专题11多边形和圆的初步认识知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版七年级数学上册

专题11多边形和圆的初步认识知题通关讲义 知识点 01 多边形定义与判定 1. 定义 由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形叫做多边形。 2. 判定三大条件（缺一不可） ① 全部由线段围成（不能含曲线）； ② 线段不在同一直线，首尾顺次相接； ③ 图形必须封闭，有内部、外部区分。 3. 命名规则 按边数命名：几条边就叫几边形。 例：3 条边→三角形；4 条边→四边形；5 条边→五边形；n 条边→n 边形（n3，且n为正整数）。 知识点 02 多边形的组成要素（顶点、边、内角、对角线） 知识点03:多边形对角线相关公式（高频计算考点） 设多边形边数为 n(n3)，n为整数） 1.从一个顶点出发的对角线条数 公式：n-3 推导：自身顶点 + 左右相邻 2 个顶点不能连对角线，剩余可连顶点数 n-3。 2.被对角线分割成的三角形个数 公式：n-2 3.n边形总对角线条数 公式： 推导：每个顶点可连n-3条，n个顶点共n(n-3)条；每条对角线被两个顶点重复计算，因此除以 2。 知识点 04正多边形 1. 定义 各边长度完全相等，各个内角大小完全相等的多边形叫做正多边形。 2. 两大必备条件（必须同时满足） ① 各边相等； ② 各内角相等。 ⚠️易错提醒：只边长相等≠正多边形（例：菱形四边相等，但内角不等，不是正四边形）；只内角相等≠正多边形（长方形四角相等，边长不等，不是正四边形）。 3.常见正多边形对应名称 正三角形（等边三角形）、正四边形（正方形）、正五边形、正六边形…… 正n边形。 知识点 05 多边形分类（凸多边形 / 凹多边形） 凸多边形：画出多边形任意一条边所在直线，整个多边形都在这条直线的同一侧。 特征：所有内角都小于180 ，课本只研究凸多边形。 凹多边形：存在至少一条边，直线两侧都有图形；存在大于180的内角（凹角），本章不深入考察。 知识点 06：圆的两种定义（核心基础，填空选择必考）. 1. 动态定义（操作理解，画图用） 在同一平面内，一条线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点运动所形成的封闭曲线叫做圆。 固定端点：圆心，用大写字母O表示； 线段定长：半径，用字母r表示； 关键限制：必须强调同一平面；空间旋转形成球面，不是平面圆。 2. 静态（集合）定义（考试核心考点） 平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合叫做圆。 定点：圆心O；定长：半径r； 几何记作：以O为圆心的圆，写作⊙ O； 核心区分易错： ⊙ O仅指圆周（外围曲线），不含内部； 圆面 = 圆周 + 圆内部所有区域；做题看清题干描述是 “圆” 还是 “圆面”。 知识点 07：圆相关基础概念（背诵专用，区分易混概念） . 关键区分要点 1.弦是线段，弧是曲线，二者不能等同； 2.直径一定是弦，但弦不一定是直径； 3.半圆既不是优弧，也不是劣弧； 4.表示优弧必须写三个字母，防止和劣弧混淆。 ① 误将含曲线/未封闭图形判定为多边形 提醒：多边形定义：由不在同一直线上的线段，首尾顺次相接围成的封闭平面图形。有曲线、不封闭、线段交叉，都不属于多边形。 ② 混淆从一个顶点引出的对角线与对角线总条数 提醒：从n边形一个顶点可引(n-3)条对角线；n边形对角线总条数：，两个公式不可混用。 ③ 误以为n边形的顶点、边、内角数量不相等 提醒：n边形一定有 n 个顶点、n 条边、n 个内角，三者数量相同。 ④ 仅依据各边相等，就判定是正多边形 提醒：正多边形必须同时满足各边相等、各内角相等；只有边长相等不一定是正多边形，例如菱形。 ⑤ 仅依据各内角相等，就判定是正多边形 提醒：只有内角相等不一定是正多边形，例如矩形；需要边、角全部相等才是正多边形。 ⑥ 混淆弧与弦的概念 提醒：弧是圆上两点间的曲线部分；弦是连接圆上两点的线段，二者不能等同。 ⑦ 误认为半圆就是直径 提醒：半圆属于弧（曲线）；直径是过圆心的线段；半圆不包含直径这条线段。 ⑧ 混淆扇形与弓形的构成 提醒：扇形：一条弧 + 经过弧端点的两条半径围成；弓形：一条弧 + 这条弧对应的弦围成。 ⑨ 误把顶点不在圆心的角当成圆心角 提醒：圆心角必须同时满足：顶点在圆心，两边为圆的半径，顶点在圆上或圆内其余位置，不是圆心角。 ⑩ 认为一个圆只能分成固定数量的扇形 提醒：两条半径可确定一个扇形；同一个圆可以分割出无数个大小不等的扇形，不存在固定份数。 ⑪ 忽略前提，直接说半径等于直径的一半 提醒：只有在同圆或等圆中，半径长才是直径长的，不同圆不成立。 题型 考察方向 难度 题型一 多边形的概念与分类 ★ 题型二 正多边形概念辨析 ★ 题型三 多边形截角后的边数问题 ★★ 题型四 多边形的周长 ★ 题型五 网格中多边形面积比较 ★★ 题型六 多边形对角线的条数问题 ★★ 题型七 对角线分成的三角形个数问题 ★★ 题型八 圆的基本概念辨析 ★ 题型九 圆的周长和面积问题 ★★ 题型十 圆心角概念辨析及简单运算 ★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 多边形的概念与分类 1．如图，在多边形中，___________是多边形的边；___________是多边形的顶点；___________是多边形的对角线；___________是多边形的内角． 【答案】 ，，，， 点 ，，，， 【分析】本题考查了多边形．根据多边形的定义解答即可． 【详解】解：在多边形中，，，，，是多边形的边； 点是多边形的顶点； 是多边形的对角线； ，，，，是多边形的内角． 故答案为：，，，，；点；； ，，，，． 2．在如图所示的图形中，是多边形的有_______；是凸多边形的有_______． 【答案】 ①⑤⑥ ①⑥/⑥① 【分析】本题考查了多边形的定义，正确理解概念是解题的关键． 根据多边形的定义进行判断即可． 【详解】解：在如图所示的图形中，是多边形的有①⑤⑥；是凸多边形的有①⑥． 故答案为：①⑤⑥；①⑥． 3．如图，凸四边形，有两种剖分方法：（如图示）世纪，数学家乌尔班发现并证明了下面的公式：（表示凸边形的三角剖分数），请你用上面的公式计算______． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的概念，代数式求值，由题意得，，求出，然后再通过即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得：，， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 题型二 正多边形概念辨析 4．下列图形中，一定是正多边形的是（   ） A．三角形 B．四边形 C．平行四边形 D．正方形 【答案】D 【分析】正多边形需所有边相等且所有角相等. 三角形、四边形、平行四边形不一定满足条件，而正方形一定满足． 本题考查了正多边形的定义，熟练掌握正多边形的定义是解题的关键． 【详解】解： 正多边形定义：各边相等，各角相等． A.、三角形不一定各边相等（如不等边三角形），不一定是正多边形，不符合题意． B、四边形不一定各边相等或各角相等（如梯形）， 不一定是正多边形，不符合题意． C、平行四边形对边相等，但邻边不一定相等，角不一定相等，不一定是正多边形，不符合题意． D、正方形所有边相等，所有角均为90°， 一定是正多边形，符合题意． 故选：D． 5．用一张长方形纸片，把一个正多边形按如图所示摆放，则正多边形纸片的边数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的概念，将正多边形补齐即可解答，熟知正多边形的概念是解题的关键． 【详解】解：根据正多边形的意义将图形补充完整如图． ， 由图形可得这个正多边形是八边形． 故选：D． 6．如图，正十二边形的面积是2022，那么图中阴影部分的面积是（    ）． A．504 B．568 C．612 D．674 【答案】D 【分析】根据图，将阴影部分等积变形，推出阴影部分和正十二边形的关系，计算得到结论即可． 本题考查了面积与等积变换，正确地识别图形是解题的关键． 【详解】解：如图，正十二边形是有12个正三角形和6个四边形组成的， 设正三角形的面积为a，四边形的面积为b， 而阴影部分是有4个正三角形和2个四边形组成的，恰好是正十二边形的， 图中阴影部分的面积是， 故选：D． 题型三 多边形截角后的边数问题 7．把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状不可能是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【分析】本题考查了多边形．把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状可能是三角形或四边形或五边形． 【详解】解：把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状可能是三角形或四边形或五边形，不可能是六边形． 故选：D． 8．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为______． 【答案】4、5或6 【分析】本题考查截一个多边形，一个多边形截去一个角后，边数可能增加一条、不变或减少一条；当新多边形为五边形时，原多边形边数可能为4、5或6，不可能为3． 【详解】解：设原多边形边数为n；截去一个角后，边数变化有三种情况：①边数增加一条，则新边数为；②边数不变，则新边数为n；③边数减少一条，则新边数为； 已知新多边形为五边形，即新边数为5； 因此，，解得；或；或，解得； 所以原多边形边数可能为4、5或6 9．把一个正方形锯掉一个角，剩下的多边形是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．三角形或四边形或五边形 【答案】D 【分析】此题主要考查了多边形，此题应根据题意，结合图形进行操作，进而得出结论． 锯掉正方形一个角时，锯痕的位置不同会导致剩余多边形的边数变化，从而可能得到三角形、四边形或五边形． 【详解】解：设正方形，锯掉角A， 若锯痕连接上的两点（均非顶点），则增加一条边，剩余5条边，为五边形； 若锯痕连接上的顶点B（或上的顶点D）与上的点（或上的点）， 则边数不变，剩余4条边，为四边形； 若锯痕连接相邻顶点B和D，则减少一条边，剩余3条边，为三角形， ∴ 剩余多边形可能是三角形、四边形或五边形． 故选：D． 题型四 多边形的周长 10．已知某正八边形的一边长为2，则该正八边形的周长为（   ） A．12 B．15 C．16 D．18 【答案】C 【分析】此题主要考查正多边形的性质．根据正八边形的八条边长相等即可得出正八边形的周长． 【详解】解：正八边形八条边长相等，， 故选：． 11．如图，直线DE将△ABC分成等周长的两部分，若AD+AE＝2，则△ABC的周长为_________． 【答案】4 【分析】根据直线DE将△ABC分成等周长的两部分得AD+AE＝BD+CE+BC=2，进而可求解． 【详解】解：由题意得：AD+AE＝BD+CE+BC． ∵AD+AE＝2， ∴BD+CE+BC＝2． ∴C△ABC＝AB+AC+BC ＝（AD+BD）+（AE+CE）+BC ＝（AD+AE）+（BD+CD+BC） ＝2+2 ＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了三角形的周长，解题的关键是正确理解题干中直线DE将△ABC分成等周长的两部分． 12．如图，在边长为的大正方形中，剪去一个边长为的小正方形，然后将余下的部分剪开拼成如图所示的长方形，若记大正方形的周长为，拼成的长方形的周长为，则与的大小关系是______． 【答案】 【分析】根据周长公式进行计算即可． 【详解】解：左图的周，右图的周长， 所以， 故答案为：． 【点睛】本题考查计算图形周长，理解周长的定义以及长方形周长的计算方法是正确解答的前提． 题型五 网格中多边形面积比较 13．如图为边长为1的网格，线段为两个格点的连线，找一个格点C，使得的面积为2，则该图中点C有_______个 【答案】6 【分析】A，B两点的垂直距离为2，那么，只要保证水平距离为2即可使△ABC的面积为2个平方单位；A，B两点的水平距离为1，那么，只要保证垂直距离为4即可使△ABC的面积为2个平方单位． 【详解】解：符合条件的点C如图， 可知共有6个， 故答案为：6． 【点睛】本题考查三角形面积的求法，注意分水平距离和垂直距离两种情况． 14．如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）．    A．8 B．6 C．6.5 D．7.5 【答案】B 【分析】如图：连接和，可以发现，然后求得平行四边形的面积即可解答． 【详解】解：连接和，则 ．    故选：B． 【点睛】本题主要考查了求阴影部分的面积，将阴影部分的面积转换成求平行四边形的面积是解答本题的关键． 15．如图，在正六边形中，的面积为3，则四边形的面积为______ 【答案】9 【分析】本题考查了正六边形的性质，解题的关键是理解． 【详解】解：如下图，作， 六边形是正六边形， ，， 的面积为3， ， 四边形的面积为， 故答案为：9． 题型六 多边形对角线的条数问题 16．如图，有机化合物苯的结构式可以抽象为一个正六边形．过该图形的一个顶点最多可以引__________条对角线． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的对角线，牢记边形从一个顶点出发可以引出条对角线是解题的关键． 根据边形从一个顶点出发可以引出条对角线，即可得到答案． 【详解】解：从正六边形的一个顶点可以引出条对角线， 故答案为： ． 17．从五边形的一个顶点出发，可以画m条对角线，它们将五边形分成n个三角形，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查多边形的对角线，边形从一个顶点出发可引出条对角线，它们把边形分成个三角形，由此即可计算． 【详解】解：∵从五边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，它们将五边形分成个三角形， ， ∴的值为． 故选：A． 18．若凸n边形的每个外角都是36°，则此n边形对角线总条数是（　　） A．32 B．35 C．8 D．45 【答案】B 【分析】首先利用多边形的每一个外角的度数求得多边形的边数n，再求出此多边形的对角线的条数即可． 【详解】解：360°÷36°=10， 对角线总条数为（条）， 故选：B 【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，已知外角求边数的这种方法是需要熟记的内容．关键是熟悉n边形对角线的条数的规律． 题型七 对角线分成的三角形个数问题 19．从多边形的一个顶点出发，分别连接这个点与同它不相邻的各个顶点，得到7个三角形，那么这个多边形的边数是（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了多边形，从一个顶点出发连接不相邻顶点，形成的三角形个数等于多边形的边数减2．据此即可求解． 【详解】解：设多边形的边数为n． ∵从一个顶点出发，连接不相邻顶点，得到个三角形， ∴， ∴． 因此，多边形的边数是9． 故选：B． 20．过某一个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成4个三角形，这个多边形的边数是_____． 【答案】6 【分析】本题考查多边形的对角线规律，解题的关键是利用多边形的对角线把多边形分成个三角形． 边形中过一个顶点的所有对角线有条，把这个多边形分成个三角形，然后即可求解． 【详解】解：，即， 故答案为：6； 21．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分．如图为七边形的一种三角剖分方法，若在确定连接线段AE的前提下，包含图示方法，七边形的三角剖分方法一共有（   ） A．8种 B．10种 C．12种 D．14种 【答案】B 【分析】本题考查图形的分割，根据题意列举即可． 【详解】解：如下图，共有10种， 故选：B． 题型八 圆的基本概念辨析 22．用圆规画一个直径是的圆，圆规两脚间的距离应该是（   ） A． B． C． 【答案】A 【分析】求出半径即可得解． 【详解】解：用圆规画圆时，圆规两脚间的距离就是所画圆的半径，同一个圆中直径， 本题中圆的直径， ∴， 因此圆规两脚间的距离应为． 23．如图，正方形的四个顶点在直径为4的大圆圆周上，四条边与小圆都相切，过圆心，且，则图中阴影部分的面积是________．（结果保留） 【答案】 【分析】由于圆是中心对称图形，则阴影部分的面积等于大圆的四分之一，利用圆的面积公式即可求解．本题主要考查了圆的对称性，圆的面积公式，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 【详解】解：由于圆是中心对称图形，阴影部分的面积可以移动到一起，等于大圆的四分之一， 故阴影部分的面积为． 故答案为：． 24．《左传》记载，夏朝初，奚仲创造了世界上第一辆用马牵引的木质车辆．对于现代社会而言，车仍是不可缺少的重要交通工具．生活中，车轮通常的形状是圆形．下列选项中，能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳行驶的是（   ） ①圆是轴对称图形； ②圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等； ③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上； ④圆中垂直于弦的直径平分弦． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查了圆的认识，根据圆可以看作是所有到定点的距离等于定长的点的集合解答即可． 【详解】解：由圆的定义可得，圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等且圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上， ∴能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳行驶的是②③． 对于①：正方形也是轴对称图形，但不会用于当作车轮，故排除； 对于④：该描述为垂径定理的内容，与题干信息无关联，故排除； 故答案为：C． 题型九 圆的周长和面积问题 25．圆的半径为5，则它的面积为_______（结果保留）． 【答案】 【分析】本题主要考查圆面积计算，根据圆的面积公式直接计算． 【详解】解：圆的面积， 故答案为：． 26．如图，、是表示两个曲边形的面积，那么M、N的大小关系是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，解决此题的关键是正确的计算；根据图形的规则先设空白部分的面积，再根据扇形的面积公式得到答案即可； 【详解】解：如图，两空白的面积相等， 设每一空白部分面积为，圆的半径为r， ∵扇形的圆心角为， ∴扇形的面积为：，半圆的面积为：， ∵， ∴， ∴， ∴， 27．一个圆沿着半径平均分成若干等份（偶数份），拼成一个近似的长方形，这个长方形的长宽之和是，这个圆的面积是_____． 【答案】 【分析】本题考查圆的周长公式及面积公式，根据题意，长方形的长是圆周长的一半，宽是半径，设圆的半径为，列方程求解得到，再由圆的面积公式即可解答． 【详解】解：设圆的半径为， 把一个圆形平均分成若干份，剪开后拼成一个近似的长方形，这个长方形的长宽之和是， ，则， 这个圆的面积是． 故答案为：. 28．如图，用一根绳子紧密贴合一个球体的大圆绕一圈（绳长等于球体大圆的周长），然后将绳长增加1米，并将绳子均匀地悬浮在球体周围，形成一个与球体同心的圆，此时绳子与球体表面之间出现均匀的空隙．假设对篮球（半径约0.12米）和地球（半径约6371千米）分别进行上述操作．那么，绳子与球体表面之间的空隙距离（   ） A．地球的空隙更大 B．篮球的空隙更大 C．一样大 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查圆的周长公式的应用．根据圆的周长公式分别表示出绳子绕球体大圆一圈时的周长和绳子增加1米后的周长，进而求出绳子与球体表面之间的空隙距离，再比较篮球和地球的空隙距离大小即可． 【详解】解：设球体的半径为，原绳长等于球体周长，即； 当绳子增长1米后，新绳长为， 设此时绳子围成的圆的半径为R，则有， ∴ ∴空隙距离为， ∴绳子与球体表面之间的空隙距离一样大， 故选：C． 题型十 圆心角概念辨析及简单运算 29．下列图形中的角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆心角的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．顶点在圆心上，是圆心角，故本选项符合题意； B．顶点在圆上，是圆周角，故本选项不符合题意； C．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； D．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； 故选：A． 30．弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作．已知，则与的大小关系是________． 【答案】 【分析】根据弧度的定义，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作，当时，三角形为等边三角形，所以圆心角所对的弧长比半径大，即可判断大小． 【详解】解：根据弧度的定义，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作， 当时，易知三角形为等边三角形，弦长等于半径， 圆心角所对的弧长比半径大， ， 故答案是：． 【点睛】本题考查了弧度的定义，解题的关键是：理解弧度的定义，从而利用定义来判断． 31．如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，大、小量角器的中心分别为、，且恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为，点在小量角器对应的刻度为，则点在大量角器上对应的刻度为_______．（只考虑小于的角） 【答案】 【分析】此题考查了圆心角、等腰三角形的性质和三角形内角和定理．熟练掌握用量角器上测量圆心角，并能根据相关性质求出各个角的度数是解此题的关键． 连接，由点P在小量角器对应的刻度，可知大小，再由，可求得即为点P在大量角器上对应的刻度． 【详解】解：连接，如图所示： 点P在小量角器对应的刻度为， ， ， ， ， 点P在大量角器上对应的刻度为． 故答案为：． 解答题 1．计算不规则图形的面积时，有时采用“方格法”，具体计算方法如下：假定每个小方格的边长为1，为图形的面积，是边界上的格点数，是内部格点数，则有．请根据此方法计算图中四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了用“方格法”来计算四角形的面积，结合图形得出公式中的相关字母的值，则问题不难解答．根据图形分别得出和的值，代入公式计算即可． 【详解】解：由图形可知，， ． 2．某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格： 多边形的边数 4 5 6 … n 从多边形一个顶点出发可引起的对角线条数 1 2 3 … __ 多边形对角线的总条数 2 5 9 … __ (1)请在表格中的横线上填上相应的结果； (2)求十二边形总共有多少条对角线； (3)过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为2016吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由. 【答案】(1)， (2)一个十二边形总共有54条对角线 (3) 解：设这个多边形的边数为， 由题意得，， 解得，， 因为多边形的边数必须是整数，所以过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和不可能为2016． 【分析】本题考查n边形对角线的总条数，过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数，掌握对角线数量形成的规律，熟练应用规律是解题关键． （1）由表格中的数据探求得出最终结果； （2）把代入求值即可； （3）设这个多边形的边数为，则，进行计算即可得． 【详解】（1）解：由表格中的数据得： 从多边形一个顶点出发可引起的对角线条数为：条， 多边形对角线的总条数为：条； 故答案为：，； （2）解：把代入计算得：. 故一个十二边形总共有54条对角线； （3）略 3．小明用长，宽的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了三种方案： 方案一：直接锯一个半径最大的圆； 方案二：沿对角线将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆； 方案三：锯一块小矩形拼到矩形下面，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆． (1)写出方案一中圆的半径； (2)求方案二中圆的半径； (3)在方案三中，设，当取何值时圆的半径最大？（画出示意图，简要写出求解的思路，并直接写出此时圆的半径） 【答案】(1)1 (2) (3) 解：设圆的半径为， 新拼图形水平方向跨度为，竖直方向跨度为． 类似（1），所截出圆的直径最大为或较小的． 当时，即当时，； 当时，即当时，； 当时，即当时，． 当时，； 当时，； 当时，， 方案三中，当时，最大为． 【分析】本题考查了圆的基本性质及通过勾股定理、三角形相似等性质求解边长及分段函数的表示与性质讨论等内容，熟练掌握运用相关知识是解答本题的关键． （1）观察图易知，截圆的直径需不超过长方形长、宽中最短的边，由已知长宽分别为3，2，那么直接取圆直径最大为2，则半径最大为1． （2）设半径为，根据列方程求解即可； （3）类似（1）截圆的直径需不超过长方形长、宽中最短的边，虽然方案三中新拼的图象不一定为矩形，但直径也不得超过横纵向方向跨度．则选择最小跨度，取其，即为半径．由为x，则新拼图形水平方向跨度为，竖直方向跨度为，则需要先判断大小，而后分别讨论结论．已有关系表达式，则直接根据不等式性质易得方案三中的最大半径．即得最终结论． 【详解】（1）解：方案一中的最大半径为1． 长方形的长宽分别为3，2， 直接取圆直径最大为2， 半径最大为1； （2）解：设半径为如图， ； ， 解得． （3）略 4．如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 解：； ∵，，， ∴ (2) 【分析】（1）根据条件和，即可求解； （2）根据第（1）问的结论和即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，，， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了简单几何问题，灵活运用所学知识是关键． 5．小华为一个长方形休闲场所提供了如图所示的设计方案，其中半圆形休息区和长方形游泳区外的地方都是绿地．如果这个休闲场所需要有一半以上的绿地，并且游泳区的长与宽之间满足． (1)游泳区的面积为______，休息区的面积为______；（用含的代数式表示） (2)小华的设计方案符合要求吗？请说明理由； (3)当时，绿地的面积为______．（取） 【答案】(1)， (2) 小华的设计方案符合要求，理由如下： 休闲场所面积为：， 绿地面积：， ∵， ∴绿地面积大于休闲场所的一半面积， 即：符合要求； (3) 【分析】本题考查了列代数式、整式的加减、求差法比较大小，关键是利用求差比较法比较大小； （1）根据矩形及半圆的面积公式表示即可； （2）比较绿地面积与休闲场所的面积的一半作比较即可得出结论； （3）把代入绿地面积的代数式即可． 【详解】（1）解：游泳区：， 休息区：； 故答案为：，； （2）略 （3）解：当时，， 故答案为：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11多边形和圆的初步认识知题通关讲义 知识点 01 多边形定义与判定 1. 定义 由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形叫做多边形。 2. 判定三大条件（缺一不可） ① 全部由线段围成（不能含曲线）； ② 线段不在同一直线，首尾顺次相接； ③ 图形必须封闭，有内部、外部区分。 3. 命名规则 按边数命名：几条边就叫几边形。 例：3 条边→三角形；4 条边→四边形；5 条边→五边形；n 条边→n 边形（n3，且n为正整数）。 知识点 02 多边形的组成要素（顶点、边、内角、对角线） 知识点03:多边形对角线相关公式（高频计算考点） 设多边形边数为 n(n3)，n为整数） 1.从一个顶点出发的对角线条数 公式：n-3 推导：自身顶点 + 左右相邻 2 个顶点不能连对角线，剩余可连顶点数 n-3。 2.被对角线分割成的三角形个数 公式：n-2 3.n边形总对角线条数 公式： 推导：每个顶点可连n-3条，n个顶点共n(n-3)条；每条对角线被两个顶点重复计算，因此除以 2。 知识点 04正多边形 1. 定义 各边长度完全相等，各个内角大小完全相等的多边形叫做正多边形。 2. 两大必备条件（必须同时满足） ① 各边相等； ② 各内角相等。 ⚠️易错提醒：只边长相等≠正多边形（例：菱形四边相等，但内角不等，不是正四边形）；只内角相等≠正多边形（长方形四角相等，边长不等，不是正四边形）。 3.常见正多边形对应名称 正三角形（等边三角形）、正四边形（正方形）、正五边形、正六边形…… 正n边形。 知识点 05 多边形分类（凸多边形 / 凹多边形） 凸多边形：画出多边形任意一条边所在直线，整个多边形都在这条直线的同一侧。 特征：所有内角都小于180 ，课本只研究凸多边形。 凹多边形：存在至少一条边，直线两侧都有图形；存在大于180的内角（凹角），本章不深入考察。 知识点 06：圆的两种定义（核心基础，填空选择必考）. 1. 动态定义（操作理解，画图用） 在同一平面内，一条线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点运动所形成的封闭曲线叫做圆。 固定端点：圆心，用大写字母O表示； 线段定长：半径，用字母r表示； 关键限制：必须强调同一平面；空间旋转形成球面，不是平面圆。 2. 静态（集合）定义（考试核心考点） 平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合叫做圆。 定点：圆心O；定长：半径r； 几何记作：以O为圆心的圆，写作⊙ O； 核心区分易错： ⊙ O仅指圆周（外围曲线），不含内部； 圆面 = 圆周 + 圆内部所有区域；做题看清题干描述是 “圆” 还是 “圆面”。 知识点 07：圆相关基础概念（背诵专用，区分易混概念） . 关键区分要点 1.弦是线段，弧是曲线，二者不能等同； 2.直径一定是弦，但弦不一定是直径； 3.半圆既不是优弧，也不是劣弧； 4.表示优弧必须写三个字母，防止和劣弧混淆。 ① 误将含曲线/未封闭图形判定为多边形 提醒：多边形定义：由不在同一直线上的线段，首尾顺次相接围成的封闭平面图形。有曲线、不封闭、线段交叉，都不属于多边形。 ② 混淆从一个顶点引出的对角线与对角线总条数 提醒：从n边形一个顶点可引(n-3)条对角线；n边形对角线总条数：，两个公式不可混用。 ③ 误以为n边形的顶点、边、内角数量不相等 提醒：n边形一定有 n 个顶点、n 条边、n 个内角，三者数量相同。 ④ 仅依据各边相等，就判定是正多边形 提醒：正多边形必须同时满足各边相等、各内角相等；只有边长相等不一定是正多边形，例如菱形。 ⑤ 仅依据各内角相等，就判定是正多边形 提醒：只有内角相等不一定是正多边形，例如矩形；需要边、角全部相等才是正多边形。 ⑥ 混淆弧与弦的概念 提醒：弧是圆上两点间的曲线部分；弦是连接圆上两点的线段，二者不能等同。 ⑦ 误认为半圆就是直径 提醒：半圆属于弧（曲线）；直径是过圆心的线段；半圆不包含直径这条线段。 ⑧ 混淆扇形与弓形的构成 提醒：扇形：一条弧 + 经过弧端点的两条半径围成；弓形：一条弧 + 这条弧对应的弦围成。 ⑨ 误把顶点不在圆心的角当成圆心角 提醒：圆心角必须同时满足：顶点在圆心，两边为圆的半径，顶点在圆上或圆内其余位置，不是圆心角。 ⑩ 认为一个圆只能分成固定数量的扇形 提醒：两条半径可确定一个扇形；同一个圆可以分割出无数个大小不等的扇形，不存在固定份数。 ⑪ 忽略前提，直接说半径等于直径的一半 提醒：只有在同圆或等圆中，半径长才是直径长的，不同圆不成立。 题型 考察方向 难度 题型一 多边形的概念与分类 ★ 题型二 正多边形概念辨析 ★ 题型三 多边形截角后的边数问题 ★★ 题型四 多边形的周长 ★ 题型五 网格中多边形面积比较 ★★ 题型六 多边形对角线的条数问题 ★★ 题型七 对角线分成的三角形个数问题 ★★ 题型八 圆的基本概念辨析 ★ 题型九 圆的周长和面积问题 ★★ 题型十 圆心角概念辨析及简单运算 ★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 多边形的概念与分类 1．如图，在多边形中，___________是多边形的边；___________是多边形的顶点；___________是多边形的对角线；___________是多边形的内角． 2．在如图所示的图形中，是多边形的有_______；是凸多边形的有_______． 3．如图，凸四边形，有两种剖分方法：（如图示）世纪，数学家乌尔班发现并证明了下面的公式：（表示凸边形的三角剖分数），请你用上面的公式计算______． 题型二 正多边形概念辨析 4．下列图形中，一定是正多边形的是（   ） A．三角形 B．四边形 C．平行四边形 D．正方形 5．用一张长方形纸片，把一个正多边形按如图所示摆放，则正多边形纸片的边数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 6．如图，正十二边形的面积是2022，那么图中阴影部分的面积是（    ）． A．504 B．568 C．612 D．674 题型三 多边形截角后的边数问题 7．把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状不可能是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 8．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为______． 9．把一个正方形锯掉一个角，剩下的多边形是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．三角形或四边形或五边形 题型四 多边形的周长 10．已知某正八边形的一边长为2，则该正八边形的周长为（   ） A．12 B．15 C．16 D．18 11．如图，直线DE将△ABC分成等周长的两部分，若AD+AE＝2，则△ABC的周长为_________． 12．如图，在边长为的大正方形中，剪去一个边长为的小正方形，然后将余下的部分剪开拼成如图所示的长方形，若记大正方形的周长为，拼成的长方形的周长为，则与的大小关系是______． 题型五 网格中多边形面积比较 13．如图为边长为1的网格，线段为两个格点的连线，找一个格点C，使得的面积为2，则该图中点C有_______个 14．如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）．    A．8 B．6 C．6.5 D．7.5 15．如图，在正六边形中，的面积为3，则四边形的面积为______ 题型六 多边形对角线的条数问题 16．如图，有机化合物苯的结构式可以抽象为一个正六边形．过该图形的一个顶点最多可以引__________条对角线． 17．从五边形的一个顶点出发，可以画m条对角线，它们将五边形分成n个三角形，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 18．若凸n边形的每个外角都是36°，则此n边形对角线总条数是（　　） A．32 B．35 C．8 D．45 题型七 对角线分成的三角形个数问题 19．从多边形的一个顶点出发，分别连接这个点与同它不相邻的各个顶点，得到7个三角形，那么这个多边形的边数是（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 20．过某一个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成4个三角形，这个多边形的边数是_____． 21．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分．如图为七边形的一种三角剖分方法，若在确定连接线段AE的前提下，包含图示方法，七边形的三角剖分方法一共有（   ） A．8种 B．10种 C．12种 D．14种 题型八 圆的基本概念辨析 22．用圆规画一个直径是的圆，圆规两脚间的距离应该是（   ） A． B． C． 23．如图，正方形的四个顶点在直径为4的大圆圆周上，四条边与小圆都相切，过圆心，且，则图中阴影部分的面积是________．（结果保留） 24．《左传》记载，夏朝初，奚仲创造了世界上第一辆用马牵引的木质车辆．对于现代社会而言，车仍是不可缺少的重要交通工具．生活中，车轮通常的形状是圆形．下列选项中，能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳行驶的是（   ） ①圆是轴对称图形； ②圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等； ③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上； ④圆中垂直于弦的直径平分弦． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 题型九 圆的周长和面积问题 25．圆的半径为5，则它的面积为_______（结果保留）． 26．如图，、是表示两个曲边形的面积，那么M、N的大小关系是________． 27．一个圆沿着半径平均分成若干等份（偶数份），拼成一个近似的长方形，这个长方形的长宽之和是，这个圆的面积是_____． 28．如图，用一根绳子紧密贴合一个球体的大圆绕一圈（绳长等于球体大圆的周长），然后将绳长增加1米，并将绳子均匀地悬浮在球体周围，形成一个与球体同心的圆，此时绳子与球体表面之间出现均匀的空隙．假设对篮球（半径约0.12米）和地球（半径约6371千米）分别进行上述操作．那么，绳子与球体表面之间的空隙距离（   ） A．地球的空隙更大 B．篮球的空隙更大 C．一样大 D．无法确定 题型十 圆心角概念辨析及简单运算 29．下列图形中的角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 30．弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作．已知，则与的大小关系是________． 31．如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，大、小量角器的中心分别为、，且恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为，点在小量角器对应的刻度为，则点在大量角器上对应的刻度为_______．（只考虑小于的角） 解答题 1．计算不规则图形的面积时，有时采用“方格法”，具体计算方法如下：假定每个小方格的边长为1，为图形的面积，是边界上的格点数，是内部格点数，则有．请根据此方法计算图中四边形的面积． 2．某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格： 多边形的边数 4 5 6 … n 从多边形一个顶点出发可引起的对角线条数 1 2 3 … __ 多边形对角线的总条数 2 5 9 … __ (1)请在表格中的横线上填上相应的结果； (2)求十二边形总共有多少条对角线； (3)过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为2016吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由. 3．小明用长，宽的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了三种方案： 方案一：直接锯一个半径最大的圆； 方案二：沿对角线将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆； 方案三：锯一块小矩形拼到矩形下面，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆． (1)写出方案一中圆的半径； (2)求方案二中圆的半径； (3)在方案三中，设，当取何值时圆的半径最大？（画出示意图，简要写出求解的思路，并直接写出此时圆的半径） 4．如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 5．小华为一个长方形休闲场所提供了如图所示的设计方案，其中半圆形休息区和长方形游泳区外的地方都是绿地．如果这个休闲场所需要有一半以上的绿地，并且游泳区的长与宽之间满足． (1)游泳区的面积为______，休息区的面积为______；（用含的代数式表示） (2)小华的设计方案符合要求吗？请说明理由； (3)当时，绿地的面积为______．（取） 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $