湖北省孝感市楚天协作体2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

高三数学 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.) 1.若复数z满足z(1-i)=2-i,则z的虚部是() A.Zi B月 c分 D 2.“向量ā=(-l,m)与b=(m,-4)共线”是“m=-2”的（）条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 3.已知等差数列{a,)n∈N)满足a1=2,43+a2o26=10,则a2028=() A.4 B.7 C.8 D.2026 的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则其展开式中含x3的项的系数是() A.15 B.-15 C.30 D.-30 5.享有“天下江山第一楼”美誉的黄鹤楼位于湖北武汉，地处蛇山之巅，濒 临万里长江，更因历代诗人登楼作诗而名闻天下，某校数学实践小组为保 护该遗产开展数学探究活动，用无人机进行航拍测量，估计黄鹤楼的高 度.无人机在距水平地面70米的同一高度上先后悬停于A,B两点.记楼 顶为P,在B点测塔顶P的俯角为45°.已知A,B两点间的水平距离为18√2 米，且水平面上∠QAB=30°，∠QBA=105°（其中Q为楼顶P在无人机所 在水平面上的垂直投影点)，则黄鹤楼的高度大概为()米 A.45 B.51 C.52 D.55 1 6.若曲线y=(x+a)血1+关于直线x=b对称，则ab=（) A.0 C.-1 D._ 7.暑期，电影《功夫女足》热映，片中经典台词“Be water,my friend”深入人心，其哲学内 涵被广大网友反复讨论.现从中提取四个首字母B,W,M,F,各取两次（即共8个字母： B,B,W,W,M,M,F,F)并排成一排.若恰有3对相同的字母相邻，则这8个字母的 不同排列种数为（) A.144 B.288 C.408 D.504 第1页共4页·26-G3-10L 8.设f(x)=cxr+c-c-,若对x∈(0，+∞)，都有∫(xoar+ax+lnx)sc恒成立，则实数a的 取值范围为( ) A（ B）c(] 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.下列结论正确的是() A.一组数据(x,y)的线性回归方程为)=4x+2,若x=1,则夕=6 B.若随机变量X满足E(2X)=2,则E(X+3)=7 C.若随机变量X服从正态分布N3,o2),且P(X≤4)=0.7，则P(3<X<4)=0.2 D.若随机变量X~8(4,p),若D(X)=1,则P(X=3)=月 10.已知函数f()=4sin(@x+p)4>0,o>0,的部分图象如图所示，则下列结论正确的 有( 红个单位长度后，得到函数 120 B.将函数∫(x)的图象向左平移 12 y=-3cos2x的图象 c者-1,且a引，则a-引- D.若函数f(x)在(O,m)上恰有3个零点，则实数m的取值范围是 11.若实数集A中存在最大元素M和最小元素m,则定义集合A的“极差”△(A)=M-m,下 列说法正确的是（) A.已知A={1og23,1og,4,eh2},则△(4)=lo83 B.已知A={a≤xa+2,a20},B={y=VF,xeA,则存在实数a使得△(B)<A(4) C.若A={a+2bla2+462=4,则△(4)=4W2 D.若A=a,1o,=n_,ne,则A(4到>1 n n 第2页共4页·26-G3-10L 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知集合A={xe☑x2-3x-4s0,B=(Vlog,(x-1)<2),则A∩B的子集的个数 为一 13.已知函数f(x)=cr+b在x=0处的切线方程为y=4x+3,则a+b的值为 14.在△ABC中，D为AB边中点，E是线段CD上的动点，C亚=1CD, =84C=i,若1=子则正=一（用a,5表示)：若 |AE=6,且AE⊥CB,则AE.CD的取值范围是 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15.（本小题13分) 如图，在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,c=√互， sin24+sin2C+cos2B=1+2sinAsinC. (1)求sinC的值： C2）在边BC上取一点D,使得cos∠ADC=-专，求an∠DAC的值， D 16.（本小题15分) 已知数列{a,}中，4=1,1=30m+2” nn+1n(n+1) (1)证明：数列{nan+2"}是等比数列； (2)记bn=n(nan+2),求数列亿，}的前n项和Sn· 第3页共4页·26-G3-10L 17.(本小题15分) 一个箱子里有m个黑球和n个白球(<)，从箱子中不放回地每次抽取一个球，直到取完， 记P(m,)为在整个取球过程中，取出来的黑球个数始终小于取出来的白球个数的概率， (1)求P2,5): (2)求P2,卫的最大值， 18.(本小题17分) 若定义在R上的单调函数f(x),满足对于任意的x∈R,都有ff(x)-e]=e+1. (1)求f(x)的解析式： (2)若f(x)>ax2+x+2对于任意的x>0恒成立，求实数a的取值范围： (3)若g(x)=lnx,当x>0时，试比较：（f(x)-2)g(x+1)与x2的大小. 19.(本小题17分) (1)证明积化和差公式： sinasin月=[cos(a-)-cos(a+]和sin=sn(a+P)月+sn(a-P】: (2)求值：c0s2红+ 4π 6元. +COS- -+cos- ； 7 (3)是否存在正整数m,使得sinV5+sin25+sin35++sin5>2y5?若存在，请求 3 出n的所有值组成的集合，若不存在，请说明理由. 第4页共4页·26-G3-10L高三10月数学参考答案 1-8:DBCACCAA 9.ACD 10.ACD 11.BCD 1.【答案】D 【详解1：子法2-0+)学g生，三的成海是-月 1-i22 2.【答案】B 【详解】因为a/1b,则(1)×(4)-m2=0,所以m=±2， ā=(1，m)与b=(m,-4共线是=-2的必要不充分条件 3.【答案】C 【详解】由等差数列可知4+a2028=43+42026,即a2028=10-2=8 4.【答案】A 【详解】由 的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则=6，二项展开式的通项公式为 0- ·(x), 3r-6 化简得1=C6（1旷x?, 令3,6=3，得r=4,所以工=Cg(←1x2=15x, 2 所以/1.9 -x的展开式中x3的系数是15 5.【答案】c 【详解】因为∠QAB=30°，∠QBA=105°， 所以∠A0B=180°-30°-105°=45°， BO AB 由正弦定理，得 sin∠2AB sin∠AQB' 代入AB=18√，∠A0B=45°，∠QAB=30°， 可得B0=18v2xsin30° 185 2=18, sin45° √2 2 O是P在无人机水平面的投影，所以PQ⊥平面OAB,即PQ⊥BO, 因为B点观测楼顶P的俯角为45°，即∠PBQ=45°， 在RItAPBO中，tam∠PBQ=P巴 解得P0=18×1=18, BO 故黄鹤楼的高大概为H=70-PQ=70-18=52(米). 第1页共9页·26-G3-10L 6.【答案】C 【详解】依题意得1++1>0→x+1)>0,解得x<-1或x>0, 则两数的定义域是←m-U(0+m),定义域两个区间(-，-)与(Q+)关于直线x=对称。 因为曲线y+0n1+关于直线x=b对称，所以b=- 1 设y=f)=+a)h中，由对称轴x=子可得f)=j1-x), 1 即a+on((1+an t+a=x+1-a,得a三)，所以ad 4 7.【答案】A 【详解】8个字母包含4对重复字母(BB、WW、MM、FF), 恰好3对相邻：先从4对字母中选3对，将其对应相同字母捆绑，选法为C=4种， 得到三个捆绑块X,Y,Z与剩下的两个字母（不妨设为F,F)组成5个元素，排成一排，要求F,F不相邻，则共 有C4C=144种 8.【答案】A 【详解】f(x)=ex3+ex-1-e-x是增函数， f)=e+e-l-e-1=e, 不等式fxe+w+nx)≤e即为f(xer++lnx)≤fI), 所以xe+r+lnr≤l,即xe+n(xe)≤1， 设h(x)=x+lnx,显然它是增函数，不等式xe+n(xe)≤1为h(xe)≤h), 所以e≤1，x∈(0，+w)恒成立，a≤n,令=t, 则a≤tnt,t∈(0，+o)恒成立， 令p()=tlnt,则p't)=lnt+1, 0<t<是时，p0<0,p0是减函数，t>上时，p'0)>0,p0是增函数， 所以p0a=pe)厂eee' 1 所以a≤-二 e 9.【答案】ACD 【详解】对于A,线性回归直线少=4x+2一定过样本中心点(，可)，己知x=1,所以=4×1+2=6，A 正确： 第2页共9页·26-G3-10L 对于B,已知E(2X)=2E(X),则E(X)=1,E(X+3)=E(X)+3=1+3=4,B错误： 对于C,由题意得：P(X>3)=P(X<3)=0.5,而P(X≤4)=P(X<3)+P(3<X<4)=0.7,所以 P(3<X<4)=0.7-0.5=0.2,C正确： 对于D,己知随机变量X~B(4,p), 根据二项分布的方差公式D(x)=p(1-p)=4p1-p)=1,得(2p-=0,得卫=2， 所以P(X=3)= 10.【答案】ACD 【详解】选项A:由图可知，f(x)m=3,因为A>0,所以A=3. 因为（日)年所以7，则=兴-2. 此时f(x)=3sin(2x+).由图可知，函数图像过点 所以2x（母p2号ez,即0=2狐-号Aez.因为<受 取k=0,得0=.所以)-3sm2x- 故A正确， 选项B:将函数f(y)的图象向左平移弧个单位长度后，得到函数 12 了)=知2+径-哥-3n2x+孕=32x的图家，所以B途项个正箱： 选顶c:若f侣-1，且ae0)则3sima-孕=l 为a到所以a- 6 3 ,所以C选项正确： 法项D:由xe0侧得2x雪〔子2m-哥)若西数回)在@网)上怡有3个零点则2m专2小， 所以 <m<征，所以D选项正确。 6 3 11.【答案】BCD 【详解】利用集合A的“极差”的定义逐项分析计算可判断其正误 对于A,A={1og23,log34,e2}={1og23,log34,2}, 第3页共9页·26-G3-10L 3h4h23h24,h2n4<(也2=(93<(=n3,所以 1og23-l0g34=m2-in3 In2.n3 2 9 2>l1og33>log:4>1,△(4)=2-log4=log:,故A错误： 对于B,因为A={xa≤x≤a+2,a20},所以△(A)=a+2-a=2, -y-e小.所a-=-6a号 =≤V2, 所以△(B)<△(A),故B正确： 对于C,若a2+4b2=4,令a=2cosa,b=sina 则a+2b=2cosa+2sina=2W2sin(a+∈[-2v5,22]:△(4)=4V2,故C正确： 对打D,令.则n, x2 令f"(x)>0得0<x<e,令f'(x)<0得x>e, 放)在(@9上单调选增，在(e+o)上年调递减 放)=在x=e处取得极大值，也是最大值，fc)m=f(@)。, 4,=n”二少中，当n为奇数时，a-n”+, nn n 故n≥3且为奇数时，a,}单调递减，且a,-血”+>0恒成立， 且4=1,43= n31<1, 33 当n为偶数时，a4,= Inn 1 nn 令8)=血x1,则gx)1-血+-2-血 xx-x 令g'(x)>0得0<x<e2,令g'(x)<0得x>e2, 故()=n在Qe)上单调适电，在e,o)上单润道减。 由于e2∈(7,8)，故当n为偶数且2≤n≤6时，{a}单调递增， 当n为偶数且n≥8时，{a}单调递减， 其中4=血61<1,4=血8-1-32-1<1， 6 8 8 故4-4=h6-1.3h2-14h3-5m2-1hg1 32 6 8 24240 故4<44<a6<4>410>42>, 第4页共9页·26-G3-10L 当u为偶数且≥4时，g)=血x-1>0恒成立， 又4=20，所以@的最大值为a=山，最小值为4=，，44=1如2-】 2 2 12.【答案】8 【详解】由x2-3x-4≤0得-1≤x≤4，故A={-1,0,1,2,3,4}: 由0≤10g2(x-1)<4=1og16得2≤x<17,故B=[2,17) 所以A∩B={2,3,4},元素个数为3，AOB的子集的个数为23=8个 13.【答案】6 【详解】根据题意，f(x)=e+b,则f'(x)=ae“, 又函数f(x)在x=0处的切线方程为y=4x+3, 所以切线斜率为4，即f"(0)=aea0=4,解得a=4, 又切点在切线上，所以当x=0时，y=4×0+3=3,即切点坐标为(0,3)， 又切点在函数f(x)上，所以3=e40+b,解得b=2, 所以a+b=4+2=6. 4【路案】五+6：【36-8例 【详解】解：因为D为AB边中点，C正=cD, 所以AE=AC+CE=AC+1cD=AC+1AD-AC) M 4n+4c-后酒+c+5: 如图，过点D作DH垂直于AE,交AE于点H,延长AE交CB于点M, 思如D棉议于A,股留产女D 又因为D为AB的中点，则AH=1,:,入4则M-761 AE2-16 2-1 4.c0-AC店=4服ci=41C1csD1=-&GEcm0M -身身g又则：所以4n-6网 - 15.【详解】解：(1)由题意可得sin2A+sinC-√2sin4sinC=1-cos2B=sin2B, 由正弦定理可得a2+c2-√2c=b2,即a2+c2-b2=√2c,.（1分) 所以cosB=口+c2-b22 .（2分) 2ac 2 D 第5页共9页·26-G3-10L 因为Bc0,所以B-平：《3分) 由余弦定理得6=a2+c2-2ac0sB=9+2-2×3×5x5-5,所以b=5…（4分) 由正弦定理得 →sinc=csinB_v5 (6分) sinC sin B b 5 Q白于cw∠ADC=-手，ADCc（行，所以m∠Ac=i-cos2ADc=；(8分) 由于4Ace{（5j所以ce0所以cc=C=2 .(9分) 5 所以sin∠DAC=sin(π-∠DAC)=sin(∠ADC+∠C) mpe.cac oemc …(11分) 由于∠nace0所以cos∠Ac=sn D4C-S 25 所以tan∠DAC= sin∠DAC2 coS∠DAC11 …(13分) l6.【详解】)由题意证明如下，neN, 在数列{a}中，4=1,1=30+2” nn+1'nn+1) .(n+1)a+1=310,+2”, .（2分) 即(n+1)a#1+2m+1=301a,+2"), …（5分) .{a,+2”}是以3为首项，3为公比的等比数列： .（7分) (2)由题意及)得，neN,a+2”=3” .b.=na,+2™)=n3, . (8分) 又Sn=b+b2+b3+…+bn, 得S=1x3+2×32+3x33+..+n×3m, 3Sn=1×32+2×33+3×34+…+n×3m+1, …(10分) 两式作差，得 1-3-nx31=313 -28,=1x3+32+3++3-nx341_3-31 22nx3112分) 所以线g子 4 …（15分) 17.【详解】解：(1)共有2个黑球，5个白球。只需前面取出3个白球出来，后面自由排序即可。由题意可 知，第一次和第二次取出的必须为白球，分为以下两类： 第6页共9页·26-G3-10L ①当第三次取出的是黑球时，第四次必须取白球，这时前面已取出三个白球，后面共有C=3种取法： ②当第三次取出的是白球，这时前面已取出三个白球，后面共有C4=6种取法 故P2,53+6=3 …(6分) (2)只需前面取出3个白球出来，后面自由排序即可。由题意可知，第一次和第二次取出的必须为白球，分 为以下两类： ①当第三次取出的是黑球时，第四次必须取白球，这时前面己取出三个白球，后面共有C-,=n-2种取 法： ②当第三次取出的是白球，这时前面已取出三个白球，后面共有C:,=?--2种取法 2 n-2+n-1n-2) 故p(2,n)= (n+1n-2）n-2.…(11分) (n+2n+1)n+2 P2,n)n-2 n-2 1 4n+2)n-2y+6n-2+86m-2)+8 +6 …(13分) -2 考店器激)-x+在2止单调避减，在包w2,十o上单调适格又因为1-2为正格藏.故P2d 的最大值在1-2=2或3时取到，而P24-1<3P2,5) 412355 故P2四的最大值为 …(15分) n 35 18.【详解】解：(I)∫(x)在R上单调，.存在唯一的实数k,使得f(k)=e+1,则f(x)-e=k为定值 对于任意的x∈R恒成立.故f(x)=e+k,而f(k)=e*+k=e+l,取h(k)=e+k,在R上单调递增，且 h(1)=e+1,则k=1.故f(x)=ex+1.…(4分) (2)题意等价于：e>ax2+x+1对于任意的x>0恒成立，取h(x)=e-x2-x-1(x>0), 注意到h(0)=0,h'(x)=e-2a-1,注意到h'(0)=0，,h"(x)=e-2a,注意到h"(x)在(0，+w)上单调 递增，且h"(0)=1-2a.…(6分) ①当a≤号时，h'(x)>h'(0)=1-2a≥20，则(y在(0，+)上单调递增，则h'()>h'(0)=0,则h(在 (0,+o)上单调递增，此时有(x)>h(0)=0成立，满足题意.…(8分) ②当a>1时，h'"(0)=1-2a<0,由于注意到h(x)在(0，+w)上单调递增，且"(n2m=e“-2a=0,故 当x∈(0，ln2a)时，h"(x)<0,h'(x)在(0，h2a)上单调递减，则h'(x)<h'(0)=0,故h(x)在(0，h2a)上单 第7页共9页·26-G3-10L 调递减，则h(x)<h(0)=0,故有当xe(0,ln2a),h(x)<0,故舍去.…(10分) 综上所述，a的取值范国为a .…(11分） 3)方法一：由(2)知：当x∈(0+D时，e-1>5x+x→号>x+1 将造=h-小子0).则中1 x2 +1+2习y+1+27>0 故国在Q网)上单词递省，故>0=0，则有h+小品，变形得 血+山>2合x<1 x+2n(+12+1 故有不等式链： 血+刃2+1<e-1 则(e-1)n(x+1)>x2 即有(f(x)-2)g(x+1)>x2…(17分) 方法=：构造利-k>0叭7--6-山_-北型 3 取x)=(x-1e+1,'(x)=xe>0,x)在(0，+0)上单调递增.故(x)>j0)=0, 故i(x)在(0，+o)上单调递增. 取-)r0-1-青0，微6)在在包L藏放4水0 x+1 则有m(+kx,则小>n(k+1》三e--1 x1n(x+1)ln(x+1) 即有当x>0时，（x-1n(x+l)>x2…(17分) 19.【详解】解：(1)由余弦的和差角公式： cos(a+B)=cosa cos B-sinasin B 1 cos(a-B)=cosa cos B+sinasin B 2 (②-①)÷2，得sinasin B= case-pj-cea+p]…e分列） 由正弦的和差角公式： sin(a+β)=sina cos B+cosasin阝① sin(a-β)=sina cos B-cosasin阝② (②+O)÷2,得sin=号[sin(a+B）+sin(a-p]…4分) 2L 第8页共9页·26-G3-10L (2)分子分母同时乘以sin乃 再用积化和差公式： 2π 4π 6π COS +c0s 7 sin 7 原式= > 2π π 4π +sincos 6π 7 707 +sin-cos 7 sin交 7 -sin 5元-si +si 3π sin 7元-sim 5π 7 1) 7 7 7 π π sin 7 2号 …(9分) 2 (3)sinV3+sin23+sim3√/3+…+sinW3 (simnn5in 2 sin 2 sinsimsin sin2sinsinsinsin 2 2 sin V3 cos /3 cos (2n-1)3 十 cos 2 2 2 2 2 2sin v3 2 cos v3 cos(co 2co 2 2 2 4 1 28in6 29m6 4sin …(13分) 2 2 4 4 构造f(x)=tanx-x,0<x< 引fe)10,则)在0写)上单钢隧培，版>0对于 cos2x 任盒的xc(0恒成立，则有5、5 …(15分) 44 则si血V5+sin25+sim35++sim5<1-25 2x3 3 …(16分) 4 故不存在正整数n使得simV5+sn25+5in3W5++nN32y …(17分) 3 第9页共9页·26-G3-10L