第13章三角形典型例题+易错精练-2026-2027学年人教版数学八年级上册

第13章三角形典型例题+易错精练-2026-2027学年数学八年级上册人教版 典型例题 1．（2025秋•安顺期中）已知a，b，c是△ABC的三边． （1）化简|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c|． （2）若a和b满足方程组且c为奇数，求这个三角形的周长． 2．（2025秋•绥江县期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC交BC于点E． （1）若∠B＝70°，∠C＝30°，求∠DAE的度数； （2）若AD是△ABE的中线，AB＝2cm，CE＝3cm，△ABD的周长比△ADC周长小5cm，求AC的长． 3．（2026秋•开封校级月考）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“开心角”，这个三角形为“开心三角形”． 例如：在△ABC中，如果∠A＝70°，∠B＝35°，△ABC为“开心三角形”． 问题：如图①，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，点D是线段AB上一点（不与点A，B重合），连接CD． （1）如图②，若CD⊥AB，则△ACD，△BCD是“开心三角形”吗？为什么？ （2）若△ACD是“开心三角形”，直接写出∠ACD的度数． 易错精练 一．选择题（共8小题） 1．（2025秋•岳阳楼区期末）下列长度的三条线段能够成三角形的是（　　） A．1，2，3 B．3，4，8 C．4，5，9 D．5，6，10 2．（2025秋•威信县月考）如图，已知AB＝AC，BC＝6，点D是BC的中点，∠BAC＝40°，则下列结论中不正确的是（　　） A．∠B＝∠C＝70° B．AD⊥BC C．∠BAD＝20° D．AB＝2BD 3．（2025秋•威信县月考）如图，关于△CBA边上的高，下列说法正确的是（　　） A．线段AF是AB边上的高 B．线段DB是AC边上的高 C．线段DB是BC边上的高 D．线段BE是AC边上的高 4．（2025秋•高青县期末）如图，△ABC的外角∠ACE和外角∠CAF的平分线交于点P，已知∠P＝70°，则∠B的度数为（　　） A．42° B．40° C．38° D．35° 5．（2025秋•威信县月考）如图，点B，C，D在同一条直线上，∠ACD＝112°，∠B＝61°，则∠A的度数为（　　） A．41° B．51° C．58° D．68° 6．（2025秋•嘉鱼县期末）如图，为了估计池塘岸边A，B的距离，小芳在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝25米，OB＝15米，A，B间的距离不可能是（　　） A．8米 B．12米 C．25米 D．36米 7．（2025秋•路桥区期末）如图，为了让自行车更稳固，生产厂家把核心支架做成三角形的形状，其运用的数学知识是（　　） A．三角形的任意两边之和大于第三边 B．三角形具有稳定性 C．直角三角形的两个锐角互余 D．三角形三个内角的和等于180° 8．（2025秋•乾县校级期末）唐朝李白的《行路难》有句诗“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．”如图是小明做的一个帆船模型抽象的几何图形，已知BC∥EF，若∠A＝30°，∠ADE＝70°，则∠C的度数为（　　） A．35° B．30° C．45° D．40° 二．填空题（共6小题） 9．（2025秋•武冈市期末）若三角形的三边分别是3，4，x，且x是整数，则满足条件的三角形的有_____ 个． 10．（2025秋•正阳县期末）已知a，b，c为△ABC的三边长，且a，b满足|a﹣2|+（b﹣4）2＝0，c是偶数，若按边分，则△ABC为_______ 三角形． 11．（2025秋•莲都区期末）如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高线和角平分线，已知∠BAC＝72°，∠C＝40°，则∠DAE＝_______ 度． 12．（2025秋•鲁山县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝28°，直线a∥b，顶点C在直线b上，直线a交AB于点D，交AC于点E，若∠1＝140°，则∠2的度数是________ ． 13．（2025秋•武穴市期末）如图，在△ABC中，P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点．若∠P＝2∠A，则∠A＝ _______ °． 14．（2025秋•鸡西期末）如图①，我们知道，光线射向一个平面镜被反射后，两条光线与平面镜的夹角相等（∠1＝∠2）．如图②，光线照射到平面镜甲上，会反射到平面镜乙，然后光线又会射到平面镜甲上，…．若∠α＝55°，∠γ＝75°，则∠β＝_______ °． 三．解答题（共5小题） 15．（2025秋•合肥校级期末）已知a，b，c是△ABC的三边． （1）若a＝2，b＝5，第三边c为奇数，判断△ABC的形状； （2）化简：|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|． 16．（2025秋•蜀山区校级期末）如图，△ABC中，∠BAC＝80°，∠B＝60°，AD⊥BC，垂足为D，AE平分∠DAC，求∠AEC度数． 17．（2025秋•安康期末）如图，在△ABC中，BE是△ABC的角平分线，点D在边AB上（点D不与点A，B重合），CD与BE交于点O． （1）若∠ABC＝62°，CD是高，求∠BOC的度数； （2）若∠A＝80°，CD是角平分线，求∠BOC的度数． 18．（2025秋•汉滨区校级期末）如图，小明想测量塔高AB的长度，如下是他的测量步骤： ①选取塔的顶端作为参照点A； ②地面直线l上取测量点C，在C处用工具测得∠ACB＝45°； ③沿射线CB的方向行走至测量点D，点D和点C在塔的两侧并在D处用工具测得∠ADC＝45°； ④测得行走距离CD＝84米； ⑤AB⊥CD，图中所有点均在同一平面内，点D，B，C在同一条直线上． 请你根据小明的测量步骤，求出塔高AB的长度． 19．（2025秋•威海期末）如图，△ABC将向右平移得到△DEF，点A、B、C的对应点分别是点D、E、F，点B、C、E、F在同一条直线上，连接CE并延长至点H，连接AD，DH，∠BAD＝2∠B． （1）若∠EDF＝40°，求∠DFE的度数； （2）若G是线段EF上的点，连接DG，且∠DGH＝∠GDH，∠GDF＝30°，试说明DF平分∠EDH． 典型例题解析 1．（2025秋•安顺期中）已知a，b，c是△ABC的三边． （1）化简|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c|． （2）若a和b满足方程组且c为奇数，求这个三角形的周长． 【解答】解：（1）∵a，b，c是△ABC的三边， ∴根据三角形的三边关系得，a+b﹣c＞0，a﹣b﹣c＜0， ∴|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c| ＝（a+b﹣c）﹣（a﹣b﹣c） ＝a+b﹣c﹣a+b+c， ＝2b； （2）解方程组， 得， 根据三角形的三边关系得5﹣2＜c＜2+5，即3＜c＜7， ∵c为奇数， ∴c＝5， ∴2+5+5＝12，即这个三角形的周长为12． 2．（2025秋•绥江县期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC交BC于点E． （1）若∠B＝70°，∠C＝30°，求∠DAE的度数； （2）若AD是△ABE的中线，AB＝2cm，CE＝3cm，△ABD的周长比△ADC周长小5cm，求AC的长． 【解答】解：（1）∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣70°＝20°， ∵∠B＝70°，∠C＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣70°﹣30°＝80°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE∠BAC＝40°， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝40°﹣20°＝20°； （2）∵AD是△ABE的中线， ∴BD＝DE， ∵CE＝3cm， ∴CD﹣DE＝CD﹣BD＝3cm， ∵△ABD的周长比△ADC周长小5cm， ∴（AC+CD+AD）﹣（AB+BD+AD）＝5cm， ∴AC+CD+AD﹣AB﹣BD﹣AD＝5cm， ∴AC﹣AB＝2cm， ∴AC＝4cm． 3．（2026秋•开封校级月考）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“开心角”，这个三角形为“开心三角形”． 例如：在△ABC中，如果∠A＝70°，∠B＝35°，△ABC为“开心三角形”． 问题：如图①，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，点D是线段AB上一点（不与点A，B重合），连接CD． （1）如图②，若CD⊥AB，则△ACD，△BCD是“开心三角形”吗？为什么？ （2）若△ACD是“开心三角形”，直接写出∠ACD的度数． 【解答】解：（1）△ACD、△BCD是“开心三角形”， 理由如下： ∵∠ACB＝90°，∠A＝60°， ∴∠B＝30°， ∵CD⊥AB， ∴∠ACD＝30°，∠BCD＝60°， 在△ACD中，∵∠A＝60°，∠ACD＝30°， ∴∠A＝2∠ACD， ∵∠BCD＝60°，∠B＝30°， ∴∠BCD＝2∠B， ∴△BCD为开心三角形”； （2）若△ACD是“开心三角形”，由于点D是线段AB上一点（不与A，B重合）， 则∠A＝2∠ACD或∠ACD＝2∠ADC或∠ADC＝2∠ACD， 当∠A＝2∠ACD时，； 当∠ACD＝2∠ADC时，∠ACD＝80°； 当∠ADC＝2∠ACD时，∠ACD＝40°； 综上，∠ACD的度数为30°或40°或80°． 易错精练解析 一．选择题（共8小题） 1．（2025秋•岳阳楼区期末）下列长度的三条线段能够成三角形的是（　　） A．1，2，3 B．3，4，8 C．4，5，9 D．5，6，10 【解答】解：A、1+2＝3，不能组成三角形，故A不符合题意； B、3+4＜8，不能组成三角形，故B不符合题意； C、4+5＝9，不能组成三角形，故C不符合题意； D、5+6＞10，能组成三角形，D符合题意； 故选：D． 2．（2025秋•威信县月考）如图，已知AB＝AC，BC＝6，点D是BC的中点，∠BAC＝40°，则下列结论中不正确的是（　　） A．∠B＝∠C＝70° B．AD⊥BC C．∠BAD＝20° D．AB＝2BD 【解答】解：∵AB＝AC，点D是BC的中点， ∴AD是△ABC边BC上的中线，是边BC上的高线，是顶角∠BAC的平分线， ∴AD⊥BC， ∴选项B正确，故不符合题意； ∵∠BAC＝40°， ∴， ∴选项C正确，故不符合题意； 又∵AB＝AC， ∴， ∴选项A正确，故不符合题意； 由题干条件无法说明AB＝2BD， ∴选项D不正确，故符合题意； 故选：D． 3．（2025秋•威信县月考）如图，关于△CBA边上的高，下列说法正确的是（　　） A．线段AF是AB边上的高 B．线段DB是AC边上的高 C．线段DB是BC边上的高 D．线段BE是AC边上的高 【解答】解：∵AF⊥BC于点D， ∴AF是BC边上的高，所以选项A不正确，不符合题意； ∵BE⊥AC于点E， ∴线段BE是AC边上的高，所以选项D正确，符合题意； 线段DB不是任何边上的高，所以选项B，C不正确，不符合题意； 故选：D． 4．（2025秋•高青县期末）如图，△ABC的外角∠ACE和外角∠CAF的平分线交于点P，已知∠P＝70°，则∠B的度数为（　　） A．42° B．40° C．38° D．35° 【解答】解：∵AP、CP分别是△ABC的外角∠ACE和外角∠CAF的平分线， ∴，， ∵∠P＝70°， ∴∠PAC+∠PCA＝180°﹣70°＝110°， ∴∠CAF+∠ACE＝2（∠PAC+∠PCA）＝220°， ∵∠FAC+∠BAC＝180°，∠ECA+∠ACB＝180°， ∴∠BAC+∠BCA＝180°+180°﹣（∠FAC+∠ECA）＝140°， ∴∠B＝180°﹣（∠BAC+∠BCA）＝40°，故B正确． 故选：B． 5．（2025秋•威信县月考）如图，点B，C，D在同一条直线上，∠ACD＝112°，∠B＝61°，则∠A的度数为（　　） A．41° B．51° C．58° D．68° 【解答】解：∵点B，C，D在同一条直线上，∠ACD＝112°，∠B＝61°， ∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝112°﹣61°＝51°． 则∠A的度数为51°． 故选：B． 6．（2025秋•嘉鱼县期末）如图，为了估计池塘岸边A，B的距离，小芳在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝25米，OB＝15米，A，B间的距离不可能是（　　） A．8米 B．12米 C．25米 D．36米 【解答】解：根据三角形的三边关系可得：OA﹣OB＜AB＜OA+OB， ∵OA＝25米，OB＝15米， ∴25﹣15＜AB＜25+15， 解得10＜AB＜40， 综上所述，A，B间的距离不可能是8米，所以只有选项A正确，符合题意， 故选：A． 7．（2025秋•路桥区期末）如图，为了让自行车更稳固，生产厂家把核心支架做成三角形的形状，其运用的数学知识是（　　） A．三角形的任意两边之和大于第三边 B．三角形具有稳定性 C．直角三角形的两个锐角互余 D．三角形三个内角的和等于180° 【解答】解：为了让自行车更稳固，生产厂家把核心支架做成三角形的形状，其运用的数学知识是三角形具有稳定性． 故选：B． 8．（2025秋•乾县校级期末）唐朝李白的《行路难》有句诗“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．”如图是小明做的一个帆船模型抽象的几何图形，已知BC∥EF，若∠A＝30°，∠ADE＝70°，则∠C的度数为（　　） A．35° B．30° C．45° D．40° 【解答】解：∵∠ADE＝70°，BC∥EF， ∴∠CBD＝∠ADE＝70°， ∵∠A+∠C＝∠CBD， ∴若∠A＝30°，∠ADE＝70°，则∠C＝∠CBD﹣∠A＝70°﹣30°＝40°． 故选：D． 二．填空题（共6小题） 9．（2025秋•武冈市期末）若三角形的三边分别是3，4，x，且x是整数，则满足条件的三角形的有　5　 个． 【解答】解：由三角形三边关系，得： 3+4＞x，即x＜7； 3+x＞4，即x＞1； 4+x＞3，即x＞﹣1， 所以x的取值范围为1＜x＜7， 由于x是整数，因此x可取 2，3，4，5，6，共5个值， 若三角形的三边分别是3，4，x，且x是整数，即满足条件的三角形有5个． 故答案为：5． 10．（2025秋•正阳县期末）已知a，b，c为△ABC的三边长，且a，b满足|a﹣2|+（b﹣4）2＝0，c是偶数，若按边分，则△ABC为　等腰　 三角形． 【解答】解：∵a，b满足|a﹣2|+（b﹣4）2＝0，|a﹣2|≥0，（b﹣4）2≥0， ∴根据非负数的性质得，a﹣2＝0且 b﹣4＝0， 解得：a＝2，b＝4， 在△ABC中，根据三角形三边关系得，4﹣2＜c＜4+2， ∴2＜c＜6， ∵c为偶数， ∴c＝4， ∴b＝c＝4，a＝2， ∴△ABC是等腰三角形， 故答案为：等腰． 11．（2025秋•莲都区期末）如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高线和角平分线，已知∠BAC＝72°，∠C＝40°，则∠DAE＝　14　 度． 【解答】解：∵AD是高， ∴∠ADC＝90°， ∴∠DAC＝90°﹣∠C＝50°， ∵∠BAC＝72°，AE平分∠BAC， ∴∠EAC∠BAC＝36°， ∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝14°， 故答案为：14． 12．（2025秋•鲁山县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝28°，直线a∥b，顶点C在直线b上，直线a交AB于点D，交AC于点E，若∠1＝140°，则∠2的度数是　36°　 ． 【解答】解：由条件可知， 如图所示，过点B作BG∥a， ∴a∥BG∥b， ∴∠FDB＝∠DBG，∠GBC＝∠2， ∴∠FDB+∠2＝∠ABC＝76°， 由条件可知∠FDB＝40°＝∠DBG， ∴∠2＝∠ABC﹣∠DBG＝76°﹣40°＝36°， 故答案为：36°． 13．（2025秋•武穴市期末）如图，在△ABC中，P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点．若∠P＝2∠A，则∠A＝ 　60　 °． 【解答】解：∵P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点． ∴，， ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∵∠P+∠PBC+∠PCB＝180°， ∴， ∵∠P＝2∠A， ∴， 解得：∠A＝60°， 故答案为：60． 14．（2025秋•鸡西期末）如图①，我们知道，光线射向一个平面镜被反射后，两条光线与平面镜的夹角相等（∠1＝∠2）．如图②，光线照射到平面镜甲上，会反射到平面镜乙，然后光线又会射到平面镜甲上，…．若∠α＝55°，∠γ＝75°，则∠β＝　65　 °． 【解答】解：如图，由题意知：∠α＝∠1＝55°，∠β＝∠2，∠γ＝∠3＝75°， ∵∠1+∠3+∠4＝180°， ∴∠4＝50°， ∵∠2+∠4+∠β＝180°， ∴∠β＝65°， 故答案为：65． 三．解答题（共5小题） 15．（2025秋•合肥校级期末）已知a，b，c是△ABC的三边． （1）若a＝2，b＝5，第三边c为奇数，判断△ABC的形状； （2）化简：|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|． 【解答】解：（1）∵a，b，c是△ABC的三边，a＝2，b＝5， ∴5﹣2＜c＜5+2， ∴3＜c＜7， 又∵c为奇数， ∴c＝5， ∴b＝c， ∴△ABC是等腰三角形； （2）∵a，b，c是△ABC的三边， ∴a+b＞c，b+c＞a，a+c＞b， ∴|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|＝a+b﹣c﹣b﹣c+a﹣a+b﹣c＝a+b﹣3c． 16．（2025秋•蜀山区校级期末）如图，△ABC中，∠BAC＝80°，∠B＝60°，AD⊥BC，垂足为D，AE平分∠DAC，求∠AEC度数． 【解答】解：∵∠B＝60°，AD⊥BC， ∴∠BAD＝30°， ∵∠BAC＝80°，∴∠DAC＝50°， ∵AE平分∠DAC，∴∠DAE＝25°， ∴∠BAE＝55°， ∴∠AEC＝∠BAE+∠B＝55°+60°＝115°． 17．（2025秋•安康期末）如图，在△ABC中，BE是△ABC的角平分线，点D在边AB上（点D不与点A，B重合），CD与BE交于点O． （1）若∠ABC＝62°，CD是高，求∠BOC的度数； （2）若∠A＝80°，CD是角平分线，求∠BOC的度数． 【解答】解：（1）在△ABC中，BE为角平分线，∠ABC＝62°， ∴（角平分线的定义）， ∵CD为△ABC高， ∴∠BDC＝90°， ∴∠BOC＝∠BDC+∠ABE＝90°+31°＝121°， 则∠BOC的度数为121°； （2）∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣80°＝100°， 在△ABC中，BE为角平分线，CD为角平分线， ∴（角平分线的定义）， ∴， 在△BCO中，∠BOC＝180°﹣（∠CBO+∠BCO）＝180°﹣50°＝130°． 18．（2025秋•汉滨区校级期末）如图，小明想测量塔高AB的长度，如下是他的测量步骤： ①选取塔的顶端作为参照点A； ②地面直线l上取测量点C，在C处用工具测得∠ACB＝45°； ③沿射线CB的方向行走至测量点D，点D和点C在塔的两侧并在D处用工具测得∠ADC＝45°； ④测得行走距离CD＝84米； ⑤AB⊥CD，图中所有点均在同一平面内，点D，B，C在同一条直线上． 请你根据小明的测量步骤，求出塔高AB的长度． 【解答】解：在直角三角形ACD中，∠ADC＝∠ACD＝45°， ∴AD＝AC， ∵AB⊥DC，CD＝84米， ∴∠ABC＝90°，米， ∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠BAC＝180°﹣90°﹣45°＝45°， ∴∠BAC＝∠ACD， ∴AB＝BC＝42米． 19．（2025秋•威海期末）如图，△ABC将向右平移得到△DEF，点A、B、C的对应点分别是点D、E、F，点B、C、E、F在同一条直线上，连接CE并延长至点H，连接AD，DH，∠BAD＝2∠B． （1）若∠EDF＝40°，求∠DFE的度数； （2）若G是线段EF上的点，连接DG，且∠DGH＝∠GDH，∠GDF＝30°，试说明DF平分∠EDH． 【解答】（1）解：∵△ABC将向右平移得到△DEF，∠BAD＝2∠B ∴AD∥BH，∠B＝∠DEF， ∴∠BAD+∠B＝180°， ∴∠B＝∠DEF＝60°， ∵∠EDF＝40°， ∴∠DFE＝180°﹣60°﹣40°＝80°； （2）证明：∵∠DEF＝60°， 又∵∠EDG＝∠DGH﹣60°， ∵∠GDF＝30°， ∴∠EDF＝∠EDG+30°＝∠DGH﹣60°+30°＝∠DGH﹣30°， ∵∠HDF＝∠GDH﹣30°， ∵∠DGH＝∠GDH， ∴∠EDF＝∠HDF， ∴DF平分∠EDH． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $