【刷考点】3.6 函数的单调性与最值大总结（22个考点题型归纳）讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

函数的单调性与最值·考点一遍过 目录 考点01 定义法证明单调性 考点02 图像法识别单调区间 考点03 性质法求单调区间 考点04 复合函数单调性的运算性质 考点05 区间上单调与单调区间辨析 考点06 由单调区间求参 考点07 根据区间上不单调求参 考点08 利用单调性求最值或值域 考点09 含参函数表达最值 考点10 复杂函数求最值 考点11 根据最值求参 考点12 函数不等式的恒成立问题 考点13 函数不等式的有解问题 考点14 分段函数求最值 考点15 由分段函数单调性求参数 考点16 由分段函数最值求参数 考点17 解分段函数不等式 考点18 利用单调性解抽象不等式 考点19 利用单调性比较大小 考点20 构造新函数使用单调性 考点21 一类单调抽象函数求解析式 考点22 抽象函数单调性证明 【知识梳理】 1.函数单调性定义：设函数的定义域为，区间. ①如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递增. ②如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递减. 2.函数单调性的判断方法： ①定义法（作差法）：作差 → 变形（因式分解、配方）→ 判断正负 → 下结论. ②图像法：图像上升为增，下降为减. ③复合函数：同增异减（内外函数单调性相同则复合增，相反则复合减）. 3.重要结论: ①与单调性相同（为常数）. ②与单调性不变；单调性相反. ③时，与单调性相反. 4.函数最值： （1）最大值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足： ①，都有； ②，使得. 那么，我们称是函数的最大值。 （2）最小值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足： ①，都有； ②，使得. 那么，我们称是函数的最小值. 5.函数单调性的运算 增 增 增 不能确定单调性 增 减 不能确定单调性 增 减 减 减 不能确定单调性 减 增 不能确定单调性 减 6.复合函数的单调性判定 对于复合函数，设在上单调，且在或上也单调，那么在上的单调性如下表所示，简记为“同增异减”。 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 考点01 定义法证明单调性 1．（2026高一·全国·专题练习）已知函数，判断并证明函数在上的单调性. 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数且经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递增. 考点02 图像法识别单调区间 3．已知函数的图象如图所示，则其单调递减区间是_______. 4．函数在区间上的图象如图所示，则此函数的增区间是________. 考点03 性质法求单调区间 5．函数的单调递减区间是________，单调递增区间是________. 6．函数的单调递增区间是_________． 考点04 复合函数单调性的运算性质 7．已知函数是上的增函数，函数是上的减函数，则下列函数一定是增函数的是（    ） A． B． C． D． 8．设函数在上为增函数，则下列结论错误的是（   ） A．在上为减函数 B．在上为增函数 C．在上为增函数 D．在上为减函数 考点05 区间上单调与单调区间辨析 9．函数在区间，上都是单调递减的，能否说在整个定义域是减函数？ 10．“函数在区间D上是增函数”与“函数的单调递增区间为D”一样吗？ 考点06 由单调区间求参 11．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是________． 12．已知函数的单调递减区间为，单调递增区间为，则（    ） A． B． C． D． 考点07 根据区间上不单调求参 13．（2025·广东阳江·三模）若函数在上不单调，则实数a的取值范围为______. 14．（25-26高一上·四川内江·阶段检测）若函数在区间上不单调，则的取值范围是______． 考点08 利用单调性求最值或值域 15．（26-27高一上·河北·阶段检测）函数，的值域是__________． 16．（26-27高一上·福建厦门·阶段检测）下列函数中，值域为的是（     ） A． B．， C．， D．， 17．（26-27高一上·福建龙岩·阶段检测）已知函数满足. (1)求的解析式； (2)用定义法证明在上单调递减，并求在上的值域. 考点09 含参函数表达最值 18．（25-26高一上·安徽阜阳·期中）已知函数. (1)若在上不单调，求实数的取值范围； (2)若，求的最小值，并写出的值域. 19．（26-27高一上·广西桂林·阶段检测）已知是二次函数，满足，当时取得最小值0. (1)求函数的解析式； (2)解不等式； (3)设函数在区间上不单调，求在区间上最大值的表达式； 考点10 复杂函数求最值 20．（23-24高一下·全国·单元测试）函数在区间的最大值为______. 21．（22-23高三下·重庆渝中·阶段检测）函数的最大值为______. 考点11 根据最值求参 22．（2026高一·全国·专题练习）函数在区间上的最大值为4，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 23．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）已知函数在上的最大值为，则（    ） A． B．2 C．5 D．7 24．（25-26高二下·广东汕尾·期末）函数在上的最大值与最小值之和为，则实数_________． 考点12 函数不等式的恒成立问题 25．（26-27高一上·江西九江·阶段检测）若“，”为真命题，则实数的取值范围为______． 26．（25-26高一上·福建宁德·期中）若不等式对于恒成立，则实数的取值范围是__________. 27．（25-26高一上·陕西延安·期中）设函数，其中. (1)函数在区间上单调递减，求的取值范围； (2)若对于任意，都有，求实数的取值范围. 考点13 函数不等式的有解问题 28．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末），使得成立，则实数的取值范围为_______． 29．（25-26高一上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）设函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若，使不等式能成立，求实数的取值范围. 30．（2025高一上·江苏南通·专题练习）已知函数， ， (1)判断并证明函数的单调性； (2)若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围． 考点14 分段函数求最值 31．（24-25高一上·福建厦门·期中）函数 的最大值为_____________． 32．函数的值域为_________ 考点15 由分段函数单调性求参数 33．（26-27高三上·广东·阶段检测）已知函数为增函数，则的最小值是______． 34．（25-26高一上·安徽宣城·期末）已知函数在R上单调递减，则a的取值范围是______． 考点16 由分段函数最值求参数 35．（25-26高一上·福建泉州·期中）函数的值域为，则的取值范围是_______. 36．（23-24高三上·广东阳江·阶段检测）设函数，若存在最大值，则实数a的取值范围为 _______． 考点17 解分段函数不等式 37．（25-26高二下·河北·期末）已知函数若，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 38．（2011届安徽省宣城市高三第二次模拟考试数学理卷）若函数，则满足的的取值范围是_____ 考点18 利用单调性解抽象不等式 39．（20-21高一上·安徽滁州·阶段检测）已知f(x)为R上的减函数，则满足的实数x的取值范围为________. 40．（25-26高三上·江西鹰潭·阶段检测）已知是定义在上的增函数，且，则的取值范围是_____． 考点19 利用单调性比较大小 41．（26-27高一上·广西桂林·阶段检测）已知函数是的减函数，则下列各大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 42．（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知二次函数的最大值为，则（   ） A． B． C． D． 43．（25-26高一上·四川广安·期中）已知函数，且，则与的大小关系是______. 考点20 构造新函数使用单调性 44．（25-26高二上·江西宜春·期末）已知定义域为的函数满足：，，，都有，且，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 45．（25-26高二上·云南·阶段检测）已知函数，若对于任意的、，且，都有成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点21 一类单调抽象函数求解析式 46．已知是定义在上的单调函数，且，，则______． 47．已知函数在定义域上是单调函数，，则______． 考点22 抽象函数单调性证明 48．（24-25高一上·湖南株洲·阶段检测）定义在上的函数满足下列条件：（1）；（2）当时，，则（    ） A． B．当时， C． D．在上单调递减 49．（26-27高三上·湖南·阶段检测）已知定义在上的函数满足：①；②当时，． (1)求的值； (2)证明：在上单调递增； (3)解不等式． 50．（19-20高一上·河南安阳·阶段检测）已知函数的定义域是，当时， ，且 (1)求； (2)证明在定义域上是增函数； (3)如果，求满足不等式的的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数的单调性与最值·考点一遍过 目录 考点01 定义法证明单调性 考点02 图像法识别单调区间 考点03 性质法求单调区间 考点04 复合函数单调性的运算性质 考点05 区间上单调与单调区间辨析 考点06 由单调区间求参 考点07 根据区间上不单调求参 考点08 利用单调性求最值或值域 考点09 含参函数表达最值 考点10 复杂函数求最值 考点11 根据最值求参 考点12 函数不等式的恒成立问题 考点13 函数不等式的有解问题 考点14 分段函数求最值 考点15 由分段函数单调性求参数 考点16 由分段函数最值求参数 考点17 解分段函数不等式 考点18 利用单调性解抽象不等式 考点19 利用单调性比较大小 考点20 构造新函数使用单调性 考点21 一类单调抽象函数求解析式 考点22 抽象函数单调性证明 【知识梳理】 1.函数单调性定义：设函数的定义域为，区间. ①如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递增. ②如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递减. 2.函数单调性的判断方法： ①定义法（作差法）：作差 → 变形（因式分解、配方）→ 判断正负 → 下结论. ②图像法：图像上升为增，下降为减. ③复合函数：同增异减（内外函数单调性相同则复合增，相反则复合减）. 3.重要结论: ①与单调性相同（为常数）. ②与单调性不变；单调性相反. ③时，与单调性相反. 4.函数最值： （1）最大值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足： ①，都有； ②，使得. 那么，我们称是函数的最大值。 （2）最小值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足： ①，都有； ②，使得. 那么，我们称是函数的最小值. 5.函数单调性的运算 增 增 增 不能确定单调性 增 减 不能确定单调性 增 减 减 减 不能确定单调性 减 增 不能确定单调性 减 6.复合函数的单调性判定 对于复合函数，设在上单调，且在或上也单调，那么在上的单调性如下表所示，简记为“同增异减”。 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 考点01 定义法证明单调性 1．（2026高一·全国·专题练习）已知函数，判断并证明函数在上的单调性. 【答案】在上单调递减，证明见解析 【详解】在上单调递减，证明如下： 由，任取， 则， 因为，所以，，， 所以，即， 所以在上单调递减. 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数且经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递增. 【答案】(1)；(2)略 （2）根据单调性的定义证明：任取，且，利用作差法证明. 【详解】（1）将点，的坐标代入解析式得，解得，故. （2）证明：任取，且，则 ，因为，且，所以，故， 故，所以在上单调递增. 考点02 图像法识别单调区间 3．已知函数的图象如图所示，则其单调递减区间是_______. 【答案】和 【详解】观察图象可知，的单调递减区间为和.故答案为：和. 4．函数在区间上的图象如图所示，则此函数的增区间是________. 【答案】 【详解】由的图象看，图象在是上升的，在上是下降的，所以此函数的增区间是. 故答案为： 考点03 性质法求单调区间 5．函数的单调递减区间是________，单调递增区间是________. 【答案】 【详解】，故其对称轴为，结合函数图象知其单调递减区间是，单调递增区间是. 6．函数的单调递增区间是_________． 【答案】， 【详解】当时，，对称轴为，在上单调递减，上单调递增；当时，，对称轴为，在上单调递减，上单调递增，综上所述，的递增区间为，，故答案为：，. 考点04 复合函数单调性的运算性质 7．已知函数是上的增函数，函数是上的减函数，则下列函数一定是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：因为函数是上的增函数，函数是上的减函数，所以函数是上的增函数，函数是上的减函数，函数，的单调性无法判断.故选：B. 8．设函数在上为增函数，则下列结论错误的是（   ） A．在上为减函数 B．在上为增函数 C．在上为增函数 D．在上为减函数 【答案】ABC 【详解】对于A，若，则，在上不是减函数，故A错误； 对于B，若，则，在上不是增函数，故B错误； 对于C，若，则，在上不是增函数，故C错误； 对于D，函数在上为增函数，则对于任意的，设，必有， 对于，则有，即， 则在上为减函数，故D正确．故选：ABC. 考点05 区间上单调与单调区间辨析 9．函数在区间，上都是单调递减的，能否说在整个定义域是减函数？ 【答案】不能 【详解】如图，且，与单调递减矛盾，所以不能说函数在整个定义域是减函数. 10．“函数在区间D上是增函数”与“函数的单调递增区间为D”一样吗？ 【答案】略 【详解】不一样．“函数的单调递增区间为D”，说明区间D是函数的所有单调递增区间；而“函数在区间D上是增函数”，只要函数在区间D上递增即可，区间D是整个单调增区间的子集． 考点06 由单调区间求参 11．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是________． 【答案】 【详解】函数在区间上单调递减，由函数图象抛物线开口向上，对称轴为直线，所以有，解得，即实数的取值范围是. 12．已知函数的单调递减区间为，单调递增区间为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题知，当时，或，所以可得，即，所以. 考点07 根据区间上不单调求参 13．（2025·广东阳江·三模）若函数在上不单调，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【详解】函数图象的对称轴为直线，由在上不单调，得，所以实数a的取值范围为.故答案为： 14．（25-26高一上·四川内江·阶段检测）若函数在区间上不单调，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为函数，所以该函数在上单调递减，在上单调递增，又在区间上不单调，所以，故的取值范围是．故答案为：. 考点08 利用单调性求最值或值域 15．（26-27高一上·河北·阶段检测）函数，的值域是__________． 【答案】 【分析】利用反比例函数在给定定义域上的单调性，结合不等式性质推导函数值的取值范围. 【详解】函数是反比例函数，在区间上单调递减. 当时，满足，对不等式两边同时取正倒数，不等号方向反转，可得. 当趋近于时，趋近于但无法取到； 当趋近于时，趋近于但无法取到，因此函数的值域为. 16．（26-27高一上·福建厦门·阶段检测）下列函数中，值域为的是（     ） A． B．， C．， D．， 【答案】BCD 【详解】选项A：的值域为，选项A错误； 选项B：在上单调递增，， ，的值域为； 选项C：在上单调递增，，， 的值域为； 选项D：在单调递减，在上单调递增， 又，，， 的值域为. 17．（26-27高一上·福建龙岩·阶段检测）已知函数满足. (1)求的解析式； (2)用定义法证明在上单调递减，并求在上的值域. 【答案】(1) (2)略 【详解】（1）由，令，则， 则有，即. （2）证明：设，则， 因为，所以，，，    所以，即，即在上单调递减. 因为，，所以在上的值域. 考点09 含参函数表达最值 18．（25-26高一上·安徽阜阳·期中）已知函数. (1)若在上不单调，求实数的取值范围； (2)若，求的最小值，并写出的值域. 【答案】(1)；(2)，的值域为 【详解】（1）因为的对称轴，若在上不单调，则， 所以实数的取值范围是. （2）当时，在上单调递增，所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增，所以； 当时，在上单调递减，所以，所以； 当时，，所以的值域为， 当时，在上单调递减，所以的值域为，即为； 当时，在上单调递减，所以的值域为，即为， 综上所述，的值域为. 19．（26-27高一上·广西桂林·阶段检测）已知是二次函数，满足，当时取得最小值0. (1)求函数的解析式； (2)解不等式； (3)设函数在区间上不单调，求在区间上最大值的表达式； 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）由时取得最小值0，可设，， ，，解得，. （2）由或，或， 所以，原不等式的解集为. （3）. 是开口向上的二次函数，对称轴为直线， 在区间上不单调，，∴当时，在区间上的最大值为， 当时，在区间上的最大值为， 综合，函数在区间上最大值的表达式为. 考点10 复杂函数求最值 20．（23-24高一下·全国·单元测试）函数在区间的最大值为______. 【答案】/3.5 【详解】（1）由，所以的定义域 令，开口向下，对称轴，根据复合函数的单调性可知， 的单调递增区间是；单调递减区间是，在区间的最大值为 故答案为： 21．（22-23高三下·重庆渝中·阶段检测）函数的最大值为______. 【答案】/ 【详解】因为，令，则， 令，，因为函数在上单调递增，所以， 即，则，即函数的最大值为，当且仅当时取等号.故答案为： 考点11 根据最值求参 22．（2026高一·全国·专题练习）函数在区间上的最大值为4，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】显然，若，则函数在区间上是减函数， 则，解得，不满足，舍去； 若，则函数在区间上是增函数，则，解得.综上，. 23．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）已知函数在上的最大值为，则（    ） A． B．2 C．5 D．7 【答案】C 【详解】由，可得，所以函数的对称轴为， 当时，，又函数在上的最大值为，所以，解得（舍去）， 当时，，所以， 所以，所以，解得或（舍去）.故选：C. 24．（25-26高二下·广东汕尾·期末）函数在上的最大值与最小值之和为，则实数_________． 【答案】 【详解】若，易知在区间上单调递增， 由题知，解得，不合题意， 若，即时，在区间上单调递增， 由题知，解得，不合题意， 若，即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又，，， 当，即时， 由题有，得，又，则，所以满足题意， 当，即时，由题有，解得， 又，则，不合题意， 若，即时，在区间上单调递减， 由题知，解得，不合题意， 综上所述，实数. 考点12 函数不等式的恒成立问题 25．（26-27高一上·江西九江·阶段检测）若“，”为真命题，则实数的取值范围为______． 【答案】 【详解】已知“，”为真命题，即该不等式对所有恒成立， 将不等式化简得，即，即需大于等于函数在区间上的最大值. 由于，根据抛物线的性质可知，当时，函数取得最大值为. 要使在上恒成立，只需，所以实数的取值范围为. 26．（25-26高一上·福建宁德·期中）若不等式对于恒成立，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【详解】当时，恒成立； 当时，，则， 因为，等号成立时，所以， 综上，实数的取值范围是.故答案为： 27．（25-26高一上·陕西延安·期中）设函数，其中. (1)函数在区间上单调递减，求的取值范围； (2)若对于任意，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由题意，在上单调递减，且对称轴为， 所以，即的取值范围为. （2）由对于任意都有得，，因为的对称轴为， 当时，，显然满足； 当时，，因为，所以，解得， 又，所以； 综上，所以实数的取值范围为. 考点13 函数不等式的有解问题 28．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末），使得成立，则实数的取值范围为_______． 【答案】 【详解】由，，得. 设，，在上单调递减.. 存在使不等式成立，故.故答案为： 29．（25-26高一上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）设函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若，使不等式能成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）. .则，不等式的解集为； （2）由题意，，使不等式能成立，即时，能成立， 所以大于的最小值.又在时，单调递减，所以， 所以，，即. 30．（2025高一上·江苏南通·专题练习）已知函数， ， (1)判断并证明函数的单调性； (2)若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)略；(2) 【详解】（1）单调递增，证明：由题意，任取 ， 则 ， 因为，所以，，即， 所有，所以 ， 故函数 在区间 内单调递增. （2）由（1）得，函数在区间 内单调递增， 所以当时，，当时，，所以的值域为， 若存在实数，使得不等式成立，只需 即可，解得， 所以a的取值范围为. 考点14 分段函数求最值 31．（24-25高一上·福建厦门·期中）函数 的最大值为_____________． 【答案】2 【详解】当时，函数为减函数，所以在处取得最大值； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 在处取得最大值.故函数的最大值为2. 32．函数的值域为_________ 【答案】 【详解】因为函数， 当时，，所以函数的值域为； 当时，，由基本不等式, 即，所以，因此， 当且仅当时等号成立，所以函数的值域为.因此，函数的值域为. 考点15 由分段函数单调性求参数 33．（26-27高三上·广东·阶段检测）已知函数为增函数，则的最小值是______． 【答案】 【详解】一次函数在上恒为增函数； 对勾函数的单调递增区间为，要使其在上单调递增，需满足 ①；分段点处要满足 ， 由于，得，整理得， 即，解得或 ②；由①②可得，因此的最小值为. 34．（25-26高一上·安徽宣城·期末）已知函数在R上单调递减，则a的取值范围是______． 【答案】 【详解】由函数在R上单调递减，得，解得， 所以a的取值范围是.故答案为： 考点16 由分段函数最值求参数 35．（25-26高一上·福建泉州·期中）函数的值域为，则的取值范围是_______. 【答案】 【详解】解：由题意得：因为当时，，开口向下，对称轴为， 当时，函数在上递减，此时， 要使函数的值域为，则有 ，解得： 当时，函数在上递增，上递减，此时， 要使函数的值域为，则有，解得：. 综上，的取值范围是，即. 36．（23-24高三上·广东阳江·阶段检测）设函数，若存在最大值，则实数a的取值范围为 _______． 【答案】 【详解】①当时，当时，，故趋近于时，趋近于，故不存在最大值； ②当时，，故不存在最大值； ③当时，当时，；当时，， 故若存在最大值，则，即；综上所述，实数a的取值范围为； 故答案为：． 考点17 解分段函数不等式 37．（25-26高二下·河北·期末）已知函数若，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 当，即时，，由，得； 当，即时，，由，得，解得， 综上，，即的取值范围为. 38．（2011届安徽省宣城市高三第二次模拟考试数学理卷）若函数，则满足的的取值范围是_____ 【答案】 【详解】当时，是单调递增函数， ，解得或，所以的解集为.故答案为： 考点18 利用单调性解抽象不等式 39．（20-21高一上·安徽滁州·阶段检测）已知f(x)为R上的减函数，则满足的实数x的取值范围为________. 【答案】(－∞，0)∪(1，＋∞) 【详解】∵f(x)为R上的减函数，且，∴，解得：或， 即实数x的取值范围为(－∞，0)∪(1，＋∞).故答案为：(－∞，0)∪(1，＋∞) 40．（25-26高三上·江西鹰潭·阶段检测）已知是定义在上的增函数，且，则的取值范围是_____． 【答案】 【详解】是定义在上的增函数,，即，解得， 则的取值范围是．故答案为：． 考点19 利用单调性比较大小 41．（26-27高一上·广西桂林·阶段检测）已知函数是的减函数，则下列各大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A中，，故，A正确； B中，，故，B错误； C中，，故，C错误； D中，，故，D错误； 42．（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知二次函数的最大值为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，的图象关于直线对称，所以， 又在上是减函数，所以.故选：C. 43．（25-26高一上·四川广安·期中）已知函数，且，则与的大小关系是______. 【答案】 【详解】由绝对值的几何意义可知，在数轴上表示到的距离比到1的距离更近， 而，该二次函数的对称轴为，且开口朝上，易知到对称轴的距离越近，函数值越小，故，故答案为：. 考点20 构造新函数使用单调性 44．（25-26高二上·江西宜春·期末）已知定义域为的函数满足：，，，都有，且，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令函数.因为，，，都有， 所以，所以， 即，即，所以函数是定义在上的减函数. 若，且，则， 即，所以，即.故选：A. 45．（25-26高二上·云南·阶段检测）已知函数，若对于任意的、，且，都有成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为对于任意的，且，都有成立， 在不等式两边同时除以可得， 移项有，构造函数， 则，所以函数在上单调递减， 当时，在上单调递增，不符合题意； 当时，若使得函数在上单调递减， 则，解得.综上所述，实数的取值范围是.故选：C. 考点21 一类单调抽象函数求解析式 46．已知是定义在上的单调函数，且，，则______． 【答案】14 【详解】，，是定义在上的单调函数，则为定值， 设，则，，解得，得， 所以.故答案为：14. 47．已知函数在定义域上是单调函数，，则______． 【答案】 【详解】因为函数在定义域上是单调函数，且，则存在唯一的常数，使得，，也即，于是，由，解得，故，所以. 考点22 抽象函数单调性证明 48．（24-25高一上·湖南株洲·阶段检测）定义在上的函数满足下列条件：（1）；（2）当时，，则（    ） A． B．当时， C． D．在上单调递减 【答案】AB 【详解】对于A项，由，取，得，，故A项正确； 对于B项，由，取，因，故，即， 当时，，则，故，即，故B项正确； 对于C项，由，取，可得，，整理得，，因，，当且仅当时取等号，但因的符号不能确定，故不一定有，即不一定成立，故C项错误； 对于D项，任取，则，依题意，，而， 则，即，即在上是增函数.于是，对于，任取，因，则，即，即函数在上单调递增，故D项错误. 故选：AB. 49．（26-27高三上·湖南·阶段检测）已知定义在上的函数满足：①；②当时，． (1)求的值； (2)证明：在上单调递增； (3)解不等式． 【答案】(1)； (2)略；(3)或． 【分析】（1）令，求得或者，再证明不成立即可求解； （2）先证明，取，根据求得，即可证明； （3）利用函数的单调性得到，解不等式即可求解. 【详解】（1）令，所以或者． 若，则对任意，有，这与题设②矛盾，因此． （2）对任意，．若存在使， 则，与矛盾，故． 任取，，且，则，所以． 又．因为，且，所以， 因此在上单调递增． （3）由（2）知，，即， 解得或，故原不等式的解集为或． 50．（19-20高一上·河南安阳·阶段检测）已知函数的定义域是，当时， ，且 (1)求； (2)证明在定义域上是增函数； (3)如果，求满足不等式的的取值范围． 【答案】（1）；（2）详见解析；（3）. 【详解】(1)令，得 (2)证明：任取且即， 则，从而∴在上是增函数． (3)由于而，故，在中，令，得，故所给不等式可化为， 即，∴的取值范围是 学科网（北京）股份有限公司 $