第一章 空间向量与立体几何 章末测试卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 空间向量与立体几何章末测试卷，覆盖向量运算、线面关系等核心知识，通过基础题到综合题的梯度设计，考查空间观念与推理能力，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|8|线面平行判定（题1）、投影向量模（题2）|基础概念与空间直观结合| |多选|3|向量共线与投影（题9）、空间向量共面（题10）|辨析核心概念，考查推理意识| |填空|3|线面角与法向量夹角（题12）、四点共面参数（题13）|聚焦空间向量工具性应用| |解答|5|翻折二面角证明与球半径计算（题18）、直三棱柱二面角存在性（题19）|综合空间想象与运算能力，体现数学思维严谨性|

第1章空间向量与立体几何章末测试卷-2026-2027学年数学人教A版2019选择 性必修第一册 一、选择题 A,B,C M,N MN// 1.在下列四个正方体中， 为正方体的顶点， 为所在棱的中点，则满足直线 平面 ABC 的是() B 1 M B M D 2尼知空间向起a=5.0,6=0 2 ,则ā在b上的投影向量的模为() A.5 B.1 C.2 D.2 3.已知正四面体PABC的棱长为3，动点M满足PW=(-y-z)PA+yPB+zPC,则PW的最 小值为() A.5 B.6 C.2 D.3 4.在直三校柱MBC-4BG中，若C=a,C丽=万，CC=c,则瓜=（) A.a-b+c B.b-a-c C.a+b-c D.b-a+e 5.若a,6构成空间的一个基底，则下列向量不共面的为(） A.ā，+ba-b B.a+6,a+26a+36 c.ā.a+ba+c D.a+b d a+b+8 6.在三棱锥A-BCD中，AB,AC,AD两两垂直，AB=AC=2,AD=4,E,F分别为 BD CD EC AF 的中点，则异面直线 所成角的余弦值为() 2W5 2v5 √205 A.5 B.15 C.-15 D.15 7.如图。空间四边形O1BC中，O1=a,O丽=6,0=C,点M在01上，OM=2M,点 N为BC中点，则M等于() 2 A.2 b+ 3 R-23+b* +5- 2 +26-1 C.2 D.3 3 2 8.在直三棱 ABC-ABG中， ∠BC1=90,D.F分别是48,4G的中点，BC=C1=CG,则 BD与M所成角的正弦值是() V30 √70 30 A.10 B.2 C.10 D.15 二、多项选择题 9.已知空间向量=(2-13)，6=(-4,2，，下列说法正确的是（) 人若16，两9 B.若3+b=(2,-1,10),则x=1 C.若在b上的投影向量为3，则x=4 。若与万夹角为锐角，则3 10.关于空间向量，以下说法正确的是() A.若a-6>0,则向量0，b的夹角是锐角 B,空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C者刻空同中年意-点0，有丽-0i+0+号远 3 ,则P,A,B,C四点共面 D.若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面 1,在正三棱柱1BC-ABG中，MB=M=l,点P满是B即=BC+“B丽，其中1e0,1, μ∈[0，，则(） A.当=引时，△1BP 的周长为定值 P-A BC B.当“=时，三校锥P 的体积为定值 C当二2时，有且仅有一个点P,使得4P, 1 D.当“=2时，有且仅有一个点P,使得4B上平面B,P 三、填空题 1 12.若直线/和平面所成角的正弦值为2，则直线/的一个方向向量和平面α的一个法向量的夹角 的大小为 0i=0E+}0F+10G 13.已知O为空间中任意一点，E,F,G三点不共线，且 2 4 若H,E,F,G 四点共面，则实数(= 14.如图，在长方体 BCD-ABCD中，AB=2,1D=DD=I,则异面直线4C与DM所成 角的余弦值为 D A B 四、解答题 5.如图所示，在三棱柱18C-ABG中，M是BB的中点，化简下列各式： (1) AB+BA (2) AB+BC+CC (3) AM-BM-CB +AB-AM (4)2 16.已知三棱锥O-ABC中， 40B=ZB0C=ZA0C=3,0A=2,0B=3.0C=4,点 为4C的中点，点5满是0正=2丽，点F满足F=F而 (1)求DE的长； (2)求0F.CB的值 17.在平行六面体 BCD-ABGD中，B=D=AM=1,∠BAD=90， ∠BA1=∠D1M=60°.记向量孤=石，向量D=b,向量MM=C. D A B （)取BG的中点M,用向量a6,C来表示向量AM: (2)求向量AC和向量BM所成角的余弦值， 18.把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中MB=AC=3,∠BAC=∠BCD=90 ∠CBD=30° ,将△ABC BC C沿BC籍折至AP8C,使得二面角P P-BC-D 为直二面角. (I)证明：PB⊥平面PCD; P,B,C,D (2)若 在同一个球面上，求该球的半径： (3)求平面PBD与平面BCD所成角的余弦值. 19.如图，在直三棱柱1BC-ABG中，平面 ABC⊥ 面BBA,且M=B=2 侧 C B C B (1)求证：AB⊥BC: π (2)若直线AC与平面ABC所成的角为6，请问在线段AC上是否存在点E,使得二面角 2π A-BE-C的大小为3，若存在请求出E的位置，不存在请说明理由 答案解析部分 1.【答案】D 2.【答案】A 3.【答案】B 4.【答案】B 5.【答案】C 6.【答案】B 7.【答案】B 8.【答案】C 9.【答案】A,B,D 10.【答案】B,C 11.【答案】B,D π2π 12.【答案】3或3 1 13.【答案】4 10 14.【答案】10 15.【答案】(1)AB+BA=A 24B+BC+CC-4B+BG+CC-4C (3)AM-BM-CB-AM+MB+BC=AC 424+4B-AM-BM+4B+MA-4B+BM+MA-0 16。【答案】(1)解：在三棱锥O-1BC中，点D为1C的中点，O正=2EB DE=DA+4A0+0E=)C-0i+20i=)oi-00)-0M+3oi oi+号0丽-oc ∠A0B=∠B0C=∠40c=号.0A=2.0B=3.0C=4, ,而 04.0i=2×3×3=3,0B.0C=3x4×=6,0C.01=4×2x}=4 所以D=301+40丽-30=290i+160元+90元2-240i.0丽-240i.0元+180c.O -名0x4+16x9+9x16-24x3-24x6+18x4=5 (2)解：由EF=F币，得 0F-号o0+oE)=2号oi+o0+号0oi=d60i+3oc+40m 12 F.CB-=60i+30c+40o5-00 所以 2301.05-30c.01-0丽.0c-30c2+405 、1 5,3×3-3×4-6-3×16+4×9)=- 17.【答案】(1)解： AM-4B+BB+BM-4B+44+14D-d+16+8 (2)解：B=A-B,AC=AB+D+A, 又AB=AD=AA=1.∠BAD=90∠BAA=∠DAA=60° 所以B.D=0, 而孤=丽= 所以4C·B所=(AB+D+AA)(A-B 而孤+-丽-而孤分11行： Ba=(AA-AB=A42-2A4AB+A6=1-2×,+1=1 2 所以BA=1， 又AC=(AB+AD+A4)°=AB+AD°+4+2BD+2AB4+2D.A 1 =1+1+1+2×。+2×5=5 2 2 所以HG-5·所以os4C,BC=C.C 25 ACBC510· W5 故AC和BA所成角的余弦值为10· 18.【答案】(1)证明：二面角P-BC-D为直二面角，即平面PBC⊥平面BCD, 又因为CD1BC,CDc平面BCD,平面PBCn平面BCD=BC, 所以CD⊥平面PBC. 又因为PBc平面PBC,所以PB⊥CD. 由题 PB⊥PC,CDOPC=C,CD,PCc平面PCD 所以PB⊥平面PCD, (2)解：取中点 中点，连接 B BC O,BD M OP,OM 长 则OM⊥BC,OMIICD, 因为CD⊥平面PBC,OPC平面PBC,所以CD⊥OP,所以OM⊥OP, 在△ABC中，PB=PC,O为BC中点，所以OP⊥BC 以Oi.oM.On} 为正交基底建立如图所示空间直角坐标系O-z, nonan.raooc3ao.-.6 设该球的球心坐标为工)，则 99996 解得*=0，y 22=0 (32 (3)解：取BC中点O,在△BCD中，过O作OH⊥BD,垂足为H,连接PH, 平面PBC⊥平面BCD,OP⊥BC,OPC平面PBC, PBCn平面BCD=BC,所以OPL平面BCD, 平面 而BDC平面BCD,故OP⊥BD, 又因为OH1BD,OPH=O,OP,OHc平面OPH,枚BD⊥平面OPH, 而PHC平面OPH,所以PH⊥BD, 则∠PHO为平面PBD与平面BCD的所成角 直角角形BC中，0P=33 2 OH =OBxsin30= 32132 224 32 cos∠PHO=OH 4 5 PH 2 3√2 32 2 5 所以平面PBD与平面BCD所成角的余弦值为5· 19,【答紫】1)证明：连接M8交M8于点D,如图所示 C 9 D C B 因14=AB 则DLAB 由平面4BC上侧面41BB,且平面4BC个侧面4ABB=AB 得ADL平面4BC,又BCC平面4BC,所以4D⊥BC, 三棱杜BC-ABG是直三棱柱，则MM1 底面ABC,所以M4上BC 又MnMD=A,从而BC上侧面AMBB, 又ABc创面4AB,故B⊥BC; (2)解：由(1)AD⊥平面ABC,则∠ACD直线AC与平面ABC所成的角，所 ∠ACD=Z 6, 又AD=V2,所以4C=25,BC=2, 2π 假设在线段AC上存在一点E,使得二面角A-BE-C的大小为3， 由1BC-ABG是直三校杜，所以以点A为原点，以AC.M所在直线分别为y,Z轴，以过A点 A-xyz 和AC垂直的直线为x轴，建立空间直角坐标系 ,如图所示： C 则4(0,0,2)，C0,25,0,Bv22.0,B(2,2,2, 设4E=4C(0≤元≤)，4C=0,22,-2),得E(0,222,2-22) 即E=(0,25,2-2A）,AB=(N22,0). 设平面EAB的一个法向量”=(x,少2)， 由AB1m'AB1元，可得、2x+2y=0 0-到 2W2y+(2-2)z=0 由(1)知M81平面4BC,平面CEB的一个法向量A瓜=(N2,V2,2）」 22 12π AB·n 2-1 1 cos- 则3 22 2，解得，1 入= 2 2π 即点E为线段AC中点时，二面角A-BE-C的大小为3·