第1章 勾股定理 分层作业 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

第1章勾股定理分层作业-2026-2027学年数学八年级上册北师大版（2024） 一．选择题（共6小题） 1．（2026秋•市南区校级月考）下列各组线段的长，能构成直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025秋•杜尔伯特县期末）一个直角三角形的两边长分别是3和4，且三边长构成一组勾股数，则第三边长为（　　） A．5 B． C．5或 D．12 3．（2026春•新城区校级期末）如图，五根小棒的长度分别是7cm，15cm，20cm，24cm，25cm．现要将它们摆成两个直角三角形，下列摆法中符合要求的是（　　） A． B． C． D． 4．（2026春•海淀区校级期中）如图，有一只喜鹊在一棵2m高的小树AB上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（BC）为12m的一棵大树CM上，大树高CM＝8m，喜鹊的巢位于树顶下方1m的D处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为2m/s，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（　　） A．6.5s B．6s C．5.5s D．5s 5．（2025秋•碑林区校级同步）在△ABC中，∠B＝36°，BC2﹣AC2＝AB2，则∠C的大小为（　　） A．36° B．54° C．72° D．90° 6．（2026春•西华县期中）如图，这是用面积为18的四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”．如果大正方形的边长为9，那么小正方形的边长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（共6小题） 7．（2026秋•西安校级月考）若一个直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则斜边上的高为________ ． 8．（2025秋•二道区期末）开学之际，为了欢迎同学们，学校打算在主楼前的楼梯上铺地毯．如图，这是一段楼梯的侧面，它的高BC是3米，斜边AB是5米，则该段楼梯铺上地毯至少需要的长度为_____ 米． 9．（2025秋•泰州期末）如图所示，一棵树被风刮断了，树顶落在离树根12m处，折断处的高度AB为5m，则这棵树折断前高_______ m． 10．（2025秋•紫金县期末）如图，在“4×4”的正方形网格中，∠1+∠2的度数为 ________ ． 11．（2026春•龙泉市期末）《周髀算经》中的商高定理就是我们知道的勾股定理，相传西周时期数学家商高与周公的对话中提出“勾三，股四，径隅五”．即直角三角形的“勾三，股四，弦五”．现有一块直角三角形田地，勾股之差为4丈，弦长20丈，则勾长为_______ ． 12．（2026•景宁县二模）三国时期数学家赵爽用“弦图”给出了勾股定理的证明，如图，“弦图”是由四个全等直角三角形围成的正方形，直角三角形的直角边分别为a，b，斜边为c，若大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，则（a+b）2的值为_______ ． 三．解答题（共8小题） 13．（2026春•津南区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°，求四边形ABCD的面积． 14．（2026春•河北区期末）如图，在△ABC中，D是AB上一点，连接CD，AD＝5，BD＝9，CD＝12，AC＝13． （1）求证：CD⊥AB； （2）求BC的长． 15．（2026春•长汀县期末）如图，线段CD表示一棵树，CD上的点B处有两只猴子，它们都要到A处的池塘去喝水，其中一只猴子先从点B处沿线段BC爬到点C处，再从点C处沿线段CA爬到点A处；另一只猴子先从点B处沿线段BD爬到点D处，再从点D处沿线段DA跳跃至点A处，已知AC＝2BC＝10米，AC⊥DC，且两只猴子经过的路线长度相等，请你求出这棵树的高度CD． 16．（2025秋•仓山区校级期末）在图1、图2所示的方格中，每个小方格的边长都为1． （1）在图1中分别画出长度为和的线段AB和CD，要求线段的端点在格点上； （2）在图2中画出一个三条边长分别为5，，的三角形，使它们的顶点都在格点上，并直接写出这个三角形的形状． 17．（2026春•宝鸡校级期末）消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高5米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离OA为15米． （1）求B处与地面的距离； （2）完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方4米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？ 18．（2025秋•盐都区校级期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． （1）应用一：最短路径问题 如图，一只蚂蚁从点A沿圆柱侧面爬到相对一侧中点B处，如果圆柱的高为8cm，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是_____ cm； （2）应用二：解决实际问题 如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝0.5m，将它往前推2m至C处时，即水平距离CD＝2m，踏板离地的垂直高度CF＝1.5m，它的绳索始终拉直，求绳索AC的长． 19．（2025秋•白银期中）【问题背景】 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图①），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． 【探索求证】 （1）图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”的示意图，Rt△ADE与Rt△EBC按如图所示位置放置，连接CD，其中∠A＝∠B＝∠DEC＝90°，请你利用图②推导勾股定理． 【问题解决】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝2.4千米，HB＝1.8千米，问新路CH比原路CA少多少千米？ 【延伸扩展】 （3）如图④，已知AC＝4，BC＝5，AB＝6，CD⊥AB，设AD＝x，求x的值． 20．（2025•广东）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长a，b，c都是正整数，则a，b，c为一组“勾股数”．如表中的每一组数都是勾股数． 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 19，180，181 4，3，5 8，15，17 12，35，37 16，63，65 20，21，29 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 21，28，35 6，8，10 10，_______ ，26 14，48，50 18，80，82 22，120，122 （1）请补全如表中的勾股数． （2）根据如表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示a，b，c，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明． （3）某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为1m．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？ 第1章勾股定理分层作业-2026-2027学年数学八年级上册北师大版（2024） 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 1．（2026秋•市南区校级月考）下列各组线段的长，能构成直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、，42＝16，17≠16，不能构成直角三角形，故本选项错误，不符合题意； B、，，8+9＝17，能构成直角三角形，故本选项正确，符合题意； C、，42＝16，15≠16，不能构成直角三角形，故本选项错误，不符合题意； D、，52＝25，17≠25，不能构成直角三角形，故本选项错误，不符合题意． 故选：B． 2．（2025秋•杜尔伯特县期末）一个直角三角形的两边长分别是3和4，且三边长构成一组勾股数，则第三边长为（　　） A．5 B． C．5或 D．12 【解答】解：①若3和4为直角边，则斜边为 ，5为整数，符合勾股数要求； ②若4为斜边，则另一条直角边为 ，不是整数，不符合勾股数要求， ∴直角三角形的第三边长为5， 故选：A． 3．（2026春•新城区校级期末）如图，五根小棒的长度分别是7cm，15cm，20cm，24cm，25cm．现要将它们摆成两个直角三角形，下列摆法中符合要求的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵72+242＝625＝252，152+202＝625＝252， ∴7，24是一个直角三角形的两个直角边，15，20是另一个直角三角形的两个直角边，25cm为两个直角三角形的斜边， 故选：B． 4．（2026春•海淀区校级期中）如图，有一只喜鹊在一棵2m高的小树AB上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（BC）为12m的一棵大树CM上，大树高CM＝8m，喜鹊的巢位于树顶下方1m的D处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为2m/s，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（　　） A．6.5s B．6s C．5.5s D．5s 【解答】解：如图，过A作AE⊥MC于点E， 由题意可知，AB＝CE＝2m，AE＝BC＝12m，DM＝1m，CM＝8m， ∴DE＝8﹣1﹣2＝5m， ∴， ∴它要飞回巢中所需的时间至少是13÷2＝6.5（s）． 故选：A． 5．（2025秋•碑林区校级同步）在△ABC中，∠B＝36°，BC2﹣AC2＝AB2，则∠C的大小为（　　） A．36° B．54° C．72° D．90° 【解答】解：∵BC2﹣AC2＝AB2， ∴BC2＝AC2+AB2， ∴∠A＝90°， ∵∠B＝36°， ∴∠C＝90°﹣∠B＝54°． 故选：B． 6．（2026春•西华县期中）如图，这是用面积为18的四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”．如果大正方形的边长为9，那么小正方形的边长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：∵正方形EFGH的面积＝正方形ABCD的面积﹣4S△ABE＝92﹣4×18＝9， ∴正方形EFGH的边长＝3， 故小正方形的边长为3， 故选：C． 二．填空题（共6小题） 7．（2026秋•西安校级月考）若一个直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则斜边上的高为　4.8　 ． 【解答】解：设斜边长为c，斜边上的高为h， ∵两条直角边长分别为6和8， ∴c10． ∵直角三角形面积：， 同时：． ∴5h＝24， 解得 h＝4.8． 故答案为：4.8． 8．（2025秋•二道区期末）开学之际，为了欢迎同学们，学校打算在主楼前的楼梯上铺地毯．如图，这是一段楼梯的侧面，它的高BC是3米，斜边AB是5米，则该段楼梯铺上地毯至少需要的长度为　7　 米． 【解答】解：在直角三角形ABC中，高BC是3米，斜边AB长是5米， 由勾股定理得AC4（米）， 根据题意，台阶的高的和为BC，宽的和为AC， AC+BC＝7米， 故答案为：7． 9．（2025秋•泰州期末）如图所示，一棵树被风刮断了，树顶落在离树根12m处，折断处的高度AB为5m，则这棵树折断前高　18　 m． 【解答】解：根据题意得AB＝5m，BC＝12m， 在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2， ∴， ∴13+5＝18（m）， ∴这棵树折断前高为18m． 故答案为：18． 10．（2025秋•紫金县期末）如图，在“4×4”的正方形网格中，∠1+∠2的度数为 　45度　 ． 【解答】解：将∠2向下平移1个单位格得到AB，如图，连接AC， ∴∠2＝∠ABE， ∵AC2＝AD2+CD2＝22+12＝5，AB2＝BE2+AE2＝22+12＝5，BC2＝32+12＝10， ∴AC2+AB2＝BC2， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠ABC＝45°， ∴∠ABE+∠1＝45°， ∴∠1+∠2＝45°， 故答案为：45°． 11．（2026春•龙泉市期末）《周髀算经》中的商高定理就是我们知道的勾股定理，相传西周时期数学家商高与周公的对话中提出“勾三，股四，径隅五”．即直角三角形的“勾三，股四，弦五”．现有一块直角三角形田地，勾股之差为4丈，弦长20丈，则勾长为　12　 ． 【解答】解：设勾长为x丈，则股长为（4+x）丈，弦长20丈， 根据勾股定理得x2+（x+4）2＝202， 解得x＝12（负值舍去）， 答：勾长为12， 故答案为：12． 12．（2026•景宁县二模）三国时期数学家赵爽用“弦图”给出了勾股定理的证明，如图，“弦图”是由四个全等直角三角形围成的正方形，直角三角形的直角边分别为a，b，斜边为c，若大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，则（a+b）2的值为　25　 ． 【解答】解：由题意得，ab×4+（b﹣a）2＝13，（b﹣a）2＝1， ∴2ab＝12， ∴（b+a）2＝（b﹣a）2+4ab＝1+24＝25， 故答案为：25． 三．解答题（共8小题） 13．（2026春•津南区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°，求四边形ABCD的面积． 【解答】解：∵∠B＝90°，AB＝3，BC＝4， ∴AC5， 在△ACD中，AC2+CD2＝25+144＝169＝AD2， ∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°， ∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD AB•BCAC•CD 3×45×12 ＝6+30 ＝36． 14．（2026春•河北区期末）如图，在△ABC中，D是AB上一点，连接CD，AD＝5，BD＝9，CD＝12，AC＝13． （1）求证：CD⊥AB； （2）求BC的长． 【解答】（1）证明：∵52+122＝132，AD＝5，CD＝12，AC＝13， ∴AD2+CD2＝AC2， ∴△ACD为直角三角形，且∠ADC＝90°， ∴CD⊥AB； （2）解：由（1）知，CD⊥AB， ∴△BCD是直角三角形， ∵BD＝9，CD＝12， ∴． 15．（2026春•长汀县期末）如图，线段CD表示一棵树，CD上的点B处有两只猴子，它们都要到A处的池塘去喝水，其中一只猴子先从点B处沿线段BC爬到点C处，再从点C处沿线段CA爬到点A处；另一只猴子先从点B处沿线段BD爬到点D处，再从点D处沿线段DA跳跃至点A处，已知AC＝2BC＝10米，AC⊥DC，且两只猴子经过的路线长度相等，请你求出这棵树的高度CD． 【解答】解：∵AC＝2BC＝10m， ∴BC＝5m， ∴AC+BC＝15m＝BD+AD， 设CD＝xm，则BD＝（x﹣5）m， ∴AD＝15﹣BD＝15﹣（x﹣5）＝（20﹣x）m， ∵AC⊥DC， ∴∠C＝90°， 在直角三角形ACD中，由勾股定理得：AC2+DC2＝AD2，即102+x2＝（20﹣x）2， 解得：x＝7.5， 即CD＝7.5m． 16．（2025秋•仓山区校级期末）在图1、图2所示的方格中，每个小方格的边长都为1． （1）在图1中分别画出长度为和的线段AB和CD，要求线段的端点在格点上； （2）在图2中画出一个三条边长分别为5，，的三角形，使它们的顶点都在格点上，并直接写出这个三角形的形状． 【解答】解：（1）所作线段AB和CD如图所示（图不唯一）： （2）所作三角形如图所示（图不唯一）： ∵， ∴画出一个三条边长分别为5，，的三角形，使它们的顶点都在格点上，则该三角形为直角三角形． 17．（2026春•宝鸡校级期末）消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高5米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离OA为15米． （1）求B处与地面的距离； （2）完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方4米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？ 【解答】解：（1）在Rt△OAB中， ∵AB＝25米，OA＝15米，OE＝5米， ∴OB20（米）， ∴BE＝OB+OE＝20+5＝25（米）， 答：B处与地面的距离是25米； （2）由题意得BD＝4米， ∵CD＝25米，OD＝OB+BD＝20+4＝24（米）， ∴OC7（米）， ∴AC＝OA﹣OC＝15﹣7＝8（米）． 答：消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为8米． 18．（2025秋•盐都区校级期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． （1）应用一：最短路径问题 如图，一只蚂蚁从点A沿圆柱侧面爬到相对一侧中点B处，如果圆柱的高为8cm，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是　5　 cm； （2）应用二：解决实际问题 如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝0.5m，将它往前推2m至C处时，即水平距离CD＝2m，踏板离地的垂直高度CF＝1.5m，它的绳索始终拉直，求绳索AC的长． 【解答】解：（1）将圆柱展开得到平面图形，如图所示： 由题意可得：，BC＝4cm，AC＝3 在Rt△ABC中，AB5 即最短的路线长是5cm， 故答案为：5； （2）由题意可得AC＝AB，DE＝CF＝1.5m，CD＝EF＝2m，BE＝0.5m， ∴BD＝DE﹣BE＝1.5﹣0.5＝1m， 设AC＝xm， 则AD＝AB﹣DB＝（x﹣1）m， 在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝（x﹣1）m，AC＝xm，CD＝2m， ∴AD2+DC2＝AC2， 即（x﹣1）2+22＝x2， 解得x＝2.5， 故绳索AC的长为2.5m． 19．（2025秋•白银期中）【问题背景】 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图①），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． 【探索求证】 （1）图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”的示意图，Rt△ADE与Rt△EBC按如图所示位置放置，连接CD，其中∠A＝∠B＝∠DEC＝90°，请你利用图②推导勾股定理． 【问题解决】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝2.4千米，HB＝1.8千米，问新路CH比原路CA少多少千米？ 【延伸扩展】 （3）如图④，已知AC＝4，BC＝5，AB＝6，CD⊥AB，设AD＝x，求x的值． 【解答】解：（1）由题可知∠A＝∠B＝∠DEC＝90°，AE＝BC＝a，AD＝BE＝b，DE＝CE＝c， ∴S△ADEAE•ADab，S△BCEBE•BCab，S△CDEDE•ECc2， ∵， 且S△ADE+S△BCE+S△CDE＝S梯形， ∴ababc2（a+b）2， ∴2ab+c2＝（a+b）2， ∴2ab+c2＝a2+b2+2ab， ∴c2＝a2+b2； （2）设AB＝AC＝y， ∵BH＝1.8km， ∴AH＝AB﹣BH＝（y﹣1.8）km， ∵∠CHB＝90°，CH＝2.4km，AH2+CH2＝AC2， ∴（y﹣1.8）2+2.42＝y2， ∴y＝2.5， ∴AC＝2.5km， ∴AC﹣CH＝2.5﹣2.4＝0.1km， 答：新路CH比原路CA少0.1km； （3）∵AC＝4，BC＝5，AB＝6，CD⊥AB，AD＝x， ∴CD2＝AC2﹣AD2＝42﹣x2，CD2＝CB2﹣BD2＝52﹣（6﹣x）2， ∴42﹣x2＝52﹣（6﹣x）2， ∴x． 20．（2025•广东）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长a，b，c都是正整数，则a，b，c为一组“勾股数”．如表中的每一组数都是勾股数． 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 19，180，181 4，3，5 8，15，17 12，35，37 16，63，65 20，21，29 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 21，28，35 6，8，10 10，　24　 ，26 14，48，50 18，80，82 22，120，122 （1）请补全如表中的勾股数． （2）根据如表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示a，b，c，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明． （3）某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为1m．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？ 【解答】解：（1）由表中勾股数的规律可知，令a＝10，b，c＝26， 则由勾股数定义可知a2+b2＝c2，即102+b2＝262， ∴b2＝262﹣102＝（26+10）（26﹣10）＝36×16， 解得b＝24或b＝﹣24（舍去）； 故答案为：24； （2）代数式为a＝k（m2﹣n2），b＝2kmn，c＝k（m2+n2），其中m＞n＞0，m，n互质且一奇一偶，k为正整数， 证明：a2+b2＝[k（m2﹣n2）]2+（2kmn）2 ＝k2（m4﹣2m2n2+n4）+4k2m2n2 ＝k2（m4+2m2n2+n4） ＝k2（m2+n2）2＝c2 ∴a2+b2＝c2， 当k＝1，短直角边为奇数时，才有c﹣b＝1，其余勾股数不具备该特点，c﹣b＝1属于特例． （3）根据题意，当最短边种21株花时，最短边的长为（21﹣1）1＝20（m）， 由表格知可能的一种三边长为20，21，29． 下面说明这是符合种最少要求的三角形三边长，设符合要求的三边长为20，p，q，则20≤p，且20≤q，当p或q＝20时，不符合勾股数的要求，：p，q至少是21，不妨设p＜q，则有q2＝p2+202，即q.由q的解析式可知p越大，q越大，反之则有p越小，q越小， 又∵当p＝21时，恰有q＝29， ∴20，21，29是符合种最少要求的三角形三边长， 此时一个三角形边上种21+22+30﹣3＝70（株）， 故4个三角形最少需种4×70＝280（株）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $