1.6 线段垂直平分线的性质 题型专练 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

浙教版（2024）八年级上册 1.6 线段垂直平分线的性质 题型专练 【题型1】作线段垂直平分线与角平分线的综合 【典例】如图，直线l经过线段AB的中点O，点P在直线l上，且PA=PB，则下列结论：①∠PAO=∠PBO；②∠A=30°；③PO平分∠APB；④PO垂直平分线段AB.其中正确的结论有 （      ）  A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【举一反三1】在△ABC中，AC<AB<BC，如果要用尺规作图的方法在BC上确定一点D，使AD+BD=BC，那么符合要求的作图痕迹是 （      ） A． B． C． D． 【举一反三2】使用尺规作线段AB的垂直平分线CD的痕迹如图所示，下列说法不正确的是（　　） A．弧①②的半径长一定相等 B．弧③④的半径长一定相等 C．弧②③的半径长一定相等 D．弧①的半径长大于AB长度的一半 【举一反三3】如图，在中，，，为的角平分线，按以下步骤作图：①分别以点C，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点；②作直线分别交边，于点E，F，连接，．若，则线段BD的长为__________． 【举一反三4】阅读下面材料： 在数学课上，老师提出如下问题： 尺规作图：作一条线段的垂直平分线． 已知：线段AB． 求作：线段AB的垂直平分线． 小红的作法如下： 如图，①分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C； ②再分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径（不同于①中的半径）作弧，两弧相交于点D，使点D与点C在直线AB的同侧； ③作直线CD． 所以直线CD就是所求作的垂直平分线． 老师说：“小红的作法正确．” 请回答：小红的作图依据是__________． 【举一反三5】如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°. (1)尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D； ②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图中，求∠DAE的度数. 【题型2】线段垂直平分线的性质 【典例】如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，则△ACD的周长是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【举一反三1】如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线l1，l2相交于点O，若∠BAC=80°，则∠OBC的度数是 A．15° B．20° C．10° D．25° 【举一反三2】如图，在△ABC中，DE垂直平分BC分别交AC，BC边于点D，E．若AB＝3，AC＝5，则△ABD的周长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．10 【举一反三3】如图，在△ABC中，AB＝7，AC的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，△BCE的周长等于12，则BC的长度为 __________． 【举一反三4】如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线l1，l2相交于点O，若∠BAC＝80°，求∠OBC的度数. 【举一反三5】如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为14cm，求△ABC的周长． 【题型3】线段垂直平分线的实际应用 【典例】如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄.欲在直线l上的某处修建一个水泵站M，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是 （      ） A． B． C． D． 【举一反三1】如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线l与AC交于点D，垂足为点E.试比较BD与CE的大小：BD__________CE.(填“>”“<”或“＝”) 【举一反三2】如图，△ABC三边的垂直平分线交于点P. (1)由l1垂直平分AB，得PA＝__________； (2)由l2垂直平分BC，得PB＝__________； (3)由l3垂直平分AC，得PC＝__________； (4)结合图形和(1)(2)(3)的答案，可得结论： 三角形三边的垂直平分线交于一点，且这个点到三角形的三个顶点的距离__________. 【举一反三3】如图，河边有两个村庄A，B，要在河岸CD上建一自来水厂P，使水厂到A，B两村的距离相等，请找出点P的位置. 浙教版（2024）八年级上册 1.6 线段垂直平分线的性质 题型专练（参考答案） 【题型1】作线段垂直平分线与角平分线的综合 【典例】如图，直线l经过线段AB的中点O，点P在直线l上，且PA=PB，则下列结论：①∠PAO=∠PBO；②∠A=30°；③PO平分∠APB；④PO垂直平分线段AB.其中正确的结论有 （      ）  A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】因为直线l经过线段AB的中点O，点P在直线l上，且PA=PB， 所以∠PAO=∠PBO，PO平分∠APB，PO垂直平分线段AB， 故①③④正确， 条件不足，无法求出∠A的度数，故②错误. 【举一反三1】在△ABC中，AC<AB<BC，如果要用尺规作图的方法在BC上确定一点D，使AD+BD=BC，那么符合要求的作图痕迹是 （      ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵AD+BD=BC，且DC+BD=BC， ∴DA=DC， ∴点D在线段AC的垂直平分线上， 即点D为线段AC的垂直平分线与BC的交点. 观察四个选项，D选项符合题意. 【举一反三2】使用尺规作线段AB的垂直平分线CD的痕迹如图所示，下列说法不正确的是（　　） A．弧①②的半径长一定相等 B．弧③④的半径长一定相等 C．弧②③的半径长一定相等 D．弧①的半径长大于AB长度的一半 【答案】C 【解析】由作图痕迹得BD＝AD，BC＝AC，所以A选项和B选项不符合题意； BC与AD可以相等，也可以不相等，所以C选项符合题意； BDAB，所以D选项不符合题意． 故选：C． 【举一反三3】如图，在中，，，为的角平分线，按以下步骤作图：①分别以点C，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点；②作直线分别交边，于点E，F，连接，．若，则线段BD的长为__________． 【答案】 【解析】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴． ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【举一反三4】阅读下面材料： 在数学课上，老师提出如下问题： 尺规作图：作一条线段的垂直平分线． 已知：线段AB． 求作：线段AB的垂直平分线． 小红的作法如下： 如图，①分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C； ②再分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径（不同于①中的半径）作弧，两弧相交于点D，使点D与点C在直线AB的同侧； ③作直线CD． 所以直线CD就是所求作的垂直平分线． 老师说：“小红的作法正确．” 请回答：小红的作图依据是__________． 【答案】到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线 【解析】如图，∵由作图可知，AC＝BC＝AD＝BD， ∴直线CD就是线段AB的垂直平分线． 故答案为：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线． 【举一反三5】如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°. (1)尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D； ②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图中，求∠DAE的度数. 【答案】(1)如图，点D，射线AE即为所求. (2)∵DF垂直平分线段AB ∴DB＝DA ∴∠DAB＝∠B＝30° ∵∠C＝40° ∴∠BAC＝180°﹣30°﹣40°＝110° ∴∠CAD＝110°﹣30°＝80° ∵AE平分∠DAC ∴∠DAE∠DAC＝40°. 【题型2】线段垂直平分线的性质 【典例】如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，则△ACD的周长是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【解析】∵AB的垂直平分线交BC于点D， ∴AD＝BD， ∵BC＝4，AC＝3， ∴CD+AD＝CD+BD＝BC＝4， ∴△ACD的周长为：4+3＝7． 故选：A． 【举一反三1】如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线l1，l2相交于点O，若∠BAC=80°，则∠OBC的度数是 A．15° B．20° C．10° D．25° 【答案】C 【解析】如图所示，连接OA， 因为∠BAC=80°， 所以∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=180°-80°=100°， 因为AB，AC的垂直平分线l1，l2相交于点O， 所以OB=OA，OC=OA， 所以OB=OC， 所以∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB， 所以∠OBA+∠OCA=∠OAB+∠OAC=∠BAC=80°， 所以∠OBC+∠OCB=100°-(∠OBA+∠OCA)=100°-∠BAC=100°-80°=20°， 所以∠OCB=∠OBC=10°， 所以∠OBC的度数为10°. 【举一反三2】如图，在△ABC中，DE垂直平分BC分别交AC，BC边于点D，E．若AB＝3，AC＝5，则△ABD的周长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】C 【解析】∵DE是BC的垂直平分线， ∴DB＝DC， ∵AB＝3，AC＝5， ∴△ABD的周长＝AB+AD+BD ＝AB+AD+CD ＝AB+AC ＝3+5 ＝8， 故选：C． 【举一反三3】如图，在△ABC中，AB＝7，AC的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，△BCE的周长等于12，则BC的长度为 __________． 【答案】5 【解析】∵DE是AC的垂直平分线， ∴AE＝CE， ∵△BCE的周长等于12， ∴BC+BE+EC＝BC+BE+AE＝BC+AB＝12， ∵AB＝7， ∴BC＝12﹣7＝5， 故答案为：5． 【举一反三4】如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线l1，l2相交于点O，若∠BAC＝80°，求∠OBC的度数. 【答案】解　如图所示，连接OA， ∵∠BAC＝80°， ∴∠ABC＋∠ACB＝180°－∠BAC＝100°， ∵AB，AC的垂直平分线l1，l2交于点O， ∴OB＝OA，OC＝OA，进而通过证三角形全等可得，∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB， ∴∠OBA＋∠OCA＝∠OAB＋∠OAC＝∠BAC＝80°， ∴∠OBC＋∠OCB＝100°－(∠OBA＋∠OCA) ＝100°－∠BAC＝20°， ∴∠OBC＝∠OCB＝10°. 【举一反三5】如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为14cm，求△ABC的周长． 【答案】解　∵DE是AC的垂直平分线， ∴DA＝DC， ∵△ABD的周长为14cm． ∴AB+BD+AD＝14cm， ∵AE＝3cm， ∴AC＝6cm， ∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝AB+BD+AD+AC＝20cm． 【题型3】线段垂直平分线的实际应用 【典例】如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄.欲在直线l上的某处修建一个水泵站M，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是 （      ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作点P关于直线l的对称点P'，连接QP'交直线l于点M. 根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道最短. 【举一反三1】如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线l与AC交于点D，垂足为点E.试比较BD与CE的大小：BD__________CE.(填“>”“<”或“＝”) 【答案】> 【解析】因为直线l是边BC的垂直平分线， 所以DE⊥BC，BD＝CD， 所以CD>CE， 所以BD>CE. 【举一反三2】如图，△ABC三边的垂直平分线交于点P. (1)由l1垂直平分AB，得PA＝__________； (2)由l2垂直平分BC，得PB＝__________； (3)由l3垂直平分AC，得PC＝__________； (4)结合图形和(1)(2)(3)的答案，可得结论： 三角形三边的垂直平分线交于一点，且这个点到三角形的三个顶点的距离__________. 【答案】(1)PB　(2)PC　(3)PA　(4)相等 【举一反三3】如图，河边有两个村庄A，B，要在河岸CD上建一自来水厂P，使水厂到A，B两村的距离相等，请找出点P的位置. 【答案】解　∵点P到A，B两村的距离相等， ∴点P在线段AB的垂直平分线上， 即线段AB的垂直平分线与CD的交点. 如图所示，点P即为所求. 学科网（北京）股份有限公司 $