30.2 三角形的内切圆 知识清单 2026-2027学年人教版数学九年级上册

30.2 三角形的内切圆　知识清单 人教版（2024）　九年级上册　第三十章《直线与圆的位置关系》 教材 P158 起　30.2 三角形的内切圆 图 1　本节知识地图：内切圆与内心、尺规作图、内心的性质、应用 一、学习目标与重难点 维度 内容 学习 目标 ① 理解三角形内切圆的概念，会区分内切圆与三角形的外接圆； ② 能用尺规作出三角形的内切圆，并说清每一步的依据； ③ 掌握内心的性质：三角形三条内角平分线的交点，到三边的距离相等，一定在三角形的内部； ④ 会综合运用切线长定理、角平分线的性质进行与内切圆有关的简单计算。 重点 内切圆与内心的概念；用尺规作三角形的内切圆 难点 作图的依据（角平分线的性质与判定相切的条件）；与切线长定理综合的计算 前面研究了一条直线与圆的位置关系：相离、相切、相交，以及切线的性质、判定与切线长。本节换一个角度：让一条圆与一个三角形的三条边都相切，研究这个圆——三角形的内切圆，以及它的圆心——三角形的内心。 二、情境引入：截最大的圆 教材 P158 从一个实际问题出发：在一块三角形铁皮上截一个圆形用料，怎样截才能使这个圆形用料的面积最大（图 2）？ 图 2　情境引入：与三边都相切且面积最大的圆就是内切圆 圆形不能伸出三角形的边，也就是说圆要与三角形的三条边都相切。在与三边都相切的圆中，内切圆最大。要找到这个圆的圆心，关键是用上一节的两样东西：切线长定理与角平分线的性质。 三、内切圆与内心 定义　与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 内心　内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。 几何语言　因为 ⊙I 与 △ABC 的三边都相切，所以 ⊙I 是 △ABC 的内切圆，点 I 是 △ABC 的内心。 图 3　⊙I 与 △ABC 的三边分别相切于点 D、E、F，ID = IE = IF 如图 3，⊙I 与 △ABC 的边 BC、CA、AB 分别相切于点 D、E、F，那么 ID、IE、IF 都是过切点的半径，都垂直于对应的边，长度都等于内切圆的半径。 四、尺规作三角形的内切圆 已知 △ABC，怎样用直尺和圆规作出与它的三边都相切的圆（图 4）？ 图 4　尺规作三角形的内切圆：两内角平分线定圆心，垂线段定半径 作法　① 分别作 ∠B 与 ∠C 的平分线 BX、CY，设它们相交于点 I； ② 过点 I 作 ⊥ BC，垂足为 D； ③ 以点 I 为圆心、 为半径作圆。⊙I 就是所求的圆。 为什么这样作出来的圆与三边都相切？因为点 I 在 ∠B 的平分线上，到 AB 与 BC的距离相等；点 I 也在 ∠C 的平分线上，到 AC 与 BC 的距离相等。所以点 I 到三边的距离都相等，且都等于 。 而 ⊙I 的半径就是 ID，即圆心到三条边的距离都等于半径。由「圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切」，⊙I 与 △ABC 的三边都相切。 要点　作内切圆只作两个内角的平分线就够了：两条平分线的交点就是圆心；半径是圆心到任意一边的垂线段的长，不必作第三条平分线。 五、内心的性质与外心、内心的区别 性质　三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点。 推论　内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心一定在三角形的内部。 图 5　左：三条内角平分线交于内心 I，ID = IE = IF；右：外心与内心的区别 内心与上一章见过的外心是两个容易混的「心」（图 5 右栏）：外心是三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等，不一定在三角形内部；内心是三条内角平分线的交点，到三边的距离相等，一定在三角形内部。一个管「顶点」，一个管「边」。 六、内心与角 内心是角平分线的交点，所以与角的计算天然联系在一起（图 6）。设 I 是 △ABC 的内心，∠BIC 与 ∠A 之间有如下关系。 图 6　内心与角：∠BIC = 90° + 二分之一 ∠A 解　因为 I 是 △ABC 的内心，BI 平分 ∠ABC，CI 平分 ∠ACB， 所以 ∠IBC = @f{1}{2}∠ABC，∠ICB = @f{1}{2}∠ACB。 于是 ∠IBC + ∠ICB = @f{1}{2}(∠ABC + ∠ACB)， 又 ∠ABC + ∠ACB = 180° − ∠A，所以 ∠IBC + ∠ICB = 90° − @f{1}{2}∠A。 在 △BIC 中，∠BIC = 180° − (∠IBC + ∠ICB)， 所以 ∠BIC = 90° + @f{1}{2}∠A。 这个结论可以顺着用，也可以反着用：知道 ∠A 求 ∠BIC；知道 ∠BIC 反求 ∠A。例如 ∠A = 50°，则 ∠BIC = 115°；反过来 ∠BIC = 110°，则 ∠A = 40°。 七、例题精讲 例 1　求 AF、BD、CE 的长（教材 P159，图 30-2-8） 如图 7，⊙I 是 △ABC 的内切圆，与 BC、CA、AB 分别相切于点 D、E、F，且 ，，。求 、、 的长。 图 7　例 1：设 AF = x，由 BD + CD = BC 列方程 解　设 。 由切线长定理，从点 A 引的两条切线相等，。 同理 ，。 又 ，即 ，解得 。 所以 ，，。 本题的关键是用切线长定理把分散在各条边上的线段集中到一条边上：同一个顶点出发的两段相等，四条线段最后都用 x 表示，再由 BD + CD = BC 建立方程。设未知数时选「从同一顶点出发的切线长」，方程最简。 例 2　已知 ∠BIC 求 AB（教材 P160 练习） 在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，点 I 是 △ABC 的内心，∠BIC = 120°，。求 AB 的长。 解　因为 I 是 △ABC 的内心，CI 平分 ∠ACB， 所以 ∠ICB = @f{1}{2}∠ACB = 45°。 在 △BIC 中，∠IBC = 180° − ∠BIC − ∠ICB = 15°。 BI 平分 ∠ABC，所以 ∠ABC = 2∠IBC = 30°。 在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，∠ABC = 30°，AC 是 30° 角 ∠ABC 的对边， 所以 。 例 3　求直角三角形的内切圆半径（拓展） Rt△ABC 的两直角边分别为 a、b，斜边为 c，求内切圆的半径 r（图 8）。 图 8　直角三角形内切圆半径：r 等于二分之一 (a + b − c) 解　设内切圆 ⊙I 与 CA、CB、AB 分别相切于 E、F、D。 因为 IE ⊥ CA，IF ⊥ CB，∠C = 90°，，所以四边形 CDIE 是正方形，。 由切线长定理，，。 而 ，即 ， 所以 r = @f{a + b − c}{2}。 例如两直角边为 6、8，斜边为 10，则 r = @f{6 + 8 − 10}{2} = 2。这个推导只用了切线长定理与正方形，不用死记结论，遇到题现场推即可。 八、易错清单 本节内容不难，但「心」多、「等」多，稍不留神就混。下面六个地方逐条对照检查。 易错点 错在哪里 正确做法 ① 把内心当外心 两个「心」的确定方法与性质说反 外心是三边垂直平分线的交点、到顶点等距；内心是三条内角平分线的交点、到三边等距 ② 以为任意圆都能当内切圆 画一个圆往三角形里一套就认为是内切圆 内切圆要与三边都相切，圆心必须在两条内角平分线的交点上 ③ 作图只作一个角的平分线 作一条平分线就定圆心，圆心位置不定 作两个内角的平分线，交点才是圆心；半径是交点到任意一边的垂线段 ④ 半径取成圆心到顶点的距离 把 IA、IB 当成内切圆半径 半径是圆心到边的垂线段长（ID、IE、IF），IA 一般不等于半径 ⑤ 切线长相等用错对象 见相等就用，不管是不是同一个端点出发的 从圆外同一个点引的两条切线长才相等，如 AF = AE、BD = BF、CD = CE ⑥ 认为内心可能在三角形外 把外心「不一定在内部」套到内心上 三条内角平分线都在三角形内部，内心一定在三角形内部 九、方法总结与常见题型 把本节理一遍：实际问题引出「与三边都相切」的要求，用角平分线的性质找到圆心，得到内切圆与内心的概念；作图只作两条内角平分线，半径取垂线段；计算靠切线长定理列方程。 ★ 记忆要点 ① 一个定义：与三角形各边都相切的圆是内切圆，圆心是内心，三角形是圆的外切三角形。 ② 一个作图：两条内角平分线的交点定圆心，圆心到一边的垂线段定半径。 ③ 两个性质：内心到三边距离相等；内心一定在三角形内部。 ④ 一个工具：切线长定理——同一个顶点出发的两段切线长相等，把分散的线段集中到一条边上列方程。 ⑤ 两个公式：∠BIC = 90° + 二分之一 ∠A；直角三角形 r = @f{a + b − c}{2}。 常见题型 解法要点 内心相关的角度计算 内心是角平分线交点，先用角平分线把角减半，再用三角形内角和 切线长求切点分出的线段 设同一顶点出发的切线长为 x，其余线段用 x 表示，再由边长列方程 求内切圆半径 直角三角形用 r = 二分之一 (a + b − c)；一般三角形可分割面积列式 识别尺规作图痕迹 见两条角平分线的弧迹，找的是内心；见两条垂直平分线，找的是外心 内外心对比判断 看交点连线：垂直平分线是外心，角平分线是内心 十、课后巩固 1. △ABC 的内切圆 ⊙I 与 BC、CA、AB 分别相切于点 D、E、F，且 ，，。求 、、 的长。 2. 点 I 是 △ABC 的内心，∠A = 80°，求 ∠BIC 的度数。 3. Rt△ABC 的两直角边分别为 6 和 8，求它的内切圆的半径。 4. ⊙I 是 △ABC 的内切圆，与三边分别相切于 D、E、F。求证：。 5. 在 △ABC 中，，，求 △ABC 的内切圆的半径。 6. 点 I 是 △ABC 的内心，∠BIC = 110°，求 ∠A 的度数。 参考答案与解析 1. 设 ，则 。 由切线长定理，，。 由 ，得 ，解得 。 所以 ，，。 2. 由 ∠BIC = 90° + @f{1}{2}∠A，得 ∠BIC = 90° + 40° = 130°。 3. 斜边为 10。由直角三角形内切圆半径公式 r = @f{6 + 8 − 10}{2} = 2。 4. 由切线长定理，，。 所以 。 5. 等腰三角形底边上的高为 = 8，面积为 @f{1}{2} × 12 × 8 = 48。 设内切圆半径为 r，连接 IA、IB、IC，把三角形分成三个小三角形， 总面积 S = @f{1}{2}r(AB + BC + CA) = 16r，由 16r = 48，得 。 6. 由 ∠BIC = 90° + @f{1}{2}∠A，得 ∠A = 2(110° − 90°) = 40°。 第 5 题用的分割面积法：连接内心与三个顶点，把三角形分成三个以边为底、内切圆半径为高的小三角形，总面积等于三个小三角形面积之和。这个方法对任意三角形都成立。 十一、技能自查 序号 自查内容 能否做到 1 能说出内切圆、内心、外切三角形的定义，并会用几何语言表述 □ 能　□ 还需复习 2 会用尺规作三角形的内切圆，能说清每步的依据（角平分线性质、距离等于半径则相切） □ 能　□ 还需复习 3 知道内心是三内角平分线的交点、到三边距离相等、一定在三角形内部 □ 能　□ 还需复习 4 能列表对比外心与内心的确定方法、性质和位置 □ 能　□ 还需复习 5 会用切线长定理设未知数，列方程求切点分出的线段长 □ 能　□ 还需复习 6 会算内心所成的角（∠BIC = 90° + 二分之一 ∠A），会求直角三角形的内切圆半径 □ 能　□ 还需复习 十二、知识追问 追问 1　为什么圆心一定在两条内角平分线的交点上？ 圆与 AB、AC 都相切，圆心到这两边的距离都等于半径，圆心在 ∠A 的平分线上；圆与 BC、CA 都相切，圆心又在 ∠C 的平分线上。两条内角平分线的交点既在 ∠A 的平分线上又在 ∠C 的平分线上，到这个顶点的两条边距离都相等，自然就是所求的圆心。反过来，这个交点到三边的距离都相等，以它为圆心、这个距离为半径的圆就与三边都相切。 追问 2　半径为什么取「圆心到边的垂线段」，不是圆心到顶点的线段？ 圆与边相切，切点就是圆心在这条边上的垂足，圆心到边的距离正是半径。而圆心到顶点的线段（如 IA）一般比半径长：顶点在圆外，IA 要大于半径。作图时第二步「过 I 作 ID ⊥ BC」，就是为了量出这个半径。 追问 3　已知三边的长，能直接求出内切圆的半径吗？ 能。设三边为 a、b、c，内切圆半径为 r。连接内心与三个顶点，把三角形分成三个小三角形，它们的底分别是 a、b、c，高都是 r，所以总面积 S = @f{1}{2}ar + @f{1}{2}br + @f{1}{2}cr = @f{1}{2}r(a + b + c)。 先用勾股定理或高的知识求出三角形面积 S，再用周长反求 r。第 5 题就是这样做的：面积 48、周长 32，所以 48 = @f{1}{2}r × 32，。 追问 4　三个切点 D、E、F 也在内切圆上，圆的性质还能用吗？ 能，这是把本章知识打通的好机会。D、E、F 是内切圆上的三点，∠FDE 是内切圆的圆周角，它所对的弧是弧 FE。 弧 FE 所对的圆心角是 ∠FIE。在四边形 AEIF 中，∠AEI = 90°，∠AFI = 90°，所以 ∠FIE = 360° − 90° − 90° − ∠A = 180° − ∠A。 由圆周角定理，∠FDE = @f{1}{2}∠FIE = 90° − @f{1}{2}∠A。内切圆不仅切三边，它的圆周角同样服从圆周角定理——遇到内切圆上的点，别忘了这个工具。 十三、章内位置与中考对接 30.2 是第三十章《直线与圆的位置关系》中独立的一节。前面两节研究了一条直线与圆的位置关系，其中切线的性质与判定、切线长定理是本节的直接工具；本节第一次让一个圆与一个三角形的三条边同时相切，得到内切圆与内心。 教材位置 内容 P147—P155 已学：30.1 直线与圆（三种位置关系、切线的性质与判定、切线长定理） P156 探究与发现：两个圆的位置关系 P158—P159 本节：情境引入，内切圆与内心的概念，尺规作图（图 30-2-7） P159—P160 本节：例题（图 30-2-8），练习 P161 起 后续：与多边形有关的内容（30.3） 从「一条直线与圆相切」到「一个圆与三角形三边相切」，研究对象从一个变成三个，方法却不变：还是圆心到直线的距离等于半径，还是切线长定理。内心的本质是「到三边等距的点」，这与角平分线的性质是一回事。 中考怎么考 ① 选择、填空题：判断内心、外心的说法对不对；由 ∠A 求 ∠BIC；由切线长求切点分出的线段；识别尺规作图痕迹。 ② 解答题：与切线长定理综合的计算题，设同一顶点出发的切线长为 x 列方程是标准解法。 ③ 实际应用：材料切割（在三角形铁皮上截最大的圆）、已知三边求内切圆半径。 十四、本节边界 ★ 本节边界：本清单只研究与三角形各边都相切的圆（内切圆）及其圆心（内心）的概念、尺规作图方法、性质，以及与切线长定理有关的计算。其它图形与圆的位置关系、圆中其它与度量有关的量和角，都不属于本课时。 学科网（北京）股份有限公司 $