第26章二次函数 易错精练卷-2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数核心易错点，融合养牛场面积计算、瓷碗抛物线截面等真实情境，通过动态几何与图像综合题设计，梯度适配新授课巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选|10|顶点坐标、增减性、平移规律、图像性质|第8题结合直角三角形动态变化，考查二次函数增减性| |填空|6|平移解析式、图像与方程关系、实际应用|第15题以瓷碗倾斜为背景，构建抛物线模型解决深度问题| |解答|5|最值计算、动态面积、存在性问题|第21题综合平行四边形存在性与抛物线性质，培养推理与创新意识|

第26章二次函数易错精练卷-2026-2027学年数学九年级上册人教版（新教材） 一、单选题 1．抛物线的顶点坐标在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．在二次函数的图象上，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．将抛物线向右平移3个单位，再向上移动1个单位，所得抛物线的解析式是（   ） A． B． C． D． 4．已知抛物线经过点则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．二次函数，自变量与函数的对应值如表： … 0 … … 4 0 0 4 … 下列说法正确的是：（   ） A．抛物线的开口向下 B．当时，随的增大而增大 C．当时，的范围是 D．抛物线的对称轴是直线 6．如图，已知二次函数，当时，则函数y的最小值和最大值（   ） A．和14 B．和14 C．和 D．和2 7．已知二次函数，当时，函数最大值m，最小值n，若，则（　　） A． B． C．或 D．或 8．如图，在中，，，．P是边上一动点，于点D，点E在P的右侧，且，连接．P从点A出发，沿方向运动，当E到达点B时，P停止运动．在整个运动过程中，阴影部分面积的大小变化情况是（   ） A．一直不变 B．一直减小 C．一直增大 D．先减小后增大 9．如图给出了二次函数的图象．对于这个函数有以下五个结论：①；②；③；④；⑤当时，只能等于0．其中结论正确的是（   ） A．①② B．②④ C．③④ D．④⑤ 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与：的一个交点为，过点作轴的平行线，分别交这两条抛物线于点（点在点左侧，点在点右侧）．已知点的横坐标为1，则的长为（    ） A．9 B．9.5 C．10 D．10.5 二、填空题 11．将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为___________． 12．如图是函数的图像．则方程的解是___________． 13．已知二次函数（为常数），函数与自变量的部分对应值如下表，则___________（填“>”、“<”或“=”）． 1 3 4 m 5 5 14．如图，抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点，过点作轴，点在抛物线上，则________． 15．图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度．若把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，如图3，当时停止，此时碗中液体最大深度为________． 16．已知抛物线经过点． （1）该抛物线的对称轴为______． （2）点和分别在抛物线和上（A，B都不与原点重合）．当时，若是一个与无关的定值，则的值为______． 三、解答题 17．如图，用长的护栏全部用于建造一个靠墙（墙的长度不限）的长方形养牛场，已知此长方形养牛场的面积为，且与墙平行的边长为． (1)求与之间的函数解析式； (2)当边长为何值时，该长方形面积最大？并求出其最大值． 18．已知抛物线与x轴的一个交点为点，与y轴的交点为点． (1)求抛物线的解析式； (2)求y的最值． 19．直线与x轴，y轴交于点A，B，抛物线过点B． (1)直接写出c的值： ； (2)当时，抛物线有最小值，求a的值； (3)在（2）的条件下，抛物线的对称轴交直线于点D，点P是直线下方的抛物线上一点（不与A，B重合），连接，．求面积的最大值． 20．已知关于的二次函数，（实数为常数）． (1)若二次函数的图像经过点，对称轴为，求此二次函数的表达式； (2)若，当时，二次函数的最小值12，求的值； (3)记关于的二次函数，若在（1）的条件下，点在函数的图像上，点在函数的图像上，若当时，始终满足，求的取值范围． 21．如图，抛物线经过坐标轴上三点，直线过点和点． (1)求抛物线的解析式； (2)P是直线下方抛物线上一动点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标： (3)R是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点S，使得以B，C，R，S为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点坐标：若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第26章二次函数易错精练卷-2026-2027学年数学九年级上册人教版（新教材）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A A D B D B C C 1．B 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质及平面直角坐标系象限的判断，先根据顶点式求出顶点坐标，再判断所在象限即可． 【详解】∵二次函数顶点式（）的顶点坐标为， ∴对于抛物线，其顶点坐标为， ∵横坐标，纵坐标，符合第二象限点的坐标特征， ∴顶点坐标在第二象限， 故选：B. 2．D 【分析】本题考查二次函数的增减性，先确定二次函数的开口方向与对称轴，再根据开口方向判断函数的增减区间即可． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数为， ∴该函数图象开口向上， 又∵该函数的对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大， 故选：D． 3．A 【分析】本题考查二次函数图象的平移规律，左右平移遵循“左加右减”（改变自变量x），上下平移遵循“上加下减”（改变函数整体值），据此推导平移后的解析式即可． 【详解】解：∵抛物线平移规律为“左加右减，上加下减”， ∴将抛物线向右平移3个单位，得， 再向上移动1个单位，得． 故选：A． 4．A 【分析】本题考查二次函数的性质，先求出抛物线对称轴，再结合抛物线开口方向，根据各点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， 又∵， ∴抛物线开口向下，在处取得最大值，且点到对称轴的距离越远，函数值越小， ∵点在对称轴上， ∴是最大值， ∵点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， 而， ∴． 综上，， 故选：A． 5．D 【分析】本题主要考查二次函数的性质，由条件求得二次函数的解析式是解题的关键．由所给x、y的对应值可求得函数解析式，再利用二次函数的性质分别判断即可求得答案． 【详解】解：∵当时，；当时，， ∴这两点关于抛物线对称轴对称， ∴对称轴为直线，故D正确； ∵和时，和时，离对称轴越远函数值越大， ∴抛物线开口向上，故A错误； ∵抛物线开口向上，对称轴为， ∴当时，随的增大而增大，而，故当时，在时随增大而减小，时随增大而增大，B错误； ∵抛物线与轴交于和，且开口向上， ∴当时，或，故C错误． 故选：D． 6．B 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，结合图象得函数的最值是解题的关键．先求出二次函数的对称轴为直线，然后根据二次函数开口向上确定其增减性，并结合图象解答即可． 【详解】解：∵二次函数，对称轴为：直线， 又∵， ∴时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小， 由图象可知：在内，时，y有最大值，， 时，y有最小值，， 故选：B． 7．D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 二次函数开口向上，顶点在处．当顶点在区间内时，最小值为8，最大值与最小值差为3，故最大值为11，分类讨论：①当顶点在内时，②当顶点不在区间内时，或，即或，逐项分析求解即可． 【详解】解：∵，顶点的横坐标为，纵坐标为． ①当顶点在内时，有 ，即， 此时最小值， ∵， ∴最大值， 令，得 ， 解得， 若为左端点时，则或（不符合题意，舍去）， 若为右端点，则，即或（不符合题意，舍去）， ∴或． ②当顶点不在区间内时，或，即或． 当时，y随x的增大而减小， ∴当时，函数最大值，当时，函数最小值， ∵， ∴， 解得，不符合题意； 当时，y随x的增大而增大， ∴当时，函数最大值，当时，函数最小值， ∵， ∴， 解得，不符合题意； 综上所述，或． 故选D． 8．B 【分析】本题考查了勾股定理、直角三角形的性质、二次函数综合，由直角三角形的性质和勾股定理可得，，设边上的高为，由等面积法得出，设，则，，求出，表示出，再由二次函数的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， 设边上的高为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， ∴， ∵P从点A出发，沿方向运动，当E到达点B时，P停止运动， ∴， 即， 解得：， 则： ， ∵， ∴时，阴影部分面积随着的增大而减小， 故阴影部分面积的大小变化的情况是一直减小， 故选：B． 9．C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，根据二次函数的图象与x轴有两个不同的交点可判断①；根据开口方向和对称轴可判断②和④；根据当时，可判断③；根据对称性可知，当时，，则可判断⑤． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴有两个不同的交点， ∴，故①错误； ∵函数图象的开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故②错误； ∴，故④正确； 由函数图象可知，当时，， ∴，故③正确； 由函数图象可知，当时，， ∴由对称性可知，当时，， ∴当时，等于0或4，故⑤错误， 故选：C． 10．C 【分析】本题考查了抛物线的对称性．由两抛物线的解析式确定出两抛物线的对称轴，利用对称性确定出点B与C的横坐标，进而求出的长． 【详解】解：抛物线与的对称轴分别为直线与直线， ∵点A的横坐标为1， ∴点C的横坐标为5，点B的横坐标为， ∴， 故选：C． 11． 【分析】此题考查了二次函数的平移，根据抛物线平移的“左加右减，上加下减”原则求解． 【详解】解：将抛物线向左平移1个单位长度，得； 再向下平移3个单位长度，得． 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，根据函数图象可得函数与x轴的两个交点坐标为，可推出函数与函数关于y轴对称，则函数与x轴的两个交点坐标为，据此可得答案． 【详解】解：由函数图象可知，函数与x轴的两个交点坐标为， 在中，当时，， 在中，当时，， ∴函数与函数关于y轴对称， ∴函数与x轴的两个交点坐标为， ∴方程的解是， 故答案为：． 13．< 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由表可得，二次函数的对称轴为，再根据二次函数的增减性即可求解． 【详解】解：由表可得，二次函数的对称轴为， ∵二次项系数， ∴函数图象上的点离对称轴越近，对应的函数值越大， ∵，，， ∴． 故答案为：<． 14．1 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题．根据题意得出抛物线的对称轴为直线，根据抛物线与轴相交于点，轴，求得点的坐标，即可得到答案． 【详解】解：抛物线与轴相交于点，， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴相交于点， ， 轴，点在抛物线上， ， ， 故答案为：1． 15． 【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、勾股定理，以为原点，点所在直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，则点的坐标为，则抛物线的表达式为，由题意得出，求出抛物线的解析式为，由题意得出旋转前与水平方向夹角为，设直线的解析式为，待定系数法求出直线的解析式为，把直线向下平移个单位可得：，当与抛物线有1个交点时，两直线之间的距离为最大深度，记平移后的直线与轴交于点，过作平移后的直线于，再利用勾股定理即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，以为原点，点所在水平直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，记与轴的交点为， 则点的坐标为，则抛物线的表达式为， ∵碗口宽，此时面汤最大深度， ∴， 将代入抛物线解析式得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止， ∴旋转前与水平方向夹角为， 设直线的解析式为， 将代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， 把直线向下平移个单位可得：， 当与抛物线有1个交点时，两直线之间的距离为最大深度， ∴，即， ∴， 解得：， ∴平移后的直线为：， 如图，记平移后的直线与轴交于点，过作平移后的直线于， 同理可得：，， ∴，， ∴碗中液体最大深度为． 故答案为：． 16． 直线 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的性质是解题的关键． （1）将点代入抛物线解析式求出，再根据对称轴公式求解； （2）根据点和点所在抛物线写出和的表达式，结合条件得到与的关系式，再根据为定值求出，进而求出． 【详解】解：（1）∵抛物线经过点， ∴，即， ∴抛物线的对称轴为直线， 故答案为：直线； （2）由题意知，，． ∵， ∴ ∴， ∴． ∵A，B与原点都不重合， ∴，． ∴，即． ∴． ∵是一个与无关的定值， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．(1)； (2)当时，面积取最大值为 【分析】（1）先用含的式子将与墙面垂直的边长表示出来，由矩形面积公式直接列出函数解析式即可； （2）利用二次函数性质即可得到答案． 【详解】（1）解：根据已知条件，与墙平行的边长为， 则垂直于墙的边长为：， ∴． （2）解：∵， ∴当时，面积取最大值为． 18．(1) (2)最小值为． 【分析】本题考查了二次函数的解析式及性质． （1）根据与坐标轴的两个交点，利用待定系数法进行解答即可； （2）将（1）求得的解析式，化成顶点式即可完成解答． 【详解】（1）解：与x轴的一个交点为点，与y轴的交点为点 ， 解得， ； （2）解：，， 当时，y取最小值为． 19．(1)2 (2)a的值为 (3)面积的最大值为 【分析】（1）先通过一次函数求出两点坐标，然后将点坐标代入抛物线即可求出c； （2）先求出抛物线的对称轴，然后再对进行分情况讨论即可； （3）过点P作y轴的平行线，交于点Q，设，则，写出长度，进而可求出，再通过二次函数性质可求得最大值． 【详解】（1）解：∵直线与x轴，y轴交于点A，B， ∴，， 又∵抛物线过点B， ∴． （2）解：由（1）可知抛物线解析式为：， ∴抛物线的对称轴为直线， 当，时，y随x的增大而增大， ∴当时，y有最小值，此时， ∴， 解得， 当，时，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最小值，此时， ∴，得（舍）， 综上，． （3）解：由（2）可知，抛物线的表达式为， 如图，过点P作y轴的平行线，交于点Q． 设，则． ∴． ∴． 当时，取到最大值为： ∴面积的最大值为． 20．(1) (2)4或 (3) 【分析】（1）由二次函数的图像经过点得到，由对称轴为直线得到即可解答； （2）分①当时，即，②当时，即，③当时，即三种情况分别根据二次函数的性质求最小值并列方程求解即可； （3）分别求出的最小值，的最大值，由题意得到求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像经过点， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，解得：， ∴二次函数的表达式为． （2）解：当时，， ∴函数的表达式为，对称轴为直线， 根据题意可知，需要分三种情况： ①当时，即，在内，y随着x的增大而增大， 当时，二次函数的最小值为12， ∴，解得（不合题意舍去）； ②当时，即，在内， 当时，二次函数最小值为12， ∴，解得（舍）（舍）； ③当时，即，在内，y随着x的增大而减小， ∴时，二次函数的最小值为12， ∴，解得（舍）或． 综上，的值为4或． （3）解：由（1）得：， 当时，则时，的最小值为1， ∵， ∴当时，则时，的最大值为， ∵，时，始终满足， ∴，解得：． 【点睛】灵活运用分类讨论思想是解题的关键． 21．(1) (2)， (3)或或 【分析】（1）待定系数法求函数解析式即可； （2）作轴交于点，求出直线的解析式，将的面积转化为二次函数求最值即可； （3）分分别为平行四边形的对角线，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过坐标轴上三点， ∴设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴； （2）解：∵， ∴设直线的解析式为，把代入，得， 解得， ∴， 作轴交于点，设，则， ∴， ∴， ∴当时，的面积最大，为，此时． （3）解：存在， ∵， ∴对称轴为直线， 设，， ∵，当以B，C，R，S为顶点的四边形是平行四边形时， ①当为对角线时，，解得， ∴， ∴； ②当为对角线时，，解得， ∴， ∴； ③当为对角线时，，解得， ∴， ∴； 综上：或或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $