第十三章 三角形章节核心题型突破（压轴篇，6大题型，专项训练）数学新教材人教版八年级上册

第十三章 三角形章节核心题型突破（压轴篇） 目 录 题型01 中线等分面积与等面积法 题型02 角度比与设参求内角 题型03 分类讨论求角（动点 / 直角顶点不定） 题型04 多角求和（五角星型） 题型05 新定义三角形（特征/友好/准互余） 题型06 设参导角 题型01　中线等分面积与等面积法 1．如图，O是的重心．若的面积是6，则阴影部分的面积的和是（ ） A. 2 C. 4 B. 3 D. 6 2．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面说法正确的是（ ） ①的面积与的面积相等；②；③． A. ①② C. ②③ B. ①②③ D. ①③ 3．设的面积为1．如图①，，分别是，的中点，，相交于点，与的面积差记为；如图②，，分别是，的3等分点，，相交于点，与的面积差记为；如图③，，分别是，的4等分点，，相交于点，与的面积差记为，依此类推，则的值为（ ） A. C. B. D. 4．如图，在中，已知D，E，F分别是边的中点，且阴影部分图形的面积为6，则的面积为（ ） A. 12 C. 18 B. 16 D. 24 5．如图，在中，经过的重心交于点，若的面积为，则阴影部分的面积为（ ） A. C. B. D. 6．如图是一块三角形纸板，点、、分别是线段、、的中点若阴影部分的面积为2，则的面积________． 7．如图，是的中线，点，分别为，的中点，若的面积为．则的面积是________． 8．如图，在中，是中线，E是的中点，若的面积为1，则的面积是________． 9．如图，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线， 连接，．若的面积是16，则阴影部分的面积是________． 10．如图，在中，是中线，是重心，过点作，分别交、于点、，若，则________． 题型02　角度比与设参求内角 1．下列条件：在中，，都是锐角；在中，；在中，；的三个内角的度数之比是，其中能确定是直角三角形的条件有（ ） A. 个 C. 个 B. 个 D. 个 2．在下列条件：；；；；中，能确定为直角三角形的条件有（ ） A. 5个 C. 3个 B. 4个 D. 2个 3．具备下列条件的中，不是直角三角形的是（ ） A. C. B. D. 4．在下列条件中：①，②，③中，能确定是直角三角形的条件有（ ） A. 0个 C. 2个 B. 1个 D. 3个 5．根据下列条件能判定是直角三角形的有（ ） ①； ②； ③． A. 0个 C. 2个 B. 1个 D. 3个 6．给定下列条件，能判定三角形是直角三角形的是（ ） A. C. B. D. 7．若一个直角三角形中的两个角的度数之比为，则这个直角三角形的三个角的度数分别为________． 8．已知中，，那么中最大角的度数为________． 9．一个三角形的三个内角度数之比为，这个三角形一定是________角三角形． 10．在下列条件中，①；②；③；④，能判定是直角三角形的是________．（只填序号） 题型03　分类讨论求角（动点 / 直角顶点不定） 1．如图，，点，分别是射线，上的两个定点，点，分别是射线，上的两个动点，当最小时，的大小是（ ）． A. C. B. D. 2．在锐角中，点是边上一动点（不与点、重合），且，点、点到直线的距离分别为、，记，则在点从点向点运动的过程中，以下说法： ①至少存在两个点，使得的值最小； ②对于任意的点，的值始终保持不变； ③至多存在两个点，使得； 其中正确的个数是（ ） A. 3个 C. 1个 B. 2个 D. 0个 3．如图，于点，点、分别是射线、上的动点（不与点重合），延长至点，的角平分线及其反向延长线分别交、的角平分线于点、．若中有一个角是另一个角的3倍，则为（ ）． A. 或 C. 或 B. 或 D. 或 4．如图，在中，，，点D是的中点，点P，Q分别是边，上的动点．当的周长取得最小值时，的度数是________． 5．如图1，已知两点同时从点出发，点沿射线运动，点沿射线运动．如图2，点为三条内角平分线的交点，连接． （1）当时，求的度数； （2）在点A，B的运动过程中，的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由； （3）如图3，连接并延长，与的邻补角的平分线交于点．在中，如果有一个角是另一个角的2倍，请求出的度数． 6．如图1、图2，在中，，点在边所在直线上，作，垂足为点，为的角平分线，的平分线交直线于点． 特例感悟：（1）如图1，延长交的延长线于点，若， ①_____；②请说明． 深入探究： （2）如图2，若，点在线段上，的延长线与的延长线交于点，请用含的代数式表示．并说明理由； 拓展延伸：（3）当点在射线上移动时，若射线与射线相交，设交点为，直接写出与的关系式． 7．已知直线与互相垂直，垂足为，点在射线上运动，点在射线上运动，点，均不与点重合．如图1，平分交于点，平分，的反向延长线交的延长线于点． （1）若，求的度数． （2）在点，的运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变，求出的度数．若变化，请说明理由． （3）如图2，已知点在的延长线上，的平分线，的平分线与的平分线所在的直线分别相交于点、．在中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请直接写出的度数． 8．已知直线与互相垂直，垂足为O，点A在射线上运动，点B在射线上运动，点A、B均不与点O重合． 【探究】 （1）如图1，平分，平分． ①若．则________°． ②在点A、B的运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． 【拓展】 （2）如图2，平分交于点I，平分，的反向延长线交的延长线于点D．在点A、B的运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变，直接写出的度数：若变化，直接写出的度数的变化范围． 9．已知直线与互相垂直，垂足为O，点A在射线上运动，点B在射线上运动，点A，B均不与点O重合． （1）如图1，平分平分．若，则______． （2）如图2，平分交于点I，平分的反向延长线交的延长线于点D． ①若，则_______． ②在点A，B的运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． （3）如图3，已知点E在的延长线上，的平分线的平分线与的平分线所在的直线分别相交于点D，F．在中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请直接写出的度数． 10．直线与直线垂直相交于点在直线上运动，点在直线上运动． （1）如图1，已知分别是和角的平分线，点在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出的大小． （2）如图2，已知不平行分别是和的角平分线，又分别是和的角平分线，点在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值． （3）如图3，延长至，已知的角平分线与的角平分线及延长线相交于，在中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求的度数． 题型04　多角求和（五角星型） 1．五角星因其美观和深刻的象征意义，被广泛应用于旗帜、徽章设计中．如图是一个用于设计的标准正五角星，为确保图案对称协调，其五角顶角（，，，，）的度数必须相等．设计师需要知道这个角度的大小以便于制图，那么这个角的度数应为（ ） A. C. B. D. 2．如图，在由线段组成的平面图形中，，则的度数为（ ）． A. C. B. D. 3．如图，图中的度数为（ ） A. C. B. D. 4．如图，A，B，C，D，E，F是平面上的6个点，则的度数是________． 5．中华人民共和国五星红旗上大五角星代表中国共产党，四颗小五角星代表工人、农民、小资产阶级和民族资产阶级四个阶级．五颗五角星互相连缀、疏密相间，象征中国人民大团结．每颗小星各有一个尖角正对大星中心点，表示人民对党的向心之意，如图①：根据图形填空： （1）______，______； （2）____________； 【应用】 （3）如图②．求的度数． 6．（1）如图①，求的度数； （2）如图②，求的度数． 7．一般地，我们把如图1这样的图形称为“8字形”，它满足，请利用以上信息，试求出图2中的度数． 8．利用图形建构几何直观，可以轻松实现空间形式和数量关系的相互转化． （1）如图1，求证：． （2）应用（1）中结论，若图2中，，则，，，，，的度数之和等于________． （3）如图3，，，求的度数． 9．结合图形，填空 （1）如图①，若，则________． （2）如图②，，则的度数为________． 10．如图①所示为五角星图案，图②、图③叫做蜕变的五角星，试回答以下问题． （1）在图①中，__________； （2）对于图②或图③，还能得到同样的结论吗？若能，请在图②或图③中任选其一证明你的发现；若不能，试说明理由． 题型05　新定义三角形（特征/友好/准互余） 1．阅读下列材料并解答问题： 在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的2倍，那么这样的三角形我们称为“优雅三角形”，其中称为“优雅角”．例如：一个三角形三个内角的度数分别是、、，这个三角形就是“优雅三角形”，其中“优雅角”为．反之，若一个三角形是“优雅三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的2倍． （1）一个“优雅三角形”的一个内角为，若“优雅角”为锐角，则这个“优雅角”的度数为 ． （2）如图1，已知，在射线上取一点A，过点A作交于点B，以A为端点画射线交线段于点C（点C不与点O、点B重合）．若是“优雅三角形”，求的度数． （3）如图2，中，点D在边上，平分交于点E，F为线段上一点，且，．若是“优雅三角形”，求的度数． 2．定义：若三角形的两个内角与满足，则称该三角形为“准互余三角形”，与为“准互余角”． （1）下列各组给出了三角形的三个内角，其中能构成“准互余三角形”的是___________（填序号）． ①②③． （2）若为“准互余三角形”，，和是“准互余角”，求的度数． （3）如图，在中，，若平分，试说明．“准互余三角形”． 3．定义：如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． （1）若是“准互余三角形”，，，则 °； （2）若是直角三角形，． ①如图，若是的角平分线，请你判断是否为“准互余三角形”？并说明理由． ②点是边上一点，是“准互余三角形”，若，求的度数． 4．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为的三角形是“灵动三角形”；三个内角分别为的三角形也是“灵动三角形”等等．如图，，在射线上找一点A，过点A作于点A，交于点B，以A为端点作射线，交线段于点C，规定． （1）_____（填“是”或“不是”）灵动三角形； （2）当为“灵动三角形”时，求的度数（不满足题意的情况解答时不用讨论）． 5．【概念认识】 如图①，在中，若叫做的“三分线”．其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”． 【问题解决】 （1）如图②，在，，若∠B的三分线交于点D，求的度数； （2）如图③，在中，分别是邻三分线和邻三分线，，求∠A的度数； 【延伸推广】 （3）在中，是的外角，的三分线所在的直线与的三分线所在的直线交于点P．若，直接写出的度数．（用含m的代数式表示） 6．在一个三角形中，一个内角是另一个内角的5倍，我们称这样的三角形为“五倍角三角形”．如内角度数为的三角形是“五倍角三角形”．如图，，点在射线上，过点作，交于点，以为端点作射线，交射线于点． （1）的度数为 ， （填“是”或“不是”）“五倍角三角形”． （2）若，求证：为“五倍角三角形”． （3）当为“五倍角三角形”时，直接写出的度数． 7．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．如的三角形是“智慧三角形”．如图，，在射线上找一点A，过点作交于点，以为端点作射线，交射线于点． （1）的度数为_______°，______（填“是”或“不是”）智慧三角形； （2）若，求证：为“智慧三角形”； （3）当为“智慧三角形”时，求的度数． 8．【概念理解】在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么我们称这样的三角形为“完美三角形”．例如三个内角分别为的三角形是“完美三角形”． 【简单应用】如图①，，在射线上找一点A，过点A作交射线于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（点C不与点O，B重合）． （1）______°，______°，______“完美三角形”（填“是”或“不是”）； （2）若，求证：是“完美三角形”； 【应用拓展】如图②，点在的边上，连接平分，．若是“完美三角形”，请直接写出的度数． 9．【定义】在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这个三角形为“二倍角三角形”、例如：在中，，，则为“二倍角三角形”． 【理解】若为“二倍角三角形”，，则这个三角形中最小的内角为______； 【应用】已知是“二倍角三角形”中最小的内角，通过计算确定的最大取值； 【拓展】如图，平分的内角，交于点E，平分的外角，延长和交于点G，且，当是二倍角三角形，直接写出的度数． 10．【定义】在一个三角形中，如果有一个内角是另一个内角的2倍，那么我们称这两个内角互为“开心角”，这个三角形叫作“开心三角形”．例如，在中，，则与互为“开心角”，为“开心三角形”． 【理解】 （1）若为“开心三角形”，，则这个三角形中最小的内角度数为______． （2）若为“开心三角形”， ，则这个三角形中最小的内角度数为______． 【应用】 （3）如下图，平分的内角，交于点E，平分的外角，分别延长和，交于点P．已知，若在“开心三角形”中，与另一个角互为“开心角”，设，求的值． 题型06　设参导角 1．两张直角三角形纸片如图1摆放，点D在上，，． （1）证明：． （2）如图2，分别作分别作与的平分线交于点F，若，求的度数； （3）如图3，点P，G分别在线段，上，连接，作的平分线交于点Q，若点H是线段上一点，连接，且．设，，，求，，之间的数量关系． 2．【题目】如图①，在中，，平分，于点．试探究与，的数量关系． 【探究】小明尝试代入，的值求的值，得到下面几组对应值： （单位：度） 70 75 80 （单位：度） 30 45 20 （单位：度） 20 15 a （1）上表中________，猜想得到与，的数量关系为________； （2）证明（1）中猜想得到的与，的数量关系； 【应用】如图②，在中，平分，是线段上一点，于点．若，，则的大小为________度； 【拓展】如图③，在中，，平分，点在的延长线上，于点，分别作和的平分线，交于点．设，，则的大小为__________（用含，的式子表示）． 3．当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．例如：在图①、图②中都有．设镜子与的夹角． （1）如图①，若，判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由． （2）如图②，若，入射光线与反射光线的夹角．探索与的数量关系，并说明理由． （3）如图③，若，设镜子与的夹角为钝角，入射光线与镜面的夹角．已知入射光线从镜面开始反射，经过为正整数，且）次反射，当第次反射光线与入射光线平行时，请直接写出的度数（可用含的代数式表示）． 4．综合与实践 问题情境：数学课上，同学们在三角形中增加一些几何元素，探索角之间的数量关系．已知在中，，的平分线交于点D．点P是边上的一个动点，过点P作交边于点E．设的度数为． 初步探究：（1）如图，当点P在线段上运动时（不与A，D重合），善思小组的同学作的外角的平分线，交的延长线于点F．他们提出如下问题．请你解答： ①当时，求的度数； ②用含的代数式表示的度数为__________； 深入探究：（2）类比（1）的思路，善思小组进一步探究点P在线段上运动时的情形（不与C，D重合），他们作的外角的平分线PN，交直线于点F（点F不与点B重合），发现与之间存在一定的数量关系．请直接写出相应的的度数．（用含的代数式表示） 5．在中，与的平分线相交于点． （1）如图1，如果，求的度数； （2）如图1，如果，用含的代数式表示； （3）探索：如图2，作外角的平分线交于点，试写出之间的数量关系； （4）拓展：如图3，延长线段交于点，中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出的度数． 6．在中，，D，E分别是边AC，AB上的点（不与点A，B，C重合）．P是平面内一动点（点P与点D，E不在同一直线上，且不与点B，C重合）．设，，． （1）若点P在边BC上运动，如图①所示，则______．（用含的代数式表示）． （2）若点P在ABC的外部，如图②所示，写出，，之间的数量关系，并说明理由． （3）延长BC，当点P在BC的延长线上运动时，写出对应的，，之间的关系式，并证明． 7．如图1，已知两条直线被直线所截，分别交于点E，点F，平分交于点M，且． （1）判断直线与直线是否平行，并说明理由： （2）如图2，点G是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点H，过点H作于点N，设，． ①当点G在点F的右侧时，若，求的度数： ②当点G在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． 8．受自行车尾灯设计的启发某班开展项目式学习，以下是某小组的活动记录． 探究“进入光线和离开光线夹角与镜子夹角的关系”项目活动记录 项目背景 如图1，两个互相垂直的平面镜（），根据光的反射定律，入射角等于反射角，即，， ∵，，，， ∴，，（① ）． ∵，（② ）， ∴． ∵， ∴． ∴m∥n． 实验探究 如图2，在同一平面内，两块平面镜AB，BC的夹角为（）；用一束激光射到平面镜AB上，分别经过平面镜AB，BC两次反射后，进入光线m与离开光线n形成的夹角为；多次调整两块平面镜的夹角，并进行测量记录，得到多组和的值，数据如下： 10° 30° 50° 70° 160° 120° 80° 40° 建立模型 根据表中信息，猜想与之间的关系为③ （）；由项目背景知：，，… 深入思考 如图3，有三块平面镜AB，BC，CD，镜子AB与BC的夹角，入射光线FE与平面镜AB的夹角（），入射光线EF从镜面AB开始反射，经过n（n为正整数，且）次反射，反射光线与入射光线EF平行时，∠BCD的度数为 （可用含有m的代数式表示）． 请你结合活动记录完成以下任务： （1）①的依据定理是 ，②的依据定理是 ； （2）③猜想与之间的关系为 ，并说明理由； （3）∠BCD的度数为 ． 9．[问题背景] （1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明． [简单应用]（可直接使用问题（1）中的结论） （2）如图2，、分别平分、， ①若，，求的度数； ②和为任意角时，其他条件不变，试直接写出与、之间数量关系． [问题探究] （3）如图3，直线平分的邻补角，平分∠ADC的邻补角， ①若，，则的度数为___________； ②和为任意角时，其他条件不变，试直接写出与、之间数量关系． [拓展延伸] （4）在图4中，若设，，，，试问与、之间的数量关系为___________；（用x、y的代数式表示） （5）在图5中，直线平分，平分的外角，猜想与、的关系，直接写出结论___________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第十三章三角形章节核心题型突破（压轴篇) 目录 题型01中线等分面积与等面积法 题型02角度比与设参求内角 题型03分类讨论求角（动点/直角顶点不定） 题型04多角求和（五角星型） 题型05新定义三角形（特征/友好准互余） 题型06设参导角 题型01中线等分面积与等面积法 1.B 2.B 3.D 4.D 5.A 6.14 7.3 8.4 9.6 10.9 题型02角度比与设参求内角 1.B 2.C 3.A 4.D 1/8 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.D 6.ABC 7.30°，60°，90°或45°，45°，90° 8.75#75度 9.直 10.①②④ 题型03分类讨论求角（动点/直角顶点不定） 1.C 2.D 3.C 4.52° 5.(1)120°(2)不变，∠ACB=120°(3)∠BAO为90°或60° 6.(1)①60°；②由①得，∠CBM=∠ABM=30°， .BM‖DG, ∴.∠DGC=∠CBM=30°， DE⊥BC, ∴.∠DEG=90°， .∴.∠EDG=60°， :DG平分∠ADE, ∴.∠ADF=∠EDG=60°， ∴.∠A=180°-30°-60°=90°， .AC⊥AB: 25a (3)∠BND=45+号a或135°± 2 7.(1)45°；(2)∠ADB的度数不变，∠ADB=45°；(3)∠OBA等于60°或45°. 8.(1)①25，②不变，∠AIB=135°(2)不变，∠ADB=45° 9.(1)135;(2)①45；②∠ADB的大小不会发生变化，∠ADB=45°；(3)∠AB0=45°或60°. 10.(1)∠AEB=135°(2)∠E=67.5°(3)60°或45 2/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型04 多角求和（五角星型） 1.B 2.C 3.A 4.360#360度. 5.(1)∠E,∠D:(2)∠A,180°：(3)180° 6.(1)360°：(2)720° 7.540° 8.(1)见解析(2)2a(3)∠BAF+∠C+∠CDE+∠F=230° 9.①30°②2a 10.(1)180°(2)解：结论仍然成立，以图③为例： ③ 延长CE交AD于F,设CE与BD的交点为M: 同(1)可知：∠DMF=∠B+∠E,∠DFM=∠A+∠C; 在△DMF中，∠D+∠DMF+∠DFM=180°， .∴.∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°. 以图②为例：如图所示， ② 根据三角形外角可知：∠AEF=∠B+∠D,∠AFE=∠C+∠BEC, 在△AFE中，∠A+∠AFE+∠AEF=180°， ..∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°. 题型05新定义三角形（特征/友好/准互余） 3/8 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.(1)40°(2)∠ACB的度数为90°或100°或140°(3)72°，45° 2.(1)②③(2)70°(3)解：△ABD是“准互余三角形”，理由如下： .'AD平分∠BAC, .∠BAD=∠CAD,.'∠ADB是△ACD的外角，且∠ACD=90°， ∴.∠ADB=∠CAD+∠ACD, .∴.∠ADB-∠CAD=90°， ∴.∠ADB-∠BAD=90°， ∴△ABD是“准互余三角形”. 3.(1)20°(2)①△ABD是准互余三角形，理由如下；，AD是∠BAC的角平分线， ∴.∠BAC=2∠BAD, ,∠ACB=90°， ∴.∠ADB=∠ACD+∠CAD>90°， ∴∠BAC+∠B=90°， ∴.2∠BAD+∠B=90°， ∴.△ABD是“准互余三角形”： ②123°或114 4.(1)是(2)30°或52.5°或80° 5(1)95或10(2)603)3m或m或 m+18°号m-18° 3 3 31 6.(1)30°，不是(2)证明：.∠AOC=60°，∠OAC=20°， .∴.∠AC0=180°-60°-20°=100°， .∴.∠ACO=5∠OAC, ∴.△AOC为五倍角三角形”： (3)84或65°或120°或95°或115° 7.(1)30:是（2)见解析(3)∠OAC的度数为80°或52.5°或0或30°或97.7°或112.5° 8.[简单应用](1)18,72，是：(2)证明：，∠ACB=90°， ∴.∠AC0=180°-∠ACB=90°， ∴.∠OAC=90°-∠AOC=90°-72°=18°， .72°=18°×4， 4/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 '△AOC是“完美三角形： [应用拓展]30°或80 9.[理解]20：[应用]45°：[拓展] 30 °或24°或40° 10.(1)16°；(2)30或40°；(3)20或75°或 300。 7 题型06设参导角 1.(1)证明：.：∠A+∠ABC+∠C=∠BDE+∠E+∠DBE=180°， 又，∠A=∠BDE=90°，∠ABC=∠E, .∴.∠C=∠DBE, ..AC‖BE: (2)45°(3)a+B=30 2.探究：(1)30，∠EAD=∠B-∠C:(2)证明：：∠BAC+∠B+∠C=180, .∠BAC=180°-∠B-∠C, .AE平分∠BAC, .∠BAE=∠BAC, ∠BAE=80°.∠B-∠C=90∠B+∠C .AD⊥BC, .∴.∠ADB=90°， .∴.∠BAD=90°-∠B, :∠EAD=∠BAE-∠BMD,∠EAD=90-∠B+∠C小-|90-∠B=∠B-∠C月 应用：15： 31 拓展：4x~4y 3.(1)EFGH, 理由如下：在△BEG中， ∠2+∠3+a=180°，.a=90°，∴.∠2+∠3=90°， 5/8 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠1+∠2+∠FEG=180°，∠3+∠4+∠EGH=180°，∠1=∠2，∠3=∠4， ∴.∠1+∠2+∠FEG+∠3+∠4+∠EGH=360°， .∴.∠FEG+∠EGH=180°， .EF‖GH: (2)β=2a-180°， 理由如下：在△BEG中，∠2+∠3+a=180° ∴.∠2+∠3=180°-a,.∠1=∠2，∠1=∠MEB.∴.∠2=∠MEB,.∴.∠MEG=2∠2， .'∠3=∠4，∠4=∠MGB∴.∠3=∠MGB,∴.∠MGE=2∠3，在△MEG中， ∠MEG+∠MGE+B=180° ∴.B=180°-（∠MEG+∠MGE)=180°-（2∠2+2∠3）=180°-2（∠2+∠3） =180°-2(180°-a=2c-180°； (3)90°+x或140 A1---F 图① G 图② 4)020,@4524515+ 2 5.1)125°(2)900+2a(3)∠Q=90°-72A(4)45或60°或120°或135° 2 6.(1)70°+∠a(2)解：∠2-∠1=∠a-70°.理由如下： 如图(2)，设AB与PD交于点O, ∠POE=∠2-∠a,∠AOD=∠1-∠A,∠POE=∠AOD, .∠2-∠Q=∠1-∠A, ∴.∠2-∠1=∠a-70°. 6/8 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：∠2=∠1+∠a+70°或∠2=70°+∠1-∠a.证明： 如图(3)，∠2=∠1+∠a+70°， 理由如下：，'∠2=∠A+∠AME,∠AME=∠1+∠a, ∠2=∠A+∠1+∠a, ∴.∠2=∠1+∠a+70°： 如图(4)，同理可得：∠2=∠1+70°-∠a; ∴.∠a《,∠1，∠2之间的关系式：∠2=∠1+∠Q+70°或∠2=∠1+70°-∠a. 图(2 E 2 M B 图(3) y E B (4) 7.(1)ABCD.理由见解折(2)①a=30,②a=2P或a=90°-2B. 8.(1)等角的余角相等：三角形的内角和等于180°(2)2α+B=180°，如图，DG,FG为法线， 则DG⊥AB,FG⊥BC, ∴∠EDG=∠PDG3∠EDP,∠EFG=∠DFG=3∠EFD, 在△EDF中， ∠EDF+∠EFD=180°-B, 7/8 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠FDG+∠DFG= 2EDF+∠EFD=90B, 在△DFG中， ∠DGF=180°-∠DFG+∠FDG=90+号B, 2 在四边形DBFG中， .∠BDG+∠BFG=180°， '∠DBF+∠DGF=180°， :a+900+号B=180°， .2a+β=180°； (3)150°或90°+m° D XG 9.(1)见解析(2)①24°，②2∠P=∠B+∠D(3)①24°，②2∠P=∠A+∠C(4) P3x+y))2P=90-C-克2A 8/8 第十三章 三角形章节核心题型突破（压轴篇） 目 录 题型01 中线等分面积与等面积法 题型02 角度比与设参求内角 题型03 分类讨论求角（动点 / 直角顶点不定） 题型04 多角求和（五角星型） 题型05 新定义三角形（特征/友好/准互余） 题型06 设参导角 题型01　中线等分面积与等面积法 1．如图，O是的重心．若的面积是6，则阴影部分的面积的和是（ ） A. 2 C. 4 B. 3 D. 6 【答案】B 【分析】本题考查了三角形重心，三角形中线平分面积的知识．三角形的重心：是三角形三条中线的交点，由此得到是的中线，根据三角形中线平分三角形面积得到，由此即可求解． 【详解】解：∵是的重心， ∴是的中线，即点分别是的中点， ∴是的中线， ， ， 故选B． 2．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面说法正确的是（ ） ①的面积与的面积相等；②；③． A. ①② C. ②③ B. ①②③ D. ①③ 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高，等腰三角形的判定等知识点，根据等底等高的三角形的面积相等即可判断①；根据三角形内角和定理求出，根据三角形的外角性质即可推出②；根据三角形内角和定理求出，根据角平分线定义即可判断③． 【详解】解：∵是中线， ∴， ∴的面积与的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），故①正确； ∵是角平分线， ∴， ∵为高， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴，故②正确； ∵为高， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 即，故③正确； 综上，①②③都是正确的． 故选：B． 3．设的面积为1．如图①，，分别是，的中点，，相交于点，与的面积差记为；如图②，，分别是，的3等分点，，相交于点，与的面积差记为；如图③，，分别是，的4等分点，，相交于点，与的面积差记为，依此类推，则的值为（ ） A. C. B. D. 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形的变化类规律、三角形的面积，解题的关键是得出． 由题意求得，根据点分别是的中点，得，，从而得出，同理可得：，，，…， 归纳出，代入n值即可得到答案． 【详解】解：由题意得： ， ∵点分别是的中点， ，， ， 同理可得：， ， ， …， ． ． 故选：D． 4．如图，在中，已知D，E，F分别是边的中点，且阴影部分图形的面积为6，则的面积为（ ） A. 12 C. 18 B. 16 D. 24 【答案】D 【分析】本题主要考查了与中线有关的三角形面积的计算，利用三角形中线将三角形面积进行转化是解题的关键． 由点F是的中点可得，由点E是的中点可得，，从而得到，再由，进而求得的面积． 【详解】解：∵点F是的中点， ∴， ∵点E是的中点， ∴，， ， ∵， ． 故选：D． 5．如图，在中，经过的重心交于点，若的面积为，则阴影部分的面积为（ ） A. C. B. D. 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的面积和三角形的重心，解题的关键是掌握在高相等的情况下，面积比等于底之比． 延长交于，设，则根据重心的概念可得是中线，通过面积转换可得，，，，最后在中，求解x即可． 【详解】解：延长交于，如图， 设． ∵是的重心， ∴是中线， ∴D是中点，则和等底同高， ∴． ∴． ∵是中点， ∴ ． ∵， ∴ ， 又∵是中点，和等底同高， ∴ ∴ 解得， 在中， 解得， ∴ ， ∴． 故选A． 6．如图是一块三角形纸板，点、、分别是线段、、的中点若阴影部分的面积为2，则的面积________． 【答案】14 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，连接，由三角形中线平分三角形面积得到，，进而得到，再求出，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵为的中点， ∴，， ∵分别为的中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为；14． 7．如图，是的中线，点，分别为，的中点，若的面积为．则的面积是________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中线平分三角形面积的性质，关键是熟练应用知识点解题； 由中线性质及的面积即可求得. 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵点为的中点， ∴，， ∵点是的中点， ∴， 故答案为：． 8．如图，在中，是中线，E是的中点，若的面积为1，则的面积是________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，掌握三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分是解答此题的关键． 由E是的中点、的面积为1可得求得的面积，再根据是的中线，即可求得的面积． 【详解】解：∵E是的中点，且的面积为1， ∴， ∵是的中线， ∴． 故答案为：4． 9．如图，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线， 连接，．若的面积是16，则阴影部分的面积是________． 【答案】6 【分析】本题考查三角形的面积，中线的性质．掌握“中线把一个三角形分成面积相等的两个三角形”是解题的关键．根据中线的性质计算即可． 【详解】解：∵是的边上的中线， ， ∵是的边上的中线， ， ， ∵是的边上的中线， ， ， ， 故答案为：6． 10．如图，在中，是中线，是重心，过点作，分别交、于点、，若，则________． 【答案】9 【分析】本题主要考查三角形一边平行线的性质定理和三角形重心的性质，根据平行线的性质得，结合重心得，即可求得． 【详解】解：∵， ∴， ∵是中线，是重心， ∴， ∵， ∴， 故答案为：9． 题型02　角度比与设参求内角 1．下列条件：在中，，都是锐角；在中，；在中，；的三个内角的度数之比是，其中能确定是直角三角形的条件有（ ） A. 个 C. 个 B. 个 D. 个 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的分类、三角形的内角和定理的应用，根据所给的已知条件，能求出三角形中有一个角是，就能确定是直角三角形，否则不能确定三角形是直角三角形. 【详解】解：在中，，都是锐角， 则可能是锐角、钝角、直角， 不能确定是直角三角形， 故不符合题意； 在中，， ； ， 解得：， 能确定是直角三角形， 故符合题意； 在中，， ， 又， ， ， 能确定是直角三角形， 故符合题意； 在的三个内角的度数之比是， 最大的角的度数是， 不能确定是直角三角形， 故不符合题意； 综上所述，能确定是直角三角形的条件有个． 故选：B． 2．在下列条件：；；；；中，能确定为直角三角形的条件有（ ） A. 5个 C. 3个 B. 4个 D. 2个 【答案】C 【分析】根据直角三角形的判定和三角形内角和定理对各个条件进行分析，从而得到答案． 【详解】解：不能确定为直角三角形，故错误，不符合题意； ，， ， 为直角三角形，故正确，符合题意； ， 设， ， ， 解得：， ， 不是直角三角形，故错误，不符合题意； ， 设，则，， ， ， 解得：， ， 为直角三角形，故正确，符合题意； ， 设，则， ， ， 解得：， ， 为直角三角形，故正确，符合题意； 说法正确， 故选：C． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键． 3．具备下列条件的中，不是直角三角形的是（ ） A. C. B. D. 【答案】A 【分析】分别进行变形结合，进行逐一求解，即可判断． 【详解】解：A.， ， ， ， 解得：，，， 不是直角三角形，故符合题意； B. ， ， ， ， 解得：， 是直角三角形，故不符合题意； C.， 设，，， ， ， 解得：， ， 是直角三角形，故不符合题意； D.， ，， ， ， 解得：，，， 是直角三角形，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定，三角形内角和定理，掌握定理是解题的关键． 4．在下列条件中：①，②，③中，能确定是直角三角形的条件有（ ） A. 0个 C. 2个 B. 1个 D. 3个 【答案】D 【分析】根据三角形内角和定理和直角三角形的定义逐项判断即可得到答案． 【详解】解：，， ， ， 为直角三角形，故①正确，符合题意； ， 设，，， ， ， 解得：， ， 为直角三角形，故②正确，符合题意； ， ， ， ， 为直角三角形，故③正确，符合题意； 综上所述，能确定是直角三角形的条件有①②③，共3个， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、直角三角形的定义，熟练掌握三角形的内角和为，有一个内角为的角是直角三角形，是解此题的关键． 5．根据下列条件能判定是直角三角形的有（ ） ①； ②； ③． A. 0个 C. 2个 B. 1个 D. 3个 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的定义，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和定理进行判断．利用三角形的内角和定理，即可分别进行判断． 【详解】解：①∵且， ∴， ∴， 故能判定是直角三角形； ②∵， ∴， 又 ∵， ∴， ∴， 故能判定是直角三角形； ③设，，， ∵， ∴， 解得， ∴， 故能判定是直角三角形； ∴ ①②③均能判定是直角三角形，共个． 故选：D． 6．给定下列条件，能判定三角形是直角三角形的是（ ） A. C. B. D. 【答案】ABC 【分析】本题考查了三角形内角和定理，利用三角形内角和定理求出每个选项中最大的角，即可判断三角形是不是直角三角形． 【详解】解：A.∵，， ∴，能判定三角形是直角三角形，符合题意； B.∵，， ∴， ∴，能判定三角形是直角三角形，符合题意； C.∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，能判定三角形是直角三角形，符合题意； D.∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，三角形不是直角三角形，不符合题意； 故选：ABC． 7．若一个直角三角形中的两个角的度数之比为，则这个直角三角形的三个角的度数分别为________． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形内角和定理与直角三角形两锐角互余问题，两个角度数之比为，需要分类讨论. 【详解】解：设一个角为，则另一个角为， 当两个角是锐角时：，得，， 则这三个角分别为： 当这两个角中一个角为直角时，则得， 第三个角为， 则这三个角分别为：. 综上所述：这个直角三角形的三个角的度数分别为：或． 故答案为：或 ． 8．已知中，，那么中最大角的度数为________． 【答案】##75度 【分析】此题考查三角形内角和定理、一元一次方程的应用．由题意可设由三角形内角和定理得到一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意可设 则， 解得， ∴ ∴中最大角的度数为 故答案为： 9．一个三角形的三个内角度数之比为，这个三角形一定是________角三角形． 【答案】直 【分析】设该三角形的三个内角分别为，，，结合三角形内角定理列方程并求解，计算出三角形三个内角的度数，即可获得答案． 【详解】解：设该三角形的三个内角分别为，，， 则有 ， 解得 ， ∴，， ∴这个三角形一定是直角三角形． 故答案为：直． 【点睛】本题主要考查的三角形内角和定理的应用以及一元一次方程的应用，熟练掌握三角形内角和定理是解题关键． 10．在下列条件中，①；②；③；④，能判定是直角三角形的是________．（只填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是．根据三角形内角和为，求出三角形中角的度数，再根据直角三角形的定义判断从而得到答案． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故①正确； ②∵， ∴最大角，故②正确； ③∵，， ∴， ∴不能判定是直角三角形，故③错误； ④∵，， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，是直角三角形的是①②④． 故答案为：①②④． 题型03　分类讨论求角（动点 / 直角顶点不定） 1．如图，，点，分别是射线，上的两个定点，点，分别是射线，上的两个动点，当最小时，的大小是（ ）． A. C. B. D. 【答案】C 【分析】本题考查轴对称的性质，三角形的内角和定理与外角的性质，熟练掌握相关知识是关键． 作点C关于的对称点，作点D关于的对称点，连接，由轴对称的性质可知，，，因此，当，，，四点共线时，取到最小值．设，用和表示出和，作差得出结果． 【详解】解：如图，作点C关于的对称点，作点D关于的对称点，连接， 由轴对称的性质可知，，， ∴， 当，，，四点共线时，取到最小值， 设此时点、的位置为，，设， 由轴对称的性质可知，，， ∵， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 2．在锐角中，点是边上一动点（不与点、重合），且，点、点到直线的距离分别为、，记，则在点从点向点运动的过程中，以下说法： ①至少存在两个点，使得的值最小； ②对于任意的点，的值始终保持不变； ③至多存在两个点，使得； 其中正确的个数是（ ） A. 3个 C. 1个 B. 2个 D. 0个 【答案】D 【分析】通过作、到直线的垂线，利用相似三角形得到与的比值等于与的比值，结合面积关系逐一分析三个说法． 【详解】解：如图，分别作直线于，直线于，则，， ∵直线于，直线于 又 即 即， ① 当，即为中点时， ，，为绝对值的最小值， 仅存在1个这样的点，故①错误； ② 由面积关系，， 得， 点运动时长度变化，故的值随的位置变化而变化，故②错误； ③ 由，得，该式对所有符合条件的点恒成立，即有无数个点满足，故③错误， 综上，正确的个数为0． 3．如图，于点，点、分别是射线、上的动点（不与点重合），延长至点，的角平分线及其反向延长线分别交、的角平分线于点、．若中有一个角是另一个角的3倍，则为（ ）． A. 或 C. 或 B. 或 D. 或 【答案】C 【分析】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和的问题，以及三角形外角的性质，先根据角平分线和平角的定义可得：，分4种情况讨论，①当时，②当时，③当时，④当时，根据三角形内角和定理及外角的性质可得结论． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， 当①时． ， ∵平分， ∴， ∴ ∴， ∵于点， ∴， ∴， ②当时， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴此种情况不成立． ③当时， 设， 则：， 解得：， ∴， ∴， ∴． ④当时， 同理得：， ∴ ∴ ∴此种情况不成立． 综上所述，的度数为或， 故选∶C． 4．如图，在中，，，点D是的中点，点P，Q分别是边，上的动点．当的周长取得最小值时，的度数是________． 【答案】 【分析】本题主要考查轴对称—最短路径问题、三角形的内角和定理，构造辅助线求解的周长最小值是解题的关键． 首先根据轴对称构造辅助线，得到当点，P，三点共线时，的周长取得最小值为，在此情况下求解结合三角形的内角和定理得到，即可求解的度数． 【详解】解：如图，作点D关于的对称点，关于的对称点，连接，交于点P，交于点Q， ∵点D关于的对称点，关于的对称点， ∴， ∴， ∴当点，P，三点共线时，的周长取得最小值为， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 由轴对称可得：，， ∴，， ∴， ∴． 5．如图1，已知两点同时从点出发，点沿射线运动，点沿射线运动．如图2，点为三条内角平分线的交点，连接． （1）当时，求的度数； （2）在点A，B的运动过程中，的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由； （3）如图3，连接并延长，与的邻补角的平分线交于点．在中，如果有一个角是另一个角的2倍，请求出的度数． 【答案】（1） （2）不变， （3）为或 【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，三角形角平分线，解题的关键是掌握三角形内角和定理，三角形外角的性质． （1）先根据三角形的内角和定理求出的角度，再根据角的定义平分线得到，，最后根据三角形内角和定理即可解答； （2）根据三角形的内角和求出，根据角平分线定义得出，最后根据三角形内角和定理即可解答； （3）设，根据题意，表示出的三个内角，分类讨论求解即可． 【小问详解】(1)小问详解： 解：点为三条内角平分线的交点， ， ， ， ； 【小问详解】(2)小问详解： 解：不变，理由如下： 点为三条内角平分线的交点， ， ； 【小问详解】(3)小问详解： 解：设， 是的平分线， ， 点为三条内角平分线的交点， 在中有一个角是另一个角的2倍， 若，则，解得， ； 若，则，解得， ； 若，则，解得， 若，则，解得（舍去）； 在中有一个角是另一个角的2倍时，为或． 6．如图1、图2，在中，，点在边所在直线上，作，垂足为点，为的角平分线，的平分线交直线于点． 特例感悟：（1）如图1，延长交的延长线于点，若， ①_____；②请说明． 深入探究： （2）如图2，若，点在线段上，的延长线与的延长线交于点，请用含的代数式表示．并说明理由； 拓展延伸：（3）当点在射线上移动时，若射线与射线相交，设交点为，直接写出与的关系式． 【答案】（1）①；②由①得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）； （3）或 【分析】（1）①根据平行线的性质和角平分线的定义可得答案； ②根据平行线的性质得＝＝，再根据垂直的定义和角平分线的定义可得结论； （2）和中，由八字模型可得：，再利用四边形内角和整理可得答案； （3）分情况讨论，分别画出对应图形，再根据四边形内角和及三角形内角和定理整理即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， 故答案为：； ②略 （2）解：和中，由八字模型可得， ， ． 故答案为：； （3）解：①如图，当点在延长线上时， 由八字模型可得，和中， ， ； ②如图，当点在线段上时， 由四边形的内角和得， ； ③如图，当点在延长线上时， 由八字模型可得，， ∴ ； 综上分析可知，或． 【点睛】本题主要考查四边形内角和及三角形的内角和定理和平行线的性质，熟练掌握平行线的性质和三角形的内角和是解题关键． 7．已知直线与互相垂直，垂足为，点在射线上运动，点在射线上运动，点，均不与点重合．如图1，平分交于点，平分，的反向延长线交的延长线于点． （1）若，求的度数． （2）在点，的运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变，求出的度数．若变化，请说明理由． （3）如图2，已知点在的延长线上，的平分线，的平分线与的平分线所在的直线分别相交于点、．在中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请直接写出的度数． 【答案】（1）； （2）的度数不变，； （3）等于或． 【分析】（1）由垂直的定义得，结合，可得，根据角平分线的定义可得，，最后根据三角形的外角性质即可求解； （2）设，则，根据角平分线的定义可得，，最后根据三角形的外角性质即可求解； （3）根据角平分线的定义可得，，，进而得到，推出，根据三角形外角性质可推出，然后分4种情况讨论：①当时，②当时， 当时，当时． 【小问详解】(1)小问详解： 解：直线与互相垂直，垂足为， ， ， ， 平分交于点，平分， ，， ； 【小问详解】(2)小问详解： 解：的度数，． 直线与互相垂直，垂足为， ， 是的外角，设， ， 平分交于点，平分， ， ， ， 的值不变，且； 【小问详解】(3)小问详解： 解：平分，平分，平分， ，，， ， 在中， 是的外角，是的外角， ；， ，即， 一个角是另一角的倍， 由图可知，可分种情况讨论： ①当时， ， ， ； ②当时， 即， ， ； 当时， ， ， 不符合题意，应舍去； 当时， 即， ， 不符合题意，应舍去； 综上所述，等于或． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，直角三角形的两锐角互余，垂直的定义等知识，解题的关键是掌握相关的知识． 8．已知直线与互相垂直，垂足为O，点A在射线上运动，点B在射线上运动，点A、B均不与点O重合． 【探究】 （1）如图1，平分，平分． ①若．则________°． ②在点A、B的运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． 【拓展】 （2）如图2，平分交于点I，平分，的反向延长线交的延长线于点D．在点A、B的运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变，直接写出的度数：若变化，直接写出的度数的变化范围． 【答案】（1）①，②不变，（2）不变， 【分析】本题考查角平分线的性质、三角形内角和定理，三角形外角性质，掌握相关知识是解决问题的关键。 （1）①先由角平分线求出，再结合垂直求出，最后由角平分线求出 ； ②利用角平分线性质和三角形内角和定理，推导与 的关系，进而求出其度数； （2）因为平分，所以，因为平分，所以，由三角形外角性质可知，即，再次利用外角性质可知，代入化简即可求得的大小是一个定值。 【详解】解（1）①平分，且， ∴， ∵直线与互相垂直， ∴， ∴。 ， ∵平分， ∴。 故答案为：； ②的大小不会发生变化，理由如下： ∵平分，平分， ∴，。 ∴。 ； （2）的大小不会发生变化，理由如下： ∵平分， ∴； ∵平分， ∴， ． 故的大小不变，为。 9．已知直线与互相垂直，垂足为O，点A在射线上运动，点B在射线上运动，点A，B均不与点O重合． （1）如图1，平分平分．若，则______． （2）如图2，平分交于点I，平分的反向延长线交的延长线于点D． ①若，则_______． ②在点A，B的运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． （3）如图3，已知点E在的延长线上，的平分线的平分线与的平分线所在的直线分别相交于点D，F．在中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请直接写出的度数． 【答案】（1）135；（2）①45；②的大小不会发生变化，；（3）或． 【分析】（1）先求出∠IBA、∠MAB，根据∠AIB=180°-（∠IBA+∠IAB）求解即可； （2）①由∠CBA=∠D+∠BAD求出∠CBA、∠BAD即可解答；②由点A、B在运动的过程中，∠ADB=45°，可得∠D=∠CBA-∠BAD=∠MBA-∠BAO=（∠MBA-∠BAO）=∠AOB进行计算即可； （3）先证明∠ABO=2∠D，∠DAF=90°，再分①当时，②当∠DAF=3∠F时，③当时，④当时四种情况分别解答即可． 【详解】解：如图： （1）∵， ∴ ∵， ∴． ∵平分平分， ∴， ∴． （2）①∵，且平分平分， ∴． ∵， ∴． ②的大小不会发生变化． ∵ ． 故的大小不会发生变化，． （3）∵的平分线，的平分线与的平分线所在的直线分别相交于点D，F， ∴， ∴， ∴． ①当时，， ∴； ②当时，， ∴（舍去）； ③当时，， ∴； ④当时，， ∴（舍去）． 综上，当或时，在中，有一个角的度数是另一个角的3倍． 【点睛】本题主要考查三角形综合题、三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角等知识点，掌握分类讨论的思想并灵活应用相关知识成为解答本题的关键． 10．直线与直线垂直相交于点在直线上运动，点在直线上运动． （1）如图1，已知分别是和角的平分线，点在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出的大小． （2）如图2，已知不平行分别是和的角平分线，又分别是和的角平分线，点在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值． （3）如图3，延长至，已知的角平分线与的角平分线及延长线相交于，在中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求的度数． 【答案】（1） （2） （3）或 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理以及三角形外角性质的运用，解题时注意：三角形内和为；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．解题时注意分类思想的灵活运用． （1）根据角平分线的定义以及三角形内角和定理进行计算，即可得到的大小不变； （2）根据延长、交于点．根据角平分线的定义以及三角形内角和定理，可得，再根据角平分线的定义以及三角形内角和定理，即可得到； （3）先根据角平分线的定义以及三角形内角和定理，得到，再根据分别是和的角平分线，可得．最后根据中，有一个角是另一个角的3倍，分四种情况进行讨论，即可得到的度数． 【小问详解】(1)小问详解： 的大小不变． ∵直线与直线垂直相交于， ∵、分别是和角的平分线， 【小问详解】(2)小问详解： 如图2，延长、交于点． ∵直线与直线垂直相交于， ∵、分别是和的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵、分别是和的角平分线， ∴； 【小问详解】(3)小问详解： ∵与的角平分线相交于， ∵、分别是和的角平分线， 在中，有一个角是另一个角的3倍，故有： ① ②（舍去） ③ ④（舍去） 或． 题型04　多角求和（五角星型） 1．五角星因其美观和深刻的象征意义，被广泛应用于旗帜、徽章设计中．如图是一个用于设计的标准正五角星，为确保图案对称协调，其五角顶角（，，，，）的度数必须相等．设计师需要知道这个角度的大小以便于制图，那么这个角的度数应为（ ） A. C. B. D. 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和三角形外角的定义和性质，设，由三角形外角的定义可知，，再根据三角形内角和定理得出，解出即可得出答案． 【详解】解：设， 则，， ∵， ∴， 解得， 故选B． 2．如图，在由线段组成的平面图形中，，则的度数为（ ）． A. C. B. D. 【答案】C 【分析】如图标记，然后利用三角形的外角性质得，，再利用互为邻补角，即可得答案． 【详解】解：如下图标记， ， ， ， 又， ， ， ， 故选C． 【点睛】此题考查了三角形的外角性质与邻补角的意义，熟练掌握并灵活运用三角形的外角性质与邻补角的意义是解答此题的关键． 3．如图，图中的度数为（ ） A. C. B. D. 【答案】A 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，三角形外角的定义和性质，设与，分别交于点，，与交于点，由三角形外角的定义得出，，则同理进而转化成求五边形的内角和求解即可． 【详解】解：设与，分别交于点，，与交于点， 则，， 同理 ． 故选A 4．如图，A，B，C，D，E，F是平面上的6个点，则的度数是________． 【答案】##度． 【分析】延长交于，与相交于，由三角形的外角得，，再由四边形内角和为即可求解． 【详解】解：延长交于，与相交于， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的外角及四边形内角和；通过“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”将角进行转换到四边形中是解题的关键． 5．中华人民共和国五星红旗上大五角星代表中国共产党，四颗小五角星代表工人、农民、小资产阶级和民族资产阶级四个阶级．五颗五角星互相连缀、疏密相间，象征中国人民大团结．每颗小星各有一个尖角正对大星中心点，表示人民对党的向心之意，如图①：根据图形填空： （1）______，______； （2）____________； 【应用】 （3）如图②．求的度数． 【答案】（1），；（2），；（3） 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟知三角形三个内角的和为，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． （1）由三角形外角的性质解答即可； （2）由三角形内角定理解答即可； （3）由三角形外角的性质得，，由三角形内角定理得，从而问题得解． 【详解】解：（1）由三角形外角的性质得，， 故答案为：，； （2）由三角形内角定理得， ， 故答案为：，； [应用] （3）如图②，由三角形外角的性质得，， 由三角形内角定理得， ． 6．（1）如图①，求的度数； （2）如图②，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】考查三角形的内角和、多边形的内角和的计算方法． （1）连接，根据三角形的内角和定理得，进而将问题转化为求四边形的内角和； （2）与（1）方法相同转化为求六边形的内角和． 【详解】解：（1）如图①，连接， 由三角形的内角和定理得，， ， 即四边形的内角和，四边形的内角和为， ； （2）如图②， 由（1）方法可得：， ∴ ． 7．一般地，我们把如图1这样的图形称为“8字形”，它满足，请利用以上信息，试求出图2中的度数． 【答案】 【分析】此题考查了三角形内角和定理，多边形内角和公式；连接，首先利用图1的结论可得，然后求五边形的内角和即可． 【详解】解：如图，连接． 由题意易知，， ． 8．利用图形建构几何直观，可以轻松实现空间形式和数量关系的相互转化． （1）如图1，求证：． （2）应用（1）中结论，若图2中，，则，，，，，的度数之和等于________． （3）如图3，，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【分析】（1）延长交于，利用三角形外角定理，两次转化角的关系证明结论； （2）利用（1）的结论，结合对顶角相等，将六个角分组求和； （3）连接，两次应用（1）的结论，将角的和转化为已知角的和． 【小问详解】(1)小问详解： 证明：延长交于， ，， ； 【小问详解】(2)小问详解： 解：利用(1)中结论： 在四边形 中， ； 在四边形 中， ． ∵ 与 是对顶角， ∴ 即 的度数之和等于． 【小问详解】(3)小问详解： 解：连接，同（1）可得，①，②， ①+②得，， 即． 9．结合图形，填空 （1）如图①，若，则________． （2）如图②，，则的度数为________． 【答案】① ② 【分析】（1）由三角形的外角与内角的关系及三角形的内角和定理可知：，，，根据题中所给条件代换得，即可求出的度数； （2）由三角形的外角与内角的关系得，，推出，同理，，则，即可得出答案． 【详解】解：（1）如图①． ，， ． 又， ． ， ， ． （2）如图②． ， ， ． ， ， ， ． 10．如图①所示为五角星图案，图②、图③叫做蜕变的五角星，试回答以下问题． （1）在图①中，__________； （2）对于图②或图③，还能得到同样的结论吗？若能，请在图②或图③中任选其一证明你的发现；若不能，试说明理由． 【答案】（1） （2）解：结论仍然成立，以图③为例； 延长交于，设与的交点为； 同（1）可知：，； 在中，， ． 以图②为例：如图所示， 根据三角形外角可知：，， 在中，， ． 【分析】（1）设与、的交点分别为、，可分别在和中，由三角形的外角性质求得、，进而在中根据三角形内角和定理得出所求的结论． （2）图②、③的证法与图①的解法是一致的，以图③为例；延长交于，设与的交点为，分别在、中，由三角形的外角性质求得、，继而在中，根据三角形内角和定理得到所求的结论． 【小问详解】(1)小问详解： 解：如图①，设、与的交点为、； 和中，由三角形的外角性质知： ，； 在中，， 所以， 故答案为：． 【小问详解】(2)小问详解： 略 【点睛】此题主要考查的是三角形内角和定理以及三角形的外角性质，掌握三角形的外角等于不相邻的两个内角和是关键． 题型05　新定义三角形（特征/友好/准互余） 1．阅读下列材料并解答问题： 在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的2倍，那么这样的三角形我们称为“优雅三角形”，其中称为“优雅角”．例如：一个三角形三个内角的度数分别是、、，这个三角形就是“优雅三角形”，其中“优雅角”为．反之，若一个三角形是“优雅三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的2倍． （1）一个“优雅三角形”的一个内角为，若“优雅角”为锐角，则这个“优雅角”的度数为 ． （2）如图1，已知，在射线上取一点A，过点A作交于点B，以A为端点画射线交线段于点C（点C不与点O、点B重合）．若是“优雅三角形”，求的度数． （3）如图2，中，点D在边上，平分交于点E，F为线段上一点，且，．若是“优雅三角形”，求的度数． 【答案】（1） （2）的度数为或或 （3）， 【分析】（1）由“优雅三角形”的定义可得另两个角之和为，即可求解； （2）①当“优雅角”为时，可求另一个角为，可求，即可求解；②当另两个角中有“优雅角”时，另两个角分别为：，，即可求解； （3）解：可证，，①当，时，，，，即可求解；②当，时，，，即可求解；③当，时，可求，即可求解；④当，时，可求，，即可求解；⑤当，，可求，，⑥当，时，，，即可求解． 【小问详解】(1)小问详解： 解：由题意得 一个“优雅三角形”的一个内角为， 另两个角之和为：， “优雅角”为锐角， “优雅角”为，另一个角为． 【小问详解】(2)小问详解： 解：交于点B， ， ，是“优雅三角形”， ①当“优雅角”为时， 另一个角为， ， ； ②当另两个角中有“优雅角”时， 另两个角之和为， 根据“优雅三角形”的定义，另两个角分别为：，， 当时，， 当，． 综上所述：的度数为或或． 【小问详解】(3)小问详解： 解：， ， ， ， 平分交于点E， ， ， 是“优雅三角形”， ①当，时， ， ， ， ， 解得， 故； ②当，时， ， ， ，不成立， 故此情况不存在； ③当，时， ， ， ， ， 解得， ； ④当，时， ， ， ， ， 解得， ； ⑤当，时， ， ， ， 解得：， ； ⑥当，， ， ， ，不成立， 综上所述，∠C的度数为：，． 【点睛】本题考查了几何新定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的判定及性质等，理解新定义，掌握相关的性质是解题的关键． 2．定义：若三角形的两个内角与满足，则称该三角形为“准互余三角形”，与为“准互余角”． （1）下列各组给出了三角形的三个内角，其中能构成“准互余三角形”的是___________（填序号）． ①②③． （2）若为“准互余三角形”，，和是“准互余角”，求的度数． （3）如图，在中，，若平分，试说明．“准互余三角形”． 【答案】（1） （2） （3）解：是“准互余三角形”，理由如下： ∵平分， 又∵是的外角，且 ， ， ， ∴是“准互余三角形”． 【分析】本题考查了“准互余三角形”定义，三角形内角和定理，角平分线定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据“准互余三角形”即可求解； （）根据“准互余三角形”可得，然后通过三角形内角和定理即可求解； （）根据“准互余三角形”进行求证即可． 【小问详解】(1)小问详解： 解：根据题意可得， ，，，不符合题意； ，能构成“准互余三角形”； ，能构成“准互余三角形”； 故选：； 【小问详解】(2)小问详解： 解：∵为“准互余三角形”，与为“准互余角”， ， ， ， 又， ； 【小问详解】(3)小问详解： 略 3．定义：如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． （1）若是“准互余三角形”，，，则 °； （2）若是直角三角形，． ①如图，若是的角平分线，请你判断是否为“准互余三角形”？并说明理由． ②点是边上一点，是“准互余三角形”，若，求的度数． 【答案】（1） （2）①是“准互余三角形”，理由如下；∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是“准互余三角形”； ②或 【分析】本题考查了三角形内角和定理，余角和补角，理解“准互余三角形”的定义是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． （1）根据“准互余三角形”的定义，由于三角形内角和是，，，只能是； （2）①由题意可得，所以只要证明与满足，即可解答， ②由题意可得，所以分两种情况，或． 【小问详解】(1)小问详解： 解：∵是“准互余三角形”， ，， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问详解】(2)小问详解： 解：略； ②∵点是边上一点，， ∴， ∵是“准互余三角形”， ∴或， ∵， ∴或， 当，时，， 当，时，， ∴的度数为：或． 4．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为的三角形是“灵动三角形”；三个内角分别为的三角形也是“灵动三角形”等等．如图，，在射线上找一点A，过点A作于点A，交于点B，以A为端点作射线，交线段于点C，规定． （1）_____（填“是”或“不是”）灵动三角形； （2）当为“灵动三角形”时，求的度数（不满足题意的情况解答时不用讨论）． 【答案】（1）是 （2）或或 【分析】本题考查了三角形内角和定理，新定义问题，准确理解新定义，灵活运用分类思想是解题的关键． （1）利用三角形内角和定理求得，根据“灵动三角形”的定义即可得到答案； （2）分三种情况讨论，①当，②当，③当，利用三角形内角和定理即可求解． 【小问详解】(1)小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴是“灵动三角形”． 故答案为：是． 【小问详解】(2)小问详解： 解：①当时， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②当时， 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴； ③当时， 由（1）可知，， ∵ ∴， ∴， ∴； 综上所述，满足条件的值为或或． 5．【概念认识】 如图①，在中，若叫做的“三分线”．其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”． 【问题解决】 （1）如图②，在，，若∠B的三分线交于点D，求的度数； （2）如图③，在中，分别是邻三分线和邻三分线，，求∠A的度数； 【延伸推广】 （3）在中，是的外角，的三分线所在的直线与的三分线所在的直线交于点P．若，直接写出的度数．（用含m的代数式表示） 【答案】（1）或 （2） （3）或或或 【分析】（1）根据题意可得当是“邻三分线”时，；当是“邻三分线”时，； （2）结合（1）根据、分别是邻三分线和邻三分线，且，即可求的度数； （3）分4种情况进行画图计算：情况一：如图①，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，可得；情况二：如图②，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，可得；情况三：如图③，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，可得；情况四：如图④，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，可得，进而解答． 【小问详解】(1)小问详解： 解：如图， 当是“邻三分线”时，； 当是“邻三分线”时，； 【小问详解】(2)小问详解： 解：在中， ， ， 又、分别是邻三分线和邻三分线， ， ， 在中，， ； 【小问详解】(3)小问详解： 解：分种情况进行画图计算： 情况一：如图①，当、分别是邻三分线，邻三分线， ； 情况二：如图②，当BP和CP分别是“邻BC三分线”， 邻三分线， ； 情况三：如图③，当BP和CP分别是“邻BC三分线”， 邻三分线， ； 情况四：如图④，当BP和CP分别是“邻AB三分线”， 邻三分线， ； 综上所述：的度数为：或或或． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，列代数式，利用分类讨论思想是解决本题的关键． 6．在一个三角形中，一个内角是另一个内角的5倍，我们称这样的三角形为“五倍角三角形”．如内角度数为的三角形是“五倍角三角形”．如图，，点在射线上，过点作，交于点，以为端点作射线，交射线于点． （1）的度数为 ， （填“是”或“不是”）“五倍角三角形”． （2）若，求证：为“五倍角三角形”． （3）当为“五倍角三角形”时，直接写出的度数． 【答案】（1），不是 （2）证明：∵， ， ， ∴为“五倍角三角形”； （3）或或或或 【分析】本题考查了三角形内角和定理、“五倍角三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． （1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出的度数，根据“五倍角三角形”的概念判断； （2）根据“五倍角三角形”的概念证明即可； （3）分点在线段和线段的延长线上两种情况，根据“五倍角三角形”的定义计算． 【小问详解】(1)小问详解： 解：∵， ， ，即， ， ∴为直角三角形，不是“五倍角三角形”， 故答案为：，不是； 【小问详解】(2)小问详解： 略 【小问详解】(3)小问详解： 解：∵为“五倍角三角形” （1）当点在线段上时， ，即， ， I、当时，则， ； II、当时，则， ∴此种情况不存在， III、当时， ， ， ； IV、当时， ， （舍去）； V 、当时， ， （舍去）； VI、当时， ， ， ∴此种情况不存在； （2）当点在线段的延长线上时， ， ， ， I、当时， ， ， ； II、当时， ， ， ， ； III、当时，则， ； IV、当时，则， ∴， ∴此种情况不存在， ∴当为“五倍角三角形”时，的度数为或或或或． 7．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．如的三角形是“智慧三角形”．如图，，在射线上找一点A，过点作交于点，以为端点作射线，交射线于点． （1）的度数为_______°，______（填“是”或“不是”）智慧三角形； （2）若，求证：为“智慧三角形”； （3）当为“智慧三角形”时，求的度数． 【答案】（1）30；是 （2）见解析 （3）的度数为或或或或或 【分析】本题属于几何综合题，考查的是三角形内角和定理、“智慧三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． （1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出的度数，根据“智慧三角形”的概念判断； （2）根据“智慧三角形”的概念证明即可； （3）分点在线段和线段的延长线上两种情况，根据“智慧三角形”的定义计算． 【小问详解】(1)小问详解： 解：∵， ∴， ∴的度数为 ∴， ∴为直角三角形，是“智慧三角形”， 故答案为：30；是； 【小问详解】(2)小问详解： ∵， ∴， ∴为“智慧三角形”； 【小问详解】(3)小问详解： ∵为“智慧三角形” ①当点在线段上时， ∵， ∴， I、当时，， ∴， II、当时， ∴ ∴此种情况不存在， III、当时， ∴， ∴， ∴， IV、当时， ∴， ∴， ∴(舍去)， V、当时， ∴， ∴(舍去)， VI、当时， ∴， ∴， ∴此种情况不存在， ②当点在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∴， 1．当时， ∴， ∴， ∴， II、当时， ， 当为“智慧三角形”时，的度数为或或或． 8．【概念理解】在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么我们称这样的三角形为“完美三角形”．例如三个内角分别为的三角形是“完美三角形”． 【简单应用】如图①，，在射线上找一点A，过点A作交射线于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（点C不与点O，B重合）． （1）______°，______°，______“完美三角形”（填“是”或“不是”）； （2）若，求证：是“完美三角形”； 【应用拓展】如图②，点在的边上，连接平分，．若是“完美三角形”，请直接写出的度数． 【答案】[简单应用]（1）18，72，是；（2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴是“完美三角形”； [应用拓展]或 【分析】（1）利用垂直得出直角三角形，求出各角的度数，根据“完美三角形”的定义进行判断即可； （2）利用垂直得出直角三角形，求出各角的度数，根据“完美三角形”的定义进行判断即可； （3）利用角平分线的定义和平行线的性质得出，然后分两种情况进行讨论，根据“完美三角形”的定义求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴； ； ∵， ∴是“完美三角形”； 故答案为：18，72，是； （2）略 （3）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据“完美三角形”的定义得， 当时，， ∴； 当时，， ∴， ∴； ∴的度数为或． 【点睛】本题主要考查了垂直的定义，直角三角形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握以上性质，并理解新定义． 9．【定义】在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这个三角形为“二倍角三角形”、例如：在中，，，则为“二倍角三角形”． 【理解】若为“二倍角三角形”，，则这个三角形中最小的内角为______； 【应用】已知是“二倍角三角形”中最小的内角，通过计算确定的最大取值； 【拓展】如图，平分的内角，交于点E，平分的外角，延长和交于点G，且，当是二倍角三角形，直接写出的度数． 【答案】[理解]20；[应用] ；[拓展] 或或 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、三角形的外角性质、角平分线的定义等知识点，掌握分类讨论思想、方程思想、数形结合思想成为解题的关键． [理解]设的最小，则，然后根据三角形的内角和即可解答； [应用]由是“二倍角三角形”的最小角，不妨假设，则，，由三角形的内角和得，由此可得出，进而解得，据此即可解答； [拓展]先设，再用的代数式表示出，然后根据“二倍角三角形”的定义进行分类讨论即可解答． 【详解】解：[理解] 设的最小，则， ∵，， ∴，解得：． 故答案为：20． [应用] 不妨假设，则，， ∵， ∴，即：， ∵， ∴，解得：， ∴的最大取值为． [拓展] 设， ∵为的平分线， ∴， ∵是是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴，解得：， 又∵是二倍角三角形， ∴有以下六种情况： ①当时，则，解得：， ； ②当时，则，解得：，不合题意，舍去； ③当时，则，解得：，不合题意，舍去； ④当时，则，此方程无解； ⑤当时，则，解得：， ∴； ⑥当时，则，解得：， ∴． 综上所述：当或或时，是二倍角三角形． 10．【定义】在一个三角形中，如果有一个内角是另一个内角的2倍，那么我们称这两个内角互为“开心角”，这个三角形叫作“开心三角形”．例如，在中，，则与互为“开心角”，为“开心三角形”． 【理解】 （1）若为“开心三角形”，，则这个三角形中最小的内角度数为______． （2）若为“开心三角形”， ，则这个三角形中最小的内角度数为______． 【应用】 （3）如下图，平分的内角，交于点E，平分的外角，分别延长和，交于点P．已知，若在“开心三角形”中，与另一个角互为“开心角”，设，求的值． 【答案】（1）；（2）或；（3）或或 【分析】（1）根据“开心三角形”的定义结合三角形的内角和定理即可得到答案. （2）根据“开心三角形”的概念分两种情况求解即可. （3）分与互为“开心角”和与互为“开心角”两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）解：设最小的角为，为“开心三角形”， 故答案为： （2）当是“开心角”，则最小的角是， 当不是“开心角”，设最小的角为，， 故答案为： （3）分两种情况讨论：①当与互为“开心角”时，或． 平分，平分， ． ， ，即或， 解得（第一个方程无解，即不成立）； ②当与互为“开心角”时，或， 即或， 同①可得，或， 解得或． 综上所述，的值为或或． 题型06　设参导角 1．两张直角三角形纸片如图1摆放，点D在上，，． （1）证明：． （2）如图2，分别作分别作与的平分线交于点F，若，求的度数； （3）如图3，点P，G分别在线段，上，连接，作的平分线交于点Q，若点H是线段上一点，连接，且．设，，，求，，之间的数量关系． 【答案】（1）证明：， 又，， ， ； （2） （3） 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，内错角相等两直线平行，直角三角形的两个锐角互余，角平分线的有关计算，平行公理推论的应用，两直线平行内错角相等，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握三角形内外角之间的有关计算是解题的关键． （1）由三角形的内角和定理可得，利用已知条件，及等式的性质可得，根据内错角相等两直线平行即可得证； （2）由直角三角形的两个锐角互余及已知条件可得，由与的平分线交于点可得，过作，由平行公理推论可得，由两直线平行内错角相等可得，，由即可得出答案； （3）设，则，，由（1）可得，利用平行线的性质可得，，由三角形外角的性质可得，，由、可得，利用等式的性质消去即可得出，，之间的数量关系． 【小问详解】(1)小问详解： 略 【小问详解】(2)小问详解： 解：，， ， 与的平分线交于点， ，， ， 如图，过作， 由（1）可得：， ， ，， ； 【小问详解】(3)小问详解： 解：如图，当在线段上， 设，则，， 由（1）可得：， ，， ， ， ，，，的平分线交于点Q， ，， 由、可得： ， ，，之间的数量关系为：． 2．【题目】如图①，在中，，平分，于点．试探究与，的数量关系． 【探究】小明尝试代入，的值求的值，得到下面几组对应值： （单位：度） 70 75 80 （单位：度） 30 45 20 （单位：度） 20 15 a （1）上表中________，猜想得到与，的数量关系为________； （2）证明（1）中猜想得到的与，的数量关系； 【应用】如图②，在中，平分，是线段上一点，于点．若，，则的大小为________度； 【拓展】如图③，在中，，平分，点在的延长线上，于点，分别作和的平分线，交于点．设，，则的大小为__________（用含，的式子表示）． 【答案】探究：（1）30，；（2）证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， ，； 应用：15； 拓展： 【分析】探究： （1）根据三角形内角和等于，求得，根据三角形的角平分线可求得，再根据直角三角形的两锐角互余可求得，由此即可得到答案； 根据表中三组数据即可猜想与，的数量关系； （2）根据三角形内角和等于，求得，根据三角形的角平分线可求得，然后根据直角三角形的两锐角互余可求得，最后计算即可证得答案； 应用： 根据三角形的角平分线可求得，根据三角形内角和等于，求得，再根据直角三角形的两锐角互余即可得到答案； 拓展： 根据三角形内角和等于，求得，根据三角形的角平分线可求得，，再根据三角形的外角定理可求得，进一步计算即可求得答案． 【详解】探究： （1）当，时， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：30． 根据表中三组数据可猜想与，的数量关系为：， 故答案为：． （2）略 应用： 平分，， ， ， ， ， ， 故答案为：15． 拓展： 当，时，如图④，记与交于点M， ， 平分， ， 平分， ， ，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角定理，直角三角形的性质，三角形的角平分线，熟知相关知识并能灵活运用是解答本题的关键． 3．当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．例如：在图①、图②中都有．设镜子与的夹角． （1）如图①，若，判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由． （2）如图②，若，入射光线与反射光线的夹角．探索与的数量关系，并说明理由． （3）如图③，若，设镜子与的夹角为钝角，入射光线与镜面的夹角．已知入射光线从镜面开始反射，经过为正整数，且）次反射，当第次反射光线与入射光线平行时，请直接写出的度数（可用含的代数式表示）． 【答案】（1）， 理由如下：在中， ， ， ， ； （2）， 理由如下：在中， 在中， ； （3）或 【分析】（1）根据，可得，进而得出利用同旁内角互补，两直线平行加以证明； （2）根据，得出利用三角形的外角性质证明即可； （3）分两个镜面夹角为直角和钝角两种情形求解即可． 【小问详解】(1)小问详解： 略 【小问详解】(2)小问详解： 略 【小问详解】(3)小问详解： 或 如图，当夹角为钝角时，根据（2）中的结论，得 ， 根据平行线性质，得： ， ∴； 如图，当夹角为直角时，根据（1）中的结论，得 ， 根据三角形外角性质，得： ∴． ∴的度数为或． 【点睛】本题考查了平行线的性质，轴对称的性质，数学的分类思想，三角形内角和定理，类比思想，根据前面的结论，灵活进行分类求解是解题的关键． 4．综合与实践 问题情境：数学课上，同学们在三角形中增加一些几何元素，探索角之间的数量关系．已知在中，，的平分线交于点D．点P是边上的一个动点，过点P作交边于点E．设的度数为． 初步探究：（1）如图，当点P在线段上运动时（不与A，D重合），善思小组的同学作的外角的平分线，交的延长线于点F．他们提出如下问题．请你解答： ①当时，求的度数； ②用含的代数式表示的度数为__________； 深入探究：（2）类比（1）的思路，善思小组进一步探究点P在线段上运动时的情形（不与C，D重合），他们作的外角的平分线PN，交直线于点F（点F不与点B重合），发现与之间存在一定的数量关系．请直接写出相应的的度数．（用含的代数式表示） 【答案】（1）①，②；（2）或 【分析】本题是三角形综合题，考查了角平分线的性质，三角形外角的性质，平行线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）①先求出的度数，由外角的性质可求解； ②先求出的度数，由外角的性质可求解； （2）分为两种情况：当点F在线段上时及当点F在线段的延长线上时，分类讨论求解即可． 【详解】解：（1）①，平分， ， ， ，， ， 平分， ， ， ， ； ②，平分， ， ， ，， ， 平分， ， ， ， 故答案为：； （2）如图2，当点F在线段上时， ①，平分， ， ， ，， ， 平分， ， ， ． ②如图3，当点F在线段的延长线上时， ，平分， ， ， ， ，， ， 平分， ， ， ， ， 综上所述，或． 5．在中，与的平分线相交于点． （1）如图1，如果，求的度数； （2）如图1，如果，用含的代数式表示； （3）探索：如图2，作外角的平分线交于点，试写出之间的数量关系； （4）拓展：如图3，延长线段交于点，中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出的度数． 【答案】（1） （2） （3） （4）或或或 【分析】（1）根据已知条件和角平分线的性质，求出和，再利用三角形内角和定理进行计算； （2）根据已知条件和角平分线的性质，把和用和表示出来，再利用表示出来，最后利用三角形内角和定理进行代换即可； （3）根据已知条件和角平分线的性质，求出和，再利用三角形内角和定理进行计算； （4）根据已知条件求出的度数，然后由（3）求出的，利用三角形内角和求出，再分4种情况讨论，求出的度数． 【小问详解】(1)小问详解： 解：分别是和的角平分线，， ， ， ； 【小问详解】(2)小问详解： 解：分别是和的角平分线， ， ， ； 【小问详解】(3)小问详解： 解：分别是的角平分线， ，， ， ，， ， ， ， ； 【小问详解】(4)小问详解： 解：是的角平分线，是的角平分线， ， ， ， ， 由（3）知， ， ， ∵在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，， 都是锐角， ∴分四种情况讨论： ①， ， ， ； ②， ， ； ③， ， ， ， ④， ， 解之得：， 综上可知：的度数为或或或． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的性质，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键． 6．在中，，D，E分别是边AC，AB上的点（不与点A，B，C重合）．P是平面内一动点（点P与点D，E不在同一直线上，且不与点B，C重合）．设，，． （1）若点P在边BC上运动，如图①所示，则______．（用含的代数式表示）． （2）若点P在ABC的外部，如图②所示，写出，，之间的数量关系，并说明理由． （3）延长BC，当点P在BC的延长线上运动时，写出对应的，，之间的关系式，并证明． 【答案】（1） （2）解：．理由如下： 如图（2），设与交于点． ∵， ∴， ∴． （3）解：或．证明： 如图（3），， 理由如下：∵， ， ∴； 如图（4），同理可得：； ∴，，之间的关系式：或． 【分析】（1）连接，由三角形外角的性质推出，，即可得到结论； （2）由三角形外角的性质得到，，由对顶角的性质得到； （3）由三角形外角的性质即可求解． 【小问详解】(1)小问详解： 如图（1），连接， ∵，， ∴， 故答案为：. 【小问详解】(2)小问详解： 略 【小问详解】(3)小问详解： 略 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理和三角形的外角的性质的综合运用，灵活运用定理进行计算是解题的关键，在画图时，要全面考虑问题，不要只画出一种． 7．如图1，已知两条直线被直线所截，分别交于点E，点F，平分交于点M，且． （1）判断直线与直线是否平行，并说明理由： （2）如图2，点G是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点H，过点H作于点N，设，． ①当点G在点F的右侧时，若，求的度数： ②当点G在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． 【答案】（1）．理由见解析 （2）①；②或． 【分析】本题考查三角形的内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义等知识，掌握角平分线的定义以及平行线的性质解题的关键． （1）根据角平分线的性质及等量代换证明即可． （2）①根据三角形内角和定理得出，根据角平分线的定义，利用平角的定义求出的度数，根据平行线的性质求，即可解决问题； ②分为当点在的右侧时及当点在的左侧时，这两种情况进行讨论，根据平行线的性质求，利用平角的定义表示的度数，根据角平分线的定义表示即可解决问题． 【小问详解】(1)小问详解： 解：结论：． 理由：如图1中， 平分交于点， ， ． ， ． 【小问详解】(2)小问详解： 解：①如图2中， ， ， ， ． 平分， ， ， ， ，则， ， ， ， ， ； ②猜想：或； 理由：当点在的右侧时， ， ， ， ，， ， ， ， ． 当点在的左侧时， ， ∴， ，， ， ， ， ． 综上所述，或． 8．受自行车尾灯设计的启发某班开展项目式学习，以下是某小组的活动记录． 探究“进入光线和离开光线夹角与镜子夹角的关系”项目活动记录 项目背景 如图1，两个互相垂直的平面镜（），根据光的反射定律，入射角等于反射角，即，， ∵，，，， ∴，，（① ）． ∵，（② ）， ∴． ∵， ∴． ∴m∥n． 实验探究 如图2，在同一平面内，两块平面镜AB，BC的夹角为（）；用一束激光射到平面镜AB上，分别经过平面镜AB，BC两次反射后，进入光线m与离开光线n形成的夹角为；多次调整两块平面镜的夹角，并进行测量记录，得到多组和的值，数据如下： 10° 30° 50° 70° 160° 120° 80° 40° 建立模型 根据表中信息，猜想与之间的关系为③ （）；由项目背景知：，，… 深入思考 如图3，有三块平面镜AB，BC，CD，镜子AB与BC的夹角，入射光线FE与平面镜AB的夹角（），入射光线EF从镜面AB开始反射，经过n（n为正整数，且）次反射，反射光线与入射光线EF平行时，∠BCD的度数为 （可用含有m的代数式表示）． 请你结合活动记录完成以下任务： （1）①的依据定理是 ，②的依据定理是 ； （2）③猜想与之间的关系为 ，并说明理由； （3）∠BCD的度数为 ． 【答案】（1）等角的余角相等；三角形的内角和等于 （2），如图，为法线， 则， ∴， 在中， , ∴， 在中， ， 在四边形中， ∵， ∴， ∴， ∴ ； （3）或 【分析】本题考查了平行线，熟练掌握平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线定义，四边形内角和，注意分类讨论，是解决本题的关键． （1）根据余角性质，三角形内角和性质回答即可； （2）结合光的反射，得，得得，，根据，得； （3）分三种情况画图讨论：①当时，可得，∴，，得，，得；②当时，根据， ，得．③当时,根据，解得，不成立． 【小问详解】(1)小问详解： 解：，， ∵，，，， ∴，，（等角的余角相等）． ∵，（三角形的内角和等于）， ∴． ∵， ∴． ∴． 故答案为：等角的余角相等；三角形的内角和等于 【小问详解】(2)小问详解： 略 【小问详解】(3)小问详解： 解：或．理由如下： ①当时， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 由内角和， 得； ②当时， 如果在边反射后与平行， 则， 与题意不符； 则只能在边反射后与平行， ∵， ∴， 由， 可得， ∴， ∴； ③当时, ∵反射光线直接与平行，入射光线与平面镜的夹角， ∴， 解得， 此时与镜面垂直， 这与矛盾， 时不成立． 综上所述：的度数为或． 故答案为：或． 9．[问题背景] （1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明． [简单应用]（可直接使用问题（1）中的结论） （2）如图2，、分别平分、， ①若，，求的度数； ②和为任意角时，其他条件不变，试直接写出与、之间数量关系． [问题探究] （3）如图3，直线平分的邻补角，平分∠ADC的邻补角， ①若，，则的度数为___________； ②和为任意角时，其他条件不变，试直接写出与、之间数量关系． [拓展延伸] （4）在图4中，若设，，，，试问与、之间的数量关系为___________；（用x、y的代数式表示） （5）在图5中，直线平分，平分的外角，猜想与、的关系，直接写出结论___________． 【答案】（1）见解析 （2）① ，② （3）①，② （4） （5） 【分析】（1）利用三角形内角和定理解决问题即可； （2）①设∠BAP=∠PAD=x，∠BCP=∠PCD=y，利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题； ②由①的结论即可得到数量关系； （3）①如图3中，设∠CBJ=∠JBF=x，∠ADP=∠PDE=y．利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题； ②与（3）中①相同； （4）如图4中，设∠CAP=α，∠CDP=β，则∠PAB=3α，∠PDB=3β，利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题； （5）如图5中，延长AB交PD于J，设∠PBJ=x，∠ADP=∠PDE=y．利用（1）中结论，构建共线时即可解决问题． 【小问详解】(1)小问详解： 解：如图1中， ∵，，， ∴； 【小问详解】(2)小问详解： 解：①如图2中， 设，， 则有， ∴， ∴， ∴； ②由①得：； 【小问详解】(3)小问详解： 解：①如图3中，设，， 则有， ∴， ∴； 故答案为： ； ②设， 则有， ∴； 【小问详解】(4)小问详解： 解：如图4中，设，，则，， 则有， ∴ ， ∴， 故答案为； 【小问详解】(5)小问详解： 解：如图5中，延长交于J，设， 则有， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，“8字型”四个角之间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $