第一章 空间向量与立体几何单元卷（基础）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何（基础巩固卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（25-26高二下·甘肃定西·阶段检测）在空间直角坐标系中，点在坐标平面上的射影的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点在坐标平面内射影的特点，直接写出答案即可． 【详解】由题意得，点的纵坐标，竖坐标不变，横坐标为0，则. 故选：A. 2．（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）在正方体中，下列向量能与向量构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用空间向量基底的意义，结合正方体的构造特征判断即得. 【详解】在正方体中，向量，， 因此向量，，分别与向量共面，ABC不能； 而平面，即向量不共面，D能. 故选：D 3．（26-27高二·全国·课后作业）空间四边形中，，，则的值是（   ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】利用，以及的数量积的定义化简的值， 【详解】，故 所以. 故选：D． 4．（26-27高二·全国·课后作业）如图，在正方体中，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以为基底表示出，由此确定的值，进而求得的值. 【详解】由题意可得， ∵，∴x=1，y=-1，z=1，故x+y+z=1， 故选：B 【点睛】本小题主要考查用基底表示向量，考查空间向量基本定理，属于基础题. 5．（26-27高二上·四川广安·阶段检测）已知四面体ABCD，=，=，=，点M在棱DA上，=，N为BC中点，则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件用表示出，再借助向量加法法则即可得解. 【详解】在四面体ABCD中，连接DN，如图所示， =，=，=，因=，N为BC中点，则，， 于是得. 故选：C 6．（26-27高二上·全国·课后作业）在空间直角坐标系O­-xyz中，分别是x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量，设为非零向量，且，，则（  ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】利用数量积夹角的坐标公式求出向量的坐标，然后利用再利用夹角公式求解角即可. 【详解】设，因为， 所以，所以， 又， 所以，所以， 所以，所以， 又，所以或. 故选：C 7．（26-27高二上·河南·阶段检测）如图，已知四棱锥的底面是边长为4的菱形，且，底面，若点到平面的距离为，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系,利用坐标法求解即可. 【详解】设为中点，因为底面是边长为4的菱形，且，所以,而 ,所以 ； 以为坐标原点，以，的方向分别为x，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，. 设是平面的法向量，因为，， 则，令，得. 设点到平面的距离为，.因为， 所以，得. 故选：D. 8．（25-26高二上·福建福州·期末）如图，在三棱锥中，平面，，点，分别为，的中点，，，则点到平面的距离是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先建系再用向量法求点到面的距离即可. 【详解】易知两两垂直，则以为坐标原点，分别为轴建立如图空间直角坐标系. 由题意，得 所以. 设为平面的法向量， 则，令，得， 又， 设点到平面的距离为，所以. 故选：B    2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（专题03共面向量定理（重点突围）-【学霸满分】2025-2026学年高二数学下学期重难点专题提优训练（苏教版2019选择性必修第二册））下列说法错误的是（    ） A．空间的任意三个向量都不共面 B．空间的任意两个向量都共面 C．三个向量共面，即它们所在的直线共面 D．若三向量两两共面，则这三个向量一定也共面 【答案】ACD 【分析】A.画图举例判断；B.利用相等向量判断；C.画图举例判断；D.画图举例判断； 【详解】 A.如图所示： ，三个向量共面，故错误； B.由相等向量知：通过平移，两个向量的起点总可以在同一点，故两个向量都共面，故正确； C.如图所示：，在正方体中三个向量共面，但它们所在的直线不共面，故错误； D. 如图所示：，在正方体中三向量两两共面，但这三个向量一定共面，故错误； 故选：ACD 10．（26-27高二上·全国·课后作业）已知平面内两向量，且，若为平面的一个法向量，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用空间向量的线性运算、数量积运算的坐标形式以及法向量的性质计算求解. 【详解】， 由为平面的一个法向量，得 得 解得，故AC正确，BD错误. 故选：AC. 11．（25-26高二下·广东潮州·期末）如图，在直三棱柱中，，，则（     ） A．向量在向量上的投影向量为 B．向量在向量上的投影向量为 C． D．与的夹角为锐角 【答案】BCD 【分析】由已知可得可作为一组基底，得到，再利用投影向量的计算公式，向量夹角的计算公式即可. 【详解】在直三棱柱中，，所以两两垂直，可作为一组基底. 因为，所以. 所以 . 对于选项A，向量在向量上的投影向量为，故A错误； 对于选项B，向量在向量上的投影向量为，故B正确； 对于选项C，，故C正确； 对于选项D，， 所以.又因为，所以，故D正确. 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（25-26高二上·上海青浦·阶段检测）点关于平面对称点是___________. 【答案】 【分析】根据关于什么对称什么不变来得答案. 【详解】点关于平面对称点是 故答案为： 13．（26-27高二·全国·课后作业）已知，分别是直线，的方向向量，那么“，不平行”是“，异面”的________条件．（填“必要不充分”“充分不必要”“充要”或“既不充分也不必要”） 【答案】必要不充分 【分析】根据直线方向向量的定义和异面直线的定义即可的得到答案. 【详解】若，不平行，则，相交或异面， 若，异面，则，不平行. 所以“，不平行”是“，异面”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分. 14．（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，四面体为鳖臑，平面ABC，，且，，则二面角的正弦值为______. 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，分别计算平面APC与平面PBC的法向量，然后利用公式计算即可. 【详解】依据题意建立如图所示的空间直角坐标系： ，，， 设平面APC的法向量为 ，∴ 不妨设，则， 设平面PBC的法向量为 ，∴ 不妨设，则，， 设为，则， . 故答案为： 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（26-27高二上·云南玉溪·开学考试）如图，在棱长为2的正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为的中点，求： (1)直线和的方向向量的坐标； (2)平面的一个法向量的坐标． 【答案】(1)， (2)（答案不唯一） 【详解】（1）由正方体的棱长为2，则，，， ∴直线的方向向量， 直线的方向向量. （2）设向量是平面的法向量，则 取，得，，则是平面的一个法向量． 16．（26-27高二上·天津宁河·阶段检测）已知，． (1)求； (2)若，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，， 则，，， 所以. （2）若，则， 即，解得. 17．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，为的中点. (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明:底面为矩形， 所以， 又因为平面，平面，所以， 又平面， 所以平面，又平面， 可知平面平面； (2) 【分析】（1）根据线面垂直性质可知，再由线面垂直判定定理可证明平面，即可得平面平面； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法计算可得结果. 【详解】（1）略； （2）由（1）可知两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 易知， 则， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 可得， 所以； 因此直线与平面所成角的正弦值为. 18．（2026·重庆·三模）在正三棱柱中，已知分别是棱的中点． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）根据面面平行的判定定理来证明 （2）先建立空间直角坐标系，再分别求出平面和平面的法向量，最后计算夹角的余弦值. 【详解】（1）在矩形中，分别为的中点，连接，则， 在与中，易得，，因为，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理，，因为平面，平面，所以平面， 又因平面，故平面平面. （2）以中点为坐标原点，所在直线为x轴正方向，所在直线为y轴正方向， 过点 和平面垂直的直线为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 因，， 则，即令，则， 设平面的法向量为， 则，即令，则， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 19．（25-26高三下·北京海淀·阶段检测）如图，在边长为2的正方体中，E是棱上的点，平面交棱于点F． (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度及此时点到平面的距离． 【答案】(1) 连接，由正方体可知，， 四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面， 平面，平面平面， ． (2)1； 【分析】（1）根据正方体的性质，利用线面平行证明线线平行； （2）建立空间直角坐标系，得出相关点和向量的坐标，求出平面法向量，利用向量夹角余弦公式结合点到平面的距离公式求解． 【详解】（1）略 （2） 如图，以D为原点，建立空间直角坐标系， 设的长为a，则，，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，故可得； 设直线与平面所成角为， 则，解得， ， 故的长度为1； ，点到平面的距离． 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 空间向量与立体几何（基础巩固卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（25-26高二下·甘肃定西·阶段检测）在空间直角坐标系中，点在坐标平面上的射影的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）在正方体中，下列向量能与向量构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高二·全国·课后作业）空间四边形中，，，则的值是（   ） A． B． C． D．0 4．（26-27高二·全国·课后作业）如图，在正方体中，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（26-27高二上·四川广安·阶段检测）已知四面体ABCD，=，=，=，点M在棱DA上，=，N为BC中点，则＝（    ） A． B． C． D． 6．（26-27高二上·全国·课后作业）在空间直角坐标系O­-xyz中，分别是x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量，设为非零向量，且，，则（  ） A． B． C．或 D．或 7．（26-27高二上·河南·阶段检测）如图，已知四棱锥的底面是边长为4的菱形，且，底面，若点到平面的距离为，则（    ） A． B． C．1 D．2 8．（25-26高二上·福建福州·期末）如图，在三棱锥中，平面，，点，分别为，的中点，，，则点到平面的距离是（    ）    A． B． C． D． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（专题03共面向量定理（重点突围）-【学霸满分】2025-2026学年高二数学下学期重难点专题提优训练（苏教版2019选择性必修第二册））下列说法错误的是（    ） A．空间的任意三个向量都不共面 B．空间的任意两个向量都共面 C．三个向量共面，即它们所在的直线共面 D．若三向量两两共面，则这三个向量一定也共面 10．（26-27高二上·全国·课后作业）已知平面内两向量，且，若为平面的一个法向量，则（ ） A． B． C． D． 11．（25-26高二下·广东潮州·期末）如图，在直三棱柱中，，，则（     ） A．向量在向量上的投影向量为 B．向量在向量上的投影向量为 C． D．与的夹角为锐角 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（25-26高二上·上海青浦·阶段检测）点关于平面对称点是___________. 13．（26-27高二·全国·课后作业）已知，分别是直线，的方向向量，那么“，不平行”是“，异面”的________条件．（填“必要不充分”“充分不必要”“充要”或“既不充分也不必要”） 14．（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，四面体为鳖臑，平面ABC，，且，，则二面角的正弦值为______. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（26-27高二上·云南玉溪·开学考试）如图，在棱长为2的正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为的中点，求： (1)直线和的方向向量的坐标； (2)平面的一个法向量的坐标． 16．（26-27高二上·天津宁河·阶段检测）已知，． (1)求； (2)若，求实数的值． 17．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，为的中点. (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 18．（2026·重庆·三模）在正三棱柱中，已知分别是棱的中点． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 19．（25-26高三下·北京海淀·阶段检测）如图，在边长为2的正方体中，E是棱上的点，平面交棱于点F． (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度及此时点到平面的距离． 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $