第26章二次函数典型例题+易错精练-2026-2027学年人教版数学九年级上册

第26章二次函数典型例题+易错精练-2026-2027学年数学九年级上册人教版 典型例题 1．（2026•鹿城区校级模拟）已知抛物线． （1）求抛物线L1的顶点坐标（用含m的代数式表示）； （2）将抛物线向右平移6个单位长度得到新的抛物线L2，两抛物线交于点A． ①求点A的纵坐标； ②若点P（x1，y1），Q（x2，y2）分别在抛物线L1，L2上，若x2﹣x1＝8，m﹣3≤x1≤m，求y2﹣y1的取值范围． 2．（2025秋•邹平市期中）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，且B点的坐标为（3，0），经过A点的直线交抛物线于点C（2，3）． （1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式； （2）点D为直线AC上方抛物线上的一个动点，问D点运动到何处时△ADC的面积最大？并求出此时的最大面积． 3．（2026•高新区校级三模）2025—2026赛季中国排球超级联赛是由中国排球协会主办的中国最高级别排球职业联赛，于2025年12月至2026年4月举行．根据国际排球联合会的规定，排球比赛场地为长方形，其长度为18m，宽度为9m，女子排球比赛球网的高度为2.24m．如图，某女子排球运动员在场地边缘的O处训练发球，MN为球网（球网位于球场的中间），AB为球场护栏，且MN，AB均与地面垂直，球场的边界为点K，以点O为原点，垂直于球网的直线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，排球（看作点）从点O的正上方点P（0，2）处发出，排球经过的路径是抛物线L的一部分，其最高点为G（7，3），落地点为点H．（点O，M，H，K，A在同一直线上，图中所有的点均在同一平面内） （1）求抛物线L对应的函数解析式； （2）通过计算判断排球能否越过球网； （3）由于运动员改变了发球点P的位置，使得排球在点K落地后立刻弹起，又形成了一条与L形状相同的抛物线L′，且最大高度为1m．若排球沿L′下落时（包含最高点）能碰到球场护栏，求m的取值范围． 易错精练 一．选择题（共8小题） 1．（2026•香坊区校级二模）开口向上，顶点坐标为（﹣2，3）的抛物线为（　　） A．y＝2（x﹣2）2﹣3 B．y＝2（x+2）2+3 C．y＝﹣2（x﹣2）2﹣3 D．y＝﹣2（x+2）2+3 2．（2026•东源县一模）已知二次函数y＝﹣2（x+1）2﹣3，下列说法正确的是（　　） A．图象经过原点 B．图象的顶点坐标为（﹣1，3） C．图象与x轴无公共点 D．图象与y轴的交点坐标为（0，﹣3） 3．（2025秋•庐江县期末）将抛物线y＝3x2向左平移2个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线的解析式为（　　） A．y＝3（x+2）2+4 B．y＝3（x+2）2﹣4 C．y＝3（x﹣2）2﹣4 D．y＝3（x﹣2）2+4 4．（2025秋•永年区期末）在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x个人，若最初2个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y人感染，则y与x的函数关系式为（　　） A．y＝2（1+x）2 B．y＝（2+x）2 C．y＝2+2x2 D．y＝（1+2x）2 5．（2026•厦门模拟）已知二次函数y＝a（x﹣a）2+x﹣a的图象上有三点（a+1，y1），（a+2，y2），（a﹣3，y3），则y1，y2，y3的大小关系不可能是（　　） A．y3＞y2＞y1 B．y3＞y1＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y2＞y3 6．（2026•莲湖区校级模拟）已知二次函数y＝mx2﹣8mx+16m+8（m≠0），当x≤3时，y随x的增大而增大，当0≤x＜t时，函数的最大值是8，最小值是16m+8，则t的值可能是（　　） A．2 B．4 C．6 D．9 7．（2025秋•魏县期末）将二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y＝x+b与新函数的图象有4个公共点时，则b的范围为（　　） A．﹣3＜b＜1 B． C． D． 8．（2026•广西模拟）已知函数，当时，y的最小值为，最大值为，则实数n的取值范围是（　　） A．或 B．或 C． D． 二．填空题（共6小题） 9．（2026•静安区校级模拟）若函数y＝mx2﹣2x+m与x轴有且仅有1个交点，则m的值为_________ ． 10．（2026•鼓楼区校级模拟）已知二次函数y＝﹣x2+3x+4，当0＜x＜3时，y的取值范围是____________________ ． 11．（2026•东海县模拟）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于A（﹣3，m），B（1，n）两点，则不等式ax2+kx+c＜b的解集是 ___________ ． 12．（2025秋•栖霞市期末）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管高度应为__________________ m． 13．（2025秋•威海期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标满足下表： x … ﹣3 ﹣2 0 3 5 … y … 24 10 ﹣6 0 24 … 下面四个结论： ①abc＜0；②2a+b＝0；③am2+bm﹣a﹣b≥0；④当﹣1＜x＜3时，y＜0；⑤8a+c＜0． 其中正确的是________ （填写序号）． 14．（2025秋•南京期末）如图，函数的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3），设，则t的取值范围是____________________ ． 三．解答题（共5小题） 15．（2026•鼓楼区二模）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3． （1）该函数图象顶点的横坐标为_____ ； （2）当0≤x≤5时，函数的最大值为9，求a的值； （3）若以点A（0，3），B（3，1）为端点的线段与二次函数图象只有一个公共点，直接写出a的取值范围． 16．（2026•连州市模拟）某公园雕塑OA的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑OA的高度为2m，当喷出的水柱与OA的水平距离为4m时，达到最大高度3.6m．以点O为原点，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． （1）求水柱所在抛物线的函数表达式； （2）求水柱落地点与雕塑OA的水平距离． 17．（2026•郸城县三模）已知点P是抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣2的顶点． （1）当m＝1时，直接写出点P的坐标：___________ ； （2）若点（1，a），（3，b）都在抛物线上，求证：a+b+2≥0； （3）若A（0，2），B（2，2）且抛物线与线段AB有公共点，求m的取值范围． 18．（2026•名山区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数yx2+bx+c的图象经过点A（4，0），C（0，2）． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点E是第一象限的抛物线上的一个动点．当△ACE面积最大时，请求出点E的坐标； （3）如图2，在抛物线上是否存在一点P，使∠CAP＝45°？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 19．（2025秋•沁水县期末）【综合与实践】某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察刹车距离．【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间 0 1 2 3 刹车后行驶的距离y 0 27 48 63 发现：①开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶的时间t（单位：s）之间成二次函数关系；②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： （1）求y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）若汽车刹车4s后，行驶了多长距离； （3）若汽车司机发现正前方70m处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，请问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 典型例题解析 1．（2026•鹿城区校级模拟）已知抛物线． （1）求抛物线L1的顶点坐标（用含m的代数式表示）； （2）将抛物线向右平移6个单位长度得到新的抛物线L2，两抛物线交于点A． ①求点A的纵坐标； ②若点P（x1，y1），Q（x2，y2）分别在抛物线L1，L2上，若x2﹣x1＝8，m﹣3≤x1≤m，求y2﹣y1的取值范围． 【解答】解：（1）将抛物线解析式配方可得： ， ∴顶点坐标为（m，8）． （2）①根据二次函数平移法则可知： 抛物线向右平移6个单位长度得到新的抛物线L2的解析式为． ∵A是L1和L2的交点， ∴， ∴（x﹣m﹣6）2＝（x﹣m）2， ∴x＝m+3， 将x＝m+3代入得． ②∵；，点P、Q分别在抛物线L1，L2上，x2﹣x1＝8， ∴x2＝x1+8， ∴ ＝﹣2x1+2m﹣2． ∴y2﹣y1是关于x1的一次函数，且k＝﹣2＜0， ∴y2﹣y1的值是随着x1的增加而减小， ∵m﹣3≤x1≤m， ∴当x1＝m时，y2﹣y1＝﹣2； 当x1＝m﹣3时，y2﹣y1＝4， ∴﹣2≤y2﹣y1≤4． 2．（2025秋•邹平市期中）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，且B点的坐标为（3，0），经过A点的直线交抛物线于点C（2，3）． （1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式； （2）点D为直线AC上方抛物线上的一个动点，问D点运动到何处时△ADC的面积最大？并求出此时的最大面积． 【解答】解：（1）把C（2，3）、B（3，0），代入y＝﹣x2+bx+c得 ， 解得， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3； 当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3， 则A（﹣1，0）， 设直线AC的解析式为y＝mx+n， 把C（2，3），A（﹣1，0），代入得， 解得， ∴直线AC的解析式为y＝x+1． （2）如图，作DE∥y轴交AC于E． 设D（t，﹣t2+2t+3）（﹣1＜t＜2），则E（t，t+1）， ∴DE＝﹣t2+2t+3﹣（t+1）＝﹣t2+t+2， ∴S△DAC（﹣t2+t+2）（t）2， ∵， ∴当，即D点坐标为时，△ADC的面积最大，最大面积为． 3．（2026•高新区校级三模）2025—2026赛季中国排球超级联赛是由中国排球协会主办的中国最高级别排球职业联赛，于2025年12月至2026年4月举行．根据国际排球联合会的规定，排球比赛场地为长方形，其长度为18m，宽度为9m，女子排球比赛球网的高度为2.24m．如图，某女子排球运动员在场地边缘的O处训练发球，MN为球网（球网位于球场的中间），AB为球场护栏，且MN，AB均与地面垂直，球场的边界为点K，以点O为原点，垂直于球网的直线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，排球（看作点）从点O的正上方点P（0，2）处发出，排球经过的路径是抛物线L的一部分，其最高点为G（7，3），落地点为点H．（点O，M，H，K，A在同一直线上，图中所有的点均在同一平面内） （1）求抛物线L对应的函数解析式； （2）通过计算判断排球能否越过球网； （3）由于运动员改变了发球点P的位置，使得排球在点K落地后立刻弹起，又形成了一条与L形状相同的抛物线L′，且最大高度为1m．若排球沿L′下落时（包含最高点）能碰到球场护栏，求m的取值范围． 【解答】解：（1）由题意可得：设抛物线L对应的函数解析式为y＝a（x﹣7）2+3， 将P（0，2）代入y＝a（x﹣7）2+3， 得2＝a（0﹣7）2+3， 解得， ∴抛物线L对应的函数解析式为． （2）由题可得OM＝18÷2＝9（m）， ∴当x＝9时，， ∵， ∴排球能越过球网． （3）∵抛物线L′的形状与抛物线L相同，且最大高度为1m， ∴设抛物线L′对应的解析式为， ∵抛物线L′过点K（18，0）， ∴， 解得k1＝25，k2＝11（不合题意，舍去）， ∴， ∴抛物线L′的最高点坐标为（25，1）， ∵排球从最高处开始下落，护栏在距离原点25m处，就可能被排球砸到， ∴m≥25， 当排球落地砸到点A时， 把y＝0代入抛物线L′的解析式得， 解得x1＝32，x2＝18（不合题意，舍去）， ∴m≤32， ∴m的取值范围为25≤m≤32． 易错精练解析 一．选择题（共8小题） 1．（2026•香坊区校级二模）开口向上，顶点坐标为（﹣2，3）的抛物线为（　　） A．y＝2（x﹣2）2﹣3 B．y＝2（x+2）2+3 C．y＝﹣2（x﹣2）2﹣3 D．y＝﹣2（x+2）2+3 【解答】解：根据顶点式判断顶点的方法可知， A、抛物线的顶点为（2，﹣3）； B、抛物线的顶点为（﹣2，3）； C、抛物线的顶点为（2，﹣3）； D、抛物线的顶点为（2，3）． 故选：B． 2．（2026•东源县一模）已知二次函数y＝﹣2（x+1）2﹣3，下列说法正确的是（　　） A．图象经过原点 B．图象的顶点坐标为（﹣1，3） C．图象与x轴无公共点 D．图象与y轴的交点坐标为（0，﹣3） 【解答】解：∵二次函数y＝﹣2（x+1）2﹣3， ∴该函数图象过（0，﹣5），故选项A错误，不符合题意； 该函数图象的顶点坐标为（﹣1，﹣3），故选项B错误，不符合题意； 当y＝0时，0＝﹣2（x+1）2﹣3，该方程无解，即该函数图象与x轴无公共点，故选项C正确，符合题意； 当x＝0时，y＝﹣5，即该函数图象与y轴的交点坐标为（0，﹣5），故选项D错误，不符合题意； 故选：C． 3．（2025秋•庐江县期末）将抛物线y＝3x2向左平移2个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线的解析式为（　　） A．y＝3（x+2）2+4 B．y＝3（x+2）2﹣4 C．y＝3（x﹣2）2﹣4 D．y＝3（x﹣2）2+4 【解答】解：y＝3x2向左平移2个单位，再向下平移4个单位， ∴y＝3（x+2）2﹣4． 故选：B． 4．（2025秋•永年区期末）在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x个人，若最初2个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y人感染，则y与x的函数关系式为（　　） A．y＝2（1+x）2 B．y＝（2+x）2 C．y＝2+2x2 D．y＝（1+2x）2 【解答】解：根据题意可得，y与x的函数关系式为：y＝2+2x+（2+2x）x＝2（1+x）2． 故选：A． 5．（2026•厦门模拟）已知二次函数y＝a（x﹣a）2+x﹣a的图象上有三点（a+1，y1），（a+2，y2），（a﹣3，y3），则y1，y2，y3的大小关系不可能是（　　） A．y3＞y2＞y1 B．y3＞y1＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y2＞y3 【解答】解：∵二次函数y＝a（x﹣a）2+x﹣a的图象上有三点（a+1，y1），（a+2，y2），（a﹣3，y3）， ∴y1＝a（a+1﹣a）2+（a+1）﹣a＝a（1）2+1＝a+1， y2＝a（a+2﹣a）2+（a+2）﹣a＝a（2）2+2＝4a+2， y3＝a（a﹣3﹣a）2+（a﹣3）﹣a＝a（﹣3）2﹣3＝9a﹣3， A、若y3＞y2＞y1，则， 解得a＞1， ∴a＞1时满足y3＞y2＞y1； B、若y3＞y1＞y2，则， 无解， ∴y3＞y1＞y2不可能； C、若y2＞y1＞y3，则， 解得a， ∴当a满足y2＞y1＞y3； D、若y1＞y2＞y3，则， 解得a， ∴a时满足y1＞y2＞y3； 故选：B． 6．（2026•莲湖区校级模拟）已知二次函数y＝mx2﹣8mx+16m+8（m≠0），当x≤3时，y随x的增大而增大，当0≤x＜t时，函数的最大值是8，最小值是16m+8，则t的值可能是（　　） A．2 B．4 C．6 D．9 【解答】解：∵二次函数y＝mx2﹣8mx+16m+8（m≠0）， ∴对称轴为直线， ∵当x≤3时，y随x的增大而增大， ∴m＜0， ∵当0≤x＜t时，函数的最大值是8，最小值是16m+8， 又∵当 x＝4 时，代入得 y＝8，当 x＝0时，代入得 y＝16m+8， ∴当 x＝4 时（即顶点处），函数有最大值， 当 x＝0时，函数有最小值， ∴， 解得4＜t≤8． ∴t的值可能是6． 故选：C． 7．（2025秋•魏县期末）将二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y＝x+b与新函数的图象有4个公共点时，则b的范围为（　　） A．﹣3＜b＜1 B． C． D． 【解答】解：令﹣x2+2x+3＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3， ∴抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴的交点坐标分别为A（﹣1，0），B（3，0）． 将二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3（﹣1≤x≤3）． 当直线y＝x+b过点B时，直线y＝x+b与新函数的图象恰好有3个交点， 将B（3，0）代入y＝x+b， 得3+b＝0， 解得b＝﹣3． 当直线y＝x+b与抛物线y＝x2﹣2x﹣3（﹣1≤x≤3）相切时，直线y＝x+b与新函数的图象恰好有3个交点， 即方程x2﹣2x﹣3＝x+b有两个相等的实数根， 整理得x2﹣3x﹣3﹣b＝0， ∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣3﹣b）＝0， 解得b ∴当直线y＝x+b与新函数的图象有4个交点时，b的取值范围为b＜﹣3， 故选：D． 8．（2026•广西模拟）已知函数，当时，y的最小值为，最大值为，则实数n的取值范围是（　　） A．或 B．或 C． D． 【解答】解：已知函数， 函数图象如图所示，设顶点为点P， 由图象可知，在上y随x的增大而增大，在1≤x≤3上y随x增大而减小， ∴上y的最小值为， ∴，解得， ∴ 过点P作PM∥x轴，交函数图象于点M， 则，解得（负解舍去）， ∴， ∵在x≥3上y随x的增大而增大，要满足最大值为1， ∴， 解得，． 故选：C． 二．填空题（共6小题） 9．（2026•静安区校级模拟）若函数y＝mx2﹣2x+m与x轴有且仅有1个交点，则m的值为　0或±1　 ． 【解答】解：分两种情况讨论： 当m＝0时，函数解析式为y＝﹣2x，是一次函数，一次函数的图象与x轴有且仅有一个交点，符合题意，因此m＝0满足条件． 当m≠0时，函数y＝mx2﹣2x+m是二次函数，若二次函数的图象与x轴有且仅有一个交点，则根的判别式Δ＝0． 对于一元二次方程mx2﹣2x+m＝0，其中a＝m，b＝﹣2，c＝m，可得： Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4•m•m＝4﹣4m2 令Δ＝0，即4﹣4m2＝0， 解得m2＝1，即m＝1或m＝﹣1，均满足m≠0，符合题意． 综上，m的值为0或1或﹣1， 故答案为：0或±1． 10．（2026•鼓楼区校级模拟）已知二次函数y＝﹣x2+3x+4，当0＜x＜3时，y的取值范围是　　 ． 【解答】解：由题知， 二次函数的解析式为y＝﹣x2+3x+4， 所以抛物线的对称轴为直线x且开口向下． 又因为0＜x＜3时， 则当x时，y取得最大值为， 当x＝0时，y＝4， 所以． 故答案为：． 11．（2026•东海县模拟）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于A（﹣3，m），B（1，n）两点，则不等式ax2+kx+c＜b的解集是 　﹣1＜x＜3　 ． 【解答】解：∵直线y＝kx+b关于y轴对称的直线解析式为y＝﹣kx+b， ∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣kx+b的交点坐标为（3，m），（﹣1，n）， ∴当﹣1＜x＜3时，ax2+c＜﹣kx+b， ∴不等式ax2+kx+c＜b的解集是﹣1＜x＜3． 故答案为：﹣1＜x＜3． 12．（2025秋•栖霞市期末）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管高度应为　　 m． 【解答】解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k， 由题意可知抛物线的与x轴的一个交点为（3，0），顶点坐标为（1，3）， ∴0＝a（3﹣1）2+3， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 当x＝0时，， ∴水柱落地处离池中心3m，水管的高度为， 故答案为：． 13．（2025秋•威海期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标满足下表： x … ﹣3 ﹣2 0 3 5 … y … 24 10 ﹣6 0 24 … 下面四个结论： ①abc＜0；②2a+b＝0；③am2+bm﹣a﹣b≥0；④当﹣1＜x＜3时，y＜0；⑤8a+c＜0． 其中正确的是　②③④　 （填写序号）． 【解答】解：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标满足下表： x … ﹣3 ﹣2 0 3 5 … y … 24 10 ﹣6 0 24 … 由表格可知，当x＝0时，y＝﹣6， ∴c＝﹣6． 当x＝﹣2时，y＝10；当x＝3时，y＝0， ∴， 解得， ∴二次函数解析式为y＝2x2﹣4x﹣6． abc＝2×（﹣4）×（﹣6）＝48＞0，故①错误； ②∵2a＝4，b＝﹣4， ∴2a+b＝4﹣4＝0，故②正确； ③二次函数的图象对称轴为，开口向上， ∴当x＝1时，函数取得最小值a+b+c， ∴am2+bm+c≥a+b+c， 即am2+bm﹣a﹣b≥0，故③正确； ④由对称轴x＝1及x＝3时y＝0，可知另一交点为x＝﹣1，结合函数图象开口向上， ∴当﹣1＜x＜3时，y＜0，故④正确； ⑤∵8a+c＝8×2+（﹣6）＝10＞0，故⑤错误． 故答案为：②③④． 14．（2025秋•南京期末）如图，函数的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3），设，则t的取值范围是　　 ． 【解答】解：将二次函数y＝x2﹣2x+3配方可得y＝（x﹣1）2+2（x＜2）， ∴图象开口向上，对称轴为x＝1，顶点（1，2）． ∴当x＝1时函数有最小值为2，x1+x2＝2． ∵一次函数（x≥2）， ∴当x＝2时，有最大值3，当y＝2时． 由条件可知A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）在抛物线上， ∴y1＝y2＝y3＝m，2＜m＜3． ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 三．解答题（共5小题） 15．（2026•鼓楼区二模）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3． （1）该函数图象顶点的横坐标为　2　 ； （2）当0≤x≤5时，函数的最大值为9，求a的值； （3）若以点A（0，3），B（3，1）为端点的线段与二次函数图象只有一个公共点，直接写出a的取值范围． 【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣4ax+3＝a（x﹣2）2﹣4a+3， ∴该函数图象顶点的横坐标为2， 故答案为：2； （2）∵当0≤x≤5时，函数的最大值为9， 又∵0＜2＜5， ∴当a＜0时，则x＝2时，函数有最大值9， ∴4a﹣8a+3＝9， 解得a； 当a＞0时，则x＝5时，函数有最大值9， ∴25a﹣20a+3＝9， 解得a， ∴a的值为或； （3）∵抛物线y＝ax2﹣4ax+3＝a（x﹣2）2﹣4a+3， ∴对称轴为直线x＝2，顶点为（2，3﹣4a）． 分两种情况讨论： ①当a＞0时， ∵点A（0，3），B（3，1）， ∴直线AB为yx+3， 令ax2﹣4ax+3x+3，则ax2﹣（4a）x＝0， 即x（ax﹣4a）＝0， 解得x1＝0，x2＝4， ∵以点A（0，3），B（3，1）为端点的线段与二次函数图象只有一个公共点， ∴40， 解得a， ∴0＜a； ②当a＜0时， ∵对称轴为直线x＝2， ∴抛物线过点（0，3），（4，3）， ∴以点A（0，3），B（3，1）为端点的线段与二次函数图象只有一个公共点点A， ∴a＜0恒成立， 综上所述，以点A（0，3），B（3，1）为端点的线段与二次函数图象只有一个公共点时，a或a＜0． 16．（2026•连州市模拟）某公园雕塑OA的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑OA的高度为2m，当喷出的水柱与OA的水平距离为4m时，达到最大高度3.6m．以点O为原点，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． （1）求水柱所在抛物线的函数表达式； （2）求水柱落地点与雕塑OA的水平距离． 【解答】解：（1）由题可得，点A的坐标为（0，2）， 当喷出的水柱与OA的水平距离为4m时，达到最大高度3.6m．该抛物线的顶点为（4，3.6）， 设该抛物线的顶点式为y＝a（x﹣4）2+3.6， 把点A代入得2＝16a+3.6，解得， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）令y＝0得﹣0.1x2+0.8x+2＝0， 两边同时乘以﹣10得x2﹣8x﹣20＝0， 因式分解得（x﹣10）（x+2）＝0， 解得x1＝10，x2＝﹣2， ∴点B的坐标为（10，0）， ∴水柱落地点与雕塑OA的水平距离为10m． 17．（2026•郸城县三模）已知点P是抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣2的顶点． （1）当m＝1时，直接写出点P的坐标：　（1，﹣2）　 ； （2）若点（1，a），（3，b）都在抛物线上，求证：a+b+2≥0； （3）若A（0，2），B（2，2）且抛物线与线段AB有公共点，求m的取值范围． 【解答】（1）解：当m＝1时，y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2， ∴顶点P的坐标为（1，﹣2）； 故答案为：（1，﹣2）； （2）证明：若点（1，a），（3，b）都在抛物线上， 将（1，a）代入y＝x2﹣2mx+m2﹣2得， a＝1﹣2m+m2﹣2＝m2﹣2m﹣1， 将（3，b）代入y＝x2﹣2mx+m2﹣2得， b＝9﹣6m+m2﹣2＝m2﹣6m+7， ∴a+b+2＝m2﹣2m﹣1+m2﹣6m+7+2＝2m2﹣8m+8＝2（m﹣2）2≥0； （3）解：若A（0，2），B（2，2）且抛物线与线段AB有公共点， 将A（0，2）代入y＝x2﹣2mx+m2﹣2得， m2﹣2＝2， 解得m＝2或m＝﹣2； 将B（2，2）代入y＝x2﹣2mx+m2﹣2得， 4﹣4m+m2﹣2＝2， 解得m＝0或m＝4； ∴﹣2≤m≤0时，抛物线对称轴在点A左侧，抛物线与线段AB有交点， 2≤m≤4时，抛物线对称轴在点A右侧，抛物线与线段AB有交点． ∴若A（0，2），B（2，2）且抛物线与线段AB有公共点时，﹣2≤m≤0或2≤m≤4． 18．（2026•名山区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数yx2+bx+c的图象经过点A（4，0），C（0，2）． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点E是第一象限的抛物线上的一个动点．当△ACE面积最大时，请求出点E的坐标； （3）如图2，在抛物线上是否存在一点P，使∠CAP＝45°？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）将点A（4，0），C（0，2）代入yx2+bx+c得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为yx2x+2． （2）如图1，过点E作EF∥y轴交AC于点F， 设直线AC的解析式为y＝kx+2， ∴4k+2＝0， ∴k， ∴直线AC的解析式为yx+2， 设点E（x，x2x+2），则F（x，x+2）， 则EFx2x+2﹣（x+2）x2+2x， ∴S△ACE＝S△CEF+S△AEFEF•OA（x2+2x）×4＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4， ∵﹣1＜0， ∴当x＝2时，S△ACE取得最大值4，此时E（2，3）． （3）如图2中，将线段AC绕点A逆时针旋转90°得到AC′，则C′（2，﹣4），取CC′的中点H（1，﹣1），作直线AH交抛物线于P，此时∠PAC＝45°， ∵A（4，0），H（1，﹣1）， ∴直线AH的解析式为yx， 由，解得或， ∴P（，）． 作直线AP′⊥PA，则直线AP′的解析式为y＝﹣3x+12， 由，解得或（不合题意舍弃）， 综上所述，满足条件的点P的坐标为（，） 19．（2025秋•沁水县期末）【综合与实践】某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察刹车距离．【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间 0 1 2 3 刹车后行驶的距离y 0 27 48 63 发现：①开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶的时间t（单位：s）之间成二次函数关系；②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： （1）求y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）若汽车刹车4s后，行驶了多长距离； （3）若汽车司机发现正前方70m处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，请问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 【解答】解：（1）设y关于t的函数解析式为y＝at2+bt+c，将（0，0），（1，27），（2，48）代入得， ， 解得：， ∴y关于t的函数解析式为y＝﹣3t2+30t； （2）由（1）得y关于t的函数解析式为y＝﹣3t2+30t， 当t＝4时，y＝﹣3×42+30×4＝72， ∴汽车刹车4s后，行驶了72米； （3）由（1）得y关于t的函数解析式为y＝﹣3t2+30t， ∴y＝﹣3t2+30t＝﹣3（t﹣5）2+75， ∴当t＝5时，汽车停下，行驶了75米， ∵75＞70， ∴该车在不变道的情况下会撞到抛锚的车． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $