第1章 勾股定理 章末核心考点与素养提升-【高效课堂】2026-2027学年八年级上册数学同步导学案（北师大版·新教材）

章末核心考点与素养提升 01分点突破 距离相等，则E站应建在离A站多少km处？ 考点一 勾股定理及其应用 1.在一个直角三角形中，若斜边长为10，一条直 角边的长为6，则这个三角形的面积为() A.48 B.36 C.24 D.28 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,BC =3,分别以点A,B为圆心，以AB长为半径 画弧，两弧相交于点D,连接AD,BD,则 △ABD的周长为 A.9 B.12 C.15 D.25 D 考点二勾股定理的逆定理及其应用 6.△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a, b,c,则满足下列条件的△ABC不是直角三角 形的是 () 第2题图 第4题图 A.a:b:c=6:8:10B.∠A:∠B:∠C=1:1:3 3.《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一 C.a2+c2=62 D.∠A+∠B=∠C 丈，末折抵地，去根六尺.问折高者几何？意思7.已知a,b,c为△ABC的三边长，且满足a2c2一 是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵 bc2=a-b,则△ABC是 () 风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹 A.直角三角形 子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多 B.等腰三角形 少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方 C.等腰三角形或直角三角形 D.等边三角形 程为 8.如图，已知等腰三角形ABC的底边BC= A.x2-6=(10-x) 20cm,D是腰AB上一点，且CD=16cm,BD B.x2-62=(10-x)2 =12cm. C.x2+6=(10-x)2 (1)求证：CD⊥AB; D.x2+62=(10-x)2 (2)求该三角形的腰长. 4.如图，直线1上有三个正方形A,B,C,若A,C 的面积分别为1和9，则B的面积为 5.如图，铁路上A,B两点相距25km,C,D为两 村庄，DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B,已知 DA=15km,CB=10km,现在要在铁路AB上建 一个土特产品收购站E,使得C,D两村到E站的 12 02真题演练 13.(陕西中考)如图，在△ABC中，AB=AC,E 9.(山东中考)在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC 是边AB上一点，连接CE,在BC的右侧作 =3,BC=4,则点C到直线AB的距离为 BF∥AC,且BF=AE,连接CF.若AC=13, BC=10. (1)求证：BC平分∠ABF; A.3 B.4 C.5 D.2.4 (2)求四边形EBFC的面积， 10.(河北中考)已知M、N是线段AB上的两点， AM=MN=2,NB=1,以点A为圆心，AN 长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半 径画弧，两弧交于点C,连接AC,BC,则 △ABC一定是 () A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 11.(南通中考)“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证 明了勾股定理.如图所示的“赵爽弦图”是由 四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成 的一个大正方形.设直角三角形的两条直角 边长分别为m,n(m>n).若小正方形面积为 5,(m十n)2=21,则大正方形面积为 ( A.12 B.13 C.14 D.15 第11题图 第12题图 03 素养提升 12.(浙江中考)如图，圆柱的底面直径为AB,高 14.如图是“毕达哥拉斯树”的“生长”过程：如图 为AC,一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到 1,一个边长为a的正方形，经过第一次“生 B处，现将圆柱侧面沿AC“剪开”，在侧面展 长”后在它的上侧长出两个小正方形，且三个 开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是 正方形所围成的三角形是直角三角形；再经 过一次“生长”后变成了图2；如此继续“生长” 下去，则第2025次“生长”后，这棵“毕达哥拉 斯树”上所有正方形的面积和为 图 图2温馨提示：请做完后再看答案！ 《正文》参考答案 第一章勾股定理 b+2ab,.a2+b=c2; 1.1探索勾股定理 (2)13; 第1课时勾股定理 (3)由题意，可知DH=BI, 1.B2.B3.D :∠DCH=∠BCI,∠CHD= 4.(1)13:(2)BC=6,AC=8. ∠CIB=90°，∴.△CDH≌ 5.D6.3 △CBI(AAS),.CD=BC, 7.AC=4cm.SAABC =6cm'. 设BC=x,则CH=4一x,在Rt 8.C9.C10.10 4 11.6 △CDH中，CH+DH=CD, .(4-x)2+22=x2, 12.连AC,AC=5,证∠BAC=90°， ∴.BC=13. 解得：x=号BC=CD=号， 13.Sae=号cm 同理可得DE=EF=BC-多， 14.设BD=x,则CD=14-x,由勾 .“帽子”外围轮廓（实线）的周长 股定理得：AD2=AB一BD2= 为AB+AF+BC+CD+DE+EF 152-x2,AD2=AC-CD2=13 -(14-x)2,.152-x2=132 -5+5+2+号+号+号=20 (14-x)2,解得x=9,.AD=12, 1.2一定是直角三角形吗 1.B2.C3.直角三角形4.A 5m=BC·AD=合×145.答案不i唯-，如5，i2,137,24,25 2 ×12=84. 6.A7.B 第2课时勾股定理的验证及 8.(1)△ABE是直角三角形，理由略； 简单应用 (2)AB=16.9. 1.B 9.C10.B11.直角 2.(1)4ca+b 12.连接AE,设CE=a,则BC=4a, (2)(a+b)22ab+c2 DF=2a,BE=3a, (3)a2+b=c2(4)10 AF2=AD2+DF2=20a2,EF2= 3.B4.A5.0.7 FC°+EC°=5a2,AE2=AB2+ 6.沿B→C→D→B路线配送途中 BE=25a2,.AE=AF+ 飞行所需时间是40分钟. EF,.△AFE是直角三角形， 7.B8.99.14 ∠AFE是直角 10.超速.理由如下：在Rt△ABC 13.图中阴影部分的面积为96m. 中，AC=60m,AB=100m,由勾14.(1)n-1;2n;n2+1. 股定理可得BC=AB-AC= (2)是直角三角形 6400,∴.BC=80m, a2+b=(n2-1)2+(2n)2= .∴.汽车速度为80÷4=20m/s= (n+1)2,.a2+b=c2, 72km/h,.72>60,.这辆小汽 ∴.以a,b,c为边长的三角形是 车超速了. 直角三角形. 11.(1)证明：如图1，，大的正方形 1.3勾股定理的应用 的面积可以表示为(a+b)2,大1.A2.B3.A4.5cm 的正方形的面积又可以表示为5，旗杆的高为12m. 6.D7.B8.B9.D10.10 c+4×2ab,e2+2ab=a+1.48<CD≤8 49 12.(1)90°；(2)略 为66或126. 13.在公路AB上行驶时会遇到危险。 章未核心考点与素养提升 理由如下：过C作CDLAB于D.1.C2.C3.D4.10 :'BC=400m,AC=300m,5.E站应建在离A站10km处. ∠ACB=90°，根据勾股定理得6.B7.C AB2=ACe+BC=250000, 8.(1)证明略； ÷AB=500mS-合AB· (2)设该三角形的腰长为xcm,则 AD=(x-12)cm. CD=合BC·AC,CD- ,CD⊥AB,∴.∠ADC=90°， ∴.AD+CD2=AC,即(x-12)2 BC·AC=400×300 AB 500 =240m, 由于240m<250m,故有危险， +16,解得x一9，该三角 设EF为危险路段的长度， 形的度长为”cm ,爆破点C周围半径250米范 9.D10.B11.B12.C 围内不得进入，CE=CF= 13.(1)证明：：AB=AC, 250m,,CD=240m,∴.DE= .∠ABC=∠ACB, DFR=CE-CD2=4900, BF∥AC,∴.∠ACB= DE=DF=70m,.'EF=140m, ∠CBF, 故危险路段长为140m. ∴.∠ABC=∠CBF, 专题一立体图形中最短路径问题 .BC平分∠ABF; 1.B2.D3.10cm.4.C5.B (2)过点C作CMLAB,CN⊥BF, 6.5a27.20cm8.25dm. 则CM=CN, 专题二勾股定理中的方程思 想与分类讨论思想 ·SaE=2AE·CM,S△ar= 1.C2.12 7BF·CN,且BF=AE 3.△ABE的面积为6cm. 4.B5.7或25 .SAr=S△4cE, 6.分两种情况考虑： .四边形EBFC的面积=SAaF ①当△ABC为锐角三角形时， +SAE=S△AE+S△E ,AD⊥BC,∴.∠ADB=∠ADC SAABC =90°，在Rt△ABD中，AB=13, 过点A作AH⊥BC,由勾股定 AD=12,根据勾股定理得：BD 理易求AH=12,得出S△Bc= =AB2-AD2=25,.BD=5, ×10×12=60. 1 在Rt△ADC中，AC=20,AD=12, ∴.四边形EBFC的面积为60. 根据勾股定理得：DC=AC 14.2026a AD=256,.DC=16, 第二章实数 ..BC=BD+DC=5+16=21, 2.1认识实数 1 则S△ac=2BC·AD=126: 1.D ②当△ABC为钝角三角形时， 2.(1)3160.64 同理可得，BD=5,DC=16, (2)②③① .BC=DC-BD=16-5=11, 3.C4.D5.B6.C7~8.略 2.2平方根与立方根 Saee=2BC·AD=2XI1 第1课时算术平方根 ×12=66;综上，△ABC的面积1.B2.B3.D4.B5.B 50 6.1:(2)g,(30.5；④3. 2.3二次根式 第1课时二次根式的乘除 7.C8.D9.C 1.D2.-1(答案不唯一) 10.√3√5-/211.√/2 3.C4.C5.D 12.2x+y一z的算术平方根是√T. 6.(1)原式=6；(2)原式=8； 13.4 (3)原式=√6；(4)原式=2√a. 第2课时平方根 7.B8.C 1.C2.D3.略4.B5.B 9.(1)原式=17； 6.平方根分别是：(1)士4：(2)0：(3) 没有平方根；(4)±2. (2)原式=23+6/10； 算术平方根分别是：(1)4；(2)0； (3)原式= 51 (3)没有算术平方根；(4)2. 10.(1)2x3 7.C8.A9.B 10.9±9±3 (2)原式-号 11.a+2b的平方根是±3. 第2课时最简二次根式 12.根据题意，分以下两种情况： :1.B2.B3.D4.A ①当a-1与5-2a是同一个平 方根时，则a一1=5-2a,解得a 5.(1)原式=35； =2.此时，m=(2-1)2=1; (2原式-， ②当a-1与5-2a是不同的平 方根时，则a一1十5一2a=0,解 (3)原式=30 10 得a=4.此时，m=(4-1)2=9. 6.B7.B8.3 综上所述，a=2,m=1或a=4, 9.(1)662020 m=9. 第3课时立方根 ①5×√/20=10： 1.C2.B3.D4.A5.A @号xV停-1 6.(1)一8=-2： (3)ab. (2)/0.064=0.4; 10.由分式和二次根式有意义的条件得， 38 (3)一√125 1x-5≥ (4)(5)3=9. 8-x>0 解得，5≤r<8, 7.B8.D9.D10.7 x为偶数，x=6, 11.a-6的立方根为一5， .(x+2) t-4x+4 =(x+2) x2-4 12.(1)24.77;(2)0.006137. 第4课时估算 (x-2)2 V(x-2)(x+2) =√(x-2)(x+2), 1.B2.B3.A4.A 当x=6时，原式=√4X8=42. 5.(1)>(2)>(3)> 6.97.48.a-b=7. 第3课时二次根式的加减法 1.D2.C3.C4.A 9.由题意得：Rt△ABC中， AC=10m,BC=7m, AB=AC+BC=102+7=149, 指武=a万.②原式-5 .12.52=156.25>149, 6.A7.C822-2 这一长度够用. 9.(1)原式=85+2； 10.(1)>;(2)√5+1>√/10. (2)原式=15-2√6. 51