园小朋友多少个剪纸作品？ 【答案】36个 【分析】把剪纸作品的总个数看作单位“1”，先用彩纸总张数除以每个作品用纸的张数，求出作品总数量，再求总数量的，用乘法求出送给小朋友的个数。 【详解】30÷× ＝30×2× ＝60× ＝36（个） 答：送给幼儿园小朋友36个剪纸作品。 23．体育用品商店购进36个篮球，正好是购进足球个数的，卖出一部分篮球后，剩下篮球的个数相当于购进足球个数的，卖出篮球多少个？ 【答案】6个 【分析】先把购进足球的个数看作单位“1”，根据已知一个数的几分之几是多少求这个数用除法，用原来购进篮球的个数除以即可得到购进的足球的个数；再把购进足球的个数看作单位“1”，根据求一个数的几分之几是多少用乘法求出剩下的篮球的个数，最后用原来购进篮球的个数减去剩下的篮球的个数即可。 【详解】36÷ ＝36× ＝45（个） 45×＝30（个） 36－30＝6（个） 答：卖出篮球6个。 24．学校组织中、高年级同学参加植树活动，高年级植树的棵数比总数的多3棵，中年级植树的棵数是总数的。中、高年级一共植树多少棵？ 【答案】60棵 【分析】把中高年级植树总棵数看作单位“1”，用1减去与的和，算出3棵对应的分率，再用对应量除以对应分率求出总棵数。 【详解】 ＝ ＝ ＝3×20 ＝60（棵） 答：中、高年级一共植树60棵。 25．在一根长1m的木棍两端有两只蜗牛，甲蜗牛每分钟爬行，乙蜗牛每分钟爬行。两只蜗牛相向而行，乙蜗牛出发2分钟后甲蜗牛再出发。甲蜗牛爬行多少分钟后与乙蜗牛相遇？ 【答案】 分钟或分钟 【分析】这是不同时出发的相遇问题，先算出乙蜗牛先爬行的路程，得到两只蜗牛共同爬行的路程，再用共同路程除以速度和，即可求出甲蜗牛的爬行时间。 【详解】乙蜗牛先出发2分钟爬行的路程（米） 甲蜗牛出发时，两只蜗牛相距的路程（米） 两只蜗牛的速度和 （米/分） 甲蜗牛爬行的相遇时间 （分） 答：甲蜗牛爬行分钟后与乙蜗牛相遇。 26．我市小学数学思维运动会如期举行，小选手们在赛场上奋勇争先。其中参加300秒计算挑战赛的人数占个人赛总人数的，参加说题比赛的人数占个人赛总人数的，已知共有48人参加这两项比赛，参加这次个人赛的总人数有多少人？ 【答案】 156人 【分析】将个人赛总人数看作单位“1”，先计算两项比赛人数占总人数的分率和，再用两项比赛的总人数除以对应分率，即可求出总人数。 【详解】 （人） 答：参加这次个人赛的总人数有人。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 分数除法（解决问题专项）专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、核心解题依据 分数除法解决问题的核心模型：已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算（或列方程解答）。 本质是已知分率对应的具体数量，求单位"1"的总量，是分数乘法问题的逆运算。 二、单位"1"的判断方法 单位"1"是分数应用题的参照标准，找准单位"1"是解题的前提。 1. 关键词定位法 　　● "的"字前面的量是单位"1"。例：苹果的质量是梨的质量的，梨的质量是单位"1"。 　　● "是、占、比、相当于"后面的量是单位"1"。例：现价比原价降低了，原价是单位"1"。 2. 隐藏单位"1"补全法 　　● 降价/涨价：和原价比，原价是单位"1"； 　　● 增产/减产：和计划比，计划产量是单位"1"； 　　● 修了/吃了：和总量比，总长度/总数量是单位"1"。 三、基本数量关系式 变形公式： 　　● 对应分率 = 对应量 ÷ 单位"1"的量 　　● 对应量 = 单位"1"的量 × 对应分率（乘法模型） 四、四大常考题型 1. 基本型：已知一个数的几分之几是多少，求这个数 　　已知对应量和对应分率，求单位"1"的量，一步除法计算。 　　数量关系式：对应量 ÷ 对应分率 = 单位"1"的量 2. 稍复杂型：已知比一个数多（或少）几分之几的数是多少，求这个数 　　已知比较量和多或少的分率，求单位"1"的量。 　　● 方法一：比较量 ÷（1 ± 多/少的分率）= 单位"1"的量 　　● 方法二：设单位"1"为，根据""列方程 3. 连续型：连续求单位"1" 　　包含两个或多个单位"1"，已知最终量，求最初的单位"1"，需要分步倒推，用连除计算。 4. 工程问题 　　把工作总量看作单位"1"，用单位时间完成的分率表示工作效率，解决合作时间、工作效率等问题。 　　基本关系式：工作总量÷工作效率和 = 合作时间 五、分数乘除问题的区分 ● 单位"1"的量已知，求它的几分之几是多少 → 用乘法 ● 单位"1"的量未知，已知它的几分之几是多少，求单位"1" → 用除法或方程 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：单位"1"定位与题型判断法——知乘未知除 【解题思路】 解决分数应用题的第一步是判断单位"1"是已知还是未知，这直接决定了用乘法还是除法。单位"1"已知用乘法，单位"1"未知用除法或方程，这是贯穿分数乘除应用题的核心判断标准。 【操作步骤】 第一步：读题找关键词，定位单位"1"； 第二步：判断单位"1"的量是已知还是未知； 第三步：已知→乘法：单位"1"×对应分率=对应量； 　　　　未知→除法/方程：对应量÷对应分率=单位"1"。 【易错提升】 ● 易错点1："比"字句中找错单位"1"，导致乘除用反。 　　→ 规避技巧："比谁谁就是单位1"，"比"后面的量永远是参照标准，未知就用除法。 ● 易错点2：看到分数就用乘法，不分析单位1是否已知。 　　→ 规避技巧：做题先问自己"单位1是谁？知道吗？"，知道才乘，不知道就除。 方法点拨2：线段图辅助分析法——数形结合逆推法 【解题思路】 分数除法问题是逆向思维，学生理解困难，画线段图可以直观呈现"对应量"和"对应分率"的关系，帮助找到量率对应关系，尤其适合解决稍复杂的"比多比少"问题。 【操作步骤】 第一步：先画单位"1"的线段，根据分率分母平均分成若干份； 第二步：根据题意画出比较量的线段，标出已知的具体数量； 第三步：找到已知数量对应的分率，用"已知量÷对应分率"求出单位"1"。 【易错提升】 ● 易错点1：量率不对应，用已知量直接除以多/少的分率。 　　→ 规避技巧：先看已知量是整体还是部分，求单位1必须用"对应量÷对应分率"，多的量对应多的分率，总量对应总量的分率。 ● 易错点2："比单位1少几分之几"，对应分率错用几分之几，忘记用1减。 　　→ 规避技巧：比单位1少，对应分率=1-少的分率；比单位1多，对应分率=1+多的分率。 方法点拨3：方程解题法——顺向思维化难为易 【解题思路】 分数除法应用题逆向思考难度大，用方程法可以把未知的单位"1"设为，转化为分数乘法的思路来解，顺向思考更容易理解，不易出错，是解决复杂分数问题的通用方法。 【操作步骤】 第一步：设单位"1"的量为； 第二步：根据题目中的数量关系，列出乘法关系式； 第三步：解方程，求出的值； 第四步：检验答案是否符合题意。 【易错提升】 ● 易错点1：设未知数时设错量，把对应量设为。 　　→ 规避技巧：求单位"1"就设单位"1"为，谁是单位1就设谁为。 ● 易错点2：列方程时等量关系写错，比如"比单位1多"列成比较量。 　　→ 规避技巧：完整翻译题意，"比单位1多"就是"单位1 + 单位1× = 比较量"。 方法点拨4：工程问题解题法——总量设"1"法 【解题思路】 工程问题不给出具体工作总量，解题核心是把工作总量看作单位"1"，用每天完成总量的几分之几表示工作效率，再根据工作总量、工作效率、工作时间的关系解题。 【操作步骤】 第一步：设工作总量为单位"1"； 第二步：求各队的工作效率：工作效率 = 1÷单独完成时间； 第三步：求合作效率：各队效率相加； 第四步：求合作时间：工作总量÷合作效率 = 合作时间。 【易错提升】 ● 易错点1：把具体工作量当单位1，或者把时间当效率。 　　→ 规避技巧：效率是每天做几分之几，必须用1除以时间得到，不能直接用时间相加。 ● 易错点2：求合作时间，用总时间直接除以队数。 　　→ 规避技巧：时间不能相加，只有效率才能相加，必须先算效率和，再用总量除以效率和。 【第三部分】考点讲练 考点一：基本型——已知一个数的几分之几是多少，求这个数 考查重点：找准单位"1"，掌握"对应量÷对应分率=单位1"的基本模型。 【典例精讲】 题目：果园里有苹果树120棵，是梨树棵数的，梨树有多少棵？ 【变式训练】 题目：一桶油，用去了，正好用去了16千克。这桶油原来有多少千克？ 考点二：稍复杂型——已知比一个数多/少几分之几的数是多少，求这个数 考查重点：理解"多/少几分之几"的含义，准确找到比较量对应的分率。 【典例精讲】 题目：某工厂六月份用煤100吨，比五月份节约了，五月份用煤多少吨？ 【变式训练】 题目：一件上衣现价198元，比原价涨价了，这件上衣原价多少元？ 考点三：连续求单位"1"的问题 考查重点：理清多个单位"1"的关系，分步倒推，掌握连除解题方法。 【典例精讲】 题目：学校图书馆有漫画书90本，是故事书本数的，故事书的本数又是科技书的，科技书有多少本？ 【变式训练】 题目：超市运来一批大米，第一天卖出总数的，第二天卖出第一天的，第二天卖出30袋。这批大米一共有多少袋？ 考点四：工程问题 考查重点：掌握把工作总量看作单位"1"的方法，能解决合作工作时间问题。 【典例精讲】 题目：一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成。两队合作，多少天可以完成？ 【变式训练】 题目：加工一批零件，师傅单独做需要8小时完成，徒弟单独做需要12小时完成。师徒两人合作，几小时能完成这批零件的？ 【第四部分】专项提升练习 1．一台收割机小时收割小麦公顷，照这样计算，1小时可以收割多少公顷小麦？收割1公顷小麦需要多少小时？ 2．学校“布艺兴趣小组”用18米布做了一些蝴蝶结，每个蝴蝶结用布米。这些布可以做多少个蝴蝶结？ 3．实验小学合唱队女生有30人，占合唱队总人数的，合唱队人数是校足球队人数的。学校足球队有多少人？ 4．济南市历史悠久，有趵突泉、大明湖等著名景点。济南市历下区的面积约为100平方千米，是市中区的，济南市市中区的面积约是多少平方千米？（先画图分析数量关系，再解答） 5．我国居民用电电压为220伏，相当于生活在巴西和圭亚那的淡水中的电鳗所产生电压的。这种电鳗产生的电压是多少伏？（先写出数量关系式，再解答） 6．一项工程，单独完成，甲队需20天，乙队需24天，丙队需30天。若甲、乙、丙三个队合作，多少天可以完成这项工程的？ 7．埃菲尔铁塔矗立在法国巴黎的战神广场，是世界著名建筑，也是法国文化象征之一，同时是巴黎最高建筑物。埃菲尔铁塔的天线改装前高24米，占当时铁塔总高度的。改装后天线增高了6米，此时埃菲尔铁塔总高度是多少米？ 8．在寒冷的冬季，当冰雪覆盖电力线路时，给人工巡检工作带来了巨大的挑战。为了应对这一挑战，电力公司引入了一款冰雪巡检机器人。这款机器人每天都能高效地穿梭在银装素裹的电线之间，它第一天就完成了全部巡检线路的，第二天又完成了第一天巡检线路的，第二天完成了1千米，巡检线路的总长度是多少千米？ 9．一汽车从甲地开往乙地，途中有上坡、平路和下坡，已知上坡路10千米，汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点整，停留30分钟后从乙地出发，用了2.25小时返回甲地。已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、下坡路分别是多少千米？ 10．明明、琳琳、亮亮三人跳绳，明明跳了100下。琳琳：“明明跳的次数是我的。”亮亮：“我跳的次数是琳琳的。”亮亮跳了多少下？ 11．农产品集散中心收购了油桃，现在要将这些油桃分批运至集散中心。如果每次运走，那么需要多少次运完？ 12．小红了解到：由于不同星体的引力作用，人在地球上能举起的物体的质量约是月球上的，人在火星上能举起的物体的质量约是月球上的。小红在地球上能举起12千克的物体，她在月球上能举起多少千克的物体？在火星上呢？ 13．一个水池有三个管：注水管A，注水管B和排水管C，A单独注满需要6小时，B单独注满需要8小时，C单独排空需要12小时，若三管同时打开（A，B注水，C排水），需要多少小时把空池注满？ 14．“人生得意须尽欢，莫使金樽空对月”出自诗仙李白的《将进酒》。已知一个酒壶内有升酒，正好能倒满8樽，则每樽约能装多少升酒？ 15．一块长方形玻璃长米，宽米，它的面积相当于另一块梯形玻璃面积的5倍，这块梯形玻璃的面积是多少平方米？ 16．李爷爷家的果园里种着梨树、桃树和苹果树三种果树共108棵，梨树的数量是果树总数的，是桃树数量的。桃树有多少棵？ 17．为美化乡镇形象，兴隆街道对临街店面统一升级改造，若甲施工队单独施工，需要8天，若乙施工队单独施工，需要10天。为了减少对店铺的影响，需要尽快完成改造，甲、乙两队合作施工，需要多少天才能完工？ 18．适量饮用牛奶，不仅可以有效地促进钙的吸收，而且可以帮助睡眠。睡觉前，妈妈准备了升牛奶，然后给每个杯子倒升，可以倒几杯？ 19．某宣传账号发了一条抖音视频，收到了810条评论，是点赞量的该视频的转发量比点赞量少这条抖音视频的转发量是多少次？ 20．淘淘的爷爷正在把一桶5升的芝麻油倒出来一些分装在容积为升的瓶子里（每瓶都装满），如果他倒出了这桶芝麻油的，可以装满多少瓶？ 21．要生产一批共享单车，甲生产商单独做要15天完成，乙生产商单独做要10天，两个生产商合作生产，几天能完成这批共享单车的？ 22．剪纸是中国最古老的民间手工艺术之一，东营的剪纸具有浓郁的黄河口文化特色和清新淳朴的民间气息。五年级手工小组的同学用30张彩纸剪制了一些作品，平均每个剪纸作品用彩纸张，这些剪纸作品的送给幼儿园小朋友，送给幼儿园小朋友多少个剪纸作品？ 23．体育用品商店购进36个篮球，正好是购进足球个数的，卖出一部分篮球后，剩下篮球的个数相当于购进足球个数的，卖出篮球多少个？ 24．学校组织中、高年级同学参加植树活动，高年级植树的棵数比总数的多3棵，中年级植树的棵数是总数的。中、高年级一共植树多少棵？ 25．在一根长1m的木棍两端有两只蜗牛，甲蜗牛每分钟爬行，乙蜗牛每分钟爬行。两只蜗牛相向而行，乙蜗牛出发2分钟后甲蜗牛再出发。甲蜗牛爬行多少分钟后与乙蜗牛相遇？ 26．我市小学数学思维运动会如期举行，小选手们在赛场上奋勇争先。其中参加300秒计算挑战赛的人数占个人赛总人数的，参加说题比赛的人数占个人赛总人数的，已知共有48人参加这两项比赛，参加这次个人赛的总人数有多少人？ 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $