29.2.3 圆周角 知识清单 2026-2027 学年人教版九年级数学上册

29.2.3 圆周角　知识清单 人教版（2024）　九年级上册　第二十九章《圆》 教材 P127 起　29.2 圆的有关性质（29.2.3 圆周角） 图 1　本节知识地图：圆周角的概念、圆周角定理、两个推论、圆内接四边形 一、学习目标与重难点 维度 内容 学习 目标 ① 理解圆周角的概念，能判断一个角是不是圆周角； ② 理解圆周角定理「一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半」，了解分三种情况的证明思路； ③ 掌握两个推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90° 的圆周角所对的弦是直径； ④ 了解圆内接四边形的概念，掌握「圆内接四边形的对角互补」，并会用这些结论进行简单的计算与证明 重点 圆周角定理及其两个推论；圆内接四边形的对角互补 难点 圆周角定理的证明（为什么要分三种情况）；把圆中的角转化为同一条弧所对的圆心角 前面两节分别研究了圆的两条性质：由轴对称性得到垂径定理，由旋转不变性得到圆心角与弧、弦之间的关系。本节研究圆中另一类重要的角——顶点在圆上的角。学习的关键是抓住「同一条弧」：圆周角、圆心角、弦、弧这四样东西，是靠「对着同一条弧」联系起来的。 二、圆周角的概念 上一节研究的圆心角，顶点在圆心。如果让角的顶点从圆心「走」到圆上，就得到本节要研究的角。 先复习：什么是圆心角 顶点在圆心、角的两边都与圆相交的角叫做圆心角，如 。圆心角的两条边都是圆的半径。 什么是圆周角 图 2　左：顶点在圆上、两边都与圆相交的角 ∠BAC 是圆周角；右：顶点在圆内、顶点在圆外、一边与圆不相交的角，都不是圆周角 圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。 如图 2 左， 的顶点 在圆上，两边 、 都与圆相交，所以它是圆周角。 一个圆周角同时对应一样东西：它所对的弧。如图 2 左， 的两边与圆分别交于点 、，所以 所对的弧是 ，所对的弦是 。 练一练：判断圆周角 判断一个角是不是圆周角，只看两件事：① 顶点是不是在圆上；② 角的两边是不是都与圆相交。两个条件缺一不可。 角的位置 是不是圆周角 理由 顶点在圆上，两边都与圆相交 是 同时满足定义中的两个条件 顶点在圆内，但不在圆心 不是 顶点不在圆上 顶点在圆上，但一边不与圆相交 不是 不满足「两边都与圆相交」 顶点在圆外的角 不是 顶点不在圆上 ★ 注意：圆心角与圆周角的区别就在顶点：圆心角的顶点是圆心，圆周角的顶点在圆上。 三、圆周角定理 一个圆周角与一个圆心角，只要它们所对的弧是同一条，这两个角就有固定的数量关系。如图 3， 是圆周角， 是圆心角，它们所对的弧都是 。量一量就会发现：圆周角的度数正好是圆心角度数的一半。 先看两组数：在 ⊙O 中，若圆心角 ∠BOC = 100°，量出圆周角 ∠BAC = 50°；若圆心角 ∠BOC = 60°，则圆周角 ∠BAC = 30°。圆心角一变，圆周角也跟着变，但总是它的一半。 为什么会有这样「一半」的关系？可以这样想：圆周角的顶点在圆上，圆心角的顶点在圆心，它们对着同一条弧；圆心角的两条半径把这个角「撑」得更大，所以它的度数正好是圆周角的 2 倍。 ★ 想一想：上面两组数里的圆心角并不特殊。只要圆周角与圆心角对着同一条弧，不论圆的大小如何，「一半」的关系都成立。 图 3　⊙O 中，圆周角 ∠BAC 与圆心角 ∠BOC 所对的弧都是弧 BC，所以 ∠BAC = ∠BOC 的一半 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 几何语言：因为 与 所对的弧都是 ，所以 ∠BAC = ∠BOC。 定理告诉我们什么 这条定理把圆周角与圆心角「绑」在了一起。圆中求角的度数时，如果已知圆心角，可以直接除以 2 得到同弧所对的圆周角；反过来，如果已知圆周角，乘 2 就得到同弧所对的圆心角。 换个角度说：在同一条弧上，圆心角是圆周角的 2 倍。所以求圆周角，常常就是「先找同弧所对的圆心角」。 ★ 用定理前先看弧：圆周角与圆心角所对的弧必须是同一条。如果两条弧不一样，就不能用「一半」的关系。 四、圆周角定理的证明：三种情况 圆周角 的顶点在圆上，圆心 可能在角的边上，也可能在角的内部或外部（图 4）。三种情形不能用同一种写法一次证完，所以要分三种情况讨论。其中第一种情况是基础，后两种情况都可以通过作直径化为第一种。 图 4　证明圆周角定理的三种情况：圆心在圆周角的一边上、在角的内部、在角的外部 情况 1　圆心在角的一边上 如图 4 ①，圆心 在 的边 上，此时 是直径。 因为 OA = OC（都是半径），所以 是等腰三角形，∠OAC = ∠OCA。又因为 是 的外角，而三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，所以 ∠BOC = ∠OAC + ∠OCA = 2∠OAC。 而 与 是同一个角，所以 ∠BAC = ∠BOC。 情况 2　圆心在角的内部 如图 4 ②，作直径 ，它把 分成两个角 与 ，也就是 ∠BAC = ∠BAD + ∠DAC。 此时圆心 分别在这两个角的一边上，都属于情况 1，所以 ∠BAD = ∠BOD，∠DAC = ∠DOC。两式相加得 ∠BAC = (∠BOD + ∠DOC) = ∠BOC。 情况 3　圆心在角的外部 如图 4 ③，同样作直径 ，此时 包含了 ，所以 ∠BAC = ∠DAC − ∠DAB。 由情况 1，∠DAC = ∠DOC，∠DAB = ∠DOB。两式相减得 ∠BAC = (∠DOC − ∠DOB) = ∠BOC。 ★ 三种情况证完，圆周角定理就完整成立了。 证明中用到的依据只有两条：一是「等腰三角形的两个底角相等」，二是「三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和」。分情况讨论时，后两种情况都通过作直径，化归为第一种情况。 五、圆周角定理的两个推论 由圆周角定理可以直接得到两个常用的推论（图 5）。 图 5　左：同弧 BC 所对的圆周角相等（∠BAC = ∠BDC）；右：直径 AB 所对的圆周角是直角（∠ACB = 90°） 推论 1　同弧或等弧所对的圆周角相等 推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；反过来，相等的圆周角所对的弧也相等。 如图 5 左， 与 所对的弧都是 ，而 是这条弧所对的圆心角，所以 ∠BAC = ∠BOC，∠BDC = ∠BOC，于是 ∠BAC = ∠BDC。 这条推论说明：在同圆或等圆中，只要圆周角所对的弧是同一条（或相等的两条），这些圆周角就都相等。 ★ 想一想：同一条弦所对的圆周角都相等吗？一条弦把圆分成两条弧，两条弧所对的圆周角可能相等，也可能互补（图 5 左中 与 就对着同一条弧，才相等）。所以要说「同弧或等弧」，不能说「同弦」。 推论 2　半圆（或直径）所对的圆周角是直角 推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；反过来，90° 的圆周角所对的弦是直径。 如图 5 右， 是 ⊙O 的直径， 是平角，所以 ∠AOB = 180°；由圆周角定理得 ∠ACB = × 180° = 90°。 推论 2 是圆中「造直角」的常用工具：只要题中出现直径，就可以把直径所对的圆周角标成 90°，从而得到直角三角形，再用勾股定理或两锐角互余来算。反过来，如果圆中出现了 90° 的圆周角，那么它所对的弦就是直径。 例 1　由圆心角求圆周角 如图，⊙O 是 的外接圆， = 50°，求 的度数。 解　因为 OB = OC（都是半径），所以 是等腰三角形，∠OBC = ∠OCB = 50°。 在 中，∠BOC = 180° − 50° − 50° = 80°。 又 与 所对的弧都是 ，由圆周角定理得 ∠A = × 80° = 40°。 答： 的度数是 40°。 六、圆内接四边形及其性质 把圆周角定理用在一个四边形的四个角上，会得到一条很实用的性质。 图 6　四边形 ABCD 的四个顶点都在 ⊙O 上，它是 ⊙O 的内接四边形，∠A 与 ∠C、∠B 与 ∠D 分别互补 圆的内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。 如图 6，四边形 的四个顶点都在 ⊙O 上，所以四边形 是 ⊙O 的内接四边形，⊙O 是四边形 的外接圆。 性质：圆内接四边形的对角互补 如图 6，连接 、，则 是 所对的圆心角， 是 所对的圆心角。这两条弧正好合成整个圆，所以 ∠BOD + ∠DOB = 360°。 由圆周角定理，∠A = ∠BOD，∠C = ∠DOB，所以 ∠A + ∠C = × 360° = 180°。同理 ∠B + ∠D = 180°。 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。 几何语言：因为四边形 是 ⊙O 的内接四边形，所以 ∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°。 ★ 由此还能得到：圆内接四边形的一个外角，等于与它不相邻的内对角。因为外角与相邻的内角互补，而这个内角又与它的对角互补，两个角都与同一个角互补，所以相等。 例 2　圆内接四边形中求各内角 四边形 内接于 ⊙O，、、 的度数之比是 3 : 2 : 7，求这个四边形各内角的度数。 解　设 ∠A = 3x，∠B = 2x，∠C = 7x。 因为四边形 是 ⊙O 的内接四边形，所以 ∠A + ∠C = 180°，即 3x + 7x = 180°，解得 x = 18°。 所以 ∠A = 3x = 54°，∠B = 2x = 36°，∠C = 7x = 126°。 又 ∠B + ∠D = 180°，所以 ∠D = 180° − 36° = 144°。 答：四个内角分别是 54°、36°、126°、144°。 七、例题精讲与常用辅助线 例 3　用外角求圆心角 四边形 内接于 ⊙O， 是边 的延长线， = 64°，求 的度数。 解　因为四边形 内接于 ⊙O，所以 ∠A + ∠BCD = 180°。 又 ∠DCE + ∠BCD = 180°（邻补角），所以 ∠A = ∠DCE = 64°。 而 与 所对的弧都是 ，由圆周角定理得 ∠BOD = 2∠A = 2 × 64° = 128°。 答： 的度数是 128°。 例 4　直径、圆周角与勾股定理 如图，⊙O 的直径 的长为 10，弦 的长为 6， 的平分线交 ⊙O 于点 。求 、、 的长。 解　因为 是 ⊙O 的直径，由推论 2 得 ∠ACB = ∠ADB = 90°。 在直角三角形 中，BC = = = 8。 因为 平分 ，所以 ∠ACD = ∠BCD。在同圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所以 = ，从而 AD = BD。 在直角三角形 中， + = ，即 2 = 100，所以 AD = BD = 5。 答：BC = 8，AD = BD = 5。 常用辅助线 本节问题中用到的辅助线，都围绕「造出同弧的角」和「造出直角」： ① 连半径、连弦：把圆周角与圆心角接到同一条弧上，便于用圆周角定理； ② 见直径想直角：直径所对的圆周角是 90°，可以立刻得到直角三角形； ③ 见圆内接四边形想对角互补：用它把已知角「搬」到对角上去； ④ 作直径：在证定理或需要直角时，把直径补出来。 解题三步： ① 认角：先看清楚题目给的是不是圆周角——顶点在圆上，两边都与圆相交； ② 找弧：找出这个角所对的弧，再找出与它对着同一条弧的圆心角（或另一个圆周角）； ③ 用定理：用「圆周角是圆心角的一半」「同弧的圆周角相等」「直径所对圆周角是直角」，把要求的角算出来。 八、易错清单 本节的定理只有一个「一半」的关系，但圆周角的两条边、所对的弧、推论中的前提，都是容易出错的地方。下面六个地方最容易出错（图 7 先给出两组说法的辨析），下表逐条说明。 图 7　说法辨析：左边三条是正确的，右边三条是常见的错误说法 易错点 错在哪里 正确做法 ① 认为「顶点在圆上的角就是圆周角」 漏掉了第二个条件 还必须两边都与圆相交；顶点在圆上但一边不与圆相交的角不是圆周角 ② 把圆周角定理说成「圆周角等于圆心角的一半」 漏掉了「所对的弧相同」 必须是同一条弧所对的圆周角与圆心角：圆周角等于它所对的圆心角的一半 ③ 由弦相等直接说圆周角相等 忽略了同一条弦对应两条弧 同弧或等弧所对的圆周角才相等；同弦所对的圆周角可能相等，也可能互补 ④ 用「直径所对的圆周角是直角」时忘记顶点在圆上 把任意一个 90° 的角都当成圆周角 只有顶点在圆上、两边都与圆相交的 90° 角，所对的弦才是直径 ⑤ 求圆周角时找错了圆心角 圆心角与圆周角所对的弧不是同一条 先用「所对的弧」把两个角配对，角与弧必须一一对应 ⑥ 把圆内接四边形的性质记成「邻角互补」 分不清是哪一组角 圆内接四边形是每一组对角互补，即相对的两个角的和是 180° 九、方法总结与常见题型 把本节理一遍：先认准是不是圆周角，再找出它所对的弧，最后把「同一条弧」上的圆周角与圆心角用「一半」的关系连起来（图 8）。 图 8　本节方法总结：认角 → 找弧 → 用定理 ★ 记忆要点 ① 圆周角：顶点在圆上、并且两边都与圆相交的角；两个条件缺一不可。 ② 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，即 ∠BAC = ∠BOC。 ③ 推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。 ④ 推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90° 的圆周角所对的弦是直径。 ⑤ 圆内接四边形：所有顶点都在同一个圆上的四边形，对角互补，即 ∠A + ∠C = 180°；它的一个外角等于与它不相邻的内对角。 ⑥ 辅助线：连半径或连弦造同弧的角；见直径想直角；见圆内接四边形想对角互补。 常见题型 入手点 用到的结论 由圆心角求圆周角（或反过来） 先确认两个角所对的弧是同一条 圆周角等于它所对的圆心角的一半 证明同圆中的两个圆周角相等 找它们所对的弧是不是同一条（或相等） 同弧或等弧所对的圆周角相等 已知直径求线段长或证垂直 把直径所对的圆周角标成 90° 直径所对的圆周角是直角；再用勾股定理 判断 90° 的角所对的弦是不是直径 检查这个角是不是圆周角 90° 的圆周角所对的弦是直径 圆内接四边形中求角度 用对角互补，或把一个外角转成内对角 圆内接四边形的对角互补；外角等于内对角 十、课后巩固 1. 下列说法中，正确的是（　　） A. 顶点在圆上的角是圆周角　　B. 相等的圆周角所对的弧相等 C. 半圆所对的圆周角是直角　　D. 圆周角等于圆心角的一半 2. 在 ⊙O 中， = 40°，则 的度数是（　　） A. 20°　　B. 40°　　C. 80°　　D. 160° 3. 是 ⊙O 的直径，点 在 ⊙O 上， = 35°，则 = ______。 4. 四边形 内接于 ⊙O， = 80°，则 = ______。 5. ⊙O 的直径 = 10，弦 = 8，求 的长。 6. 在 ⊙O 中， = 55° 是 （劣弧）所对的圆周角，求 的度数。 参考答案与解析 1. C。顶点在圆上还必须两边都与圆相交，A 错；相等的圆周角所对的弧相等，要在同圆或等圆中才成立，B 错；圆周角等于它所对的圆心角的一半，少了「所对的弧相同」，D 错。半圆所对的圆周角是直角，C 正确。 2. C。由圆周角定理，同弧 所对的圆心角是圆周角的 2 倍，所以 ∠BOC = 2∠BAC = 2 × 40° = 80°。 3. 55°。因为 AB 是直径，所以 ∠ACB = 90°。在直角三角形 ABC 中，∠BAC = 90° − 35° = 55°。 4. 100°。四边形 ABCD 内接于 O，由对角互补得 ∠C = 180° − 80° = 100°。 5. 6。因为 AB 是直径，所以 ∠ACB = 90°。在直角三角形 ABC 中，BC = = = 6。 6. 110°。由圆周角定理，∠AOB = 2∠ACB = 2 × 55° = 110°。 十一、技能自查 序号 自查内容 能否做到 1 能说出圆周角的定义，并会判断一个角是不是圆周角 □ 能　□ 还需复习 2 能准确叙述圆周角定理，并写出它的几何语言 □ 能　□ 还需复习 3 知道证明圆周角定理要分三种情况，能说出每种情况的思路 □ 能　□ 还需复习 4 会用「同弧或等弧所对的圆周角相等」证明两个圆周角相等 □ 能　□ 还需复习 5 见到直径会想到 90° 的圆周角，并能用它求线段长或证垂直 □ 能　□ 还需复习 6 知道什么是圆内接四边形，会用「对角互补」求角度 □ 能　□ 还需复习 十二、知识追问 追问 1　圆周角定理为什么要分三种情况来证？ 圆周角的顶点在圆上，而圆心可能在角的边上、角的内部或角的外部。三种位置关系下，角与角之间的和差关系不一样：圆心在边上时是一个外角的关系，在内部时两个角相加，在外部时两个角相减。所以要用三种情况分别写清楚。 三种情况中，第一种最简单，也最基础；后两种都可以通过作直径，化为两个第一种情况，再把结果相加或相减。这种「先特殊、再化归」的思路，是研究图形性质时常用的方法。 追问 2　为什么「同弦所对的圆周角」不一定相等？ 一条弦的两个端点把圆分成两段弧：一段是劣弧，一段是优弧。顶点在劣弧一侧的圆周角，对着的是优弧；顶点在优弧一侧的圆周角，对着的是劣弧。它们所对的弧不是同一条，所以这两个角不一定相等。 用圆内接四边形的性质也能看出来：这两种圆周角的顶点在弦的两侧，正好构成一个圆内接四边形的一组对角，所以它们互补。当然，如果两个圆周角的顶点在弦的同侧，它们所对的弧就是同一条，这时两个角相等。 追问 3　圆周角定理与上一节的「圆心角、弧、弦关系定理」有什么联系？ 上一节的定理说的是：在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦三组量「知一推二」。本节的定理又给圆周角接上了一条：圆周角等于它所对的圆心角的一半。两者合起来，圆心角、弧、弦、圆周角四组量就都串在「同一条弧」这根线上。 所以解圆中的角的问题时，思路很固定：先把要求的角度归到某一条弧上，再利用「同弧的圆周角相等」「同弧的圆心角是圆周角的 2 倍」把它转成已知的角。 十三、章内位置与中考对接 29.2.3 是第二十九章《圆》中 29.2《圆的有关性质》的第 3 节，也是圆的「性质」部分最后一节。前三节各研究圆的一类性质：轴对称性给出垂径定理，旋转不变性给出圆心角与弧、弦的关系，本节给出圆周角与圆心角的关系，并把它们用到圆内接四边形上。 教材位置 内容 P127—P128 圆周角的概念；圆周角定理 P128—P130 圆周角定理的证明（分三种情况）；推论 1、推论 2 P130—P131 圆内接多边形的概念；圆内接四边形的对角互补 P131—P132 例题与练习（P131 例题、练习，P132 习题 29.2） 本节的四组结论要按「一条弧」串起来记：同一条弧上，圆心角是圆周角的 2 倍，所有圆周角都相等；直径把圆分成两个半圆，半圆所对的圆周角是直角；圆内接四边形的对角，分别对着两条互补的弧，所以互补。 中考怎么考 ① 选择、填空题：由圆心角求圆周角；由圆周角求圆心角；判断圆周角说法的对错（顶点是否在圆上、两边是否都与圆相交）。 ② 计算题：已知直径与一条弦，用「直径所对的圆周角是直角」加勾股定理求线段长；圆内接四边形中用对角互补求角度。 ③ 证明题：由同弧所对的圆周角相等证两角相等，再配合等腰三角形证明线段相等或垂直。 ④ 与后续内容衔接：「同弧所对的圆周角相等」和「圆内接四边形对角互补」是转移角的常用工具，后面研究圆中其它问题时还要反复使用。 十四、本节边界 ★ 本节边界：本清单只研究圆周角的概念、圆周角定理及其两个推论，以及圆内接四边形的性质。圆中其它与角有关的量、与圆有关的其它性质，以及直线与圆、三角形与圆、多边形与圆的内容，与圆有关的量的计算，都不属于本课时。 学科网（北京）股份有限公司 $