第六单元 因数与倍数（易错思维训练）数学苏教版五年级上册（新教材）

第六单元 因数与倍数（易错思维训练） 一、选择题 1．下面4个五位数中，a代表同一个非零自然数，那么一定同时是2、3、5倍数的是（    ）。 A．a0aaa B．aa000 C．a0aa0 D．a00aa 【答案】C 【分析】先根据2、5的倍数特征筛选出个位为0的选项，再根据3的倍数特征判断剩余选项各数位数字和是否为3的倍数。 【解答】同时是2和5的倍数，个位必须是0，排除个位为的A、D选项。 计算剩余选项各数位数字和：B选项：，不一定是3的倍数，不符合要求。 C选项：，是非零自然数，一定是3的倍数，符合要求。 2．学校英语小组开展夏令营活动，若分成8人一组或12人一组都正好分完。如果英语小组的人数在50以内，那么英语小组最多有（    ）人。 A．48 B．40 C．36 D．32 【答案】A 【分析】先求出8和12的最小公倍数，再找50以内这两个数的最大公倍数即可。 【解答】 8和12的最小公倍数是 （人） ，，不符合要求。 3．用5、6、9、12个相同小正方形拼长方形，12个拼出种类最多，原因是（    ）。 A．12数量最多 B．12不是质数 C．12因数最多 D．12倍数最多 【答案】C 【分析】用相同小正方形拼长方形时，能拼出的种类数由小正方形总个数的因数数量决定，因数越多，可组成的长和宽的组合越多，拼出的长方形种类就越多。 【解答】的因数有，共2个，可拼1种长方形； 的因数有，共4个，可拼2种长方形； 的因数有，共3个，可拼2种长方形； 的因数有，共6个，可拼3种长方形。 所以12个拼出种类最多，原因是12因数最多。 4．两条彩带分别长24厘米和18厘米，现把它们剪成长度相等的小段，最少能剪成（    ）段。 A．6 B．7 C．12 D．14 【答案】B 【分析】要使剪成的段数最少，因为总长度固定，所以每小段的长度需要尽可能大，且每小段长度需同时整除两条彩带的长度。即求24和18的最大公因数，该最大公因数即为每小段的最大长度。再分别用两条彩带的长度除以最大公因数，得到各自剪成的段数，将两段数相加即可得到总段数。 【解答】根据分析： 24＝2×2×2×3 18＝2×3×3 因此24和18的最大公因数是2×3＝6 24÷6＝4（段） 18÷6＝3（段） 4＋3＝7（段） 因此，现把它们剪成长度相等的小段，最少能剪成7段。 5．小区道路一边每隔10米安装了一盏路灯，从头到尾共安装了31盏。为了节约用电，现要改成每隔12米安装一盏。要求两端都不移动，中间还有（    ）盏不必移动。 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】先根据原路灯的安装规则算出小区道路总长度：从头到尾装路灯，间隔数＝路灯数1，结合原间隔10米求出路长。 找出不必移动的路灯位置规律：同时是10和12的公倍数的位置，路灯不需要移动，先求两个数的最小公倍数。 用总路长除以最小公倍数，得到所有不必移动的路灯总数量，再减去末端的那1盏，就是中间不必移动的数量。 【解答】（个） （米） （个） （盏） 对比各选项应选B。 6．一个两位数只有两个因数，且它的十位数字比个位数字少1，这样的两位数有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】只有两个因数的数是质数，找出十位数字比个位数字少1的两位数，从里面筛选出其中的质数即可。 【解答】一个两位数只有两个因数，说明这个数是质数。十位数字比个位数字少1，这样的两位数只有12、23、34、45、56、67、78、89，而这些数中只有23、67和89是质数。这样的两位数有3个。 【点睛】先按条件列出所有符合“十位数字比个位数字少1”的两位数，再从中筛选出质数。 7．是一个六位数，由数字1、2、3、4、5、6组成，且数位上没有重复数字。前两位数是2的倍数，前三位数是3的倍数，前四位数是4的倍数，前五位数是5的倍数，整个六位数是6的倍数。是（    ）。 A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由题意可知，前两位数是2的倍数，说明是偶数，则可能是2、4、6；前三位数是3的倍数，说明是3的倍数；前四位数是4的倍数，则组成的两位数是4的倍数；前五位数是5的倍数，说明是5；整个六位数是6的倍数，说明这个六位数同时是2和3的倍数，即可能是2、4、6，且各个位上数字之和是3的倍数，1＋2＋3＋4＋5＋6＝21，21是3的倍数，即这六个数字组成的六位数一定是3的倍数，只需考虑符合条件的偶数，据此分析确保满足题目中的所有条件。 【解答】分析可知，一定是5，可能是2、4、6，可能是2、4、6，可能是2、4、6，因为只有三个偶数，所以这三个偶数一定不相邻，前四位数是4的倍数，则可能是12、16、32、36，当为12时，只能是3，这个六位数是341256（3＋4＋1＝8，8不是3的倍数）或361254（3＋6＋1＝10，10不是3的倍数），这两个六位数的前三位数都不是3的倍数，不符合题意；当为16时，只能是3，这个六位数是321654（3＋2＋1＝6，6是3的倍数）或341652（3＋4＋1＝8，8不是3的倍数），341652的前三位数不是3的倍数，不符合题意，六位数321654符合题意；当为32时，只能是1，这个六位数是143256（1＋4＋3＝8，8不是3的倍数）或163254（1＋6＋3＝10，10不是3的倍数），这两个六位数的前三位数都不是3的倍数，不符合题意；当为36时，只能是1，这个六位数是123654（1＋2＋3＝6，6是3的倍数）或143652（1＋4＋3＝8，8不是3的倍数），143652的前三位数不是3的倍数，不符合题意，六位数123654符合题意，综上所述，这个六位数是321654或123654，所以是4。 故答案为：B 【点睛】本题主要考查2、3、4、5、6的倍数特征，先确定的值，再从4的倍数特征解决问题，逐步分析找出符合所有条件的六位数是解答题目的关键。 8．有101个不同的正整数，在这101个数中有100个数互相不成倍数，但任意两数的和是2的倍数，任意三个数的和是3的倍数，任意四个数的和是4的倍数，任意六个数的和是6的倍数，则这101个数平均数的最小值可能是（    ）。 A．505 B．600 C．601 D．606 【答案】C 【分析】个位上是0，2，4，6，8的数是2的倍数；如果一个数的各个数位上的数的和是3的倍数，那么这个数就是3的倍数，根据题目条件逐步分析得出这 100个数的特征，进而判断平均数的特点； 除以2的余数情况：因为任意两个数的和是2的倍数，两个数相加和是2的倍数，说明这两个数要么都是偶数（即除以2余数为0），要么都是奇数（即除以2余数为1）。又因为这100个数互相不成倍数，所以不能都是偶数（如果都是偶数，必然存在倍数关系），所以这100个数除以2的余数都为1。 除以3的余数情况：由于任意三个数的和是3的倍数，设这三个数分别为a、b、c，a＋b＋c＝3k（k为整数）。根据余数的性质，a、b、c除以3的余数之和要是3的倍数。因为这100个数互相不成倍数，若有不同余数，就很难保证任意三个数和是3的倍数，所以这100个数除以3的余数都相同，又因为要满足和是3的倍数，所以余数只能为1（若余数为0，则这些数有倍数关系）。 除以4的余数情况：同理，任意四个数的和是4的倍数，设这四个数为m、n、p、q，m＋n＋p＋q＝4s（s为整数），根据余数性质，这100个数除以4的余数之和要是4的倍数。由于这100个数互相不成倍数，所以它们除以4的余数都相同，且为1（若余数为0或其他情况容易出现倍数关系不符合题意）。 除以6的余数情况：任意六个数的和是6的倍数，设这六个数为、、、、、，＋＋＋＋＋＝6t（t为整数），根据余数性质，这100个数除以6的余数之和要是6的倍数。因为这100个数互相不成倍数，所以它们除以6的余数都相同，且为1（若余数为0或其他情况，会出现倍数关系不符合要求）。 分析平均数：因为这100个数的平均数等于这100个数的总和除以100，而这100个数除以2、3、4、6余数都为1，那么它们的平均数除以2、3、4、6余数也都为1。 【解答】A．505÷2＝252……1，505÷3＝168……1，505÷4＝126……1，505÷6＝84……1，满足余数都为1； B．600÷2＝300，余数为0，不满足除以2余数为1，所以B选项错误； C．601÷2＝300……1，601÷3＝200……1、601÷4＝150……1、601÷6＝100……1，满足余数都为1； D．606÷2＝303，余数为0，不满足除以2余数为1，所以D选项错误。 比较505和601，505＜601，但题目问的是这101个数平均数的最小值，因为101个数中有100个数满足上述余数条件，当这100个数最小且满足余数条件时，平均数会最小，601比505更符合这101个数平均数最小的情况（因为505作为平均数时，可能无法满足101个数整体的条件，而601满足所有余数条件且能保证101个数整体的合理性）。 故答案为：C 【点睛】找出这100个数余数的特点，通过余数特点来判断平均数满足的条件是解题的关键。 还可以这样理解：这100个数的除以2、3、4、6的余数都为1，可写作12k＋1的形式（k＝1-100），求和为12×（1＋2＋3＋…100）＋1×100＝60700，再取1为第101个数，60701为这101个数最小和，60701÷101＝601，故选C。 二、填空题 9．有一个自然数，它有6个因数，从小到大依次是a、b、c、d、e、f，已知a＋f＝21，那么这个自然数是（ ），c＋d＝（ ）。 【答案】20 9 【分析】任何自然数最小的因数都是1，也就是这里的a＝1；而一个数最大的因数就是它自己，也就是这里的f；结合a＋f＝21就能求出f，也就是这个自然数本身。 确定该自然数的所有因数并从小到大排序，找到对应的c和d后计算两者之和。 【解答】a ＝1，可算出f＝21－1＝20，也就是这个自然数本身是20。 把20的因数全部列出来排序：1、2、4、5、10、20，刚好6个，符合题目条件，数一下第三位c是4，第四位d是5，加起来就是4＋5＝9。 10．两个不成倍数关系的自然数的积是240，最小公倍数是60，这两个自然数分别是（ ）和（ ）。 【答案】12 20 【分析】根据两数乘积＝最大公因数×最小公倍数，用240除以60求得最大公因数，据此解答。 【解答】240÷60＝4 所以最大公因数为4； 60÷4＝15 15＝3×5（3与5互质） 所以这两数分别为：4×3＝12 4×5＝20 因此，两个不成倍数关系的自然数的积是240，最小公倍数是60，这两个自然数分别是12和20。 11．一个数有6个因数，从小到大依次是a、b、c、d、e、f，如果a＋f＝13，那么d＝（ ）。 【答案】4 【分析】一个数的最小因数是1，最大因数是它本身，则a＝1，f就是这个自然数，根据a＋f＝13，求出这个数，再求出这个数的所有因数，并按照从小到大的顺序排列，即可求得d的值，据此即可解答。 【解答】根据， 所以这个数是12。 12的因数从小到大依次是1、2、3、4、6、12，所以d＝4。 12．今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩四，七七数之剩二，问物几何？此物数量最少是（ ）。 【答案】44 【分析】“三三数之剩二，五五数之剩四，七七数之剩二”意思为三个三个分组，最后会剩下2个；五个五个分组，最后会剩下4个；七个七个分组，最后会剩下2个；即一个数被3整除余2，被5整除余4，被7整除余2；据此用列举法即可得到答案。 【解答】除以3余数是2的数有：5、8、11、14、17、20、23、26、29、32、35、38、41、44… 除以5余数是4的数有：9、14、19、24、29、34、39、44… 除以7余数是2的数有：9、16、23、30、37、44…满足三个条件的最小数是44，即此物数量最少是44。 13．我国著名数学家陈景润被称为“哥德巴赫猜想第一人”。他证明了：任何一个充分大的偶数都可以表示成两个质数的乘积与一个质数之和。例如12＝2×5＋2，40＝3×11＋7，国际上称它为“陈氏定理”请将下面的偶数表示成几个质数的乘加算式。 48＝（ ）×（ ）＋（ ）    32＝（ ）×（ ）＋（ ） 【答案】5 7 13 3 7 11 【分析】质数：只有1和它本身2个因数的数；20以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19，据此代入数据尝试。 【解答】5、7、13都是质数，5×7＝35，35＋13＝48，所以48＝5×7＋13； 3、7、11都是质数，3×7＝21，21＋11＝32，所以32＝3×7＋11 14．两个数的最大公因数是12，最小公倍数是240，两个数相差12，则这两个数分别为（ ）和（ ）。 【答案】48 60 【分析】根据性质：两个数的乘积＝最大公因数×最小公倍数。因为两个数最大公因数是12，可设两个数为12a、12b（a、b互质，即只有公因数1），此时最小公倍数为12ab。代入条件计算： 【解答】最小公倍数是240，得12ab＝240，根据等式的性质，两边同时除以12，12ab÷12＝240÷12，得ab＝20； 按原题差为12，得12a−12b＝12，变形为12（a－b）＝12，根据等式的性质，两边同时除以12，12（a－b）÷12＝12÷12，得a−b＝1。 找符合条件的互质数：乘积为20、差为1的互质数是4和5，因此两个数为12×5＝60，12×4＝48。 验证：48和60的最大公因数是12，最小公倍数是240，符合要求。 15．你知道“韩信点兵”的故事吗？古代韩信带350名士兵打仗，战死几十人，战后清点人数，令3人一排，多出2人；令5人一排，多出4人；令7人一排，多出6人。韩信马上说出战后人数是（ ）人。 【答案】314 【分析】3人一排，多出2人，即比3的倍数少1；5人一排，多出4人，即比5的倍数少1；7人一排，多出6人，即比7的倍数少1，求出3，5，7的公倍数，再根据韩信带350名士兵打仗，战死几十人，（人），则战后人数大于250人，据此确定公倍数，最后减1即可解答。 【解答】（人） （人） 即，战后人数时314人。 【点睛】本题主要考查公倍数问题，根据3人一排，多出2人；站5人一排，多出4人；站7人一排，多出6人这一条件转化成都少1人，再求公倍数是解答本题的关键。 16．两个正整数A和B满足：①A（A＋1）是B（B＋1）的倍数；②A和（A＋1）都不是B或者（B＋1）的倍数；那么A＋B的最小值是（ ）。 【答案】34 【分析】A（A＋1）是B（B＋1）的倍数，A和（A＋1）都不是B或者（B＋1）的倍数，则A、（A＋1）、B、（B＋1）四个数都不是质数。连续的两个自然数都不是质数的有：8和9、9和10、14和15、15和16、20和21、21和22、24和25……。其中，当B是8或9时，A、（A＋1）无法找到符合题意的值；当B是14时，（B＋1）是15，14×15＝2×7×3×5，A（A＋1）是B（B＋1）的倍数，则A（A＋1）最小是2×7×3×5×2＝20×21，即A最小是20，（A＋1）最小是21。据此求出A＋B的最小值。 【解答】通过分析可得：A、（A＋1）、B、（B＋1）四个数都不是质数，A最小是20，B最小是14，那么A＋B的最小值是20＋14＝34。 【点睛】明确四个数都不是质数，据此找出不是质数的连续自然数，从而确定A和B的值。 三、计算题 17．求最大公因数和最小公倍数。 8和16              11和12               24和36                5和15 【答案】8、16；1、132；12、72；5、15 【分析】两个数的最大公因数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积，由此解决问题即可。 【解答】16是8的倍数，所以8和16的最大公因数是8，最小公倍数是16；               11和12互质，所以11和12的最大公因数是1，最小公倍数是11×12＝132；                24＝2×2×2×3，36＝2×2×3×3，24和36的最大公因数是2×2×3＝12，最小公倍数是2×2×2×3×3＝72；              15是5的倍数，5和15的最大公因数是5，最小公倍数是15。 【点睛】此题主要考查求两个数的最大公约数与最小公倍数的方法；注意特例：两数成倍数关系，较小数是两数的最大公因数，较大数是两数的最小公倍数；两数互质时，最大公因数是1，最小公倍数是两个数的乘积；数字大的可以用除解答。 四、解答题 18．甲、乙两个数是一位数的自然数，它们的和被5除余2，它们的差能被5整除，那么甲数被5除，余数是多少？ 【答案】1 【分析】甲、乙两个一位自然数，它们的和被5除余2，可得甲乙两数分别被5除的余数之和为2，它们的差能被5整除，可得甲乙两数分别被5除的余数相同，即可求出结果。 【解答】由题意，和被5除余2，则余数之和为2；差被5整除，则余数相同。 所以，甲数被5除的余数为：2÷2＝1。 答：余数是1。 【点睛】此题的解题关键是考虑这个数其实是5的倍数加1，余数是1，灵活运用数与数之间的关系。 19．五育并举，体育为基。乐明小学以“多彩运动，活力童年”为主题开展了多项特色体育活动。其中体操队由60人组成、做操时要排成一个长方形的队伍，要求每行和每列的人数都不能少于5人，共有几种排法？都是怎样排的？ 【答案】4种；每行5人、每列12人；每行12人、每列5人；每行6人、每列10人；每行10人、每列6人。 【分析】长方形队伍的总人数等于每行人数乘每列人数，即：每行人数×每列人数＝60。60的因数有：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60。因为每行和每列人数都不能少于5人，所以需找出两个因数相乘等于60，且每个因数都大于或等于5的情况：5×12＝60（每行5人，每列12人），12×5＝60（每行12人，每列5人），6×10＝60（每行6人，每列10人），10×6＝60（每行10人，每列6人）符合条件的因数对共有4组，即有4种排法。据此解答。 【解答】60的因数有：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60。 5×12＝60，每行5人，每列12人； 12×5＝60，每行12人，每列5人； 6×10＝60，每行6人，每列10人； 10×6＝60，每行10人，每列6人； 答：共有4种排法，分别是每行5人、每列12人；每行12人、每列5人；每行6人、每列10人；每行10人、每列6人。 【点睛】本题的关键在于，先根据“总人数＝每行人数×每列人数”的关系，分解出60的所有因数，再结合“每行、每列人数不少于5人”的条件筛选出符合要求的因数对，最后通过考虑行数与列数的互换情况，统计出所有符合条件的排法数量并具体列出。 20．现有10人玩“明7暗7”的游戏，下面是该游戏的规则，如果每人轮到了5次，那么有几人拍了手？ 游戏规则：若干人首尾相接，从1开始报数，如果遇到7的倍数或个位数字是7的数就不报数，改为拍手示意。 【答案】7人 【分析】十个人玩，每人轮到了5次，则一直报数到50，据此解答即可。 【解答】数字1到50中，需要拍手的数是：7，14，17，21，27，28，35，37，42，47，49 则第7，4，1，8，5，2，9个人拍了手，共7人。 答：有7人拍了手。 【点睛】解答本题的关键是掌握求一个数的倍数的方法。 21．四个连续的自然数，它们从小到大依次是3的倍数，5的倍数，7的倍数，9的倍数。要使这四个自然数的和最小，这四个连续的自然数分别是多少？ 【答案】分别是159，160，161，162 【分析】一个自然数是5的倍数，则它的个位数就是0或5两个数字；所以第二个数的个位数是0或是5，前面一个数个位是9或者4，后面一个数个位是1或者6，最后一个数个位是2或者7，据此分类讨论。 【解答】四个连续自然数个位为： （1）9，0，1，2，而个位数是2的且是9的最小倍数只能是 8×9＝72，或者18×9＝162或者28×9＝252……，再比较前面的条件是3，5，7倍数，明显69，70，71，72不行，个位为9，0，1，2的四个连续自然数中最小的是159，160，161，162； （2）4、5、6、7，而个位数是7的且是9的最小倍数只能是 3×9＝27，或者13×9＝117或者23×9＝207……，再比较前面的条件是3，5，7倍数，明显24、25、26、 27；114、115、116、117和204、205、206、207；都不成立。 答：这四个连续自然数分别是159，160，161，162。 【点睛】解答此题的突破点在5的倍数上，找出了突破口再结合题意，分别求出各数，进而得出结论。 22．有50名同学去公园游玩，他们准备乘船过河，公园划船处提供了4条船。每条船上坐的人数最多不超过20人，而且各不相同，人数都是奇数。请你说说每条船上各坐几个同学？ 【答案】19、17、1、13（答案不唯一） 【解析】据题意：有50名同学，每条船上坐的人数最多不超过20人，而且各不相同，人数都是奇数。即要找出20以内的所有奇数，在这些奇数中任选4个使它们的和等于50即可。 【解答】据分析，此题答案不唯一：20以内的奇数有：1、3、5、7、9、11、13、15、17、19。任选4个的和为50，如：19＋17＋1＋13＝50（人）；15＋13＋17＋5＝50（人）…… 答：每条船上可各坐19人、17人、1人、13人。（答案不唯一） 【点睛】理解要找20以内的奇数，使其中任意4个的和为50，是解决此题的关键。 23．某小学举办了主题为“小学生要不要参加兴趣小组”的辩论比赛，王老师通过抽下面的数字卡片来决定五（1）班和五（2）班谁是正方。王老师抽到卡片上的数是质数，五（1）班是正方；抽到卡片上的数是合数，五（2）班是正方，这个游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你设计一个对双方都公平的游戏规则。 【答案】不公平；这些数中质数有4个，合数有2个。抽到质数和合数的可能性不相等。 将数字卡片3、2、5、7、4、6 平均分成两组，一组是3、2、5，另一组是7、4、6。王老师抽到卡片上的数在第一组，五（1）班是正方；抽到卡片上的数在第二组，五（2）班是正方。这样双方获胜的可能性都是，游戏就公平了。（答案不唯一） 【分析】①判断游戏是否公平： 质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。 合数是指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其它数（0除外）整除的数。 在数字3、2、5、7、4、6中，质数有3、2、5、7，共4个；合数有4、6，共2个。 因为抽到质数五（1）班是正方，抽到合数五（2）班是正方，而质数的个数多于合数的个数，所以五（1）班成为正方的可能性更大，这个游戏不公平。 ②设计公平的游戏规则： 要使游戏公平，双方获胜的可能性应该相等。可以将数字卡片平均分成两组，一组代表五（1）班，另一组代表五（2）班。 例如，将数字卡片3、2、5、7、4、6 平均分成两组，一组是3、2、5，另一组是7、4、6。王老师抽到卡片上的数在第一组，五（1）班是正方；抽到卡片上的数在第二组，五（2）班是正方。这样双方获胜的可能性都是，游戏就公平了。（答案不唯一） 【解答】①在数字3、2、5、7、4、6 中，质数有3、2、5、7，共4个；合数有4、6，共2个。 因为抽到质数五（1）班是正方，抽到合数五（2）班是正方，而质数的个数多于合数的个数，所以五（1）班成为正方的可能性更大，这个游戏不公平。 答：这个游戏不公平，因为质数的个数多于合数的个数，所以五（1）班成为正方的可能性更大。 ②设计公平的游戏规则略。（答案不唯一） 【点睛】本题考查质数与合数的概念以及游戏公平性的判断。 解题的关键在于明确质数与合数的定义，分别找出给定数字中质数与合数的个数，通过比较个数来判断游戏是否公平。若不公平，需要设计一个使双方获胜可能性相等的游戏规则。 24．某青年志愿服务小队共有40人，其中男、女生的人数都是质数，且男、女生人数的乘积是391。这支青年志愿服务小队中男、女生各有多少人？（男生的人数比女生少） 【答案】 男生有17人，女生有23人。 【分析】从最小的质数开始试算，判断出两个质数的和是40且这两个数的积是391的数即可确定男生和女生的人数。先列出40以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37，找出和为40的质数对：（17，23）、（3，37），验证积是否为391，结合“男生人数比女生少”的条件即可。 【解答】 答：这支青年志愿服务小队中男生有17人，女生有23人。 25．一个长方形的池塘，长60米，宽42米，如果在它的四周及四角栽柳树，每相邻两棵树之间的距离要相等，那么最少要栽多少棵？如果每两棵柳树之间栽2棵桃树，那么桃树一共栽了多少棵？ 【答案】34棵；68棵 【分析】（1）要求最少要栽多少棵，即每相邻两棵树之间的距离最大，即相邻两棵树之间的距离是60和42的最大公因数，求出60和42的最大公因数，即相邻两棵树之间的距离，即可求出应栽树的棵数； （2）因为此长方形的池塘四周及四角栽柳树，可以看成是一个封闭的图形，所栽的柳树的棵数和间距数相等，用间距乘2即可解答出所种的桃树的棵数。 【解答】60＝2×2×3×5 42＝2×3×7 60、42的最大公因数是2×3＝6 （60＋42）×2÷6 ＝102×2÷6 ＝204÷6 ＝34（棵） 34×2＝68（棵） 答：最少要种14棵柳树，桃树一共栽了68棵。 【点睛】关键是理解题意，明白是从求公因数作为突破口，进而找出解决问题的方法。 26．一段公路一边有杨树106棵（两端都栽），每相邻两棵之间的距离原来是9米，现在树木长得太大显得较密，要改成15米的间隔，有多少棵不需要移动？ 【答案】22棵 【分析】不需要移动的树的位置是9和15的公倍数处，先根据两端都栽的植树规律求出公路总长，再求9和15的最小公倍数，最后用总长除以最小公倍数得间隔数，加1得到不需要移动的棵数。 【解答】两端都栽树时，间隔数＝树的棵数－1， 106棵杨树的间隔数是：106－1＝105（个） 公路总长为：105×9＝945（米） 9和15的最小公倍数是45，也就是每隔45米就有1棵树不用动。 945米里45米的间隔数：945÷45＝21（个） 公路两端的树原本就栽种了也不需要移动， 所以不用移动的树总棵数是21＋1＝22（棵） 答：有22棵不需要移动。 27．加工某机器零件要经过三道工序，第一道工序每个工人每小时完成3个，第二道工序每个工人每小时完成12个，第三道工序每个工人每小时完成5个。要使生产顺利进行，又不浪费人力和时间，三道工序至少各分配多少人？ 【答案】 20人；5人；12人 【分析】要使生产顺利进行且不浪费人力和时间，需保证各道工序每小时完成的零件数相同，即求出3、12、5的最小公倍数，此最小公倍数为每小时应完成的零件总数，再用零件总数分别除以各工序每个工人每小时完成的零件数，即可得到各工序至少分配的人数。 【解答】3、12、5的最小公倍数是60。 第一道工序：（人） 第二道工序：（人） 第三道工序：（人） 答：三道工序至少各分配20人、5人、12人。 【点睛】同类“多工序人数分配”题，第一步需找各工序“单位效率”（如本题中每人每小时完成零件数）的最小公倍数，以此作为统一的“每小时总产出目标”；第二步用总目标分别除以各工序单位效率，即可得到最少人数，确保各工序节奏匹配、无等待浪费。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 因数与倍数（易错思维训练） 一、选择题 1．下面4个五位数中，a代表同一个非零自然数，那么一定同时是2、3、5倍数的是（    ）。 A．a0aaa B．aa000 C．a0aa0 D．a00aa 2．学校英语小组开展夏令营活动，若分成8人一组或12人一组都正好分完。如果英语小组的人数在50以内，那么英语小组最多有（    ）人。 A．48 B．40 C．36 D．32 3．用5、6、9、12个相同小正方形拼长方形，12个拼出种类最多，原因是（    ）。 A．12数量最多 B．12不是质数 C．12因数最多 D．12倍数最多 4．两条彩带分别长24厘米和18厘米，现把它们剪成长度相等的小段，最少能剪成（    ）段。 A．6 B．7 C．12 D．14 5．小区道路一边每隔10米安装了一盏路灯，从头到尾共安装了31盏。为了节约用电，现要改成每隔12米安装一盏。要求两端都不移动，中间还有（    ）盏不必移动。 A．3 B．4 C．5 D．6 6．一个两位数只有两个因数，且它的十位数字比个位数字少1，这样的两位数有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 7．是一个六位数，由数字1、2、3、4、5、6组成，且数位上没有重复数字。前两位数是2的倍数，前三位数是3的倍数，前四位数是4的倍数，前五位数是5的倍数，整个六位数是6的倍数。是（    ）。 A．2 B．4 C．5 D．6 8．有101个不同的正整数，在这101个数中有100个数互相不成倍数，但任意两数的和是2的倍数，任意三个数的和是3的倍数，任意四个数的和是4的倍数，任意六个数的和是6的倍数，则这101个数平均数的最小值可能是（    ）。 A．505 B．600 C．601 D．606 二、填空题 9．有一个自然数，它有6个因数，从小到大依次是a、b、c、d、e、f，已知a＋f＝21，那么这个自然数是（ ），c＋d＝（ ）。 10．两个不成倍数关系的自然数的积是240，最小公倍数是60，这两个自然数分别是（ ）和（ ）。 11．一个数有6个因数，从小到大依次是a、b、c、d、e、f，如果a＋f＝13，那么d＝（ ）。 12．今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩四，七七数之剩二，问物几何？此物数量最少是（ ）。 13．我国著名数学家陈景润被称为“哥德巴赫猜想第一人”。他证明了：任何一个充分大的偶数都可以表示成两个质数的乘积与一个质数之和。例如12＝2×5＋2，40＝3×11＋7，国际上称它为“陈氏定理”请将下面的偶数表示成几个质数的乘加算式。 48＝（ ）×（ ）＋（ ）    32＝（ ）×（ ）＋（ ） 14．两个数的最大公因数是12，最小公倍数是240，两个数相差12，则这两个数分别为（ ）和（ ）。 15．你知道“韩信点兵”的故事吗？古代韩信带350名士兵打仗，战死几十人，战后清点人数，令3人一排，多出2人；令5人一排，多出4人；令7人一排，多出6人。韩信马上说出战后人数是（ ）人。 16．两个正整数A和B满足：①A（A＋1）是B（B＋1）的倍数；②A和（A＋1）都不是B或者（B＋1）的倍数；那么A＋B的最小值是（ ）。 三、计算题 17．求最大公因数和最小公倍数。 8和16              11和12               24和36                5和15 四、解答题 18．甲、乙两个数是一位数的自然数，它们的和被5除余2，它们的差能被5整除，那么甲数被5除，余数是多少？ 19．五育并举，体育为基。乐明小学以“多彩运动，活力童年”为主题开展了多项特色体育活动。其中体操队由60人组成、做操时要排成一个长方形的队伍，要求每行和每列的人数都不能少于5人，共有几种排法？都是怎样排的？ 20．现有10人玩“明7暗7”的游戏，下面是该游戏的规则，如果每人轮到了5次，那么有几人拍了手？ 游戏规则：若干人首尾相接，从1开始报数，如果遇到7的倍数或个位数字是7的数就不报数，改为拍手示意。 21．四个连续的自然数，它们从小到大依次是3的倍数，5的倍数，7的倍数，9的倍数。要使这四个自然数的和最小，这四个连续的自然数分别是多少？ 22．有50名同学去公园游玩，他们准备乘船过河，公园划船处提供了4条船。每条船上坐的人数最多不超过20人，而且各不相同，人数都是奇数。请你说说每条船上各坐几个同学？ 23．某小学举办了主题为“小学生要不要参加兴趣小组”的辩论比赛，王老师通过抽下面的数字卡片来决定五（1）班和五（2）班谁是正方。王老师抽到卡片上的数是质数，五（1）班是正方；抽到卡片上的数是合数，五（2）班是正方，这个游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你设计一个对双方都公平的游戏规则。 24．某青年志愿服务小队共有40人，其中男、女生的人数都是质数，且男、女生人数的乘积是391。这支青年志愿服务小队中男、女生各有多少人？（男生的人数比女生少） 25．一个长方形的池塘，长60米，宽42米，如果在它的四周及四角栽柳树，每相邻两棵树之间的距离要相等，那么最少要栽多少棵？如果每两棵柳树之间栽2棵桃树，那么桃树一共栽了多少棵？ 26．一段公路一边有杨树106棵（两端都栽），每相邻两棵之间的距离原来是9米，现在树木长得太大显得较密，要改成15米的间隔，有多少棵不需要移动？ 27．加工某机器零件要经过三道工序，第一道工序每个工人每小时完成3个，第二道工序每个工人每小时完成12个，第三道工序每个工人每小时完成5个。要使生产顺利进行，又不浪费人力和时间，三道工序至少各分配多少人？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $