4.2 角（第3课时 尺规作图—作一个角等于已知角）（教学设计）数学新教材北师大版七年级上册

4.2 角第3课时 尺规作图—作一个角等于已知角教学设计 课题 尺规作图---作一个角等于已知角 单元 第四章基本平面图形 学科 初中数学 （北师大版） 年级 七年级上 学习目标 1、通过多种方法对比研究，理解角的大小由两边张开程度决定，形成 “用作图法研究图形关系” 的意识。 2、能独立用尺规作一个角等于已知角，以及作一个角等于已知角的 2 倍。 3、掌握用工具（三角尺、量角器、圆规）和尺规作图的方法，实现角的移动与大小比较。 教材 分析 本节课选自北师大版七年级上册第四章 “基本平面图形” 第 2 节 “角” 的第 3 课时，是初中几何尺规作图的基础内容。本节课在学生对角的概念、角的比较、角平分线等知识已有初步认识的基础上，学习仅用无刻度的直尺和圆规作出与已知角相等的角。该内容属于基础几何作图技能，为后续学习角的和、差、倍角作图以及复杂几何作图奠定基础。 教材逻辑主线：从 “角的大小由两边张开程度决定” 这一本质出发，引导学生思考角的 “移动”；先借助三角尺、量角器实现角的复制与比较，再过渡到尺规作图。作图操作概括为 “两线三弧”，本节课体现几何严谨性，实现角的叠合比较，为后续几何推理提供工具支撑。本节内容工具性较强，作图规范直接影响后续几何内容学习。 学情 分析 学生在之前学习中已经掌握角的概念、角的表示、角的度量与比较（叠合法、度量法），熟悉角平分线定义与数量关系，已经接触过 “作一条线段等于已知线段” 的尺规作图，具备基础动手操作经验。本节学生面临的主要障碍： 1、原理理解的困难：混淆度量器量角与尺规截取等长弧段，难以理解三次画弧确定角的原理。 2、操作规范性的困难：作图时圆心、半径选取出错，点的命名混乱，作图书面语言表述不规范。 3、思维转变障碍：习惯用量角器度量画图，难以建立尺规不依赖度量，依靠几何等量关系完成构造的思维。 教学策略：创设具体情境制造认知冲突，通过 “问题链 + 追问” 推动学生主动建构知识，示范板演操作，利用口诀辅助记忆，搭配辨析训练突破易错点。 教学 重点 掌握用尺规作一个角等于已知角的步骤与作图方法，理解其作图原理；并能利用该方法作角的和、差、倍角。 教学 难点 理解尺规作一个角等于已知角的作图原理（用弧的交点确定射线的位置），并能将其推广应用于角的和、差、倍角的作图及角的叠合比较中。 教学 准备 多媒体课件（PPT）、直尺、圆规 教学过程 教学 环节 教师活动 学生活动 新课 引入 【情境导入 激发思考】 教师呈现实际情境问题：工人师傅要按图纸在一个工件上以射线为一边作一个角，使它等于图纸上的。身旁没有量角器，仅有一把没有刻度的直尺和圆规，如何准确作出这个角？ 教师引导点拨：角的大小由两边张开程度决定，与边的长短无关，由此引出本节课课题，出示课时学习目标。 【复习回顾，知识衔接】 教师出示复习填空： 1. 若平分，则；。 2. 角的比较方法：直接观察法、量度法、叠合法。 3. 角平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。 教师追问：已知，，能否借助尺规，利用叠合法比较两角大小？只用尺规如何实现角的移动？ 设计意图：借助生产生活情境引出作图需求，复习旧知搭建认知台阶，抛出核心问题，完成新课认知铺垫。 1、独立思考情境问题，小组交流讨论，聆听教师点拨，明确本节课学习任务； 2、完成复习填空，口头作答； 3、思考教师追问，回顾叠合法操作要点，感知尺规移动角的难点。 新知 探究 探究一：角的大小与角的移动 【活动一：直观感知 —— 如何复制一个角】 教师依次抛出思考问题： 问题一：作一个角等于已知角，角的大小由什么决定？ 问题二：如果要把移动，使与重合，该如何操作？ 教师组织学生先用三角尺、量角器尝试复制角，再尝试仅使用无刻度直尺、圆规操作。 思考 1：尺规作图如何实现一条射线重合？ 答：可以通过作一条线段等于已知线段，确定点的位置。 思考 2：怎样确定角的第二条射线的位置？ 答：两点确定一条直线；角的端点已经确定，如果能再找到一点 ，连接 即可。 思考 3：怎样确定新角关键点的位置？ 答：在图（1）中，用圆规以点 为圆心画弧，与 两边分别交于 、 两点，则 、 两点的距离是确定的。把这段距离转移到新图形中，就可以确定 的位置。 教师点拨：以原角顶点画弧得到两个交点，两点间距离确定角张开程度，把这段距离等量转移，即可确定新角关键点。 设计意图：对比工具作图与尺规作图，让学生体会尺规依靠等长关系完成图形复制，为核心作图做好铺垫。 1、独立思考问题，小组内交流讨论； 2、动手操作，分别用量角器、三角尺复制角，再尝试尺规操作； 3、跟随问题逐步分析，理解 “转移交点距离，复制角张开程度” 的核心思想。 新知 探究 【活动二：探究 —— 尺规作一个角等于已知角】 教师布置任务：已知，用尺规作，使。 教师分步板演完整作图步骤： 1. 作射线。 2. 以点为圆心，以任意长为半径作弧，交于点，交于点。 3. 以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点。 4. 以点为圆心，以的长为半径作弧，交前面的弧于点。 5. 过点作射线。 则就是所求作的角。 师生共同归纳口诀：两线三弧；先作一条射线，完成三次画弧；前两次弧半径保持相同，第三次弧半径取原角交点距离。 即时追问：作图中 “任意长为半径” 有什么要求？第三次画弧为什么半径必须取？ 设计意图：分步示范规范操作，口诀简化记忆，追问推动学生理解作图内在原理。 1、观察教师板演作图，记录本完整作图步骤； 2、使用圆规、直尺独立完成作图； 3、熟记 “两线三弧”，小组交流每一步操作的目的； 4、同桌互相检查作图痕迹，核对圆心、半径选取是否正确。 新知 探究 【活动三：拓展探究 —— 尺规作角的比较、和、差、倍角】 1. 尺规叠合法比较两个角大小： 解：用尺规作一个角等于 ，使它的顶点与 重合，一边与 重合，另一边的对应点为点 。如图，由图可知，点 在 的内部，所以： 2. 作角的和：已知，，作。 解：先作射线 ，以 为顶点作 ；再以 为一边，在 的外部作 。则 即为所求作的角。 3. 作角的差：已知，作。 解：先作 ；再以 为一边，在 的内部作 。则 。如图所示， 就是所求作的角。 设计意图：基于基础作图进行变式拓展，体会基本作图的组合应用，训练迁移能力。 1、跟随教师讲解，理解尺规叠合法比较角大小的操作； 2、在草稿纸上分步完成角的和、差、倍角作图； 3、区分角的 “内部作图” 和 “外部作图” 的不同效果； 4、作图保留全部弧与交点痕迹。 典例 精讲 【活动四：典例精讲】 例 1：下列尺规作图的语句错误的是（ ） A. 作 ，使 B. 以点 为圆心作弧 C. 以点 为圆心，线段 的长为半径作弧 D. 作 ，使 【答案】B 提示：尺规作图中，作弧必须明确圆心和半径，缺一不可。选项 B 缺少半径，不能确定弧的大小。 例2：画一个钝角 ，然后以 为顶点，以 为一边，在角的内部画一条射线 ，使 ，正确的图形是（ ） 【答案】D提示： 必须在 的内部，且 为公共边， 与 的夹角为 。对照选项图形，满足条件的是 D。 例3. 作倍角 利用尺规作 ，使 。 解：法一：先作一个角等于 ，再以所作角的一边为边，在该角的外侧再作一个等于 的角，两角合并，所得角即为 。 法二：在一条射线上连续用尺规作两次等角，使两次所作的角相邻，则所得角为 。 教师补充尺规作图书写要点：画弧写明圆心与半径；标注射线是在角内部还是外部；最后指明哪个图形为所求。 1、独立审题思考，举手作答； 2、做好课堂笔记，标注作图语言易错点； 3、辨析错误选项，口头说明错误原因。 课堂 练习 【题型 1：作图语言辨析】 1. 点在的边上，用尺规作出了，在作图痕迹中，弧是（ ） A. 以点为圆心，为半径的弧 B. 以点为圆心，为半径的弧 C. 以点为圆心，为半径的弧 D. 以点为圆心，为半径的弧 【答案】 【题型 2：补全尺规作等角的步骤】 2. 求作一个角等于已知角，补全作法。 解：（1）作射线； （2）以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点； （3）以点为圆心，（或）的长为半径画弧，交于点； （4）以点为圆心，的长为半径画弧，交前面的弧于点； （5）过点作射线。则就是所求作的角。 【题型 3：结合作图痕迹角度计算】 3. 如图，，，根据图中尺规作图的痕迹，可知的度数为 。 【答案】提示：由尺规作图痕迹可知， 等于 与 的差，所以： 【题型 4：作图逻辑判断】 4. 已知。①以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点；②以点为圆心，的长为半径画弧，交已画的弧于点；③作射线。下列角的数量关系不正确的是（ ） A.　B.　C.　D. 【答案】提示：由作图过程可知 ，所以 ，故 B 不正确。 【题型 5：综合作图】 5. 已知，，求作一个角，使它等于。（不写作法，保留作图痕迹） 解：可以先作出 ，再在它的内部截去 ，则剩下的角即为所求。如图， 就是所求的角。 1、独立完成选择题，口头阐述选择理由； 2、独立补全作图步骤，同桌互相核对； 3、结合作图痕迹完成角度计算； 4、第 5 题动手完成作图，保留全部作图痕迹； 5、错题整理：将圆心半径选错、混淆角内部外部等易错点整理到错题本。 课堂 小结 教师引导学生回顾，构建本节知识框架： 一、角的大小本质：角的大小只由两边张开程度决定，与边的长短无关。 二、角大小比较三种方法：直接观察法、量度法、叠合法（可借助尺规实现角的移动叠合）。 三、尺规作一个角等于已知角 口诀：两线三弧；五步操作；注意：作弧必须写明圆心、半径。 四、拓展作图 作角的和：外部叠加；作角的差：内部截取；作倍角：两次叠加等角。 教师强调：尺规作图不依靠度量角度，依靠截取相等线段实现图形复制，重视操作与语言的严谨规范。 1、跟随教师引导，自主口头梳理本节课知识点，分模块复述； 2、独立绘制简易思维导图，梳理概念、作图步骤； 3、主动举手分享本节课易错点。 作业 布置 1、课本随堂练习：作一个角等于已知角、作已知角的 2 倍，保留作图痕迹，书写完整作法。 2、变式作业：已知、（），利用尺规作出，，思考三次画弧与交点的关系。 3、探究作业：利用尺规比较与的大小，尝试作，简要记录作图依据。 板书 设计 4.2 角 第 3 课时 尺规作图 —— 作一个角等于已知角 一、角的大小：只由两边张开程度决定 二、角的比较：直接观察法、量度法、叠合法 三、尺规作一个角等于已知角四、拓展作图 倍角：；角的和；角的差 五、思想方法：数形结合、类比思想 3/7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $