四川自贡市荣县中学校2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试题

2026年下期第一学月初三年级数学巩固练习 练习时间：120分钟 总分值：150分 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1．下列方程中是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 2．一元二次方程根的情况是（ ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 3．下列函数中，是二次函数的是（ ） A．（a，b，c是常数） B． C． D． 4．已知二次函数图象上三点，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 5．已知抛物线，下列结论错误的是（ ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线 C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 6．等腰三角形的每条边的长都是方程的根，则三角形的周长是（ ） A．7 B．10 C．8 D．10或8 7．在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（ ） A． B． C． D． 8．若关于的一元二次方程的两个根分别为和，则的值为（ ） A． B． C． D． 9．把一根长为的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形的一边长为，它的面积为，则y与x之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 10．如图是二次函数图象的一部分，其对称轴是，且过点，如下结论：①；②；③；④若，是抛物线上的两点，则；⑤；其中正确的结论有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 11．二次函数经过，则的值为________． 12．已知二次函数的图象开口向上，则的值是________． 13．二次函数的部分图象如图所示，当时，的取值范围是________． 14．当时，二次函数的最大值为________． 15．如图，在中，，，．点从出发沿以的速度向移动，点从出发沿以的速度向移动．若两点同时出发，则当的面积为时，运动时间________秒． 三、解答题（共9小题，共90分） 16．解方程： （1）； （2）． 17．已知（k为常数）是二次函数，且当时，y随x的增大而增大． （1）求k的值； （2）试判断点是否在该二次函数的图象上． 18．已知抛物线：，现将该函数图象向右平移2个单位，向上平移5个单位得到抛物线． （1）求抛物线的解析式． （2）当时，求抛物线的最大值和最小值． 19．某商店的一种服装，每件成本为50元．经市场调研，售价为60元时，可销售200件，售价每提高1元，销售量将减少10件．那么，该服装每件售价是多少元时，商店销售这批服装获利能达到2240元？ 20．如图，已知抛物线与x轴的一个交点为，与y轴的交点，其顶点为C，对称轴为直线． （1）求顶点C的坐标及抛物线的函数表达式； （2）求的面积． 21．已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为，，且满足，求实数m的值． 22．二次函数的图像如图所示，根据图像填空： （1）方程的两个根为________； （2）不等式的解集为________； （3）若方程只有一个交点，求k的值________； （4）若方程有两个不相等的实数根，k的取值范围为________． 23．数学活动探究 【主题】三角点阵前n行的点数计算 【素材】如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，……，第n行有n个点，……，如果要用试验的方法，由上而下地逐行相加其点数，容易发现，前n行的点数总和是，于是得到． 这就是说，三角点阵中前n行的点数总和是． 【实践探索】请你根据上述材料回答下列问题： （1）三角点阵中前n行的点数和能是55吗？如果能，求出n；如果不能，请说明道理． 【拓展探索】 （2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2，4，6，…，，…，请探究出前n行的点数总和满足的规律． （3）在（2）的条件下，这个三角点阵中前n行的点数和能是120吗？如果能，求出n；如果不能，请说明道理． 24．如图，抛物线与x轴交于点和B，与y轴交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图，若P是线段上一动点，过P作y轴的平行线交抛物线于点H，交于点N，设点P的横坐标为t，的面积为S．求S关于t的函数关系式；当t取何值时，S有最大值，求出S的最大值； （3）若M是x轴上一个动点，过M作直线交抛物线于点Q，随着M点的运动，在x轴上是否存在这样的点M，使以B，M，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $