第二章 一元二次方程 基础过关卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

基础过关卷第二章一元二次方程2026~2027 学年北师大版九年级上册数学 本卷包含小节：2.1 认识一元二次方程、2.2 一元二次方程的解法、2.3 一元二次方程的根与系数的关系、2.4 一元二次方程的应用 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．有下列方程：① ；② ；③ ；④ ．其中是一元二次方程的是（　　） A．①③ B．①② C．②③ D．③④ 2．一个直角三角形的斜边长为 ，两条直角边的长相差 ，若设较短的直角边长为 ，则可列方程（　　） A． B． C． D． 3．已知 和 是关于 的一元二次方程 的两个根，则 、 的值分别是（　　） A．， B．， C．， D．， 4．对于方程 ， 的计算结果是（　　） A． B． C． D． 5．已知实数 满足 ，则 的值是（　　） A． B． C． 或 D． 6．下列方程中，没有实数根的是（　　） A． B． C． D． 7．有一种植物，它的主干长出若干个支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若主干、支干和小分支的总数是 ，设每个支干长出 个小分支，则可列方程（　　） A． B． C． D． 8．若关于 的方程 有两个相等的实数根，则 的值是（　　） A． B． C． D． 9．已知 、 是方程 的两个根，则 的值是（　　） A． B． C． D． 10．已知关于 的方程 ，给出下列四个结论，其中正确的个数是（　　） ① 无论 取何值，方程总有两个实数根； ② 两根之和为 ； ③ 当 时，方程的根为 或 ； ④ 两根之积为 ． A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．方程 的解是______． 12．若关于 的方程 是一元二次方程，则 的值是______． 13．两个连续正整数的积是 ，则其中较小的数是______． 14．若关于 的一元二次方程 没有实数根，则 的取值范围是______． 15．用配方法把 变形为 的形式，则 的值是______． 16．已知关于 的方程 的两个实数根的平方和等于 6，则 的值是______． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分）用直接开平方法解下列方程： (1) ； (2) ． 18．（6 分）已知关于 的方程 ． (1) 当 为何值时，该方程是一元二次方程？ (2) 当 为何值时，该方程是一元一次方程？ 19．（6 分）用一根长 20 厘米的绳子围成一个矩形，使它的面积为 24 平方厘米，求这个矩形的长和宽． 20．（6 分）某商店销售一种商品，每件进价 20 元，售价 30 元时每天可售出 100 件．为扩大销售，商店决定降价促销，经调查发现：每件每降价 1 元，每天可多售出 20 件． (1) 设每件降价 元，分别用含 的代数式表示每件商品的利润和每天的销售量； (2) 若商店希望每天销售该商品获利 1120 元，则每件商品应降价多少元？ 21．（6 分）已知关于 的方程 的两个根为 、（不解方程）． (1) 求 与 的值； (2) 求 的值． 22．（6 分）已知关于 的方程 ． (1) 求证：无论 取何值，这个方程总有两个不相等的实数根； (2) 若方程的一个根为 2，求 的值及这个方程的另一个根． 23．（8 分）某公司 2024 年利润为 200 万元，2026 年利润为 288 万元，且 2025 年、2026 年每年的增长率相同． (1) 求年平均增长率； (2) 若 2027 年仍保持该增长率，公司 2027 年的利润能否达到 400 万元？请说明理由． 24．（8 分）已知关于 的方程 有两个实数根 、． (1) 求 的取值范围； (2) 若 ，求 的值，并求出此时方程的两个根． 学科网（北京）股份有限公司 $ 基础过关卷第二章一元二次方程2026~2027 学年北师大版九年级上册数学 本卷包含小节：2.1 认识一元二次方程、2.2 一元二次方程的解法、2.3 一元二次方程的根与系数的关系、2.4 一元二次方程的应用 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．有下列方程：① ；② ；③ ；④ ．其中是一元二次方程的是（　　） A．①③ B．①② C．②③ D．③④ 2．一个直角三角形的斜边长为 ，两条直角边的长相差 ，若设较短的直角边长为 ，则可列方程（　　） A． B． C． D． 3．已知 和 是关于 的一元二次方程 的两个根，则 、 的值分别是（　　） A．， B．， C．， D．， 4．对于方程 ， 的计算结果是（　　） A． B． C． D． 5．已知实数 满足 ，则 的值是（　　） A． B． C． 或 D． 6．下列方程中，没有实数根的是（　　） A． B． C． D． 7．有一种植物，它的主干长出若干个支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若主干、支干和小分支的总数是 ，设每个支干长出 个小分支，则可列方程（　　） A． B． C． D． 8．若关于 的方程 有两个相等的实数根，则 的值是（　　） A． B． C． D． 9．已知 、 是方程 的两个根，则 的值是（　　） A． B． C． D． 10．已知关于 的方程 ，给出下列四个结论，其中正确的个数是（　　） ① 无论 取何值，方程总有两个实数根； ② 两根之和为 ； ③ 当 时，方程的根为 或 ； ④ 两根之积为 ． A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．方程 的解是______． 12．若关于 的方程 是一元二次方程，则 的值是______． 13．两个连续正整数的积是 ，则其中较小的数是______． 14．若关于 的一元二次方程 没有实数根，则 的取值范围是______． 15．用配方法把 变形为 的形式，则 的值是______． 16．已知关于 的方程 的两个实数根的平方和等于 6，则 的值是______． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分）用直接开平方法解下列方程： (1) ； (2) ． 18．（6 分）已知关于 的方程 ． (1) 当 为何值时，该方程是一元二次方程？ (2) 当 为何值时，该方程是一元一次方程？ 19．（6 分）用一根长 20 厘米的绳子围成一个矩形，使它的面积为 24 平方厘米，求这个矩形的长和宽． 20．（6 分）某商店销售一种商品，每件进价 20 元，售价 30 元时每天可售出 100 件．为扩大销售，商店决定降价促销，经调查发现：每件每降价 1 元，每天可多售出 20 件． (1) 设每件降价 元，分别用含 的代数式表示每件商品的利润和每天的销售量； (2) 若商店希望每天销售该商品获利 1120 元，则每件商品应降价多少元？ 21．（6 分）已知关于 的方程 的两个根为 、（不解方程）． (1) 求 与 的值； (2) 求 的值． 22．（6 分）已知关于 的方程 ． (1) 求证：无论 取何值，这个方程总有两个不相等的实数根； (2) 若方程的一个根为 2，求 的值及这个方程的另一个根． 23．（8 分）某公司 2024 年利润为 200 万元，2026 年利润为 288 万元，且 2025 年、2026 年每年的增长率相同． (1) 求年平均增长率； (2) 若 2027 年仍保持该增长率，公司 2027 年的利润能否达到 400 万元？请说明理由． 24．（8 分）已知关于 的方程 有两个实数根 、． (1) 求 的取值范围； (2) 若 ，求 的值，并求出此时方程的两个根． 参考答案与详细解析 1．【答案】 A 【解析】 一元二次方程要同时满足：只含一个未知数；未知数的最高次数是 2；是整式方程；二次项系数不为 0； ① 满足全部条件，是一元二次方程； ② 的分母中含有未知数，是分式方程，不是； ③ 满足全部条件，是一元二次方程； ④ 的最高次数是 3，是三次方程，不是； 所以是一元二次方程的是 ①③．选 A． 【解题提示】判断时最容易漏看两点：分母里有未知数就不是整式方程；次数是 3 的不是二次方程，哪怕式子里出现了 ． 2．【答案】 A 【解析】 设较短的直角边长为 ，则较长的直角边长为 ； 由勾股定理，两条直角边的平方和等于斜边的平方； 所以 ，即 ．选 A． 【解题提示】用勾股定理列方程时，斜边要单独平方，别把 和 、 混在一起；「相差 7」说明较长的边是 ，写反了方程就错了． 3．【答案】 A 【解析】 由根与系数的关系，，； 所以 ，，即 ，．选 A． 【解题提示】已知两根求系数，用「两根之和等于 、两根之积等于 」反推；这边二次项系数 ，故 就是两根之和， 就是两根之积；算完可把 、 代回原方程验一验． 4．【答案】 A 【解析】 这里 ，，； ．选 A． 【解题提示】 要先平方： 不是 ；判别式是 ，不要写成 ． 5．【答案】 A 【解析】 把重复出现的整式看作一个整体，设 ，原方程化为 ； 因式分解得 ，解得 或 ； 当 时，，，有实数根； 当 时，，，无实数根，舍去； 所以 的值是 ．选 A． 【解题提示】把重复出现的整式 当作一个整体 （换元法），先解关于 的方程；换元后务必代回检验对应的 是否为实数，使判别式小于 0 的那个 值要舍去． 6．【答案】 C 【解析】 A：，有两个不相等的实数根； B：，有两个相等的实数根； C：，没有实数根； D：，有两个不相等的实数根．选 C． 【解题提示】判断根的情况只看判别式的符号： 两个不等实根、 两个相等实根、 无实数根． 7．【答案】 A 【解析】 主干只有 1 个； 每个支干长出 个小分支，而支干共有 个，所以小分支有 个； 主干、支干、小分支的总数为 ； 由总数是 得 ，即 ．选 A． 【解题提示】先理清「谁长出谁」的层级关系：主干 1 个，支干 个，小分支是「每个支干各长 个」，共 个；总数是三者相加，别把 个支干各长 个误算成 个． 8．【答案】 D 【解析】 两个相等的实数根，等价于判别式等于 0； ； 解得 ．选 D． 【解题提示】「有两个相等的实数根」就是 ；此时方程为 ，即 ，两根都是 ． 9．【答案】 A 【解析】 由根与系数的关系，，； ； ．选 A． 【解题提示】形如 的式子，展开后是「积 倍和 」，全部用和与积表示即可． 10．【答案】 C 【解析】 ① 判别式 ，所以总有两个实数根，正确； ② 两根之和为 ，不是 ，错误； ③ 当 时，方程为 ，即 ，根为 或 ，正确； ④ 两根之积为 ，正确； 正确的是 ①③④，共 个．选 C． 【解题提示】含参方程先算判别式：本题配方后恰好是完全平方式 ，这说明方程的结构特殊（可因式分解为 ）；多结论题逐条甄别，和的符号是常设的错点． 11．【答案】 ， 【解析】 直接开平方：； 得 ； 得 ； 所以 ，． 【解题提示】开平方要同时取正负两个值，写成两个解；只取 会漏掉另一个根． 12．【答案】 【解析】 一元二次方程要求未知数的最高次数是 2，并且二次项系数不为 0； 由指数 得 或 ，即 或 ； 又二次项系数 ，即 ，所以 不符合要求，舍去； 当 时，二次项系数为 ，方程化为 ，是一元二次方程； 所以 ． 【解题提示】这类题要同时守住两个条件：未知数的最高次数是 2、二次项系数不为 0；先由次数解出候选值，再用二次项系数不为 0 逐一筛掉不合要求的． 13．【答案】 【解析】 设较小的正整数为 ，则较大的正整数为 ； 由两个正整数的积是 得 ； 整理得 ； 因式分解得 ，解得 或 ； 因为 是正整数，所以 舍去，取 ； 检验：，符合题意； 所以较小的数是 ． 【解题提示】先用「连续整数」把较大的数表示成 ，再按「积等于 156」列方程；解出的一正一负两根，要用「正整数」这个条件把负根舍去． 14．【答案】 【解析】 没有实数根等价于判别式小于 0； ； 解得 ． 【解题提示】注意常数项是 ，代入 时得到的是 ；「没有实数根」对应 ，不要与 混淆． 15．【答案】 【解析】 二次项系数化为 1：两边同除以 2，得 ； 移项得 ； 两边加上 ：； 左边写成 ，右边为 ，所以 ． 【解题提示】二次项系数不是 1 时，第一步先除以二次项系数，之后才是常规配方；两边要同时除，不要只除某一项． 16．【答案】 【解析】 由根与系数的关系，，； ； ； 由题意 ，即 ，得 或 ； 检验判别式： ； 当 时，，方程无实数根，舍去； 当 时，，符合题意； 所以 ． 【解题提示】由平方和求出参数后，必须回代判别式确认方程真的有实数根；本题恰好要把正的那个值舍掉，这是压轴填空的常见考点． 17．【答案】 (1) ，；(2) ， 【解析】 (1) 移项得 ； 直接开平方得 ，即 ，； (2) 移项得 ； 开平方得 ； 得 ； 得 ； 所以 ，． 【解题提示】形如「平方 = 非负数」的方程都能直接开平方；(2) 要先把 看成一个整体再开方，最后把 解出来． 18．【答案】 (1) 且 ；(2) 【解析】 (1) 一元二次方程要求二次项系数不为 0； 这里二次项系数是 ，由 得 且 ； (2) 一元一次方程要求二次项系数等于 0，同时一次项系数不等于 0； 由 得 或 ； 当 时，一次项系数 ，方程化为 ，是一元一次方程，符合； 当 时，一次项系数 ，方程左边只剩常数项，不含未知数，不能成为一元一次方程，舍去； 所以 ． 【解题提示】判断「一元二次方程」只看二次项系数是否为 0；判断「一元一次方程」要同时看两处：二次项系数必须等于 0，一次项系数必须不等于 0，两者缺一不可． 19．【答案】 长为 厘米，宽为 厘米 【解析】 设矩形的宽为 厘米，则长为 厘米； 由面积关系得 ； 整理得 ； 因式分解得 ，解得 或 ； 当 时，；当 时，； 所以矩形的长为 厘米，宽为 厘米． 【解题提示】周长已知时先用「长 + 宽 = 周长的一半」表示另一个量；求出两个解表示的是同一个矩形的长和宽（只是设的字母不同），答话时按「长大于宽」归位即可． 20．【答案】 (1) 每件利润 元，每天销售量 件；(2) 每件降价 元或 元 【解析】 (1) 原来每件利润为 （元），每件每降价 1 元利润就减少 1 元，所以降价 元后每件利润为 元； 原来每天售出 100 件，每降价 1 元可多售 20 件，所以降价 元后每天的销售量为 件； (2) 由「每天利润 = 每件利润 × 每天销售量」列方程：； 展开得 ； 整理得 ，即 ； 因式分解得 ，解得 或 ； 、 都是正数且小于原来的每件利润 10 元，均符合题意； 所以每件商品应降价 元或 元． 【解题提示】商品利润题的基本等量关系是「每件利润 × 每天销售量 = 每天利润」；降价 元时，每件利润变为「原利润 」，每天销售量变为「原销量 每元增量 」；解出两根后要检验是否都符合实际（降价不能超过原利润）． 21．【答案】 (1) ，；(2) 【解析】 (1) 由根与系数的关系，，； (2) ； ． 【解题提示】「不解方程」就是要求用根与系数的关系；平方和必须先配成 ，不能直接写成 ． 22．【答案】 (1) 见解析；(2) 时另一根为 ； 时另一根为 【解析】 (1) 判别式 ； ； 所以无论 取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2) 把 代入方程：； 整理得 ，即 ； 解得 或 ； 当 时，方程为 ，根为 和 ，另一个根为 ； 当 时，方程为 ，根为 和 ，另一个根为 ． 【解题提示】证明类问题把判别式化成「非负数 + 正数」的形式即可；(2) 求出 有两个值时，每个 都要写出对应的方程并求另一根，不要只答其中一个． 23．【答案】 (1) ；(2) 不能 【解析】 (1) 设年平均增长率为 ，由题意得 ； ； 因为 ，所以 ，； (2) 2027 年的利润为 （万元）； 因为 ，所以 2027 年的利润不能达到 400 万元． 【解题提示】增长率问题先抓「从哪一年到哪一年」隔了几年；判断「能否达到」时算出具体数值再比较，不要凭感觉． 24．【答案】 (1) ；(2) ，两根为 ， 【解析】 (1) 方程有两个实数根，所以 ； ； 解得 ； (2) 由根与系数的关系，，； 由题意 ； 即 ，解得 ； 检验： 满足 ，符合题意； 此时方程为 ； ； 所以两个根为 ，． 【解题提示】「积减和」直接套根与系数的关系就能求参数；求出 后要回代 (1) 的范围检验；最后解方程时判别式不是完全平方数，用公式法保留根号． 学科网（北京）股份有限公司 $