第14章《全等三角形》【易错点专项训练卷】2026-2027学年人教版数学八年级上册

第14章《全等三角形》【易错点专项训练卷】2026-2027学年人教版八年级上册数学 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如图，△ABC 与△DEF 全等，其中点 A 与点 D、点 B 与点 F 是对应顶点，AB 与 DF 是对应边．若∠C＝50°，AC＝6，则下列结论正确的是（　　） A．∠F＝50°，EF＝6 B．∠E＝50°，DE＝6 C．∠E＝50°，EF＝6 D．∠F＝50°，DE＝6 【答案】 B 【解析】 由对应顶点 A 与 D、B 与 F 可知，点 C 与点 E 是对应顶点，所以∠E＝∠C，AC 与 DE 是对应边，DE＝AC＝6． 因为∠C＝50°，所以∠E＝50°． 所以∠E＝50°、DE＝6，选 B． 【易错警示】本题的坑是「对应关系由文字确定，与图形摆放的左右顺序无关」．不少同学按图上位置把点 F 与点 C 配对、把 EF 与 AC 配对，于是错选 A 或 C．判断对应元素只有一条依据：题目文字（或全等符号）中字母的先后顺序——点 A 对点 D、点 B 对点 F，剩下的点 C 就只能对点 E． 2．下列说法中正确的是（　　） A．面积相等的两个三角形全等 B．周长相等的两个三角形全等 C．能够完全重合的两个三角形全等 D．三个角分别相等的两个三角形全等 【答案】 C 【解析】 全等三角形的定义是「能够完全重合的两个三角形」，所以 C 正确． A 错：面积相等的两个三角形形状可以完全不同，例如两个底与高互换的三角形； B 错：周长只说明三条边的长度之和相等，例如边长分别为 3、4、5 与 4、4、4 的两个三角形周长都是 12，但它们并不全等； D 错：三个角分别相等只说明形状相同，边长可以按同一个倍数放大或缩小，例如边长 3、4、5 与 6、8、10 的两个三角形． 【易错警示】「面积相等」「周长相等」「三个角分别相等」都不是全等条件，它们只说明了一部分信息．特别要注意 D 选项：三个角分别相等（AAA）只能保证两个三角形形状相同，不能保证大小相同，所以不能判定全等．判断全等的唯一标准是「能否完全重合」，实际判定时要用 SSS、SAS、ASA、AAS 或 HL． 3．如图，△ABC 与△DEF 都是直角三角形，∠A＝∠D＝90°，AB＝DE，AC＝DF．小明说：「这两个三角形可以用 HL 判定全等．」下列说法正确的是（　　） A．小明的说法正确，因为两个三角形都是直角三角形，并且有两组边分别相等 B．两个三角形全等，但依据是「SAS」，不是「HL」 C．两个三角形全等，依据是「ASA」 D．两个三角形不一定全等 【答案】 B 【解析】 因为∠A＝∠D＝90°，所以∠A 是 AB 与 AC 的夹角，∠D 是 DE 与 DF 的夹角． 在△ABC 和△DEF 中，AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DF， 所以△ABC≌△DEF（SAS）． 本题给出的是两条直角边，不是「斜边和一条直角边」，所以依据应写成 SAS． 【易错警示】HL 的使用前提非常严格：两个三角形都必须是直角三角形，并且已知的条件必须是「斜边和一条直角边分别相等」．本题中 AB、AC 都是直角边，BC 才是斜边，题目并没有给出 BC＝EF，所以用不上 HL．把 SAS 写成 HL 属于依据错误——即使结论对，步骤分也会被扣． 4．关于两个三角形全等的判定方法，下列说法中错误的是（　　） A．三边分别相等的两个三角形全等，简写成「SSS」 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成「SAS」 C．两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等，简写成「SSA」 D．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成「ASA」 【答案】 C 【解析】 教科书给出的判定方法只有四种：SSS、SAS、ASA、AAS，再加上直角三角形专用的 HL，其中并没有「SSA」． A、B、D 的表述都正确． C 中「两边和其中一边的对角分别相等」就是常说的「边边角」，两个三角形不一定全等——已知两条边和其中一条边的对角，可以画出两个形状不同的三角形． 【易错警示】记住一条铁律：已知的两条边必须与已知的角相邻，即这个角必须是两条已知边的夹角，才能用 SAS；如果这个角是其中一条边的对角，就不能判定全等．C 选项把「边边角」包装成一个很像 SAS 的判定方法，是选择题里常见的陷阱． 5．关于角的平分线，下列说法中正确的是（　　） A．若点 P 在∠AOB 的平分线上，则 PA＝PB B．若点 P 到∠AOB 两边的距离相等，则点 P 一定在∠AOB 的平分线上 C．角的平分线上的点到角两边的距离相等，反过来，到角两边距离相等的点不一定在角的平分线上 D．若点 P 到∠AOB 两边的距离相等，则点 P 到点 A、点 B 的距离相等 【答案】 B 【解析】 角平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等． 角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． A 中的 PA 是点 P 到顶点 A 的线段，不是点 P 到边 OA 的距离，A 错． C 的后半句与判定定理矛盾，C 错． D 把「到角两边的距离」换成了「到顶点 A、B 的距离」，D 错． B 就是判定定理的内容，正确． 【易错警示】性质与判定是一对互逆的结论，方向千万不能混：由「点在平分线上」推「到两边距离相等」用的是性质；由「到两边距离相等」推「点在平分线上」用的是判定．两个方向说的「距离」都是点到角两边的垂线段的长，既不是点到顶点 A、B 的线段长，也不是点到平分线上某点的距离． 6．如图，在△ABC 中，D 是边 BC 上一点，BD＝CD，连接 AD．小明想用「SAS」证明△ABD≌△ACD，还需要添加的一个条件是（　　） A．∠B＝∠C B．∠BAD＝∠CAD C．AD⊥BC D．AB＝AC 【答案】 C 【解析】 要用 SAS 判定△ABD≌△ACD，三条依据应当是 BD＝CD、∠BDA＝∠CDA、DA＝DA． 现在已知 BD＝CD，DA 是公共边，还缺 BD 与 DA 的夹角∠BDA 等于 CD 与 DA 的夹角∠CDA． 因为点 B、D、C 在同一条直线上，所以∠BDA＋∠CDA＝180°．要使∠BDA＝∠CDA，只需它们都等于 90°，即 AD⊥BC． 所以应添加 AD⊥BC，选 C． 【易错警示】① 用 SAS 时，角必须是两条已知边的夹角，A、B 两个选项给出的角都不是夹角；② 选项 D（AB＝AC）虽然也能使两个三角形全等，但它的依据是 SSS，不符合题目「用 SAS」的要求，这正是本题的陷阱；③ 书写时别忘了交代「点 B、D、C 在同一条直线上」，否则「∠BDA 与∠CDA 互为邻补角」这一步就没有依据． 7．在△ABC 中，∠A 与∠B 的平分线相交于点 P．若点 P 到边 BC 的距离为 2，则点 P 到边 AB 的距离为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 B 【解析】 因为点 P 在∠B 的平分线上，由角平分线的性质，点 P 到 BA、BC 两边的距离相等． 点 P 到 BC 的距离为 2，所以点 P 到 AB 的距离也是 2． 选 B． 【易错警示】本题中「∠A 的平分线」其实用不上——只要点 P 在∠B 的平分线上，它到 BA、BC 两边的距离就相等，与∠A 的平分线无关．不少同学看到「两条平分线」就急着去找相似或面积关系，反而绕远了．另外要注意，答案是点到边的垂线段长，不要误写成 PA 或 PB 的长． 8．在△ABC 中，D 是边 BC 上一点，且 BD＝CD．下列说法中正确的是（　　） A．AD 平分∠BAC B．AD⊥BC C．AD 是△ABC 中 BC 边上的中线 D．△ABD≌△ACD 【答案】 C 【解析】 因为 D 是边 BC 上一点且 BD＝CD，所以点 D 是 BC 的中点，AD 是 BC 边上的中线，C 正确． 由 BD＝CD 不能得到 AD 平分∠BAC，A 错． 由 BD＝CD 也不能得到 AD⊥BC，B 错． 在△ABD 和△ACD 中，只有 BD＝CD 与 AD＝AD 两组边相等（而且 AD 是公共边），属于边边角，不能判定全等，D 错． 【易错警示】「BD＝CD」只能推出点 D 是 BC 的中点，推不出「AD 平分∠BAC」，更推不出「AD⊥BC」．D 选项是最常见的错误：两组边相等再加一个公共边，看起来像 SSS，其实 SSS 要求三组边都相等，这里只有两组；而两组边加上公共边这种搭配是「边边角」，不能判定全等． 9．如图，把△ABC 沿 BC 所在直线平移得到△DEF，点 A、B、C 的对应点分别是点 D、E、F．若∠B＝70°，∠ACB＝50°，则∠E 的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．110° 【答案】 C 【解析】 平移前后两个三角形全等，对应关系由平移决定：点 A 与点 D、点 B 与点 E、点 C 与点 F 分别对应． 所以∠E＝∠B＝70°． 选 C． 【易错警示】本题的坑是「按图上的左右位置找对应角」．平移的对应关系是「平移前后处于同一相对位置的点互相对应」，因此∠E 的对应角是∠B，而不是图中位置偏左的∠ACB．条件∠ACB＝50° 是用来干扰的，只有问∠F 时才用得上它（∠F＝∠ACB＝50°）．可以自检一下：∠A＝180°－70°－50°＝60°，恰好是选项 B，那是给「算错对象」的同学准备的． 10．已知△ABC 与△DEF 全等，∠A＝50°，∠B＝60°，∠D＝50°，则∠F 的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．60° 或 70° 【答案】 D 【解析】 在△ABC 中，∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－50°－60°＝70°． 因为△ABC 与△DEF 全等，而∠D＝50°，只有∠A 也等于 50°，所以点 D 与点 A 是对应顶点． 于是点 E、F 与点 B、C 的对应关系有两种可能： ① 点 E 与点 B 对应、点 F 与点 C 对应，此时∠F＝∠C＝70°； ② 点 E 与点 C 对应、点 F 与点 B 对应，此时∠F＝∠B＝60°． 所以∠F 的度数为 60° 或 70°，选 D． 【易错警示】题目只说「△ABC 与△DEF 全等」，没有写成「△ABC≌△DEF」，因此字母顺序不再规定对应关系，必须自己判断——这是本章最容易漏解的地方．判断的顺序是「先由相等的角锁定一组对应顶点，再讨论其余顶点的配对」，凡是一上来就默认「按字母顺序对应」的，都会漏掉一个答案．假如题目写成「△ABC≌△DEF」，答案就是唯一的∠F＝70°． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．已知△ABC≌△DEF，△ABC 的周长为 21，AB＝6，DF＝7，则 BC 的长为＿＿＿＿． 【答案】 8 【解析】 由△ABC≌△DEF 可知 A 与 D、B 与 E、C 与 F 分别对应，所以 AC 与 DF 是对应边，AC＝DF＝7． 在△ABC 中，BC＝21－AB－AC＝21－6－7＝8． 【易错警示】判断对应边的唯一依据是全等符号中字母的位置：A 与 D 相对、B 与 E 相对、C 与 F 相对，于是 AC 与 DF 相对、BC 与 EF 相对．很多同学看到「AB＝6、DF＝7」就凭感觉把 DF 与 BC 扯上关系，把过对应关系弄错而算出 7．注意本题中 AC 与 BC 并不相等，用错对应关系一定会算错． 12．如图，CA＝CB，EA＝EB，连接 CE．若∠CAE＝72°，则∠CBE＝＿＿＿＿°． 【答案】 72 【解析】 在△CAE 和△CBE 中，CA＝CB，EA＝EB，CE＝CE（公共边）， 所以△CAE≌△CBE（SSS）． 由对应关系 C 与 C、A 与 B、E 与 E 得∠CBE＝∠CAE＝72°． 【易错警示】① 全等符号中的字母顺序必须与对应顶点一致．有的同学写成「△CAE≌△CEB」，这样一来 A 与 E 对应，由它推出的结论全是错的——写全等符号前要先把对应顶点对齐；② 公共边 CE 是隐含条件，列 SSS 的三条依据时不能漏写；③ 已知的只有 CA＝CB、EA＝EB，不要凭图形去「看出」∠ACE＝∠BCE 这类题目并未说明的结论． 13．如图，△ABC 与△DEF 都是直角三角形，∠B＝∠E＝90°，AC＝DF，AB＝DE．若 BC＝6，则 EF 的长为＿＿＿＿． 【答案】 6 【解析】 因为∠B＝90°，所以 AC 是 Rt△ABC 的斜边；因为∠E＝90°，所以 DF 是 Rt△DEF 的斜边． 在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，AC＝DF（斜边相等），AB＝DE（一条直角边相等）， 所以 Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），所以 EF＝BC＝6． 【易错警示】① HL 只适用于直角三角形，书写时必须先说明两个三角形都是直角三角形；② 用 HL 时要指清哪两条是斜边（AC 与 DF，即直角所对的边）、哪两条是直角边（AB 与 DE）；③ 本题并没有给出 BC＝EF，EF 的长是由全等推出来的——结论算对了而把依据写成 SAS，同样会被扣分． 14．在△ABC 和△DEF 中，AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D．由此可以判定△ABC 与△DEF＿＿＿＿（填「一定全等」或「不一定全等」）． 【答案】 不一定全等 【解析】 AB＝DE、BC＝EF 是两组边，∠A＝∠D 是其中的一个角，但∠A 是 BC 的对角，不是 AB 与 BC 的夹角． 这属于「边边角」（SSA），两个三角形不一定全等． 所以填「不一定全等」． 【易错警示】判断「边边角」的关键只有一句话：看这个角是不是两条已知边的夹角．本题中 AB 与 BC 的夹角是∠B，而题给的是∠A，它是 BC 的对角，所以不能用 SAS．如果题目把条件改为∠B＝∠E，那就成了「两边及其夹角」，可以用 SAS 判定全等．同时也要注意，SSS、ASA、AAS 在这里都用不上，因为条件都不齐全． 15．如图，OC 平分∠AOB，点 P 在 OC 上，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E．若 PD＝6，点 Q 是边 OB 上任意一点，则线段 PQ 长度的最小值是＿＿＿＿． 【答案】 6 【解析】 因为 OC 平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，由角平分线的性质得 PE＝PD＝6，即点 P 到 OB 的距离为 6． 点 Q 在 OB 上移动时，PQ 是点 P 与直线 OB 上一点 Q 之间的线段，由「垂线段最短」可知，当点 Q 与垂足 E 重合时 PQ 最短． 此时 PQ＝PE＝6，所以线段 PQ 长度的最小值是 6． 【易错警示】① 先用角平分线的性质求出点 P 到 OB 的距离，这是本题的关键一步；② PQ 与 PE 是「斜线段与垂线段」的关系，所以 PQ 一定不小于 PE，而且当 Q 与垂足重合时能取到 6——最小值是能取到的，不能答「无法确定」；③ 有同学误以为 PQ 恒等于 6，忽略了 Q 可以是 OB 上的其他点；也有同学忘掉「PE＝PD」这一步，答成别的数． 16．如图，点 D、E 分别在△ABC 的边 AB、AC 上，AD＝AE，AB＝AC，连接 DC、EB．若∠ADC＝68°，则∠AEB＝＿＿＿＿°． 【答案】 68 【解析】 在△ADC 和△AEB 中，AD＝AE，∠DAC＝∠EAB（同一个角），AC＝AB， 所以△ADC≌△AEB（SAS）． 由对应关系 A 与 A、D 与 E、C 与 B 得∠AEB＝∠ADC＝68°． 【易错警示】① ∠DAC 与∠EAB 其实是同一个角（都等于∠A），这是题目中的隐含条件，列 SAS 的三条依据时最容易漏掉；② 对应关系是 A 与 A、D 与 E、C 与 B，所以全等符号应写成「△ADC≌△AEB」，写成「△ADC≌△ABE」就把对应顶点弄反了；③ 只有 AD＝AE 与 AB＝AC 两组边相等是证不出全等的，公共角这个条件不可以少． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（5 分）如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，点 D 在边 BC 上，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F． （1）求证：△ADE≌△ADF； （2）若 AB＝10，AC＝6，△ABD 的面积为 15，求△ACD 的面积． 【答案】 （1）证明见解析；（2）9 【解析】 （1）证明：因为 DE⊥AB，DF⊥AC， 所以∠AED＝∠AFD＝90°． 因为 AD 平分∠BAC，所以∠EAD＝∠FAD． 在△ADE 和△ADF 中，∠AED＝∠AFD，∠EAD＝∠FAD，AD＝AD， 所以△ADE≌△ADF（AAS）． （2）解：由（1）得△ADE≌△ADF，所以 DE＝DF（全等三角形的对应边相等）． 因为 DE⊥AB，所以 DE 是△ABD 中 AB 边上的高， △ABD 的面积＝×AB×DE，即 15＝×10×DE，解得 DE＝3． 所以 DF＝DE＝3． 因为 DF⊥AC，所以 DF 是△ACD 中 AC 边上的高， △ACD 的面积＝×AC×DF＝×6×3＝9． 【易错警示】① （1）中的三个条件缺一不可：两个直角、一组角相等、公共边 AD，依据是 AAS——不要写成 ASA，因为 AD 不是∠AED 与∠EAD 之间的边；② （2）的桥梁是「由全等得 DE＝DF」，先由△ABD 的面积求出 DE，再求△ACD 的面积；③ （2）也可以直接用角平分线的性质得 DE＝DF，但必须把「AD 平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC」三个前提写全，缺一个结论就不成立． 18．（5 分）如图，点 P 在∠AOB 的内部，过点 P 分别作 OA、OB 的垂线，垂足为 M、N，且 PM＝PN，连接 OP． （1）求证：OP 平分∠AOB； （2）若∠AOB＝64°，求∠AOP 的度数． 【答案】 （1）证明见解析；（2）32° 【解析】 （1）证明：因为 PM⊥OA，PN⊥OB， 所以∠PMO＝∠PNO＝90°，△OPM 与△OPN 都是直角三角形． 在 Rt△OPM 和 Rt△OPN 中，PM＝PN，OP＝OP， 所以 Rt△OPM≌Rt△OPN（HL），所以∠AOP＝∠BOP，即 OP 平分∠AOB． （2）解：由（1）得∠AOP＝∠BOP＝∠AOB． 因为∠AOB＝64°，所以∠AOP＝×64°＝32°． 【易错警示】① 本题用的是角平分线的「判定」——已知点到角两边的距离相等，推出这个点在角的平分线上；② 判定定理是借助两个直角三角形全等来证明的，所以书写要完整：先说清两个三角形都是直角三角形，再用 HL 得全等，最后才得角相等，不能由 PM＝PN 一步跳到「OP 平分∠AOB」；③ 第（2）问求的是∠AOP，它是∠AOB 的一半，直接答 64° 就错了． 19．（6 分）如图，点 C 是线段 AB 的中点，点 D、E 在直线 AB 的同侧，且 CD∥BE，CD＝BE，连接 AD、CE． （1）求证：△ACD≌△CBE； （2）判断 AD 与 CE 的位置关系，并说明理由． 【答案】 （1）证明见解析；（2）AD∥CE 【解析】 （1）证明：因为点 C 是线段 AB 的中点，所以 AC＝CB． 因为 CD∥BE，所以∠ACD＝∠CBE（两直线平行，同位角相等）． 在△ACD 和△CBE 中，AC＝CB，∠ACD＝∠CBE，CD＝BE， 所以△ACD≌△CBE（SAS）． （2）解：AD∥CE．理由如下： 由（1）得△ACD≌△CBE，所以∠CAD＝∠BCE（全等三角形的对应角相等）． 又点 A、C、B 在同一条直线上，所以∠CAD 与∠BCE 是直线 AB 截 AD、CE 所得的同位角， 所以 AD∥CE（同位角相等，两直线平行）． 【易错警示】① （1）的三条依据必须写全：AC＝CB（中点）、∠ACD＝∠CBE（由 CD∥BE 得同位角相等）、CD＝BE（已知），依据是 SAS；② 由全等得到角相等时，要看清对应关系——A 与 C、C 与 B、D 与 E，所以∠CAD 的对应角是∠BCE，不是∠CEB；③ 用「同位角相等」判定两直线平行时，一定要交代「点 A、C、B 在同一条直线上」，否则同位角这个身份就不成立． 20．（6 分）如图，线段 AC 与 BD 相交于点 O，∠A＝∠C，AB＝CD． （1）求证：△AOB≌△COD； （2）求证：OB＝OD． 【答案】 （1）（2）证明见解析 【解析】 （1）证明：因为线段 AC 与 BD 相交于点 O， 所以∠AOB＝∠COD（对顶角相等）． 在△AOB 和△COD 中，∠A＝∠C，∠AOB＝∠COD，AB＝CD， 所以△AOB≌△COD（AAS）． （2）证明：由（1）得△AOB≌△COD， 所以 OB＝OD（全等三角形的对应边相等）． 【易错警示】① 对顶角∠AOB＝∠COD 是题目中的隐含条件，必须写出来，这是本题最容易漏掉的一条依据；② AB 与 CD 不是两组角之间的夹边，所以依据是 AAS 而不是 ASA；③ 有同学凭图形直接就说 OA＝OC，题目中并没有给出这个条件——图形的形状不能当条件用；④ 由（1）的全等还能得到 OA＝OC，与（2）合起来说明 AC 与 BD 互相平分． 21．（6 分）已知△ABC 与△DEF 全等，AB＝4，BC＝6，∠B＝50°，∠E＝50°，求 DE 的长． 【答案】 4 或 6 【解析】 解：因为△ABC 与△DEF 全等，且∠E＝50°＝∠B，在△ABC 的三个内角中只有∠B 等于 50°，所以点 E 与点 B 是对应顶点． 于是点 D、F 与点 A、C 的对应关系有两种可能： ① 点 D 与点 A 对应、点 F 与点 C 对应，此时 DE 与 AB 是对应边，DE＝AB＝4； ② 点 D 与点 C 对应、点 F 与点 A 对应，此时 DE 与 CB 是对应边，DE＝CB＝6． 所以 DE 的长为 4 或 6． 【易错警示】① 题目没有写成「△ABC≌△DEF」，所以字母顺序不规定对应关系，必须自己判断；② 只给出一组相等的角，只能锁定一组对应顶点，剩下的两个顶点有两种配对方式，因此本题有两个答案，只写一个就是漏解；③ 判断对应关系的顺序是「先由相等的角锁定顶点，再由顶点确定边」，不要一上来就按图形的左右位置配对；④ 检验一下：两种配对都能画出符合要求的△DEF，所以两个答案都是真实的． 22．（8 分）如图，点 D 在△ABC 的边 BC 上，AD 平分∠BAC．小明想证明△ABD≌△ACD，写出的过程如下： 「因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD＝∠CAD．在△ABD 和△ACD 中，∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，BD＝CD，所以△ABD≌△ACD（SAS）．」 （1）小明的证明过程有两处错误，请分别指出并说明理由； （2）若要使△ABD≌△ACD 成立，应把「BD＝CD」换成一个合适的条件．请写出一种改法，并完成证明． 【答案】 （1）见解析；（2）见解析 【解析】 （1）错误一：题目只给出了「AD 平分∠BAC」和「点 D 在 BC 上」，并没有说明 BD＝CD，这个条件是小明自己添上去的——证明中不能使用题目没有给出的条件． 错误二：「∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，BD＝CD」这三条中，∠BAD 是 BD 的对角，不是 BD 与 AD 的夹角，所以这属于「边边角」（SSA），不是 SAS，不能判定两个三角形全等． （2）改法（答案不唯一）：把「BD＝CD」改为「∠ADB＝∠ADC」，即 AD⊥BC． 证明：因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD＝∠CAD． 在△ABD 和△ACD 中，∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，∠ADB＝∠ADC， 所以△ABD≌△ACD（ASA）． （另一种改法：把「BD＝CD」改为「AB＝AC」，此时可用 SSS 证明△ABD≌△ACD．） 【易错警示】① 证明中绝不能使用题目没有给出的条件，也不能把「从图形上看好像相等」当成依据；② 判断判定方法时，先看已知的角是不是两条已知边的夹角——本题中∠BAD 是 BD 的对角，属于边边角，这是最容易写错的地方；③ 指出错误时要说明「错在哪里、为什么错」，只说「不对」是不给分的；④ 改法不唯一，把 AD 补成垂直（得 ASA）或补上 AB＝AC（得 SSS）都行，但都要写出完整的证明过程． 23．（8 分）如图，在△ABC 中，点 D 是△ABC 内部一点，且 BD 平分∠ABC，DE⊥BC 于点 E，DF⊥BA 于点 F． （1）求证：△BDE≌△BDF； （2）若 AB＝9，BC＝15，△ABC 的面积为 48，求 DE 的长． 【答案】 （1）证明见解析；（2）4 【解析】 （1）证明：因为 DE⊥BC，DF⊥BA，所以∠BED＝∠BFD＝90°． 因为 BD 平分∠ABC，所以∠EBD＝∠FBD． 在△BDE 和△BDF 中，∠BED＝∠BFD，∠EBD＝∠FBD，BD＝BD， 所以△BDE≌△BDF（AAS）． （2）解：由（1）得△BDE≌△BDF，所以 DE＝DF（全等三角形的对应边相等）． 因为 DE⊥BC，所以 DE 是△BCD 中 BC 边上的高，△BCD 的面积＝×BC×DE． 因为 DF⊥BA，所以 DF 是△ABD 中 AB 边上的高，△ABD 的面积＝×AB×DF． 所以△ABC 的面积＝×BC×DE＋×AB×DF＝×DE×(BC＋AB)． 把 AB＝9、BC＝15、△ABC 的面积＝48 代入，得48＝×DE×24，解得 DE＝4． 【易错警示】① （1）的三个条件是两个直角、一组角相等、公共边 BD，依据是 AAS；② （2）的关键是把△ABC 沿 BD「切成」△ABD 与△BCD，两个小三角形的高分别是 DF 与 DE，而 DF＝DE 恰好由（1）提供；③ 不要漏写 DE、DF 分别是哪个三角形中哪条边上的高，否则面积公式就没有依据；④ 也可以直接用角平分线的性质得到 DE＝DF，但要先交代「BD 平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥BA」三个前提． 24．（8 分）如图，OA＝OB，PA＝PB，OP 与 AB 相交于点 C． （1）求证：OP 平分∠AOB； （2）若 AB＝8，求 AC 的长． 【答案】 （1）证明见解析；（2）4 【解析】 （1）证明：在△OAP 和△OBP 中，OA＝OB，PA＝PB，OP＝OP， 所以△OAP≌△OBP（SSS），所以∠AOP＝∠BOP，即 OP 平分∠AOB． （2）解：由（1）得∠AOC＝∠BOC． 在△AOC 和△BOC 中，OA＝OB，∠AOC＝∠BOC，OC＝OC， 所以△AOC≌△BOC（SAS），所以 AC＝BC． 因为点 C 在 AB 上，所以 AC＝AB＝×8＝4． 【易错警示】① （1）用 SSS 时要写全三条依据，特别是公共边 OP；② （2）不能由「OP 平分∠AOB」直接得到 AC＝BC，必须再证一次全等（SAS）；③ 有同学会直接引用「等腰三角形三线合一」，那是后面章节的内容，本章还没有学，不能用；④ AC 是 AB 的一半，答案是 4，不要写成 8． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14章《全等三角形》【易错点专项训练卷】2026-2027学年人教版八年级上册数学 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如图，△ABC 与△DEF 全等，其中点 A 与点 D、点 B 与点 F 是对应顶点，AB 与 DF 是对应边．若∠C＝50°，AC＝6，则下列结论正确的是（　　） A．∠F＝50°，EF＝6 B．∠E＝50°，DE＝6 C．∠E＝50°，EF＝6 D．∠F＝50°，DE＝6 2．下列说法中正确的是（　　） A．面积相等的两个三角形全等 B．周长相等的两个三角形全等 C．能够完全重合的两个三角形全等 D．三个角分别相等的两个三角形全等 3．如图，△ABC 与△DEF 都是直角三角形，∠A＝∠D＝90°，AB＝DE，AC＝DF．小明说：「这两个三角形可以用 HL 判定全等．」下列说法正确的是（　　） A．小明的说法正确，因为两个三角形都是直角三角形，并且有两组边分别相等 B．两个三角形全等，但依据是「SAS」，不是「HL」 C．两个三角形全等，依据是「ASA」 D．两个三角形不一定全等 4．关于两个三角形全等的判定方法，下列说法中错误的是（　　） A．三边分别相等的两个三角形全等，简写成「SSS」 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成「SAS」 C．两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等，简写成「SSA」 D．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成「ASA」 5．关于角的平分线，下列说法中正确的是（　　） A．若点 P 在∠AOB 的平分线上，则 PA＝PB B．若点 P 到∠AOB 两边的距离相等，则点 P 一定在∠AOB 的平分线上 C．角的平分线上的点到角两边的距离相等，反过来，到角两边距离相等的点不一定在角的平分线上 D．若点 P 到∠AOB 两边的距离相等，则点 P 到点 A、点 B 的距离相等 6．如图，在△ABC 中，D 是边 BC 上一点，BD＝CD，连接 AD．小明想用「SAS」证明△ABD≌△ACD，还需要添加的一个条件是（　　） A．∠B＝∠C B．∠BAD＝∠CAD C．AD⊥BC D．AB＝AC 7．在△ABC 中，∠A 与∠B 的平分线相交于点 P．若点 P 到边 BC 的距离为 2，则点 P 到边 AB 的距离为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．在△ABC 中，D 是边 BC 上一点，且 BD＝CD．下列说法中正确的是（　　） A．AD 平分∠BAC B．AD⊥BC C．AD 是△ABC 中 BC 边上的中线 D．△ABD≌△ACD 9．如图，把△ABC 沿 BC 所在直线平移得到△DEF，点 A、B、C 的对应点分别是点 D、E、F．若∠B＝70°，∠ACB＝50°，则∠E 的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．110° 10．已知△ABC 与△DEF 全等，∠A＝50°，∠B＝60°，∠D＝50°，则∠F 的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．60° 或 70° 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．已知△ABC≌△DEF，△ABC 的周长为 21，AB＝6，DF＝7，则 BC 的长为＿＿＿＿． 12．如图，CA＝CB，EA＝EB，连接 CE．若∠CAE＝72°，则∠CBE＝＿＿＿＿°． 13．如图，△ABC 与△DEF 都是直角三角形，∠B＝∠E＝90°，AC＝DF，AB＝DE．若 BC＝6，则 EF 的长为＿＿＿＿． 14．在△ABC 和△DEF 中，AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D．由此可以判定△ABC 与△DEF＿＿＿＿（填「一定全等」或「不一定全等」）． 15．如图，OC 平分∠AOB，点 P 在 OC 上，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E．若 PD＝6，点 Q 是边 OB 上任意一点，则线段 PQ 长度的最小值是＿＿＿＿． 16．如图，点 D、E 分别在△ABC 的边 AB、AC 上，AD＝AE，AB＝AC，连接 DC、EB．若∠ADC＝68°，则∠AEB＝＿＿＿＿°． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（5 分）如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，点 D 在边 BC 上，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F． （1）求证：△ADE≌△ADF； （2）若 AB＝10，AC＝6，△ABD 的面积为 15，求△ACD 的面积． 18．（5 分）如图，点 P 在∠AOB 的内部，过点 P 分别作 OA、OB 的垂线，垂足为 M、N，且 PM＝PN，连接 OP． （1）求证：OP 平分∠AOB； （2）若∠AOB＝64°，求∠AOP 的度数． 19．（6 分）如图，点 C 是线段 AB 的中点，点 D、E 在直线 AB 的同侧，且 CD∥BE，CD＝BE，连接 AD、CE． （1）求证：△ACD≌△CBE； （2）判断 AD 与 CE 的位置关系，并说明理由． 20．（6 分）如图，线段 AC 与 BD 相交于点 O，∠A＝∠C，AB＝CD． （1）求证：△AOB≌△COD； （2）求证：OB＝OD． 21．（6 分）已知△ABC 与△DEF 全等，AB＝4，BC＝6，∠B＝50°，∠E＝50°，求 DE 的长． 22．（8 分）如图，点 D 在△ABC 的边 BC 上，AD 平分∠BAC．小明想证明△ABD≌△ACD，写出的过程如下： 「因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD＝∠CAD．在△ABD 和△ACD 中，∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，BD＝CD，所以△ABD≌△ACD（SAS）．」 （1）小明的证明过程有两处错误，请分别指出并说明理由； （2）若要使△ABD≌△ACD 成立，应把「BD＝CD」换成一个合适的条件．请写出一种改法，并完成证明． 23．（8 分）如图，在△ABC 中，点 D 是△ABC 内部一点，且 BD 平分∠ABC，DE⊥BC 于点 E，DF⊥BA 于点 F． （1）求证：△BDE≌△BDF； （2）若 AB＝9，BC＝15，△ABC 的面积为 48，求 DE 的长． 24．（8 分）如图，OA＝OB，PA＝PB，OP 与 AB 相交于点 C． （1）求证：OP 平分∠AOB； （2）若 AB＝8，求 AC 的长． 学科网（北京）股份有限公司 $