精品解析：四川省自贡市荣县启明教育集团2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题

荣县启明教育集团初2025届数学第一次阶段性测试 满分150分 第Ⅰ卷 选择题 （共48分） 一、单选题（每小题4分，共48分） 1. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据形如得整式方程判定即可． 【详解】A. 不是一元二次方程，不符合题意； B. 不是一元二次方程，不符合题意； C. 不是一元二次方程，不符合题意； D. 是一元二次方程，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 2. 已知关于x的一元二次方程x2－2x＋a＝0有两个相等的实数根，则a的值是（ ） A. 1 B. －1 C. 4 D. －4 【答案】A 【解析】 【分析】根据根的判别式的意义得到△＝（-2）2−4•a＝0，然后解方程即可． 【详解】根据题意得△＝（-2）2−4•a＝0， 解得a＝1． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2−4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 3. 若，是关于x的一元二次方程的两根，则的值为（    ） A. 3 B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若、是一元二次方程的两根，则，．根据一元二次方程根与系数的关系计算求值即可． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两根， ∴， 故选：A． 4. 已知x=﹣1是关于x的方程2x2+ax﹣a2=0的一个根，则a为（　　） A. 1 B. ﹣2 C. 1或﹣2 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】把x=-1代入方程2x2+ax-a2=0，可得关于a的方程，解方程即可． 【详解】∵x=-1是关于x的方程2x2+ax-a2=0的一个根， ∴2×（-1）2+a×（-1）-a2=0， ∴a2+a-2=0， ∴（a+2）（a-1）=0， ∴a=-2或1． 故选：C． 【点睛】考查了方程的解的定义，解题关键是把已知的根代入方程，转化为解另一个未知数的一元二次方程． 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的情况与根的判别式的关系判断即可． 【详解】解：， ， ∴一元二次方程没有实数根， 故选：C． 6. 顶点为（-5，0），且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析出要求的函数是由向左平移5个单位得到的，根据“左加右减”的原则写出平移后的解析式． 【详解】解：函数的顶点为， 顶点为且开口方向和形状与相同的函数可以看做由平移得来的， 顶点从平移到，是向左平移了5个单位， ∴将函数向左平移5个单位，得到． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数图象的平移，解题的关键是掌握二次函数图象平移的方法． 7. 已知二次函数有下列说法：①其图象开口向下；②其图象的对称轴为直线；③其图象的顶点为；④当时，随的增大而减小；⑤当时，有最小值是1，其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数顶点式的特点是解题的关键． 根据二次函数顶点式，可得开口方向，对称轴，顶点坐标，增减性，由此即可求解． 【详解】解：已知二次函数， ∵， ∴图象开口向上，故①错误； 对称轴直线为，故②错误； 顶点坐标为，故③错误； ∴当时，有最小值是1，故⑤正确； ∵函数图象开口向上，对称轴， ∴当，随的增大而减小，故④正确； 综上所述，正确的有④⑤，共2个， 故选：B ． 8. 将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，可得抛物线解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图象“左加右减，上加下减”的平移规律进行求解． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，可得抛物线解析式为，即． 故选：C． 【点睛】此题主要考查的是二次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式． 9. 如图，平面直角坐标系中的二次函数图象所对应的函数解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图象得出顶点位置及开口方向，进而根据各选项得出答案． 【详解】解：由图象可得二次函数顶点坐标位于第三象限且开口向下则，所以： A、的顶点为，故本选项不符合题意； B、的，则图象开口向上，故本选项不符合题意； C、顶点在第三象限且，故选项符合题意； D、的顶点为在第四象限，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象，根据图象得出顶点位置及开口方向是解题关键． 10. 已知点，是抛物线上两点，若，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 以上都有可能 【答案】B 【解析】 【分析】先求得抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的增减性得到结论． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线开口向上，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而减少， ∵点，是抛物线上两点，且， ∴与的大小关系是． 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的图象和性质，掌握二次函数图象和性质是解题的关键． 11. 关于的方程有实数根，则的值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分两种情况讨论：当a-3≠0时，；当a=3时，方程是一元一次方程，显然有实数根，即可得到答案. 【详解】∵关于的方程有实数根， ∴当a-3≠0时，， 解得：且a≠3， 当a=3时，方程是一元一次方程，显然有实数根， 综上所述：. 故选D. 【点睛】本题主要考查一元二次方程的根的判别式，根据判别式，列出关于参数a的不等式，是解题的关键. 12. 如图，在一块长，宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成6个矩形小块（阴影部分），如果6个矩形小块的面积和为，那么水渠应挖多宽？若设水渠应挖xm宽，则根据题意，下面所列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】6个矩形小块通过平移可以得到一个大的矩形，求出矩形的长和宽，根据面积为即可列出方程． 【详解】解：由题意知，6个矩形小块通过平移可以得到一个大的矩形，长为，宽为， 6个矩形小块的面积和为， ． 故选A． 【点睛】本题考查根据实际问题列一元二次方程，解题的关键是用含x的代数式表示出6个矩形小块合成的大矩形的长和宽． 第Ⅱ卷 非选择题 （共102分） 二、填空题（本大题共6个小题，每题4分，共24分） 13. 方程的解为______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”进行求解． 【详解】解：由，得 或， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 14. 若是关于的一元二次方程，则的值是______________． 【答案】﹣2 【解析】 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， 解得： 故答案为 15. 已知二次函数，当______时，取得最大值. 【答案】1 【解析】 【分析】根据二次函数关于极值的性质求解． 【详解】解：，开口向下，时，取得最大值； 故答案：1． 【点睛】本题考查二次函数的解析式——顶点式；掌握二次函数的性质是解题的关键． 16. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根互为倒数，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用根与系数的关系结合方程的两个实数根互为倒数，可求出的值，再将其代入原方程，取使得原方程根的判别式的值即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根互为倒数， ， ． 当时，原方程为， ∴，不符合题意， ∴舍去； 当时，原方程为， ，符合题意． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，牢记两根之积等于是解题的关键． 17. 已知是二次函数且当时y随的增大而增大，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，解一元二次方程，二次函数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据题意可得，求出，再根据的性质进行取舍即可． 【详解】解：∵是二次函数， ∴， 解得：或， ∵当时y随的增大而增大， ∴，则， ∴， 故答案为：． 18. 为了解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为，解得， 当时，，∴，∴； 当时，，∴，∴； 故原方程的解为． 以上方法叫换元法，利用换元法可以达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．请仿照上述方法求出方程的解为_______________________． 【答案】，，． 【解析】 【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程方程，熟练掌握换元法解一元二次方程是关键． 设，把方程转为，求出，再代入，求出的值． 【详解】解：， ， 设，原方程可化为：， 解得：，， 当时，， ，， 当时，， ， 原方程解为：，，． 三．解答题（共8个小题，共78分） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法可得； （2）利用直接开方法求解可得． 【小问1详解】 解：， ， 或， 解得：； 【小问2详解】 解： 或 解得：，． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 20. 已知是一元二次方程的两个根，求的值 ． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，求代数式的值，一元二次方程解的定义．解题的关键是熟练掌握一元二次方程两根、之间的关系：，． 由于、是一元二次方程的两个根，根据根与系数的关系可得，而是方程的一个根，可得，即，那么，再把、的值整体代入计算即可． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根， ∴， ∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 21. 等腰三角形的边长是方程的两根，求它的周长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程与几何综合，涉及一元二次方程的解法、等腰三角形性质、三角形三边关系等知识，先根据公式法解出一元二次方程的两个根，再由等腰三角形性质分类讨论求解即可得到答案，熟记一元二次方程的解法、等腰三角形性质是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ，即，； 等腰三角形的边长是方程的两根， 分三种情况讨论如下： ①当为腰长、为底边长时，由于，由构成三角形的三边满足的关系可知，当为腰长、为底边长时，不能构成三角形，此种情况不存在； ②当为腰长、为底边长时，等腰三角形的周长为． 22. 关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1,x2． （1）求m的取值范围． （2）若2（x1+x2）+ x1x2+10=0．求m的值. 【答案】（1）m≤．　 （2）m=-3. 【解析】 【分析】（1）方程有两个实数根，必须满足△=b2﹣4ac≥0，从而求出实数m的取值范围； （2）先由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=3，x1x2=m-1．再代入等式2（x1+x2）+ x1x2+10=0，即可求得m的值． 【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1,x2．∴　　⊿≥0． 　　即　32-4（m-1）≥0，解得,m≤．　 （2）由已知可得　x1+x2=3　　 x1x2=m-1 　 又2（x1+x2）+ x1x2+10=0 ∴2×（-3）+m-1+10=0　　∴m=-3 23. 已知y＝是二次函数，且当x＜0时，y随x的增大而增大． （1）则k的值为 　 　；对称轴为 　 　． （2）若点A的坐标为（1，m），则该图象上点A的对称点的坐标为 　　． （3）请画出该函数图象，并根据图象写出当﹣2≤x＜4时，y的范围为 　 　． 【答案】（1）-3，y轴；（2）（﹣1，m），（3）﹣16＜y≤0 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的性质（未知数的最高次数为2）且当x＜0时，y随x的增大而增大列出相应的方程组，求解可得k值，代入二次函数确定解析式，即可确定其对称轴； （2）根据坐标系中轴对称的性质：关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数即可得； （3）当时，，当x＝4时，，结合函数图象可得：当x＝0时，y取得最大值即可得出解集． 【详解】解：（1）由是二次函数，且当x＜0时，y随x的增大而增大，得 ， 解得：， ∴二次函数的解析式为， ∴对称轴为y轴， 故答案为：-3，y轴； （2）∵点A（1，m）， ∴点A关于y轴对称点的坐标为（﹣1，m）， 故答案为：（﹣1，m）， 故答案为：（﹣1，m）； （3）如图所示： 当时，， 当x＝4时，， 根据函数图象可得当x＝0时，y取得最大值，当x＝0时，， ∴当时，； 故答案为：． 【点睛】题目主要考查二次函数得定义和性质、轴对称的性质，理解题意，熟练掌握定义和性质是解题关键 24. 如图，直线与抛线交于两点（点在点的左侧）． （1）求两点的坐标； （2）记抛物线的顶点为，求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握坐标系内求三角形面积的方法． （1）令，求出点B，C的横坐标，再将横坐标代入直线解析式求解； （2）作轴交于点D，由求解． 小问1详解】 解：令， 解得：，， 将分别代入得，， ∴点B坐标为，点C坐标为． 【小问2详解】 解：作轴交于点D，如图所示： ∵， ∴抛物线顶点A坐标为， 将代入得， ∴点D坐标为，， ∴ ． 25. 威宁火腿是贵州的传统特产，距今已有600多年的历史，早就闻名海内外．某火腿经销商统计了某款威宁火腿4月份到6月份的销售量，该款火腿4月份销售量为，6月份销售量为，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该款火腿销售量的月增长率； （2）若该款火腿的进价为120元，经在市场中测算，当售价为160元时，月销售量为，若在此基础上售价每上涨0.5元，则月销售量将减少，为使月销售利润达到9800元，则该款火腿的实际售价应定为多少？（利润=售价-进价） 【答案】（1） （2）应定价为每千克190元 【解析】 【分析】（1）设该款火腿销售量的月增长率为x，根据该款火腿4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）该款火腿的实际售价为y元，根据月销售利润=每千克火腿的利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出结论． 【小问1详解】 设该款火腿销售量的月增长率为x， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该款火腿销售量的月增长率为． 【小问2详解】 设该款火腿的实际售价为y元， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：， 答：该款火腿的实际售价应定为190元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 26. 我们已学完全平方公式：，观察下列式子： ， ，，原式有最小值是-2； ， ，，原式有最大值是-2； 并完成下列问题： （1）求代数式的最值； （2）解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为100米的木栏围成一个长方形花圃，为了设计一个尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为米，完成下列任务． ①用含的式子表示花圃的面积； ②请说明当取何值时，花圃的最大面积是多少平方米? 【答案】（1）代数式的最小值是；（2）①花圃的面积为平方米；②当米时，花圃的最大面积为1250平方米． 【解析】 【分析】（1）将代数式配方可求解； （2）①利用长方形的面积=长×宽可得结论； ②利用配方法即可解决问题． 【详解】（1）=， ∴原式有最小值是； （2）①根据题意，花圃的面积为：平方米； ②由①可知：， 当米时，花圃的最大面积为1250平方米． 【点睛】本题考查了非负数的性质、配方法的应用，解题的关键是熟练掌握配方法，利用配方法可以确定最值问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 荣县启明教育集团初2025届数学第一次阶段性测试 满分150分 第Ⅰ卷 选择题 （共48分） 一、单选题（每小题4分，共48分） 1. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知关于x的一元二次方程x2－2x＋a＝0有两个相等的实数根，则a的值是（ ） A. 1 B. －1 C. 4 D. －4 3. 若，是关于x的一元二次方程的两根，则的值为（    ） A. 3 B. C. 5 D. 4. 已知x=﹣1是关于x方程2x2+ax﹣a2=0的一个根，则a为（　　） A 1 B. ﹣2 C. 1或﹣2 D. 2 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 6. 顶点为（-5，0），且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线是（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数有下列说法：①其图象开口向下；②其图象的对称轴为直线；③其图象的顶点为；④当时，随的增大而减小；⑤当时，有最小值是1，其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，可得抛物线解析式为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，平面直角坐标系中的二次函数图象所对应的函数解析式可能为（ ） A. B. C D. 10. 已知点，是抛物线上两点，若，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 以上都有可能 11. 关于的方程有实数根，则的值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 12. 如图，在一块长，宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成6个矩形小块（阴影部分），如果6个矩形小块的面积和为，那么水渠应挖多宽？若设水渠应挖xm宽，则根据题意，下面所列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题 （共102分） 二、填空题（本大题共6个小题，每题4分，共24分） 13. 方程的解为______________． 14. 若是关于的一元二次方程，则的值是______________． 15. 已知二次函数，当______时，取得最大值. 16. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根互为倒数，则________． 17. 已知是二次函数且当时y随的增大而增大，则的值为_________． 18. 为了解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为，解得， 当时，，∴，∴； 当时，，∴，∴； 故原方程解为． 以上方法叫换元法，利用换元法可以达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．请仿照上述方法求出方程的解为_______________________． 三．解答题（共8个小题，共78分） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 20. 已知是一元二次方程两个根，求的值 ． 21. 等腰三角形的边长是方程的两根，求它的周长． 22. 关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1,x2． （1）求m的取值范围． （2）若2（x1+x2）+ x1x2+10=0．求m的值. 23. 已知y＝是二次函数，且当x＜0时，y随x的增大而增大． （1）则k的值为 　 　；对称轴为 　 　． （2）若点A的坐标为（1，m），则该图象上点A的对称点的坐标为 　　． （3）请画出该函数图象，并根据图象写出当﹣2≤x＜4时，y的范围为 　 　． 24. 如图，直线与抛线交于两点（点在点的左侧）． （1）求两点的坐标； （2）记抛物线的顶点为，求的面积． 25. 威宁火腿是贵州的传统特产，距今已有600多年的历史，早就闻名海内外．某火腿经销商统计了某款威宁火腿4月份到6月份的销售量，该款火腿4月份销售量为，6月份销售量为，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该款火腿销售量的月增长率； （2）若该款火腿的进价为120元，经在市场中测算，当售价为160元时，月销售量为，若在此基础上售价每上涨0.5元，则月销售量将减少，为使月销售利润达到9800元，则该款火腿的实际售价应定为多少？（利润=售价-进价） 26. 我们已学完全平方公式：，观察下列式子： ， ，，原式有最小值是-2； ， ，，原式有最大值是-2； 并完成下列问题： （1）求代数式的最值； （2）解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为100米的木栏围成一个长方形花圃，为了设计一个尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为米，完成下列任务． ①用含的式子表示花圃的面积； ②请说明当取何值时，花圃的最大面积是多少平方米? 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$