1.6 线段垂直平分线的性质-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（浙教版·新教材）

第1章三角形 1.6线段垂直平分线的性质 自一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1,如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B,C为圆心，大于2BC的长为半径作弧，两 弧相交于点M,N;②作直线MN交AB于点D,连结CD.下列结论中，正确的是 A.CD+DB-AB B.CD+AD-AB C.CD+AC-AB D.AD+AC-AB F (第1题)》 (第2题) (第3题) 2.如图，在△ABC中，DE是AB的垂直平分线，交BC于点D,交AB于点E.已知AE=1cm, △ACD的周长为10cm,则△ABC的周长是 cm. 3.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线L分别交AB,BC于点E,F,连结EC.若CE=2AE,且 S△ABC=18,则S△BEF的值为 4.如图，在四边形ABCD中，E是BC的中点，F是CD的中点，且AE⊥BC,AF⊥CD.求证：AB=AD. (第4题) 扫二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 5.如图，在△ABC中，作线段AC的垂直平分线交BC于点D,交AC于点E,连结AD.若∠B= 72°，∠C=35°，则∠BAD的度数为 () A.37° B.38° C.72 D.73° /D B D C (第5题) (第6题) 6.如图，在△ABE中，AD⊥BE于点D,C是BE上一点，BD=DC,且点C在AE的垂直平分线 上.若△ABC的周长为30，则DE的长为 25 拔尖特训·数学（浙教版）八年级上 7.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE分别与边AB,AC交于点D,E.若△ABC与△BCE 的周长分别是36cm,22cm,求AD的长， DA B (第7题) 8.如图，在△ABC中，∠C=90°，D是AB边上的一点.按要求作图，并回答问题（保留 作图痕迹，不写作法). (1)利用尺规在AB的上方确定点M,使DM⊥AB,且DM=AC. (2)在(1)的基础上，利用尺规过点M作直线ME,使MEBC,且ME交AB于点E. (3)判断(2)中的△ABC与△MED是否全等，并说明理由. (第8题) 道]三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 9.考向探究题如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,E为CD的中点，连结AE,BE, BE⊥AE,延长AE交BC的延长线于点F. (1)求证：AD=FC. (2)试用等式表示AB,BC,AD之间的数量关系，并说明理由. (第9题)》 26 “答案与解析”见P14∠BFE+∠D=180°.因为∠BFE+∠CFE=180°，所以 ∠CFE=∠D.在△FCE和△DCE中，因为 ∠CFE=∠D, ∠FCE=∠DCE,所以△FCE≌△DCE(AAS).所以 CE=CE, CF=CD.所以BC=BF十CF=AB十CD.解法二（补短 法)：如图②，延长CD至点G,使CG=BC,连结EG.因为 CE平分∠BCD,所以∠BCE=∠GCE,∠CBE=∠G.在 BC=GC, △BCE和△GCE中，因为∠BCE=∠GCE,所以△BCE≌ CE=CE, △GCE(SAS).所以BE=GE.因为BE平分∠ABC,所以 ∠ABE=∠CBE.所以∠ABE=∠G.因为ABCD,所以 ∠A=∠EDG, ∠A=∠EDG.在△ABE和△DGE中，因为∠ABE=∠G, BE-GE, 所以△ABE≌△DGE(AAS).所以AB=DG.所以BC= CG-CD+DG-CD+AB C B ① ② (第5题) 6.BC=BE+CD.理由：在BC上截取BF=BE,连结 OF.因为BD平分∠ABC,所以∠EBO=∠FBO.在△EBO BE=BF, 和△FBO中，因为〈∠EBO=∠FBO,所以△EBO≌ BO=BO, △FBO(SAS).所以∠EOB=∠FOB.因为∠A=60°，BD, CE分别平分∠ABC和∠ACB,所以∠BOC=180° ∠0BC-∠0CB=180-2∠ABC-3∠ACB=180° 2(180°-∠A)=120°.所以∠D0C=∠E0B=180°- ∠BOC=60°.所以∠FOB=60°.所以∠FOC=∠DOC= 60°.因为CE平分∠DCB,所以∠DCO=∠FCO.在 ∠DO=∠FCO, △DCO和△FCO中，因为OC=OC, 所以△DCO≌ ∠DOC=∠FOC, △FCO(ASA).所以CD=CF.所以BC=BF+CF= BE+CD. 1.6线段垂直平分线的性质 1.B由给出的作图步骤可知，MN是CB的垂直平分线， 所以CD=BD.所以CD十AD=BD十AD=AB.故B正确 2.12因为DE是AB的垂直平分线，所以AB=2AE= 2X1=2(cm),DB=DA.又因为△ACD的周长=AC+ CD+DA=10cm,所以△ABC的周长=BA+AC+CD+ DB=BA+(AC+CD+DA)=2+10=12(cm). 3.6因为EF是线段BC的垂直平分线，所以CE=BE, CF=BF.因为CE=2AE,所以BE=2AE.因为SAAx= 18,所以SAm=号Sae=12因为CF=BF,所以 1 SABEF=2S△B=6, 4.连结AC.因为E是BC的中点，AE⊥BC,所以AE是 线段BC的垂直平分线.所以AB=AC.同理，可得AC= AD,所以AB=AD. 5.B 思路导引 ∠B=72°，∠C=35° DE垂直平分线段AC 三角形的 内角和 ∠BAC-180°-∠B-∠C AD-DC,AE-CE DE=DE △ADE≌△CDE ∠DAE=∠C ∠BADF∠BAC-∠DAE 因为∠B=72°，∠C=35°，所以∠BAC=180°-72°-35°= 73°.因为DE是线段AC的垂直平分线，所以DA=DC, (AD=CD, AE=EC.在△ADE和△CDE中，因为AE=CE,所以 DE=DE, △ADE≌△CDE(SSS).所以∠DAE=∠C=35°.所以 ∠BAD=73°-35°=38， 6.15因为BD=DC,AD⊥BE,所以AB=AC.因为点C 在AE的垂直平分线上，所以AC=CE.因为△ABC的周 长是30，所以AC+AB+BD+CD=30.所以AC+CD= 15.所以DE=CD+CE=CD+AC=15. 7.因为DE是AB的垂直平分线，所以AE=BE,AD= BD=号AB.因为△BCE的周长是2cm,所以BC+ BE+EC=22cm.所以BC+AE+EC=22cm,即AC+ BC=22cm.因为△ABC的周长是36cm,所以AB+AC+ BC=36cm.所以AB=36-22=14(cm).所以AD= 2AB=号×14=7cm. 8.(1)如图，点M即为所求.(2)如图，ME即为所求 (3)△ABC≌△MED.理由：因为MD⊥AB,所以 ∠MDE=∠C=90°.因为MEBC,所以∠B=∠MED.在 ∠B=∠MED △ABC和△MED中，因为∠C=∠EDM,所以△ABC≌ AC-MD, △MED(AAS). M (第8题) 9.(1)因为ADBC,所以∠ADC=∠ECF.因为E是CD 的中点，所以DE=EC.在△ADE和△FCE中，因为 |∠ADE=∠FCE, DE=CE, 所以△ADE≌△FCE(ASA).所以 ∠AED=∠FEC, AD=FC.(2)AB=BC+AD.厘由：因为△ADE≌ △FCE,所以AE=FE,AD=FC.又因为BE⊥AF,所以 BE是线段AF的垂直平分线.所以AB=BF=BC十CF. 因为AD=FC,所以AB=BC+AD 1.7角平分线的性质 1.A过点G作GH⊥AB于点H.因为∠C=90°，所以 GC⊥AC.由作图可知，AG平分∠BAC,因为GH⊥AB, GC LAC,所以GH=GC=1. 2.7:5如图，作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F. 因为AD平分∠BAC,AB=7,AC=5,所以DE=DF.所 以SaAm:Sam-(2X7·DE):(3X5·DF) 7：5. (第2题) 3.34如图，过点O作OE⊥AC于点E,OF⊥AB于点 F,连结OA.因为O为△ABC的两条角平分线的交点，所 以OB平分∠ABC,OC平分∠ACB.又因为OE⊥AC, OF⊥AB,OD⊥BC,OD=4,所以OE=OD=4,OF= OD=4所以Sar=Sae+Sr+Sae=号AB· OF+号BC·OD+号AC·OE=2×4X(AB+C+ AC).因为△ABC的周长是17，所以AB+BC+AC=17. 所以S△Ax=2X17=34. (第3题) 4.因为∠ACB=90°，所以∠FCD=90°，即DC⊥BF.因为 BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB,所以DE=DC, ∠DEA=90°.所以∠FCD=∠AED.在△DAE和△DFC ∠DEA=∠DCF, 中，因为DE=DC, 所以△DAE≌△DFC(ASA). ∠ADE=∠FDC, 所以AD=FD. 5.C当PE⊥BC时，PE的长取得最小值.因为AB∥ CD,AD过点E,且DA⊥AB,所以AD⊥CD.因为BE和 CE分别平分∠ABC和∠BCD,所以PE=AE,PE=DE, 即PE=号AD.因为AD=8,所以PE=4,即PE长的最 小值为4. 6.2过点D作DF⊥BC,交BC的延长线于点F.因为 BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB,所以DE=DF.因为 △ABC的面积是15cm,AB=9cm,BC=6cm,所以 2AB,DE+号C·DF=15am.所以sDE+6DE= 30cm.所以DE=2cm. 7.10如图，过点P作PH⊥MN于点H,PC⊥OA于点 C,PD⊥OB于点D,连结PO.因为MP平分∠AMN,NP 平分∠NB,所以PC=PH,PD=PH.所以PC=PD. 因为△PMN的面积=号MN·PH=6,MN=4,所以 PH=3.所以PC=PD=3.因为△PMN的面积是6， △OMN的面积是9，所以S△nM+S△PON=S△PMN+ Saw=15.所以号OM·PC+2ON·PD=15.所以 (OM+ON)×3=15×2.所以OM+ON=10. M D 0 N D (第7题) 5