第一章三角形小结与思考（单元小结） 提优特训A·B卷 ·2026-2027学年苏科版八年级数学上册

**基本信息** 该练习通过A卷基础过关与B卷强化提优的分层设计，系统覆盖三角形全章核心知识点，从概念辨析到综合应用梯度递进，培养逻辑推理与直观想象核心素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A卷·基础过关|三角形边角关系、全等判定、等腰三角形等核心概念|选择填空侧重基础辨析（如共边三角形识别），解答题强化规范推理（如三线合一应用）| |B卷·强化提优|全等模型综合、动态几何、新定义问题（如钻石三角形）|压轴题融合多知识点（如含30°直角三角形与等边三角形综合），培养创新意识|

数学臻选·2026-2027学年苏科版八年级数学上提优宝典 《第一章三角形小结与思考（单元小结）》提优特训A·B卷 一．学习目标 ( 1.系统梳理三角形边角关系、特殊线段、全等判定、垂直平分线、角平分线、等腰（等边）三角形、直角三角形斜边中线全部核心概念与定理，能准确复述定理内容。 2.熟练完成几何证明、线段与角度计算；掌握全等模型、等腰三角形模型、斜边中线模型；提升识图、标注条件、规范书写证明步骤的推理能力。 3.建立几何转化思想，学会 “ 边角互推 ” ，会做辅助线（倍长中线、作垂线、构造全等），培养逻辑严谨性。 4.体会几何逻辑的严谨美，克服几何证明畏难心理，养成 “ 已知条件标注图形 ” 的解题习惯，提升直观想象与逻辑推理核心素养。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.三角形三边关系、三角形内角和与外角性质；三角形高、中线、角平分线的性质。 2.全等三角形性质与四大判定（SSS、SAS、ASA、AAS），直角三角形HL判定。 3.线段垂直平分线、角平分线的性质定理与逆定理。 4.等腰、等边三角形性质与判定；直角三角形斜边上中线等于斜边一半定理及应用。 （二）难点 1.全等条件辨析：SSA不能判定全等；复杂图形中找准全等的对应边、对应角。 2.等腰三角形分类讨论（边、角未指明腰/底、顶角/底角）。 3.直角三角形斜边中线模型识别，会添加辅助线构造斜边中线。 4.多定理综合大题，证明过程逻辑链条完整，步骤规范，不漏条件。 )三．知识梳理 ( （一） 三角形基础 1. 三角形 的 定义： 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。强调 “ 不在同一直线上 ”“ 首尾顺次相接 ” 这两个关键条件。 2 .表示方法： 以 △ ABC为例，介绍三角形的顶点、边和角的表示方法。顶点用大写字母A、B、C表示；边可以用两个顶点的大写字母表示，如AB、BC、AC，也可以用小写字母a、b、c表示，其中a表示 ∠ A的对边BC，b表示 ∠ B的对边AC ，c表示 ∠ C的对边AB；角用 ∠ A、 ∠ B、 ∠ C表示。 3. 三角形分类 （1） （2） ) ( 4 .三角形三边关系 （1） 文字表述：三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边； （2） 实用判断：只需检验较短两条线段之和＞最长线段，即可判定能组成三角形； （3）取值范围：已知两边a、b，则第三边x满足|a-b|<x<a+b。 5. 边和角的关系 （1）大边对大角 在一个三角形中，如果两条边不等，那么他们所对的角也不等，大边所对的角较大. （2）大角对大边 类似的在一个三角形中，，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大。 （二） 三角形的三条重要线段（高、中线、角平分线） 1. 三角形的高 （1） 定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。例如在 △ ABC中，过点A作对边BC所在直线的垂线，垂足为 F ，则线段A F 就是 △ ABC的高 。 注意： “ 垂线 ” 是一条直线 , “ 三角形的高 ” 是一条线段. （2）理解： 三角形的高线共有3条．锐角三角形的3条高交于三角形内一点．直角三角形的3条高交于直角顶点．钝角三角形的三条高不相交，但3条高所在直线相交于三角形外一点． 2. 三角形的中线 （1） 定义：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线。比如在 △ ABC中，若 D 是BC边的中点，连接A D ，则线段A D 就是 △ ABC的中线。 如图，线段AD就是 △ ABC的一条中线 ,也称AD为边BC上的中线 。 注意：角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段 。 （2）理解 ： ① 三角形的中线是一条线段 。 ② 三角形有三条中线，且三条中线都在三角形内部，三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心。 ③ 三角形的中线把三角形分成面积相等的两个小三角形，即若AD是 △ ABC的中线，则S △ ABD = S △ ACD 。这是因为这两个小三角形等底（BD = CD ）同高（都是从A点到BC边的距离），根据三角形面积公式S = × 底 × 高，所以面积相等。 ) ( ④ 三角形的中线分三角形的周长差等于对应另两边的差，即若AD是 △ ABC的中线，则（AB +BD+AD ） -（AC+CD+AD ） =AB-AC（因为BD = CD ） 。 3. 三角形的角平分线 （1） 定义：在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。例如在 △ ABC中，A E 平分 ∠ BAC，交BC于点 E ，则线段A E 就是 △ ABC的角平分线。 （2）理解 ： ① 三角形的角平分线是一条线段。 ② 三角形有三条角平分线，且三条角平分线都在三角形内部，三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心。 ③ 三角形的角平分线把三角形分得的两个小三角形的面积比等于被角平分线分边分得的两条线段比，即若AD是 △ ABC的角平分线，则S △ ABD ：S △ ACD = BD：CD 。 （三）三角形内角与外角 1.内角和定理： 三角形三个内角的和等于180 o 。 2. 推论： 直角三角形的两个锐角互余；若一个三角形两个锐角互余，则这个三角形是直角三角形。 3 .三角形外角 （1） 定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 如图 ∠ ACD是AABC的一个外角 。 （2） 核心性质： ① 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和； ② 三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角； ③ 三角形三个外角（每个顶点取1个）的和恒为360 o 。 （四） 全等三角形 （核心重点） 1. 全等形： 能够完全重合的两个图形叫做全等形。全等形只要求形状、大小完全相同，和图形摆放位置无关；平移、翻折、旋转前后的图形一定是全等形。 2. 全 等三角形 （1）定义： 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 （2）表示： 如图，两个能完全重合的三角形是全等三角形 记作： △ ABC ≌△ A'B'C' ；读作： △ ABC全等于 △ A'B'C' 用符号 “≌” 表示全等要严格遵守对应关系。如 △ ABC与 △ DEF全等，记作 △ ABC ≌△ DEF，注意对应顶点的字母要写在对应的位置上。 3. 全等三角形 的 性质 （1） 基本性质： ① 内容 ： 全等三角形的对应边相等，对应角相等 。 是本节最核心结论，也是后续几何证明的依据。 ) ( ② 用几 何语言： ∵ △ ABC ≌△ DEF（已知）， ∴ AB = DE，BC = EF，AC = DF（全等三角形的对应边相等）； ∠ A = ∠ D， ∠ B = ∠ E， ∠ C = ∠ F（全等三角形的对应角相等）。 （2） 衍生性质： ① 全等三角形的周长相等、面积相等； ② 全等三角形对应边上的中线、对应边上的高、对应角的角平分线长度相等。 注意：周长相等或者面积相等的两个三角形，不一定是全等三角形，该命题不可逆。 4. 全等三角形 的 判定 （1） SAS判定 ① 定理内容： 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简记为 “ 边角边 ” 或SAS。 ② 关键词：夹角，即两组相等边中间夹住的内角。 ③ 几何语言： 在 △ ABC和 △ A'B'C'中 ∴△ ABC ≌△ A'B'C ‘ (SAS). （2） ASA（角边角） ① 定理内容 ：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简记为ASA。这里的夹边，是指两组相等角中间共用的那条对应边。 ② 关键要点：相等的一条边，必须是两组等角之间的公共夹边。 ③ 几何语言： 在 △ ABC 和 △ A ′ B ′ C ′ 中 ∴ △ ABC ≌△ A ′ B ′ C ′ （ASA）. （3 ）AAS（角角边） ① 定理内容 ： 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简记为AAS。AAS可以利用三角形内角和定理转化为ASA进行推导证明。 ② 关键要点：这条相等的边，不属于两组已知等角的夹边，是其中一个角所对的边。 ③ 几何语言： 在 △ ABC 和 △ A ′ B ′ C ′ 中， ∴△ ABC ≌△ A ′ B ′ C ′ （AAS） ) ( （4） SSS判定 ① 定理内容： 三边对应相等的两个三角形全等，简记为边边边或SSS。 ② 关键要点： 必须强调对应相等，单纯三边长度相等、顶点不对应，不能直接判定全等。 ③ 几何符号语言： 在 △ ABC 和 △ A ′ B ′ C ′ 中， ∴ △ ABC ≌△ A ′ B ′ C ′ (SSS) ④ 三角形的稳定性 当一个三角形的三条边长确定后，这个三角形的形状、大小就唯一确定，这个性质叫做三角形的稳定性。 （5）HL 判定 ① 定理内容： 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为斜边、直角边或HL。 ② 重要前提：两个三角形必须是直角三角形。 ③ 几何语言 ： 在Rt △ ABC和Rt △ A ′ B ′ C ′ 中， ∠ C＝ ∠ C ′ ＝90 ° ，如果 ∴ Rt △ ABC ≌ Rt △ A ′ B ′ C ′ （HL）． （五）线段垂直平分线 1.定义： 经过一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。 线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. 2.性质定理： （1）内容：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 。 （2）几何语言： ∵ 点P在线段AB的垂直平分线l上， ∴ PA=PB。 3. 判定定理（ 性质定理的 逆定理） （1）内容：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 （2）几何符号语言： ∵ PA=PB， ∴ 点P在线段AB的垂直平分线上。 ) ( （3）重要提醒： ① 判定一条直线是线段的垂直平分线：只一个点满足PA=PB不够，需要找到两个不同的点都满足到线段两端距离相等，两点确定一条直线，才能说明这条直线是垂直平分线。 ② 线段垂直平分线可以看作是所有到线段两端距离相等的点的集合。 4.画法 ： （1） 利用网格线画线段PQ的垂直平分线． （2） 尺规作线段的垂直平分线 ① 分别以点 A,B 为圆心, 大于 AB 为半径画弧,两弧相交于点C,D;   ② 过C,D两点作直线. 直线CD就是线段AB的垂直平分线. 5.三角形三边垂直平分线性质 （1）三角形三条边的垂直平分线相交于同一个点，这个点到三角形三个顶点的距离相等，这个点叫做三角形的外心。 锐角三角形三边的垂直平分线的交点在三角形内部，直角三角形三边的垂直平分线的交点在是斜边的中点，钝角三角形三边的垂直平分线的交点在三角形外部. （2）三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等。 ABC中，AB、BC、AC三边垂直平分线交于点O，则OA=OB=OC。 （六）角平分线 1.定义： 从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线 。 ① 判定：射线把角分成两个相等角 → 射线是角平分线； ② 性质：射线是角平分线 → 分出的两个角大小相等。 （2） 角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴。沿角平分线对折，角两边能够完全重合，这也是角平分线性质定理的几何基础。 2. 性质定理 （1） 定理内容 ： 角平分线上的点，到这个角两边的距离相等。 （2） 符号语言 ： ∵ OC平分 ∠ AOB，PD ⊥ OA ，PE ⊥ OB ∴ PD=PE ) ( （3） 理解： ① 点：必须是在角平分线上的点。 ② 距离：专指垂线段的长度，不是任意连接的斜线段。两个垂直条件缺一不可！只有垂直，才叫 “ 点到直线的距离 ” 。 ③ 定理作用：直接证明两条垂线段相等，可以省去全等的证明步骤，简化几何书写。 3. 判定定理（ 性质定理 的 逆定理） （1） 定理 内容： 在角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 （2） 符号语言： ∵ OC平分 ∠ AOB，PD ⊥ OA ，PE ⊥ OB ∴ PD=PE （3）理解： ① 点在角的内部 ， 这个条件不能省略。如果点在角外部，也可以满足到角两边（或两边延长线）垂线段相等，但不在这个角的角平分线上。 ② 距离=垂线段的长度 ， PC、PD必须垂直于角的两条边，不是任意连接的斜线段。只有垂线段相等，才能推出点在角平分线上。 ③ 判定角平分线的一种方法：不用测量角，只要看角内某点到两边垂线段是否相等，就能判断该点是否在角平分线上。 （七） 等腰三角形 1.定义 ： 两条边相等的三角形叫做等腰三角形。其中，相等的两条边称为腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 强调 “ 至少有两条边相等 ” ，说明等边三角形是特殊的等腰三角形（三条边都相等）。 【 注意 】 ： （1） 等腰三角形中，底边、顶角是唯一的，底角有两个； （2） 等腰三角形具备普通三角形全部性质：内角和180 o ，两边之和大于第三边。 （3）等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线（底边上的中线所在直线、底边上的高所在直线）是它的对称轴 。 2.性质： （ 1 ） “ 等边对等角 ” ① 内容：等腰三角形的两个底角相等，简写成 “ 等边对等角 ” 。 ② 几何语言： ∵ 在 △ ABC中，AB=AC ∴∠ B= ∠ C （ 2 ）三线合一（重点） ① 内容：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高，三者互相重合，简称 “ 三线合一 ” 。 ) ( ② 几何语言：（三种等价形式， △ ABC中AB=AC） 在 △ ABC中 ∵ AB=AC, ∠ BAD= ∠ CAD ∴ BD=CD,AD ⊥ BC ∵ AB=AC,BD=CD ∴∠ BAD= ∠ CAD，AD ⊥ BC ∵ AB=AC，AD ⊥ BC ∴∠ BAD= ∠ CAD，BD=CD ③ 理解： “ 三线合一 ” 只针对顶角、底边；腰上的中线、腰上的高、腰对应的角平分线，不满足三线合一； 判定 ： （1） 定义法 ① 定义： 有两条边相等的三角形是等腰三角形。 ② 几何语言： ∵ 在 △ ABC中，AB=AC， ∴△ ABC为等腰三角形。 ③ 说明：定义本身既是等腰三角形的性质，同时也是最基础的判定方法。 （2） 等角对等边 （ 核心重点） ① 内容：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。简单记作：等角对等边 。 ② 几何符号语言： 在 △ ABC中， ∵∠ B= ∠ C（已知）， ∴ AC=AB（在同一个三角形中，等角对等边）， 即 △ ABC为等腰三角形. ③ 关键提醒： 一定要注意等角对等边是在同一个三角形内部成立，跨三角形不能直接使用。 （八）等边三角形 1.定义： 三边都相等的三角形叫做等边三角形，也称为正三角形。 （1）从边的角度：三条边都相等。 （2）从角的角度：三个角都相等，且均为60 ° （可通过三角形内角和定理推导）。 （3）从对称性角度：有3条对称轴，远超等腰三角形的1条。 2.从属关系： 等边三角形属于特殊的等腰三角形（腰＝底边），因此等边三角形拥有等腰三角形全部性质。 3.几何语言： ∵ AB=BC=AC， ∴△ ABC为等边三角形。 ) ( 4.性质定理（四大维度：边、角、对称性、特殊线段） （1）边：等边三角形的三条边都相等； （2）角：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60 ° ； （3）对称性：等边三角形是轴对称图形，它有3 条对称轴，分别为三边的垂直平分线； （4）三线合一：各边上的高、中线、对角的角平分线重合，且长度相等. 5. 判定（必考，需要区分使用场景） （1） 定义法 （ 从边出发） ： ① 内容： 三边都相等的三角形是等边三角形。 ② 适用：题目直接给出三条边相等，或者可以证出三条线段全部相等。 （2） 判定（从角出发） ： ① 内容： 三个内角都相等的三角形是等边三角形。 ② 推导：三角形内角和180 o ，三个角相等，可以得到每个内角都是60 o 。 ③ 适用：题干能够证明三个角彼此相等；若已经知道两个角等于60 o ，第三个角自然等于60 o ，同样可以判定。 （3） 判定（高频重难点） ① 内容： 有一个内角等于60 o 的等腰三角形是等边三角形。 ② 关键：两个前提缺一不可： ① 该三角形是等腰三角形； ② 存在一个内角为60 o 。 ③ 分类理解： 情况1：等腰三角形顶角等于60 o ，两个底角均等于60 o ； 情况2：等腰三角形一个底角等于60 o ，另一个底角也是60 o ，顶角等于60 o 。 无论60 o 是顶角还是底角，只要等腰三角形存在一个60 o 内角，一定是等边三角形。 （九） 含30 o 锐角的直角三角形的性质 1.内容： 含30 ° 角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30 ° ，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 2. 几何语言 ： ∵ 　在Rt △ ABC 中， ∠ C =90 ° ， ∠ A =30 ° ， ∴ BC = AB （十） 直角三角形斜边上中线的性质定理（核心必考） 1.内容： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 2.几何语言: ∵ 在 △ ABC中, ∠ ACB=90 ° ，CD是斜边AB边上的中线 ∴ CD= AB 3. 两条重要推论 （1） 推论 ① ：直角三角形斜边的中点，到三个顶点的距离当中，到两个直角顶点、斜边两端点距离满足AD=BD=CD；中线把直角三角形分成两个等腰三角形： △ ACD、 △ BCD均为等腰三角形。 （2） 推论 ② ：角度转化： ∠ A= ∠ ACD， ∠ B= ∠ BCD，可以直接用来计算角度。 ) ( 4. 定理使用两大前提，缺一不可 （1） 三角形必须是直角三角形，存在一个内角等于90 ° ； （2） 这条中线一定是斜边上的中线，直角边上的中线没有这条性质！ 5. 定理的逆命题 （1） 逆命题 （ 逆定理 ） ： 如果一个三角形一条边上的中线等于这条边长的一半，那么这个三角形是直角三角形，这条边就是斜边。 （2） 几何语言： ∵ 在 △ ABC中，D是AB中点，且CD= AB， ∴∠ ACB=90 ° ， ∴△ ABC为直角三角形。 （3） 用途：不需要计算角度，直接用来证明某个角是直角、证明两条线段互相垂直。 （4） 提醒：不能直接称 “ 逆定理 ” ，课本中将它作为定理的逆命题，可以直接用来解题。 ) A卷·基础过关 （时间：45分钟 满分：120分） 一选择题（共30分） 1.我们将有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”,则图中以BC为公共边的“共边三角形”有　(　　) A.2对　　　B.3对　　　C.4对　　　D.6对 【答案】B　 【解析】以BC为公共边的“共边三角形”有△BDC与△BEC、△BDC与△BAC、△BEC与△BAC,共三对.故选B. 2.如图1，M是铁丝AD的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC，且∠B=30°，∠C=100°，如图2．则下列说法正确的是（　　） A．点M在AB上 B．点M在BC的中点处 C．点M在BC上，且距点B较近，距点C较远 D．点M在BC上，且距点C较近，距点B较远 【答案】C 【解析】：∵∠C=100°，∴AB＞AC，如图，取BC的中点E，则BE=CE，∴AB+BE＞AC+CE， 由三角形三边关系，AC+BC＞AB，∴AB＜AD，∴AD的中点M在BE上，即点M在BC上，且距点B较近，距点C较远．故选：C． 3、如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】要使△ABP与△ABC全等，必须使点P到AB的距离等于点C到AB的距离，即3个单位长度，所以点P的位置可以是P1，P2，P4三个，故选C． 4.如图，AB∥CD，且AB = CD，则ABE≌△CDE的根据是（　　） A．只能用ASA B．只能用SAS C．只能用AAS D．用ASA或AAS 【答案】D 【解析】因为AB‖CD，根据两直线平行，内错角相等，所以∠A=∠ C，∠B=∠D。已知AB = CD，在△ABE和△CDE中：依据 ASA 判断我们有∠A=∠C，AB = CD，∠B=∠D，两角及其夹边分别相等，满足 ASA 判定定理。依据 AAS 判定我们可以把∠A=∠C，∠AEB=∠CED（对顶角相等），AB = CD，这里是两角及其中一角（∠A）的对边（AB）对应相等，满足 AAS 判定定理。 5．已知AB=AC，AD为∠BAC的角平分线，D、E、F…为∠BAC的角平分线上的若干点．如图1，连接BD、CD，图中有1对全等三角形；如图2，连接BD、CD、BE、CE，图中有3对全等三角形；如图3，连接BD、CD、CE、BF、CF，图中有6对全等三角形；依此规律，第8个图形中有全等三角形（　　） A．24对 B．28对 C．36对 D．72对 【答案】C 【解析】当有1点D时，有1对全等三角形；当有2点D、E时，有3对全等三角形；当有3点D、E、F时，有6对全等三角形；当有4点时，有10个全等三角形；… 当有n个点时，图中有个全等三角形．则有8个点，即第8个图形中有全等三角形：=36（对）．故选：C 6.如图,△ABC的边AB的垂直平分线DE交AB于D,交AC于E,且BC=BD=2,则△BCE的周长C不可能是(　　) A.5　　　　 B.6　　　 　C.7　　　 　D.8 【答案】D　 【解析】因为直线DE是AB的垂直平分线,所以AE=BE, AD=BD=2,所以△BCE的周长=BC+CE+BE=BC+CE+AE=BC+AC,AB=AD+BD=2+2=4,所以4-2<AC<4+2,即2<AC<6,所以△BCE的周长C的取值范围是4<C<8.故选D. 7.如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，现将三角形的一个角沿AD折叠，使得点C落在边AB上的点C′处，若△BC′D是等腰三角形，则∠C的度数为（　　） A.36° B.38° C.48° D.84° 【答案】C 【解析】在△ABC中，∠BAC＝108°，∴∠B+∠C＝72°，∠B，∠C是锐角，由折叠可知∠AC′D＝∠C，∵△BC′D是等腰三角形，∴∠B＝∠BDC′，∴∠AC′D＝∠B+∠C＝2∠B，∴∠C＝48°．故选：C． 8．如图，A，B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，在图中所有符合条件的点C应该有（　　）个． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【解析】如图所示：①AB为等腰三角形的底边，符合条件的点C的有5个；②AB为等腰三角形的一条腰，符合条件的点C的有3个．所以符合条件的点C共有8个．故选：B． 9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,BC=4,等边△CDE的顶点E,D分别在线段AB,BC上,则CD的长为(　　) A.1　　　 B.2　　 　C.3　　　 D.4 【答案】B　 【解析】∵△CDE为等边三角形,∴∠ECD=60°,CE=CD,∵∠B=30°,∴∠CEB=180°-60° -30°=90°,∴CE⊥AB,即△CBE为直角三角形,∴CD=CE=BC=×4=2,故选B. 10.折纸是一种传统的手工艺术，也是每一个人从小就经历的事，它是一种培养手指灵活性、协调能力的游戏，更是培养智力的一种手段．在折纸中，蕴含许多数学知识，我们还可以通过折纸验证数学猜想．把一张直角三角形纸片按照图 ①~④ 的过程折叠后展开，请选择所得到的数学结论 ( ) A. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 B. 在直角三角形中，如果一个锐角等于30o，那么它所对的直角边等于斜边的一半 C. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 D. 如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形 【答案】C 【解析】我们看到这是一个直角三角形纸片的折叠过程。在折叠过程中，我们关注到 DA、DB 都与 DC 重合。因为 DA、DB 都与 DC 重合，根据重合的线段长度相等，所以 DA = DB = DC。在这个直角三角形中，DC 是斜边 AB 上的中线，而 DC=1/2AB，这就说明了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 二．填空题（共30分） 11．为锐角，AB=16，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为8，BC=x，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是____． 【答案】x=8或x≥16 【解析】：∵点B到射线AM的距离为8，AB=16，∴当BC⊥AM时，有BC=8，此时△ABC是直角三角形，当BC≥AB时，∴△ABC是钝角三角形，且只有∠ABC是钝角，当8＜BC＜16时，△ABC可能是钝角三角形也可能是锐角三角形，综上：△ABC的形状、大小是唯一确定的，则有∠ACB=90°或BC≥AB，则x的取值范围是x=8或x≥16，故答案为：x=8或x≥16 12、如图，△ABC≌△ADE，若∠B＝70°，∠C＝30°，∠DAC＝25°，则∠EAC的度数为 　 　． 【答案】55° 【解析】∵∠B＝70°，∠C＝30°，∴∠BAC＝180°﹣70°﹣30°＝80°，∵△ABC≌△ADE，∴∠DAE＝∠BAC＝80°，∴∠EAC＝∠DAE﹣∠DAC＝80°﹣25°＝55°．故答案为：55°． ∴∠CAF＝90°﹣∠ACD＝28°，故答案为：28°． 13．如图，在△ABC中AB＝6，BC＝7，AC＝5，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，则△BDE的周长为__________. 【答案】8 【解析】已知AD平分∠BAC，根据角平分线的定义可知∠EAD = ∠CAD。 在△ADE和△ADC中，有AE = AC（题目中在AB上截取AE = AC）， ∠EAD = ∠CAD，AD = AD（公共边）。根据全等三角形判定定理中的边角边（SAS），可以得出△ADE≌△ADC。 根据全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，所以ED = CD。已知AE = AC = 5，AB = 6，由于BE = AB - AE，将AB = 6，AE = 5代入可得BE = 6 - 5 = 1。因为BC = BD + CD，又因为ED = CD，所以BC = BD + ED，已知BC = 7，即BD + ED = 7。根据三角形周长的定义，BDE的周长为BE + BD + ED，将BE = 1，BD + ED = 7代入可得\△BDE的周长为1 + 7 = 8。 14.把等腰直角三角形ABC,按如图所示立在桌上,顶点A顶着桌面,若另两个顶点距离桌面5cm和3cm,则过另外两个顶点向桌面作垂线,则垂足之间的距离DE的长为____________ 【答案】8 【解析】∵∠CEA=∠ADB=∠CAB=90°∴∠ECA+∠EAC=∠EAC+∠DAB=∠DAB+∠DBC=90°， ∠ECA=∠DAB，∠EAC=∠DBA，又AC=AB，∴△AEC≌△BAD（ASA），∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE=3+5=8.故答案为8. 15．如图，AC、BD相交于点O，OA＝OB，OC＝OD，则图中全等三角形共有______对. 【答案】3 【解析】在△AOD与△BOC中， ∴△AOD≌△BOC（SAS）； ∴AD=BC，而OA+OC=OD+OB，即AC=DB，在△ABD与△BAC中， ∴△ABD≌△BAC（SSS），在△ADC与△BCD中， ∴△ADC≌△BCD（SSS）． 故答案为3． 16.如图,已知AC⊥BC,BD⊥AD,AC,BD相交于点O,如果AC=BD,那么下列结论:①Rt△ABD≌Rt△BAC;②AD=BC;③∠ABC=∠BAD;④∠DAC=∠CBD.其中正确的是__________. 【答案】①②③④　 【解析】AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD，AB=BA，:.Rt△ABD=Rt△BAC(HL)，:.AD = BC，∠ABC=∠BAD，∠BAC= ∠ABD,∠DAC=∠BAD - ∠BAC，∠CBD=∠ABC-∠ABD,:.∠DAC=∠CBD. 17.如图，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，AC=9，AE：EC=2：1，则点B到点E的距离是__________． 【答案】6 【解析】如图，连接BE．∵AC=9，AE：EC=2：1，∴AE=×9=6，EC=9×=3，∵DE垂直平分AB，∴EA=EB=6．故答案为：6． 18．如图，∠AOB=30°，∠ABM=60°，P为射线BM上一动点（P不与B重合），当以A，O，B三个点中的某两个点与P点构成等腰三角形时，∠OAP的度数为 ______． 【答案】30°、75°、90°、120° 【解析】先求∠OAB，∵∠ABM是△AOB外角，∴∠ABM=∠AOB+∠OAB，60°=30°+∠ OAB，得∠OAB=30°∴OA=AB，△OAB等腰。分三类：情况①：△OBP为等腰三角形∠OBP=180°-60° =120°，顶角只能是∠OBP，于是BO=BP。底角：∠BOP=∠BPO=30°。∠AOB=30°，∴OP与OA重合，P不在射线BM上，舍去。情况②：△ABP为等腰三角形，∠ABP=60°，有一个内角60°的等腰三角形是等边三角形，∴AB=BP=AP，△ABP等边。∠BAP=60°，∠OAB=30°， ∠OAP=∠OAB+∠BAP=90°。情况③：△OAP}为等腰三角形，顶点分三种子情况，已知∠AOP=30°。子情况3-1：AO=AP，顶角∠OAP，底角∠AOP=∠APO=30°，∠OAP=180°-30° -30°=120°。子情况3-2：OA=OP，顶角∠AOP=30°，底角∠OAP=∠ OPA=（180°-30°）÷2=75°。子情况3-3：PA=PO，∠OAP=∠AOP=30°，∠OAP=30°。 19.如图，△ABC是等边三角形，点P是三角形内的任意一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为12，则PD+PE+PF=________. 【答案】4 【解析】延长EP、FP分别交AB、BC于G、H，则由PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，可得，四边形PGBD，EPHC是平行四边形，∴PG=BD，PE=HC，又△ABC是等边三角形，又有PF∥AC，PD∥AB可得△PFG，△PDH是等边三角形，∴PF=PG=BD，PD=DH，又△ABC的周长为12， ∴PD+PE+PF=DH+HC+BD=BC=×12=4 20．在△ABC中，∠BAC为钝角，AF，CE都是这个三角形的高，P为AC的中点，若∠B＝42°，则∠EPF的度数为　　． 【答案】96° 【解析】∵CE⊥BA，∠B＝42°，∴∠BCE＝48°，∵AF⊥BC，CE⊥BA，P为AC的中点，∴PF＝AC＝PC，PE＝AC＝PC，∴∠PFC＝∠PCF，∠PEC＝∠PCE，∴∠EPF＝2∠PCF+2∠PCE＝2∠BCE＝96°，故答案为：96°． 三．解答题（共60分） 21.作图题 （1）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A和点B均为格点，请利用无刻度直尺作出线段AB的垂直平分线，并简要说明作图方法（不要求证明） （2）如图，请用尺规作图法，求作的平分线． 解：（1）如图，连接格点EF，交AB于点D，则点D为AB的中点，再找到格点C，使得AC=BC，然后作直线CD，则CD即为所求作， （2）如图，即为所求； 22、如图，已知四边形ABCD中，AB＝BC＝8cm，CD＝6cm，∠B＝∠C，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，点Q运动的速度是每秒2cm，点P运动的速度是每秒acm（a≤2），当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t秒， （1）BQ＝　 　；BP＝　 　；（用含a或t的代数式表示） （2）运动过程中，连接PQ、DQ，△BPQ与△CDQ是否全等？若能，请求出相应的t和a的值；若不能，请说明理由． 解：（1）由题意得，AP＝atcm，BP＝(8﹣at)cm，BQ＝2tcm，故答案为：2tcm，(8﹣at)cm； （2）△BPQ与△CDQ能全等；∵∠B＝∠C，∴△BPQ与△CDQ全等存在两种情况： ①当△PBQ≌△QCD时，PB＝CQ，BQ＝CD，∴2t＝6，8﹣at＝8﹣2t，∴a＝2，t＝3； ②当△PBQ≌△DCQ时，PB＝DC，BQ＝CQ，∴8﹣at＝6，2t＝8﹣2t，∴a＝1，t＝2； 综上，△BPQ与△CDQ能全等，此时a＝2，t＝3或a＝1，t＝2． 23.如图1,在△ABC中,AB=AC,D为BC边上一点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F. 作图:请作出AC边上的高BG. 探究: (1)请你通过观察、测量找到DE、DF、BG之间的数量关系:　　　　　　.  (2)为了说明DE、DF、BG之间的数量关系,小嘉是这样做的: 连接AD, 则S△ADC=　　　　,S△ABD=　　　　,  ∴S△ABC=　　　　　　　　　　,  S△ABC还可以表示为　　　　.  …… 请你帮小嘉完成上述填空. 拓展:当点D在如图2的位置时,(1)中DE、DF、BG之间的数量关系是否仍然成立?补全图形并说明理由. 　 解：作图:如图所示: 探究:(1)BG=DE+DF. （2）如图,连接AD.∵DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,AB=AC, ∴S△ABC=S△ABD+S△ACD=AB·DE+AC·DF=AC·(DE+DF). ∵BG⊥AC,∴S△ABC=AC·BG,∴BG=DE+DF. 故答案为AC·DF;AB·DE;AC·DF+AB·DE;AC·BG. 拓展:结论仍然成立,即BG=DE+DF. 如图: 证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC,AB=AC,∴S△ABC=S△ABD+S△ADC=AB·DE+AC·DF=AC·(DE+DF), ∵BG⊥AC,∴S△ABC=AC·BG,∴BG=DE+DF. 24.【问题提出】学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究． 【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． 【深入探究】第一种情况：当∠B是直角时，Rt△ABC≌Rt△DEF. (1)如图12①，在Rt△ABC和Rt△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E＝90°，根据________，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF. 第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF. (2)如图②，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B，∠E都是钝角．求证：△ABC≌△DEF. 第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等． (3)在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B，∠E都是锐角．请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等(不写作法，保留作图痕迹)． 解：(1)HL (2)证明：如图，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于点G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于点H. ∵∠ABC＝∠DEF，且∠ABC，∠DEF都是钝角，∴180°－∠ABC＝∠180°－∠DEF，即∠CBG＝∠FEH.在△BCG和△EFH中，∵ ∴△CBG≌△FEH.(AAS)∴CG＝FH. 在Rt△ACG和Rt△DFH中，∵ ∴Rt△ACG≌Rt△DFH.(HL)∴∠A＝∠D. 在△ABC和△DEF中，∵ ∴△ABC≌△DEF.(AAS) (3)如图，△DEF和△ABC不全等． 25．经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”． ​ （1）如图1，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，CD平分∠ACB，请说明△ABC是“钻石三角形”． （2）如图2，已知Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=60°，则Rt△ABC ______“钻石三角形”（填“是”或者“不是”）；若是，其“钻石分割线”必过顶点 ______（填A或B或C）．若不是，请说明理由． （3）在△ABC中，∠BAC=20°，若存在过点C的“钻石分割线”，使△ABC是“钻石三角形”，请直接写出满足条件的∠B的度数． 解：（1）证明：△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°，∵CD平分∠ACB， ∴∠BCD=∠ACD=∠ACB=36°．∵∠A=∠ACD=36°，∴△ACD是等腰三角形，∵∠A=∠ACD=36°，∴∠BDC=∠A+∠ACD=72°，∵∠B=72°，∴∠B=∠BDC， ∴△BDC是等腰三角形，∴△ABC是“钻石三角形”． （2）是，理由：如图，取AC的中点D连接BD， ∵∠ABC=90°，∴BD=CD=AD，∴△BCD和△ABD是等腰三角形，∴Rt△ABC“钻石三角形”，其“钻石分割线”必过顶点B．故答案为：是，B； （3）如图a, 当AD=CD，∴∠ACD=∠A=20°，∴∠CDB=40°，∴①当CD=BD时，∠B=∠BCD=70°； ②当CD=BC时，∠B=∠CDB=40°； ③当BD=BC时，∠B=180°-40°-40°=100°； 如图b, 当AC=AE，CE=BE时，∵∠A=20°，∴∠ACE=∠AEC=80°，∴∠B=∠BCE=40°， 如图c, 当AC=CE，CE=BE时，∵∠A=20°，∴∠AEC=∠A=20°，∴∠B=10°， 综上所述，∠B的度数为70°或40°或100°或10°． 26.（12分）定义:顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做对顶三角形.如图1,在△OAB与△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD. (1)如图1,△OAB与△OCD是对顶三角形,且A,O,C三点共线,请判断AB与CD的位置关系,并说明理由; (2)如图2,△OAB与△OCD是对顶三角形,∠AOB=∠COD=90°,连接AC,BD,试探究线段AC,BD之间的关系,并说明理由; (3)如图3,△OAB与△OCD是对顶三角形,∠AOB=∠COD=90°,连接AD,BC,取AD的中点E,连接EO并延长,交BC于点F,延长OE至点G,使EG=OE,连接AG,求证:EF⊥BC. 图1 图2 图3 解：　(1)AB∥CD.理由:∵OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD, ∴∠OCD=∠ODC=(180°-∠COD),∠OAB=∠OBA=(180°-∠AOB), ∴∠OCD=∠OAB.∵A,O,C三点共线,∴AB∥CD. (2)AC=BD,AC⊥BD.理由:如图,设BD交AC于点M,交OC于点J.∵∠AOB=∠COD=90°, ∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC,即∠AOC=∠BOD.在△AOC和△BOD中,∴△AOC≌△BOD(SAS),∴AC=BD,∠OCM=∠ODJ.∵∠DJO=∠CJM, ∴∠CMJ=∠DOJ=90°,即AC⊥BD. (3)证明:如题图3,∵E为AD中点,∴AE=DE,在△AEG和△DEO中, ∴△AEG≌△DEO(SAS),∴AG=OD,∠G=∠DOE,∴AG∥OD,∴∠OAG+∠AOD=180°. ∵∠COD=∠AOB=90°,∴∠AOD+∠BOC=180°,∴∠GAO=∠COB.∵OD=OC,∴AG=OC.在△GAO和△COB中,∴△GAO≌△COB(SAS),∴∠AOG=∠OBC. ∵∠AOG+∠BOF=90°,∴∠OBC+∠BOF=90°,∴∠BFO=90°,即EF⊥BC. B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.如图,为估计池塘岸边A、B两点的距离,小方在池塘的一侧选取一点O,测得OA=20米,OB=15米,则A、B间的距离不可能是(　　) A.5米　　　B.15米　　　C.20米　　　D.25米 【答案】A　 【解析】根据三角形的三边关系,得20-15<AB<15+20,即5<AB<35,故A、B间的距离不可能是5米.故选A. 2.如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E，若∠A＝60°，则∠BEC是(　　) A．15°　 B．30°　 C．45°　 D．60° 【答案】B 【解析】：∵BE是∠ABC的平分线，∴∠EBM＝∠ABC，∵CE是外角∠ACM的平分线，∴∠ECM＝∠ACM，则∠BEC＝∠ECM－∠EBM＝×(∠ACM－∠ABC)＝∠A＝30°. 3、如图，在△ABC中，AB＝AC＝8厘米，BC＝6厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以1.5厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上，由C点向A点运动，为了使△BPD≌△CPQ，点Q的运动速度应为（ ） A．1厘米/秒 B．2厘米/秒 C．3厘米/秒 D．4厘米/秒 【答案】B 【解析】当△BPD≌△CPQ时，BD＝CQ＝4厘米，BP＝CP＝3厘米，∴点P运动的时间为3÷1.5＝2（秒），∴点Q的运动速度为4÷2＝2（厘米/秒）．故选：B． 4、如图、用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出∠0=∠0，的依据是( )， A.SAS B. ASA C.SSS D.AAS 【答案】c 【解析】由作法易得OD=O，D，、OC=0，C，.CD=C，D，.依据 SSS 可判家△COD≌△C，O，D，， 以∠0=∠0，、故选C. 5．如图所示，H是△ABC的高AD，BE的交点，且DH＝DC，则下列结论：①BD＝AD，②BC＝AC，③BH＝AC，④CE＝CD中，正确的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】①∵BE⊥AC，AD⊥BC，∴∠AEH＝∠ADB＝90°.∵∠HBD＋∠BHD＝90°，∠EAH＋∠AHE＝90°，∠BHD＝∠AHE，∴∠HBD＝∠EAH.∵DH＝DC，∴△BDH≌△ADC(AAS)．∴BD＝AD，BH＝AC.故①③正确；结论②④错误．故选B. 6．△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等；∠A＝40°，则∠BOC＝（　　） A．110° B．120° C．130° D．140° 【答案】A 【解析】∵O到三角形三边距离相等，∴O是内心，即三条角平分线交点，AO，BO，CO都是角平分线，∴∠CBO＝∠ABO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝∠ACB，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，∴∠OBC+∠OCB＝70°，∴∠BOC＝180°﹣70°＝110°．故选：A． 7.如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，BF＝8，则DE的长为（　　） A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【解析】∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴AD是△ABC的中线，∴S△ABC＝2S△ABD＝2DE•AB＝DE•AB，∵S△ABCAC•BF，∴AC•BF＝DE•AB，∵AC＝AB，∴BF＝DE，∵BF＝8， ∴DE＝4，故选：C． 8.如图，D是△ABC内部的一点，AD=CD,∠BAD=∠BCD.下列结论:①∠DAC=∠DCA:②AB=AC:③BD ⊥AC:④BD平分∠ABC.其中结论正确的序号是（ ） A.①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【解析】∵AD=CD，∴∠DAC=∠DCA,故①符合题意:∵∠BAD=∠BCD,∴.∠BAD+∠DAC=∠BCD+∠DCA,即∠BAC=∠BCA,∴AB=BC,故②不符合题意:∵AB =BC,AD=DC,∴BD垂直平分AC，故③符合题意:BD平分∠ABC，故④符合题意:故答案为:C. 9．如图，过等边△ABC的顶点A作直线．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵△ABC是等边三角形，∴，∵， 10．如图，在△ABC中，AE⊥BC于点E，BD⊥AC于点D；点F是AB的中点，连接DF，EF，设∠DFE＝x°，∠ACB＝y°，则（　　） A．y＝x B．y＝﹣x+90 C．y＝﹣2x+180 D．y＝﹣x+90 【答案】B 【解析】：∵AE⊥BC于点E，BD⊥AC于点D；∴∠ADB＝∠BEA＝90°，∵点F是AB的中点， ∴AF＝DF，BF＝EF，∴∠DAF＝∠ADF，∠EBF＝∠BEF，∴∠AFD＝180°﹣2∠CAB，∠BFE＝180°﹣2∠ABC，∴x°＝180°﹣∠AFD﹣∠BFE＝2（∠CAB+∠CBA）﹣180°＝2（180°﹣y°）﹣180°＝180°﹣2y°，∴y＝﹣x+90，故选：B． 二．填空题（共30分） 11．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多3，AB与AC的和为13，则AC＝　 　． 【答案】8 【解析】∵AD是BC边上的中线，∴BD＝DC，∵△ADC的周长比△ABD的周长多3，∴（AC+CD+AD）﹣（AB+BD﹣AD）＝3，即AC﹣AB＝3，又∵AB与AC的和为13， ∴，解得，故答案为：8． 12．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD=2BD，BE=CE，设△ADC的面积为S1，△ACE的面积为S2，若S△ABC=6，则S1﹣S2的值为　　． 【答案】1 【解析】∵BE=CE，∴S△ACE=S△ABC=×6=3，∵AD=2BD，∴S△ACD=S△ABC=×6=4， ∴S1﹣S2=S△ACD﹣S△ACE=4﹣3=1．故答案为：1． 13.如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的，若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，∠α的度数是_________. 【答案】∠α＝80° 【解析】∵∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，设∠1＝28x，∠2＝5x，∠3＝3x，∴28x＋5x＋3x＝36x＝180°，x＝5°即∠1＝140°，∠2＝25°，∠3＝15°∵△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的，∴△ABE≌△ADC≌△ABC∴∠2＝∠ABE，∠3＝∠ACD ∴∠α＝∠EBC＋∠BCD＝2∠2＋2∠3＝50°＋30°＝80° 14.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且CD＝BE，BD＝CF．若∠EDF＝42°，则∠BAC的度数是 　　． 【答案】96° 【解析】因为在△ABC中，AB = AC，根据等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，所以可得∠B=∠C。在△BDE与△CFD中，已知BD = CF，由步骤1得到∠B = ∠C，又已知BE = CD。根据全等三角形的判定定理（SAS：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等），所以△BDE≌△CFD(SAS)。根据全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，所以∠EDB = ∠DFC，∠FDC =∠BED。又因为∠EDF +∠EDB +∠FDC = 180°（平角的定义：平角为180°），∠B +∠BED +∠EDB = 180°（三角形内角和定理：三角形内角和为180°），且∠FDC =∠BED，∠EDB =∠EDB，所以可得∠B=∠EDF。已知∠EDF=42°，由步骤3可知∠B =∠EDF，所以∠B = 42°。又因为∠B = ∠C（步骤1已证），所以∠C = 42°。在△ABC中，根据三角形内角和定理：三角形内角和为180°，即∠BAC + ∠B + ∠C = 180°。已知∠B = 42°，∠C = 42°，所以∠BAC = 180°- ∠B - ∠C = 180° - 42°- 42 °= 96°。 15.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC，AD，AB于点E，O，F，则图中全等三角形的对数是______. 【答案】4 【解析】∵D是BC的中点，∴BD＝CD.又∵AB＝AC，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD(SSS)，∴∠BDO＝∠CDO＝90°.∵EF垂直平分AC，∴OA＝OC，AE＝CE.又∵OE＝OE，∴△AOE≌△COE(SSS)．∵BD＝CD，∠BDO＝∠CDO，OD＝OD，∴△BOD≌△COD(SAS)．∵AC＝AB，OA＝OA，OC＝OB，∴△AOC≌△AOB(SSS)．综上所述，共有4对全等三角形． 16. 已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=EF=EC；④BA+BC=2BF，其中正确的结论有________（填序号）． 【答案】①②④ 【解析】：①∵BD为△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠CBD，在△ABD和△EBC中， ,∴△ABD≌△EBC（SAS），∴①正确；②∵BD为△ABC的角平分线，BD=BC，BE=BA，∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，∵△ABD≌△EBC，∴∠BCE=∠BDA，∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，∴②正确； ③∵∠BCE=∠BDA，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∠BDA=∠DAE+∠BEA，∠BCD=∠BEA， ∴∠DCE=∠DAE，∴△ACE为等腰三角形，∴AE=EC，∵△ABD≌△EBC，∴AD=EC，∴AD=AE=EC，∵BD为△ABC的角平分线，EF⊥AB，而EC不垂直与BC，∴EF≠EC， ∴③错误；④过E作EG⊥BC于G点， ∵E是BD上的点，∴EF=EG，在Rt△BEG和Rt△BEF中， ,∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），∴BG=BF，在Rt△CEG和Rt△AFE中，,∴Rt△CEG≌Rt△AFE（HL），∴AF=CG ∴BA+BC=BF+FA+BG-CG=BF+BG=2BF，∴④正确．故答案为①②④． 17.如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝AC，∠1＝20°，∠ABC＝54°，则∠2的度数为 　 　． 【答案】52° 【解析】如图：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝54°，∴∠CAB＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝72°，∵∠1＝20°，∴∠3＝∠CAB﹣∠1＝52°，∵l1∥l2，∴∠3＝∠2＝52°，故答案为：52°． 18．如图，已知△ABC的面积为24，AB＝AC＝8，点D为BC边上一点，过点D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若DF＝2DE，则DF长为________. 【答案】4 【解析】连接AD，则：S△ABD+S△ACD＝S△ABC，即：×8•DF+8•DE＝24，可得：DE+DF＝6，∵DF＝2DE，∴DF＝4， 19．某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要________. 【答案】150a元 【解析】：如图，作BA边的高CD，设与BA的延长线交于点D，∵∠BAC＝150°，∴∠DAC＝30°，∵CD⊥BD，AC＝30 m，∴CD＝15 m，∵AB＝20 m，∴S△ABC＝AB×CD＝×20×15＝150(m2)，∵每平方米售价a元，∴购买这种草皮的价格是150a元． 20．如图，已知△ABC中，AB＝8，BC＝10，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE⊥AB，AF⊥BC，垂足分别为点E、F，若DE＝3，则AF＝　 　． 【答案】 【解析】：过D作DH⊥BC于H，∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，∴DH＝DE＝3，∵BC＝10，∴S△BDC＝BC•DH＝×10×3＝15；∵S△ABC＝S△ABD+S△CBD，∴AF•BC＝AB•DE+15，∴×10AF＝×8×3+15，∴AF＝，故答案为：15，． 三．解答题（共60分） 21.【定义】若一个三角形三边长均为偶数，则称这个三角形为“好运三角形”例如，三边为6，8，10的三角形是“好运三角形”． （1）【概念运用】在△ABC中，AB=2，BC=4，若△ABC为“好运三角形”，求AC的长； （2）【变式运用】已知△ABC的周长为16，AC=4，若1B的长为偶数，试判断△ABC是否为“好运三角形”． 解：（1）△ABC中，根据三角形三边关系“任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边”，已知AB = 2，BC = 4，所以4 - 2 ＜AC ＜4 + 2，即2＜ AC ＜6。 因为＜ABC为“好运三角形”，“好运三角形”三边长均为偶数，所以AC的长为偶数。 在2 ＜AC ＜6这个范围内的偶数只有4，所以AC = 4。 （2）已知△ABC的周长为16，AC = 4，因为三角形周长等于三边之和，即AB + BC + AC = 16，所以AB + BC = 16 - 4 = 12，则BC = 12 - AB。因为AB的长为偶数，12是偶数，根据偶数减偶数为偶数，所以BC = 12 - AB的长也为偶数。又已知AC = 4为偶数，所以 △ABC的三边长均为偶数，根据“好运三角形”的定义，可知＜ABC是“好运三角形”。 总结（1）AC的长为4；（2）△ABC是“好运三角形”。 22.观察并探求下列各问题： (1)如图①，在△ABC中，P为边BC上一点，则BP＋PC____AB＋AC(填“＞”“＜”或“＝”)． (2)将(1)中的点P移到△ABC内，得图②，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由． (3)将(2)中的点P变为两个点P1，P2得图③，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由． 解：（1）＜ （2）△BPC的周长＜△ABC的周长．理由如下：如解图①，延长BP交AC于点M.在△ABM中，BP＋PM＜AB＋AM；在△PMC中，PC＜PM＋MC，两式相加，得BP＋PC＜AB＋AC，∴BP＋PC＋BC＜AB＋AC＋BC，即△BPC的周长＜△ABC的周长． (3)四边形BP1P2C的周长＜△ABC的周长．理由如下：如解图②，分别延长BP1，CP2交于点M.由(2)知，BM＋CM＜AB＋AC.又∵P1P2＜P1M＋P2M，∴BP1＋P1P2＋P2C＜BM＋CM＜AB＋AC，∴BP1＋P1P2＋P2C＋BC<AB＋AC＋BC，即四边形BP1P2C的周长<△ABC的周长． 23.如图△ABC中,AD平分∠BAC,DG垂直平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC交AC的延长线于F.(1)求证:BE=CF; (2)如果AB=5,AC=3,求AE、BE的长. 解：(1)证明:连接BD、CD,如图.∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AF,∴DE=DF,∠BED=∠CFD=90°,∵DG垂直平分BC,∴BD=CD.在Rt△BED与Rt△CFD中, ∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL),∴BE=CF. (2)∵AD平分∠BAC,∴∠EAD=∠FAD.在△AED和△AFD中, ∴△AED≌△AFD(AAS),∴AE=AF,设BE=x,则CF=x,∵AB=5,AC=3,AE=AB-BE,AF=AC+CF, ∴5-x=3+x,解得x=1,∴BE=1,∴AE=5-1=4. 24．我们用画图象的方法学习了探索三角形全等的条件，我们经历了下面的过程：要画一个三角形与小明画的三角形全等，需要几个与边或角的大小有关的条件呢？一个条件、两个条件、三个条件… 想一想： (1只给一个条件（一条边或一个角）画三角形时，大家画出的三角形一定全等吗？ 答：______（填“一定”或“不一定”）由此你得出结论：__________________________. （2） 给出两个条件画三角形时，有三种可能的情况，如：①三角形的一个内角为30°，一条边为3cm．②三角形的两个内角分别为30°和50°．③三角形的两条边分别为4cm，6cm．请你从上面三种情况中，任选其中一种情况画两个图形进行研究，你所画的两个图形一定全等吗？由此你得出什么结论：__________________________________________________. （3）如果给出三个条件画三角形，你能说出有哪几种可能的情况? 答：有四种可能：三条边、三个角、两边一角和两角一边,___________. ①已知一个三角形的三个内角分别为40°、60°和80°． 那么，你画的三角形和同伴画的一定全等吗？ 答：________（填“一定”或“不一定”） ②已知一个三角形的三条边分别为4cm、5cm和7cm．那么，你画的三角形和同伴画的一定全等吗？ 答：_________（填“一定”或“不一定”） 由①你得出什么结论：_______________________________________________． 由②你得出什么结论：_______________________________________________． 解：（1）如图1， △ACD和△ABC的边AC=AC，但是两三角形不全等，故答案为；不一定，如果两个三角形有一个相等的边或角，那么这两个三角形不一定全等； （2）如图2， ∠A=∠A=30°，BC=BD=3cm，但是△ABC和△ABD补全等，即如果两个三角形有两个相等的边或角，那么这两个三角形不一定全等，故答案为：两个三角形的边或角中，如果有两个相等，那么这两个三角形不一定全等； （3）两角一边； ①如图3， △ADE和△ABC中，∠A=∠A=40°，∠ADE=∠B=60°，∠AED=∠ACB，但是两三角形不全等， 故答案为：不一定； ②如图4， △ABC和△DEF中，AC=DF=4cm，AB=DE=5cm，BC=FE=7cm，则△ABC≌△DEF，故答案为：一定，有三角分别相等的两个三角形不一定全等，有三边分别相等的两个三角形全等． 25.已知在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED=EC. (1)【特殊情况,探索结论】 如图1,当点E为AB的中点时,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:AE　　　　DB(填“>”“<”或“=”).  (2)【特例启发,解答题目】 如图2,当点E为AB边上任意一点时,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论: AE　　　　DB(填“>”“<”或“=”);理由如下:过点E作EF∥BC,交AC于点F(请你完成后续解答过程).  (3)【拓展结论,设计新题】 在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在线段CB的延长线上,且ED=EC,若△ABC的边长为1,AE=2,求CD的长(请你画出相应图形,并直接写出结果). 图1 图2 解：(1)当E为AB的中点时,AE=DB. （2）AE=DB.理由:如图,过点E作EF∥BC,交AC于点F,∵△ABC为等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°,AB=AC,∴∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠ACB=60°,∴△AEF为等三角边形,∴AE=AF=EF,∴BE=CF.∵ED=EC,∴∠D=∠ECD. ∵∠DEB=∠ABC-∠D=60°-∠D,∠ECF=∠ACB-∠ECB=60°-∠ECD,∴∠DEB=∠ECF.在△DBE和△EFC中,∴△DBE≌△EFC(SAS),∴DB=EF,∴AE=DB. （3）如图所示,过点E作EF∥BC,交AC的延长线于点F,易得△AEF是等边三角形,且边长为2,∴EB=FC.∵ED=EC,∴∠EDC=∠ECD,∵BC∥EF, ∴∠DCE=∠CEF,∴∠CDE=∠CEF,又∵∠DBE=∠ABC=60°=∠AFE, ∴△DBE≌△EFC,∴DB=EF=2,∵BC=1,∴CD=BC+DB=3. 26.如图1，已知△ABC为直角三角形，∠BCA＝90°，在BC的延长线上取一点D，使得，点E是AB的中点，连接DE，M为ED的中点，连接CM、AD． （1）试判断CM与ED的位置关系，并说明理由； （2）若∠AED＝105°，请求出∠BAC的度数； （3）如果将题中“在BC的延长线上取一点D“改为“在CB的延长线上取一点D”，其余条件不变．如图2所示，若∠AED＝165°，请求出∠BAC的度数． 解：（1）CM垂直平分ED，理由如下：如图1，连接CE，∵∠BCA＝90°，点E是AB的中点，∴AB＝2CE，∵CD＝AB，∴CE＝CD，∵M为ED的中点，∴CM垂直平分ED； （2）∵∠BCA＝90°，点E是AB的中点，∴BE＝CE＝AB，∴∠B＝∠ECB，∵CE＝CD， ∴∠CDE＝∠DEC，∴∠ECB＝∠DEC+∠CDE＝2∠CDE，∴∠B＝2∠CDE，∵∠AED＝∠B+∠CDE，∴∠AED＝3∠CDE，∵∠AED＝105°，∴∠CDE＝35°，∴∠B＝70°，∵∠BCA＝90°， ∴∠BAC＝180°﹣90°﹣70°＝20°； （3）如图2，连接CE，∵∠BCA＝90°，点E是AB的中点，∴AB＝2CE，BE＝CE， ∴∠EBC＝∠ECB，∵CD＝AB，∴CE＝CD，∴∠CDE＝∠DEC，∵∠AED＝165°， ∴∠BED＝180°﹣165°＝15°，∵∠EBC＝∠CDE+∠BED，∠EBC＝∠ECB＝∠CDE+15°， ∵∠AED＝∠CDE+∠DBE，∠DBE＝∠ECB+∠CEB，∴∠AED＝∠CDE+∠ECB+∠CEB， ∵∠CEB＝∠CED﹣∠BED，∴∠CEB＝∠CDE﹣15°，∴∠AED＝∠CDE+∠CDE+15°+∠CDE﹣15°＝3∠CDE，∴∠CDE＝55°，∴∠EBC＝55°+15°＝70°，∴∠BAC＝180°﹣90°﹣70°＝20°． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026-2027学年苏科版八年级数学上提优宝典 《第一章三角形小结与思考（单元小结）》提优特训A·B卷 一．学习目标 ( 1.系统梳理三角形边角关系、特殊线段、全等判定、垂直平分线、角平分线、等腰（等边）三角形、直角三角形斜边中线全部核心概念与定理，能准确复述定理内容。 2.熟练完成几何证明、线段与角度计算；掌握全等模型、等腰三角形模型、斜边中线模型；提升识图、标注条件、规范书写证明步骤的推理能力。 3.建立几何转化思想，学会 “ 边角互推 ” ，会做辅助线（倍长中线、作垂线、构造全等），培养逻辑严谨性。 4.体会几何逻辑的严谨美，克服几何证明畏难心理，养成 “ 已知条件标注图形 ” 的解题习惯，提升直观想象与逻辑推理核心素养。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.三角形三边关系、三角形内角和与外角性质；三角形高、中线、角平分线的性质。 2.全等三角形性质与四大判定（SSS、SAS、ASA、AAS），直角三角形HL判定。 3.线段垂直平分线、角平分线的性质定理与逆定理。 4.等腰、等边三角形性质与判定；直角三角形斜边上中线等于斜边一半定理及应用。 （二）难点 1.全等条件辨析：SSA不能判定全等；复杂图形中找准全等的对应边、对应角。 2.等腰三角形分类讨论（边、角未指明腰/底、顶角/底角）。 3.直角三角形斜边中线模型识别，会添加辅助线构造斜边中线。 4.多定理综合大题，证明过程逻辑链条完整，步骤规范，不漏条件。 )三．知识梳理 ( （一） 三角形基础 1. 三角形 的 定义： 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。强调 “ 不在同一直线上 ”“ 首尾顺次相接 ” 这两个关键条件。 2 .表示方法： 以 △ ABC为例，介绍三角形的顶点、边和角的表示方法。顶点用大写字母A、B、C表示；边可以用两个顶点的大写字母表示，如AB、BC、AC，也可以用小写字母a、b、c表示，其中a表示 ∠ A的对边BC，b表示 ∠ B的对边AC ，c表示 ∠ C的对边AB；角用 ∠ A、 ∠ B、 ∠ C表示。 3. 三角形分类 （1） （2） ) ( 4 .三角形三边关系 （1） 文字表述：三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边； （2） 实用判断：只需检验较短两条线段之和＞最长线段，即可判定能组成三角形； （3）取值范围：已知两边a、b，则第三边x满足|a-b|<x<a+b。 5. 边和角的关系 （1）大边对大角 在一个三角形中，如果两条边不等，那么他们所对的角也不等，大边所对的角较大. （2）大角对大边 类似的在一个三角形中，，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大。 （二） 三角形的三条重要线段（高、中线、角平分线） 1. 三角形的高 （1） 定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。例如在 △ ABC中，过点A作对边BC所在直线的垂线，垂足为 F ，则线段A F 就是 △ ABC的高 。 注意： “ 垂线 ” 是一条直线 , “ 三角形的高 ” 是一条线段. （2）理解： 三角形的高线共有3条．锐角三角形的3条高交于三角形内一点．直角三角形的3条高交于直角顶点．钝角三角形的三条高不相交，但3条高所在直线相交于三角形外一点． 2. 三角形的中线 （1） 定义：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线。比如在 △ ABC中，若 D 是BC边的中点，连接A D ，则线段A D 就是 △ ABC的中线。 如图，线段AD就是 △ ABC的一条中线 ,也称AD为边BC上的中线 。 注意：角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段 。 （2）理解 ： ① 三角形的中线是一条线段 。 ② 三角形有三条中线，且三条中线都在三角形内部，三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心。 ③ 三角形的中线把三角形分成面积相等的两个小三角形，即若AD是 △ ABC的中线，则S △ ABD = S △ ACD 。这是因为这两个小三角形等底（BD = CD ）同高（都是从A点到BC边的距离），根据三角形面积公式S = × 底 × 高，所以面积相等。 ) ( ④ 三角形的中线分三角形的周长差等于对应另两边的差，即若AD是 △ ABC的中线，则（AB +BD+AD ） -（AC+CD+AD ） =AB-AC（因为BD = CD ） 。 3. 三角形的角平分线 （1） 定义：在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。例如在 △ ABC中，A E 平分 ∠ BAC，交BC于点 E ，则线段A E 就是 △ ABC的角平分线。 （2）理解 ： ① 三角形的角平分线是一条线段。 ② 三角形有三条角平分线，且三条角平分线都在三角形内部，三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心。 ③ 三角形的角平分线把三角形分得的两个小三角形的面积比等于被角平分线分边分得的两条线段比，即若AD是 △ ABC的角平分线，则S △ ABD ：S △ ACD = BD：CD 。 （三）三角形内角与外角 1.内角和定理： 三角形三个内角的和等于180 o 。 2. 推论： 直角三角形的两个锐角互余；若一个三角形两个锐角互余，则这个三角形是直角三角形。 3 .三角形外角 （1） 定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 如图 ∠ ACD是AABC的一个外角 。 （2） 核心性质： ① 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和； ② 三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角； ③ 三角形三个外角（每个顶点取1个）的和恒为360 o 。 （四） 全等三角形 （核心重点） 1. 全等形： 能够完全重合的两个图形叫做全等形。全等形只要求形状、大小完全相同，和图形摆放位置无关；平移、翻折、旋转前后的图形一定是全等形。 2. 全 等三角形 （1）定义： 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 （2）表示： 如图，两个能完全重合的三角形是全等三角形 记作： △ ABC ≌△ A'B'C' ；读作： △ ABC全等于 △ A'B'C' 用符号 “≌” 表示全等要严格遵守对应关系。如 △ ABC与 △ DEF全等，记作 △ ABC ≌△ DEF，注意对应顶点的字母要写在对应的位置上。 3. 全等三角形 的 性质 （1） 基本性质： ① 内容 ： 全等三角形的对应边相等，对应角相等 。 是本节最核心结论，也是后续几何证明的依据。 ) ( ② 用几 何语言： ∵ △ ABC ≌△ DEF（已知）， ∴ AB = DE，BC = EF，AC = DF（全等三角形的对应边相等）； ∠ A = ∠ D， ∠ B = ∠ E， ∠ C = ∠ F（全等三角形的对应角相等）。 （2） 衍生性质： ① 全等三角形的周长相等、面积相等； ② 全等三角形对应边上的中线、对应边上的高、对应角的角平分线长度相等。 注意：周长相等或者面积相等的两个三角形，不一定是全等三角形，该命题不可逆。 4. 全等三角形 的 判定 （1） SAS判定 ① 定理内容： 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简记为 “ 边角边 ” 或SAS。 ② 关键词：夹角，即两组相等边中间夹住的内角。 ③ 几何语言： 在 △ ABC和 △ A'B'C'中 ∴△ ABC ≌△ A'B'C ‘ (SAS). （2） ASA（角边角） ① 定理内容 ：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简记为ASA。这里的夹边，是指两组相等角中间共用的那条对应边。 ② 关键要点：相等的一条边，必须是两组等角之间的公共夹边。 ③ 几何语言： 在 △ ABC 和 △ A ′ B ′ C ′ 中 ∴ △ ABC ≌△ A ′ B ′ C ′ （ASA）. （3 ）AAS（角角边） ① 定理内容 ： 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简记为AAS。AAS可以利用三角形内角和定理转化为ASA进行推导证明。 ② 关键要点：这条相等的边，不属于两组已知等角的夹边，是其中一个角所对的边。 ③ 几何语言： 在 △ ABC 和 △ A ′ B ′ C ′ 中， ∴△ ABC ≌△ A ′ B ′ C ′ （AAS） ) ( （4） SSS判定 ① 定理内容： 三边对应相等的两个三角形全等，简记为边边边或SSS。 ② 关键要点： 必须强调对应相等，单纯三边长度相等、顶点不对应，不能直接判定全等。 ③ 几何符号语言： 在 △ ABC 和 △ A ′ B ′ C ′ 中， ∴ △ ABC ≌△ A ′ B ′ C ′ (SSS) ④ 三角形的稳定性 当一个三角形的三条边长确定后，这个三角形的形状、大小就唯一确定，这个性质叫做三角形的稳定性。 （5）HL 判定 ① 定理内容： 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为斜边、直角边或HL。 ② 重要前提：两个三角形必须是直角三角形。 ③ 几何语言 ： 在Rt △ ABC和Rt △ A ′ B ′ C ′ 中， ∠ C＝ ∠ C ′ ＝90 ° ，如果 ∴ Rt △ ABC ≌ Rt △ A ′ B ′ C ′ （HL）． （五）线段垂直平分线 1.定义： 经过一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。 线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. 2.性质定理： （1）内容：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 。 （2）几何语言： ∵ 点P在线段AB的垂直平分线l上， ∴ PA=PB。 3. 判定定理（ 性质定理的 逆定理） （1）内容：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 （2）几何符号语言： ∵ PA=PB， ∴ 点P在线段AB的垂直平分线上。 ) ( （3）重要提醒： ① 判定一条直线是线段的垂直平分线：只一个点满足PA=PB不够，需要找到两个不同的点都满足到线段两端距离相等，两点确定一条直线，才能说明这条直线是垂直平分线。 ② 线段垂直平分线可以看作是所有到线段两端距离相等的点的集合。 4.画法 ： （1） 利用网格线画线段PQ的垂直平分线． （2） 尺规作线段的垂直平分线 ① 分别以点 A,B 为圆心, 大于 AB 为半径画弧,两弧相交于点C,D;   ② 过C,D两点作直线. 直线CD就是线段AB的垂直平分线. 5.三角形三边垂直平分线性质 （1）三角形三条边的垂直平分线相交于同一个点，这个点到三角形三个顶点的距离相等，这个点叫做三角形的外心。 锐角三角形三边的垂直平分线的交点在三角形内部，直角三角形三边的垂直平分线的交点在是斜边的中点，钝角三角形三边的垂直平分线的交点在三角形外部. （2）三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等。 ABC中，AB、BC、AC三边垂直平分线交于点O，则OA=OB=OC。 （六）角平分线 1.定义： 从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线 。 ① 判定：射线把角分成两个相等角 → 射线是角平分线； ② 性质：射线是角平分线 → 分出的两个角大小相等。 （2） 角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴。沿角平分线对折，角两边能够完全重合，这也是角平分线性质定理的几何基础。 2. 性质定理 （1） 定理内容 ： 角平分线上的点，到这个角两边的距离相等。 （2） 符号语言 ： ∵ OC平分 ∠ AOB，PD ⊥ OA ，PE ⊥ OB ∴ PD=PE ) ( （3） 理解： ① 点：必须是在角平分线上的点。 ② 距离：专指垂线段的长度，不是任意连接的斜线段。两个垂直条件缺一不可！只有垂直，才叫 “ 点到直线的距离 ” 。 ③ 定理作用：直接证明两条垂线段相等，可以省去全等的证明步骤，简化几何书写。 3. 判定定理（ 性质定理 的 逆定理） （1） 定理 内容： 在角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 （2） 符号语言： ∵ OC平分 ∠ AOB，PD ⊥ OA ，PE ⊥ OB ∴ PD=PE （3）理解： ① 点在角的内部 ， 这个条件不能省略。如果点在角外部，也可以满足到角两边（或两边延长线）垂线段相等，但不在这个角的角平分线上。 ② 距离=垂线段的长度 ， PC、PD必须垂直于角的两条边，不是任意连接的斜线段。只有垂线段相等，才能推出点在角平分线上。 ③ 判定角平分线的一种方法：不用测量角，只要看角内某点到两边垂线段是否相等，就能判断该点是否在角平分线上。 （七） 等腰三角形 1.定义 ： 两条边相等的三角形叫做等腰三角形。其中，相等的两条边称为腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 强调 “ 至少有两条边相等 ” ，说明等边三角形是特殊的等腰三角形（三条边都相等）。 【 注意 】 ： （1） 等腰三角形中，底边、顶角是唯一的，底角有两个； （2） 等腰三角形具备普通三角形全部性质：内角和180 o ，两边之和大于第三边。 （3）等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线（底边上的中线所在直线、底边上的高所在直线）是它的对称轴 。 2.性质： （ 1 ） “ 等边对等角 ” ① 内容：等腰三角形的两个底角相等，简写成 “ 等边对等角 ” 。 ② 几何语言： ∵ 在 △ ABC中，AB=AC ∴∠ B= ∠ C （ 2 ）三线合一（重点） ① 内容：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高，三者互相重合，简称 “ 三线合一 ” 。 ) ( ② 几何语言：（三种等价形式， △ ABC中AB=AC） 在 △ ABC中 ∵ AB=AC, ∠ BAD= ∠ CAD ∴ BD=CD,AD ⊥ BC ∵ AB=AC,BD=CD ∴∠ BAD= ∠ CAD，AD ⊥ BC ∵ AB=AC，AD ⊥ BC ∴∠ BAD= ∠ CAD，BD=CD ③ 理解： “ 三线合一 ” 只针对顶角、底边；腰上的中线、腰上的高、腰对应的角平分线，不满足三线合一； 判定 ： （1） 定义法 ① 定义： 有两条边相等的三角形是等腰三角形。 ② 几何语言： ∵ 在 △ ABC中，AB=AC， ∴△ ABC为等腰三角形。 ③ 说明：定义本身既是等腰三角形的性质，同时也是最基础的判定方法。 （2） 等角对等边 （ 核心重点） ① 内容：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。简单记作：等角对等边 。 ② 几何符号语言： 在 △ ABC中， ∵∠ B= ∠ C（已知）， ∴ AC=AB（在同一个三角形中，等角对等边）， 即 △ ABC为等腰三角形. ③ 关键提醒： 一定要注意等角对等边是在同一个三角形内部成立，跨三角形不能直接使用。 （八）等边三角形 1.定义： 三边都相等的三角形叫做等边三角形，也称为正三角形。 （1）从边的角度：三条边都相等。 （2）从角的角度：三个角都相等，且均为60 ° （可通过三角形内角和定理推导）。 （3）从对称性角度：有3条对称轴，远超等腰三角形的1条。 2.从属关系： 等边三角形属于特殊的等腰三角形（腰＝底边），因此等边三角形拥有等腰三角形全部性质。 3.几何语言： ∵ AB=BC=AC， ∴△ ABC为等边三角形。 ) ( 4.性质定理（四大维度：边、角、对称性、特殊线段） （1）边：等边三角形的三条边都相等； （2）角：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60 ° ； （3）对称性：等边三角形是轴对称图形，它有3 条对称轴，分别为三边的垂直平分线； （4）三线合一：各边上的高、中线、对角的角平分线重合，且长度相等. 5. 判定（必考，需要区分使用场景） （1） 定义法 （ 从边出发） ： ① 内容： 三边都相等的三角形是等边三角形。 ② 适用：题目直接给出三条边相等，或者可以证出三条线段全部相等。 （2） 判定（从角出发） ： ① 内容： 三个内角都相等的三角形是等边三角形。 ② 推导：三角形内角和180 o ，三个角相等，可以得到每个内角都是60 o 。 ③ 适用：题干能够证明三个角彼此相等；若已经知道两个角等于60 o ，第三个角自然等于60 o ，同样可以判定。 （3） 判定（高频重难点） ① 内容： 有一个内角等于60 o 的等腰三角形是等边三角形。 ② 关键：两个前提缺一不可： ① 该三角形是等腰三角形； ② 存在一个内角为60 o 。 ③ 分类理解： 情况1：等腰三角形顶角等于60 o ，两个底角均等于60 o ； 情况2：等腰三角形一个底角等于60 o ，另一个底角也是60 o ，顶角等于60 o 。 无论60 o 是顶角还是底角，只要等腰三角形存在一个60 o 内角，一定是等边三角形。 （九） 含30 o 锐角的直角三角形的性质 1.内容： 含30 ° 角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30 ° ，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 2. 几何语言 ： ∵ 　在Rt △ ABC 中， ∠ C =90 ° ， ∠ A =30 ° ， ∴ BC = AB （十） 直角三角形斜边上中线的性质定理（核心必考） 1.内容： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 2.几何语言: ∵ 在 △ ABC中, ∠ ACB=90 ° ，CD是斜边AB边上的中线 ∴ CD= AB 3. 两条重要推论 （1） 推论 ① ：直角三角形斜边的中点，到三个顶点的距离当中，到两个直角顶点、斜边两端点距离满足AD=BD=CD；中线把直角三角形分成两个等腰三角形： △ ACD、 △ BCD均为等腰三角形。 （2） 推论 ② ：角度转化： ∠ A= ∠ ACD， ∠ B= ∠ BCD，可以直接用来计算角度。 ) ( 4. 定理使用两大前提，缺一不可 （1） 三角形必须是直角三角形，存在一个内角等于90 ° ； （2） 这条中线一定是斜边上的中线，直角边上的中线没有这条性质！ 5. 定理的逆命题 （1） 逆命题 （ 逆定理 ） ： 如果一个三角形一条边上的中线等于这条边长的一半，那么这个三角形是直角三角形，这条边就是斜边。 （2） 几何语言： ∵ 在 △ ABC中，D是AB中点，且CD= AB， ∴∠ ACB=90 ° ， ∴△ ABC为直角三角形。 （3） 用途：不需要计算角度，直接用来证明某个角是直角、证明两条线段互相垂直。 （4） 提醒：不能直接称 “ 逆定理 ” ，课本中将它作为定理的逆命题，可以直接用来解题。 ) A卷·基础过关 （时间：45分钟 满分：120分） 一选择题（共30分） 1.我们将有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”,则图中以BC为公共边的“共边三角形”有　(　　) A.2对　　　B.3对　　　C.4对　　　D.6对 2.如图1，M是铁丝AD的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC，且∠B=30°，∠C=100°，如图2．则下列说法正确的是（　　） A．点M在AB上 B．点M在BC的中点处 C．点M在BC上，且距点B较近，距点C较远 D．点M在BC上，且距点C较近，距点B较远 3、如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4.如图，AB∥CD，且AB = CD，则ABE≌△CDE的根据是（　　） A．只能用ASA B．只能用SAS C．只能用AAS D．用ASA或AAS 5．已知AB=AC，AD为∠BAC的角平分线，D、E、F…为∠BAC的角平分线上的若干点．如图1，连接BD、CD，图中有1对全等三角形；如图2，连接BD、CD、BE、CE，图中有3对全等三角形；如图3，连接BD、CD、CE、BF、CF，图中有6对全等三角形；依此规律，第8个图形中有全等三角形（　　） A．24对 B．28对 C．36对 D．72对 6.如图,△ABC的边AB的垂直平分线DE交AB于D,交AC于E,且BC=BD=2,则△BCE的周长C不可能是(　　) A.5　　　　 B.6　　　 　C.7　　　 　D.8 7.如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，现将三角形的一个角沿AD折叠，使得点C落在边AB上的点C′处，若△BC′D是等腰三角形，则∠C的度数为（　　） A.36° B.38° C.48° D.84° 8．如图，A，B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，在图中所有符合条件的点C应该有（　　）个． A．7 B．8 C．9 D．10 9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,BC=4,等边△CDE的顶点E,D分别在线段AB,BC上,则CD的长为(　　) A.1　　　 B.2　　 　C.3　　　 D.4 10.折纸是一种传统的手工艺术，也是每一个人从小就经历的事，它是一种培养手指灵活性、协调能力的游戏，更是培养智力的一种手段．在折纸中，蕴含许多数学知识，我们还可以通过折纸验证数学猜想．把一张直角三角形纸片按照图 ①~④ 的过程折叠后展开，请选择所得到的数学结论 ( ) A. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 B. 在直角三角形中，如果一个锐角等于30o，那么它所对的直角边等于斜边的一半 C. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 D. 如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形 二．填空题（共30分） 11．为锐角，AB=16，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为8，BC=x，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是____． 12、如图，△ABC≌△ADE，若∠B＝70°，∠C＝30°，∠DAC＝25°，则∠EAC的度数为 　 　． 13．如图，在△ABC中AB＝6，BC＝7，AC＝5，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，则△BDE的周长为__________. 14.把等腰直角三角形ABC,按如图所示立在桌上,顶点A顶着桌面,若另两个顶点距离桌面5cm和3cm,则过另外两个顶点向桌面作垂线,则垂足之间的距离DE的长为____________ 15．如图，AC、BD相交于点O，OA＝OB，OC＝OD，则图中全等三角形共有______对. 16.如图,已知AC⊥BC,BD⊥AD,AC,BD相交于点O,如果AC=BD,那么下列结论:①Rt△ABD≌Rt△BAC;②AD=BC;③∠ABC=∠BAD;④∠DAC=∠CBD.其中正确的是__________. 17.如图，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，AC=9，AE：EC=2：1，则点B到点E的距离是__________． 18．如图，∠AOB=30°，∠ABM=60°，P为射线BM上一动点（P不与B重合），当以A，O，B三个点中的某两个点与P点构成等腰三角形时，∠OAP的度数为 ______． 19.如图，△ABC是等边三角形，点P是三角形内的任意一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为12，则PD+PE+PF=________. 20．在△ABC中，∠BAC为钝角，AF，CE都是这个三角形的高，P为AC的中点，若∠B＝42°，则∠EPF的度数为　　． 三．解答题（共60分） 21.作图题 （1）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A和点B均为格点，请利用无刻度直尺作出线段AB的垂直平分线，并简要说明作图方法（不要求证明） （2）如图，请用尺规作图法，求作的平分线． 22、如图，已知四边形ABCD中，AB＝BC＝8cm，CD＝6cm，∠B＝∠C，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，点Q运动的速度是每秒2cm，点P运动的速度是每秒acm（a≤2），当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t秒， （1）BQ＝　 　；BP＝　 　；（用含a或t的代数式表示） （2）运动过程中，连接PQ、DQ，△BPQ与△CDQ是否全等？若能，请求出相应的t和a的值；若不能，请说明理由． 23.如图1,在△ABC中,AB=AC,D为BC边上一点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F. 作图:请作出AC边上的高BG. 探究: (1)请你通过观察、测量找到DE、DF、BG之间的数量关系:　　　　　　.  (2)为了说明DE、DF、BG之间的数量关系,小嘉是这样做的: 连接AD, 则S△ADC=　　　　,S△ABD=　　　　,  ∴S△ABC=　　　　　　　　　　,  S△ABC还可以表示为　　　　.  …… 请你帮小嘉完成上述填空. 拓展:当点D在如图2的位置时,(1)中DE、DF、BG之间的数量关系是否仍然成立?补全图形并说明理由. 　 24.【问题提出】学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究． 【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． 【深入探究】第一种情况：当∠B是直角时，Rt△ABC≌Rt△DEF. (1)如图12①，在Rt△ABC和Rt△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E＝90°，根据________，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF. 第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF. (2)如图②，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B，∠E都是钝角．求证：△ABC≌△DEF. 第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等． (3)在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B，∠E都是锐角．请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等(不写作法，保留作图痕迹)． 25．经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”． ​ （1）如图1，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，CD平分∠ACB，请说明△ABC是“钻石三角形”． （2）如图2，已知Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=60°，则Rt△ABC ______“钻石三角形”（填“是”或者“不是”）；若是，其“钻石分割线”必过顶点 ______（填A或B或C）．若不是，请说明理由． （3）在△ABC中，∠BAC=20°，若存在过点C的“钻石分割线”，使△ABC是“钻石三角形”，请直接写出满足条件的∠B的度数． 26.定义:顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做对顶三角形.如图1,在△OAB与△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD. (1)如图1,△OAB与△OCD是对顶三角形,且A,O,C三点共线,请判断AB与CD的位置关系,并说明理由; (2)如图2,△OAB与△OCD是对顶三角形,∠AOB=∠COD=90°,连接AC,BD,试探究线段AC,BD之间的关系,并说明理由; (3)如图3,△OAB与△OCD是对顶三角形,∠AOB=∠COD=90°,连接AD,BC,取AD的中点E,连接EO并延长,交BC于点F,延长OE至点G,使EG=OE,连接AG,求证:EF⊥BC. 图1 图2 图3 B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.如图,为估计池塘岸边A、B两点的距离,小方在池塘的一侧选取一点O,测得OA=20米,OB=15米,则A、B间的距离不可能是(　　) A.5米　　　B.15米　　　C.20米　　　D.25米 2.如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E，若∠A＝60°，则∠BEC是(　　) A．15°　 B．30°　 C．45°　 D．60° 3、如图，在△ABC中，AB＝AC＝8厘米，BC＝6厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以1.5厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上，由C点向A点运动，为了使△BPD≌△CPQ，点Q的运动速度应为（ ） A．1厘米/秒 B．2厘米/秒 C．3厘米/秒 D．4厘米/秒 4、如图、用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出∠0=∠0，的依据是( )， A.SAS B. ASA C.SSS D.AAS 5．如图所示，H是△ABC的高AD，BE的交点，且DH＝DC，则下列结论：①BD＝AD，②BC＝AC，③BH＝AC，④CE＝CD中，正确的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等；∠A＝40°，则∠BOC＝（　　） A．110° B．120° C．130° D．140° 7.如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，BF＝8，则DE的长为（　　） A.2 B.3 C.4 D.5 8.如图，D是△ABC内部的一点，AD=CD,∠BAD=∠BCD.下列结论:①∠DAC=∠DCA:②AB=AC:③BD ⊥AC:④BD平分∠ABC.其中结论正确的序号是（ ） A.①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 9．如图，过等边△ABC的顶点A作直线．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 10．如图，在△ABC中，AE⊥BC于点E，BD⊥AC于点D；点F是AB的中点，连接DF，EF，设∠DFE＝x°，∠ACB＝y°，则（　　） A．y＝x B．y＝﹣x+90 C．y＝﹣2x+180 D．y＝﹣x+90 二．填空题（共30分） 11．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多3，AB与AC的和为13，则AC＝　 　． 12．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD=2BD，BE=CE，设△ADC的面积为S1，△ACE的面积为S2，若S△ABC=6，则S1﹣S2的值为　　． 13.如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的，若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，∠α的度数是_________. 14.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且CD＝BE，BD＝CF．若∠EDF＝42°，则∠BAC的度数是 　　． 15.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC，AD，AB于点E，O，F，则图中全等三角形的对数是______. 16. 已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=EF=EC；④BA+BC=2BF，其中正确的结论有________（填序号）． 17.如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝AC，∠1＝20°，∠ABC＝54°，则∠2的度数为 　 　． 18．如图，已知△ABC的面积为24，AB＝AC＝8，点D为BC边上一点，过点D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若DF＝2DE，则DF长为________. 19．某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要________. 20．如图，已知△ABC中，AB＝8，BC＝10，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE⊥AB，AF⊥BC，垂足分别为点E、F，若DE＝3，则AF＝　 　． 三．解答题（共60分） 21.【定义】若一个三角形三边长均为偶数，则称这个三角形为“好运三角形”例如，三边为6，8，10的三角形是“好运三角形”． （1）【概念运用】在△ABC中，AB=2，BC=4，若△ABC为“好运三角形”，求AC的长； （2）【变式运用】已知△ABC的周长为16，AC=4，若1B的长为偶数，试判断△ABC是否为“好运三角形”． 22.观察并探求下列各问题： (1)如图①，在△ABC中，P为边BC上一点，则BP＋PC____AB＋AC(填“＞”“＜”或“＝”)． (2)将(1)中的点P移到△ABC内，得图②，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由． (3)将(2)中的点P变为两个点P1，P2得图③，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由． 23.如图△ABC中,AD平分∠BAC,DG垂直平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC交AC的延长线于F.(1)求证:BE=CF; (2)如果AB=5,AC=3,求AE、BE的长. 24．我们用画图象的方法学习了探索三角形全等的条件，我们经历了下面的过程：要画一个三角形与小明画的三角形全等，需要几个与边或角的大小有关的条件呢？一个条件、两个条件、三个条件… 想一想： (1只给一个条件（一条边或一个角）画三角形时，大家画出的三角形一定全等吗？ 答：______（填“一定”或“不一定”）由此你得出结论：__________________________. （2） 给出两个条件画三角形时，有三种可能的情况，如：①三角形的一个内角为30°，一条边为3cm．②三角形的两个内角分别为30°和50°．③三角形的两条边分别为4cm，6cm．请你从上面三种情况中，任选其中一种情况画两个图形进行研究，你所画的两个图形一定全等吗？由此你得出什么结论：__________________________________________________. （3）如果给出三个条件画三角形，你能说出有哪几种可能的情况? 答：有四种可能：三条边、三个角、两边一角和两角一边,___________. ①已知一个三角形的三个内角分别为40°、60°和80°． 那么，你画的三角形和同伴画的一定全等吗？ 答：________（填“一定”或“不一定”） ②已知一个三角形的三条边分别为4cm、5cm和7cm．那么，你画的三角形和同伴画的一定全等吗？ 答：_________（填“一定”或“不一定”） 由①你得出什么结论：_______________________________________________． 由②你得出什么结论：_______________________________________________． 25.已知在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED=EC. (1)【特殊情况,探索结论】 如图1,当点E为AB的中点时,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:AE　　　　DB(填“>”“<”或“=”).  (2)【特例启发,解答题目】 如图2,当点E为AB边上任意一点时,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论: AE　　　　DB(填“>”“<”或“=”);理由如下:过点E作EF∥BC,交AC于点F(请你完成后续解答过程).  (3)【拓展结论,设计新题】 在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在线段CB的延长线上,且ED=EC,若△ABC的边长为1,AE=2,求CD的长(请你画出相应图形,并直接写出结果). 图1 图2 26.如图1，已知△ABC为直角三角形，∠BCA＝90°，在BC的延长线上取一点D，使得，点E是AB的中点，连接DE，M为ED的中点，连接CM、AD． （1）试判断CM与ED的位置关系，并说明理由； （2）若∠AED＝105°，请求出∠BAC的度数； （3）如果将题中“在BC的延长线上取一点D“改为“在CB的延长线上取一点D”，其余条件不变．如图2所示，若∠AED＝165°，请求出∠BAC的度数． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $