第一章 三角形 单元复习 讲义 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

2026-2027苏科版数学八年级上册单元复习 第一章 三角形 目录 一、明确学习目标 2 二、理清章节脉络 3 三、梳理考点知识 4 知识点1：三角形的边和角 4 知识点2：全等图形的概念 5 知识点3：全等图形的性质 5 知识点4：全等三角形的概念及表示方法、对应元素 5 知识点5：全等三角形的性质 6 知识点6：全等三角形的判定方法 6 知识点7：常考的全等几何模型 7 知识点7：三角形的稳定性 8 知识点8：与全等有关的几个尺规作图 8 四 典型例题+变式训练 9 题型1 三角形的三边关系问题 9 题型2 三角形的边角关系 9 题型3 三角形中的三条重要线段 10 题型4 全等三角形的性质 11 题型5 全等三角形的判定——添加条件 12 题型6 全等三角形的判定SAS 13 题型7 全等三角形的判定ASA 14 题型8 全等三角形的判定AAS 15 题型9 全等三角形的判定SSS 15 题型10 全等三角形的判定HL 16 题型11 线段垂直平分线的性质与判定 18 题型12 角平分线的性质与判定 19 题型13 等腰三角形的性质与判定 20 题型14 等边三角形的性质与判定 21 题型15 直角三角形的性质定理 22 题型16 全等三角形动点综合问题 23 五 限时单元检测（建议时间60分钟） 25 一、明确学习目标 1. 理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应顶点、对应边、对应角，并会用符号表示两个三角形全等； 2. 掌握全等三角形的性质，并能进行简单的推理和计算； 3. 掌握三角形全等的条件（SAS、ASA、AAS、SSS），掌握直角三角形全等的条件（HL）,并能利用这些条件判定两个三角形全等； 4. 掌握全等三角形的主要模型，会利用全等模型灵活解决问题； 5. 能综合应用全等三角形的判定方法和性质解决数学问题和实际问题； 6. 理解三角形的稳定性原理及其在生活的应用； 7. 理解并掌握线段垂直平分线和角平分线的性质定理和逆定理（判定定理），并会利用尺规作图作线段垂直平分线和角平分线； 8. 理解并掌握等腰三角形、等边三角形的概念、性质定理、判定定理； 9. 理解并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 二、理清章节脉络 三、梳理考点知识 知识点1：三角形的边和角 1. 三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 （1）应用1：判断三条线段能否构成三角形； （2）应用2：给出两边长，求第三边的取值范围；； （3）应用3：解决线段最值问题的工具。 2.三角形的边角关系：在同一个三角形中,较大的边所对的角也比较大,较大的角 所对的边也比较大 . (简称 “大边对大角,大角对大边”)。 注意：使用条件是必须在同一个三角形中； 3.三角形中的三条重要线段：高线、中线、角平分线 高线 中线 角平分线 图形 性质 三条高线交于一点 1.三条中线交于一点 2.中线平分面积 三条角平分线交于一点 交点名字 垂心 重心 内心 位置 三角形内、外、顶点处都有可能 三角形内 三角形内 易错提醒： 1.三角形的角平分线与普通的角平分线不同，普通的角平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段； 2.三角形的中线平分三角形的面积，这一点经常用于有关面积的计算问题。 知识点2：全等图形的概念 全等图形：指的是能完全重合的图形叫做全等图形。 名师点拨：全等图形概念的理解要把握以下两点： 2. 全等图形是几个图形之间的关系，所以，一个图形不能说时全等图形，至少两个！ 3. 全等图形与图形的位置是没有关系的，可以通过平移、旋转、翻折等方式看看两个图形能不能重合，只要能重合，一定是全等的。 知识点3：全等图形的性质 性质：几个图形如果是全等的，那么它们的形状和大小一定相同。 名师点拨： 全等图形的性质拓展：全等图形的形状和大小都相同，那么它们的周长和面积也相同。 反之不成立，也就是说周长相等或面积相等的两个三角形不一定全等。 知识点4：全等三角形的概念及表示方法、对应元素 1. 全等三角形的概念：能完全重合的三角形叫做全等三角形。 2. 全等三角形的表示方法： 3. 对应元素：是三对对应顶点；是三对对应角；是三对对应边。 名师点拨：如何找对应顶点、对应角、对应边？ 1. 公共边对应；公共角对应； 2. 最大边对应最大边；最小边对应最小边； 3. 最大角对应最大角；最小角对应最小角； 4. 对顶角一定是对应角。 知识点5：全等三角形的性质 全等三角形的性质：（下表图中AM,AM’为中线，AD,AD’为角平分线，AH,AH’为高） 文字语言 图形语言 符号语言 全等三角形的对应边相等，对应角相等； 全等三角形的周长相等， 面积相等； 全等三角形对应的中线、高线、角平分线都相等． 知识点6：全等三角形的判定方法 文字语言 图形语言 符号语言 简记 有三边对应相等的两个三角形全等 SSS 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 SAS 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． ASA 有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等 AAS 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 HL 知识点7：常考的全等几何模型 1.以几何变换为背景的全等模型： （1）平移型： （2）翻折型： （3）旋转型： 2.一线三等角模型： 3.一线三垂直模型： 4.手拉手全等模型 如图，在任意△ABC中，以AB为边作等边△ADB，以AC为边作等边△ACE，连接DC、BE，则△ADC≌△ACE. 知识点7：三角形的稳定性 如果一个三角形的三边长度确定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定。这个性质叫做三角形的稳定性。 名师点拨： 1.三角形的稳定性的理论依据是“SSS”; 2.三角形的稳定性在生活中有很多应用，比如人字梯、起重机、桥梁、房屋等等。 知识点8：与全等有关的几个尺规作图 1. 作已知角的平分线（理论依据：SSS） 2. 作已知直线的垂线（实质是作的平角的平分线） 四 典型例题+变式训练 题型1 三角形的三边关系问题 【例题1】一木工有四根长分别为30厘米、50厘米、60厘米、90厘米的木条，要选其中三根木条钉成一个三角木架，木工的选法有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边，即可得出答案． 【详解】解：①选30厘米、50厘米、60厘米， ∵， ∴选30厘米、50厘米、60厘米能钉成一个三角木架，符合题意； ②选30厘米、50厘米、90厘米， ∵， ∴选30厘米、50厘米、90厘米不能钉成一个三角木架，不符合题意； ③选30厘米、60厘米、90厘米， ∵， ∴选30厘米、60厘米、90厘米不能钉成一个三角木架，不符合题意； ④选50厘米、60厘米、90厘米， ∵， ∴选50厘米、60厘米、90厘米能钉成一个三角木架，符合题意； 综上所述，木工的选法有2种． 【练基础】小宇想把一根吸管剪成3段来围成一个三角形，如图，点是这根吸管的中点，下面点（     ）不能作为第一刀的切点． A．A B．B C．C D．D 【答案】A 【分析】先理解题意，得出，根据线段的和差关系得，再根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，如图所示： ∵点是这根吸管的中点， ∴， 观察图，得， 即， ∵把一根吸管剪成3段来围成一个三角形， ∴当点A作为第一刀的切点，剩下的任意两段线段的和值都不大于，不满足三角形的三边关系：两边之和大于第三边． 故点A不能作为第一刀的切点． 【练能力】临沧市临翔区某中学的校园花坛是三角形的，其中两条边长分别为6米和8米．若第三条边长为整数，则第三条边长最大为________米． 【答案】13 【分析】根据三角形的三边关系即可列不等式组，解出即可得的取值范围，再根据x为整数，即可得x的最大值为13． 【详解】解：设第三条边长为x，则根据三角形三边关系得: ， ∴． ∵x为整数， ∴x的最大值为13． 题型2 三角形的边角关系 【例题2】在中，若，则边与的数量关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查三角形的边角关系，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形的边角关系定理：在一个三角形中，较大的角对较大的边． 【详解】解：在中， ∵，边的对角为，边的对角为， ∴， 即 ． 故选A． 【练基础】如图，已知，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中大角对大边．根据三角形中大角对大边求解． 【详解】解：在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：A． 【练能力】如图，已知：与相交于点，，，求证：． 【分析】本题重点考查三角形的基本性质（包括三边关系定理和内角与对边的关系），熟练掌握“大角对大边”原则和三角形不等式，并通过角度和边长的比较进行逻辑推导是解题的关键． 根据大边对大角原则证明即可． 【详解】证明：在中， ， ， ， ， ， ， ． 题型3 三角形中的三条重要线段 【例题3】如图，，，，，垂足分别为点，中边上的高是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：中边上的高是． 【练基础】如图，是的中线，点E，F分别为的中点，若的面积为3，则的面积为（　　） A．6 B．9 C．10 D．12 【答案】D 【分析】先求出，再根据求出结论． 【详解】解：∵F为的中点，的面积为3， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴． 【练能力】如图，、、分别是的高、角平分线、中线，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的角平分线，中线和高，熟练掌握三角形的角平分线，中线和高的意义是解题的关键． 根据三角形的角平分线，中线和高的定义逐一判断即可解答． 【详解】是的中线， 是的高， ， 是的角平分线， ， 故、、都正确，不正确， 故选：． 题型4 全等三角形的性质 【例题4】如图，，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ， ， ． 【练基础】如图，已知，若，，，则的长为（     ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据全等三角形的对应边相等即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴． 【练能力】如图，，且点，，在一条直线上，点在上，延长交于点． (1)试说明：． (2)若，，求的长． 【分析】（1）根据全等三角形的对应角相等可得，，再由等量代换即可证明； （2）根据全等三角形的对应边相等可得，，得出结合即可求解． 【详解】（1） 证明：， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ，， ，即：， ， 又， ． 题型5 全等三角形的判定——添加条件 【例题5】如图，在和中，，添加下列条件仍不能判定的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知及公共边，根据全等三角形判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A．在和中， ， ∴，故本选项不符合题意； B．在和中， ∴，故本选项不符合题意； C．在和中， ∴，故本选项不符合题意； D．，此时满足，无法证得，故本选项符合题意． 【练基础】如图，已知，，若使用“”证明，则应添加的一个条件为______． 【答案】 【分析】使用“”（边角边）证明三角形全等，需要找出两边及其夹角相等． 【详解】解：， ，即， ，且使用“”证明， 应添加的一个条件为． 【练能力】如图，在和中，点在边上，点在边上，若，，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得． (1)你选择的补充条件是__________（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出的证明过程． 【详解】(1)①（或②） (2)选①，证明如下： 在和中， ， ∴． 选②，证明如下： 在和中， ， ∴． 题型6 全等三角形的判定SAS 【例题6】如图，为的角平分线，点E在的延长线上，，连接． (1)求证：． (2)已知，，则的长为__________． 【详解】(1)证明：∵为的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 【练基础】如图，点，分别在四边形的边，的延长线上，连接，分别交，于点，，，，．求证：． 【详解】 证明：， ． ， ， 即， 在和中， ， ． 【练能力】如图，是的中线，是的中线，且，求证：． 【详解】证明：延长至点，使得，连接 ∵是中线，是中线 ∴， ∵在和中 ∴ ∴ 又∵ ∴，， ∵， ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（同旁内角互补） ∵， ∴（等边对等角） ∴ ∵ 点共线（是的中线）， ∴（平角定义） ∴ ∵在和中 ∴ ∴ 又∵ ∴ 题型7 全等三角形的判定ASA 【例题7】如图，点，都在线段上，，，．求证：． 【详解】 证明：∵， ∴，即． 在和中， ∵， ∴． 【练基础】如图，点B，F，C，E在直线l上，点A，D在l的两侧，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在与中 ∴； （2）解：∵，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 【练能力】如图，，点D在边上，与相交于点O． (1)求证：． (2)求证：平分． (3)若，求与的周长之和． 【详解】(1) 证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； (2) 证明：， ， ， ， 平分； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴与的周长之和 ． 题型8 全等三角形的判定AAS 【例题8】已知：如图，，，，，垂足分别为E，F，求证：． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴ 【练基础】如图，在四边形中，，连接，点E在上，连接，若，求证：． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴． 【练能力】如图，在和中，，，点在的延长线上，，请你添加一个条件，使得，并写出证明过程． 【详解】 解：添加条件：， 证明过程如下：∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； 添加条件： ， 证明过程如下：，， ∴， ∴， 在和中， ， ； 添加条件：， 证明过程如下：，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； 添加条件：， 证明过程如下：，， ∴， ∴， 在和中， ， ． 题型9 全等三角形的判定SSS 【例题9】如图，．求证： 【详解】 证明：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【练基础】如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，，，．   (1)求证：． (2)若，求的度数． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ； （2）解： 由（1)可知：， ， ， ， ． 【练能力】已知：如图，，，点、、在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若．求的度数． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：∵， ∴， ∴． 题型10 全等三角形的判定HL 【例题10】如图，已知，其中，的延长线与相交于点，连接． (1)求证：； (2)若， ，求的长． 【详解】（1）证明：， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ． 【练基础】如图，在中，点D是BC的中点，，，垂足分别为E，F，且． (1)写出图中一对全等的三角形：______； (2)求证：． 【详解】（1）解：全等的三角形有； 故答案为：； （2）证明：是边的中点， ， 又，， ， 又∵， 在和中， ， ． ． 【练能力】如图，在中，，线段两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，当的长为何值时，与全等？ 【详解】解：∵， ∴， 当时： ∵，， ∴； 当时： ∵，， ∴； 综上：当的长为5或10时，和全等． 题型11 线段垂直平分线的性质与判定 【例题11】如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点D，E，连接，，若的周长为，则的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线的性质，即可求得，，又由的周长为，即可求得的值，继而求得的周长． 【详解】解：中，边的垂直平分线分别交、于点、，， ，， 的周长为， ， 的周长为：． 【练基础】如图，在中，，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，垂足分别为，．则的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，，再结合三角形的周长公式计算即可得出结果． 【详解】∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴的周长是． 【练能力】如图，在中，D为的中点，交的平分线于E，于F，交延长线于G． (1)求证：． (2)猜想、、的数量有什么关系？并证明你的猜想； (3)若，，求长度． 【详解】（1）(1)证明：如图，连接、， D为的中点，， 垂直平分， ， 平分，，， ， 在和中， ， ， ； （2）； 证明：由（1）可知，， ， ； （3）解：平分， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ． 题型12 角平分线的性质与判定 【例题12】如图，在中，，的平分线交于，若，则点到的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，即可求解． 【详解】解：过点作于，如图： ∵是的平分线，，， ∴， 即点到的距离是． 【练基础】如图，是的平分线，点D是上一点，点P为直线上的一个动点．若的面积为10，，则线段的长不可能是（     ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】A 【分析】已知的面积和的长，利用三角形面积公式，可求出点到的距离．因为是的平分线，根据角平分线的性质，可得点到的距离等于点到的距离．因为点是直线上的动点，根据垂线段最短，可知的长度大于等于点到的距离，据此判断选项即可． 【详解】解：过点作于，过点作于， 根据三角形面积公式，代入已知，， 得， 解得． 是的平分线，在上， ． 根据垂线段最短，的最小值为，即． 选项中只有， 因此的长不可能是． 【练能力】如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【分析】（1）由是的平分线，利用角的平分线的性质定理得到，再由得到，利用全等三角形对应边相等即可得证； （2）利用得到，利用全等三角形对应边相等得到，由，及（1）中等量代换即可求的长． 【详解】（1）(1)证明：∵，是的平分线，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故的长为1． 题型13 等腰三角形的性质与判定 【例题13】如图，在中，、的角平分线交于点O，过点O，且，分别交、于点M、N．若，，则的长是（    ）． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】此题考查了等腰三角形的判定与性质、平行线性质的应用．根据平行线的性质和角平分线的定义先证出，从而得出，即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵、的角平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 【练基础】如图，在等腰中，，平分，若是等腰三角形，则的度数为__________． 【答案】36°或 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，进行分类讨论是解题的关键． 首先根据等腰三角形的性质，将设为并底角表示出来，再进行等腰三角形的分类讨论，计算是否符合情况得到答案即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ， 当为等腰三角形时，分三种情况讨论∶ ①当时，，即，解得， ∴； ②当时，此时点D和点C重合，∴此情况不存在； ③当时，，即， 解得 ， ∴； 故答案为：或． 【练能力】在中，，，平分，交边于点D，点A与点E关于所在直线对称，连接，延长交于点F．求证： (1)是等腰三角形； (2)． 【详解】(1)证明：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵点A与点E关于直线对称， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴是等腰三角形； (2)证明：过D作于K，如图： ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型14 等边三角形的性质与判定 【例题14】如图，点A、C、B在同一条直线上，和都是等边三角形，、分别与，交于点M、N，连接，有如下结论：①；②；③为等边三角形；④其中正确的结论有（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质； 先根据等边三角形的性质得到，求出，可证明，从而对①进行判断；然后再证明，则可对②③进行判断；由于的度数不固定，故无法得出． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，①正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，④正确； ∴是等边三角形，③正确； ∵，而的度数不一定是， ∴不一定是，即②的结论不正确； 故选：D． 【练基础】如图，有一根长2.4米的晾衣杆斜靠在阳台一侧的墙上，此时晾衣杆的倾斜角为．如果晾衣杆底端不动，顶端靠在阳台另一侧的墙上，此时晾衣杆的倾斜角为，那么的长是______米． 【答案】2.4 【分析】先根据平角的定义可得，进而可得是等边三角形，则可得 （米）． 本题主要考查了等边三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，且，， ∴， 由题知， ∴是等边三角形， ∴（米）． 故答案为：2.4． 【练能力】如图，是等边三角形，是上的高线．作于点A，交的延长线于点E，取的中点M，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的面积． 【分析】（1）由等边三角形的性质得，由三线合一得出，由三角形内角和定理得出，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，即可证明是等边三角形； （2）由，得，由，得则，由等边三角形的性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵是上的高线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴， ∴是等边三角形． （2）解：∵是等边三角形，，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形，是上的高线． ∴， ∴， ∴． 题型15 直角三角形的性质定理 【例题15】如图，点在的角平分线上，于点，．若，，则的面积等于（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线、含角直角三角形、等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质；过点作， 交于点，根据角平分线的性质可得和， 再根据含角直角三角形的性质计算求得的长，利用平行线的性质证明， 求得，利用三角形面积公式即可解答． 【详解】解： 如图， 过点作， 交于点， 如图所示： 由条件可知， ， ∵， ， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴的面积是 故选：B． 【练基础】如图，在中，，平分，与交于点，于点，于点，与交于点F，若，则______． 【答案】3 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，以及等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形三线合一，直角三角形斜边中线等于斜边的一半等知识． 取的中点G，连接，设，再利用x、y表示，列方程即可得到x的值，即可解答． 【详解】解：取的中点G，连接， 设， 可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是斜边上的中线， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 【练能力】已知：如图，，是的中点． (1)求证：； (2)若为中点，求证：； (3)探究与的关系，并说明理由；当，时，求的长． 【详解】(1)证明：∵，是的中点， ∴分别是斜边上的中线， ∴， ∴； (2)证明：由（1）得， 又∵为中点， ∴； (3)， 理由：∵，是的中点， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴ ： 的长为． 题型16 全等三角形动点综合问题 【例题16】如图，在中，高线，，相交于点，，. (1)求的长； (2)是直线上的一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发，沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动，设点的运动时间为秒，则是否存在值.使得以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当秒或4秒时，以点、、为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质，适当的添加辅助线． （1）根据三角形的高得，根据角之间的关系得，用即可证明，根据全等三角形的性质得，即可得； （2）由题意得，，，，分情况讨论：时，，得，进行计算即可得，时，，得，进行计算即可得． 【详解】（1）证明：、是的高， ， ， ， 在和中，， ， ， ， . （2）解：存在. 理由：由题意得，，， ， ， ， 如图，当时，， ， 解得，； AI 如图，当时，， ， 解得，； 综上所述，当秒或4秒时，以点、、为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等. AI 【练基础】如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，点Q在线段上以的速度由点B向点D运动，两个动点同时出发，设运动时间为，则当点Q的运动速度为___________时，与有可能全等． 【答案】1或 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据全等三角形的性质分情况讨论：①、和②、时，列出方程组，求解计算的值即可． 【详解】解：根据题意得：、、， 由于， 则分情况讨论： ①、， 则， 解得； ②、， 则， 解得， 综上所述，当点Q的运动速度为或时，与有可能全等， 故答案为：1或． 【练能力】等腰直角三角形既是特殊的直角三角形，又是特殊的等腰三角形；基于其边角特征判定全等三角形的过程中提炼了常见的一个全等结构（如图①），一些复杂的问题可以转化成这样的全等结构进行解决． 【理解探究】 (1)如图①，在中，，．点正好落在直线上，直线与直线的交点不在边上，分别作于点，于点，猜想线段、、之间的数量关系，并证明； 【转化应用】 (2)如图②，与均为等腰直角三角形，，且、、在同一直线上，连接．已知，，则________； (3)在中，，，，．直线经过的直角顶点交斜边于点，，，动点在直线上，动点在所在直线上．若以点、、为顶点的三角形与全等（如图③），直接写出所有满足条件的的长． 【分析】（1）由垂直定义得到，由同角的余角相等得到，即可证明，得出，，因此； （2）根据，求出，则．过点作交延长线于点，同（1）思路证明，得到，根据求解即可； （3）根据得到，，根据的面积求出，根据同角的余角相等得到，若以点、、为顶点的三角形与全等，分点、均在点上方，和点、均在点下方分别讨论，根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）． 证明：，， ， ， ， ， ． 在和中， ， ， ，， ． （2）解：与均为等腰直角三角形，， ，， ，， ， ． 如图，过点作交延长线于点，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （3）解：，， ，， ，， ， 即， ． ， ， ， ， ． 若以点、、为顶点的三角形与全等，分以下情况讨论： ①若点、均在点上方， , 或， 若，如图， 则, . 若，如图， 则, . ②若点、均在点下方， ， 或, 若，如图， 则， . 若，如图， 则， ． 综上所述，所有满足条件的的长为或或． 五 限时单元检测（建议时间60分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每题3分） 1．若某个三角形的两条边长度分别为4，9，则第三条边的长度可以是（     ） A．3 B．5 C．10 D．13 【答案】C 【分析】三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此可选出答案． 【详解】解：A选项， ，不能作为三角形第三边长度，不符合题意； B选项， ，不能作为三角形第三边长度，不符合题意； C选项，，能作为三角形第三边长度，符合题意； D选项， ，不能作为三角形第三边长度，不符合题意． 2．在中，如果，那么，，的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的概念，掌握“在三角形中，大边对大角”知识是解题的关键． 先根据三角形概念得到、、的对角分别为、、，再根据得出结论． 【详解】解：∵在中， ， 又∵、、的对角分别为、、， ∴． 故选：B． 3．如图，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线，连接，．若的面积是16，则阴影部分的面积是（     ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】B 【分析】根据“中线把一个三角形分成面积相等的两个三角形”计算即可． 【详解】解：∵是的边上的中线， ， ∵是的边上的中线， ， ， ∵是的边上的中线， ， ， ． 4．如图，将三角形绕点沿顺时针方向旋转后得到三角形，若点恰好落在线段上，，交于点，则下面结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质可得，旋转角，再根据全等三角形的性质可得，，由此即可得． 【详解】解：∵将三角形绕点沿顺时针方向旋转后得到三角形， ∴，，故选项A正确，不符合题意； ∴，，故选项C和D均正确，均不符合题意； 由已知条件无法得出，故选项B错误，该选项符合题意． 5．如图，在中，于点，是上一点，若，的周长为，，则的长为（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】A 【分析】根据全等三角形的性质，可得，，再根据周长为，即可求解． 【详解】解：， ，， ∵的周长，， ∴． 6．如图，已知，，下列条件中，无法判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，，，则，不符合题意； B、，，，则，不符合题意； C、由得到，而，，则，不符合题意； D、，，，不能证明全等，该选项符合题意． 7．如图1，与满足，，，，我们称这样的两个三角形为“调皮对等三角形”．如图2，，则图中共有“调皮对等三角形”（     ）． A．7对 B．6对 C．5对 D．4对 【答案】D 【分析】根据得，，，，，，根据全等三角形判定定理判定，排除与、与不符合“调皮对等三角形”的定义，再根据“调皮对等三角形”的定义，和、和、和、 和是“调皮对等三角形”． 【详解】解：∵， ∴、不符合“调皮对等三角形”的定义，排除． ∵， ∴，，，， ，， ∴， ∴， ∴， ∴、不符合“调皮对等三角形”的定义，排除． ∵，，，， ∴、是“调皮对等三角形”． ∵，，，， ∴、是“调皮对等三角形”． ∵，，，， ∴、是“调皮对等三角形”． ∵，，，， ∴、是“调皮对等三角形”． ∴图中共有“调皮对等三角形”4对． 8．如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线，交于点．若的周长为15，，则的长为（     ） A．11 B．12 C．7 D．6 【答案】A 【详解】解：由作图过程可知，垂直平分， ， 的周长为15， ， ， ， ． 9．如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．若，则点到的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于，根据角平分线的性质得出，，从而得出，根据，求出结果即可． 【详解】解：过点作于，如图所示： ∵，， ， 和分别平分和， ，， ， ， ， ． 10．如图，在等腰中，，D为的中点，将两直角边足够长的三角板的直角顶点放在点处，绕点任意旋转三角板，使两直角边分别交，于点，（点与点不重合），连接，下列结论：①与有可能全等，②，③四边形的面积等于的面积的，④的周长等于的周长的．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，连接，先证明，根据全等三角形的性质得到，，进而逐项求解判断即可． 【详解】解：如图，连接，       ∵在等腰中，，D为的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，故②正确； ∴的周长 ∵的周长 ∵不一定相等， ∴的周长不一定等于的周长的一半，故④错误； ∵ ∴是直角三角形 ∵，点E，F与点A，B，C不重合 ∴ ∴当时， ∵是等腰直角三角形 ∴ ∴，故①正确； ∵ ∴， ∴，故③正确； 综上所述，其中正确的结论是①②③． 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分） 1．已知三角形的三边长分别为2，，4，则化简的结果为__________． 【答案】6 【分析】根据三角形三边关系求出的取值范围，再确定、的取值范围，即可化简． 【详解】解：根据三角形三边关系得：，即：， ∴，， ∴． 2．如图的三角形纸片中，，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，则的周长为______． 【答案】7 【分析】由题意可得：，，即可求，则可求的周长． 【详解】解：由折叠得， ∴，， ∴， ∴的周长 ． 3．按照下列条件，①，，；②，，；③，，；④，，；⑤，，．能画出唯一确定的三角形的是______________．（写出所有正确结论的序号） 【答案】②④ 【分析】本题主要考查全等三角形的判定定理，掌握全等三角形的判定定理有以及直角三角形全等的判定定理还有． 根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：①根据、、，不能画出三角形，不符合题意； ②根据，，可得，符合能画出唯一三角形，符合题意； ③根据，，符合不能画出唯一三角形，不符合题意； ④根据，，符合能画出唯一三角形，符合题意； ⑤根据，，符合不能画出唯一三角形，不符合题意． 故答案为：②④． 4．如图，中，平分，，若与互补，，则的长为_______． 【答案】 【分析】延长，交延长线于点，先证出，得出，，进而可得，再得出，据此得出即可． 【详解】解：如图，延长，交延长线于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵与互补， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．如图，在中，，，的垂直平分线交和于点，．若，则线段的长度等于 __ ． 【答案】 【分析】连接，由垂直平分线的性质证得，从而证得，由含角的直角三角形的性质求出的长，即求出了的长． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 6．如图，是等边三角形，、分别是、中点，连接且，在上找一点，则的最小值为______． 【答案】6 【分析】由等边三角形得到点D关于的对称点E在上，连接，，则，那么当三点共线时，有最小值，再由等边三角形的两条边上的高相等得到． 【详解】解：∵是等边三角形，D、M分别是、中点， ∴是的对称轴，， ∴如图，点D关于的对称点E在上，连接， ∵关于对称， ∴， ∴点E是的中点， 如图，连接、，则， ∴， ∴当三点共线时，有最小值， ∵等边，点E是的中点， ∴， ∴， ∴的最小值为6． 三、解答题（本大题共4小题，共46分） 1．（本题8分）已知、、为的三边长． (1)化简； (2)为上一点，连接，若，求证：． 【答案】(1)(2)见详解 【分析】（1）根据三角形三边关系可得，，再根据绝对值的性质化简即可； （2）根据在同一个三角形中，大角对大边证明即可． 【详解】（1）解：∵、、为的三边长， ∴，， ∴，， ∴ ； （2）证明：在中，， ， 在中，， ， ． 2．（本题10分）如图，已知，点D在的延长线上，，，是的补角． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2)的长为4 【分析】（1）利用补角性质证明角相等，进而根据证明三角形全等，利用全等三角形的对应边相等即可证明结论． （2）根据全等三角形性质得到对应边相等，计算出的长，再根据线段之间的关系求出的长，即可得到的长． 【详解】（1）证明：∵是的补角， ∴， ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴． （2）解：由（1）可知，， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∴． 3．（本题12分）如图，在四边形中，，，，点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向点运动，同时点从点以每秒个单位的速度沿向点运动（点与点重合时停止运动），设运动时间为秒： (1)用含的代数式表示、、； (2)当，时，求证：； (3)当与全等时，求的值． 【答案】(1)，， (2)见详解 (3)n的值为2或2.4． 【分析】（1）根据两个点的运动轨迹，结合线段间的关系，根据“路程=速度×时间”计算即可． （2）已知条件中，两个直角相等，一组对边相等，根据，结合三角形内角和定理可推导出，根据“角角边”（）判定定理即可证明三角形全等． （3）题目只说明了“与全等”，没有明确顶点的对应关系，因此需要分情况讨论，可分为，和，两组情况，结合（1）中得到的、、的代数式，先计算出t的值，再计算出n． 【详解】（1）解：根据题意，点P从点B出发，速度为2，时间为t，所以的长度为； 点P在线段上运动，的总长度为10，所以； 点Q从点C出发，速度为n，时间为t，所以． （2）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中，， ∴． （3）因为，与全等分两种情况． 情况一：当，时， ,解得， 此时，故， 即，得； 情况二：当，时， ，解得， 此时，即， 解得． 综上所述，n的值为2或2.4． 4．（本题16分）如图，在中，，，边沿着过点的某条直线对折得到，连接，以为边在左侧作，其中，，与交于点，连接． (1)如图1，连接，当点在外部时，试说明； (2)如图2，连接，当点在的斜边上时，试判断的形状并说明理由； (3)如图3，当点在的内部时，若点为的中点，且，求的长． 【分析】（1）利用折叠性质得到，结合直角推导出一组夹角相等，再匹配两组对应边相等，用证明全等； （2）先由等腰直角三角形求出，借助第（1）问的全等转移角，然后通过三角形内角和计算，得到两角相等，判定等腰三角形； （3）倍长中线构造平行四边形，转化边与角的关系，然后证明是等腰三角形的角平分线，由三线合一得到垂直平分线，完成线段等量代换，最后利用（1）的全等，把转化成求出长度． 【详解】(1)证明：如图， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴． (2)解：结论：是等腰三角形， 理由：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵据（1）可知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． (3) 解：如图，延长到，使得，连接，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵据（1）可知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平分， ∵， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∵， ∴． 第2页，共31页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027苏科版数学八年级上册单元复习 第一章 三角形 目录 一、明确学习目标 2 二、理清章节脉络 3 三、梳理考点知识 4 知识点1：三角形的边和角 4 知识点2：全等图形的概念 5 知识点3：全等图形的性质 5 知识点4：全等三角形的概念及表示方法、对应元素 5 知识点5：全等三角形的性质 6 知识点6：全等三角形的判定方法 6 知识点7：常考的全等几何模型 7 知识点7：三角形的稳定性 8 知识点8：与全等有关的几个尺规作图 8 四 典型例题+变式训练 9 题型1 三角形的三边关系问题 9 题型2 三角形的边角关系 9 题型3 三角形中的三条重要线段 10 题型4 全等三角形的性质 11 题型5 全等三角形的判定——添加条件 12 题型6 全等三角形的判定SAS 13 题型7 全等三角形的判定ASA 14 题型8 全等三角形的判定AAS 15 题型9 全等三角形的判定SSS 15 题型10 全等三角形的判定HL 16 题型11 线段垂直平分线的性质与判定 18 题型12 角平分线的性质与判定 19 题型13 等腰三角形的性质与判定 20 题型14 等边三角形的性质与判定 21 题型15 直角三角形的性质定理 22 题型16 全等三角形动点综合问题 23 五 限时单元检测（建议时间60分钟） 25 一、明确学习目标 1. 理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应顶点、对应边、对应角，并会用符号表示两个三角形全等； 2. 掌握全等三角形的性质，并能进行简单的推理和计算； 3. 掌握三角形全等的条件（SAS、ASA、AAS、SSS），掌握直角三角形全等的条件（HL）,并能利用这些条件判定两个三角形全等； 4. 掌握全等三角形的主要模型，会利用全等模型灵活解决问题； 5. 能综合应用全等三角形的判定方法和性质解决数学问题和实际问题； 6. 理解三角形的稳定性原理及其在生活的应用； 7. 理解并掌握线段垂直平分线和角平分线的性质定理和逆定理（判定定理），并会利用尺规作图作线段垂直平分线和角平分线； 8. 理解并掌握等腰三角形、等边三角形的概念、性质定理、判定定理； 9. 理解并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 二、理清章节脉络 三、梳理考点知识 知识点1：三角形的边和角 1. 三角形的三边关系：三角形的任意两边之和 第三边，两边之差 第三边。 （1）应用1：判断三条线段能否构成三角形； （2）应用2：给出两边长，求第三边的取值范围；； （3）应用3：解决线段最值问题的工具。 2.三角形的边角关系：在同一个三角形中,较大的边所对的角也比较 ,较大的角 所对的边也比较 . (简称 “大边对 ,大角对 ”)。 注意：使用条件是必须在同一个三角形中； 3.三角形中的三条重要线段：高线、中线、角平分线 高线 中线 角平分线 图形 性质 三条高线交于一点 1.三条中线交于一点 2.中线平分面积 三条角平分线交于一点 交点名字 垂心 重心 内心 位置 三角形内、外、顶点处都有可能 三角形内 三角形内 易错提醒： 1.三角形的角平分线与普通的角平分线不同，普通的角平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段； 2.三角形的中线平分三角形的面积，这一点经常用于有关面积的计算问题。 知识点2：全等图形的概念 全等图形：指的是能完全 的图形叫做全等图形。 名师点拨：全等图形概念的理解要把握以下两点： 全等图形是几个图形之间的关系，所以，一个图形不能说时全等图形，至少两个！ 全等图形与图形的位置是没有关系的，可以通过 、 、 等方式看看两个图形能不能重合，只要能重合，一定是全等的。 知识点3：全等图形的性质 性质：几个图形如果是全等的，那么它们的 和 一定相同。 名师点拨： 全等图形的性质拓展：全等图形的形状和大小都相同，那么它们的周长和面积也相同。 反之不成立，也就是说周长相等或面积相等的两个三角形不一定全等。 知识点4：全等三角形的概念及表示方法、对应元素 1. 全等三角形的概念：能 的三角形叫做全等三角形。 2. 全等三角形的表示方法： 3. 对应元素：是三对对应顶点；是三对对应角；是三对对应边。 名师点拨：如何找对应顶点、对应角、对应边？ 1. 公共边对应；公共角对应； 2. 最大边对应最大边；最小边对应最小边； 3. 最大角对应最大角；最小角对应最小角； 4. 对顶角一定是对应角。 知识点5：全等三角形的性质 全等三角形的性质：（下表图中AM,AM’为中线，AD,AD’为角平分线，AH,AH’为高） 文字语言 图形语言 符号语言 全等三角形的对应边相等，对应角相等； 全等三角形的周长相等， 面积相等； 全等三角形对应的中线、高线、角平分线都相等． 知识点6：全等三角形的判定方法 文字语言 图形语言 符号语言 简记 有三边对应相等的两个三角形全等 SSS 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 SAS 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． ASA 有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等 AAS 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 HL 知识点7：常考的全等几何模型 1.以几何变换为背景的全等模型： （1）平移型： （2）翻折型： （3）旋转型： 2.一线三等角模型： 3.一线三垂直模型： 4.手拉手全等模型 如图，在任意△ABC中，以AB为边作等边△ADB，以AC为边作等边△ACE，连接DC、BE，则△ADC≌△ACE. 知识点7：三角形的稳定性 如果一个三角形的 确定，那么这个三角形的 和 就完全确定。这个性质叫做三角形的稳定性。 名师点拨： 1.三角形的稳定性的理论依据是“ ”; 2.三角形的稳定性在生活中有很多应用，比如人字梯、起重机、桥梁、房屋等等。 知识点8：与全等有关的几个尺规作图 1. 作已知角的平分线（理论依据： ） 2. 作已知直线的垂线（实质是作的平角的平分线） 四 典型例题+变式训练 题型1 三角形的三边关系问题 【例题1】一木工有四根长分别为30厘米、50厘米、60厘米、90厘米的木条，要选其中三根木条钉成一个三角木架，木工的选法有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【练基础】小宇想把一根吸管剪成3段来围成一个三角形，如图，点是这根吸管的中点，下面点（     ）不能作为第一刀的切点． A．A B．B C．C D．D 【练能力】临沧市临翔区某中学的校园花坛是三角形的，其中两条边长分别为6米和8米．若第三条边长为整数，则第三条边长最大为________米． 题型2 三角形的边角关系 【例题2】在中，若，则边与的数量关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【练基础】如图，已知，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【练能力】如图，已知：与相交于点，，，求证：． 题型3 三角形中的三条重要线段 【例题3】如图，，，，，垂足分别为点，中边上的高是（   ） A． B． C． D． 【练基础】如图，是的中线，点E，F分别为的中点，若的面积为3，则的面积为（　　） A．6 B．9 C．10 D．12 【练能力】如图，、、分别是的高、角平分线、中线，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 题型4 全等三角形的性质 【例题4】如图，，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【练基础】如图，已知，若，，，则的长为（     ） A．2 B．3 C．5 D．6 【练能力】如图，，且点，，在一条直线上，点在上，延长交于点． (1)试说明：． (2)若，，求的长． 题型5 全等三角形的判定——添加条件 【例题5】如图，在和中，，添加下列条件仍不能判定的是（） A． B． C． D． 【练基础】如图，已知，，若使用“”证明，则应添加的一个条件为______． 【练能力】如图，在和中，点在边上，点在边上，若，，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得． (1)你选择的补充条件是__________（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出的证明过程． 题型6 全等三角形的判定SAS 【例题6】如图，为的角平分线，点E在的延长线上，，连接． (1)求证：． (2)已知，，则的长为__________． 【练基础】如图，点，分别在四边形的边，的延长线上，连接，分别交，于点，，，，．求证：． 【练能力】如图，是的中线，是的中线，且，求证：． 题型7 全等三角形的判定ASA 【例题7】如图，点，都在线段上，，，．求证：． 【练基础】如图，点B，F，C，E在直线l上，点A，D在l的两侧，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【练能力】如图，，点D在边上，与相交于点O． (1)求证：． (2)求证：平分． (3)若，求与的周长之和． 题型8 全等三角形的判定AAS 【例题8】已知：如图，，，，，垂足分别为E，F，求证：． 【练基础】如图，在四边形中，，连接，点E在上，连接，若，求证：． 【练能力】如图，在和中，，，点在的延长线上，，请你添加一个条件，使得，并写出证明过程． 题型9 全等三角形的判定SSS 【例题9】如图，．求证： 【练基础】如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，，，．   (1)求证：． (2)若，求的度数． 【练能力】已知：如图，，，点、、在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若．求的度数． 题型10 全等三角形的判定HL 【例题10】如图，已知，其中，的延长线与相交于点，连接． (1)求证：； (2)若， ，求的长． 【练基础】如图，在中，点D是BC的中点，，，垂足分别为E，F，且． (1)写出图中一对全等的三角形：______； (2)求证：． 【练能力】如图，在中，，线段两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，当的长为何值时，与全等？ 题型11 线段垂直平分线的性质与判定 【例题11】如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点D，E，连接，，若的周长为，则的周长是（     ） A． B． C． D． 【练基础】如图，在中，，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，垂足分别为，．则的周长是（     ） A． B． C． D． 【练能力】如图，在中，D为的中点，交的平分线于E，于F，交延长线于G． (1)求证：． (2)猜想、、的数量有什么关系？并证明你的猜想； (3)若，，求长度． 题型12 角平分线的性质与判定 【例题12】如图，在中，，的平分线交于，若，则点到的距离是（     ） A． B． C． D． 【练基础】如图，是的平分线，点D是上一点，点P为直线上的一个动点．若的面积为10，，则线段的长不可能是（     ） A．3 B．4 C．5 D． 【练能力】如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型13 等腰三角形的性质与判定 【例题13】如图，在中，、的角平分线交于点O，过点O，且，分别交、于点M、N．若，，则的长是（    ）． A．5 B．4 C．3 D．2 【练基础】如图，在等腰中，，平分，若是等腰三角形，则的度数为__________． 【练能力】在中，，，平分，交边于点D，点A与点E关于所在直线对称，连接，延长交于点F．求证： (1)是等腰三角形； (2) ． 题型14 等边三角形的性质与判定 【例题14】如图，点A、C、B在同一条直线上，和都是等边三角形，、分别与，交于点M、N，连接，有如下结论：①；②；③为等边三角形；④其中正确的结论有（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【练基础】如图，有一根长2.4米的晾衣杆斜靠在阳台一侧的墙上，此时晾衣杆的倾斜角为．如果晾衣杆底端不动，顶端靠在阳台另一侧的墙上，此时晾衣杆的倾斜角为，那么的长是______米． 【练能力】如图，是等边三角形，是上的高线．作于点A，交的延长线于点E，取的中点M，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的面积． 题型15 直角三角形的性质定理 【例题15】如图，点在的角平分线上，于点，．若，，则的面积等于（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【练基础】如图，在中，，平分，与交于点，于点，于点，与交于点F，若，则______． 【练能力】已知：如图，，是的中点． (1)求证：； (2)若为中点，求证：； (3)探究与的关系，并说明理由；当，时，求的长． 题型16 全等三角形动点综合问题 【例题16】如图，在中，高线，，相交于点，，. (1)求的长； (2)是直线上的一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发，沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动，设点的运动时间为秒，则是否存在值.使得以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值，若不存在，请说明理由． 【练基础】如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，点Q在线段上以的速度由点B向点D运动，两个动点同时出发，设运动时间为，则当点Q的运动速度为___________时，与有可能全等． 【练能力】等腰直角三角形既是特殊的直角三角形，又是特殊的等腰三角形；基于其边角特征判定全等三角形的过程中提炼了常见的一个全等结构（如图①），一些复杂的问题可以转化成这样的全等结构进行解决． 【理解探究】 (1)如图①，在中，，．点正好落在直线上，直线与直线的交点不在边上，分别作于点，于点，猜想线段、、之间的数量关系，并证明； 【转化应用】 (2)如图②，与均为等腰直角三角形，，且、、在同一直线上，连接．已知，，则________； (3)在中，，，，．直线经过的直角顶点交斜边于点，，，动点在直线上，动点在所在直线上．若以点、、为顶点的三角形与全等（如图③），直接写出所有满足条件的的长． 五 限时单元检测（建议时间60分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每题3分） 1．若某个三角形的两条边长度分别为4，9，则第三条边的长度可以是（     ） A．3 B．5 C．10 D．13 2．在中，如果，那么，，的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法判断 3．如图，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线，连接，．若的面积是16，则阴影部分的面积是（     ） A．8 B．6 C．4 D．2 4．如图，将三角形绕点沿顺时针方向旋转后得到三角形，若点恰好落在线段上，，交于点，则下面结论错误的是（     ） A． B． C． D． 5．如图，在中，于点，是上一点，若，的周长为，，则的长为（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 6．如图，已知，，下列条件中，无法判定的是（     ） A． B． C． D． 7．如图1，与满足，，，，我们称这样的两个三角形为“调皮对等三角形”．如图2，，则图中共有“调皮对等三角形”（     ）． A．7对 B．6对 C．5对 D．4对 8．如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线，交于点．若的周长为15，，则的长为（     ） A．11 B．12 C．7 D．6 9．如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．若，则点到的距离是（     ） A． B． C． D． 10．如图，在等腰中，，D为的中点，将两直角边足够长的三角板的直角顶点放在点处，绕点任意旋转三角板，使两直角边分别交，于点，（点与点不重合），连接，下列结论：①与有可能全等，②，③四边形的面积等于的面积的，④的周长等于的周长的．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分） 1．已知三角形的三边长分别为2，，4，则化简的结果为__________． 2．如图的三角形纸片中，，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，则的周长为______． 3．按照下列条件，①，，；②，，；③，，；④，，；⑤，，．能画出唯一确定的三角形的是______________．（写出所有正确结论的序号） 4．如图，中，平分，，若与互补，，则的长为_______． 5．如图，在中，，，的垂直平分线交和于点，．若，则线段的长度等于 ． 6．如图，是等边三角形，、分别是、中点，连接且，在上找一点，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共4小题，共46分） 1．（本题8分）已知、、为的三边长． (1)化简； (2)为上一点，连接，若，求证：． 2．（本题10分）如图，已知，点D在的延长线上，，，是的补角． (1)求证：； (2)若，，求的长． 3．（本题12分）如图，在四边形中，，，，点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向点运动，同时点从点以每秒个单位的速度沿向点运动（点与点重合时停止运动），设运动时间为秒： (1)用含的代数式表示、、； (2)当，时，求证：； (3)当与全等时，求的值． 4．（本题16分）如图，在中，，，边沿着过点的某条直线对折得到，连接，以为边在左侧作，其中，，与交于点，连接． (1)如图1，连接，当点在外部时，试说明； (2)如图2，连接，当点在的斜边上时，试判断的形状并说明理由； (3)如图3，当点在的内部时，若点为的中点，且，求的长． 第2页，共31页 学科网（北京）股份有限公司 $