26.4 解直角三角形的应用 课件 2026-2027学年冀教版数学九年级上册

26.4 解直角三角形的应用 第二十六章 解直角三角形 侵权必究 名校课堂 学习目标 1.能正确理解方位角、仰角和坡角的概念.（重点） 2.能够解决与仰角、俯角有关的实际问题. (重点、难点) 3.能够解决与方位角有关的实际问题.（重点、难点） 4.能够解决与坡度、坡角有关的实际问题.（重点、难点） 侵权必究 名校课堂 新课导入 我们已经知道轮船在海中航行时，可以用方位角准确描述它的航行方向. 那你知道如何结合方位角等数据进行计算，帮助轮船在航行中远离危险吗？ 侵权必究 名校课堂 3 1 如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线上方的夹角叫作仰角；从上往下看，视线与水平线下方的夹角叫作俯角. 讲授新课 与仰角、俯角有关的实际问题 侵权必究 名校课堂 4 例1 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）. A B C D α β 仰角 水平线 俯角 典例精析 【分析】我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在Rt△ABD中，α=30°β=60°. AD＝120，所以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC． 侵权必究 名校课堂 解：如图，a = 30°,β= 60°， AD＝120． 答：这栋楼高约为277.1m. A B C D α β 侵权必究 名校课堂 1.观光塔是潍坊市区的标志性建筑，为测量其高度，如图，一人先在附近一楼房的底端A处观测观光塔顶端C处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B处观测观光塔底部D处的俯角是30°.已知楼房高AB约是45 m，根据以上观测数据可求观光塔的高CD是________m. 135 练一练 侵权必究 名校课堂 2.如图，直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上方P点处，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为37°和45 °，求飞机的高度 .（结果取整数. 参考数据：sin37°≈0.8，cos37 °≈0.6，tan 37°≈0.75） 解：作PO⊥AB交AB的延长线于O. 设PO=x米，在Rt△POB中，∵∠PBO=45°， 在Rt△POA中，∵∠PAB=37°， ∴OB=PO= x米. 解得x=1200. 故飞机的高度为1200米. A B 37° 45° 400米 P O ┌ 侵权必究 名校课堂 方向角：指北或指南方向线(或者指东或指西方向线)与目标方向所成的小于90°的角叫作方向角．如图中的目标方向线OA，OB，OC分别表示北偏东60°，南偏东30°，北偏西70°.特别地，像目标方向线OD表示南偏西45°通常称目标方向线OD为西南方向．同理还有东北方向、西北方向、东南方向． 2 与方向角有关的实际问题 讲授新课 侵权必究 名校课堂 如图，一艘渔船以20 海里/时 的速度向东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，继续航行 1 h 到达B处，再测得灯塔C在北偏东30°方向上.已知灯塔C四周 10 海里内有暗礁，问这船继续向东航行，是否安全？ 例2 典例精析 【分析】这船继续向东航行是否安全，取决于灯塔C到AB航线的距离是否大于 10 海里. 侵权必究 名校课堂 10 解： 过点C作CD⊥AB于点D，设CD=x 海里. 在Rt△ACD中，AD= . 在Rt△BCD中，BD= . 由AB=AD-BD,得 即 解方程，得 答：这船继续向东航行是安全的. D ┌ 侵权必究 名校课堂 1.如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前 进40 n mile到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海岛C到 航线AB的距离CD是(　　) A．20 n mile B．40 n mile C．20 n mile D．40 n mile C 练一练 侵权必究 名校课堂 2.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（精确到0.01 n mile）？ 65° 34° P B C A 解：如图 ，在Rt△APC中， PC=PA·cos（90°－65°）=80×cos25°≈72.505. 在Rt△BPC中，∠B=34°， 因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130n mile． 侵权必究 名校课堂 如图所示，坡面的铅垂高度 (h) 和水平长度 (l) 的比 叫作坡面的坡度 (或坡比)，坡面与水平面的夹角α叫作坡角.显然， . α l h h : l 坡面 水平面 3 讲授新课 与坡角、坡度有关的实际问题 侵权必究 名校课堂 如图，铁路路基的横断面为四边形ABCD.其中，BC∥AD，∠A=∠D.根据图中标出的数据计算路基下底的宽和坡角.（结果精确到1′） 例3 典例精析 A D B C 4m 10m 1:1.25 解：如图，作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E，F. 在四边形BEFC中，∵BC∥AD，∠AEB=∠DFC=90°， ∴四边形BEFC为矩形. ∴BC=EF，BE=CF. E ┌ F ┌ 侵权必究 名校课堂 在Rt△ABE和Rt△DCF中， ∵∠A=∠D，∠AEB=∠DFC，BE=CF， ∴AE=DF. 在Rt△ABE中， BE=4， ∴ α ≈38°39′，AE=5. ∴AD=AE+EF+FD=BC+2AE=10+2×5=20（cm）. 即路基下底的宽为20m，坡角为38°39′. A D B C 4m 10m 1:1.25 E ┌ F ┌ 侵权必究 名校课堂 如图，一山坡的坡度为1:2.小刚从山脚A出发， 沿山坡向上走了240m到达点C.这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米（角度精确到0.01°，长度精确到0.1m）？ 1:2 练一练 在Rt△ABC中， 解： 由题意可得 ∴ ∠A≈26.57°. 答：这座山坡的坡角约为26.57°，小刚上升了约107.3 m． ∴BC=240×sin26.57°≈107.3（m）． ∵∠A=26.57°，AC=240m， 侵权必究 名校课堂 2、如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的 A处．如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置，则海轮航行 的距离AB是(　　) C 当堂练习 A．2海里 B．2sin 55°海里 C．2cos 55°海里 D．2tan 55°海里 1、已知一坡面的坡度i=1∶ ，则坡角α为( ) A.15° B.20° C.30° D.45° C 侵权必究 名校课堂 3、拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是1∶ ，坝高BC＝10 m， 则坡面AB的长度是(　　) A．15 m　 B．20m　 C．10m　 D．20 m 4、如图，在高出海平面100 m的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B， 并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC为(　　) A． m　 B．50m　 C． m　 D．100 m D D 侵权必究 名校课堂 5、如图，某建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距38 m的D处观测旗杆 顶部A的仰角为50°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则旗杆的高度 约为________m．(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.19) 7 侵权必究 名校课堂 6、如图，一艘渔船位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A处， 它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东55°方向上的B 处，此时渔船与灯塔P的距离约为________海里．(结果取整数，参考数 据：sin 55°≈0.8，cos 55°≈0.6，tan 55°≈1.4) 11 侵权必究 名校课堂 7.如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏 东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东 60°的方向，求该船航行的距离（即AB的长）. 解：如图，过点A作AD⊥OB于D． 在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4km， ∴AD= OA=2km． 在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°， ∴∠B=∠CAB－∠AOB=75°－30°=45°. ∴BD=AD=2km. ∴AB= AD= km． 即该船航行的距离为 km． D ┌ 侵权必究 名校课堂 8、如图，某拦河坝截面的原设计方案为：AH∥BC，坡角∠ABC＝74°， 坝顶到坝脚的距离AB＝6 m．为了提高拦河坝的安全性，现将坡角改为 55°，由此，点A需向右平移至点D，请你计算AD的长(精确到0.1 m)． 侵权必究 名校课堂 侵权必究 名校课堂 课堂小结 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三 角形的问题）； （2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案． 侵权必究 名校课堂 解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F. 在Rt△ABE中，sin∠ABE＝eq \f(AE,AB)， ∴AE＝ABsin∠ABE＝6sin74°≈5.77. cos∠ABE＝eq \f(BE,AB)， ∴BE＝ABcos∠ABE＝6cos74°≈1.65. ∵AH∥BC，∴DF＝AE≈5.77. 在Rt△BDF中，tan∠DBF＝eq \f(DF,BF)， ∴BF＝eq \f(DF,tan∠DBF)≈eq \f(5.77,tan55°)≈4.04. ∴AD＝EF＝BF－BE≈4.04－1.65≈2.4(m)． $