第二章 一元二次方程基础过关自测卷2026-2027学年九年级数学上册北师大版

**基本信息** 一元二次方程单元复习卷，以基础过关为主，融合芯片研发、杨辉数学问题、童装销售等情境，覆盖定义、解法、应用等核心知识，通过对称方程新定义、几何动点题设计提升能力，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|定义、配方法、根的判别式|第6题芯片研发考增长率模型，体现数学眼光观察现实| |填空题|4/12|韦达定理、古代数学问题|第13题杨辉矩形面积问题，传承数学文化| |解答题|7/58|解方程、几何动点、对称方程|第20题新定义对称方程考推理能力，第19题童装销售培养模型意识|

第二章 一元二次方程基础过关自测卷 （考试时间：60分钟 试卷满分：100分） 1． 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列方程中，是一元二次方程的有（     ） A． B． C． D． 2．将一元二次方程化成一般式，则一次项系数和常数项分别是（     ） A．3，5 B．3， C．，5 D． 3．方程的根是（     ） A． B． C． D． 4．用配方法解一元二次方程，以下变形正确的是（     ） A． B． C． D． 5．用公式法解方程时，得，则“”处应填（     ） A．1 B． C．2 D． 6．为突破半导体技术壁垒、建设科技强国，某国产芯片企业持续加大自主研发投入．该企业2023年研发投入30亿元，2025年研发投入达到45亿元，那么这两年研发投入的平均年增长率为多少？设研发投入的平均年增长率为x，则下列方程正确的是（     ） A． B． C．D． 7．关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（     ） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 8．若关于的一元二次方程的一个实数根为1，则另一实数根为（     ） A． B． C． D． 9．若是方程 的两个根，则 的值为（     ） A． B． C．1 D．0 10．如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使的面积为，则点P运动的时间是（     ） A． B． C． D． 2． 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．一元二次方程的一次项系数是_________． 12．若方程的两个根为，，则____________． 13．南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载了这样一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步，只云阔不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步．设阔步，根据题意可列方程为___________． 14．将个数、、、排成两行、两列，两边各加一条竖线段，定义，上述记号就叫做二阶行列式，若 ，则______． 三．解答题（本题共7小题，第15-第20题每小题8分，第21题10分，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．解下列方程： (1)； (2)． 16．某学校校园文化节期间，委托文具店定制一批校园纪念笔记本．文具店4月15日定制出2000本，16日、17日定制量持续增加，到4月17日当天的定制量达到3380本，若16日、17日这两日定制量的日平均增长率相同，求这两日定制量的日平均增长率． 17．已知关于的一元二次方程 (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)若该方程的一个根为3，求的值及该方程的另一根． 18．新型科技广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进1台智能机器人采摘某种水果．如图，为了方便智能机器人和工人采摘水果，计划在一块长、宽的矩形果园上修建三条道路，道路的宽度都相等，道路将果园分成面积均为的个小矩形，求道路的宽度． 19．市百一店童装柜在销售中发现：某童装平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了迎接新年，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出3件．为保持节后销售价格的稳定性，降价不能超过15元．要想平均每天销售这种童装盈利1800元，那么每件童装应降价多少元？ 20．定义：如果关于x的方程（，，，是常数）与（，，，是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，，则称这两个方程互为“对称方程”．例如：方程的“对称方程”是．请根据上述内容，解决以下问题： (1)直接写出方程的“对称方程”：________； (2)已知关于x的方程与互为“对称方程”． ①________，_______； ②求方程的解． 21．如图，在中，，，点P从点A开始沿边向B以的速度移动．同时，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，当一个动点到达终点，另一动点随之停止运动．    (1)几秒后，的面积等于？ (2)的面积能否等于？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次方程基础过关自测卷 （考试时间：60分钟 试卷满分：100分） 1． 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列方程中，是一元二次方程的有（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A．方程含有分式，属于分式方程，不是整式方程，因此不是一元二次方程，不符合题意； B．中未规定，若，方程不是一元二次方程，不符合题意； C．原方程展开整理，得，满足一元二次方程的全部条件，因此是一元二次方程，符合题意； D．方程含有多个未知数，不是一元方程，因此不是一元二次方程，不符合题意． 2．将一元二次方程化成一般式，则一次项系数和常数项分别是（     ） A．3，5 B．3， C．，5 D． 【答案】B 【分析】一元二次方程的一般式为（），其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项，先将原方程整理为一般式，再确定对应系数即可. 【详解】解：∵方程化成一般式为， ∴一次项系数为，常数项为. 3．方程的根是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将方程移项得， 提取公因式得， 或，解得. 4．用配方法解一元二次方程，以下变形正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，将左边整理为完全平方式即可得到正确结果． 【详解】解：∵ ， 移项，得 ， ∵ 一次项系数为，其一半的平方为， ∴ 等式两边同时加，得 ， 整理得 ． 5．用公式法解方程时，得，则“”处应填（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，确定的值，再对照求根公式即可得到方框内的数值． 【详解】解： ∵， ∴ 移项得， 此处，，， ， 对比题干给出的式子，可知处应填． 6．为突破半导体技术壁垒、建设科技强国，某国产芯片企业持续加大自主研发投入．该企业2023年研发投入30亿元，2025年研发投入达到45亿元，那么这两年研发投入的平均年增长率为多少？设研发投入的平均年增长率为x，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用增长率问题的基本关系，即初始投入乘以平均年增长率的年数次方等于最终投入，即可得到正确方程. 【详解】解：∵设研发投入的平均年增长率为，2023年研发投入为亿元，从2023年到2025年共经过年， ∴2024年研发投入为亿元， 2025年研发投入为亿元， 又∵2025年研发投入为亿元， ∴列方程得. 7．关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（     ） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【详解】解：一元二次方程中，，，， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 8．若关于的一元二次方程的一个实数根为1，则另一实数根为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设原方程的另一个实数根为，由根与系数的关系可得，据此可得答案． 【详解】解：设原方程的另一个实数根为， 由一元二次方程根与系数的关系可得， ∴， ∴原方程的另一个实数根为． 9．若是方程 的两个根，则 的值为（     ） A． B． C．1 D．0 【答案】C 【分析】先对所求代数式变形，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程 的两个根， ∴，． 整理所求代数式得：， ∴原式． 10．如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使的面积为，则点P运动的时间是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，则，根据三角形的面积公式可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∵，的面积为， ∴， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴． 二．填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．一元二次方程的一次项系数是_________． 【答案】1 【分析】一元二次方程的一般形式为，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项，根据定义即可确定一次项系数． 【详解】解：在一元二次方程中， ∵一次项为， ∴一次项系数是1． 12．若方程的两个根为，，则____________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，确定一元二次方程的二次项系数与常数项后，可直接根据关系计算两根之积． 【详解】解：方程中，，， 根据根与系数的关系可得． 13．南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载了这样一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步，只云阔不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步．设阔步，根据题意可列方程为___________． 【答案】 【分析】先根据宽与长的数量关系表示出矩形的长，再利用矩形面积公式即可列出方程． 【详解】解：设矩形的阔为步，则矩形的长为步， 由题意得，． 14．将个数、、、排成两行、两列，两边各加一条竖线段，定义，上述记号就叫做二阶行列式，若 ，则______． 【答案】或 【分析】根据定义可得 ，解方程即可得到答案． 【详解】解： ， ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴ ， 解得或． 三．解答题（本题共7小题，第15-第20题每小题8分，第21题10分，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 解得，； （2）解： 或 解得，． 16．某学校校园文化节期间，委托文具店定制一批校园纪念笔记本．文具店4月15日定制出2000本，16日、17日定制量持续增加，到4月17日当天的定制量达到3380本，若16日、17日这两日定制量的日平均增长率相同，求这两日定制量的日平均增长率． 【答案】这两日定制量的日平均增长率是 【详解】解：设这两日定制量的日平均增长率是x．由题意得：      解得：，（不合题意舍去）     答：这两日定制量的日平均增长率是． 17．已知关于的一元二次方程 (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)若该方程的一个根为3，求的值及该方程的另一根． 【答案】(1) (2) 的值为，方程的另一根为 【分析】（1）根据方程有两个不相等实数根，结合判别式大于0列不等式求解； （2）可代入已知根求，再解方程得另一根，或利用根与系数的关系直接计算． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 解得； （2）解：设方程的另一根为， 根据根与系数的关系，得， ， 解得，． 18．新型科技广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进1台智能机器人采摘某种水果．如图，为了方便智能机器人和工人采摘水果，计划在一块长、宽的矩形果园上修建三条道路，道路的宽度都相等，道路将果园分成面积均为的个小矩形，求道路的宽度． 【答案】道路宽度为1m 【分析】设道路宽度为，则6个小矩形的合并在一起的长为，宽为，结合6个小矩形的面积之和为列出方程，求解即可． 【详解】解：设道路宽度为，依题意得 ， 解得，（不合实际，舍去）． 答：道路宽度为． 19．市百一店童装柜在销售中发现：某童装平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了迎接新年，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出3件．为保持节后销售价格的稳定性，降价不能超过15元．要想平均每天销售这种童装盈利1800元，那么每件童装应降价多少元？ 【答案】10元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每件童装应降价x元，则每件盈利元，每天可售出件，利用每天销售童装获得的总利润每件童装的销售利润每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合降价不能超过15元即可得出每件童装应降价10元． 【详解】解：设每件童装应降价x元，则每件盈利元，每天可售出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又∵降价不能超过15元， ∴， 答：每件童装应降价10元． 20．定义：如果关于x的方程（，，，是常数）与（，，，是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，，则称这两个方程互为“对称方程”．例如：方程的“对称方程”是．请根据上述内容，解决以下问题： (1)直接写出方程的“对称方程”：________； (2)已知关于x的方程与互为“对称方程”． ①________，_______； ②求方程的解． 【答案】(1) (2)①，  ②， 【分析】本题考查了解一元二次方程，“对称方程”的定义，熟练掌握“对称方程”的定义是解此题的关键． （1）根据“对称方程”的定义即可得解； （2）①根据“对称方程”的定义即可得解；②将，代入，得，再解方程即可得解． 【详解】（1）解：方程的“对称方程”； （2）解：①由，移项可得． 由互为“对称方程”的定义可得，，， 解得，． ②将，代入，得， 解方程得，． 21．如图，在中，，，点P从点A开始沿边向B以的速度移动．同时，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，当一个动点到达终点，另一动点随之停止运动．    (1)几秒后，的面积等于？ (2)的面积能否等于？ 【答案】(1)1秒 (2) 解：设运动是t秒， 根据题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则原方程无解． 所以的面积不能等于． 【分析】（1）设运动是t秒，根据题意得：，，根据，得到关于t的方程，即可求解； （2）设运动是t秒，根据题意得：，，根据，得到关于t的方程，即可求解． 【详解】（1）解：设运动是t秒， 根据题意得：， ∴， ∵， ∴， 解得：或4（不符合题意，舍去）． 所以1秒时，的面积等于； （2）略 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $