第1-2章综合自检卷-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

第1-2章综合自检卷-2026-2027学年数学八年级上册北师大版 一．选择题（共10小题） 1．（2026•海州区校级二模）若二次根式有意义，则x的值可以为（　　） A．﹣3 B．4 C．2 D．0 2．（2025秋•兰州期末）下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．6，9，12 B．0.3，0.4，0.5 C．，， D．7，24，25 3．（2026春•旌阳区校级期中）将a中根号外的a移到根号内，结果是（　　） A． B． C． D． 4．（2025秋•张家川县期末）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，BC＝2，则AC2的值为（　　） A．4 B．16 C．32 D．40 5．（2026春•淄博校级期中）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（2026秋•金安区校级月考）如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为S1，S2，S3，若S3+S2﹣S1＝18，则图中阴影部分的面积为（　　） A．6 B． C．5 D． 7．（2025秋•普陀区期末）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，列出的正确方程为（　　） A．x2+62＝102 B．（10﹣x）2+62＝x2 C．x2+62＝（10﹣x）2 D．（10﹣x）2+x2＝62 8．（2026春•蒙阴县期末）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（　　） A．﹣a+b﹣2 B．﹣a﹣b C．a﹣b D．a+b﹣2 9．（2026春•仙游县月考）已知，那么（a+b）2025＝（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2 10．（2025秋•永年区期末）下面是李明同学的一次限时小练习卷，他的得分应是（　　） 姓名：李明班级：八（2）班得分：_____（每小题20分） 判断题，对的打“√”，错的打“×” ①5是25的算术平方根（×） ②±4是64的立方根（√） ③的平方根是（√） ④平方根和算术平方根都是它本身的数是0和1（√） ⑤立方根是本身的数是0和1（√） A．20分 B．40分 C．60分 D．80分 二．填空题（共6小题） 11．（2026•新北区二模）的立方根是_____ ． 12．（2025秋•泾阳县期末）已知n是无理数，且2＜n＜3，写出一个满足条件的n的值是 ____________________ ． 13．（2026春•高要区期中）若实数x，y满足，则xy的值为_____ ． 14．（2026•道里区校级模拟）在△ABC中，∠A＝30°，，BC＝4，则AC＝________ ． 15．（2025秋•常德校级期末）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝2，BD＝1，，则∠ACB的度数为________ ． 16．（2026春•庐江县校级期中）我们把能够成为直角三角形三条边的三个正整数a，b，c称为勾股数． （1）若5，13，k是一组勾股数，则k＝_______ ； （2）在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中． a 6 8 10 12 14 … b 8 15 24 35 48 … c 10 17 26 37 50 … 则当a＝20时，b+c的值为________ ． 三．解答题（共9小题） 17．（2026秋•同步）计算： （1）； （2）． 18．（2026秋•银川校级月考）解方程： （1）2（x+5）2＝32； （2）（x﹣1）3﹣27＝0． 19．（2025秋•绿园区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3． （1）求证：∠D＝90°； （2）求四边形ABCD面积． 20．（2026春•太和县期末）已知6a+34的立方根是4，5a+b﹣2的算术平方根是5，c是9的算术平方根． （1）求a，b，c的值； （2）求3a﹣b+c的平方根． 21．（2026春•同步）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，小正方形的顶点称为格点，其中A，B，C都是格点． （1）求证：△ABC是直角三角形； （2）在此网格中，以格点为顶点，你能另作一个与△ABC不全等的直角三角形吗？ 22．（2026秋•清水县校级月考）观察下列各式及其验证过程： 2，验证：2． 3，验证：3． （1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4的变形结果并进行验证； （2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并进行证明． 23．（2026春•西乡县期末）【实践主题】从数学角度探究钟摆过程中的规律． 【素材准备】实验支架，细绳，小球，卷尺等． 【实践操作】在支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动．如图1，点A表示小球静止时的位置．小明将小球从OA摆到OB的位置，并向右推动小球，OC是小球在摆动过程中某一瞬间的位置，且OB与OC恰好垂直，A，B，O，C在同一平面上． 【数学建模】如图2是小球摆动过程的示意图，OB⊥OC，过点B作BD⊥OA于点D．过点C作CE⊥OA于点E， 【数据测量】BD＝7cm，OA＝17cm， 【问题解决】 （1）求证：∠COE＝∠B； （2）求AE的长． 24．（2026春•仙桃校级期中）我们定义：有一组邻边相等，一组对角互补的四边形称为“奇妙”四边形，其中相等的这组边称为“奇妙”边． （1）图1是由30°、45°三角板分别拼成的5个四边形，其中是“奇妙”四边形的有_______ （填序号）； （2）如图2，CA平分∠MCN，点B、点D分别在射线CM、CN上，∠ABC+∠ADC＝180°，请判断四边形ABCD是否为“奇妙”四边形，说明理由； （3）已知在“奇妙”四边形ABCD中，其中一条“奇妙”边，∠BCD＝120°，∠B＝90°，请直接写出该“奇妙”四边形的周长． 25．（2025秋•怀化校级期末）已知a，求2a2﹣8a+1的值． 小明是这样解答的： 解：因为a2，所以a﹣2， 所以（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3，所以a2﹣4a＝﹣1， 所以2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请根据小明的解答过程，解决下列问题： （1）化简：____________________ ； （2）比较大小：_____ （填“＞”，“＜”或“＝”）； （3）计算：； （4）若a，求3a2﹣18a+1的值． 第1-2章综合自检卷-2026-2027学年数学八年级上册北师大版 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2026•海州区校级二模）若二次根式有意义，则x的值可以为（　　） A．﹣3 B．4 C．2 D．0 【解答】解：由题可知， x﹣3≥0， 解得x≥3， 则只有4符合题意． 故选：B． 2．（2025秋•兰州期末）下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．6，9，12 B．0.3，0.4，0.5 C．，， D．7，24，25 【解答】解：A．62+92≠122，不是勾股数，故选项A不符合题意； B．0.3，0.4，0.5，不是整数，不是勾股数，故选项B不符合题意； C．，，，不是整数，不是勾股数，故选项B不符合题意； D．72+242＝252，是勾股数，故选项D符合题意； 故选：D． 3．（2026春•旌阳区校级期中）将a中根号外的a移到根号内，结果是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∴有意义， ∴﹣a≥0， ∴a≤0， ∴a（﹣a）， 即：． 故选：A． 4．（2025秋•张家川县期末）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，BC＝2，则AC2的值为（　　） A．4 B．16 C．32 D．40 【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，BC＝2， ∴AC2＝AB2﹣BC2＝36﹣4＝32， 故选：C． 5．（2026春•淄博校级期中）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：，则A符合题意， ，则B不符合题意， 与不是同类二次根式，无法合并，则C不符合题意， ，则D不符合题意， 故选：A． 6．（2026秋•金安区校级月考）如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为S1，S2，S3，若S3+S2﹣S1＝18，则图中阴影部分的面积为（　　） A．6 B． C．5 D． 【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+AB2＝BC2， 即S1+S2＝S3， ∵S3+S2﹣S1＝18， ∴S2＝9， 由图形可知，阴影部分的面积为S2， 故选：B． 7．（2025秋•普陀区期末）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，列出的正确方程为（　　） A．x2+62＝102 B．（10﹣x）2+62＝x2 C．x2+62＝（10﹣x）2 D．（10﹣x）2+x2＝62 【解答】解：由图可得， x2+62＝（10﹣x）2， 故选：C． 8．（2026春•蒙阴县期末）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（　　） A．﹣a+b﹣2 B．﹣a﹣b C．a﹣b D．a+b﹣2 【解答】解：由数轴可知a﹣1＞0，b﹣1＜0，根据二次根式的性质可得： ， 故选：D． 9．（2026春•仙游县月考）已知，那么（a+b）2025＝（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2 【解答】解：∵， ∴a+2＝0，b﹣1＝0， 解得：a＝﹣2，b＝1， ∴（a+b）2025＝（﹣2+1）2025＝﹣1， 故选：A． 10．（2025秋•永年区期末）下面是李明同学的一次限时小练习卷，他的得分应是（　　） 姓名：李明班级：八（2）班得分：_____（每小题20分） 判断题，对的打“√”，错的打“×” ①5是25的算术平方根（×） ②±4是64的立方根（√） ③的平方根是（√） ④平方根和算术平方根都是它本身的数是0和1（√） ⑤立方根是本身的数是0和1（√） A．20分 B．40分 C．60分 D．80分 【解答】解：根据算术平方根、立方根、平方根的概念逐项分析判断如下： ∵①5是25的算术平方根， ∴该题正确，但李明打“×”，故错误，不得分； ∵②64的立方根是4，不是±4， ∴该题错误，但李明打“√”，故错误，不得分； ∵③，3的平方根是， ∴该题正确，李明打“√”，故正确，得分； ∵④0的平方根和算术平方根都是0，但1的平方根是±1，算术平方根是1，不都是本身， ∴该题错误，李明打“√”，故错误，不得分； ∵⑤立方根是本身的数有0、1、﹣1，不只是0和1， ∴该题错误，李明打“√”，故错误，不得分； 综上，李明仅③题正确，得20分， 故选：A． 二．填空题（共6小题） 11．（2026•新北区二模）的立方根是　2　 ． 【解答】解：∵，2， ∴的立方根是2． 故答案为：2． 12．（2025秋•泾阳县期末）已知n是无理数，且2＜n＜3，写出一个满足条件的n的值是 　（答案不唯一）　 ． 【解答】解：∵n是无理数，且2＜n＜3， ∴4＜n2＜9， ∴满足条件的n的值是（答案不唯一）． 13．（2026春•高要区期中）若实数x，y满足，则xy的值为　9　 ． 【解答】解：∵， ∴x﹣3＝0，x＝3，y﹣2＝0，y＝2， ∴xy＝32＝9． 故答案为：9． 14．（2026•道里区校级模拟）在△ABC中，∠A＝30°，，BC＝4，则AC＝　4或8　 ． 【解答】解：作BD⊥AC于点D，如图所示， ∵∠A＝30°，，BD⊥AC， ∴BD＝2， ∴AD6， 当点C在C1的位置时， ∵BC1＝4，BD＝2，∠BDC1＝90°， ∴C1D2， ∴AC1＝AD﹣C1D＝6﹣2＝4； 当点C在C2的位置时， AC2＝AD+C2D＝6+2＝8； 由上可得，AC＝4或8， 故答案为：4或8． 15．（2025秋•常德校级期末）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝2，BD＝1，，则∠ACB的度数为　90°　 ． 【解答】解：∵BC＝2，BD＝1，， ∴BD2+CD2＝1+3＝4＝BC2， ∴△CDB是直角三角形，且∠CDB＝90°， ∴∠CDA＝90°． ∵AB＝4，BD＝1， ∴AD＝AB﹣BD＝3， ∴， ∵（2）2+22＝42， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°． 故答案为：90°． 16．（2026春•庐江县校级期中）我们把能够成为直角三角形三条边的三个正整数a，b，c称为勾股数． （1）若5，13，k是一组勾股数，则k＝　12　 ； （2）在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中． a 6 8 10 12 14 … b 8 15 24 35 48 … c 10 17 26 37 50 … 则当a＝20时，b+c的值为　200　 ． 【解答】解：（1）当k最大时，由勾股数的概念可得，k2＝52+132， 解得（负值舍去），不是正整数，不符合题意，舍去； 当13为最大边时，由勾股数的概念可得52+k2＝132， 解得k＝12或k＝﹣12（不符合题意，舍去），符合题意； （2）由表格得规律：c＝b+2， 根据勾股数的概念可得：a2+b2＝c2，即a2+b2＝（b+2）2， 将a＝20代入得202+b2＝（b+2）2， 整理得，4b＝396， 解得b＝99， ∴c＝b+2＝101， ∴b+c＝200． 三．解答题（共9小题） 17．（2026秋•同步）计算： （1）； （2）． 【解答】解：（1） ＝2×2 ＝4； （2） ． 18．（2026秋•银川校级月考）解方程： （1）2（x+5）2＝32； （2）（x﹣1）3﹣27＝0． 【解答】解：（1）2（x+5）2＝32， （x+5）2＝16， x+5＝±4， x+5＝4或x+5＝﹣4， 所以x＝﹣1或x＝﹣9； （2）（x﹣1）3﹣27＝0， （x﹣1）3＝27， x﹣1＝3， 所以x＝4． 19．（2025秋•绿园区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3． （1）求证：∠D＝90°； （2）求四边形ABCD面积． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13， ∴BC2＝AB2﹣AC2＝132﹣122＝25， ∴BC＝5， ∵BC2＝DB2+DC2， ∴∠D＝90°； （2）∵CD＝4，BD＝3， ∴CD2+BD2＝42+32＝25， 由（1）知BC＝5，即BC2＝25， ∴CD2+BD2＝BC2， ∴△DBC是直角三角形，且∠D＝90°， ∴S△DBCBD×DC3×4＝6； 由（1）知在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，BC＝5， ∴S△ABCBC×AC5×12＝30． ∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△DBC＝30+6＝36． 20．（2026春•太和县期末）已知6a+34的立方根是4，5a+b﹣2的算术平方根是5，c是9的算术平方根． （1）求a，b，c的值； （2）求3a﹣b+c的平方根． 【解答】解：（1）∵43＝64， ∴6a+34＝64， ∴a＝5； ∵52＝25， ∴5a+b﹣2＝25， 又∵a＝5， ∴b＝2； ∵32＝9， ∴c＝3； （2）把：a＝5，b＝2，c＝3代入3a﹣b+c得： 3×5﹣2+3＝16， ∵（±4）2＝16， ∴3a﹣b+c的平方根是：±4． 21．（2026春•同步）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，小正方形的顶点称为格点，其中A，B，C都是格点． （1）求证：△ABC是直角三角形； （2）在此网格中，以格点为顶点，你能另作一个与△ABC不全等的直角三角形吗？ 【解答】（1）证明：∵BC2＝12+22＝5，AC2＝22+42＝20，AB2＝32+42＝25， ∴BC2+AC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形． （2）解：以格点为顶点，能另作一个与△ABC不全等的直角三角形， 如图：△MPN是直角三角形． 22．（2026秋•清水县校级月考）观察下列各式及其验证过程： 2，验证：2． 3，验证：3． （1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4的变形结果并进行验证； （2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并进行证明． 【解答】解：（1）猜想：， 验证：， （2）规律：（n为任意自然数，n≥2）， 证明：左边：右边， 故原等式成立． 23．（2026春•西乡县期末）【实践主题】从数学角度探究钟摆过程中的规律． 【素材准备】实验支架，细绳，小球，卷尺等． 【实践操作】在支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动．如图1，点A表示小球静止时的位置．小明将小球从OA摆到OB的位置，并向右推动小球，OC是小球在摆动过程中某一瞬间的位置，且OB与OC恰好垂直，A，B，O，C在同一平面上． 【数学建模】如图2是小球摆动过程的示意图，OB⊥OC，过点B作BD⊥OA于点D．过点C作CE⊥OA于点E， 【数据测量】BD＝7cm，OA＝17cm， 【问题解决】 （1）求证：∠COE＝∠B； （2）求AE的长． 【解答】（1）证明：∵OB⊥OC， ∴∠BOC＝90°， ∴∠BOD+∠COE＝90°， 又∵CE⊥OA，BD⊥OA， ∴∠CEO＝∠ODB＝90°， ∴∠BOD+∠B＝90°， ∴∠COE＝∠B； （2）解：由题意得：OC＝OB＝OA＝17cm， 由（1）得：∠COE＝∠B，∠CEO＝∠ODB＝90°， 在△COE和△OBD中， ， ∴△COE≌△OBD（AAS）， ∴OE＝BD＝7cm， ∵OB＝OA＝OC＝17cm， ∴AE＝OA﹣OE＝10cm． 24．（2026春•仙桃校级期中）我们定义：有一组邻边相等，一组对角互补的四边形称为“奇妙”四边形，其中相等的这组边称为“奇妙”边． （1）图1是由30°、45°三角板分别拼成的5个四边形，其中是“奇妙”四边形的有　③⑤　 （填序号）； （2）如图2，CA平分∠MCN，点B、点D分别在射线CM、CN上，∠ABC+∠ADC＝180°，请判断四边形ABCD是否为“奇妙”四边形，说明理由； （3）已知在“奇妙”四边形ABCD中，其中一条“奇妙”边，∠BCD＝120°，∠B＝90°，请直接写出该“奇妙”四边形的周长． 【解答】解：（1）①、②、④都不满足一组邻边相等，它们都不是“奇妙”四边形；③、⑤满足“奇妙”四边形的定义，它们都是“奇妙”四边形． 故答案为：③⑤； （2）是“奇妙”四边形， 理由：如图，过点A分别作CM，CN的垂线，垂足分别为E，F，则∠AEB＝∠AFD＝90°， 由题意可得：AE＝AF， ∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°， ∴∠ADF＝∠ABC， ∴△ABE≌△ADF（AAS）， ∴AB＝AD， ∴四边形ABCD是“奇妙”四边形； （3）∵四边形ABCD是奇妙四边形，AB为奇妙边， ∴AB＝AD，且∠ABC+∠ADC＝180°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠ADC＝90°， 连接AC， 在Rt△ABC和Rt△ADC中， AB＝AD，AC＝AC， ∴Rt△ABC≌Rt△ADC， ∴∠BCA＝∠DCA， ∵∠BCD＝120°， ∴∠BCA＝∠DCA＝60°， 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BCA＝60°， ∴BC＝AB•AB•， 同理CD＝AD•AB•， ∴周长＝AB+AD+BC+CD ＝2AB+2•AB• ＝2AB（1） ＝2•• ． 25．（2025秋•怀化校级期末）已知a，求2a2﹣8a+1的值． 小明是这样解答的： 解：因为a2，所以a﹣2， 所以（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3，所以a2﹣4a＝﹣1， 所以2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请根据小明的解答过程，解决下列问题： （1）化简：　）、；、　 ； （2）比较大小：　＜　 （填“＞”，“＜”或“＝”）； （3）计算：； （4）若a，求3a2﹣18a+1的值． 【解答】解：（1）根据分母有理化可得： ， 故答案为：； （2）， ， ∵， ∴． 故答案为：＜； （3）， ∴ ； （4）， ∴， ∴a2﹣6a+9＝8， ∴a2﹣6a＝﹣1， ∴3a2﹣18a+1＝3×（﹣1）+1＝﹣2． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $