30.3　正多边形与圆 导学案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦“正多边形与圆”，涵盖正多边形概念、相关计算及画法，通过联系圆的性质导入，以填空式新知要点和对点小练搭建基础，再经典例研析与技法点拨深化，形成从概念到应用的学习支架。 资料特色在于融合几何直观与抽象能力，基础部分夯实概念，重点环节通过构造直角三角形培养推理能力，融入“割圆术”等数学史发展创新意识，分层习题设计助力提升运算能力，有效衔接知识与素养。

30.3　正多边形与圆 【课时目标】 1.了解正多边形的有关概念以及正多边形与圆的关系.(几何直观、抽象能力) 2.能够利用正多边形的有关计算公式计算与正多边形有关的问题.(几何直观、运算能力) 3.会用等分圆周法画圆内接正多边形.(推理能力、空间观念) 基础　主干落实　筑牢根基 　 新知要点 对点小练 1.正多边形的相关概念 (1)中心:正多边形的外接圆的圆心. (2)半径:正多边形外接圆的半径. (3)中心角:正多边形每一边所对的圆心角. (4)边心距:正多边形的中心到正多边形的一边的距离. 1.已知正方形的边长为2 cm,那么它外接圆的半径长是cm. 2.正多边形有关的计算 (1)正n边形的中心角为;正n边形的每一个内角的度数为;正n边形的每一个外角的度数为. (2)每一个正n边形都被它外接圆的半径分成n个全等的等腰三角形;被它外接圆的半径和边心距分成2n个全等的直角三角形. (3)正多边形的半径R,边心距r,边长a之间的关系为r2+()2=R2. 2.(1)一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是60°,则该正多边形的边数是　6　.  (2)圆内接正三角形的中心角的度数为　120°　.  (3)正六边形的半径为2,则它的边心距为 　.  重点　典例研析　启思凝智　 重点1　正多边形的有关概念及计算(抽象能力、几何直观) 【典例1】如图,正三角形ABC和正六边形ADBECF都内接于☉O,连接OC,则 ∠ACO+∠ABE=(D) A.90° B.100° C.110° D.120° 举一反三 1.如图,正五边形ABCDE内接于☉O,点P是劣弧上一点(点P不与点C重合),则∠CPD=(B) A.45° B.36° C.35° D.30° 2.(2025·潍坊期末)刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”,利用圆的内接正多边形来确定圆周率.如图,内部多边形为☉O的内接正十二边形,若☉O的半径为2,则这个圆内接正十二边形的面积为(C) A.1 B.6 C.12 D.4π 技法点拨 解决圆内接正多边形问题的策略 (1)添加辅助线,构造直角三角形,把圆内接正多边形的问题,化归为三角形的问题. (2)在直角三角形中利用勾股定理等进行计算和证明. (3)得出圆内接正多边形问题的相关结论. 重点2　正多边形的性质、判断及画法(推理能力、空间观念) 【典例2】如图,将☉O的圆周十二等分,圆内接矩形ABCD的面积为20,则圆内接正六边形的面积为　30　.  举一反三 1.如果正多边形的中心角是36°,那么这个正多边形的边数是　10　.  2.如图,用若干个全等的正五边形排成圆环状,图中所示的是其中3个正五边形的位置.要完成这一圆环排列,共需要正五边形的个数是　10　.  3.在图中,试分别按要求画出圆O的内接正多边形. 【解析】(画法不唯一)如图所示: 技法点拨 判定正多边形的两个方法 1.根据正多边形的定义:证明多边形各边相等,各角相等. 2.根据正多边形与圆的关系:多边形顶点将圆等分,可得圆内接正多边形. 特别提醒 　一般用等分圆周的方法作正多边形,用量角器可以任意等分圆周,特殊情况下也可以用尺规作图等分圆周. 素养　思维提升　入境深探　 溯根求源 　我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”,即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算圆的面积,指出“割之弥细,所失弥少.割之又割,以至于不可割,则与圆周合体,而无所失矣”.“割圆术”孕育了微积分思想,他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.141 6.圆的半径为1,运用“割圆术”,以圆内接正十二边形面积近似估计圆的面积,可得π的估计值为3. 如图,若用半径为1的圆的内接正六边形面积近似估计圆的面积,可得π的估计值为(B) A.3 B. C.2 D.2 学科网（北京）股份有限公司 $ 30.3　正多边形与圆 【课时目标】 1.了解正多边形的有关概念以及正多边形与圆的关系.(几何直观、抽象能力) 2.能够利用正多边形的有关计算公式计算与正多边形有关的问题.(几何直观、运算能力) 3.会用等分圆周法画圆内接正多边形.(推理能力、空间观念) 基础　主干落实　筑牢根基 　 新知要点 对点小练 1.正多边形的相关概念 (1)中心:正多边形的 的圆心. (2)半径:正多边形 的半径. (3)中心角:正多边形每一边所对的 . (4)边心距:正多边形的 到正多边形的一边的距离. 1.已知正方形的边长为2 cm,那么它外接圆的半径长 是 cm. 2.正多边形有关的计算 (1)正n边形的中心角为;正n边形的每一个内角的度数为;正n边形的每一个外角的度数为. (2)每一个正n边形都被它外接圆的半径分成n个全等的 三角形;被它外接圆的半径和边心距分成2n个全等的 三角形. (3)正多边形的半径R,边心距r,边长a之间的关系为 . 2.(1)一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是60°,则该正多边形的边数是 .  (2)圆内接正三角形的中心角的度数为 .  (3)正六边形的半径为2,则它的边心距为 .  重点　典例研析　启思凝智　 重点1　正多边形的有关概念及计算(抽象能力、几何直观) 【典例1】如图,正三角形ABC和正六边形ADBECF都内接于☉O,连接OC,则 ∠ACO+∠ABE=( ) A.90° B.100° C.110° D.120° 举一反三 1.如图,正五边形ABCDE内接于☉O,点P是劣弧上一点(点P不与点C重合),则∠CPD=( ) A.45° B.36° C.35° D.30° 2.(2025·潍坊期末)刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”,利用圆的内接正多边形来确定圆周率.如图,内部多边形为☉O的内接正十二边形,若☉O的半径为2,则这个圆内接正十二边形的面积为( ) A.1 B.6 C.12 D.4π 技法点拨 解决圆内接正多边形问题的策略 (1)添加辅助线,构造直角三角形,把圆内接正多边形的问题,化归为三角形的问题. (2)在直角三角形中利用勾股定理等进行计算和证明. (3)得出圆内接正多边形问题的相关结论. 重点2　正多边形的性质、判断及画法(推理能力、空间观念) 【典例2】如图,将☉O的圆周十二等分,圆内接矩形ABCD的面积为20,则圆内接正六边形的面积为 .  举一反三 1.如果正多边形的中心角是36°,那么这个正多边形的边数是 .  2.如图,用若干个全等的正五边形排成圆环状,图中所示的是其中3个正五边形的位置.要完成这一圆环排列,共需要正五边形的个数是 .  3.在图中,试分别按要求画出圆O的内接正多边形. 技法点拨 判定正多边形的两个方法 1.根据正多边形的定义:证明多边形各边相等,各角相等. 2.根据正多边形与圆的关系:多边形顶点将圆等分,可得圆内接正多边形. 特别提醒 　一般用等分圆周的方法作正多边形,用量角器可以任意等分圆周,特殊情况下也可以用尺规作图等分圆周. 素养　思维提升　入境深探　 溯根求源 　我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”,即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算圆的面积,指出“割之弥细,所失弥少.割之又割,以至于不可割,则与圆周合体,而无所失矣”.“割圆术”孕育了微积分思想,他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.141 6.圆的半径为1,运用“割圆术”,以圆内接正十二边形面积近似估计圆的面积,可得π的估计值为3. 如图,若用半径为1的圆的内接正六边形面积近似估计圆的面积,可得π的估计值为( ) A.3 B. C.2 D.2 学科网（北京）股份有限公司 $