第六单元 公因数和公倍数（综合题型）奥数思维训练-2026-2027学年苏教版数学五年级上册(新教材)

**基本信息** 系统构建公因数公倍数概念体系，提炼短除法、设元拆分等6大解题方法，通过基础到奥数进阶题型培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识梳理|概念/性质/计算方法|分解质因数法（公因取低次幂，公倍取高次幂）|从公共约束本质→性质（有限性/从属关系）→计算方法（列举到短除法）| |基础应用|等分分配/周期重合等4类|周期转化法（实际场景→周期模型）|基础题型对应核心性质，建立“最多用大公因，下次用小公倍”模型| |奥数进阶|同余/极值等4类|余差公式法（余同加余，差同减差）|从两数关系拓展到三数及以上，结合设元拆分法解决逆向推理问题| |解题方法|6大核心方法|乘积公式法（两数乘积=大公因×小公倍）|方法覆盖计算、推理、应用全场景，形成“概念-性质-方法-应用”闭环| |易错点|概念/计算/应用3类|短除法（除到商互质）|针对混淆模型、计算疏漏等易错点，强化概念辨析与步骤规范|

第六单元 公因数和公倍数（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、基础概念与核心意义 1. 主题定义与本质 本小节是小学数论模块的核心综合内容，基于因数与倍数、质数与合数的知识，研究多个自然数之间的公共整除关系，建立公因数、最大公因数与公倍数、最小公倍数的完整概念体系。 公因数与最大公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数，常用符号表示和的最大公因数。 公倍数与最小公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，常用符号表示和的最小公倍数。 核心本质：刻画多个自然数的公共约束与公共周期规律，是整除性质的综合应用，核心是对公共因数、公共倍数的定量计算与场景建模。 研究范围：仅在非 0 自然数范围内讨论，与因数、倍数单元的研究边界完全一致。 2. 核心关联概念：互质数 公因数只有 1 的两个数叫做互质数，是本小节的关键基础概念。 核心对应：互质的两个数，最大公因数是 1，最小公倍数是两数的乘积。 常见互质类型：两个不同的质数、1 和所有非 0 自然数、相邻的两个自然数、相邻的两个奇数、一个质数与一个不包含该质因数的合数。 3. 教材定位与奥数价值 教材定位：承接因数与倍数、质数与合数知识，是分数约分、通分的核心运算基础，也是整数数论从 “单个数字性质” 到 “多数字关系” 的关键进阶单元。 奥数价值：延伸出等分分配、周期重合、同余推理、数对构造、极值求解等经典数论题型，训练数论建模能力与有序推理能力，是小升初数论模块的必考核心考点，也是后续分数运算、工程周期问题的重要前置基础。 二、核心基础性质与必备计算方法 1. 公因数与最大公因数的核心性质 有限性：一组自然数的公因数个数是有限的，最小的公因数恒为 1，最大的是这组数的最大公因数。 从属关系：一个数的所有公因数，都是它最大公因数的因数；即若是的公因数，则一定能整除。 上限约束：两个数的最大公因数，一定不大于这两个数中较小的那个数。 特殊结论：如果两个数是倍数关系，那么较小数就是它们的最大公因数。 2. 公倍数与最小公倍数的核心性质 无限性：一组自然数的公倍数有无限多个，不存在最大的公倍数，最小的是这组数的最小公倍数。 从属关系：一个数的所有公倍数，都是它最小公倍数的倍数；即若是的公倍数，则一定是的整数倍。 下限约束：两个数的最小公倍数，一定不小于这两个数中较大的那个数。 特殊结论：如果两个数是倍数关系，那么较大数就是它们的最小公倍数。 3. 核心关系定理 两数乘积定理：两个自然数的乘积，等于它们的最大公因数与最小公倍数的乘积。 公式： 互质特例：若两数互质，即，则，完全符合乘积定理。 拓展说明：三个及以上数的情况不直接适用乘积定理，需通过分解质因数法单独计算最大公因数与最小公倍数。 4. 标准计算方法 （1）列举法（基础入门） 找最大公因数：分别列出每个数的所有因数，筛选出公共因数，其中最大的即为最大公因数。 找最小公倍数：分别列出每个数的若干倍数，筛选出公共倍数，其中最小的正整数即为最小公倍数。 适用场景：数值较小的基础题，用于理解概念本质。 （2）筛选法 找最大公因数：先列出较小数的所有因数，再从中筛选出也是较大数因数的数，最大的即为所求。 找最小公倍数：按从小到大列出较大数的倍数，第一个同时是较小数倍数的数，就是最小公倍数。 优势：比全列举计算量小，是口算小数字的常用方法。 （3）分解质因数法（奥数核心方法） 先将每个数分解质因数，再按规则选取质因数计算： 最大公因数：取所有数公共质因数的最低次幂相乘。 示例：，，则 最小公倍数：取所有数出现过的全部质因数的最高次幂相乘。 示例： （4）短除法（通用标准方法） 两数计算：用两个数的公共质因数依次去除，一直除到所得的商互质为止。 最大公因数 = 所有左侧除数相乘 最小公倍数 = 所有左侧除数 + 最终底部的商 连乘 三数计算：先用三个数的公共质因数除，再用两个数的公共质因数除，直到最终的商两两互质。 最大公因数：仅三个数公共的除数相乘 最小公倍数：所有除数与最终所有商连乘 三、基础应用题型与标准解法 1. 概念辨析与基础计算题 题型特征：判断公因数、公倍数相关表述的正误，或直接求指定两个 / 三个数的最大公因数、最小公倍数。 解题策略：紧扣定义，优先用短除法或分解质因数法计算；遇到倍数关系、互质关系可直接套用结论快速求解，提升效率。 2. 最大公因数基础应用：等分分配类 题型特征：将多类物品平均分成若干份，要求全部分完无剩余，求最多可以分几份；或长方形材料裁剪正方形无剩余，求最大的正方形边长。 典型场景：分糖果、截铁丝、铺地砖、剪正方形布料。 解题策略：“最多份数、最大边长” 的本质是求对应数量的最大公因数；每份对应数量 = 物品总数 ÷ 最大公因数。 3. 最小公倍数基础应用：周期重合类 题型特征：多个事物按各自固定周期循环，求下一次同时发生的最短时间；或多人间隔不同天数出行，求下次同时相遇的日期。 典型场景：公交车发车、轮流值班、日期相遇、环形跑道同时回到起点。 解题策略：“下次同时、再次相遇” 的本质是求对应周期的最小公倍数；日期类问题需结合起始日期推算最终日期。 4. 互质数判定与应用 题型特征：判断几组数是否互质，或根据互质条件求未知数字。 解题策略：根据 “公因数只有 1” 的定义验证，结合常见互质规律快速判断；也可通过计算最大公因数是否为 1 来验证。 四、奥数进阶题型与解题策略 （一）最大公因数进阶应用 1. 多物品复杂分组问题 题型特征：三类及以上物品同时平均分，要求全部分完无剩余，求最多的分组数，以及每组中各类物品的数量；或带有剩余 / 缺额的分配问题。 解题策略： 无剩余时，分组数是所有物品数量的最大公因数；每组各类物品数量 = 对应总数 ÷ 分组数。 有固定剩余时，先将各类物品总数减去对应余数，转化为刚好分完的情况，再求差的最大公因数。 有固定缺额时，先将各类物品总数加上对应缺额，转化为刚好分完的情况，再求和的最大公因数。 2. 长方体切割正方体极值问题 题型特征：长方体木料 / 包装盒切割成同样大小的正方体，无剩余，求最大的正方体棱长，以及最少能切割成多少块。 解题策略：最大正方体棱长是长、宽、高的最大公因数；总块数 =（长 ÷ 棱长）×（宽 ÷ 棱长）×（高 ÷ 棱长）。 3. 同余求除数问题 题型特征：一个数分别去除多个不同的被除数，余数都相同，求这个除数的最大值。 核心原理：余数相同时，被除数两两的差值一定能被除数整除，因此除数是所有差值的公因数，最大值就是差值的最大公因数。 解题步骤： 用较大被除数减去较小被除数，得到若干组差值； 求所有差值的最大公因数，即为所求的最大除数。 （二）最小公倍数进阶应用 1. 多周期重合计数问题 题型特征：三个及以上事物按不同周期循环，求指定时间范围内同时发生的总次数，或第 n 次同时发生的时间。 解题策略： 先求所有周期的最小公倍数，即为每次重合的间隔时长； 总时长除以最小公倍数，商为完整间隔数；结合起始点是否计入，确定总次数（通常起点算第一次需加 1）。 2. 差同型最小公倍数问题 题型特征：一个数分别除以不同的除数，余数与对应除数的差值完全相同（即都差固定的数就能被整除），求满足条件的最小数。 核心结论：差同减差。先求所有除数的最小公倍数，再减去共同的差值，即为满足条件的最小被除数。 示例：一个数除以 3 余 2、除以 4 余 3、除以 5 余 4，都差 1 即可整除，最小数为。 3. 余同型最小公倍数问题 题型特征：一个数分别除以不同的除数，余数完全相同，求满足条件的最小数。 核心结论：余同加余。先求所有除数的最小公倍数，再加上相同的余数，即为满足条件的最小被除数。 示例：一个数除以 4 余 2、除以 5 余 2、除以 6 余 2，最小数为。 4. 实际场景综合应用 典型场景：齿轮咬合转数、植树间隔对齐、行程多次相遇、铺砖图案重复。 解题策略：将实际场景中的重复单元、间隔长度抽象为周期量，转化为求最小公倍数的问题；注意单位统一与边界条件的校验。 （三）公因数与公倍数的关系推理 1. 已知最大公因数与最小公倍数，求原数 题型特征：已知两个数的最大公因数和最小公倍数，求这两个数的所有可能组合；或已知两数的和与最大公因数，求这两个数。 标准设元法： 设两数为 ，，其中是最大公因数，与互质； 由最小公倍数公式可得：，因此 ； 将商分解为两组互质的数相乘，即可反推出对应的； 若已知两数和，则由先算出，再匹配互质的。 2. 公因数公倍数极值问题 题型特征：已知两数的最大公因数，求两数和 / 差的最值；或已知两数的最小公倍数，求两数和的最小值。 解题策略：沿用设元法，将两数表示为最大公因数乘互质系数，通过调整互质系数的取值，得到对应和、差的最值。 （四）拓展提升类 1. 辗转相除法（大数求最大公因数） 原理：用较大数除以较小数得到余数，再用除数除以余数，反复迭代，直到余数为 0，最后一个非零除数就是最大公因数。 适用场景：数值较大、质因数不明显时，比短除法、试除法更高效。 2. 最简分数与公因数公倍数 分数约分：分子分母同时除以它们的最大公因数，得到最简分数。 分数通分：以各分母的最小公倍数为公分母，将分数化为同分母分数。 拓展计数：求指定范围内分母为某数的最简真分数个数，结合容斥原理统计与分母互质的数的数量。 3. 差不变性质拓展 核心结论：若两个数有公因数，则它们的和、差也一定是的倍数；两个数的公因数一定是它们差的因数，最大公因数一定是差的因数。 应用：已知两数差与最大公因数的关系，可快速缩小取值范围，辅助推理验证。 五、核心解题方法汇总 短除法：求最大公因数、最小公倍数的通用基础方法，两数除到商互质，三数除到商两两互质。 分解质因数法：奥数核心计算方法，遵循 “公因取低次幂，公倍取高次幂” 的规则快速计算。 设元拆分法：已知最大公因数求原数时，设互质系数拆分问题，将复杂数论关系转化为简单因数组合。 余差公式法：同余类问题的通用思路，余同加余、差同减差，结合最小公倍数快速求解。 周期转化法：将实际重合、相遇问题抽象为周期模型，转化为求最小公倍数的数学问题。 乘积公式法：利用两数乘积等于最大公因数乘最小公倍数的关系，实现已知三量求第四量。 六、易错点与避坑指南 1. 概念类易错点 题型模型混淆：等分分配求 “最多” 用最大公因数，周期重合求 “下次” 用最小公倍数，应用题中易搞反模型，导致结果完全错误。 三数计算规则混淆：求三个数的最大公因数只需除到有公共因数即可，求最小公倍数必须除到两两互质，除不彻底会导致最小公倍数偏大。 互质概念误解：误认为互质的两个数必须都是质数，忽略两个合数也可互质（如 8 和 9）；误认为 1 和任何数都不互质，实际 1 与所有非 0 自然数都互质。 倍数关系结论记反：倍数关系的两个数，误将较大数当作最大公因数、较小数当作最小公倍数，恰好颠倒。 2. 计算类易错点 短除不彻底：分解质因数或短除时，剩余的商还有公共质因数就提前停止，导致最大公因数偏小、最小公倍数偏大。 乘积定理滥用：三个及以上数的情况直接套用两数乘积定理，导致结果错误，该定理仅适用于两个自然数。 同余差值算错：求除数的最大公因数时，被除数作差计算错误，或忘记先扣除余数再作差。 设元后漏乘系数：求出互质系数后，忘记乘最大公因数，直接将系数当作原数输出。 3. 应用类易错点 日期计数偏差：计算相遇日期时，起始当天是否计入容易出错，导致结果相差 1 天，需结合题目场景判断。 单位不统一：切割、间隔类问题中，各长度单位不一致时未换算直接计算，结果数量级完全错误。 余数条件遗漏：带剩余的分配题，直接用原总数求最大公因数，忘记先扣除余数再计算。 重合次数漏算起点：统计范围内重合总次数时，忽略起始点的第一次重合，导致次数少算 1 次。 培优练习 一、选择题 1．自然数，那么和3的最大公因数是（    ）。 A．6 B．3 C．Y D．1 2．如果（a、b均为非0自然数），那么a和b的最大公因数是（    ），最小公倍数是（    ）。 A．1；ab B．ab；b C．b；a D．a；1 3．联欢会上，老师给三年（5）班表演节目的同学分糖果，不管每人分3颗还是分5颗，最后都剩余1颗。糖果的总数可能是（    ）颗。 A．30 B．31 C．32 D．33 4．小区道路一边每隔10米安装了一盏路灯，从头到尾共安装了31盏。为了节约用电，现要改成每隔12米安装一盏。要求两端都不移动，中间还有（    ）盏不必移动。 A．3 B．4 C．5 D．6 5．“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦。”王老师带领五（3）班30名男生和24名女生走进田间地头，开展捡麦穗比赛。王老师把大家分成了人数相等的几队（男女生分别组队），每队发1个篮子。王老师至少需要准备（    ）个篮子。 A．6 B．9 C．10 D．18 二、填空题 6．已知a和8互质，它们的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 7．将长84厘米，宽60厘米的长方形布料，裁成同样大小的正方形，没有剩余，裁成的正方形布料边长最大是( )厘米。 8．红红买了几本笔记本花了72元，亮亮也买了同样的笔记本，花了60元。如果这些笔记本的单价是整元，单价最高是( )元。 9．有两根绳子，长度分别为24米和39米，要把它们截成同样长的小段，不能剩余，每段绳子最长( )米。 10．一袋饼干平均分给8个人，或者平均分给12个人，都恰好还剩一块。这袋饼干至少有( )块。 11．士兵做队列表演（1000人以内），3人一排时余1人，5人一排时余4人，7人一排时余3人，这些士兵最多______人。 12．有两根铁丝，长度分别是36厘米和54厘米。要把它们截成同样长的小段，不能有剩余，每段最长是( )厘米。 13．用一些大小相等的正方形纸片正好能完全盖住长50厘米，宽42厘米的长方形。这些小正方形纸片的边长最大可以是( )厘米。 14．一辆大巴车最大的车载人数在40到50之间，这个数既是2的倍数又是3的倍数，那么这辆大巴车最多能坐( )人。 15．六年级武术队同学排队做操，无论是每行16人还是每行12人，都正好排完。已知六年级武术队人数不超过100人，那么六年级武术队可能有( )人，也可能有( )人。 三、判断题 16．如果，，那么和的最大公因数是4。( ) 17．因为a÷b＝6，所以a和b的最大公因数是b，最小公倍数是a。( ) 18．两个数的最大公因数是20，这两个数一定有6个公因数。( ) 19．一张长方形纸，长16cm，宽12cm如果要剪成若干张同样大小的正方形（边长为整厘米数）且没有剩余，能剪出7个这样的小正方形。( ) 20．两个非0自然数的最小公倍数一定是这两个数的最大公因数的倍数。( ) 四、计算题 21．求下面每组数的最小公倍数。 26和65                66和99 16、20和24            35、140和70 22．写出下面每组数的最小公倍数。 4，6和24             5，10和25               12，18和20 五、解答题 23．某市1路和2路公交车早上6：00从同一个站点发车，1路每隔6分钟发一次车，2路公交车每8分钟发一次车，这两路公交车下一次同时发车是几点？ 24．劳动技能大赛上，低年级举行了小巧手叠衣服比赛，共准备了200件外套和280条裤子，每名学生分到的外套和裤子数量都相同，且没有剩余。最多有多少名学生参赛？每名学生叠外套和裤子共多少件？ 25．“冬至不端饺子碗，冻掉耳朵没人管”。冬至到了，聪聪一家围坐在一起包饺子，他们一共包了36个韭菜鸡蛋馅的和48个芹菜猪肉馅的饺子。妈妈把这两种馅料的饺子分开放在不同的保鲜袋里，要使每袋里饺子的数量相等，每袋最多放多少个？一共要几个保鲜袋？ 26．学生合唱队要参加演出，男生有24人，女生有18人，为了队形美观，老师要把男生、女生分别分成若干组，且每组人数相同，每组最多有多少人？这时男、女生分别是几排？ 27．刘老师家装修，买来一批长30厘米、宽20厘米的长方形地砖。她想用这些地砖在客厅地面拼出一个正方形图案，要求地砖不能切割，并且恰好铺满。拼成这个正方形最少需要多少块地砖？ 28．景区组织分发灵宝苹果和大枣伴手礼，现有苹果48个，大枣36颗。要把它们平均分给前来游玩的游客，且每人分到的苹果数量、大枣数量分别相等，最多可以分给多少名游客？每人分别分到几个苹果、几颗大枣？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 公因数和公倍数（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、基础概念与核心意义 1. 主题定义与本质 本小节是小学数论模块的核心综合内容，基于因数与倍数、质数与合数的知识，研究多个自然数之间的公共整除关系，建立公因数、最大公因数与公倍数、最小公倍数的完整概念体系。 公因数与最大公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数，常用符号表示和的最大公因数。 公倍数与最小公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，常用符号表示和的最小公倍数。 核心本质：刻画多个自然数的公共约束与公共周期规律，是整除性质的综合应用，核心是对公共因数、公共倍数的定量计算与场景建模。 研究范围：仅在非 0 自然数范围内讨论，与因数、倍数单元的研究边界完全一致。 2. 核心关联概念：互质数 公因数只有 1 的两个数叫做互质数，是本小节的关键基础概念。 核心对应：互质的两个数，最大公因数是 1，最小公倍数是两数的乘积。 常见互质类型：两个不同的质数、1 和所有非 0 自然数、相邻的两个自然数、相邻的两个奇数、一个质数与一个不包含该质因数的合数。 3. 教材定位与奥数价值 教材定位：承接因数与倍数、质数与合数知识，是分数约分、通分的核心运算基础，也是整数数论从 “单个数字性质” 到 “多数字关系” 的关键进阶单元。 奥数价值：延伸出等分分配、周期重合、同余推理、数对构造、极值求解等经典数论题型，训练数论建模能力与有序推理能力，是小升初数论模块的必考核心考点，也是后续分数运算、工程周期问题的重要前置基础。 二、核心基础性质与必备计算方法 1. 公因数与最大公因数的核心性质 有限性：一组自然数的公因数个数是有限的，最小的公因数恒为 1，最大的是这组数的最大公因数。 从属关系：一个数的所有公因数，都是它最大公因数的因数；即若是的公因数，则一定能整除。 上限约束：两个数的最大公因数，一定不大于这两个数中较小的那个数。 特殊结论：如果两个数是倍数关系，那么较小数就是它们的最大公因数。 2. 公倍数与最小公倍数的核心性质 无限性：一组自然数的公倍数有无限多个，不存在最大的公倍数，最小的是这组数的最小公倍数。 从属关系：一个数的所有公倍数，都是它最小公倍数的倍数；即若是的公倍数，则一定是的整数倍。 下限约束：两个数的最小公倍数，一定不小于这两个数中较大的那个数。 特殊结论：如果两个数是倍数关系，那么较大数就是它们的最小公倍数。 3. 核心关系定理 两数乘积定理：两个自然数的乘积，等于它们的最大公因数与最小公倍数的乘积。 公式： 互质特例：若两数互质，即，则，完全符合乘积定理。 拓展说明：三个及以上数的情况不直接适用乘积定理，需通过分解质因数法单独计算最大公因数与最小公倍数。 4. 标准计算方法 （1）列举法（基础入门） 找最大公因数：分别列出每个数的所有因数，筛选出公共因数，其中最大的即为最大公因数。 找最小公倍数：分别列出每个数的若干倍数，筛选出公共倍数，其中最小的正整数即为最小公倍数。 适用场景：数值较小的基础题，用于理解概念本质。 （2）筛选法 找最大公因数：先列出较小数的所有因数，再从中筛选出也是较大数因数的数，最大的即为所求。 找最小公倍数：按从小到大列出较大数的倍数，第一个同时是较小数倍数的数，就是最小公倍数。 优势：比全列举计算量小，是口算小数字的常用方法。 （3）分解质因数法（奥数核心方法） 先将每个数分解质因数，再按规则选取质因数计算： 最大公因数：取所有数公共质因数的最低次幂相乘。 示例：，，则 最小公倍数：取所有数出现过的全部质因数的最高次幂相乘。 示例： （4）短除法（通用标准方法） 两数计算：用两个数的公共质因数依次去除，一直除到所得的商互质为止。 最大公因数 = 所有左侧除数相乘 最小公倍数 = 所有左侧除数 + 最终底部的商 连乘 三数计算：先用三个数的公共质因数除，再用两个数的公共质因数除，直到最终的商两两互质。 最大公因数：仅三个数公共的除数相乘 最小公倍数：所有除数与最终所有商连乘 三、基础应用题型与标准解法 1. 概念辨析与基础计算题 题型特征：判断公因数、公倍数相关表述的正误，或直接求指定两个 / 三个数的最大公因数、最小公倍数。 解题策略：紧扣定义，优先用短除法或分解质因数法计算；遇到倍数关系、互质关系可直接套用结论快速求解，提升效率。 2. 最大公因数基础应用：等分分配类 题型特征：将多类物品平均分成若干份，要求全部分完无剩余，求最多可以分几份；或长方形材料裁剪正方形无剩余，求最大的正方形边长。 典型场景：分糖果、截铁丝、铺地砖、剪正方形布料。 解题策略：“最多份数、最大边长” 的本质是求对应数量的最大公因数；每份对应数量 = 物品总数 ÷ 最大公因数。 3. 最小公倍数基础应用：周期重合类 题型特征：多个事物按各自固定周期循环，求下一次同时发生的最短时间；或多人间隔不同天数出行，求下次同时相遇的日期。 典型场景：公交车发车、轮流值班、日期相遇、环形跑道同时回到起点。 解题策略：“下次同时、再次相遇” 的本质是求对应周期的最小公倍数；日期类问题需结合起始日期推算最终日期。 4. 互质数判定与应用 题型特征：判断几组数是否互质，或根据互质条件求未知数字。 解题策略：根据 “公因数只有 1” 的定义验证，结合常见互质规律快速判断；也可通过计算最大公因数是否为 1 来验证。 四、奥数进阶题型与解题策略 （一）最大公因数进阶应用 1. 多物品复杂分组问题 题型特征：三类及以上物品同时平均分，要求全部分完无剩余，求最多的分组数，以及每组中各类物品的数量；或带有剩余 / 缺额的分配问题。 解题策略： 无剩余时，分组数是所有物品数量的最大公因数；每组各类物品数量 = 对应总数 ÷ 分组数。 有固定剩余时，先将各类物品总数减去对应余数，转化为刚好分完的情况，再求差的最大公因数。 有固定缺额时，先将各类物品总数加上对应缺额，转化为刚好分完的情况，再求和的最大公因数。 2. 长方体切割正方体极值问题 题型特征：长方体木料 / 包装盒切割成同样大小的正方体，无剩余，求最大的正方体棱长，以及最少能切割成多少块。 解题策略：最大正方体棱长是长、宽、高的最大公因数；总块数 =（长 ÷ 棱长）×（宽 ÷ 棱长）×（高 ÷ 棱长）。 3. 同余求除数问题 题型特征：一个数分别去除多个不同的被除数，余数都相同，求这个除数的最大值。 核心原理：余数相同时，被除数两两的差值一定能被除数整除，因此除数是所有差值的公因数，最大值就是差值的最大公因数。 解题步骤： 用较大被除数减去较小被除数，得到若干组差值； 求所有差值的最大公因数，即为所求的最大除数。 （二）最小公倍数进阶应用 1. 多周期重合计数问题 题型特征：三个及以上事物按不同周期循环，求指定时间范围内同时发生的总次数，或第 n 次同时发生的时间。 解题策略： 先求所有周期的最小公倍数，即为每次重合的间隔时长； 总时长除以最小公倍数，商为完整间隔数；结合起始点是否计入，确定总次数（通常起点算第一次需加 1）。 2. 差同型最小公倍数问题 题型特征：一个数分别除以不同的除数，余数与对应除数的差值完全相同（即都差固定的数就能被整除），求满足条件的最小数。 核心结论：差同减差。先求所有除数的最小公倍数，再减去共同的差值，即为满足条件的最小被除数。 示例：一个数除以 3 余 2、除以 4 余 3、除以 5 余 4，都差 1 即可整除，最小数为。 3. 余同型最小公倍数问题 题型特征：一个数分别除以不同的除数，余数完全相同，求满足条件的最小数。 核心结论：余同加余。先求所有除数的最小公倍数，再加上相同的余数，即为满足条件的最小被除数。 示例：一个数除以 4 余 2、除以 5 余 2、除以 6 余 2，最小数为。 4. 实际场景综合应用 典型场景：齿轮咬合转数、植树间隔对齐、行程多次相遇、铺砖图案重复。 解题策略：将实际场景中的重复单元、间隔长度抽象为周期量，转化为求最小公倍数的问题；注意单位统一与边界条件的校验。 （三）公因数与公倍数的关系推理 1. 已知最大公因数与最小公倍数，求原数 题型特征：已知两个数的最大公因数和最小公倍数，求这两个数的所有可能组合；或已知两数的和与最大公因数，求这两个数。 标准设元法： 设两数为 ，，其中是最大公因数，与互质； 由最小公倍数公式可得：，因此 ； 将商分解为两组互质的数相乘，即可反推出对应的； 若已知两数和，则由先算出，再匹配互质的。 2. 公因数公倍数极值问题 题型特征：已知两数的最大公因数，求两数和 / 差的最值；或已知两数的最小公倍数，求两数和的最小值。 解题策略：沿用设元法，将两数表示为最大公因数乘互质系数，通过调整互质系数的取值，得到对应和、差的最值。 （四）拓展提升类 1. 辗转相除法（大数求最大公因数） 原理：用较大数除以较小数得到余数，再用除数除以余数，反复迭代，直到余数为 0，最后一个非零除数就是最大公因数。 适用场景：数值较大、质因数不明显时，比短除法、试除法更高效。 2. 最简分数与公因数公倍数 分数约分：分子分母同时除以它们的最大公因数，得到最简分数。 分数通分：以各分母的最小公倍数为公分母，将分数化为同分母分数。 拓展计数：求指定范围内分母为某数的最简真分数个数，结合容斥原理统计与分母互质的数的数量。 3. 差不变性质拓展 核心结论：若两个数有公因数，则它们的和、差也一定是的倍数；两个数的公因数一定是它们差的因数，最大公因数一定是差的因数。 应用：已知两数差与最大公因数的关系，可快速缩小取值范围，辅助推理验证。 五、核心解题方法汇总 短除法：求最大公因数、最小公倍数的通用基础方法，两数除到商互质，三数除到商两两互质。 分解质因数法：奥数核心计算方法，遵循 “公因取低次幂，公倍取高次幂” 的规则快速计算。 设元拆分法：已知最大公因数求原数时，设互质系数拆分问题，将复杂数论关系转化为简单因数组合。 余差公式法：同余类问题的通用思路，余同加余、差同减差，结合最小公倍数快速求解。 周期转化法：将实际重合、相遇问题抽象为周期模型，转化为求最小公倍数的数学问题。 乘积公式法：利用两数乘积等于最大公因数乘最小公倍数的关系，实现已知三量求第四量。 六、易错点与避坑指南 1. 概念类易错点 题型模型混淆：等分分配求 “最多” 用最大公因数，周期重合求 “下次” 用最小公倍数，应用题中易搞反模型，导致结果完全错误。 三数计算规则混淆：求三个数的最大公因数只需除到有公共因数即可，求最小公倍数必须除到两两互质，除不彻底会导致最小公倍数偏大。 互质概念误解：误认为互质的两个数必须都是质数，忽略两个合数也可互质（如 8 和 9）；误认为 1 和任何数都不互质，实际 1 与所有非 0 自然数都互质。 倍数关系结论记反：倍数关系的两个数，误将较大数当作最大公因数、较小数当作最小公倍数，恰好颠倒。 2. 计算类易错点 短除不彻底：分解质因数或短除时，剩余的商还有公共质因数就提前停止，导致最大公因数偏小、最小公倍数偏大。 乘积定理滥用：三个及以上数的情况直接套用两数乘积定理，导致结果错误，该定理仅适用于两个自然数。 同余差值算错：求除数的最大公因数时，被除数作差计算错误，或忘记先扣除余数再作差。 设元后漏乘系数：求出互质系数后，忘记乘最大公因数，直接将系数当作原数输出。 3. 应用类易错点 日期计数偏差：计算相遇日期时，起始当天是否计入容易出错，导致结果相差 1 天，需结合题目场景判断。 单位不统一：切割、间隔类问题中，各长度单位不一致时未换算直接计算，结果数量级完全错误。 余数条件遗漏：带剩余的分配题，直接用原总数求最大公因数，忘记先扣除余数再计算。 重合次数漏算起点：统计范围内重合总次数时，忽略起始点的第一次重合，导致次数少算 1 次。 培优练习 一、选择题 1．自然数，那么和3的最大公因数是（    ）。 A．6 B．3 C．Y D．1 【答案】B 【分析】先根据商×除数＝被除数，求出Y的数值，成倍数关系的两个数的最大公因数是较小的那个数，据此求解。 【详解】Y＝3×6＝18 18和3是倍数关系，因此二者最大公因数是3。 2．如果（a、b均为非0自然数），那么a和b的最大公因数是（    ），最小公倍数是（    ）。 A．1；ab B．ab；b C．b；a D．a；1 【答案】A 【分析】相邻的两个数互质，如果两个数互质，它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。 【详解】因为，所以a和b是相邻的自然数，也就是a和b互质。 那么a和b的最大公因数是1，最小公倍数是ab。 3．联欢会上，老师给三年（5）班表演节目的同学分糖果，不管每人分3颗还是分5颗，最后都剩余1颗。糖果的总数可能是（    ）颗。 A．30 B．31 C．32 D．33 【答案】B 【分析】不管是每人分3颗还是每人分5颗，最后都剩余1颗，那么糖果的总数也就是3和5的公倍数还多1的数，先求出3和5的最小公倍数，据此找出3和5的公倍数，再加1结合选项即可找到符合条件的糖果数。 【详解】3和5的最小公倍数：3×5＝15 3和5的倍数：15、30、45…… 30＋1＝31（颗） 所以糖果的总数可能是31颗。 4．小区道路一边每隔10米安装了一盏路灯，从头到尾共安装了31盏。为了节约用电，现要改成每隔12米安装一盏。要求两端都不移动，中间还有（    ）盏不必移动。 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】先根据原路灯的安装规则算出小区道路总长度：从头到尾装路灯，间隔数＝路灯数1，结合原间隔10米求出路长。 找出不必移动的路灯位置规律：同时是10和12的公倍数的位置，路灯不需要移动，先求两个数的最小公倍数。 用总路长除以最小公倍数，得到所有不必移动的路灯总数量，再减去末端的那1盏，就是中间不必移动的数量。 【详解】（个） （米） （个） （盏） 对比各选项应选B。 5．“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦。”王老师带领五（3）班30名男生和24名女生走进田间地头，开展捡麦穗比赛。王老师把大家分成了人数相等的几队（男女生分别组队），每队发1个篮子。王老师至少需要准备（    ）个篮子。 A．6 B．9 C．10 D．18 【答案】B 【分析】要使准备的篮子最少，需让每队人数尽可能多，且男女生每队人数相等，所以先求30和24的最大公因数，再分别计算男女生的队数，相加就是总篮子数。 【详解】先求30和24的最大公因数： 30和24的最大公因数是，即每队最多6人。 男生队数：（个） 女生队数：（个） 总篮子数：（个） 因此，王老师至少需要准备9个篮子。 二、填空题 6．已知a和8互质，它们的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 1 8a 【分析】根据互质数的定义，公因数只有1的两个数叫做互质数。对于互质的两个数，它们的最大公因数是1，最小公倍数是这两个数的乘积。据此解答。 【详解】因为a和8互质，它们的最大公因数是1，最小公倍数是8a。 7．将长84厘米，宽60厘米的长方形布料，裁成同样大小的正方形，没有剩余，裁成的正方形布料边长最大是( )厘米。 【答案】 【分析】要把长方形布料裁成同样大小的正方形且没有剩余，说明正方形的边长必须既是长方形长的因数，也是宽的因数，即边长是长和宽的公因数。要求裁成的正方形边长最大，就是求长和宽的最大公因数，利用短除法找到最大公因数。 【详解】 （厘米） 裁成的正方形布料边长最大是厘米。 8．红红买了几本笔记本花了72元，亮亮也买了同样的笔记本，花了60元。如果这些笔记本的单价是整元，单价最高是( )元。 【答案】 12 【分析】因为两人买的是同样的笔记本，单价是整元，说明单价既能整除72元、也能整除60元，由数量关系“总价＝单价×数量”可知，在数量为整数的前提下，单价必须是总价的因数。 【详解】60的因数有：1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60 72的因数有：1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72 60和72的公因数有：1、2、3、4、6、12 其中最大的公因数是12 答：单价最高是12元。 9．有两根绳子，长度分别为24米和39米，要把它们截成同样长的小段，不能剩余，每段绳子最长( )米。 【答案】 3 【分析】根据题意，每段绳子的长度既是24的因数，也是39的因数，即每段绳子的长度是24和39的公因数；要使每一段的长度最长，也就是求24和39的最大公因数，由此即可解答。 【详解】24的全部因数有：1、2、3、4、6、8、12、24 39的全部因数有：1、3、13、39 24和39的最大公因数是3，即每段绳子最长3米。 10．一袋饼干平均分给8个人，或者平均分给12个人，都恰好还剩一块。这袋饼干至少有( )块。 【答案】25 【分析】根据题意，这袋饼干减去1块后的数量正好是8的倍数，也是12的倍数，也就是8和12的公倍数。要求至少有几块，就先求8和12的最小公倍数，再加上1。 【详解】 8和12的最小公倍数是2×2×2×3＝24，24＋1＝25（块）。 11．士兵做队列表演（1000人以内），3人一排时余1人，5人一排时余4人，7人一排时余3人，这些士兵最多______人。 【答案】934 【分析】先列出5人一排时余4人的数有：9，14，19，24，29，……，可以看出个位数字是4或者9；再列出7人一排时余3人，且个位数是4或者9的数，从中找出最小的符合3人一排时余1人的数，计算出3，5，7的最小公倍数，符合全部条件的数就是求出的那个符合条件最小数加上这三个数的公倍数，计算得出1000以内最大的一个数即可。 【详解】除以5余4的数有：9，14，19，24，29，……，个位是4或者9 除以7余3，个位是4或9的数有： 3×7＋3＝24 7×8＋3＝59 7×13＋3＝94 7×18＋3＝129 …… 其中符合除以3余1的最小的数是94，94÷3＝31……1 3，5，7的最小公倍数是：3×5×7＝105 符合全部条件的数为：94＋105k，k取大于等于0的自然数。 当k＝8时，94＋105×8＝94＋840＝934（人） 当k＝9时，94＋105×9＝94＋945＝1039（人） 总人数在1000人以内，所以这些士兵最多934人。 12．有两根铁丝，长度分别是36厘米和54厘米。要把它们截成同样长的小段，不能有剩余，每段最长是( )厘米。 【答案】18 【分析】截成同样长的小段，没有剩余，求每段最长多少厘米，实际求36与54的最大公因数。 【详解】36的因数：1、2、3、4、6、9、12、18、36 54的因数：1、2、3、6、9、18、27、54 36和54的最大公因数是18。 每段最长是18厘米。 13．用一些大小相等的正方形纸片正好能完全盖住长50厘米，宽42厘米的长方形。这些小正方形纸片的边长最大可以是( )厘米。 【答案】 【分析】小正方形边长必须同时整除长方形的长和宽，也就是边长是50和42的公因数； 要求边长最大，实际就是求50与42的最大公因数，用分解质因数法求出50与42的最大公因数。 【详解】分解质因数： 50＝2×5×5，42＝2×3×7 公有质因数只有2，最大公因数是2； 所以，小正方形边长最大是2厘米。 14．一辆大巴车最大的车载人数在40到50之间，这个数既是2的倍数又是3的倍数，那么这辆大巴车最多能坐( )人。 【答案】48 【分析】既是2的倍数又是3的倍数的数是2和3的公倍数，2和3的最小公倍数是2×3＝6，因此需要找40到50之间6的倍数即可解答。 【详解】2×3＝6 6的倍数有：6、12、18、24、30、36、42、48、54… 所以这辆大巴车最多能坐48人。 15．六年级武术队同学排队做操，无论是每行16人还是每行12人，都正好排完。已知六年级武术队人数不超过100人，那么六年级武术队可能有( )人，也可能有( )人。 【答案】 48 96 【分析】求这个班有几人，即求100以内的12和16的公倍数，然后分解质因数，求出12和16的最小公倍数即可。 【详解】12＝2×2×3，16＝2×2×2×2，所以12和16的最小公倍数是：2×2×2×2×3＝48。 因为100以内的12和16的公倍数有48、96，所以这个班有48人或96人。 三、判断题 16．如果，，那么和的最大公因数是4。( ) 【答案】√ 【分析】两个数的公有质因数相乘的积就是它们的最大公因数，据此计算判断即可。 【详解】和公有的质因数是2和2，它们的最大公因数是2×2＝4，原题说法正确。 故答案为：√ 17．因为a÷b＝6，所以a和b的最大公因数是b，最小公倍数是a。( ) 【答案】 × 【分析】最大公因数和最小公倍数的研究对象是非零自然数，题目未说明a、b是非零自然数，存在反例。 【详解】举反例：，1.2和0.2是小数，不存在最大公因数和最小公倍数。原题说法错误。 故答案为：× 18．两个数的最大公因数是20，这两个数一定有6个公因数。( ) 【答案】 √ 【分析】两个数的公因数是它们最大公因数的所有因数，求出20的因数个数就能判断。 【详解】的因数有：、、、、、，共个。 所以最大公因数是的两个数，公因数就是这个，原说法正确。 故答案为：√ 19．一张长方形纸，长16cm，宽12cm如果要剪成若干张同样大小的正方形（边长为整厘米数）且没有剩余，能剪出7个这样的小正方形。( ) 【答案】× 【分析】要剪出没有剩余的整厘米边长正方形，边长必须是长和宽的公因数，先找出所有符合要求的边长，再计算对应可剪出的数量，判断是否存在7个的情况。 【详解】16的因数有1、2、4、8、16， 12的因数有1、2、3、4、6、12， 二者的公因数为1、2、4，即正方形边长只能是1cm、2cm、4cm。 边长为1cm时：（个） 边长为2cm时：（个） 边长为4cm时：（个） 所有可能剪出的数量都不为7，题中说法错误。 故答案为：× 20．两个非0自然数的最小公倍数一定是这两个数的最大公因数的倍数。( ) 【答案】√ 【分析】最小公倍数包含两个数所有的质因数，最大公因数包含两个数公用的质因数，据此分析。 【详解】两个非0自然数的最小公倍数一定是这两个数的最大公因数的倍数，原题说法正确。 【点睛】本题考查了最大公因数和最小公倍数，两个数的最大公因数和最小公倍数成倍数关系。 四、计算题 21．求下面每组数的最小公倍数。 26和65                66和99 16、20和24            35、140和70 【答案】130；198 240；140 【分析】分解质因数法：求两个数的最小公倍数，先把每个数分解质因数，再把这两个数公有的一切质因数和其中的每个数独有的质因数全部连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数。求三个数的最小公倍数，先找前两个数的最小公倍数，再用这两个数的最小公倍数和第三个数求最小公倍数。 【详解】26＝2×13 65＝5×13 所以26和65的最小公倍数：2×13×5＝130 66＝2×3×11 99＝3×3×11 66和99的最小公倍数：2×3×11×3＝198 16＝2×2×2×2 20＝2×2×5 24＝2×2×2×3 16、20和24的最小公倍数：2×2×2×2×5×3＝240 35＝5×7 140＝2×2×5×7 70＝2×5×7 35、140和70的最小公倍数：2×2×5×7＝140 【点睛】熟练掌握最小公倍数的求法是解答本题的关键：最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积。求最小公倍数还可以用短除法。 22．写出下面每组数的最小公倍数。 4，6和24             5，10和25               12，18和20 【答案】24；50；180 【分析】分解质因数法：求两个数的最小公倍数，先把每个数分解质因数，再把这两个数公有的一切质因数和其中的每个数独有的质因数全部连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数。求三个数的最小公倍数，先找前两个数的最小公倍数，再用这两个数的最小公倍数和第三个数求最小公倍数。 【详解】4＝2×2 6＝2×3 24＝2×2×2×3 4，6和24的最小公倍数是：2×2×3×2＝24 10＝2×5 25＝5×5 5，10和25的最小公倍数是：2×5×5＝50。 12＝2×2×3 18＝2×3×3 20＝2×2×5 12，18和20的最小公倍数是：2×3×2×3×5＝180。 故答案为：24；50；180； 【点睛】本题考查了最小公倍数的求法，除分解质因数以外还可以用“短除法”“枚举法”等。 五、解答题 23．某市1路和2路公交车早上6：00从同一个站点发车，1路每隔6分钟发一次车，2路公交车每8分钟发一次车，这两路公交车下一次同时发车是几点？ 【答案】 6时24分 【分析】下一次两路公交车同时发车的间隔时间是6和8的最小公倍数，用首次发车时间加上这个间隔时间即可得到结果。 【详解】 2×3×4 ＝6×4 ＝24（分） 6时＋24分＝6时24分 答：这两路公交车下一次同时发车是6时24分。 24．劳动技能大赛上，低年级举行了小巧手叠衣服比赛，共准备了200件外套和280条裤子，每名学生分到的外套和裤子数量都相同，且没有剩余。最多有多少名学生参赛？每名学生叠外套和裤子共多少件？ 【答案】名；件 【分析】（）要让外套和裤子都刚好分完无剩余，且学生人数最多，因此需求和的最大公因数，该最大公因数即为最多的参赛学生数。 （）得到学生人数后，分别用外套总数、裤子总数除以学生人数，得到每名学生分到的外套数和裤子数，相加即可得到每名学生叠外套和裤子的总件数。 【详解】 和的最大公因数是： （件） （条） （件） 答：最多有名学生参赛。每名学生叠外套和裤子共件。 25．“冬至不端饺子碗，冻掉耳朵没人管”。冬至到了，聪聪一家围坐在一起包饺子，他们一共包了36个韭菜鸡蛋馅的和48个芹菜猪肉馅的饺子。妈妈把这两种馅料的饺子分开放在不同的保鲜袋里，要使每袋里饺子的数量相等，每袋最多放多少个？一共要几个保鲜袋？ 【答案】 个；个 【分析】要使两种饺子每袋的数量相等且最多，每袋的个数是和的最大公因数；再用两种饺子的数量分别除以每袋个数，求和得到总保鲜袋数。 【详解】 答：每袋最多放个饺子。 （个） （个） （个） 答：一共要个保鲜袋。 26．学生合唱队要参加演出，男生有24人，女生有18人，为了队形美观，老师要把男生、女生分别分成若干组，且每组人数相同，每组最多有多少人？这时男、女生分别是几排？ 【答案】6人；男生有4排，女生有3排 【分析】要使男、女生分别分组后每组人数相同且人数最多，需求出24和18的最大公因数，即每组最多的人数；再用男、女生总人数分别除以每组人数，得到各自的排数，据此解答。 【详解】24＝2×3×2×2 18＝2×3×3 24和18的最大公因数：2×3＝6 男生排数：（排） 女生排数：（排） 答：每组最多有6人，这时男生有4排，女生有3排。 27．刘老师家装修，买来一批长30厘米、宽20厘米的长方形地砖。她想用这些地砖在客厅地面拼出一个正方形图案，要求地砖不能切割，并且恰好铺满。拼成这个正方形最少需要多少块地砖？ 【答案】6块 【分析】用长方形地砖拼无切割的正方形，边长需是地砖长和宽的公倍数；要地砖数量最少，边长取长和宽的最小公倍数，再计算两个方向的地砖块数相乘得总块数。 【详解】的倍数有、、⋯。 的倍数有、、⋯。 和的最小公倍数是。 所以正方形图案的边长是60厘米。 （60÷30）×（60÷20） ＝2×3 ＝6（块） 答：最少需要6块地砖。 28．景区组织分发灵宝苹果和大枣伴手礼，现有苹果48个，大枣36颗。要把它们平均分给前来游玩的游客，且每人分到的苹果数量、大枣数量分别相等，最多可以分给多少名游客？每人分别分到几个苹果、几颗大枣？ 【答案】 最多可以分给12名游客，每人分别分到4个苹果、3颗大枣。 【分析】要使每人分到的苹果、大枣数量分别相等，游客人数必须是48和36的公因数；求最多的游客人数，就是求48和36的最大公因数。再用苹果、大枣的总数分别除以最大公因数，就能得到每人分到的数量。 【详解】 ＝4×3 ＝12 （个） （颗） 答：最多可以分给12名游客，每人分别分到4个苹果、3颗大枣。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $